第二节 初等函数(1)
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西藏大学理学院数学系
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复变函数
§2.2 初等函数
注解 1、对数函数必然是（无穷） 多值函数。 、对数函数必然是（无穷） 多值函数。 2、对数函数的主值 、 相应与辐角函数的主值， 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函数 Lnz的主值 为： 的主值lnz为 的主值
w = ln z = ln | z | +i arg z (−π < arg z ≤ π )
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复变函数
§2.2 初等函数
三种对数函数的联系与区别
函数
单值与多值
定义域
注解
ln x
Lnz ln z
单值 多值 单值
所有正实数
所有非零复数 所有非零复数
一个单值 分支为ln z z = x > 0时， 为 ln x
西藏大学理学院数学系
复变函数
§2.2 初等函数
（2）对数函数的基本性质 ）
z →∞
e
x
z + 2 kπ i
= e . (4.7)
z
(8) 极限 lim e z 不存在.
z →∞ z = x >0
lim e = lim e = +∞
z x→+∞
z →∞ z = x <0
lim e = lim e = 0
z x x→−∞
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复变函数
§2.2 初等函数
（3）指数函数的映射（几何）性质 指数函数的映射（几何）
L
w-平面
u B' v
w=e
z
L1
y0
B x x0
y0i
西藏大学理学院数学系
复变函数
§2.2 初等函数
5. 多值函数导引：辐角函数 . 多值函数导引： （1） 辐角函数的定义 定义 函数 w = Argz
( z ∈ C − {0})称为辐角函数。
显然， 函数有无穷个不同的值： 显然，w=Argz函数有无穷个不同的值： 函数有无穷个不同的值 其中argz表示 表示Argz的主值： − π 的主值： 其中 表示 的主值
讨论z在带形 B = { z z ∈ C , 0 < Im z < 2π } (4.8)
中变化时，w = e 的映射性质。
z
1、把直线L： z = y0映射为w平面上的射线 Im L1： g w = y0 . ar
2、把线段:Re z = x0 , 0 < Im z < 2π 映射为w平面 上的一个圆: w = e （除去点（e ，0）） .
f (−1) = −π , f (−4) = π .
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复变函数
§2.2 初等函数
6、对数函数 、 ⑴ 复对数的定义
定义 满足方程z = e w ( z ≠ 0)的复数w确定的函数,
称为对数函数，记为w = Lnz或Logz。
那么，复数z的对数具体是一个什么样的呢？ 的对数具体是一个什么样的呢？ 那么，复数 的对数具体是一个什么样的呢
x
(2)
f ( z )在C上解析；
(3) ∀z1 , z2 ∈ C , f ( z1 + z2 ) = f ( z1 ) f ( z2 );
定义 复数的指数函数定义为
z x
w = e = e (cos y + i sin y ) (4.1)
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复变函数
§2.2 初等函数
注：1、由此得到欧拉公式： 、由此得到欧拉公式：
复变函数
§2.2 初等函数
辐角函数的单值（连续 连续）分支 (2) 辐角函数的单值 连续 分支
结论： 结论： w = Argz在区域D内可以分解成(5.1)中所表示的
无穷多个单值连续函数，它们都是w = Argz在区域D内的
单值连续分支。
1、D是把复平面沿负实轴割开而得到 、 是把复平面沿负实轴割开而得到 是把复平面沿负实轴割开而得到. 负实轴称为一条割线。 负实轴称为一条割线。 割线 2、此割线有上、下两沿。 、此割线有上、下两沿。 3、单值连续分支在上、 、单值连续分支在上、 下两沿所取的值不同。 下两沿所取的值不同。 值不同
arg z |上沿 = +π
上沿 下沿
arg z |下沿 = −π
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复变函数
§2.2 初等函数
其次， 其次，研究在一般区域内把辐角函数分解成单值 连续分支问题
C
z0 ≠ 0
z0 ≠ 0时，z绕z0一圈时， arg z不变。
C
z0 = 0
z0 = 0时，z绕z0一圈时， arg z增加或减少 2π
复变函数
§2.2 初等函数
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复变函数
§2.2 初等函数
一般区域： 一般区域：
Lnz也可以分解成无 穷个单值连续分支
若规定 arg z1 = θ1 , 则
Lnz = ln | z1 | +iθ1 + 2kπi,
e = cos y + i sin y
iy
2、条件（3）可以写作： 、条件（ ）可以写作：
∀z1 , z2 ∈ C , e e = e
z1 z2
z1 + z2
.
