2021年高中数学必修二模块综合测试卷含答案(2)

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2021-2022学年新教材高中数学模块测评(含解析)新人教B版必修第二册

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算lg 4＋lg 25＝( ) A ．2 B ．3C ．4D ．10A [lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2.] 2．下列等式中正确的是( ) A ．OA →－OB →＝AB → B ．AB →＋BA →＝0C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →D [起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0才对，故选D ．]3．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A ．13 B ．14C ．15D ．16A [因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共9个，其中两人参加同一个小组事件有(A ，A )，(B ，B )，(C ，C )，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为39＝13.选A ．]4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1D [当x <0时，－x >0，∵当x ≥0时，f (x )＝e x －1，∴f (－x )＝e －x －1．又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－e －x ＋1．故选D ．]5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( ) A ．23 B ．－23C ．25D ．13A [由题意知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]6．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A ．23B ．35C ．25D ．15B [设5只兔子中测量过某项指标的3只为a 1，a 2，a 3，未测量过这项指标的2只为b 1，b 2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a 1，a 2，a 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 1，b 1，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，(a 2，b 1，b 2)，(a 3，b 1，b 2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 3，b 1)，(a 1，a 3，b 2)，(a 2，a 3，b 1)，(a 2，a 3，b 2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B ．]7．质点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)C [设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5v .即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－5.]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1．作出f (x )的大致图像如图所示，结合图像可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D ．]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是( )A ．AD →与AB → B ．DA →与BC → C ．CA →与DC →D ．OD →与OB →AC [平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：对于A ，AD →与AB →不共线，可作为基底；对于B ，DA →与BC →为共线向量，不可作为基底；对于C ，CA →与DC →是两个不共线的向量，可作为基底；对于D ，OD →与OB →在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．]10．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，当f (x )＝2－x 时，下列结论中正确的是( )A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)C ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜fx 1＋f x 22ACD [f (x )＝2－x ，f (x 1＋x 2)＝2－(x 1＋x 2)，f (x 1)f (x 2)＝2－x 1·2－x 2＝2－(x 1＋x 2)，故A 对； f (x 1·x 2)＝2－(x 1＋x 2)≠2－x 1＋2－x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故B 错；∵f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，所以(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0，故C 对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2－(x 1＋x 2)，f x 1＋f x 22＝2－x 1＋2－x 22，由基本不等式，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22，故D 对．故选ACD ．]11．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中正确的是( ) A ．建设后，种植收入减少B ．建设后，其他收入增加了一倍以上C ．建设后，养殖收入增加了一倍D ．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半BCD [设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a .建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以建设后，种植收入减少是错误的．故选BCD ．]12．若把定义域不同，但值域相同的函数叫作“同族函数”，其中与函数g (x )＝x ＋1x，x ∈(0，＋∞)为“同族函数”的是( ) A ．f (x )＝2x －1x，x ∈(1，＋∞)B ．f (x )＝11＋x 2，x ∈RC ．f (x )＝log 2(2|x |＋1)，x ∈RD ．f (x )＝4x ＋2x ＋1＋1，x ∈R AD [函数g (x )＝x ＋1x ＝1＋1x，定义域是(0，＋∞)，值域是(1，＋∞)．对于A ，f (x )＝2x －1x，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )是单调增函数，且f (x )＞2－1＝1，∴f (x )的值域是(1，＋∞)，值域相同，是“同族函数”；对于B ，f (x )＝11＋x 2，当x ∈R 时，f (x )的值域是(0,1]，值域不同，∴不是“同族函数”；对于C ，f (x )＝log 2(2|x |＋1)，当x ∈R 时，2|x |≥1，∴log 2(2|x |＋1)≥1，∴f (x )的值域是[1，＋∞)，值域不同，不是“同族函数”；对于D ，f (x )＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x ＋1)2，当x ∈R 时，f (x )的值域是(1，＋∞)，值域相同，是“同族函数”．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上． 13．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. －7 [由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7.]14．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有________名．100 [成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．]15．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，且2f (x )－e x －m ≥0在x ∈[1,2]上恒成立，则实数m 的取值范围为________．(－∞，e－2] [由f(x)＋g(x)＝e x，①可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，即f(x)－g(x)＝e－x，②由①②，解得f(x)＝e x＋e－x2.2f(x)－e x－m≥0在x∈[1,2]上恒成立，即m≤2f(x)－e x＝e－x在x∈[1,2]上恒成立．又函数y＝e－x在[1,2]上单调递减，所以y min＝e－2，所以m≤e－2，即实数m的取值范围为(－∞，e－2]．]16．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________.(本题第一空2分，第二空3分) 3＋1 3－1 [因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1．所以a，b，a－b可构成等边三角形，且|a＋b|＝3，因为|a＋b－c|＝1，所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心、半径为1的圆上，故M＝3＋1，m＝3－1．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知向量a＝(2,0)，b＝(1,4)．(1)求2a＋3b，a－2b；(2)若向量k a＋b与a＋2b平行，求k的值．[解] (1)∵a＝(2,0)，b＝(1,4)，∴2a＋3b＝2(2,0)＋3(1,4)＝(4,0)＋(3,12)＝(7,12)，a－2b＝(2,0)－2(1,4)＝(2,0)－(2,8)＝(0，－8)．(2)依题意得k a＋b＝(2k,0)＋(1,4)＝(2k＋1,4)，a＋2b＝(2,0)＋(2,8)＝(4,8)．∵向量k a ＋b 与a ＋2b 平行， ∴8(2k ＋1)－4×4＝0，解得k ＝12.18．(本小题满分12分)为了了解中学生的体能情况，抽取了某校七年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知第1组的频数为5.(1)求第4组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人？(3)若次数在75以上(含75次)为达标，试估计该年级跳绳测试的达标率是多少？ [解] (1)第4组频率为0.008×(149.5－124.5)＝0.2. (2)设参加这次测试的人数为x ，则5x＝0.004×(74.5－49.5)＝0.1，∴x ＝50，故参加这次测试的学生有50人．(3)估计这次跳绳测试的达标率为[1－0.004×(74.5－49.5)]×100%＝90%. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图像如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图像如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在①中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的取值范围．[解] (1)由图像知，f (0)＝1＋b ＝－2，所以b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，所以a ＝3(负值舍去)，因此a ＝3，b ＝－3. (2)f (x )单调递减，所以0<a <1，又f (0)<0，即a 0＋b <0，所以b <－1．(3)由(1)得f (x )＝(3)x －3，在同一坐标系中画出函数y ＝|f (x )|和y ＝m 的图像．观察图像可知，当m ＝0或m ≥3时，两图像仅有一个交点，故|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解时，m 的取值范围是{m |m ＝0或m ≥3}．20．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，BC ＝4BD ，AC ＝3CE .(1)用AB →，AC →表示AD →，BE →；(2)M 为△ABC 内一点，且AM →＝23AB →＋29AC →，证明：B ，M ，E 三点共线．[解] (1)因为BC ＝4BD ，所以BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)＝14AC →－14AB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14AC →－14AB →＝34AB →＋14AC →.因为AC ＝3CE ，所以AE →＝23AC →，所以BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →. (2)证明：因为AM →＝23AB →＋29AC →，所以BM →＝AM →－AB → ＝－13AB →＋29AC →.因为BE →＝23AC →－AB → ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋29AC →，所以BE →＝3BM →，即BE →与BM →共线．又因为BE →与BM →有公共点B ，所以B ，M ，E 三点共线．21．(本小题满分12分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A ，B 两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B 组一同学的分数已被污损，但知道B 组学生的平均分比A 组学生的平均分高1分．(1)若在B 组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A 组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m ，n ，求|m －n |≤8的概率．[解] (1)A 组学生的平均分为94＋88＋86＋80＋775＝85(分)，∴B 组学生平均分为86分．设被污损的分数为x ，则91＋93＋83＋x ＋755＝86，解得x ＝88，∴B 组学生的分数分别为93,91,88,83,75，其中有3人的分数超过85分， ∴在B 组学生随机选1人，其所得分超过85分的概率为35.(2)A 组学生的分数分别是94,88,86,80,77，在A 组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m ，n )有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10个．随机抽取2名同学的分数m ，n 满足|m －n |≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6个．∴|m －n |≤8的概率为610＝35. 22．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．[解] (1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1>1，得1x ＋1>2，解得{x |0<x <1}． (2)log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ＋log 2(x 2)＝0有且仅有一解，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解．当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14. 综上，a ＝0或a ＝－14. (3)当0<x 1<x 2时，1x 1＋a >1x 2＋a ， log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋a >log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a ，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1，即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立．因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.。

