离散数学讲义(第6章)

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6-2 分配格（续）
定理：如果在一个格中交运算对并运算可分配，则并运算 对交运算一定可分配。反之亦然。
定理：每个链是分配格。
定理：设〈A， ≤ 〉为一个分配格，则对任意的a，b，c A，如果有a b = a c且a b = a c，则b=c。
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6-2 分配格（续）
定义：设〈A,,〉是由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。 如果对任意的a,b,cA，当b ≤ a时，有： a (b c) = b (a c) 则称〈A， ≤ 〉是模格。
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6-1 格的概念（续）
偏序集但不是格
e d f
格
c a b
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6-1 格的概念（续）
代数系统
设〈A， ≤ 〉是一个格，如果在A上定义两个二元运 算和，使得对于任意的a，bA，ab等于a和b的最小 上界，ab等于a和b的最大下界，那么就称〈A， ， 〉 为由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。二元运算， 分 别称为并运算和交运算。
定理：分配格一定是模格。
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6-3 有补格
定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素aA，对 任意的xA，都有a ≤ x， 则称a为格〈A， ≤ 〉的全下界。记作 0。 定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素bA，对 任意的xA，都有x ≤ b， 则称b为格〈A， ≤ 〉的全上界。记作 1。
{a,b} {a,b} {a,b} {a,b} {a,b}
{b} {a,b}
6-4 布尔代数（续）
定理：对布尔代数中的任意两个元素a，b，有
(a ) a
ab a b
a b ab
定义：具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。
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6-4 布尔代数（续）
- 〉和 〈B，， 定义：设两个布尔代数〈A，，， - 〉，如果存在A到B的双射f，对于任意的a,b ， ↔A，都有
定理：格〈A， ≤ 〉若有全下界或全上界，则必唯一。
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6-3 有补格（续）
定义：如果一个格中存在全上界和全下界，则称这个格 为有界格。
定理：设〈A， ≤ 〉为一个有界格，则对任意的a A， 必有 a 1 = 1， a 0 = a， a1=a a0=0
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6-3 有补格（续）
定义：设〈A， ≤ 〉为一个有界格，对于A中的一个元素 a，如果存在b A，使得a b = 1，a b = 0， 则称元素b是元素a的补元。或称a与b互为补元 （由对称性）。 注意：对于元素a可以存在多个补元，也可以不存在补元。 定义：在一个有界格中，如果每个元素都至少有一个补 元，则称此格为有补格。 定理：在有界分配格中，若有一个元素有补元，则必是唯 一的。 定义：一个格如果既是有补格，又是分配格，则称它为 有补分配格。把有补分配格中任意元素a的唯一补 元记作a。
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6-2 分配格
定义：设〈A,,〉是由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。 如果对任意的a,b,cA，满足： a (b c) = (a b) (a c) 及 a (b c) = (a b) (a c) 则称〈A， ≤ 〉是分配格。 讨论定义： (1) 定义中的两式互为对偶式。 (2) 必须对任意的a,b,cA，都要同时满足交运算对并运 算的分配律以及并运算对交运算的分配律。
a 例如：S={a,b,c,d,e,f,g,h}， 取 S1={a,b,d,f}，S2={c,e,g,h}，S3={a,b,c,d,e,g,h}， 则〈S1，≤〉，〈S2 ，≤〉 b d c 都是〈S，≤〉的子格。 而 〈S3，≤〉，是格， e g f 但不是〈S，≤〉的子格， 因为b d = f S3 。 h 例1 设〈S，≤〉 为格，任取a S，构造S的子集 T={x|x S且x ≤ A}，则〈T，≤〉为〈S，≤〉的 子格。 解： x，y T，必有x ≤ a， y ≤ a，故xy ≤ a，xy ≤ a，故xy T ，xy T 因此，〈T，≤〉为〈S， ≤〉的子格。
可以证明子格本身是一个格，因为交换律，结合 律，吸收律都是继承的。显然，对于A的任意非空 子集 B ，〈B ， ≤ 〉是偏序集，但不是一定是格， 并且即使是格，也不一定是A的子格。
例如右图所示的格中，〈｛a,b,d｝，≤〉
是子格，〈｛b,c｝，≤〉不是子格，
因为｛b,c｝对运算不封闭。
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6-1 格的概念（续）
f (a b) f (a) f (b) f (a b) f (a) f (b) f (a ) f (a)
则称这两个布尔代数同构。 结论： （1）对于每一个正整数n，必存在含有2n各元素的布尔 代数；反之，任一有限的布尔代数，其元素个数 必为2的幂次。 （2）元素个数相同的布尔代数都是同构的。
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6-4 布尔代数
定义：一个有补分配格称为布尔格。 定义：由布尔格〈A， ≤ 〉可以诱导一个代数系统 〈A,,, -〉，称为布尔代数。
例如：S={a, b}，P(S)={，{a}，{b}，{a，b} }， 则〈 P(S) ， 〉为布尔格。所诱导的代数 系统为〈 P(S)，∪，∩，~ 〉，其运算表为 {a} {b}
~ {a,b} {b} {a}
{a,b} ∪
{a} {b}