（2）指数函数的基本性质
(4) ∀z ∈ C , e ≠ 0;
z
(5) 指数函数w = e 在整个复平面内有定义
z
并且解析，且有：(e ) ' = e
复变函数
§2.2 初等函数
但下面的等式将不再成立：
Lnz = 2 Lnz ,
2
Ln z = Lnz
n 1 n
（3）对数函数的单值分支 考虑复平面除去负实轴（包括0 而得的区域 考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D 。 显然，在D内，对数函数可以分解为无穷多 显然， 内 个单值连续分支。 个单值连续分支。
w = Lnz = ln | z | +i arg z + 2kπ i = ln z + 2kπ i ,
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复变函数
§2.2 初等函数
沿负实轴的割线的取值情况： 沿负实轴的割线的取值情况：
w = ln z |上沿 = +iπ
上沿 下沿
w = ln z |下沿 = −iπ
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从而， 从而，有
w = Lnz (6.2) = ln | z | +i arg z + 2kπ i = ln z + 2kπ i
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复变函数
§2.2 初等函数
3、任何不是零的复数有无穷多个对数， 、任何不是零的复数有无穷多个对数， 其中任意两个值相差2πi的整数倍． 其中任意两个值相差 的整数倍． 的整数倍 4、复对数是实对数在复数域内的推广；在 、复对数是实对数在复数域内的推广； 实数域内“负数无对数”的说法， 实数域内“负数无对数”的说法，在复数域内 是不成立的。 是不成立的。 但可修改成“负数无实对数， 但可修改成“负数无实对数，且正实数的对 数也是无穷多值的。 数也是无穷多值的。
w = Argz = arg z + 2kπ
(k ∈ Z )
(5.1)
< arg z ≤ π
把辐角（ ） 把辐角（5.1）函数在某些区域内分解为一些 单值连续函数， 单值连续函数，每一个单值连续函数称为辐角函 数在这区域内的一个单值连续分支。 数在这区域内的一个单值连续分支。 单值连续分支
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1、对数函数w = Lnz定义在整个复平面减去原点上, 是一个多值函数;
2、对数函数的代数性质（运算性质）:
Ln( z1 z2 ) = Lnz1 + Lnz2 (6.3)
Ln(z1 / z2 ) = Lnz1 − Lnz2
(6.4)
和辐角的加法一样上面的等式应该理解为 集合相等.
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复变函数
§2.2 初等函数
例
在C上作割线 上作割线
K = {z || z + 1 |= 1, Im z ≥ 0} ∪ (−3,−2) ∪ {z || z + 4 |= 1, Im z ≤ 0} ∪ (−∞,−5)
得到区域D=C-K，取Argz在D内的一个单值 ， 得到区域 在 内的一个单值 连续分支f(z)=argz(arg1=0)，那么 ， 连续分支
结论： 结论：
w = Lnz = ln | z | +iArgz. (6.1)
的对数仍是复数， 即，一个非零复数z的对数仍是复数，它的实部 一个非零复数 的对数仍是复数 的模的通常实自然对数， 是z的模的通常实自然对数，它的虚部是 的辐角 的模的通常实自然对数 它的虚部是z的辐角 的一般值。 的一般值。
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复变函数
§2.2 初等函数
含无穷远点
z0 = ∞时，z" 绕z0 " 一圈时， arg z增加或减少2π
z0 = ∞
由此可见， 来说， 及 是特殊的两点 是特殊的两点。 由此可见，对w=Argz来说，0及∞是特殊的两点。 来说 支点。 我们称它们为多值函数 w=Argz 的支点。
复变函数
§2.2 初等函数
第二节
4、指数函数
初等函数
5、多值函数导引：辐角函数 多值函数导引： 6、对数函数
西藏大学理学院数学系
复变函数
§2.2 初等函数
4. 指数函数
（1）指数函数的定义
要求复变数z=x+iy的函数 满足下列条件： 的函数f(z)满足下列条件 要求复变数 的函数 满足下列条件：
(1) ∀x ∈ R, f ( x) = e ;
z
z
(4.3)
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复变函数
§2.2 初等函数
(6) 从定义得， z z x | e |= e ; Arge = y + 2kπ ，k = 0, ±1, ±2,L
(7) 周期性：
指数函数w = e 是以2π i为周期的周期函数。 z + 2π i z 即 e = e (4.6)
z
同样∀k ∈ Z ,
x0 x0
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复变函数
§2.2 初等函数
z-平面
y
2π i
w-平面 w=e
z
u
L1
y0
v x x0
L
y0i
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复变函数
z
§2.2 初等函数
3、w = e 把B= { z z ∈ C , 0 < Im z < 2π }映射为 除去原点和正实轴的w平面.