人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f(x)＝e2x＋1，则f′(0)＝()A．0B．eC．2e D．e22．在等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为() A．27B．30C．33D．363．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a＋1b＋b＋1a的最小值为()A．3B．4 C．5D．424．函数y＝x－12x＋1在(1,0)处的切线与直线l：y＝ax垂直，则a＝() A．－3B．3C．13D．－135．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S37－S23＝a，则S60＝()A．4a B．307aC．5a D．407a6．函数f(x)＝(x2＋2x)e2x的图象大致是()7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸8．已知函数f(x)＝x3－x和点P(1，－1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为() A．1B．2C．3D．4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋211．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1<0，则下列结论正确的是()a7－1A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T612．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝12，则下列结论正确的是()A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增B．xf(x)在(0,1)单调递减C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值12D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式a n＝________.a1a9，则a n＝________，数列14.已知正项等比数列{a n}满足a1＝1，a2a6a7＝116{log2a n}的前n项和为________．15.函数f(x)＝12x2－ln x的单调递减区间是________．16.已知函数f(x)＝ln x＋mx，若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.18.(12分)已知函数f(x)＝12x2－3ln x.(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．19.(12分)设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且a3＝2，S9＝54.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a1＋3＋1a2＋3＋1a3＋3＋…＋1a100＋3>13.20.(12分)设函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．21.(12分)等差数列{a n}中，S3＝21，S6＝24，(1)求数列{a n}的前n项和公式S n；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.22.(12分)已知a，b∈R，设函数f(x)＝e x－ax－b x2＋1.(1)若b＝0，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)的最小值为0，求a＋5b的最大值．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝e 2x ＋1，则f ′(0)＝()A ．0B ．e C ．2e D ．e 2C解析：∵f (x )＝e 2x ＋1，∴f ′(x )＝2e 2x ＋1，∴f ′(0)＝2e.故选C ．2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝36，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为()A ．27B ．30C ．33D ．36B解析：因为a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝36，所以a 4＝12.因为a 2＋a 5＋a 8＝33，所以a 5＝11.所以d＝a 5－a 4＝－1，所以a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3(a 5＋d )＝30.故选B ．3．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项为2，则a ＋1b ＋b ＋1a 的最小值为()A ．3B ．4C ．5D ．42C解析：∵a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋b )＋a ＋b ab＝(a ＋b ＝54(a ＋b )≥54·2ab ＝5，等号成立当且仅当a ＝b ＝2，原式的最小值为5.4．函数y ＝x －12x ＋1在(1,0)处的切线与直线l ：y ＝ax 垂直，则a ＝()A ．－3B ．3C ．13D ．－13A解析：∵y ′＝3(2x ＋1)2，∴y ′|x ＝1＝13，∴函数在(1,0)处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是－3，∴a ＝－3.故选A ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 37－S 23＝a ，则S 60＝()A ．4aB ．307a C ．5aD ．407aB 解析：因为S 37－S 23＝a 24＋a 25＋…＋a 37＝a 24＋a 372×14＝7(a 24＋a 37)＝a .所以S 60＝a 1＋a 602×60＝30(a 24＋a 37)＝307a .故选B ．6．函数f (x )＝(x 2＋2x )e 2x 的图象大致是()A 解析：由于f ′(x )＝2(x 2＋3x ＋1)·e 2x ，而y ＝x 2＋3x ＋1的判别式Δ＝9－4＝5>0，所以y＝x 2＋3x ＋1开口向上且有两个根x 1，x 2.不妨设x 1<x 2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上递增，在(x 1，x 2)上递减．所以C ，D 选项不正确．当x <－2时，f (x )>0，所以B 选项不正确．由此得出A 选项正确．故选A ．7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸B解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n }，S n 是其前n 项和，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝85.5，所以a 5＝9.5，由题知a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝31.5，所以a 4＝10.5，所以公差d ＝a 5－a 4＝－1.所以a 12＝a 5＋7d ＝2.5尺．故选B ．8．已知函数f (x )＝x 3－x 和点P (1，－1)，则过点P 与该函数图象相切的直线条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：因为f (1)＝13－1＝0，所以点P (1，－1)没有在函数的图象上．设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－x 0，则f ′(x )＝3x 2－1.由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k ＝3x 20－1，过P (1，－1)和切点的斜率表示为k ＝y 0＋1x 0－1，－x0，3x20－1，化简可得x20(2x0－3)＝0，所以x0＝0或x0＝32.所以切点有两个，因而有两条切线方程．故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值BD解析：由题意，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2，所以S n－S n－1＝a n＝2a n－2－(2a n－1－2)＝2a n－2a n－1，所以a na n－1＝2，数列{a n}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，a n＝2n，故选项A错误，选项B正确；数列{a2n}是以a21＝4为首项，q1＝4为公比的等比数列，所以a21＋a22＋…＋a2n＝a21(1－q n1)1－q1＝4×(1－4n)1－4＝4n＋1－43，故选项C 错误；a m a n＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6为定值，故选项D正确．故选BD．10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋2AD解析：对于选项A，f(x)＝2－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·2－x为实数集上的增函数；对于选项B，f(x)＝3－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·3－x为实数集上的减函数；对于选项C，f(x)＝x3，则g(x)＝e x f(x)＝e x·x3，g′(x)＝e x·x3＋3e x·x2＝e x(x3＋3x2)＝e x·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上先减后增；对于选项D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝e x f(x)＝e x(x2＋2)，g′(x)＝e x(x2＋2)＋2x e x＝e x(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上是增函数．故选AD．11．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1a7－1<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T6AD 解析：易知q >0，若q >1，则a 6>1，a 7>1，与a 6－1a 7－1>0矛盾，故0<q <1.所以0<a 7<1.所以a 6a 8＝a 27<1.因为a 7>0，a 8>0，所以S n 的最大值一定不为S 7.因为0<a 7<1，a 6>1，所以T n 的最大值为T 6，故选AD ．12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是()A ．xf (x )在(1，＋∞)单调递增B ．xf (x )在(0,1)单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12ABD解析：由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，由[xf (x )]′＝ln xx .设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln xx>0得x ＞1.由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12.故选ABD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________.12－n 解析：∵等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，4＝a 1＋3d ＝8，8＝a 1＋7d ＝4，解得a 1＝11，d ＝－1，∴a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n .14.已知正项等比数列{a n }满足a 1＝1，a 2a 6a 7＝116a 1a 9，则a n ＝________，数列{log 2a n }的前n 项和为________．2－n ＋1－n (n －1)2解析：由a 1＝1，a 2a 6a 7＝1161a 9得a 5＝a 1q 4＝116，q ＝12，a n －1＝2－n＋1.而log 2a n ＝－n ＋1，所以{log 2a n }的前n 项和为－n (n －1)2.15.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．(0,1]解析：f (x )＝12x 2－ln x ，则f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x≤0，故0<x ≤1.16.已知函数f (x )＝ln x ＋mx，若函数f (x )的极小值不小于0，则实数m 的取值范围为________．1e，＋∞解析：由f (x )＝ln x ＋m x 得f ′(x )＝1x －m x 2＝x －mx2，定义域为(0，＋∞)．当m ≤0时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增，函数无极值；当m >0时，令f ′(x )＝0⇒x ＝m ，当x ∈(0，m )时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以当x ＝m 时，函数y ＝f (x )取极小值，且为f (m )＝ln m ＋1.依题意有ln m ＋1≥0⇒m ≥1e ，因此，实数m 的取值范围是1e ，＋∞四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第4项和第16项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 4＝8，b 16＝32.设{b n }的公差为d b 1＋3d ＝8，b 1＋15d ＝32，b 1＝2，d ＝2.从而b n ＝2＋2(n －1)＝2n .所以数列{b n }的前n 项和S n ＝(2＋2n )n2＝n 2＋n .18.(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ln x .(1)求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)试判断f (x )在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．解：(1)由已知得f ′(x )＝x －3x ，有f ′(1)＝－2，f (1)＝12，∴在(1，f (1))处的切线方程为y －12＝－2(x －1)，化简得4x ＋2y －5＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝(x －3)(x ＋3)x ，因为x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝ 3.所以当x ∈(0，3)时，有f ′(x )<0，则(0，3)是函数f (x )的单调递减区间；当x ∈(3，＋∞)时，有f ′(x )>0，则(3，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ∈(1，e)时，函数f (x )在(1，3)上单调递减，在(3，e)上单调递增．又因为f (1)＝12，f (e)＝12e 2－3>0，f (3)＝32(1－ln 3)<0，所以f (x )在区间(1，e)上有两个零点.19.(12分)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3＝2，S 9＝54.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.(1)解：设数列{a n }的公差为d ，∵S 9＝9a 5＝54，∴a 5＝6，∴d ＝a 5－a 35－3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －4.(2)证明：∵1a n ＋3＝12n －1>22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>(3－1)＋(5－3)＋…＋(201－199)＝201－1>14－1＝13，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.20.(12分)设函数f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )．(1)若a ＝2，求函数f (x )在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝e x －2x －1，取f ′(x )＝e x －2＝0，即x ＝ln 2，函数在[0，ln 2]上单调递减，在(ln 2,2]上单调递增，且f (0)＝0，f (2)＝e 2－5，f (ln 2)＝1－2ln 2，故函数的最大值为f (2)＝e 2－5，最小值为f (ln 2)＝1－2ln 2.(2)f (x )＝e x －ax －1，f ′(x )＝e x －a ，f (0)＝0.当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a >0，函数单调递增，故f (x )≥f (0)＝0，成立；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，即x ＝ln a ，故函数在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (ln a )<f (0)＝0，不成立．综上所述，a 的取值范围为(－∞，0].21.(12分)等差数列{a n }中，S 3＝21，S 6＝24，(1)求数列{a n }的前n 项和公式S n ；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，由S 3＝21，S 6＝24，a 1＋3×22d ＝21，a 1＋6×52d ＝24，1＝9，＝－2.∴S n ＝n ×9＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋10n .(2)由(1)知，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋11，由a n ≥0得－2n ＋11≥0，即n ≤112.当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋…＋|a 5|＋|a 6|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝n 2－10n ＋50.综上，T nn 2＋10n (n ≤5)，2－10n ＋50(n ≥6).22.(12分)已知a ，b ∈R ，设函数f (x )＝e x －ax －b x 2＋1.(1)若b ＝0，求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )的最小值为0，求a ＋5b 的最大值．注：e ＝2.71828…为自然对数的底数．解：(1)f (x )＝e x －ax ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，函数单调递增；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增．综上所述，a ≤0时，f (x )在R 上单调递增；a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)f (x )＝e x－ax －bx 2＋1≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，＝e －12a －52b ≥0，故a ＋5b ≤2e ，现在证明存在a ，b ，a ＋5b ＝2e ，使f (x )的最小值为0.取a ＝3e 4，b ＝5e 4(此时可使f 0)，f ′(x )＝e x －a －bx x 2＋1，f ″(x )＝e x －b (x 2＋1)x 2＋1，b ＝5e 4<1，故当x ∈[0，＋∞)时，(x 2＋1)x 2＋1≥1，e x ≥1，故f ″(x )≥0，f ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，f 0，故f (x )在0f (x )min ＝0.综上所述，a ＋5b 的最大值为2 e.。

(人教a版)高一数学必修2模块综合测评试卷(二)(有答案)AKKPMU

模块综合测试（满分120分,测试时间100分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等，②棱台的各侧棱不一定相交于一点，③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台，④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0解析:命题①中：底面多边形内接于一个圆，但并不能推测棱长相等；命题②中：由棱台的性质可知，棱台的各侧棱延长后相交于一点；命题③中:因两个直角三角形相似且对应边平行，可推出连结对应顶点后延长线交于一点，即此几何体可由一个平行于底面的平面所截，故命题③正确；命题④中:上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能：在圆周上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段. 答案：C2.图1是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( )图1解析:从三个角度看都是符合的，故选D. 答案：D3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )图2A.16πB.20πC.24πD.32π解析:由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心,即球的直径为26,根据球的表面积公式可得球的表面积为24π. 答案：C4.木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的( ) A.60倍B.3060倍C.120倍D.30120倍解析:设木星的半径为r 1,地球的半径为r 2,由题意,得302403231=r r ,则木星的表面积∶地球的表面积=.120302403024013024032231232312221=⨯=⨯=•=r r r r r r答案：C5.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图3所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=23,那么原△ABC 是一个( )图3A.等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形解析:根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2,AO=2A′O′=3.故原△ABC 是一个等边三角形. 答案：A6.已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，n ⊥α，则n ⊥m ； ③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 解析:通过举例可证明①错误,可知②③命题为正确命题. 答案：C7.点P(2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为( )A.(6,-3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3)解析:根据两点关于直线对称的特点：两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上,可得对称点为(-6,-3). 答案：D8.点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:将图形补成一个正方体如图，则PA 与BD 所成角等于BC′与BD 所成角即∠DBC′.在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA 与BD 所成角为60°.答案：C9.若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β；③l ∥α,l ⊥β⇒α⊥β．其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析:①中可由长方体的一角证明是错误的；②③易证明是正确的. 答案：C10.已知实数x 、y 满足2x+y+5=0，那么22y x +的最小值为( )A.5B.10C.52D.102解析:22y x +表示点P(x,y)到原点的距离.根据数形结合得22y x +的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离，即d=555=.答案：A11.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析:与点A （1,2）的距离为1的直线即为以点A(1,2)为圆心，以1为半径的圆的切线.与点B （3,1）的距离为2的直线即为以点B(3,1)为圆心，以2为半径的圆的切线.所以到A 、B 两点距离为1和2的直线即为两圆的公切线，因｜AB ｜=5)12()31(22=-+-，且125+<，所以两圆相交，故有两条公切线.答案：B12.矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角BACD ，则四面体ABCD 的四个顶点所在球的体积为( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125解析:连结矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，则AO=BO=CO=DO ，翻折后仍然AO=BO=CO=DO ，则O 为四面体ABCD 四个顶点所在球的圆心，因此四面体ABCD 四个顶点所在球的半径为25，故球的体积为ππ6125)25(343=. 答案：C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.圆台上、下底半径为2和3，则中截面面积为________________.解析:由圆台的性质可知中截面是一个圆，圆的直径为轴截面梯形的中位线，设中截面圆的半径为x ，故有4x=4+6，解得x=π425,25=S . 答案：π425 14.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是____________.解析:由已知可设经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点的直线方程为2x+3y-7+λ(7x+15y+1)=0，整理得(2+7λ)x+(3+15λ)y -7+λ=0.根据两直线平行关系得λ=1，代入得3x+6y-2=0. 答案：3x+6y-2=015.过A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是___________________．解析:根据圆的性质，圆的半径最小时，面积最小,即以AB 为直径端点的圆满足条件,所求方程为x 2+y 2=9. 答案：x 2+y 2=916.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为Q ，则圆锥的体积为___________.解析:设圆锥的高为h,半径为r,母线为l ,则S 侧=πr l ，S 底=πr 2，∵S 侧=2S 底,∴πr l =2πr 2，即l =2r.又l 2=r 2+h 2，解得h=r 3.又∵S 轴截面=rh=Q,∴r 2=3Q ,即r=43Q.∴h=4333Qr =.故V 圆锥=31πr 2h=433Q Q π.答案：433QQ π17.已知圆柱的高为h ，底面半径为R ，轴截面为矩形A 1ABB 1，在母线AA 1上有一点P ，且PA=a ，在母线BB 1上取一点Q ，使B 1Q=b ，则圆柱侧面上P 、Q 两点的最短距离为____________. 解析:如图甲，沿圆柱的母线AA 1剪开得矩形（如图乙），过P 作PE ∥AB 交BB 1于E ，则PE=AB=21·2πR=πR ，QE=h-a-b. ∴PQ=2222)()(b a h R QE PE --+=+π.答案：22)()(b a h R --+π18.过圆x 2+y 2=4外的一点A(4,0)作圆的割线，则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为________________. 解析:设弦的中点是P(x 0,y 0)，根据圆的几何性质得OP ⊥AP ，即点P(x 0,y 0)在以OA 为直径的圆上，即(x 0-2)2+y 02=4.因P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4内，故弦的中点的轨迹方程为(x-2)2+y 2=4，x ∈［0,1). 答案：(x-2)2+y 2=4，x ∈［0,1)三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本小题满分10分）已知直线l 垂直于直线3x-4y-7=0，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为10，求直线l 的方程.解：设直线l 方程为4x+3y+b=0，则l 与x 轴、y 轴的交点为A(4b -,0),B(0,3b -). ∴｜AB ｜=b 125.由｜OA ｜+｜OB ｜+｜AB ｜=10,得12||53||4||b b b ++=10.∴b=±10. ∴l 方程为4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.20.（本小题满分12分）圆锥底面半径为1 cm ，高为2 cm ，其有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解：过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1，如图，设正方体棱长为x ，则CC 1=x,C 1D 1=2x.作SO ⊥EF 于O ，则SO=2,OE=1, ∵△ECC 1∽△ESO,∴EOEC SO CC 11=. ∴12212x x -=. ∴x=22(cm). ∴正方体棱长为22cm. 21.（本小题满分12分）(2005江苏高考,19)如图4,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.图4解：如图，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O 1(-2,0),O 2(2,0).设P(x,y)，则PM 2=O 1P 2-O 1M 2=(x+2)2+y 2-1.同理,PN 2=(x-2)2+y 2-1．∵PM=2PN ，∴(x+2)2+y 2-1=2［(x-2)2+y 2-1］，即x 2-12x+y 2+3=0，即(x-6)2+y 2=33．这就是动点P 的轨迹方程．22.（本小题满分14分）如图5，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点.图5（1）求二面角B 1MNB 的正切值；（2）求证：PB ⊥平面MNB 1.（3）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P 、B 两点间的距离.（1）解：连结BD 交MN 于F ，连结B 1F.∵平面DD 1B 1B ⊥平面ABCD,交线为BD ，AC ⊥BD, ∴AC ⊥平面DD 1B 1B.又∵AC//MN ， ∴MN ⊥平面DD 1B 1B.∵B 1F,BF ⊂平面DD 1B 1B ， ∴B 1F ⊥MN,BF ⊥MN. ∵B 1F ⊂平面B 1MN ，BF ⊂平面BMN ，则∠B 1FB 为二面角B 1-MN-B 的平面角. 在Rt △B 1FB 中，设B 1B=1，则FB=42， ∴tan ∠B 1FB=22.（2）证明：过点P 作PE ⊥AA 1，则PE ∥DA ，连结BE. 又DA ⊥平面ABB 1A 1，∴PE ⊥平面ABB 1A 1,即PE ⊥B 1M. 又BE ⊥B 1M ，∴B 1M ⊥平面PEB. ∴PB ⊥MB 1.由（1）中MN ⊥平面DD 1B 1B,得PB ⊥MN ，所以PB ⊥平面MNB 1. （3）解：PB=213，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一：。

