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角平分线专题练习

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专题07 角的平分线性质(专题测试)(解析版)

专题07 角的平分线性质(专题测试)(解析版)

专题07 角的平分线性质专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（共12小题，每题4分，共计48分）1．（2018春 榆林市期末）如图，AD 是ABC V 的角平分线，DF AB ⊥，垂足为F ，DE DG =，ADG V 和AED V 的面积分别为60和35，则EDF V 的面积为( )A.25B.5.5C.7.5D.12.5【答案】D【详解】如图，过点D 作DH AC ⊥于H ，AD Q 是ABC V的角平分线，DF AB ⊥， DF DH ∴=，在Rt ADF V 和Rt ADH V 中，AD AD DF DH=⎧⎨=⎩， Rt ADF V ∴≌()Rt ADH HL V ，Rt ADF Rt ADH S S ∴=V V ，在Rt DEF V 和Rt DGH V 中，DE DG DF DH =⎧⎨=⎩Rt DEF ∴V ≌()Rt DGH HL V ，Rt DEF Rt DGH S S ∴=V V ，ADG QV 和AED V 的面积分别为60和35，Rt DEF Rt DGH 35S 60S ∴+=-V V ，Rt DEF S ∴V =12.5，故选D ．【名师点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记掌握相关性质、正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．（2018春 天津市期中）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：5【答案】C【详解】 本题主要考查三角形的角平分线。

三角形三条角平分线的交点为三角形的内心，即本题中O 点为△ABC 的内心，则O 点到△ABC 三边的距离相等，设距离为r ，有S △ABO = 12×AB×r，S △BCO = 12×BC×r，S △CAO = 12×CA×r，所以S △ABO :S △BCO :S △CAO =AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4.故答案选C.【名师点睛】本题考查的知识点是三角形的角平分线中线和高，解题的关键是熟练的掌握三角形的角平分线中线和高.3．（2017春 商丘市期中）如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【答案】A【详解】 在△ABC 中，∠C =70°,∠ABC =48°，则∠CAB =62°，又AD 为△ABC 的角平分线，∠1=∠2=62°÷2=31°又在△AEF 中，BE 为△ABC 的高∴∠EFA =90°−∠1=59°∴∠3=∠EFA =59°4．（2018出 南阳市期末）如图，∠AOB 是平角，∠AOC=50°，∠BOD =60°，OM 平分∠BOD ，ON 平分∠AOC ，则∠MON 的度数是（ ）A.135°B.155°C.125°D.145°【答案】C【详解】 解：∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∴∠COD=180°-∠AOC-∠COD=70°，∵OM 、ON 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线，∴∠MOC=12∠AOC=25°，∠DON=12∠BOD=30°，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=125°，故选：C ．【名师点睛】本题考查角度计算，解题的关键是熟练利用角分线的性质，本题属于基础题型．5．（2018春 徐州市期末）如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BD 是∠ABC 的平分线,AD=20,则BC 的长是 ( )A.20 C.30 D.10 【答案】D【详解】在Rt △ABC 中 由于∠A=30°,因此∠ABC=60°；因为BD 是∠ABC 的角平分中线,所以∠ABD=∠DBC=30°,因此三角形ADB 为等腰三角形,BD=AD=20在直角三角形DCB 中,DC=12BD 根据勾股定理,BD²=DC²+BC²=(12BD)²+BC²,所以BC=10故选：D【名师点睛】本题考核知识点：角平分线、等腰三角形、直角三角形.解题关键点：熟记直角三角形性质、等腰三角形性质.6．（2018春 信阳市期末）如图，在▱ABCD 中，已知AD 15cm =，AB 10cm =，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，则CE 长是( )A.8cmB.5cmC.9cmD.4cm【答案】B【详解】解：Q四边形ABCD是平行四边形，AD BC，∴==，//AD BC cm15∠交BC于点E，AEQ平分BAD∴∠=∠，DAE EABQ，//AD BC∴∠=∠，DAE AEB∴∠=∠，EAB AEB∴==，10AB BE cm()∴=-=-=．EC BC BE cm15105故选：B．【名师点睛】=是解题关键．此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，正确得出AB BE7．（2018春商丘市期末）如图，已知点O在直线AB上，∠COE=90°，OD平分∠AOE，∠COD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100° B．115° C．65° D．130°【答案】B【解析】∵∠COE=90°，∠COD=25°，∴∠DOE=90°﹣25°=65°，∵OD平分∠AOE，∴∠AOD=∠DOE=65°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=115°，故选：B．8．（2018春芜湖市期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB 于点D，交AC于点E．若BD=4，DE=7，则线段EC的长为（）A.3B.4C.3.5D.2【答案】A【详解】∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，∴BD=DF=4，FE=CE，∴CE=DE-DF=7-4=3．故选A．【名师点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等．9．（2018春石家庄市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC＝70°，则∠COE的度数是（）A．110°B．120°C．135°D．145°【答案】D【详解】∵∠BOC＝70°，∴∠AOD＝∠BOC＝70°．∴∠AOC＝180°﹣70°＝110°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝12∠AOD＝12×70°＝35°．∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝110°+35°＝145°，故选：D．【名师点睛】此题考查角的计算，角的平分线是中考命题的热点，常与其他几何知识综合考查．10．（2018春西安市期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=50°，则∠2的度数是（）A．50o B．60o C．70o D．80o【答案】D【详解】∵AB∥CD∴∠ABC=∠1=50°，∠ABD+∠BDC=180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=100°，∴∠BDC=180°-∠ABD=80°，∴∠2=∠BDC=80°．故选：D．【名师点睛】本题考查的是平行，熟练掌握平行的性质和角平分线的性质是解题的关键.11．（2018春恩施市期末）长方形如图折叠，D点折叠到D′的位置，已知∠D′FC＝40°，则∠EFC＝（）A.120°B.110°C.105°D.115°【答案】B【详解】根据翻折不变性得出，∠DFE=∠EFD′，∵∠D′FC=40°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC=180°，∴2∠EFD′=180°-40°=140°，∴∠EFD′=70°，∴∠EFC=∠EFD′+∠D′FC=70°+40°=110°．故选：B．【名师点睛】此题考查了角的计算和翻折变化，掌握长方形的性质和翻折不变性是解题的关键．12．（2019春周口市期末）已知∠BOC＝60°，OF平分∠BOC.若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是( )A．45°B．15°C．30°或60°D．45°或15°【答案】A【详解】如图1，由AO⊥BO，得∠AOB＝90°，由角的和差，得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝150°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE＝12∠AOC＝12×150°＝75°，∠COF＝12∠BOC＝12×60°＝30°，由角的和差，得∠EOF＝∠COE－∠COF＝75°－30°＝45°；如图2，由AO ⊥BO ，得∠AOB ＝90°，由角的和差，得∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝30°，∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ，∴∠COE ＝12∠AOC ＝12×30°＝15°，∠COF ＝12∠BOC ＝12×60°＝30°， 由角的和差，得∠EOF ＝∠COE ＋∠COF ＝15°＋30°＝45°，故选A.【名师点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差，正确地进行分类讨论、准确画出图形是解题的关键.二、填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）13．（2018春 常州市期中）如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．【答案】24【详解】∵DE 是AC 的垂直平分线,∴EA=EC ，∠EAC=∠C,∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC ，∵AF 平分∠BAC ，∴∠FAB=∠FAC.在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，∴∠C=∠EAC=24°，故本题正确答案为24.【名师点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算. 14．（2016春西安市期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=130°，∠C=30°，则∠DAE的度数是__________.【答案】5°【详解】∵AD⊥BC，∠C=30°，∴∠CAD=90°-30°=60°，∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=130°，∴∠CAE=12∠BAC=12×130°=65°，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=65°-60°=5°．故答案为：5°．【名师点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．15．（2017春扬州市期末）如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOD＝70°，∠EOF＝65°，则∠AOF的度数为______°．【答案】30°【解析】∵∠AOC 与∠BOD 是对顶角，∠BOD=70°，∴∠AOC=70°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE=12∠AOC=35°， ∴∠AOF=∠EOF-∠AOE=65°-35°=30°，故答案为：30°.16．（2018春 德州市期中）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 的长是______．【答案】3．【解析】解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于F ．∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DE=DF ．由图可知，S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12×4×2+12×AC×2=7，解得：AC=3．故答案为：3．17．（2018春 广安市期末）如图所示，在ABC V 中，90C o ∠=，BE 平分ABC ∠，ED AB ⊥于D ，若6AC cm =，则AE DE +=________．【答案】6cm【详解】∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，∠C=90°，∴DE=CE ，∴AE+DE=AE+CE=AC=6cm ．故答案为：6cm．【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．三、解答题（共4小题，每小题8分，共计32分）18．（2018春河源市期末）如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠ABC，∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，点E在BC 的延长线上。