z-平面 y
2π i
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复变函数
§2.2 初等函数
注解
1、 一般地说，支割线可以区分为两沿（岸）。 、 一般地说，支割线可以区分为两沿（ 2、 每一单值分支在支割线上是不连续的。 、 每一单值分支在支割线上是不连续的。 不过，多值函数的每一个单支连续分支， 不过，多值函数的每一个单支连续分支， 可以扩充成为直到支割线的上沿（或下沿） 可以扩充成为直到支割线的上沿（或下沿）连 续的函数。 续的函数。 扩充的函数值称为上述单值连续分支在支 割线的上沿（或下沿）所取的值。 割线的上沿（或下沿）所取的值。
记作 arg z + 2kπ (arg z1 = θ1 )
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复变函数
§2.2 初等函数
w = A rg z也可以分解成 无穷个单值连续分支.
每个单值连续分支 由一个初值（起点） 唯一确定。
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复变函数
§2.2 初等函数
Argz在C上任一点（非原点）的各值之间的联系： 在 上任一点 非原点）的各值之间的联系： 上任一点（ 通过作一条简单连续曲线围绕0或 ， 从 通过作一条简单连续曲线围绕 或∞，让z从 某点按一定方向沿曲线连续变动若干周后， 某点按一定方向沿曲线连续变动若干周后 ， 回 到该点时，Argz相应地可从辐角函数的一值连续 到该点时， 相应地可从辐角函数的一值连续 变动到它在预先指定的其它任一值。 变动到它在预先指定的其它任一值。 即，从Argz的一个单值连续分支在该点的 的一个单值连续分支在该点的 值连续变动到预先指定的其它单值连续分支在 该点的值。 该点的值。
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复变函数
§2.2 初等函数
支点、 支点、支割线 一般地，具有这种性质的点，使得当变点 一般地，具有这种性质的点，使得当变点z 绕 这点一整周时，多值函数从其一支变到另一支， 这点一整周时，多值函数从其一支变到另一支， 也就是说，当变点回转至原来的位置时， 也就是说，当变点回转至原来的位置时，函数值与 原来的位相异，则称此点为该多值函数的支点。 原来的位相异，则称此点为该多值函数的支点。 支点 一般地，用来割破平面， 一般地，用来割破平面，以分出多值函数的 单值连续分支的割线，称为多值函数的支割线。 单值连续分支的割线，称为多值函数的支割线。 支割线 支割线 连接所有支点的曲线。 连接所有支点的曲线。
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复变函数
§2.2 初等函数
来说， 对w=Argz来说，负实轴是一条支割线。 来说 负实轴是一条支割线。 同样，连接 及 的一条无界简单曲线 的一条无界简单曲线K 同样，连接0及∞的一条无界简单曲线 1也是 它的一条支割线。 它的一条支割线。 即， w=Argz在K1为割线（边界）的区域 1内 在 为割线（边界）的区域D 可以分解成无穷个单值连续分支。 可以分解成无穷个单值连续分支。
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复变函数
§2.2 初等函数
注解 1、对数函数必然是（无穷） 多值函数。 、对数函数必然是（无穷） 多值函数。 2、对数函数的主值 、 相应与辐角函数的主值， 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函数 Lnz的主值 为： 的主值lnz为 的主值
w = ln z = ln | z | +i arg z (−π < arg z ≤ π )
西藏大学理学院数学系
复变函数
§2.2 初等函数
三种对数函数的联系与区别
函数
单值与多值
定义域
注解
ln x
Lnz ln z
单值 多值 单值
所有正实数
所有非零复数 所有非零复数
一个单值 分支为ln z z = x > 0时， 为 ln x
西藏大学理学院数学系
复变函数
§2.2 初等函数
（2）对数函数的基本性质 ）
z →∞
e
x
z + 2 kπ i
= e . (4.7)
z
(8) 极限 lim e z 不存在.