北师大版必修22021学年高中数学综合质量检测2

综合质量检测(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．以A (1,3)和B (－5,1)为端点，线段AB 的中垂线方程是( ) A ．3x －y ＋8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0[解析] AB 的中点为(－2,2)，k AB ＝3－11＋5＝13.中垂线的斜率k ＝－3.AB 的中垂线方程为y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0. [答案] B2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．正三棱锥B ．直三棱柱C ．正三棱台D ．正三棱柱[解析] 根据三视图原理可以推知此几何体是一个正三棱柱．故选D. [答案] D3．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，255B.⎝⎛⎭⎪⎫0，355C ．(0，5)D ．(0,25)[解析] 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.[答案] A4．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5)D ．(4，－3)[解析] 设对称点坐标为(a ，b )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．[答案] B5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面对角线A 1C 1与体对角线B 1D 所成角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°[解析] ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴B 1D 1⊥A 1C 1，且DD 1⊥A 1C 1.又B 1D 1∩DD 1＝D 1，∴A 1C 1⊥面B 1D 1D . ∴A 1C 1⊥B 1D . [答案] D6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ； ②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n α⇒m ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④[解析] ①正确，平面平行具有传递性；②错，m 可能在β内或m ∥β或m 与β相交；③正确；④错，m 可能在α内．[答案] C7．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝2关于直线y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝2 B ．(x －4)2＋(y ＋3)2＝2 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝2D ．(x －3)2＋(y －4)2＝2[解析] ∵(3，－4)关于y ＝0对称的点为(3,4)， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝2. [答案] D8．如图1所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(如图2所示)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是( )A ．SG ⊥平面EFGB ．SD ⊥平面EFGC ．GF ⊥平面SEFD ．DG ⊥平面SEF[解析] ∵SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，GE ∩GF ＝G ，∴SG ⊥平面EFG . [答案] A9．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )[解析] 由题意，得圆M ：(x －a )2＋(y ＋b )2＝a 2＋b 2. 因为圆M 过原点(0,0)，所以排除A ，C 选项．选项B ，D 中，圆心M (a ，－b )在第一象限，所以a >0，b <0，所以直线ax －y ＋b ＝0经过第一、三、四象限，故B 选项符合． [答案] B10.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P ，Q 分别为AA 1，CC 1上的点，而且满足AP ＝C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是( )A.12VB.13VC.14V D.15V [解析] 设侧面ACC 1A 1的面积为S ，点B 到侧面ACC 1A 1的距离为h ，则V B —APQC ＝13×12Sh＝13V .故选B. [答案] B11．点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为d ，则d 的取值范围是( )A ．0≤d ＜13B ．d ≥0C ．d ＞13D ．d ≥13[解析] 直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ可化为 (x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴直线l 恒过定点A (1,1)(不包括直线3x ＋2y －5＝0)， ∴|PA |＝(－2－1)2＋(－1－1)2＝13.∵PA 与直线3x ＋2y －5＝0垂直，点P (－2，－1)到直线的距离为13，∴点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为0≤d ＜13，故选A.[答案] A12．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥面SCDC ．AB 与SC 所成角等于BC 与SA 所成的角D ．平面SAB ⊥平面SBC [解析] ∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又SD ⊥平面ABCD ， ∴SD ⊥AC ，BD ∩SD ＝D ， ∴AC ⊥平面SBD ，∴AC ⊥SB ，故A 正确；又AB ∥CD ，AB 平面SCD ，CD 平面SCD ，∴AB ∥平面SCD ，故B 正确；C 显然正确．[答案] D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在z 轴上与点A (－4,1,7)和点B (3,5，－2)等距离的点C 的坐标为________． [解析] 设C 点的坐标为(0,0，z )，由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2，解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149. [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，14914．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，A 1A ⊥AC ，A 1A ⊥AB ，AA 1＝12，则球O 的表面积为________．[解析] 依题意，可将题中的三棱柱补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高依次是3,4,12，因此题中的球就是这个长方体的外接球，设球的半径为R ，则(2R )2＝32＋42＋122＝169.所以球O 的表面积为4πR 2＝169π. [答案] 169π15.如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论命题正确的序号是________．①BD ∥平面CB 1D 1 ②AC 1⊥BD ③AC 1⊥平面CB 1D 1 ④△CB 1D 1不是等边三角形 [解析] ∵BD ∥B 1D 1，∴BD ∥面CB 1D 1，故①正确；对于②， ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1又CC 1∩AC ＝C ， ∴BD ⊥面ACC 1，∴BD ⊥AC 1，故②正确；由②知BD ⊥AC 1，又BD ∥B 1D 1，∴B 1D 1⊥AC 1，同理可证AC 1⊥B 1C ，又B 1C ∩B 1D 1＝B 1，∴AC 1⊥面CB 1D 1，故③正确；又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ， ∴△CB 1D 1为等边三角形，故④不正确． [答案] ①②③16．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－4x ＋y 2＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值为________．[解析] ∵A (－2,0)，B (0,2)， ∴|AB |＝(0＋2)2＋(2－0)2＝22，且直线AB ：x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，∴C 到AB 的最小距离d ＝|2－0＋2|2－2＝22－2，∴S △ABC min ＝12×22×(22－2)＝4－2 2.[答案] 4－2 2三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)当a 为何实数时，(1)直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行； (2)直线2x ＋ay ＝2与直线ax ＋2y ＝1垂直．[解] (1)当a ≠0时，由3a －11＝－a 2a ≠－1－1，得两条直线平行，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a －1≠1，3a －1＝－12，∴a ＝16.当a ＝0时，两直线方程分别为x －1＝0和x ＋1＝0，显然平行．故当a ＝0或16时，两直线平行．(2)解法一：当a ≠0时，由－2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1知，两直线垂直，但此方程无解，因此两直线不可能垂直；当a ＝0时，两直线分别为x ＝1和y ＝12，显然两条直线垂直，故当a ＝0时，两直线垂直．解法二：利用两直线垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，此种解法可避免漏解．即2·a ＋a ·2＝0，即4a ＝0，∴a ＝0.18．(本小题满分12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．[解] 由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝7π4.19．(本小题满分12分)已知平面内两点A (8，－6)，B (2,2)． (1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．[解] (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2，所以AB 的中点坐标为(5，－2)，因为k AB ＝－6－28－2＝－43，所以AB 的中垂线的斜率为34，故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5)即3x －4y －23＝0. (2)由(1)知k AB ＝－43，所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2,2)关于直线l 的对称点B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－145，n ＝－85，所以B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－145，－85，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127，所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)．即11x ＋27y ＋74＝0.20．(本小题满分12分)过点P (－2，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B .求：(1)经过圆心C ，切点A ，B 这三点的圆的方程； (2)直线AB 的方程． [解] (1)如图所示，连接CA，CB.由平面几何知识知，CA⊥PA，CB⊥PB.则点P，A，C，B共圆，且CP为直径．∵P(－2，－3)，圆心坐标为C(4,2)，∴所求圆的方程为(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0.(2)直线AB即为这两圆的公共弦所在直线．由x2＋y2－2x＋y－14＝0与(x－4)2＋(y－2)2＝9相减，得6x＋5y－25＝0.21．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC—A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A＝AB＝6，D为AC的中点．(1)求三棱锥C1—BCD的体积；(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；(3)求证：直线AB 1∥平面BC 1D .[解] (1)∵△ABC 为正三角形，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC .由AB ＝6可知，CD ＝3，BD ＝33，∴S △BCD ＝12·CD ·BD ＝932. 又∵A 1A ⊥底面ABC ，且A 1A ＝AB ＝6，∴C 1C ⊥底面ABC ，且C 1C ＝6，∴VC 1－BCD ＝13·B △BCD ·C 1C ＝9 3. (2)证明：∵A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1A ⊥BD .又BD ⊥AC ，A 1A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1.又BD 平面BC 1D ，∴平面BC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(3)证明：连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ，在△B 1AC 中，D 为AC 中点，O 为B 1C 中点，所以OD ∥AB 1，又OD 平面BC 1D ，AB 1平面BC 1D ，∴直线AB 1∥平面BC 1D .22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°.PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2.(1)求四棱锥P —ABCD 的体积V ；(2)若F 为PC 的中点，求证：PC ⊥平面AEF ；(3)求证：EC ∥平面PAB .[解] (1)在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°， ∴BC ＝3，AC ＝2.在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°， ∴CD ＝23，AD ＝4.∴S 四边形ABCD ＝12AB ·BC ＋12AC ·CD ＝12×1×3＋12×2×23＝532，则V ＝13×532×2＝533. (2)证明：∵PC ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC .∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥PC .∵E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，∴EF ∥CD ，∴EF ⊥PC .∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF .(3)证明：如图，取AD 的中点M ，连接EM ，CM ，则EM∥PA.∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°.∵∠BAC＝60°，∴MC∥AB.∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB. ∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB.∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB.。