角平分线专项练习30题(有答案)ok

角平分线专项练习30题(有答案)ok

角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。

利用角平分线性质解决问题练习题

利用角平分线性质解决问题练习题

利用角平分线性质解决问题练习题角平分线是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。

在解决一些几何问题时，我们可以利用角平分线的性质来简化计算，提高解题效率。

下面我将给出一些角平分线的问题练习题并逐一解答。

1. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，若AB=AC，AD=5cm，BD=3cm，求BC的长度。

解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。

代入已知条件，可得3/DC = 1，解得DC=3cm。

由此可以知道，BC = BD+DC = 3+3 = 6cm。

2. 题目：在平行四边形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，若AB=8cm，AD=10cm，BE=6cm，求CE的长度。

解析：由于平行四边形的特性，我们可以得知AE=AD=10cm。

根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = AB/AC，代入已知条件可得6/EC = 8/(10+AC)，解得EC=16cm。

因此，CE的长度为16cm。

3. 题目：在正方形ABCD中，角A的角平分线交BC边于点E，知AE=5cm，求BE的长度。

解析：由于正方形的特性，我们知道BE=BC。

根据角平分线的性质，我们可以得到AE/EC = AB/AC，即5/EC = 1。

解得EC=5cm，因此BE也等于5cm。

4. 题目：在三角形ABC中，角A的角平分线交BC边于点D，且AD=BD，若AC=6cm，BD=2cm，求AB的长度。

解析：根据角平分线的性质，我们知道BD/DC = AB/AC。

代入已知条件可得2/DC = AB/6。

由于AD=BD，即DC=2cm。

代入可得2/2 = AB/6，解得AB=6cm。

5. 题目：在梯形ABCD中，AB∥DC，角BAD的角平分线交BC边于点E，若BE=6cm，ED=9cm，求CD的长度。

解析：根据梯形的特性，我们可以得知AD∥BC。

根据角平分线的性质，可以得到BE/EC = BA/AD。

代入已知条件可得6/EC =AB/(AD+ED)，即6/EC = BA/CD。

角平分线练习题

角平分线练习题

角平分线练习题一．选择题（共22小题）1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，的长度是（ ）则DFA．2B．3C．4D．62．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则（ ）∠MAB=A．30°B．35°C．45°D．60°．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）3A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，若BD=2，则AB长为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．35．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．126．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD的面积等于（ ）A ．30B ．24C ．15D ．107．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB=10，S △ABD =15，则CD的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，BP 为∠ABC 的平分线，过点D 作BC 、BA 的垂线，垂足分别为E 、F，则下列结论中错误的是（ ）A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若长为（ ）ON=8cm，则OMA．4cm B．5cm C．8cm D．20cm10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）A．M点B．N点C．P点D．Q点11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A．一处B．二处C．三处D．四处12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（ ）A．6B．12C．18D．2413．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（ ）个．A．1B．2C．3D．414．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE 全等的理由是（ ）A．SAS B．AAA C．SSS D．HL16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BC=4cm，CD=3cm，则点D到AB的距离是（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是（ ）A．1B．2C．3D．418．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③19．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）t h i nA ．2个B ．3个C ．4个D ．1个21．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AB=12，CD=3，则△DAB 的面积为（ ）A ．12B ．18C ．20D ．2422．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =10，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 评卷人得 分二．填空题（共13小题）23．如图，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，若AB=5，BC=6，S △ABC =9，则DE 的长为 ．24．如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ，OC=5，OM=4，则点C 到射线OA 的距离为 ．25．如图，已知△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和　．∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是　26．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和　．∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是　27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为　　．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到AB边的距离是 ．n29．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，若AD=6，DE ⊥AB ，则DE的长为　　．30．如图，直线a 、b 、c 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　　处．31．如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC= ．32．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，CD 是∠ACD 的平分线，若BD=2，AC=8，则△ACD 的面积为　　．33．如图，已知BD ⊥AE 于点B ，DC ⊥AF 于点C ，且DB=DC ，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF= ．34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果 ，那么 ．35．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若BC=32，且BD ：CD=9：7，则D 到AB 的距离为 ． 评卷人得 分三．解答题（共5小题）36．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD=CD 、BE=CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）直接写出AB +AC 与AE 之间的等量关系．37．如图已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C、D ．求证：（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OE 是CD 的垂直平分线．38．如图，四边形ABCD 中，AC 为∠BAD 的角平分线，AB=AD ，E 、F 两点分别在AB 、AD 上，且AE=DF ．请完整说明为何四边形AECF 的面积为四边形ABCD的一半．39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC 于E、F．且BE=EO．（1）说明OF与CF的大小关系；的面积．（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC=AE；（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．2018年09月23日tcq372的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（ ）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=6，故选：D．2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则（ ）∠MAB=A．30°B．35°C．45°D．60°【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，．故选：B3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE【解答】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．故选：C．4．如图，OP 是∠AOC 的平分线，点B 在OP 上，BD ⊥OC 于D ，∠A=45°，若BD=2，则AB长为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．3【解答】 解：如图，过B 点作BE ⊥OA 于E ，∵OP 是∠AOC 的平分线，点B 在OP 上，BD ⊥OC 于D ，BD=2，∴BE=BD=2，在直角△ABE 中，∵∠AEB=90°，∠A=45°，∴AB=BE=2．故选：C．5．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵AB=8，CD=2，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=2，∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8．故选：B．6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD的面积等于（ ）A．30B．24C．15D．10【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DE=DC=3，∵AB=10，∴△ABD的面积=AB•DE=×10×3=15．故选：C．7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△的长为（ ）=15，则CDABDA．3B．4C．5D．6【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∴S△ABD =AB•DE=×10•DE=15，解得DE=3．．故选：A8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为，则下列结论中错误的是（ ）E、FA．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，B正确，不符合题意；在Rt△DBE和Rt△DBF 中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE=∠DBF，∠BDE=∠BDF，A、D正确，不符合题意，2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，故选：C．9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（ ）A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm【解答】解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，∴OM=ON=8cm，故选：C．10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）A．M点B．N点C．P点D．Q点【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB 的平分线上．所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A．一处B．二处C．三处D．四处【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．故选：D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（ ）A．