z →∞ z = x >0
lim e = lim e = +∞
z x→+∞
z →∞ z = x <0
lim e = lim e = 0
z x x→−∞
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复变函数
§2.2 初等函数
（3）指数函数的映射（几何）性质 指数函数的映射（几何）
L
w-平面
u B' v
w=e
z
L1
y0
B x x0
y0i
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复变函数
§2.2 初等函数
5. 多值函数导引：辐角函数 . 多值函数导引： （1） 辐角函数的定义 定义 函数 w = Argz
( z ∈ C − {0})称为辐角函数。
显然， 函数有无穷个不同的值： 显然，w=Argz函数有无穷个不同的值： 函数有无穷个不同的值 其中argz表示 表示Argz的主值： − π 的主值： 其中 表示 的主值
讨论z在带形 B = { z z ∈ C , 0 < Im z < 2π } (4.8)
中变化时，w = e 的映射性质。
z
1、把直线L： z = y0映射为w平面上的射线 Im L1： g w = y0 . ar
2、把线段:Re z = x0 , 0 < Im z < 2π 映射为w平面 上的一个圆: w = e （除去点（e ，0）） .
f (−1) = −π , f (−4) = π .
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复变函数
§2.2 初等函数
6、对数函数 、 ⑴ 复对数的定义
定义 满足方程z = e w ( z ≠ 0)的复数w确定的函数,
称为对数函数，记为w = Lnz或Logz。
那么，复数z的对数具体是一个什么样的呢？ 的对数具体是一个什么样的呢？ 那么，复数 的对数具体是一个什么样的呢
x
(2)
f ( z )在C上解析；
(3) ∀z1 , z2 ∈ C , f ( z1 + z2 ) = f ( z1 ) f ( z2 );
定义 复数的指数函数定义为
z x
w = e = e (cos y + i sin y ) (4.1)
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复变函数
§2.2 初等函数
注：1、由此得到欧拉公式： 、由此得到欧拉公式：
复变函数
§2.2 初等函数
辐角函数的单值（连续 连续）分支 (2) 辐角函数的单值 连续 分支
结论： 结论： w = Argz在区域D内可以分解成(5.1)中所表示的
无穷多个单值连续函数，它们都是w = Argz在区域D内的
单值连续分支。
1、D是把复平面沿负实轴割开而得到 、 是把复平面沿负实轴割开而得到 是把复平面沿负实轴割开而得到. 负实轴称为一条割线。 负实轴称为一条割线。 割线 2、此割线有上、下两沿。 、此割线有上、下两沿。 3、单值连续分支在上、 、单值连续分支在上、 下两沿所取的值不同。 下两沿所取的值不同。 值不同
arg z |上沿 = +π
上沿 下沿
arg z |下沿 = −π
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复变函数
§2.2 初等函数
其次， 其次，研究在一般区域内把辐角函数分解成单值 连续分支问题
C
z0 ≠ 0
z0 ≠ 0时，z绕z0一圈时， arg z不变。
C
z0 = 0
z0 = 0时，z绕z0一圈时， arg z增加或减少 2π
复变函数
§2.2 初等函数
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复变函数
§2.2 初等函数
一般区域： 一般区域：
Lnz也可以分解成无 穷个单值连续分支
若规定 arg z1 = θ1 , 则
Lnz = ln | z1 | +iθ1 + 2kπi,
e = cos y + i sin y
iy
2、条件（3）可以写作： 、条件（ ）可以写作：
∀z1 , z2 ∈ C , e e = e
z1 z2
z1 + z2
.
