第六讲 最短路PPT课件

一般SSSP算法
• 一般算法
– 可以以任意顺序寻找紧边并松弛 – 收敛时间没有保障
• 解决方案：把结点放到bag中，每次取一个出来检查 • 特殊bag：dijkstra(heap), bellman-ford(queue)
二、dijkstra算法
Dijkstra算法
• E.W.Dijkstra. A note on two problems in connection with graphs. Num.Math.,1:269271, 1959
– 结束时对s到v的任意路sv，dist(v)<=w(sv)
• 归纳于sv所含边数，假设su-v（u=pred(v)） • dist(u)<=w(su)，两边加w(u,v)得： • dist(u)+w(u,v)<=w(sv)。因为无紧边，所以 • dist(v)<=dist(u)+w(u,v)<=w(sv)
• dist(v)称为点v的标号(label), 它是最短路的上界 • 基本想法: 让标号不断趋近, 最终达到最短路
一般SSSP算法
• 什么样的标号明显可以改进(趋近最短路)?
– 一条边(u,v)被称为紧的(tense), 如果 dist(u)+w(u,v)<dist(v)
– 可以松弛：dist(v)=dist(u)+w(u,v), pred(v)=u
所有边权的最大公约数 – 考虑v0到v1的所有路p1,p2,…, 求所有
s(p1),s(p2),…的最小公倍数
三、bellman-ford算法
SSSP：bellman-ford算法
• Ford 1956, Bellman 1958, Moore 1959. • 如有最短路，则每个顶点最多经过一次
一般SSSP算法
• 临时最短路
– 存在此路，即真实的最短路长度不大于此路长度
– 但是有可能有更短的，所以此路长度只是一个上界
• 给定起点s，对于每个顶点v，定义
– dist(v)为临时最短路树中s->v的长度 – pred(v)为临时最短路树中s->v中v的前驱 – 初始化: dist(s)=0, pred(s)=NULL, – 初始化: 所有其他dist(v)为无穷，pred(v)=NULL
– 这条路不超过n-1条边
– 长度为k的路由长度为k-1的路增加一条边得到
– 由最优性原理, 只考虑长度为1…k-1的最短路 – 算法梗概: 每次迭代依wk.baidu.com松弛每条边
• 时间复杂度
– O(Dm)，v为迭代次数(v<=n-1) – 完全图边权在[0, 1]中均匀分布, 很大概率D=O(log2n) – 若某次迭代没进行成功松弛, 可立即停止 – 可用dijkstra得到初始dist
SSSP
• 给加权图和一个起点s, 求s到所有点的最短路 (边权和最小的路径)
• 最短路有环吗
– 正环: 何必呢, 删除环则得到更短路 – 负环: 无最短路, 因为可以沿负环兜圈子
最优性原理
• 最优性原理: 若最短路uv经过中间结点w, 则 uw和wv的路径分别是u到w和w到v的最短路.
• 意义: 贪心、动态规划
一般SSSP算法的结束条件
• 刚才已经证明
– 结束时dist(v)和pred(v)相容 – 若算法结束，则结果正确
• 算法何时能结束呢？
– 含负圈（能到达的），则永不结束，因为在一 次松弛以后，负圈上一定有紧边（反证）
– 不含负圈，则一定结束，因为要么减少一个无 穷dist值，要么让所有有限dist值之和至少减少 一个“不太小的正值”。
最短路的表示
• 最短路的表示
– s到所有点的最短路不需要分别表示 – 最短路树: 到每个点都沿着树上的唯一路径走 – 实际代码: 记录每个点的父亲pred[u]即可 – 输出最短路: 从终点沿着pred[u]递推回起点
为什么单源最短路形成树?
• 考虑下图 • 如果uz的路只取一条即可
最短路树和最小生成树
• 有任何意见，欢迎在blog上评论 • Blog地址：
内容介绍
一、SSSP问题 二、dijkstra算法 三、Bellman-ford算法 四、差分约束系统 五、Gabow的变尺度算法 六、APSP问题 七、floyd-warshall算法 八、Johnson算法
一、单源最短路问题(SSSP)
《算法艺术与信息学竞赛》 教学幻灯片
算法图论 第六讲 最短路
声明
• 本系列教学幻灯片属于刘汝佳、黄亮著 《算法艺术与信息学竞赛》配套幻灯片
• 本幻灯片可从本书blog上免费下载，即使您 并未购买本书.
• 若作为教学使用，欢迎和作者联系以取得 技术支持，也欢迎提供有不同针对性的修 改版本，方便更多人使用
• 原始是O(n2), 可以用各种形式的堆加速
Dijkstra算法
• 标号设定算法: 每次dist(v)最小的一个恰好等于 它的最短值，予以固定
• 正确性证明 (注意为什么需要权非负)
时间复杂度
• Dijkstra算法使用了一个优先队列
– INSERT (line 3), 每个结点一次 – EXTRACT-MIN, 每个结点一次 – DECREASE-KEY (line 8, 在RELAX过程中), 一
– 把每条边拆成w(u,v)条边串联, 然后BFS – 直接修改dijkstra得到O(VW+E)的算法 – 优化到O((V+E)lgW)
• 从s出发的边有可能有负边(但无负环), 其他边均 为正权. Dijkstra算法能得到最优解吗?
应用——路的最小公倍数
• 给出一个带权无向图G
– 边权为1…1 000的整数 – 对于v0到v1的任意一条简单路p, 定义s(p)为p上
共|E|次
• 直接实现: O(V2) • 二项堆: O(ElogV) • Fibonacci堆: O(E+VlogV)
练习
• 给有向加权图, 边权值为[0,1]之间的实数, 代表边 的可靠性(各边的可靠性独立). 找出s到t的路径中 可靠性最大的一条(总可靠性等于每条边可靠性之 乘积)
• 假设边权值范围为{1, 2, 3, …, W}
• 结论
– 存在紧的边，一定没有正确的求出最短路树 – 不存在紧的边，一定正确的求出最短路树
一般SSSP算法的正确性
• (u,v)被称为紧的：dist(u)+w(u,v)<dist(v) • 不存在紧边，一定求出最短路树
– 即由pred表示出的路径上所有边权和等于dist(v) （归纳于松弛的次数）