6B．12C．18D．24【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵点D到边AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE=6，∵CD=DB，∴DB=12，∴BC=6+12=18，．故选：C13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（ ）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE，故①正确；在Rt△ACD和Rt△AED 中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；AD平分∠CDE，故④正确；∵∠B+∠BAC=90°，∠B+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠BAC，故③正确；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：D．14．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．故选：C．15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE 全等的理由是（ ）A．SAS B．AAA C．SSS D．HL【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP=∠AEP=90°，在Rt△ADP和△AEP 中，∴Rt△ADP≌△AEP（HL），故选：D．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若的距离是（ ）BC=4cm，CD=3cm，则点D到ABA．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴DE=DC=3cm，故选：B．17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB，∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD，又PD=2，∴PE=PD=2．故选：B．18．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．故选：A．19．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选：B．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）A．2个B．3个C．4个D．1个【解答】解：∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAE∵∠C=90°，DE⊥AB∴∠C=∠E=90°∵AD=AD∴△DAC≌△DAE∴∠CDA=∠EDA∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC∴BE+AC=AB∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°﹣∠B，∠BAC=90°﹣∠B∴∠BDE=∠BAC∴②∠BAC=∠BDE正确．故选：B．21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则的面积为（ ）△DABA．12B．18C．20D．24【解答】解：过D作DE⊥AB，∵Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∴DE=DC=3，∴△DAB的面积=，故选：B．22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）A．9B．8C．7D．6【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×4×2=4，∵△ABC的面积为10，∴△ADC的面积为10﹣4=6，∴AC×DF=6，∴AC×2=6，∴AC=6故选：D．二．填空题（共13小题）23．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=5，BC=6，S△　．=9，则DE 的长为　ABC【解答】解：作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，∴×AB×DF +×BC×DE=S△ABC ，即×5×DE +×6×DE=9，解得，DE=，．故答案为：24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA ．的距离为　3【解答】解：过C作CF⊥AO，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF，∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3，故答案为：3．25．如图，已知△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是　96　．【解答】解：过O作OM⊥AB，ON⊥AC，连接AO，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OM=ON=OD=6，∴△ABC 的面积为：×AB×OM +BC×DO +NO=（AB+BC+AC）×DO=32×6=96．故答案为：96．26．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和　．∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是　42【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC=×AB×OE +×AC×OF +×BC×OD=×4×（AB+AC+BC）=×4×21=42，故答案为：42．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为　4cm　．【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，∴DC=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到　．AB边的距离是　16【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=16（角平分线性质），．故答案为：1629．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若AD=6，DE⊥AB，则DE 的长为　3　．b【解答】解：∵∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠DAE=∠BAC=30°．在Rt △ADE 中，DE ⊥AB ，∠DAE=30°，∴DE=AD=3．故答案为：3．　30．如图，直线a 、b 、c 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　4　处．【解答】解：∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC 内角平分线的交点满足条件；如图：点P 是△ABC 两条外角平分线的交点，过点P 作PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，PF ⊥AC ，∴PE=PF ，PF=PD ，∴PE=PF=PD ，∴点P 到△ABC 的三边的距离相等，∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．t h 故答案为：4．31．如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=　120°　．【解答】解：∵点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等，∴点O 是三个角的平分线的交点，∴∠OBC +∠OCB=（∠ABC +∠ACB ）=（180°﹣∠A ）=（180°﹣60°）=60°，在△BCO 中，∠BOC=180°﹣（∠OBC +∠OCB ）=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．32．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，CD 是∠ACD 的平分线，若BD=2，AC=8，则△ACD 的面积为　8　．【解答】解：作DH ⊥AC 于H ，∵CD 是∠ACD 的平分线，∠B=90°，DH ⊥AC ，∴DH=DB=2，∴△ACD 的面积=×AC ×DH=×8×2=8，l 故答案为：8．33．如图，已知BD ⊥AE 于点B ，DC ⊥AF 于点C ，且DB=DC ，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=　150°　．【解答】解：∵BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DB=DC ，∴AD 是∠BAC 的平分线，∵∠BAC=40°，∴∠CAD=∠BAC=20°，∴∠DGF=∠CAD +∠ADG=20°+130°=150°．故答案为：150°　34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果　一个点在角的平分线上　，那么　它到这个角两边的距离相等　．【解答】解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．35．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若BC=32，且BD ：CD=9：7，则D 到AB 的距离为　14　．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵BC=32，BD ：CD=9：7，∴CD=32×=14，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=14，即D到AB的距离为14．．故答案为：14三．解答题（共5小题）36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC=2AE．证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADE=∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．37．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；的垂直平分线．（2）OE是CD【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=DE，∴∠ECD=∠EDC；（2）在Rt△OCE和Rt△ODE 中，，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴OC=OD，又∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线．38．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD 的一半．【解答】解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，∵AC为∠BAD的角平分线，∴CG=CH，∵AB=AD，∴△ABC面积=△ACD面积，又∵AE=DF，∴△AEC面积=△CDF面积，∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，∴△BCE面积=△ACF面积，∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，∴四边形AECF面积=△ABC面积，又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半．39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC 于E、F．且BE=EO．（1）说明OF与CF的大小关系；（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．【解答】解：（1）OF=CF．理由：∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；（2）过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm，∴ON=OM=4cm，∴S△OBC=BC•OM=×12×4=24（cm2）．40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC=AE；（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED，∴AC=AE；（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠DAB=∠CAD，∵∠C=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°，∵CD=DE=4，∠DEB=90°，∴BD=2DE=8，由勾股定理得：BE==4．　。

角平分线的性质练习题

角平分线的性质练习题

角平分线的性质练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，BD是角B的平分线，若AB=5，BC=7，AC=6，那么BD的长度为：A. 4B. 6C. 8D. 无法确定2. 如果角平分线将三角形分成两个面积相等的部分，那么这两个部分的底边分别是：A. 相等B. 不相等C. 一个底边是另一个的两倍D. 底边长度无法确定3. 在三角形ABC中，角A的平分线与BC相交于点D，若AD=4，AC=8，那么AB的长度可能是：A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题4. 在三角形ABC中，如果角A的平分线将BC分为BD和DC两段，BD=DC，那么三角形ABD与三角形ACD的面积之比为________。