2021学年高中人教版数学A版必修2(课时作业与单元测试卷)：模块综合检测

模块综合检测班级|____姓名____考号____分数____本试卷总分值150分,考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分．在以下各题的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．假设α∥β ,a⊂α ,b⊂β ,那么a与b的位置关系是()A．平行或不共面B．相交C．不共面D．平行答案：A解析：满足条件的情形如下：2．假设k<0 ,b<0 ,那么直线y＝kx＋b不通过()A．第|一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：∵k<0 ,∴必过第二、四象限．∵b<0 ,∴必过第三象限,所以直线不通过第|一象限．3．以下关于直线l、m与平面α、β的命题中,正确命题是()A．假设l⊂β ,且α⊥β ,那么l⊥αB．假设l⊥β ,且α∥β ,那么l⊥αC．假设l⊥β ,且α⊥β ,那么l⊥αD．假设α∩β＝m ,且l∥m ,那么l∥α答案：B解析：本小题考查空间想象能力,由线面平行垂直的相互转化可知选项B正确．4．各顶点都在一个球面上的正四棱柱(侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱柱)的高为2 ,这个球的外表积为6π ,那么这个正四棱柱的体积为()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：设正四棱柱的底面边长是a,球半径是R,那么有4πR2＝6π ,4R2＝6.2a2＋22＝2R,2a2＝4R2a2＝2 ,选B.5．一个空间几何体的三视图如右图所示,那么该几何体的体积为()A．1B．2C．4D．8答案：B解析：V ＝13×12(1＋2)×2×2＝2.6．两圆C 1：x 2＋y 2＝r 2与C 2：(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r ＞0)相切 ,那么r 的值为( ) A.10－1B.102C.10D.10－1或10＋1 答案：B解析：∵两圆相切且半径相等 , ∴|OO 1|＝2r .∴r ＝102.7．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直 ,那么这两条直线的交点坐标为( )A ．(－25 ,－65)B ．(25 ,－65)C ．(25 ,65)D ．(－25 ,65)答案：C解析：由题意知：a ＝1 ,∴2x ＋y －2＝0 ,x －2y ＋2＝0 ,解得x ＝25 ,y ＝65,应选C.8．与圆C ：x 2＋(y ＋5)2＝3相切 ,且其纵截距和横截距相等的直线共有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．6条答案：C解析：因为原点在圆外 ,过原点的两条切线在两轴上的截距相等 ,假设切线不过原点 ,设切线方程x ＋y ＝a (a ≠0) ,圆心(0 ,－5) ,r ＝ 3 ,故有|0－5－a |2,∴a ＝－5±6 ,于是在两轴上截距相等 ,斜率为－1的直线又有2条 ,故共有4条． 9．一束光线从点A (4,1)出发经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝2上的最|短路程是( )A.13 B ．213 C.13＋ 2 D.13－ 2 答案：D解析：A (4,1)关于x 轴的对称点为B (4 ,－1) ,圆心C (2,2) ,那么A 点经x 轴反射到圆上的最|短路程为|BC |－r ＝13－ 2.10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 ,AB ＝ 2 ,BC ＝4 ,AA 1＝ 6 ,那么AC 1和底面ABCD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 答案：A 解析：如下图 ,连结AC ,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中 ,CC 1⊥底面ABCD ,所以∠C 1AC 就是AC 1与底面ABCD 所成的角．因为AB ＝ 2 ,BC ＝4 ,AA 1＝ 6 ,所以CC 1＝AA 1＝ 6 ,AC 1＝2 6.所以在Rt △ACC 1中 ,sin ∠C 1AC ＝CC 1AC 1＝62 6＝12.所以∠C 1AC ＝30°.11．如下图 ,四棱锥P －ABCD ,底面ABCD 为菱形 ,且P A ⊥底面ABCD ,M 是PC 上的任意一点 ,那么以下选项能使得平面MBD ⊥平面PCD 的是( )A ．M 为PC 的中点B ．DM ⊥BC C ．DM ⊥PCD ．DM ⊥PB 答案：C 解析：∵底面ABCD 为菱形 ,那么BD ⊥AC ,P A ⊥底面ABCD ,那么P A ⊥BD ,P A ∩AC ＝A ,∴BD ⊥平面P AC ,∵PC ⊂平面P AC ,∴BD ⊥PC ,假设是DM ⊥PC ,那么有PC ⊥平面MBD ,而PC ⊂平面PCD ,∴平面MBD ⊥平面PCD ,故C 成立．12．矩形ABCD 中 ,AB ＝4 ,BC ＝3 ,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D ,那么四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3答案：C解析：取AC 的中点O . ∵O 到各顶点距离相等 ,∴O 是球心 ,∴2R ＝5 ,R ＝52.∴V 球＝43π⎝⎛⎭⎫523＝125π6,应选C.二、填空题：本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分．把答案填在题中横线上． 13．直线x ＋y ＋1＝0截圆x 2＋y 2－4x ＋2y －5＝0所得的弦长为________．答案：4 2解析：由题意知：圆的半径为10 ,圆心(2 ,－1)到直线x ＋y ＋1＝0为 2 ,又半弦长、圆半径、弦心距构成直角三角形 ,故所求弦长为210－2＝4 2.14．假设直线(m ＋1)x －y －(m ＋5)＝0与直线2x －my －6＝0平行 ,那么m ＝________. 答案：－2解析：由题意知：m ＋1＝2m,解得：m ＝1或－2.当m ＝1时 ,两直线方程均为2x －y －6＝0 ,两直线重合；当m ＝－2时 ,直线为x ＋y ＋3＝0 ,x ＋y －3＝0 ,两直线平行．15．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等 ,M 是侧棱CC 1的中点 ,那么异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．答案：90°解析：作BC 的中点N ,连接AN ,那么AN ⊥面BCC 1B 1 , 连结B 1N ,那么B 1N 是AB 1在面BCC 1B 1的射影．所以B 1N ⊥BM ,AB 1⊥BM ,即异面直线AB 1与BM 所成角大小为90°. 16．m 、n 是不同的直线 ,α、β是不重合的平面 ,给出以下命题： ①假设α∥β ,m ⊂α ,n ⊂β ,那么m ∥n ； ②假设m ,n ⊂α ,m ∥β ,那么α∥β； ③假设m ⊥α ,n ⊥β ,m ∥n ,那么α∥β；④m ,n 是两条异面直线 ,假设m ∥α ,m ∥β ,n ∥α ,n ∥β ,那么α∥β.其中 ,正确的命题是__________．(写出所有正确命题的序号)答案：③④解析：①中 ,假设α∥β ,m ⊂α ,n ⊂β ,那么可能m ∥n 或m 、n 异面 ,故①错误； ②中 ,假设m 、n ⊂α ,m ∥β ,那么只有当m 与n 不平行且n ∥β时 ,α∥β ,故②错误；③中 , ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥αn ⊥β⇒α∥β ,故③正确． ④中 ,由m ∥α ,可过m 作一平面与α相交于m 1 ,于是m ∥m 1 ,同理 ,由m ∥β ,可知在β内存在直线m 2 ,使m ∥m 2 ,这样就有m 1∥m 2 ,而m 1⊂α ,m 2⊂β ,所以可得m 1∥β ,同理在α内有直线n 1∥β ,根据m 、n 异面知m 1、n 1相交 ,所以α∥β ,故④正确．三、解答题：本大题共5小题 ,共70分 ,解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 ,求以下直线l ′的方程 ,l ′满足： (1)过点(－1,3) ,且与l 平行； (2)与直线l 关于y 轴对称．解：(1)∵l ∥l ′ ,∴l ′的斜率为－34 ,∴直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1) ,即3x ＋4y －9＝0.(2)l 与y 轴交于点(0,3) ,该点也在直线l ′上 ,在直线l 上取一点A (4,0) ,那么点A 关于y 轴的对称点A ′(－4,0)在直线l ′上 ,所以直线l ′经过(0,3)和(－4,0) ,故直线l ′的方程为3x －4y ＋12＝0.18．(12分)直线l 经过两点(2,1) ,(6,3)． (1)求直线l 的方程；(2)圆C 的圆心在直线l 上 ,并且与x 轴相切于点(2,0) ,求圆C 的方程．解：(1)由 ,直线l 的斜率k ＝3－16－2＝12所以 ,直线l 的方程为x －2y ＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l 上 ,可设圆心坐标为(2a ,a ) , 因为圆C 与x 轴相切于(2,0)点 ,∵圆心在直线x ＝2上 , ∴a ＝1 ,∴圆心坐标为(2,1) ,半径为1 ,∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 19．(12分)一个几何体的三视图如下图 ,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形 ,俯视图为一个矩形与它的一条对角线．(1)用斜二测画法画出这个几何体的直观图； (2)求该几何体的外表积；(3)在几何体直观图中 ,在线段PB 上是否存在点M ,使得PB ⊥平面MAC ?假设存在 ,求线段PM 的长；假设不存在 ,请说明理由．解：(1)直观图如下图．(2)由三视图得 ,底面ABCD 为正方形 , PD ⊥底面ABCD , 那么PD ⊥BC ,而底面ABCD 为正方形 ,BC ⊥DC , 所以BC ⊥平面PCD , 从而BC ⊥PC , 同理 ,AB ⊥AP ,因此 ,四个侧面都是直角三角形 ,即S △P AD ＝S △PCD ＝12×4×4＝8 ,S △P AB ＝S △PCB ＝12×4×4 2＝8 2.所以 ,几何体的外表积为S ＝16＋16 2＋16＝32＋16 2. (3)设DB 与AC 相交于点E ,在△PDB 中 ,作EM ⊥PB 于M , ∵PD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴AC ⊥PD ,由于ABCD 为正方形 ,那么AC ⊥DB ,又DB ∩PD ＝D ,∴AC ⊥平面PBD ∴AC ⊥PB ,又∵AC ∩EM ＝E , 那么PB ⊥平面MAC .在Rt △PDB 中 ,PD ＝4 ,DB ＝4 2 ,EB ＝2 2 ,PB ＝4 3 ,BM ＝EB ×cos ∠DBP ＝EB ×DB PB ＝43 3 ,那么PM ＝PB －BM ＝4 3－43 3＝833 ,故线段PB 上存在点M ,使得PB ⊥平面MAC ,且PM ＝833.20．(12分)如图 ,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中 ,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AB ＝ 2 ,AD ＝2 ,BC ＝4 ,AA 1＝2 ,E 是DD 1的中点 ,F 是平面B 1C 1EF 与直线AA 1的交点．求证：(1)EF ∥A 1D 1； (2)BA 1⊥平面B 1C 1EF .证明：(1)因为C 1B 1∥A 1D 1 ,C 1B 1⊄平面ADD 1A 1 ,所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA , 又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1EF ＝EF , 所以C 1B 1∥EF ,所以A 1D 1∥EF .(2)因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1 ,所以BB 1⊥B 1C 1 ,又因为B 1C 1⊥B 1A 1 , 所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1 ,所以B 1C 1⊥BA 1 ,在矩形ABB 1A 1中 ,F 是AA 1的中点 ,tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝22,即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ,故BA 1⊥B 1F ,所以BA 1⊥平面B 1C 1EF .21．(12分)实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0 ,(1)求yx的最|值；(2)求y －x 的最|小值；(3)求x 2＋y 2的最|大值和最|小值．解：(1)设yx＝k ,即y ＝kx ,由圆心(2,0)到y ＝kx 距离为半径时 ,直线与圆相切．∴|2k －0|1＋k 2＝ 3 ,∴k ＝±3.∴k max ＝ 3 ,k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ,那么y ＝x ＋b . ∴|2－0＋b |2＝ 3.∴b ＝－2±6.∴(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上点与原点距离的平方． ∴(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋4 3. (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3. 22．(12分)如图 ,在直角梯形ABCD 中 ,∠A ＝∠D ＝90° ,AB <CD ,SD ⊥平面ABCD ,AB ＝AD ＝a ,SD ＝2a(1)求证：平面SAB ⊥平面SAD ；(2)设SB 的中点为M ,当CDAB为何值时 ,能使DM ⊥MC ?请给出证明．解：(1)证明：∵∠BAD ＝90° ,∴AB ⊥AD . 又SD ⊥平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD , ∴SD ⊥AB ,∴AB ⊥平面SAD .又AB ⊂平面SAB ,∴平面SAB ⊥平面SAD .(2)当CDAB＝2时 ,能使DM ⊥MC .连接BD ,∵∠BAD ＝90° ,AB ＝AD ＝a , ∴BD ＝2a ,∴SD ＝BD ,∠BDA ＝45°. 又M 为SB 的中点 , ∴DM ⊥SB .①设CD 的中点为P ,连接BP , 那么DP ∥AB ,且DP ＝AB .∴BP ∥AD ,∴BP ⊥CD ,∴BD ＝BC . 又∠BDC ＝90°－∠BDA ＝45° ,∴∠CBD ＝90° ,即BC ⊥BD .又BC⊥SD.∴BC⊥平面SBD.∴DM⊥BC.②由①②知DM⊥平面SBC.∴DM⊥MC.。

2020-2021人教版数学第二册模块综合测评含解析

2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册模块综合测评含解析模块综合测评(时间:120分钟，满分：150分)一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足（z－1)i＝1＋i，则z等于（)A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋iC[由(z－1)i＝1＋i,两边同乘以－i，则有z－1＝1－i,所以z ＝2－i.]2．已知向量a与b的夹角为30°，且｜a｜＝1，|2a－b｜＝1，则｜b｜等于（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!C［由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝错误!|b｜,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2错误!｜b|＋b2＝1,由此求得|b｜＝错误!，故选C．］3．设z＝11＋i＋i，则｜z|等于（）A．12B．错误!C．错误!D．2B[∵z＝错误!＋i＝错误!＋i＝错误!＋i＝错误!＋错误!i，∴|z|＝错误!＝错误!.]4．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40），[40，60)，［60,80)，[80，100］．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（）A．45 B．50C．55 D．60B[由频率分布直方图，知低于60分的频率为（0.01＋0.005)×20＝0.3。