（2）指数函数的基本性质
(4) ∀z ∈ C , e ≠ 0;
z
(5) 指数函数w = e 在整个复平面内有定义
z
并且解析，且有：(e ) ' = e
复变函数
§2.2 初等函数
但下面的等式将不再成立：
Lnz = 2 Lnz ,
2
Ln z = Lnz
n 1 n
（3）对数函数的单值分支 考虑复平面除去负实轴（包括0 而得的区域 考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D 。 显然，在D内，对数函数可以分解为无穷多 显然， 内 个单值连续分支。 个单值连续分支。
w = Lnz = ln | z | +i arg z + 2kπ i = ln z + 2kπ i ,
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复变函数
§2.2 初等函数
沿负实轴的割线的取值情况： 沿负实轴的割线的取值情况：
w = ln z |上沿 = +iπ
上沿 下沿
w = ln z |下沿 = −iπ
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从而， 从而，有
w = Lnz (6.2) = ln | z | +i arg z + 2kπ i = ln z + 2kπ i
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复变函数
§2.2 初等函数
3、任何不是零的复数有无穷多个对数， 、任何不是零的复数有无穷多个对数， 其中任意两个值相差2πi的整数倍． 其中任意两个值相差 的整数倍． 的整数倍 4、复对数是实对数在复数域内的推广；在 、复对数是实对数在复数域内的推广； 实数域内“负数无对数”的说法， 实数域内“负数无对数”的说法，在复数域内 是不成立的。 是不成立的。 但可修改成“负数无实对数， 但可修改成“负数无实对数，且正实数的对 数也是无穷多值的。 数也是无穷多值的。
w = Argz = arg z + 2kπ
(k ∈ Z )
(5.1)
< arg z ≤ π
把辐角（ ） 把辐角（5.1）函数在某些区域内分解为一些 单值连续函数， 单值连续函数，每一个单值连续函数称为辐角函 数在这区域内的一个单值连续分支。 数在这区域内的一个单值连续分支。 单值连续分支
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1、对数函数w = Lnz定义在整个复平面减去原点上, 是一个多值函数;
2、对数函数的代数性质（运算性质）:
Ln( z1 z2 ) = Lnz1 + Lnz2 (6.3)
Ln(z1 / z2 ) = Lnz1 − Lnz2
(6.4)
和辐角的加法一样上面的等式应该理解为 集合相等.
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复变函数
§2.2 初等函数
例
在C上作割线 上作割线
K = {z || z + 1 |= 1, Im z ≥ 0} ∪ (−3,−2) ∪ {z || z + 4 |= 1, Im z ≤ 0} ∪ (−∞,−5)
得到区域D=C-K，取Argz在D内的一个单值 ， 得到区域 在 内的一个单值 连续分支f(z)=argz(arg1=0)，那么 ， 连续分支
结论： 结论：
w = Lnz = ln | z | +iArgz. (6.1)
的对数仍是复数， 即，一个非零复数z的对数仍是复数，它的实部 一个非零复数 的对数仍是复数 的模的通常实自然对数， 是z的模的通常实自然对数，它的虚部是 的辐角 的模的通常实自然对数 它的虚部是z的辐角 的一般值。 的一般值。
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§2.2 初等函数
含无穷远点
z0 = ∞时，z" 绕z0 " 一圈时， arg z增加或减少2π
z0 = ∞
由此可见， 来说， 及 是特殊的两点 是特殊的两点。 由此可见，对w=Argz来说，0及∞是特殊的两点。 来说 支点。 我们称它们为多值函数 w=Argz 的支点。
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第二节
4、指数函数
初等函数
5、多值函数导引：辐角函数 多值函数导引： 6、对数函数
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§2.2 初等函数
4. 指数函数
（1）指数函数的定义
要求复变数z=x+iy的函数 满足下列条件： 的函数f(z)满足下列条件 要求复变数 的函数 满足下列条件：
(1) ∀x ∈ R, f ( x) = e ;
z
z
(4.3)
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复变函数
§2.2 初等函数
(6) 从定义得， z z x | e |= e ; Arge = y + 2kπ ，k = 0, ±1, ±2,L
(7) 周期性：
指数函数w = e 是以2π i为周期的周期函数。 z + 2π i z 即 e = e (4.6)
z
同样∀k ∈ Z ,
x0 x0
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§2.2 初等函数
z-平面
y
2π i
w-平面 w=e
z
u
L1
y0
v x x0
L
y0i
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复变函数
z
§2.2 初等函数
3、w = e 把B= { z z ∈ C , 0 < Im z < 2π }映射为 除去原点和正实轴的w平面.