5. 若角平分线定理告诉我们，在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，则AB：AC=______：______。

6. 在三角形ABC中，如果角A的平分线与BC相交于点D，且AD垂直于BC，那么角B和角C的度数之和为________。

三、简答题7. 描述角平分线定理的内容，并给出一个应用此定理的几何问题。

8. 解释为什么在三角形中，角平分线可以将对边分成的两段长度与相邻两边成比例。

四、计算题9. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且BD=3，DC=4，AB=6，求AC的长度。

10. 在三角形ABC中，角B的平分线BE与AC相交于点E，已知AE=4，EC=6，AB=5，求BC的长度。

五、证明题11. 证明：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC = BD/DC。

12. 证明：如果点D在三角形ABC的边BC上，且AD是角A的平分线，那么三角形ABD与三角形ACD的面积相等。

六、综合题13. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且AD=2，BD=3，DC=4，AB=5，求BC的长度，并证明你的结论。

14. 给定三角形ABC，其中角A的平分线AD与BC相交于点D，角B的平分线BE与AC相交于点E。

角平分线专题

角平分线专题

角平分线专题练习1、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE2、如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．3、已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD=CB ，AB>AD 。

求证：∠B+∠ADC=180°4、在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ，求证：AB+BP=BQ+AQ 。

P E DCB AD A B C D A B C5、如图，已知在△ABC中（AB>AC）,D为BC的中点，AE平分∠BAC，，过点D的直线DE⊥AE，交AB于G，交AC延长线于H。

求证：（1）AG=AH；（2）BG=CH=12（A B－AC）6、如图，已知在△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交BC的延长线于点F。

求证：∠BAF=∠ACF7、如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F。

求证：∠B=∠EAF8、如图，△ABC中，BC的垂直平分线DF与∠BAC的角平分线交于点F，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。

求证：BM=CN。

F E D C B A 9、如图，△ABC 中，AB=AC ，且∠BAC=120°，AB 的垂直平分线EF 交BC 于F 。

求证：CF=2BF10、如图，△ABC 中，D 为BC 边上一点，BE ⊥AD 的延长线于E ，CF ⊥AD 于F ，BE=CF. 求证：D 为BC 的中点.11、如图所示，ABC 中，D 为BC 的中点，过D 点直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连接EG 、EF 。

（1）求证：BG=CF ；（2）请你判断BE+CF 的大小关系，并说明理由。

12、如图，∠ABC=90°，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD ⊥DE ，且AD=DE ，点F 是AE 的中点，FD 与AB 相交于点M 。

角平分线的性质专项练习(含解析)

角平分线的性质专项练习(含解析)

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

角平分线性质练习题

角平分线性质练习题

一、选择题1. 在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAD = 30°，则∠CAD的度数是（）A. 30°B. 60°C. 45°D. 90°A. BD=CDB. BD=BCC. AD=BDD. AD=CD3. 在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若AB=6cm，AC=8cm，BD=4cm，则CD的长度是（）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm二、填空题1. 在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若∠B=50°，∠C=60°，则∠BAD=______°。

2. 在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则∠ADB=______°。

3. 在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若AB=5cm，AC=7cm，BD=3cm，则CD=______cm。

三、解答题1. 在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，已知∠B=40°，∠C=60°，求∠BAD和∠CAD的度数。

2. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，已知BD=6cm，求AD的长度。

3. 在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，已知AB=8cm，AC=12cm，BD=5cm，求CD的长度。

4. 在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，已知∠B=30°，∠C=45°，求∠BAD和∠CAD的度数。

5. 在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，求∠ADB的度数。

四、判断题1. 在三角形ABC中，如果AD是∠BAC的角平分线，那么AB和AC的长度一定相等。

（）2. 在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAD = ∠CAD，则三角形ABC一定是等腰三角形。

（）3. 在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若BD=CD，则∠B=∠C。

角平分线性质练习题

角平分线性质练习题

角平分线性质练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，角A的平分线交BC于点D，以下哪个说法是正确的？A. AD是角A的角平分线B. 角BAD等于角CADC. 角BAC等于角DACD. AD是BC的垂直平分线2. 如果在三角形ABC中，角A的平分线和边BC的垂直平分线重合，那么三角形ABC是什么三角形？A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 不规则三角形3. 在三角形ABC中，角A的平分线交BC于点D，若角B等于角C，那么角BAD和角CAD的大小关系是什么？A. 相等B. 角BAD大于角CADC. 角BAD小于角CADD. 不能确定二、填空题4. 在三角形ABC中，若角A的平分线将角A平分为两个相等的角，那么角BAD等于______。

5. 如果角A的平分线AD交BC于点D，且BD等于DC，那么三角形ABC是一个______三角形。

6. 在三角形ABC中，角A的平分线交BC于点D，若角A等于60度，角B等于40度，则角ADC等于______度。

三、计算题7. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD交BC于点D，且BD等于3厘米，DC等于4厘米，求BC的长度。

8. 在三角形ABC中，角A的平分线AD交BC于点D，已知角A等于70度，角B等于50度，求角BAD的度数。

四、证明题9. 证明：在三角形ABC中，如果角A的平分线AD交BC于点D，那么角BAD等于角CAD。

10. 证明：如果三角形ABC中角A的平分线AD交BC于点D，并且AB 等于AC，那么三角形ABC是一个等腰三角形。

五、应用题11. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD交BC于点D，且角A等于60度，角B等于角C，求角B和角C的度数。

12. 在三角形ABC中，角A的平分线AD交BC于点D，已知BD等于2厘米，DC等于3厘米，且角A等于40度，求AD的长度。

六、开放性问题13. 如果在三角形ABC中，角A的平分线AD交BC于点D，且角A等于90度，讨论三角形ABC的性质。

(完整版)中考复习2角平分线专题

(完整版)中考复习2角平分线专题

角平分线专题【类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板)906030(︒︒︒、、和)904545(︒︒︒、、如图(1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点，8=AC .(1)把图1中的AED Rt ∆绕A 点顺时针旋转α度)900(︒<≤α得图2，此时AGH ∆的面积是10,AHF ∆的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标;(2）如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变？若改变,请说明理由；若不改变,请求出其值。

检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A,B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化,请说明理由；若不变，请直接写出具体值。

yx检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知:如图2,在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四:若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．【类型二】点在线，垂两边例2、如图（1），ABCCD⊥，垂足为D。