∴该班学生人数n＝错误!＝50。

2021-2022学年新教材高中数学模块综合测评(含解析)北师大版必修第二册

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3B [如图，将向量a ，b 的起点都移到原点，即a ＝OA →，b ＝OB →，则|a －b |＝|BA →|且∠xOA ＝75°，∠xOB ＝15°，于是∠AOB ＝60°，又因为|a |＝|b |＝1，则△AOB 为正三角形，从而|BA →|＝|a －b |＝1.]2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x 的最小正周期为( )A ．2π3B ．π3C ．8D ．4A [y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－3x ，所以T ＝2π|－3|＝2π3.]3．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，则tan αtan β等于( )A ．14B ．－14C ．16D ．－16B[因为cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β－sin αsin β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A ．32B ．3C ． 6D ．6B [由sin 2B ＝2sin A sinC 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.]5．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A ．152B ．152C ．7D ．18A [∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236×（22）2－12×22×3×cos π4＋32＝152.]6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D [法一：由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．法二：如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．]图1 图27．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8D [取BC 的中点D ，连接AD ，OD (图略)，则有OD ⊥BC .∵AD →＝12(AB →＋AC →)，AO →＝AD →＋DO →，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8，故选D.]8．函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4[cos (x ＋π4)－sin (x ＋π4)]在一个周期内的图象是( )A BC DB [y ＝(22cos x －22sin x ＋22sin x ＋22cos x )·(22cos x －22sin x －22sinx －22cos x )＝2cos x ·(－2sin x )＝－2sin x cos x ＝－sin 2x ，故选B.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知复数z ＝i1－2i ，则以下说法正确的是( )A ．复数z 的虚部为i5B ．z 的共轭复数z －＝25－i5C ．|z |＝55D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限CD [∵z ＝i 1－2i ＝i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－25＋15i ，∴复数z 的虚部为15，z 的共轭复数z －＝－25－i 5，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝55，复平面内与z 对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，15，在第二象限．故选CD.]10．已知A ，B ，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂αB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈α，A ∈l ，l ⊄α⇒l ∩α＝AABD [对于选项A ：由基本事实2知，l ⊂α，故选项A 正确；对于选项B ：因为α，β表示不同的平面，由基本事实3知，平面α，β相交，且α∩β＝AB ，故选项B 正确；对于选项C ：l ⊄α分两种情况：l 与α相交或l ∥α.当l 与α相交时，若交点为A ，则A ∈α，故选项C 错误；对于选项D ：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D 成立；故选ABD.] 11．已知函数f ()x ＝2cos 22x －2，下列命题中的真命题有( ) A ．∃β∈R ，f ()x ＋β为奇函数B ．∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立C ．∀x 1，x 2∈R ，若||f ()x 1－f ()x 2＝2，则||x 1－x 2的最小值为π4D ．∀x 1，x 2∈R ，若f ()x 1＝f ()x 2＝0，则x 1－x 2＝k π()k ∈Z BC [由题意f ()x ＝2cos 22x －2＝cos4x －1； ∵f ()x ＝cos 4x －1的图象如图所示；函数f ()x ＋β的图象是f ()x 的图象向左或向右平移||β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；若 f ()x ＝f ()x ＋2α，∴cos 4x －1＝cos ()4x ＋8α－1，∴8α＝2k π，∴α＝k π4，k ∈Z ；又∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴取α＝π4或π2时，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立，故B 正确；||f ()x 1－f ()x 2＝||cos 4x 1－cos 4x 2＝2时，||x 1－x 2的最小值为T2＝2π2×4＝π4，故C 正确；当f ()x 1＝f ()x 2＝0时， x 1－x 2＝kT ＝k ·2π4＝k π2()k ∈Z ，故D 错误；故选BC.]12．如图，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是( )A ．若PB ＝2PE ，则EF ∥平面PACB ．若PB ＝2PE ，则四棱锥P ABCD 的体积是三棱锥E ACB 体积的6倍C ．三棱锥P ADC 中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACEAD [对于选项A ，因为PB ＝2PE ，所以E 是PB 的中点，因为F 是AB 的中点，所以EF ∥PA ，因为PA ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PAC ，故A 正确；对于选项B ，因为PB ＝2PE ，所以V P ABCD ＝2V E ABCD ，因为AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，所以梯形ABCD 的面积为12()CD ＋AB ·AD ＝12×()1＋2×1＝32，S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，所以V E ABCD ＝32V E ABC ，所以V P ABCD ＝3V E ABC ，故B 错误；对于选项C ，因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC ，PC ⊥CD ，所以△PAC ，△PCD 为直角三角形，又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥CD ，则△ACD 为直角三角形，所以PA 2＝PC 2＋AC 2＝PC 2＋AD 2＋CD 2，PD 2＝CD 2＋PC 2，则PA2＝PD2＋AD2，所以△PAD是直角三角形，故三棱锥PADC的四个面都是直角三角形，故C错误；对于选项D，因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC，在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝2，在直角梯形ABCD中，BC＝AD2＋()AB－CD2＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，因为BC∩PC＝C，所以AC⊥平面BCP，因为AC⊂平面ACE，所以平面BCP⊥平面ACE，故D正确，故选AD.]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝________．5 [∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，则|z|＝（－3）2＋4212＋22＝ 5.]14．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．±3 [因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a －λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)·(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.]15．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．60°[如图，取A 1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°.]16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上是减少的； ④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位长度后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．①②③ [f (x )＝cos (2x －π3)＋cos (2x ＋π6)＝cos (2x －π3)＋cos [π2＋(2x －π3)] ＝cos (2x －π3)－sin (2x －π3)＝2cos (2x －π3＋π4)＝2cos (2x －π12)，所以①②③正确，④错误．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设向量e 1，e 2的夹角为60°且|e 1|＝|e 2|＝1，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2).(1)证明：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量2e 1＋e 2与向量e 1＋k e 2垂直． [解] (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2，所以BD →＝5AB →，即AB →，BD →共线，又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为(2e 1＋e 2)⊥(e 1＋k e 2)，所以(2e 1＋e 2)·(e 1＋k e 2)＝0，2e 21＋2k e 1·e 2＋e 1·e 2＋k e 22＝0，即2＋k ＋12＋k ＝0，解得k ＝－54.18．(本小题满分12分)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin (α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin (α－β)＝－35，所以cos (α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos (x －π3)－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ).由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z ).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝[－π12，π4].所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上是递增的，在区间[－π4，－π12]上是递减的．20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .[证明] (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin ∠ADB ，由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5.22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ，AB ＝2A 1A ＝4，以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接A 1D ，DC 1.(1)求证：DC 1∥平面A 1ABB 1； (2)若二面角A 1－DC －A 为45°； ①求证：平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD ；②求直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值．[解] (1)证明：连接AB 1，∵AD ∥BC ∥B 1C 1且AD ＝BC ＝B 1C 1， ∴四边形ADC 1B 1为平行四边形，∴AB 1∥DC 1，又∵AB 1⊂平面A 1ABB 1，DC 1⊄平面A 1ABB 1，∴DC 1∥平面A 1ABB 1. (2)①证明：取DC 的中点M ，连接A 1M ，AM .易知Rt △A 1AD ≌Rt △A 1AC ，∴A 1D ＝A 1C ，∴A 1M ⊥DC ，又AM ⊥DC ，∴∠A 1MA 为二面角A 1DC A 的平面角，∴∠A 1MA ＝45°. ∴在Rt △A 1AM 中，AA 1＝AM ＝2，∴AD ＝AC ＝22， ∴AC 2＋AD 2＝DC 2，∴AC ⊥AD ，又∵AC ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， ∴AC ⊥平面A 1AD ，又∵AC ∥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面A 1AD . ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1D ，∴平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD . ②∵AB 1∥C 1D ，∴C 1D 与平面A 1AD 所成角与AB 1与平面A 1AD 所成角相等．由①知C 1A 1⊥平面A 1AD ，∴A 1D 为C 1D 在平面A 1AD 内的射影，故∠A 1DC 1为直线DC 1与平面A 1AD 所成角，在Rt △A 1DC 1中，tan ∠A 1DC 1＝A 1C 1A 1D ＝63，∴直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值为63.。

2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评含解析北师大版选择性必修第二册

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,则下列结论正确的是()A.S n =na n -2n (n-1)B.S n =na n +2n (n-1)C.S n =na n -n (n-1)D.S n =na n +n (n-1)等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,∴S n =na 1+n (n -1)2×2=na n -n (n-1).2.如图,直线l 是曲线y=f (x )在x=2处的切线,则f'(2)=()A.1B.2C.3D.4l 与曲线y=f (x )相切的切点为(2,3),直线l 经过点(0,1), 可得直线l 的斜率为k=3-12-0=1,由导数的几何意义可得f'(2)=k=1.3.已知函数f (x )=2x 3-6x 2-18x+1在区间(m ,m 2-2m )内单调递减,则实数m 的取值X 围是 ()A.(-3,0)B.[-1,0)C.(3,5)D.(5,7)f (x )=2x 3-6x 2-18x+1,∴f'(x )=6x 2-12x-18=6(x-3)(x+1),令f'(x )<0,则-1<x<3,即函数f (x )的单调递减区间为(-1,3).∵f (x )在区间(m ,m 2-2m )上单调递减,∴{m 2-2m >m ,m ≥-1,m 2-2m ≤3,解得-1≤m<0.∴实数m 的取值X 围是[-1,0).4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 019,S 20192019−S20042004=15,则S 2 020=()A.2 020B.2 019C.0D.-2 020{a n}的公差为d,∵S20192019−S20042004=a1+20182d-a1+20032d=152d=15,∴d=2,∴S2020=2020×(-2019)+2020×20192×2=0.5.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,可得a>0,b>0,又a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,∴ab=4.∵点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,∴2a+2b-10=0,即a+b=5,∴p=5,q=4,∴p+q=9.6.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=1,对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,则不等式xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)的解集是()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=2,因为任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,所以g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即g(x)在R上单调递减,由xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)可得(x+1)f(x+1)>g(2),即g(x+1)>g(2),所以x+1<2,即x<1.7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,….该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-a22)+(a2a4-a32)+(a3a5-a42)+…+(a2 013a2 015-a20142)=()A.1B.0C.1 007D.-1 006a1a3-a22=1×2-1=1,a 2a 4-a 32=1×3-22=-1, a 3a 5-a 42=2×5-32=1.所以(a 1a 3-a 22)+(a 2a 4-a 32)+(a 3a 5-a 42)+…+(a 2013a 2015-a 20142)=1+(-1)+1+(-1)+…+1=1.8.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若函数f (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x 存在极值,则角B 的取值X 围是() A.0,π3 B.π6,π3C.π3,π D.π6,πf (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x ,∴f'(x )=x 2+bx+14(a 2+c 2-ac ),∵f (x )存在极值,∴f'(x )=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4×14(a 2+c 2-ac )>0,即a 2+c 2-b 2<ac ,由余弦定理知,cos B=a 2+c 2-b 22ac<ac 2ac=12,∵B ∈(0,π),∴B ∈π3,π.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数列{a n }的公比为q ,前4项的和为a 1+14,且a 2,a 3+1,a 4成等差数列,则q 的值可能为 ()A.1B.1C.2D.3a 2,a 3+1,a 4成等差数列,所以a 2+a 4=2(a 3+1),因此,a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+3a 3+2=a 1+14, 故a 3=4.又{a n }是公比为q 的等比数列, 所以由a 2+a 4=2(a 3+1), 得a 3q+1q=2(a 3+1),即q+1q=52,解得q=2或12.10.已知定义在0,π2上的函数f (x ),f'(x )是f (x )的导函数,且恒有cos xf'(x )+sin xf (x )<0成立,则() A.fπ6>√2fπ4 B.√3f π6>fπ3C.fπ6>√3fπ3D.√2fπ6>√3fπ4解析根据题意,令g(x)=f(x)cosx ,x∈0,π2,则其导数g'(x)=f'(x)·cosx+sinx·f(x)cos2x,又由x∈0,π2,且恒有cos x·f'(x)+sin x·f(x)<0, 则有g'(x)<0,即函数g(x)为减函数,又由π6<π3,则有gπ6>gπ3,即f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3,分析可得fπ6>√3fπ3;又由π6<π4,则有gπ6>gπ4,即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4,分析可得√2fπ6>√3fπ4.11.设正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则()A.a2a9的最大值为10B.a2+a9的最大值为2√10C.1a22+1a92的最大值为15D.a24+a94的最小值为200正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20=(a2+a9)2,∴a22+a92=20.①a2a9≤12(a22+a92)=10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故A选项正确.②∵a2+a922≤12(a22+a92)=10,∴a2+a92≤√10,a2+a9≤2√10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故B选项正确.③1a22+1a92=a22+a92a22a92=20a22a92≥20(a22+a922)2=20102=15,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,∴1a22+1a92的最小值为15,故C选项错误.④结合①的结论,有a24+a94=(a22+a92)2-2a22a92≥400-2×102=200,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故D选项正确.12.关于函数f(x)=1x+ln x,下列说法正确的是()A.f(1)是f(x)的极小值B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.f(x)在(-∞,1)内单调递减D.设g(x)=xf(x),则g1e<g(√e)函数f(x)的定义域为{x|x>0},故C错误.f'(x)=-1x2+1x=-1+xx2在(0,1)上f'(x)<0,f(x)单调递减, 在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)极小值=f(1)=1,故A正确.②y=f(x)-x=1x+ln x-x,y'=-1x2+1x-1=-x2+x-1x2=-(x-12)2-34x2<0,所以函数y=f(x)-x=1x+ln x-x,在(0,+∞)上单调递减,x=1时y=0,所以y=f(x)-x有且只有一个零点,故B正确.③g(x)=xf(x)=1+x ln x,g'(x)=x·1x+ln x=1+ln x,所以在(e-1,+∞)上,g'(x)>0,g(x)单调递增,在(0,e-1)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)最小值=g(e-1)=g1e,所以g1e<g(√e),故D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知f(x)=x3+x2f'(1)+2x,则f'(1)的值为.5,f(x)=x3+x2f'(1)+2x,其导数f'(x)=3x2+2f'(1)x+2,令x=1,得f'(1)=3+2f'(1)+2,所以f'(1)=-5.14.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S n+S n+4=2S n+2(n∈N+),且S1=2,则a2 020+a2 021=.或4{a n}的公比为q,由S n+S n+4=2S n+2可得S n+4-S n+2=S n+2-S n,即a n+4+a n+3=a n+1+a n+2,∴q2(a n+2+a n+1)=a n+2+a n+1,若a n+2+a n+1=0,则q=-1,此时a n=2·(-1)n-1,若a n+2+a n+1≠0,则q=1,此时a n=2,故a2020+a2021=0或a2020+a2021=4.15.将自然数1,2,3,4,…排成数阵(如图所示),在2处转第一个弯,在3处转第二个弯,在5处转第三个弯,……,则转第100个弯处的数是.1起每一个转弯时递增的数字,可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4,…”,即第一、二个转弯时递增的数字都是1,第三、四个转弯时递增的数字都是2,第五、六个转弯时递增的数字都是3,第七、八个转弯时递增的数字都是4,……故在第100个转弯处的数为:1+2(1+2+3+ (50)=1+2×50(1+50)2=2551.16.已知f(x)=x3-4x,若过点A(-2,0)的动直线l与f(x)有三个不同交点,这三个交点自左向右分别为A,B,C,设线段BC的中点是E(m,t),则m=;t的取值X围为.-3,24),作出如下的函数图象,设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),l :y=k (x+2), 由x 3-4x=k (x+2),得(x+2)(x 2-2x-k )=0,所以x 1,x 2是方程x 2-2x-k=0的两个根,所以m=x 1+x 22=22=1.因为f (x )=x 3-4x ,所以f'(x )=3x 2-4,过点A 作f (x )的切线,设切点为P (x 0,y 0)(x 0≠-2), 则f'(x 0)=y 0-0x 0+2=x 03-4x 0x 0+2,即x 02+x 0-2=0,解得x 0=1或-2(舍负),此时切线的斜率为f'(1)=-1,切线方程l 1为y-0=-(x+2),即y=-x-2,因为f'(-2)=8,所以函数f (x )在点A 处的切线方程l 2为y-0=8(x+2),即y=8x+16, 因为两条切线l 1和l 2与x=m=1的交点纵坐标分别为-3和24, 所以t 的取值X 围为(-3,24).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,其导函数为f'(x ),且f'(-1)=0.(1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求函数f (x )在[-1,1]上的最大值和最小值.函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,可得f'(x )=3ax 2+x-2,∵f'(-1)=0,∴3a-1-2=0,解得a=1, ∴f (x )=x 3+12x 2-2x ,f'(x )=3x 2+x-2, ∴f (1)=-12,f'(1)=2.∴曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为4x-2y-5=0.(2)由(1),当f'(x )=0时,解得x=-1或x=23,当x 变化时,f (x ),f'(x )的变化情况如下表:-1,2323,1) -0+∴f (x )的极小值为f23=-2227,又f (-1)=32,f (1)=-12,∴f (x )max =f (-1)=32,f (x )min =f23=-2227.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2+2kn (其中k ∈N +),且S n 的最大值为16. (1)求常数k 的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)记数列9-a n 2n的前n 项和为T n ,证明:T n <4.S n =-n 2+2kn=-(n-k )2+k 2,∵k ∈N +,∴当n=k 时,S n 取得最大值k 2,∴k 2=16, ∴k=4.(2)由(1)得,S n =-n 2+8n ,∴当n=1时,a 1=S 1=7;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=9-2n ,∵a 1=7符合上式,故{a n }的通项公式为a n =9-2n (n ∈N +). (3)由(2)得9-a n 2n =n 2n -1.∴T n =120+221+322+…+n 2n -1,∴12T n =121+222+323+…+n -12n -1+n2n ,两式相减得,12T n =120+121+122+…+12n -1−n2n =1×(1-12n )1-12−n 2n =2-12n -1−n2n ,∴T n =4-n+22n -1<4.故命题得证.19.(12分)已知函数f (x )=ln(ax )-x (a>0)在(0,+∞)上有极值2. (1)某某数a 的值;(2)若f (x )≤tx+3恒成立,某某数t 的取值X 围.f'(x )=1x -1=1-x x,当0<x<1时,f'(x )>0,函数单调递增,当x>1时,f'(x )<0,函数单调递减, 故当x=1时,函数取得极大值f (1)=ln a-1=2, 故a=e 3.(2)由f (x )≤tx+3恒成立可得,ln x ≤(t+1)x ,即t+1≥lnx x,令g (x )=lnx x,则g'(x )=1-lnx x 2,由g'(x )>0可得0<x<e,故g (x )在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)内单调递减, 所以g (x )max =g (e)=1e , 故t+1≥1e ,所以t ≥1e -1.20.(12分)等差数列{a n }(n ∈N +)中,a 1,a 2,a 3分别是如表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在如表的同一列.行数列数第一列第二列第三列(1)请选择一个可能的{a1,a2,a3}组合,并求数列{a n}的通项公式.(2)记(1)中您选择的数列{a n}的前n项和为S n,判断是否存在正整数k,使得a1,a k,S k+2成等比数列.若有,请求出k的值;若没有,请说明理由.由题意可知,有两种组合满足条件:①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列{a n},a1=8,d=4,所以其通项公式为a n=8+4(n-1)=4n+4.②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列{a n},a1=2,d=2,所以其通项公式为a n=2n.=2n2+6n.(2)若选择①,S n=n(8+4n+4)2则S k+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使a1,a k,S k+2成等比数列.=n2+n,若选择②,S n=n(2+2n)2则S k+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6,若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使a1,a k,S k+2成等比数列.21.(12分)函数f(x)满足:对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),且f(2)=2,数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+).为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(1)证明数列a n2n,是否存在正整数m,使得(m+1)(S m-4)+19b m<0成立?若存在,(2)记数列{b n}前n项和为S n,且b n=n(n+1)a n求m的最小值;若不存在,请说明理由.∵数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+),∴a1=f(2)=2.又∵对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),∴a n+1=f (2n+1)=2f (2n )+2n f (2)=2a n +2n+1,两边同时除以2n+1得,a n+12n+1−a n 2n=1,∴数列a n 2n为等差数列,首项为a12=1,公差为1,∴an 2n =n ,即a n =n ·2n .(2)由(1)可知b n =n (n+1)a n=n+12n,得S n =2×12+3×122+4×123+…+n×12n -1+(n+1)×12n ,12S n =2×122+3×123+…+n×12n +(n+1)×12n+1, 两式相减得12S n =121+122+…+12n -(n+1)×12n+1+12=32−n+32n+1,∴S n =3-n+32n .假设存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,即2m +m-16>0, 由指数函数与一次函数单调性知,F (m )=2m +m-16,m ∈N +为增函数. 又∵F (3)=23+3-16=-5<0,F (4)=24+4-16=4>0,∴当m ≥4时恒有F (m )=2m +m-16>0成立.故存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,m 的最小值为4. 22.(12分)已知函数f (x )=e x -ln(x+m ).(1)设x=0是f (x )的极值点,求m 的值,并讨论f (x )的单调性; (2)证明:e x -ln(x+2)>0.(x )=e x -1x+m,由题意可得,f'(0)=1-1m=0,解得m=1, f'(x )=e x-1x+1=e x (x+1)-1x+1,令g (x )=e x (x+1)-1,则g'(x )=(x+2)e x >0, 故g (x )在(-1,+∞)上单调递增且g (0)=0, 当x>0时,g (x )>0,即f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当-1<x<0时,g (x )<0,即f'(x )<0,函数f (x )单调递减.h (x )=e x -ln(x+2),则h'(x )=e x -1x+2在(-2,+∞)内单调递增,因为h'(-1)<0,h'(0)>0,所以h'(x )=0在(-2,+∞)存在唯一实数根x 0,且x 0∈(-1,0), 当x ∈(-2,x 0)时,h'(x )<0,当x ∈(x 0,+∞)时,h'(x )>0, 当x=x 0时,函数h (x )取得最小值, 因为e x 0=12+x 0,即x 0=-ln(2+x 0),故h (x )≥h (x 0)=e x 0-ln(2+x 0)=12+x 0+x 0=(1+x 0)22+x 0>0,所以e x -ln(x+2)>0.。