z-平面 y
2π i
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复变函数
§2.2 初等函数
注解
1、 一般地说，支割线可以区分为两沿（岸）。 、 一般地说，支割线可以区分为两沿（ 2、 每一单值分支在支割线上是不连续的。 、 每一单值分支在支割线上是不连续的。 不过，多值函数的每一个单支连续分支， 不过，多值函数的每一个单支连续分支， 可以扩充成为直到支割线的上沿（或下沿） 可以扩充成为直到支割线的上沿（或下沿）连 续的函数。 续的函数。 扩充的函数值称为上述单值连续分支在支 割线的上沿（或下沿）所取的值。 割线的上沿（或下沿）所取的值。
记作 arg z + 2kπ (arg z1 = θ1 )
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§2.2 初等函数
w = A rg z也可以分解成 无穷个单值连续分支.
每个单值连续分支 由一个初值（起点） 唯一确定。
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复变函数
§2.2 初等函数
Argz在C上任一点（非原点）的各值之间的联系： 在 上任一点 非原点）的各值之间的联系： 上任一点（ 通过作一条简单连续曲线围绕0或 ， 从 通过作一条简单连续曲线围绕 或∞，让z从 某点按一定方向沿曲线连续变动若干周后， 某点按一定方向沿曲线连续变动若干周后 ， 回 到该点时，Argz相应地可从辐角函数的一值连续 到该点时， 相应地可从辐角函数的一值连续 变动到它在预先指定的其它任一值。 变动到它在预先指定的其它任一值。 即，从Argz的一个单值连续分支在该点的 的一个单值连续分支在该点的 值连续变动到预先指定的其它单值连续分支在 该点的值。 该点的值。
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复变函数
§2.2 初等函数
支点、 支点、支割线 一般地，具有这种性质的点，使得当变点 一般地，具有这种性质的点，使得当变点z 绕 这点一整周时，多值函数从其一支变到另一支， 这点一整周时，多值函数从其一支变到另一支， 也就是说，当变点回转至原来的位置时， 也就是说，当变点回转至原来的位置时，函数值与 原来的位相异，则称此点为该多值函数的支点。 原来的位相异，则称此点为该多值函数的支点。 支点 一般地，用来割破平面， 一般地，用来割破平面，以分出多值函数的 单值连续分支的割线，称为多值函数的支割线。 单值连续分支的割线，称为多值函数的支割线。 支割线 支割线 连接所有支点的曲线。 连接所有支点的曲线。
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复变函数
§2.2 初等函数
来说， 对w=Argz来说，负实轴是一条支割线。 来说 负实轴是一条支割线。 同样，连接 及 的一条无界简单曲线 的一条无界简单曲线K 同样，连接0及∞的一条无界简单曲线 1也是 它的一条支割线。 它的一条支割线。 即， w=Argz在K1为割线（边界）的区域 1内 在 为割线（边界）的区域D 可以分解成无穷个单值连续分支。 可以分解成无穷个单值连续分支。