专题12.2 角平分线的性质与尺规作图(专项拔高卷)学生版-2024-2025学年八年级数学上册真题

专题12.2 角平分线的性质与尺规作图(专项拔高卷)学生版-2024-2025学年八年级数学上册真题

2024-2025学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题12.2 角平分线的性质与尺规作图（专项拔高30题）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.52姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•兴城市期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AC，F是BC中点，连接AF，若AB＝4，AC＝6，DE＝3，则S△AFC为（）A．7.5 B．12 C．15 D．302．（2分）（2022秋•涪陵区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BD＝5cm，则点D到边AC的距离DE的长为（）A．4cm B．5cm C．5.5cm D．6cm3．（2分）（2022秋•青秀区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．（2分）（2022秋•镇江期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．4 B．6 C．8 D．105．（2分）（2023•武安市二模）在正方形网格中，M，N，P，Q均是格点，∠AOB的位置如图所示，则到∠AOB 的两边距离相等的格点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q6．（2分）（2023春•北林区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点C 作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F，下列这些结论：①∠CED＝∠CDE；②S△AEC：S＝AC：AG；③∠ADF＝2∠FDB；④CE＝DF，其中正确的是（）△AEGA．①②④B．②③④C．①③D．①②③④7．（2分）（2022秋•建昌县期末）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，S△ABC＝8，DE＝2，AC＝4，则AB的长是（）A．2 B．4 C．6 D．88．（2分）（2022秋•罗湖区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，BE交AD于点F，下面说法：①∠BAD＝∠C；②AE＝AF；③∠CAD＝2∠CBE；④S△BCE＝BC•AE．其中正确的说法有（）个．A．1 B．2 C．3 D．49．（2分）（2023春•尉氏县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A．1 B．C．2 D．无法确定10．（2分）（2022秋•武汉期末）如图，在△ABC中，AD平分∠CAB，下列说法：①若CD：BD＝2：3，则S△ACD：S△ABD＝4：9；②若CD：BD＝2：3，则AC：AB＝2：3；③若∠C＝90°，AC+AB＝20，CD＝3，则S△ABC＝30；④若∠C＝90°，AC：AB＝5：13，BC＝36，则CD＝10．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③④D．②③④评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•广东期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝4，DE＝2，则S△ACD＝．12．（2分）（2023春•武功县期末）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是．13．（2分）（2022秋•宝山区期末）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，如果DE ＝1，△ABC的面积是6，则△ABC的周长是．14．（2分）（2022秋•番禺区校级期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2.5，则PQ的最小值为．15．（2分）（2022秋•唐河县期末）如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝5，DC＝6，则△ABD的面积为．16．（2分）（2023春•南海区校级期中）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E 是射线OB上的动点，则PE的最小值为cm．17．（2分）（2022秋•龙潭区校级期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，交BD于点E，若AB＝12，DE＝5，则△ABE的面积为．18．（2分）（2022秋•雨花区期末）如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的长度为cm．19．（2分）（2022秋•黄岛区校级期末）如图，∠ABC＝∠ACB，△ABC的内角∠ABC的角平分线BD与∠ACB 的外角平分线交于点D，△ABC的外角∠MBC的角平分线与CD的反向延长线交于点E，以下结论：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④BD平分∠ADC；⑤∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有．（填序号）20．（2分）（2022春•菏泽期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F 分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为．评卷人得分三．解答题（共10小题，满分60分）21．（4分）（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线l1、l2相交于点O．（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）连接OA，若AB＝AC＝5，BO＝4，AO＝2，则点O到三角形三条边的距离是．22．（4分）（2022秋•西丰县期末）如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．23．（6分）（2021秋•渑池县期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE ⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：PE＝PF；（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．24．（6分）（2021秋•右玉县校级期末）阅读并理解下面内容，解答问题．三角形的内心：定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．如图1，已知AM，BN，CP是△ABC的三条内角平分线．求证：AM，BN，CP相交于一点．证明：如图2，设AM，BN相交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D，E，F．∵点O是∠BAC的平分线AM上的一点，∴OE＝OF（依据1），同理，OD＝OF，∴OD＝OE（依据2）．∵CP是∠ACB的平分线，∴点O在CP上，（依据3）．∴AM，BN，CP相交于一点．请解答以下问题：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”“依据3”分别是指什么？（2）如果BC＝a，AC＝b，AB＝c，OD＝r，请用a，b，c，r表示△ABC的面积．25．（6分）（2023春•巴州区期中）如图，点O是直线EF上一点，射线OA，OB，OC在直线EF的上方，射线OD在直线EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．（1）若∠DOF＝40°，求∠AOB的度数；（2）若OA平分∠BOE，求∠DOF的度数．26．（4分）（2022秋•江都区期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．27．（6分）（2022秋•孝感期中）如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F．（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若△ABC的周长是30，△ABC的面积为45，求OF的长．28．（8分）（2021秋•遂宁期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC 于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．29．（8分）（2021秋•扶绥县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．30．（8分）（2022秋•朝阳区校级期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）；（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值．。

角平分线专题

角平分线专题

角平分线专题一.角平分线与平行线1.如图已知a∥b，分别交c于点A, B，AC ，BD分别为∠OAE 和∠OBF的角平分线，求证AB∥CD.2.如图已知a∥b，分别交c于点A, B，AE,BF分别为∠CAB和∠BAD的角平分线，求证AE∥BF.3.如图已知a∥b，分别交c于点A, B, AE,BF分别为∠CAB和∠BAD的角平分线，求证AP⊥BP.二．三角形（内角和外角）与角平分线1.已知如图，△ABC中，BP,CP分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，判断∠P和∠A的关系，并说明理由。

变式1：如图如果P为∠ABC和∠ACB的三等分线的交点，判断∠P和∠A的关系，并说明理由。

变式2：如果P为∠ABC和∠ACB的外角平分线的交点，判断∠P和∠A的关系，并说明理由。

2．如图，点D是BC延长线上一点，AE平分∠DAC,∠B＝∠C，求证AE∥BC.3.已知如图，在△ABC中，∠B＜∠C＜90°＜∠A,∠BAC和∠ABC的外角平分线AE,BD分别与BC,CA的延长线交于E,D.如∠ABC＝∠AEC，∠D＝∠BAD,求∠BAC的度数。

3.如图，A，C，D在同一直线上，AE，CE分别为∠BAC和∠BCD的角平分线，求证∠E和∠B的数量关系。

三．相似三角形与角平分线1. 已知如图，在△ABC中，AD为∠A的角平分线，试说明AB×CD ＝AC×BD(多种方法)。

2.已知如图，在RT△ABC中，AC＝BC，∠C＝90º，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AD，垂足为E。

求证：AB＝AC﹢CD。

3.已知如图，∠C＝90º，∠B＝30º，AD是RT△ABC的角平分线。

求证：BD＝2CD（两种方法）。

4.已知如图：OA平分∠BAC，∠1＝∠2。

求证，△ABC为等腰三角形。

5.已知如图，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，且CH⊥AB，HE⊥BC，HF⊥AC。

角平分线练习题

角平分线练习题

角平分线练习一、选择题1。

已知:如图1,B E,C F是△ABC的角平分线,B E，CF相交于D,若∠A=50°，则∠BDC=（）A。

70° B。

120° C.115° D。

130°2。

已知：如图2,△ABC中,AB = AC,BD为∠ABC的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（ )A。