2021_2022学年新教材高中数学模块测试卷二含解析新人教B版必修第一册

新教材高中数学：模块测试卷(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f (x )=-x 2+2x+4(x ∈R ),则它的值域与单调递增区间分别是( )A.值域[5,+∞),单调递增区间[1,+∞)B.值域[5,+∞),单调递增区间(-∞,1]C.值域(-∞,5],单调递增区间[1,+∞)D.值域(-∞,5],单调递增区间(-∞,1]f (x )=-x 2+2x+4=-(x 2-2x )+4=-(x-1)2+5,则函数f (x )=-x 2+2x+4(x ∈R )的值域是(-∞,5],单调递增区间为(-∞,1].故选D .2.(2021江苏扬州邗江高一期中)已知命题p :“∃x>0,x+t-1=0”,若p 为真命题,则实数t 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.(-∞,1]p :“∃x>0,x+t-1=0”,即“∃x>0,x=1-t ”,又p 为真命题,则1-t>0,即t<1.故选B . 3.已知函数f (x )=ax+1x 2+2是定义在R 上的偶函数,则实数a 的取值为( ) A.1 B.0C.-1D.2f (x )=ax+1x 2+2是定义在R 上的偶函数,所以f (x )=f (-x ),即ax+1x 2+2=-ax+1(-x )2+2,解得a=0.故选B . 4.(2021湖南长沙湖南师大附中高一期末)下列说法正确的是( ) A.若a>b ,则1a<1bB.若a<b<0,则|a|>|b|C.若a>b ,则ac 2>bc 2D.若ac>bc ,则a>ba>0>b 时,1a >1b ,故A 不正确;若a<b<0,则-a>-b>0,则|a|=-a>|b|=-b ,故B 正确;当c=0时,ac 2>bc 2不成立,故C 不正确;若ac>bc ,当c<0时,a<b ,故D 不正确.故选B.5.(2021山东济宁高一期末)中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a ,b ,c ,则三角形的面积S 可由公式S=√p (p -a )(p -b )(p -c )求得,其中p 为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形面积的最大值为( ) A.3B.3C.√7D.√11p=12×(3+5)=4,S=√4(4-a )(4-b )(4-c )=√4(4-b )(4-c )=2√(4-b )(4-c )≤8-(b+c )=3,当且仅当4-b=4-c ,即b=c 时,等号成立,∴此三角形面积的最大值为3.故选B .6.(2021湖北八市高三一模)已知M ,N 均为R 的子集,且M ⊆∁R N ,则∁R M ∩N=( ) A.⌀ B.MC.ND.R,如图所示,故∁R M ∩N=N.故选C .7.(2021辽宁营口高一期末)奇函数f (x )在(0,+∞)内单调递减且f (2)=0,则不等式(x+1)f (x )<0的解集为( )A.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(2,+∞)B.(-2,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,2)f (x )在(0,+∞)内单调递减且f (2)=0,所以f (x )在(-∞,0)上单调递减,且f (-2)=0.由不等式(x+1)f (x )<0得{x +1>0,f (x )<0或{x +1<0,f (x )>0,即{x >-1,x >2或-2<x <0或{x <-1,0<x <2或x <-2,故x>2或-1<x<0或x<-2.故选A .8.(2021安徽江淮名校高一入学考试)设x ,y 均为正实数,且32+x +32+y =1,则x+y 的最小值为( ) A.8 B.16 C.9 D.6解析因为x ,y 均为正实数且32+x+32+y=1,所以x+y=2+x+2+y-4=[(2+x )+(2+y )]3x+2+3y+2-4=32+y+2x+2+x+2y+2-4≥32+2√y+2x+2·x+2y+2-4=12-4=8,当且仅当y+2x+2=x+2y+2,即x=y=4时,等号成立.因此x+y的最小值为8.故选A .二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2021山东烟台高一期中)已知集合U=(-∞,+∞),A={x|2x 2-x ≤0},B={y|y=x 2},则( ) A.A ∩B=0,12 B.∁U A ⊆∁U BC.A ∪B=BD.∁B A=12,+∞解析∵集合U=(-∞,+∞),A={x|2x 2-x ≤0}=x 0≤x ≤12,B={y|y=x 2}={y|y ≥0},∴A ∩B=0,12,故A 正确;∁U A=x x<0或x>12,∁U B={y|y<0},∴∁U A ⊇∁U B ,故B 错误;A ∪B=[0,+∞)=B ,故C 正确;∁B A=12,+∞,故D 正确.故选ACD .10.(2021云南昆明高一期末)已知函数f (x )=ax 2+2x+1(a ≠0),若方程f (x )=0有两个不等的实数根x 1,x 2,且x 1<x 2,则( )A.当a>0时,不等式f (x )<0的解集为{x|x 1<x<x 2}B.当a>0时,不等式f (x )<0的解集为{x|x<x 1或x>x 2}C.若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则x 1>0D.若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则x 2>0a>0时,函数图像开口方向向上,所以不等式f (x )<0的解集为{x|x 1<x<x 2},故A 正确,B 错误;若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则a<0,对称轴-1a >0,函数又过定点(0,1),则x 1<0,故C 错误;若不等式f (x )>0的解集为{x|x 1<x<x 2},则a<0,对称轴-1a >0,则x 2>0,故D 正确.故选AD .11.(2021湖北黄冈、天门高一期末)下列各说法中,p 是q 的充要条件的有( ) A.p :四边形是正方形;q :四边形的对角线互相垂直且平分 B.p :两个三角形相似;q :两个三角形三边对应成比例 C.p :xy>0;q :x>0,y>0D.p :x=1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根;q :a+b+c=0(a ≠0),则四边形的对角线互相垂直且平分成立,但对角线互相垂直且平分的四边形可能是菱形,故p 不是q 的充要条件;两个三角形相似与两个三角形三边对应成比例可以互相推导,故p 是q 的充要条件;当xy>0时,可能x<0,y<0,故p 不是q 的充要条件;x=1是一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根,将x=1代入方程可得a+b+c=0,当a+b+c=0时,将c=-a-b 代入方程ax 2+bx+c=0得ax 2+bx-a-b=(ax+a+b )(x-1)=0,解得x=1,故p 是q 的充要条件.故选BD . 12.(2021山东威海高一期末)已知函数f (x )={x 2-2x ,x <0,-2x +3,x ≥0,则( )A.f [f (-1)]=-3B.若f (a )=-1,则a=2C.f (x )在R 上是减函数D.若关于x 的方程f (x )=a 有两解,则a ∈(0,3]f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,所以f[f(-1)]=f(3)=-2×3+3=-3,故A正确;当a<0时,f(a)=a2-2a=-1,解得a=1,不符合题意,舍去,当a≥0时,f(a)=-2a+3=-1,解得a=2,符合题意,故B正确;作出f(x)的图像,如图所示,所以f(x)在R上不是减函数,故C错误;方程f(x)=a有两解,则y=f(x)图像与y=a图像有两个公共点,如图所示.所以a∈(0,3],故D正确.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021河北石家庄一中高一月考)已知集合A={x|-1≤x≤2,x∈Z},集合B={x|x>0},则集合A∩B的子集个数为.A={x|-1≤x≤2,x∈Z}={-1,0,1,2},B={x|x>0},∴A∩B={1,2},共有2个元素, 故集合A∩B的子集个数为22=4个.14.(2021山东威海高一期末)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式,后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=2,b=3,则该矩形的面积为.x,∵a=2,b=3,∴AB=a+b=5, 在Rt △ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2, 即(2+x )2+(3+x )2=52,即x 2+5x=6,则该矩形的面积为(2+x )(3+x )=x 2+5x+6=12.15.(2021广东深圳高三一模)已知函数的图像关于y 轴对称,且与直线y=x 相切,则满足上述条件的二次函数可以为f (x )= .2+14(答案不唯一)f (x )的图像关于y 轴对称,所以设f (x )=ax 2+c.由{y =ax 2+c ,y =x ,得ax 2-x+c=0, 所以Δ=1-4ac=0,即ac=14. 取a=1,c=14,则f (x )=x 2+14(答案不唯一).16.(2021河北邯郸高一期末)已知函数f (x )={|x +1|,x >0,x 2+1,x ≤0,若f (f (m ))=2,则m= .f (m )=t ,则f (t )=2,①当t>0时,|t+1|=2,则t=1,所以f (m )=1; 当m>0时,|m+1|=1,则m=0(舍去), 当m ≤0时,m 2+1=1,则m=0. ②当t ≤0时,t 2+1=2,则t=-1, 所以f (m )=-1;当m>0时,|m+1|=-1,显然此时方程无实数解,当m ≤0时,m 2+1=-1,显然此时方程无实数解.综上所述,m=0.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江西名校协作体高一联考)已知二次函数f (x )的最小值为1,函数y=f (x+1)是偶函数,且f (0)=3.(1)求f (x )的解析式;(2)若函数f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,求实数a 的取值范围.因为函数y=f (x+1)是偶函数,所以f (x )的图像关于x=1对称.又最小值为1,所以设f (x )=a (x-1)2+1. 又f (0)=3,解得a=2. ∴f (x )=2(x-1)2+1=2x 2-4x+3.(2)要使f (x )在区间[2a ,a+1]上不单调,则2a<1<a+1, ∴0<a<12.故实数a 的取值范围为0,12.18.(12分)(2021安徽安庆高一期末)已知正实数x ,y 满足4x+4y=1. (1)求xy 的最大值;(2)若不等式4x +1y ≥a 2+5a 恒成立,求实数a 的取值范围.x+4y=1,所以14=x+y ≥2√xy ,解得xy ≤164,当且仅当x=y=18时,等号成立,∴xy 的最大值为164. (2)4x+1y =4x+1y(4x+4y )=20+16y x+4x y≥20+2√16y x·4x y=36,当且仅当x=16,y=112时,等号成立, ∴a 2+5a ≤36,解得-9≤a ≤4, 即a 的取值范围是[-9,4].19.(12分)(2021江苏苏州新区吴县中学高一月考)已知f (x )={1,x <0,2,x ≥0,g (x )=3f (x -1)-f (x -2)2. (1)当1≤x<2时,求g (x );(2)当x ∈R 时,求g (x )的解析式,并画出其图像; (3)求函数h (x )=x f (g (x ))-2g (f (x ))的零点.当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0,故g (x )=6-12=52.(2)由(1)知,当1≤x<2时,g (x )=52. 当x<1时,x-1<0,x-2<0, 故g (x )=3-12=1. 当x ≥2时,x-1>0,x-2≥0,故g (x )=6-22=2.所以当x ∈R 时,g (x )的解析式为g (x )={1,x <1,52,1≤x <2,2,x ≥2.其函数图像如下:(3)因为g (x )>0,则f (g (x ))=2,x ∈R , 故g (f (x ))={g (1)=52,x <0,g (2)=2,x ≥0,所以方程x f (g (x ))=2g (f (x ))化简后可得x 2=5(x<0)或x 2=4(x ≥0), 解得x=-√5或x=2.20.(12分)(2021福建三明高一期末)某市居民用电收费方式有以下两种,用户可自由选择其中一种. 方式一:阶梯式递增电价,即把居民用户每月用电量划分为三档,电价实行分档递增,具体电价如下表:方式二:阶梯式递增电价基础上实行峰谷分时电价,即先按阶梯式递增电价标准计算各档电量的电费,然后高峰时段(8:00—22:00)每度加价0.03元,低谷时段(22:00至次日8:00)每度降价0.20元,得出用户的总电费.(1)假设某居民用户月均用电量为x 度,按方式一缴费,月均电价为y 元,求y 关于x 的函数解析式; (2)若该用户某月用电a 度(0<a<420),其中高峰时段用电量占该月总用电量的23,按方式二缴费,电费为143元,求该月用电量.由题意可得当0≤x ≤230时,y=0.5x ,当230<x ≤420时,y=230×0.5+0.6(x-230)=0.6x-23,当x>420时,y=230×0.5+0.6×(420-230)+0.8(x-420),即y=0.8x-107,所以y={0.5x ,0≤x ≤230,0.6x -23,230<x ≤420,0.8x -107,x >420.(2)因为该用户某月用电a 度,高峰时段用电量为23a 度,当0≤x ≤230时,用电费用为0.3×13a+0.53×2a3=143,解得a ≈315.4>230,不合题意,舍去.当230<x ≤420时,用电费用为0.3×13+0.53×23×230+0.4×13+0.63×23(a-230)=143,解得a ≈300, 所以该月用电量约为300度.21.(12分)(2021福建福州高一期末)已知函数f (x )=√x 2-(a -1)x +2a ,且f (1)=√3. (1)求实数a 的值;(2)判断f (x )在区间(-∞,0]上的单调性并用定义证明.由f (1)=√3,得1-(a-1)+2a=3,所以a=1.(2)由(1)知f (x )=√x 2+2,其定义域为R , f (x )在区间(-∞,0]上单调递减. 证明如下:任取x 1,x 2∈(-∞,0],且x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=√x 12+2−√x 22+2=(√x 12+2-√x 22+2)(√x 12+2+√x 22+2)√x 1+2+√x 2+2=1222√x 1+2+√x 2+2 =1222√x 1+2+√x 2+2 =1212√x 1+2+√x 2+2.因为x 1≤0,x 2≤0,且x 1<x 2,所以x 1+x 2<0,x 1-x 2<0,√x 12+2+√x 22+2>0,则f (x 1)-f (x 2)>0,所以f (x 1)>f (x 2), 故f (x )在区间(-∞,0]上单调递减.22.(12分)(2021安徽滁州高一期末)设命题p :对任意x ∈[1,4],不等式x 2-4x+2≥m 2-3m 恒成立;命题q :存在x ∈0,12,使得不等式x 2-x+m-54≥0成立. (1)若p 为真命题,求实数m 的取值范围;(2)若命题p ,q 有且只有一个是真命题,求实数m 的取值范围.对任意x ∈[1,4],不等式x 2-4x+2≥m 2-3m 恒成立,即(x 2-4x+2)min ≥m 2-3m.x 2-4x+2=(x-2)2-2,当x=2时,x 2-4x+2取到最小值-2,即-2≥m 2-3m ,∴1≤m ≤2. 故p 为真命题时,实数m 的取值范围是[1,2].(2)命题q :存在x ∈0,12,使得不等式x 2-x+m-54≥0成立,故只需x 2-x+m-54max ≥0.而x 2-x+m-54=x-122+m-32, 所以当x=0时,x 2-x+m-54取到最大值m-54, 故m-54≥0,解得m ≥54.即命题q 为真命题时,实数m 的取值范围是54,+∞.依题意命题p ,q 一真一假,若p 为假命题,q 为真命题,则{m <1或m >2,m ≥54,,得m>2; 若q 为假命题,p 为真命题,则{1≤m ≤2,m <54,得1≤m<54.综上,实数m 的取值范围为1,54∪(2,+∞).。