{a} {b}
{a}
{a}
{b} {a,b}
{b} {a,b}
∩
{a} {b} {a,b}


{a}
{a} {a}
{b} {a,b}
{b} {a} {b}
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{a} {a,b} {a,b} {a,b} {b} {a,b}
离散数学讲义（电子版）
Discrete Mathematics
天津财经大学 信息科学与技术系 王宁 ninglw@
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第六章
格与布尔代数
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第六章 格和布尔代数
本章包括以下内容：
6-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 格的概念
6-2 分配格
6-3 有补格 6-4 布尔代数 6-5 布尔表达式
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6-1 格的概念
在第三章曾讨论过偏序集合,定义了有 关的术语。并曾证明过:(1)一个偏序集合的 子集 , 如果存在最小上界 (lub), 则它是唯一 的 , 如果存在最大下界 (glb), 则它也是唯一 的 ;(2) 如果偏序集合拥有最小元素 , 则它是 唯一的,如果偏序集合拥有最大元素,则它也 是唯一的。我们就以这些知识为基础介绍 格的概念和有关性质。
定理：设〈A， ≤ 〉为在模格，当且仅当在A中不含有适 合下属条件的元素a，b，c a ＜ b 且 a c = b c， a c = b c
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6-2 分配格（续）
定理：对于模格，若有三个元素a，b，c使得下述三个式 子的任何一个式子中把≤换成=成立，则另外两个 式子中把≤换成=也成立。 a (b c) ≤ (a b) (a c) (a b) (a c) ≤ a (b c) (a b) (b c) (c a) ≤ (a b) (b c) (c a)
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6-1 格的概念（续）
定理：设f为从〈A1 ，≤1〉到〈A2 ，≤2〉的格同态，则对 任意的x,y A1，如果x ≤1 y，则 f(x) ≤2 f(y)。
定理：设〈A1 ，≤1〉，〈A2 ，≤2〉是两个格，f是从A1到 A2的双射，则f是〈A1 ，≤1〉到〈A2 ，≤2〉的格同 构当且仅当对任意的a，b A1，有 a ≤1 b f(a) ≤2 f(b)
定理：在格〈A， ≤ 〉中，对任意的a，b，c A，都有 a (b c) ≤ (a b) (a c) a (b c) ≥ (a b) (a c)
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6-1 格的概念（续）
定理：设〈A， ≤ 〉为一个格，对任意的a，b A，有 a≤bab=aab=b 定理：设〈A， ≤ 〉为一个格，对任意的a，b，c A， 有 a ≤ c a (b c) ≤ (a b) c
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6-1 格的概念（续）
偏序集
由一个集合A以及A上的一个偏序关系 ≤ 所组成的一 个序偶〈A， ≤ 〉称为偏序集。 注意：偏序集的任意子集不是必定存在最小上界或最大 下界的。 定义：设〈A， ≤ 〉为一个偏序集，如果A中任意两个元 素都有最小上界和最大下界，则称〈A， ≤ 〉为 格。
例如：正整数集合I+与其上的整除关系 | 组成一个偏序集〈 I+ ， |〉，并且为格。 例如：集合S的幂集P(S)与其上的包含关系 组成一个偏序集 〈 P(S) ， 〉，并且是格。
设对任意格都为真的命题P，在命题P中将“≤”换成 “≥”，“”换成“”， “”换成 “”，得到新的 命题P’，称为P的对偶命题。 P’对任意格也是真命题。
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6-1 格的概念（续）
格的性质
设〈A， ≤ 〉为格，其所诱导的代数系统为〈A，， 〉，对任意的a，b，c，d A，有下列性质成立。 1．a ≤ a b ab≤a b≤ab ab≤b
2．若a ≤ b，c ≤ d，则 ac≤bd ac≤bd 3．若b ≤ c，则 ab≤ac
ab≤ac
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6-1 格的概念（续）
交换律
4．a b = b a ab=ba
5．a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) c 6．a a = a aa=a a (a b) = a
结合律
幂等律
7．a (a b) = a
吸收律
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6-1 格的概念（续）
引理：设〈A， ， 〉是一个代数系统，其中，和都 是二元运算且满足吸收律，则， 都满足幂等性。 定理：设〈A， ， 〉是一个代数系统，其中，和都 是二元运算且满足交换性、结合性和吸收性，则A 上存在偏序关系≤，使〈A， ≤ 〉为一个格。