10° B. 20°C。

30° D. 40°3.三角形中，到三边距离相等的点是（）A.三条高线交点B.三条中线交点C。

三条角平分线的交点 D。

三边的垂直平分线的交点4.已知P点在∠AOB的平分线上,∠AOB = 60°，OP = 10 cm,那么P点到边OA、OB的距离分别是（）A。

5cm 、cm B. 4cm、5cmC. 5cm、5cm D。

5cm、10cm5。

下列四个命题的逆命题是假命题的是（)A。

直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等C。

全等三角形的对应角相等 D.相等的两个角是对顶角6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC,OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于( ）cmA. 2、2、2 B。

3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空题1。

命题:“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是 ,它是命题。

2.角平分线可以看作是的点的集合。

3。

已知：△ABC中,∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是cm。

4.命题“如果a = b，那么| a | = | b |"的命题是 ,它是命题。

三、简答题1。

已知:如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE,∠1=∠2，AD = AC求证:DC∥AE2。

角平分线练习

角平分线练习

角平分线（练习）
1、如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立
的是（）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
（第1题）（第2题）（第3题）
2、如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB 的距离是______________。

3、如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=________
4、如图：△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，过D分别作D E⊥AB，DF⊥AC，
求证：DE=DF
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=4，△ABD的面积等于9．
求：△ADC的面积．
6、已知∠A=∠B=90°，∠BCD、∠ADC的平分线交AB于E．求证：AE=BE．
7、如图，E是∠APB内的一点，CE⊥PA于点C，ED⊥PB于点D，CE=ED，点F在PA上，∠APB=60°，∠PEF=15°．求∠CFE的度数．
如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）
数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．。

专题1.4 角平分线的几何综合(压轴题专项讲练)(浙教版)(原卷版)

专题1.4 角平分线的几何综合(压轴题专项讲练)(浙教版)(原卷版)

专题1.4 角平分线的几何综合【典例1】问题情境：（1）如图1，∠AOB=90，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P 上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB 相交于点E 、F ，过点P 作PN⊥OA于点N，作PM⊥OB于点M，请写出PE与PF 的数量关系___________；变式拓展：（2）如图2，已知OC平分∠AOB，P 是OC上一点，过点P 作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，PE边与OA边相交于点E ，PF 边与射线OB 的反向延长线相交于点F ，∠MPN=∠EPF．试解决下列问题：①PE与PF 之间的数量关系还成立吗？为什么？②若OP=2OM，试判断OE、OF 、OP 三条线段之间的数量关系，并说明理由．（1）过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≅△PNE，可得结论；（2）①过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≅△PNE，可得结论；②结论：OE−OF=OP．证明△POM≅△PON，推出OM=ON，再由△PMF≅△PNE，推出FM=EN，可得结论．（1）证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，PN ⊥OA ，∴PM =PN ，∵∠PMO =∠PNO =∠MON =90°，∴∠MPN =360°−3×90°=90°，∵∠MPN =∠EPF =90°，∴∠MPF =∠NPE ，在△PMF 和△PNE 中，∠PMF =∠PNE PM =PN ∠PMF =∠PNE =90°，∴△PMF≅△PNE （ASA ），∴PF =PE ；（2）解：①结论：PE =PF ．理由：过点P 作PM ⊥OB 于M ，PN ⊥OA 于N ，∵OC 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，PN ⊥OA ，∴PM =PN ，∵∠MPN =∠EPF ．∴∠MPF =∠NPE ，在△PMF 和△PNE 中，∠PMF =∠PNE PM =PN ∠PMF =∠PNE =90°，∴△PMF≅△PNE （ASA ），∴PF =PE ；②结论：OE−OF =OP ．理由：在△OPM 和△OPN中，∠PMO =∠PNO ∠POM =∠PON OP =OP，∴△POM≅△PON （AAS ），∴OM =ON ，∵△PMF≅△PNE （ASA ），∴FM =EN ，∴OE−OF =EN +ON−(FM−OM)=2OM ，在Rt △OPM 中，∠PMO =90°，∠POM =12∠AOB =60°，∴∠OPM =30°，∴OP =2OM ，∴OE−OF =OP ．1．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD 中，BC =CD ，∠BCD =120°，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，∠ECF =∠A =60°．（1）求证：EF =BE +DF ．（2）求证：点C 在∠BAD的平分线上．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．（1）求证：∠AOC＝90°＋1∠ABC；2（2）当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．3．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE=45°．（1）求证：BF平分∠ABE；（2）连接CF交AD于点G，若SΔABF=SΔCBF，求证：∠AFC=90°；（3）在（2）的条件下，当BE=3，AG=4.5时，求线段AB的长．4．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．（1）求证：AD为∠BDC的平分线；（2）若∠DAE=1∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．25．（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．（1）如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：AE=BD，AE⊥BD；（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG的大小固定吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．6．（2023·宁夏银川·银川市第三中学校考二模）问题提出（1）如图①，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，分别以点M，MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C，画射线OC，连接CM，CN，MN，则N为圆心，大于12图①中与△OMC全等的是___________；问题探究（2）如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，BD，若AB+AC=2AM，求证：∠ACD+∠ABD=180°；问题解决（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板ABC，∠B=60°，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形BEFD，并要求∠EFD=120°，EF=DF．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出∠BAC的平分线AD交BC于点D，作∠BCA的平分线CE交AB于点E，AD，CE交于点F，得到四边形BEFD．请问，若按上述作法，裁得的四边形BEFD是否符合要求？请证明你的结论．7．（2022·全国·八年级假期作业）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD=BD，点E在CD上，DE=DA，连接BE．（1）求证：BE=CA；（2）延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数；（3）过点C作CM⊥CA，CM=CA，连接BM交CD于点N，若BD=12，AD=5，直接写出△NBC的面积．8．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图1，ΔABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，∠BAC=60°．（1）求∠BGC的度数；（2）如图2，连接AG，求证：AG平分∠BAC；（3）如图3，在⑵的条件下，在AC上取点H，使得∠AGH=∠BGC，且AH=8，BC=10，求ΔABC的周长．9．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．∠BAC．（1）如图1，求证：∠BOC=90°+12（2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．的值．（3）如图3，若∠BAC=60°，BD=4，CE=2，求ODOC10．（2022秋·福建福州·八年级校考开学考试）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE．（1）如图1，求证：DF＝CF；（2）如图2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，连接BE交CD于H，求证：∠ABE＝∠CBE；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的长．11．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：∠AOB=60°，小新在学习了角平分钱的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线．（1）如图1，他先在边OA和OB上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE，然后他就说射线OP是∠AOB 的角平分线．试根据小新的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线；（2）如图2，将角尺绕点P旋转了一定的角度后，OD≠OE，但仍然出现了PD=PE，此时OP是∠AOB的角平分线吗？如果是，请说明理由．（3）如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，请判断线段OD与OE的数量关系，并说明理由．12．（2022秋·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考阶段练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN=60°，连接BD，作∠ABD的平分线BP交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG=2，DF=4，求线段DB的长．13．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①直接写出∠E与∠A的数量关系___________；②连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若已知DE=DC=AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．14．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．（1）如图1，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；小东通过观察、实验，提出猜想：BE+CD=BC．他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可．①下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整：ⅰ）在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与全等，判定它们全等的依据是；ⅱ）由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=°；②请直接利用ⅰ），ⅱ）已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．（2）如图2，若∠ABC=40°，求证：BF=CA．15．（2022秋·全国·八年级专题练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）【模型呈现】如图，AD为△ABC的中线，BE∥AC交AD的延长线于点E，求证：AD=DE．（2）【模型应用】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC中点，连接AE，DE，AE平分∠BAD，求证：DE平分∠ADC．（3）【拓展探索】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AB交∠BAC的平分线于点E，过点E作EF⊥AE交BC于点F，若AE+EF=AC，求证：CF=2BD．16．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E在边AB上，连接DE、CE，∠EDA=∠EDC．（1）如图1，若CE平分∠BCD，求证：AD+BC=DC．（2）如图2，若E为AB中点，求证：CE平分∠BCD．（3）如图3，在（2）条件下，以E为顶点作∠HEF=∠CDE，∠HEF的两边与BC、DC分别交于F、H，BF=3，AD=4，DH=7，求HF的长17．（2023·全国·八年级专题练习）在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．（1）如图1，求∠BGC的度数；（2）如图2，求证：EG=FG；（3）如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．18．（2022秋·吉林·八年级吉林省实验校考阶段练习）如图（1）~（3），已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB=α(0°<α<180°)，∠CPD=β．（1）如图（1），当α=β=90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）；（2）如图（2），当α=60°，β=120°时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．（3）如图（3），当α+β=180°时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．。