2020-2021人教版数学2模块综合测评含解析

2020-2021学年人教A版数学必修2模块综合测评含解析模块综合测评（教师独具)(满分：150分时间：120分钟）一、选择题(本题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α∥β, a⊂α，b⊂β, 则a与b的位置关系是(）A．平行或异面B．相交C．异面D．平行A[满足条件的情形如下：］2．直线y＝kx与直线y＝2x＋1垂直，则k等于(）A．－2B．2C．－错误!D．错误!C［由题意，得2k＝－1，∴k＝－错误!.]3．两圆C1：x2＋y2＝r2与C2：(x－3)2＋（y＋1)2＝r2(r〉0)外切,则r的值为()A．错误!－1 B．错误!C．错误!D．错误!－1或错误!＋1B[因为两圆外切且半径相等，所以｜C1C2｜＝2r。

所以r＝错误!.］4．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，设A错误!,B错误!,C错误!,则（)A．OA⊥AB B．AB⊥ACC．AC⊥BC D．OB⊥OCC［|AB|＝错误!，｜AC|＝错误!，|BC|＝错误!，因为|AC|2＋|BC|2＝｜AB｜2，所以AC⊥BC.]5．圆（x＋1）2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(）A．1 B．2 C．错误!D．2错误!C[圆心(－1，0），直线x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为错误!＝错误!。

］6．直线2ax＋y－2＝0与直线x－(a＋1)y＋2＝0互相垂直, 则这两条直线的交点坐标为(）A。

错误!B．错误!C．错误!D．错误!C［由题意知：2a－（a＋1）＝0，得a＝1，所以2x＋y－2＝0,x－2y＋2＝0,解得x＝错误!，y＝错误!.]7．如图，在长方体ABCD.A1B1C1D1中, P为BD上任意一点，则一定有（）A．PC1与AA1异面B．PC1与A1A垂直C．PC1与平面AB1D1相交D．PC1与平面AB1D1平行D[当A，P,C共线时,PC1与AA1相交不垂直,所以A，B错误；连接BC1，DC1(图略)，可以证AD1∥BC1，AB1∥DC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1.又PC1⊂平面BDC1，所以PC1与平面AB1D1平行．］8．在长方体ABCD。

广州市培正中学2021年高一第二学期数学必修二模块测试卷二答案和解析

广州市培正中学【最新】高一第二学期数学必修二模块测试卷二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线30()x m m R ++=∈的倾斜角为( )A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 2．下列命题正确的是（）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱3．设圆心为1C 的方程为22(5)(3)9x y -+-=，圆心为2C 方程为224290x y x y +-+-=，则圆心距等于（）A ．5B ．25C ．10D ．4．如图所示，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．6B ．8C ．2+D ．2+ 5．下列命题中，错误的命题是（）A ．平行于同一平面的两个平面平行B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交D ．一条直线与两个平行平面所成的角相等6．若三条直线2380x y ++=，10x y --=与直线0x ky +=交于一点，则k =（）A ．-2B ．2C ．12-D ．127．如图，一个空间几何体的正视图.侧视图.俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为1，那么这个几何体的体积为（）A ．16B ．12C ．13D ．18．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，145DAD ∠=，130CDC ∠=，那么异面直线1AD 与1DC 所成角的余弦值是（）A ．4B ．8CD 9．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个结论，其中正确结论是：( ) ①//l m αβ⇒⊥；②l m αβ⊥⇒⊥；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒. A ．①与② B ．①与③ C ．②与④ D ．③与④10．对于任意实数a ，点(),2P a a -与圆22:1C x y +=的位置关系的所有可能是（）A ．都在圆内B ．都在圆外C ．在圆上.圆外D ．在圆上.圆内.圆外二、填空题 11．两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．12．若点M 在直线a 上，a 在平面α上，则,,M a α间的关系可用集合语言表示为_____．13．经过点(2,3)P -作圆22(6)4x y -+=的切线，切线长是_____________．14．已知直线1l 和2l 夹角的平分线所在直线的方程为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是_____________．三、解答题15．如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线的方程为220x y --=，点(2,0)C .（Ⅰ）求直线CD 的方程；（Ⅱ）求AB 边上的高CE 所在直线的方程.16．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面）111ABC A B C -中，AC=9，BC=12，AB=15，AA 1=12，点D 是AB 的中点（1）求证：1AC B C ⊥；（2）求证：1//AC 平面1CDB17．如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。

2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第二册模块综合检测2

模块综合检测（二）（满分：150分时间：120分钟）一、单项选择题（本题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知f （x）＝错误!，则错误!错误!＝（）A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2C．2－ln 2 D．2＋ln 2A［由题意，函数f (x）＝错误!,则f ′（x)＝错误!＝错误!，则错误!错误!＝－f ′错误!＝－错误!＝－2－ln 2，故选A.］2．等比数列{a n}是递减数列，前n项的积为T n，若T13＝4T9,则a8a15＝（)A．±2B．±4C．2 D．4C[∵T13＝4T9，∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)∴a 10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴（a8·a15）2＝4,∴a8a15＝±2。

又∵{a n｝为递减数列,∴q〉0，∴a8a15＝2。

]3．已知公差不为0的等差数列｛a n}的前23项的和等于前8项的和．若a8＋a k＝0，则k＝( )A．22 B．23C．24 D．25C［等差数列的前n项和S n可看做关于n的二次函数(图象过原点）．由S23＝S8，得S n的图象关于n＝错误!对称,所以S15＝S16，即a16＝0，所以a8＋a24＝2a16＝0，所以k＝24.]4．已知函数f （x)＝（x＋a)e x的图象在x＝1和x＝－1处的切线相互垂直，则a＝( ）A．－1 B．0C．1 D．2A[因为f ′(x）＝（x＋a＋1）e x，所以f ′(1）＝（a＋2）e，f ′(－1)＝a e－1＝错误!,由题意有f (1）f ′(－1)＝－1，所以a＝－1,选A。

]5．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,S3＝a错误!，且S1，S2,S4成等比数列，则a10＝（)A．15 B．19C．21 D．30B［由S3＝a错误!得3a2＝a错误!，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列可得S错误!＝S1·S4，又S1＝a2－d,S2＝2a2－d,S4＝4a2＋2d,故(2a2－d)2＝(a2－d)（4a2＋2d），化简得3d2＝2a2d,又d≠0，∴a2＝3，d＝2,a1＝1,∴a n＝1＋2(n－1）＝2n－1，∴a10＝19。