角平分线的性质与判定专题训练

角平分线的性质与判定专题训练

《角平分线的性质与判定》专题训练一.选择题1.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线.此角平分线的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠QAE=∠PAE ，则说明这两个三角形全等的依据是（ ）A.SASB.ASAC.AASD.SSS2.如图，OP 平分∠MON ，P A ⊥O N 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为（ ） 32.3.2.3.D C B A3.如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DE=2，AC=3，则△ADC 的面积是（ ）A.3B.4C.5D.6第1题图 第2题图 第3题图 第4题图5.如图，在△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线交于点O ，OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，则OD 与OE 的大小关系为（ ）A.OD ＞OEB.OD=OEC.OD ＜OED.不能确定6如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为（ ）A ．6cm B.3cm C.7cm D .8cm7.到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点8.正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点是（ ）A.点MB.点NC.点PD.点Q第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图第6题图 第8题图 第9题图 第10题图9.如图，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，AD 与BC 交于点P.若PA=PB ，则∠1与∠2的关系为（ ）A.∠1=∠2B.∠1＞∠2C.∠1＜∠2D.无法确定10.如图，O 是△ABC 内一点，且O 到三边AB ，BC ，CA 的距离OF=OD=OE ，若∠BAC=70°，则∠BOC 的度数为（ ）A.35°B.145°C.55°D.125°二．填空题11.如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AB=6cm ，AC=8cm ，则 ACD ABD S S △△：12.如图，点P 是∠BAC 的平分线上一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，有以下结论：①PE=PF ，②AE=AF ，③∠APE=∠APF ，其中正确的是 （填序号）13.如图，在平面直角坐标系中，AD 是OAB △Rt 的角平分线，已知点D 的坐标是（0，-3），AB的长是10，则△ABD 的面积为14.如图，PM ⊥AC 于点M ，PN ⊥AB 于点N ，PM=2，当PN= 时，点P 在∠BAC 的平分线上.15.如图，点P 在∠AOB 内，∠AOB=48°，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，E 、F 为垂足，PE=PF ，则∠POE=三． 解答题16.如图，已知AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DF ⊥AC ，垂足为点F ，求证：DE=DF.17.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：∠B=∠C.19.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，且BE=CF，求证：AD平分∠BAC.20.如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE，CD相交于点O，连接AO.求证：（1）当∠1=∠2时，OB=OC；（2）当OB=OC时，∠1=∠2.22.如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.求证：点P在∠MON的平分线上。

角平分线专题训练

角平分线专题训练

1八年级角平分线专题1、如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD2、如图，在四边形ABCD 中，BD 是∠ABC 的角平分线，若CD ＝AD ，过D 点作DE ⊥AB ，求证：AB ＋BC ＝2BE3、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，点O 是∠A 的平分线上一点，过O 点作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥AC 交AC 的延长线于F ，且BE ＝CF ，若AB ＝12，AC ＝5，求BE 长。

4、如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，若AQ ＝PQ ，RP ＝PS ，你能得到哪些结论？并证明。

5、如图，已知BF 是∠DBC 的平分线，CF 是∠ECB 的平分线，求证：点F 在∠BAC 的平分线上。

6、如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上取OA ＝OB ，点P 在OD 上，且PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，求证：PM ＝PNA BC DA BC D E A C B E F AC B PRS Q A B C F E D AO BDP MN27、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BD ＝DF ，求证：CF ＝EB8、如图在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＋∠ABC ＝180度，CE ⊥AD 于E ，猜想AD 、AE 、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，9、如图，已知△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE ，∠AED ＋∠CAE ＝180度，求证：DE ∥BC10、如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90度，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，FM ⊥AC ，∠ABE ＝∠CBE ，求证：FM＝FD11、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 中点。