2021学年数学人教A版必修2模块综合试含解析

模块综合试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列命题正确的是( B )A ．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形B ．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线解析：此题主要考查三个公理及推论的应用，两条平行线确定一个平面，第三条直线与其相交，由公理1可知，这三条直线共面，故B 正确．2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，则a 的值为( B )A ．－6B ．6C ．－45D.45解析：由题意可知两直线的斜率存在，且－a －2a ＝－23，解得a ＝6.3．圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．则两底面的面积之和是( C )A ．3πa 2B ．4πa 2C ．5πa 2D ．6πa 2解析：设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，如图所示，∠ASO ＝30°，在Rt △SA ′O ′中，rSA ′＝sin30°，∴SA ′＝2r .在Rt △SAO 中，2rSA ＝sin30°，∴SA ＝4r .∴SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，r ＝a . ∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.4．若直线l 过点A (3,4)，且点B (－3,2)到直线l 的距离最远，则直线l 的方程为( D )A ．3x －y －5＝0B ．3x －y ＋5＝0C ．3x ＋y ＋13＝0D ．3x ＋y －13＝0解析：当l ⊥AB 时，符合要求． ∵k AB ＝4－23＋3＝13，∴l 的斜率为－3，∴直线l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0. 5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( D )A. 3 B ．2 C. 6D ．2 3 解析：直线方程为y ＝3x ，圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，圆心(0,2)到直线y ＝3x 的距离d ＝|3×0－2|(3)2＋(－1)2＝1.故所求弦长l ＝222－12＝2 3.6.如图，在三棱锥S -ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( B )A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能解析：如图，连接SG 1，SG 2并延长分别交AB 于点M ，交AC 于点N .∵SG 1G 1M ＝SG 2G 2N ，∴G 1G 2∥MN .∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴MN ∥BC .故G 1G 2∥BC .7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1，S 2，S 3，则( A )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3<S 2<S 1C ．S 2<S 1<S 3D ．S 1<S 3<S 2解析：设棱锥的底面面积为S .由截面的性质，可知S S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫212⇒S 1＝14S ；S S 2＝21⇒S 2＝12S ；⎝⎛⎭⎪⎫S S 33＝21⇒S 3＝134S ，故S 1<S 2<S 3.8．在圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＝E2>4F，则圆的位置满足(A)A．截两坐标轴所得弦的长度相等B．与两坐标轴都相切C．与两坐标轴相离D．上述情况都有可能解析：在圆的方程中令y＝0得x2＋Dx＋F＝0.∴圆被x轴截得的弦长为|x1－x2|＝D2－4F.同理得圆被y轴截得的弦长为E2－4F＝D2－4F.故选A.9．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(D)A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.故选D.10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和正方形ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α＋β等于(B)A．120°B．90°C ．75°D ．60°解析：根据异面直线所成角的定义知α＋β＝90°.11．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( D )A. 2B.212 C ．2 2D ．2 解析：圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1. ∴四边形面积的最小值为2(12×1×d 2－1)＝2， ∴k 2＝4，即k ＝±2.又k >0，∴k ＝2.12．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( C )A.125π12B.125π9 C.125π6D.125π3解析：取AC 的中点O .由O 到各顶点距离相等，知O 是球心．设外接球的半径为R ，则2R ＝5，R ＝52. 故外接球的体积V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π6.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为2x ＋3y －2＝0.解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2,2)．因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23.由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.14．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为48.解析：由三视图可知这个长方体的长、宽、高分别为3,4,4，所以长方体的体积为3×4×4＝48.15．侧棱长为a 的正三棱锥P -ABC 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa 2.解析：侧棱长为a 的正三棱锥P -ABC 其实就是棱长为a 的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a2，该球的表面积为3πa 2.16．若⊙O 1：x 2＋y 2＝5与⊙O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是4.解析：由题知O 1(0,0)，O 2(m,0)，且5<|m |<35，又O 1A ⊥AO 2，则有m 2＝(5)2＋(25)2＝25，得m ＝±5.故|AB |＝2×5×205＝4. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知直线l 平行于直线3x ＋4y －7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0.当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m4. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24.∴m ＝±24.∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.18．(12分)已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．解析：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：上部圆锥的体积V 圆锥＝13π×22×2＝8π3，中部圆柱的体积V 圆柱＝π×22×10＝40π，下部圆柱的体积V ′圆柱＝π×42×1＝16π，故此组合体的体积V ＝8π3＋40π＋16π＝176π3.19．(12分)求过点A (－2，－4)且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C (－D2，－E2)．∴k CB＝6＋E 28＋D 2.∵k CB ·k l ＝－1，∴6＋E 28＋D 2·(－13)＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，② 82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0，③所以解①②③可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.20．(12分)如图，四棱锥P -ABCD 中，△P AB 是正三角形，四边形ABCD 是矩形，且平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ＝2，PC ＝4.(1)若点E 是PC 的中点，求证：P A ∥平面BDE ；(2)若点F 在线段P A 上，且F A ＝λP A ，当三棱锥B -AFD 的体积为43时，求实数λ的值．解：(1)证明：如图(1)，连接AC ，设AC ∩BD ＝Q ，连接EQ . 因为四边形ABCD 是矩形，所以点Q 是AC 的中点．又点E 是PC 的中点，则在△P AC 中，中位线EQ ∥P A ，又EQ ⊂平面BDE ，P A ⊄平面BDE ，所以P A ∥平面BDE .(2)依据题意可得：P A ＝AB ＝PB ＝2，取AB 中点O ，连接PO . 所以PO ⊥AB ，且PO ＝ 3.又平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面P AB ，则PO ⊥平面ABCD (如图(2))；作FM ∥PO 交AB 于点M ，则FM ⊥平面ABCD . 因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥AB . 同理，可证BC ⊥平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，则△PBC 是直角三角形．所以BC ＝PC 2－PB 2＝2 3.则直角三角形ABD 的面积为S △ABD ＝12AB ·AD ＝2 3. 所以43＝V B －AFD ＝V F －ABD ＝13S △ABD ·FM ＝233FM ⇒FM ＝233. 由FM ∥PO ，得FM PO ＝F A P A ＝λ⇒2333＝λ⇒λ＝23.21．(12分)如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ；(3)求四面体B-DEF的体积．解：(1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，如图所示，连接EG，GH.∵H为BC的中点，∴GH∥AB.∵EF∥AB，∴EF∥GH.又∵EF＝GH＝12AB，∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH.∵EG⊂平面EDB，FH⊄平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC.∵EF∥AB，∴EF⊥BC.又∵EF⊥FB，BC∩FB＝B，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.∵BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC，又AB∩BC＝B，∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC.∵FH∥EG，∴AC⊥EG.∵AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥FB，BF⊥FC，EF∩FC＝F，∴BF⊥平面CDEF，∴BF即为四面体B-DEF的高．由(2)知，EF⊥平面BFC，∴EF⊥FC.又∵EF∥AB∥CD，∴FC为△DEF中EF边上的高．∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝2，晨鸟教育Earlybird ∴V 四面体B -DEF ＝13×12×1×2×2＝13. 22．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程．解：(1)设点N (6，n )，因为与x 轴相切，所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －n )2＝n 2，n >0.又圆N 与圆M 外切，圆M ：(x －6)2＋(y －7)2＝25，则|7－n |＝n ＋5，解得n ＝1，即圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)由题意得|OA |＝25，k OA ＝2，设l ：y ＝2x ＋b ，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|12－7＋b |5＝|5＋b |5，则|BC |＝252－d 2＝225－(5＋b )25，又|BC |＝25，即225－(5＋b )25＝25⇒b ＝5或b ＝－15，即l ：y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.。

人教A版高一数学新教材必修二模块综合测试题

2021人教A版高一数学新教材必修二模块综合测试题时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 中,,则等于( )A. B.C. D.2. 复数满足，则()A. B. C. D.3. 某市有高中生人，其中女生人，为调查学生的学习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则样本中女生的数量为（）A. B.C. D.4. 一次数学考试中,位同学各自在第题和第题中任选一题作答,则第题和第题都有同学选答的概率为( )A. B.C. D.5. 在中,内角,,所对的边分别为,,,若,,,则( )A. B.C. D.6. 棱长都是的三棱锥的表面积为( )A. B.C. D.7. 已知,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A. ,,则B. ,,则C. ,,,则D. ,,则8. 如图,正方体中,下面结论错误的是( )A. 平面B. 异面直线与所成的角为C. 平面D. 与平面所成的角为9. 设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 给定一组数据,,…,若这组数据的方差为,则数据,,…,的方差为（）A. 6B. 9C. 12D. 1511. 在中，分别为内角的对边，若，且，则等于()A. B.C. D.12. 如图将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①⊥；②△是等边三角形；③与所成的角为；④与平面所成的角为．其中错误的结论是（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的半径为__________.14. 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是__________．15. 如图，在中，，，，则的值为__________．16. 如图，在边长为的正方体，、分别是线段、上的动点，则的最小值是__________.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 在中,已知,是边上一点,,,.(1)求的长;(2)求的值.18.有四名工人，应分别就坐在四个席位上，但这四人在入座时均未留意，在四个席位上随意就座，求以下事件的概率:(1)恰好都坐在自己的席位上；(2)恰好都没坐在自己的席位上；(3)恰好有一人坐在自己的席位上.19.为了了解高二学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为，第二小组频数为．（1）第二小组的频率是多少，样本容量是多少；（2）若次数在以上（含次）为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少；（3）在这次测试中，估计学生跳绳次数的众数和中位数、平均数各是多少.20.如图,在四棱锥中,平面,,,,,分别是和的中点.(1)证明:;(2)证明:平面平面.21.已知平面上三个向量的模均为，它们相互之间的夹角均为．(1)求证：； (2)若，求的取值范围．22.如图，已知等腰直角，其中，．点、分别是、的中点，现将沿着边折起到位置，使，连接、．（1）求证：；（2）在线段上找一点，使平面；（3）求二面角的余弦值．2021人教A版高一数学新教材必修二模块综合测试题答案和解析第1题：【答案】D【解析】依题意,故选D.第2题：【答案】B【解析】由，得，则．第3题：【答案】C【解析】根据分层抽样的原则，样本中女生的数量为，故选择C.第4题：【答案】C【解析】位同学各自在第题和第题中任选一题作答的等可能结果有种.位同学选择作答同一题的结果有种,即位同学选择作答同一题的的概率是. 所以第题和第题都有同学选答的概率为.第5题：【答案】B【解析】由余弦定理,有,解得或(舍去).第6题：【答案】A【解析】∵四个面是全等的正三角形,则,其中表示表面积,表示底面积..第7题：【答案】D【解析】对于A,如果,分别在与平面平行的平面上,那么,可以有多种位置关系,则A错误; 对于B,如果,作平面经过直线且与相交于直线,由线面平行的性质定理可知,, ∴当时,有可能直线与直线重合,此时,则B错误; 对于C,∵,且,∴或,又因为,∴或,则C错误; 对于D,∵,,可证出.则D正确. 故选:D.第8题：【答案】D【解析】,所以平面; 因为,所以异面直线与所成的角为; 因为,,所以平面;与平面所成的角为,故选D.第9题：【答案】C【解析】由，得，解得.当，是纯虚数，充分性成立；而当复数为纯虚数时，由，解得，必要性成立.所以“”是“复数为纯虚数”的充要条件．故选C．第10题：【答案】C【解析】由题意原数据的平均数为:，方差为:，新数据的平均数为:，方差为:第11题：【答案】D【解析】由可得，由正弦定理知，，∴，化简得，即，∴，∴.第12题：【答案】D【解析】如图所示，取的中点，连接，易知面，所以①正确；设正方形的边长为，则，由勾股定理可得，所以是等边三角形，②正确；取的中点，的中点，连接，则，所以是等边三角形，所以与所成的角为，③正确；与平面所成的角为，所以④错误.第13题：【答案】1【解析】四棱柱的外接球的球心为正四棱柱的中心，易得球的半径第14题：【答案】【解析】记“两人都中奖”为事件，设中一、二等奖及不中奖分别记为，那么甲、乙抽奖结果有，共种．其中甲、乙都中奖有，共种，所以．第15题：【答案】【解析】．第16题：【答案】【解析】连接交于，可得就是与的公垂线，的最小值即是的长，∴的最小值为．故答案为：.第17题：【答案】见解答【解析】(1)∵,,,∴由余弦定理得,∴, 由正弦定理得,即. (2)由(1)可得,,因为, 所以.第18题：【答案】【解析】四人就座后的情况.如图易知本题中的等可能基本事件有24个. (1)设为“这4人恰好都坐在自己的席位上”，则只包含了一个基本事件，所以； (2)设为“这4人恰好都没坐在自己的席位上”，则包含了9个基本事件，所以； (3)设为“这4人恰有一人坐在自己的席位上”，则包含了8个基本事件，所以.第19题：【答案】(1)，(2)(3)，，【解析】（1）各小长方形面积之比为，第二小组的频率是；第二小组频数为，∴样本容量是；（2）次数在以上（含次）的频率为，估计该学校全体高一学生的达标率是；（3）根据频率分布直方图得，众数是；中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置，是，可求得平均数是.第20题：【答案】见解析【解析】证明:(1)∵平面,平面,∴, 又,,∴平面, ∵,∴. (2),为的中点,∴, 又∵,∴四边形为平行四边形,∴. 又平面,平面,所以平面, ∵在中,,分别是和的中点,∴, 又平面,平面,所以平面, ∵,∴平面平面.第21题：【答案】(1)证明见解析； (2)的取值范围是．【解析】(1)证明：∵，∴． (2)解：由，得，∴．∵，且相互之间的夹角均为．∴，．∴上述不等式化简为．解得或．即的取值范围是..．第22题：【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】（1）∵点、分别是、的中点，∴且．∴，∴，∴．又∵，，∴平面，∴．（2）取线段的中点，连接，．显然，平面平面．∵点是的中点，点是的中点，∴．又∵平面，平面，∴平面（即平面），故线段的中点是符合题意要求的点．（3）取的中点，连接、．∵，且，，∴，∴，，∴是二面角的平面角．∵，∴，，∴.。