【中考数学】《角的平分线》专项练习题2套含答案

【中考数学】《角的平分线》专项练习题2套含答案

角的平分线第1课时角的平分线的性质01基础题知识点1角的平分线的作法1．如果要作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C)①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；③分别以D、E为圆心，大于12DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等3．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的角平分线，保留作图痕迹，不写作法．解：作图略．知识点2角的平分线的性质4．(茂名中考)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P 到边OB的距离为(A)A ．6B ．5C ．4D ．35．(怀化中考)如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是(B )A ．PC ＝PDB ．∠CPD ＝∠DOPC ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，求证：OB ＝OC.证明：∵点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ， ∴OE ＝OD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°. 在△BEO 和△CDO 中，⎩⎨⎧∠BEO ＝∠CDO ，OE ＝OD ，∠EOB ＝∠DOC ，∴△BEO ≌△CDO(ASA )． ∴OB ＝OC.知识点3 文字命题的证明7．命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是两个三角形全等，结论是这两个三角形对应边上的高相等．8．(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC ＝∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ． 求证：PD ＝PE ．请你补全已知和求证，并写出证明过程.证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°. 在△PDO 和△PEO 中，⎩⎨⎧∠PDO ＝∠PEO ，∠AOC ＝∠BOC ，OP ＝OP ，∴△PDO ≌△PEO(AAS )． ∴PD ＝PE. 02 中档题9．(淮安中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积为(B )A ．15B ．30C ．45D ．6010．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A) A．M点B．N点C．P点D．Q点11．(湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)A．8 B．6 C．4 D．212．已知，如图，△ABC的角平分线AD交BC于D，BD∶DC＝2∶1，若AC＝3 cm，则AB＝6_cm．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长．解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE.又∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED.∴AE＝AC.∴△DEB 的周长为DE ＋DB ＋EB ＝CD ＋DB ＋BE ＝BC ＋BE ＝AC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ＝10 cm .14．求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，∠B ＝∠B′，∠BAC ＝∠B′A′C′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的平分线，且AD ＝A′D′.求证：△ABC ≌△A′B′C′.证明：∵∠BAC ＝∠B′A′C′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线， ∴∠BAD ＝∠B′A′D′. ∵∠B ＝∠B′，AD ＝A′D′， ∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS )． ∴AB ＝A′B′.在△ABC 和△A′B′C′中，⎩⎨⎧∠B ＝∠B′，AB ＝A′B′，∠BAC ＝∠B′A′C′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA )． 03 综合题15．(长春中考)感知：如图1，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°.易知：DB ＝DC.探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°.求证：DB ＝DC.证明：过点D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. ∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°， ∠ACD ＋∠FCD ＝180°， ∴∠B ＝∠FCD. 在△DFC 和△DEB 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB. ∴DC ＝DB.第2课时 角的平分线的判定01 基础题知识点1 角的平分线的判定1．如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB.下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ；②PD ＝PE ；③OD ＝OE ；④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有(D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，∠AOB ＝70°，QC ⊥OA 于点C ，QD ⊥OB 于点D ，若QC ＝QD ，则∠AOQ ＝35°．3．如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠DFC ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，DB ＝DC ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC.∴DE ＝DF. ∴AD 是∠BAC 的平分线．4．如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE ，CD 相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB ＝OC ； (2)当OB ＝OC 时，∠1＝∠2.证明：(1)∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°. 在△BOD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠BOD ＝∠COE ，OD ＝OE ，∠ODB ＝∠OEC ，∴△BOD ≌△COE(ASA )． ∴OB ＝OC.(2)在△BOD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠ODB ＝∠OEC ，∠BOD ＝∠COE ，OB ＝OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS )． ∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.知识点2 三角形的角平分线5．到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的(B )A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．以上均不对6．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO ＝4∶5∶6．知识点3角的平分线的性质与判定的实际应用7．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．解：图略．提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置．8．如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭子，供人们休息，而且要使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．解：△ABC的角平分线的交点就是小亭的中心位置，图略．02中档题9．(永州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△＝S△PCD，则满足此条件的点P(D)PABA．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)10．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3 cm，则△ABC的面积为30_cm2．11．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF.∴DE＝DG.∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线．12．如图所示，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．解：当D移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C ，∴△DEB ≌△DFC(AAS )．∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.03 综合题13．如图，在四边形ABDC 中，∠D ＝∠B ＝90°，O 为BD 的中点，且AO 平分∠BAC.求证：(1)CO 平分∠ACD ；(2)OA ⊥OC ；(3)AB ＋CD ＝AC.证明：(1)过点O 作OE ⊥AC 于点E ，∵∠B ＝90°，AO 平分∠BAC ，∴OB ＝OE.∵点O 为BD 的中点，∴OB ＝OD.∴OE ＝OD.又∵∠D ＝90°，∠OEC ＝90°.∴CO 平分∠ACD.(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，⎩⎨⎧AO ＝AO ，OB ＝OE ，∴Rt △ABO ≌Rt △AEO(HL )．∴∠AOB ＝∠AOE ＝12∠BOE. 同理，∠COD ＝∠COE ＝12∠DOE.∵∠AOC ＝∠AOE ＋∠COE ，∴∠AOC ＝12∠BOE ＋12∠DOE ＝12×180° ＝90°.∴OA ⊥OC.(3)∵Rt △ABO ≌Rt △AEO ，∴AB ＝AE.同理可得CD ＝CE.∵AC ＝AE ＋CE ，∴AB ＋CD ＝AC.。

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角平分线相关练习题一、选择题1. 下列关于角平分线的性质，错误的是：A. 角平分线上的点到角的两边的距离相等B. 角的平分线将角分成两个相等的角C. 两条角平分线相交于角的顶点D. 角平分线一定是线段A. BD = DCB. AB = ACC. BD = ACD. AD = BC二、填空题1. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若AD是角BAC的平分线，则BD 和DC的关系是______。

2. 若一个角的度数为120°，则它的角平分线将角分成两个______度的角。

三、判断题1. 角平分线将角分成两个相等的角，所以角平分线一定是角的对称轴。

（）2. 在三角形中，角平分线与高线、中线重合。

（）四、作图题1. 已知∠AOB，请作出其角平分线OC。

2. 在三角形ABC中，已知AB=AC，请作出角BAC的平分线AD。

1. 在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，若∠BAC=100°，求∠BAD和∠CAD的度数。

2. 在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若∠AOB和∠COD的度数分别为60°和120°，求证：OA和OC分别是∠BOD的角平分线。

3. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若AD是角BAC的平分线，且BD=6cm，DC=8cm，求腰AB的长度。

六、计算题1. 在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，若∠BAC=72°，∠ABC=64°，求∠BAD和∠ADC的度数。

2. 在等腰三角形DEF中，若底边EF的长度为20cm，腰DE的长度为24cm，求角平分线DG的长度。

七、应用题1. 在公园的一个三角形花坛ABC中，AD是角BAC的平分线，若∠BAC=108°，为了美观，设计师在角平分线AD上每隔1米种植一棵树，共种植了12棵树。

求三角形花坛ABC的周长。

2. 在一个等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=10cm，角平分线AD将BC分成两段，其中BD=6cm。

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角平分线专题练习
1．如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥于点E ，点F 在AC 上，BD DF =．
(1)求证：CF EB =．
(2)若12AB =，8AF =，求CF 的长．
2．如图，ABC ∆的角平分线BE 、CF 相交于点P ．求证：点P 在A ∠的平分线上．
3．如图，BE AC ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，BE 、CF 相交于点D ，若AB AC =．
求证：AD 平分BAC ∠．
4．如图，BD 为ABC ∠的平分线，AB BC =，点P 在BD 上，PM AD ⊥于M ，
PN CD ⊥于N ，求证：PM PN =．
5．如图，ABC ∆的外角CBD ∠和BCE ∠的平分线相交于点F ，求证：点F 在DAE ∠的平分线上．
6．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，且DM 平分ADC ∠．
(1)求证：AM 平分DAB ∠．
(2)试说明线段DM 与AM 有怎样的位置关系？并证明你的结论．
7．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AC ⊥，垂足为E ，//BF AC 交ED 的延长线于点F ，BC 平分ABF ∠，
12
BF AE =． 求证：(1)DE DF =；
(2)3AC BF =．
8．点P 为EAF ∠平分线上一点，PB AE ⊥于B ，PC AF ⊥于C ，点M 、N 分别是射线AE 、AF 上的点，且PM PN =．
(1)当点M 在线段AB 上，点N 在线段AC 的延长线上时(如图1)，求证：BM CN =；
(2)在(1)的条件下，AM AN += AC ；
(3)当点M 在线段AB 的延长线上时(如图2)，若:2:1AC PC =，4PC =，求四边形ANPM 的面积．。

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