第六讲 最短路PPT课件
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《最短路问题》课件
3 最短路问题的历史
渊源
最短路问题最早由荷兰 数学家 Edsger Dijkstra 在 1956 年提出。
最短路问题的定义
图论中的最短路问 题指什么？
在无向连通图或有向连通图 中，从某一起点到其余各顶 点的最短路径。
什么是路径长度？
路径长度是指路径上边或弧 的权值之和。
什么是无环图？
无环图指不存在环的图，可 以用拓扑排序求解最短路。
《最短路问题》PPT课件
欢迎来到最短路问题的世界。在本课件中，我们将介绍四种最短路算法及其 应用，并分析它们的优缺点。
问题背景
1 什么是最短路问题？ 2 为什么需要解决最
短路问题？
最短路问题是计算从源 节点到目标节点的最短 路径的问题。它是图论 中的一个经典算法问题。
很多实际问题都涉及到 最短路径的计算，比如 电网、交通、通信等领 域。
Floyd-Warshall算法解决的是所有点对之间 的最短路径问题，可以处理有向图或负边权 图。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法解决的是有向图中含有负 权边的单源最短路径问题。
A*算法
A*算法综合了贪心和广度优先搜索，在启发 函数的帮助下，可以高效解决带权图上的单 源最短路径问题。
算法示例
1
Step 1
假设我们要求从 A 点到其他各点的最
Step 2
2
短路径。
首先初始化 A 点到其他各点的距离为
无穷大，A 点到自身的距离为 0。
3
Step 3
找到 A 点的直接邻居，更新其距离值。
Step 4
4
重复 Step 3，直到所有节点的距离值 都已经更新。
总结
数学建模最短路问题PPT课件
第19页/共54页
实现Kruskal算法的MATLAB程序： %加权图的存储结构采用边权矩阵[b(i,j)]m×3 b=[1 1 1 2 2 3 3 4
24535455 8 1 5 6 7 9 10 3]; [B,I]=sortrows(b’,3); B=B’; m =size(b,2); n=5; t=1:n; k=0; T=[ ]; c = 0;
1
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9
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7
6 10
33
51 1 421 1 4 22 3 34 5 5 78 inf 196 5 3
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实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
5 7 10 3 0]; T=[ ]; e=0; v=1; n=5; sb=2:n; %1代表第一个红点，sb代表 白点集。 for j=2:n %构造初始候选边的集合
0
7
9
W
0 5 1 2 0 3 9
0 4 6
0
3 0
因 G 是无向图，故 W 是对称矩阵．
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迭代 次数
１ 2 3 4 5 6 7 8
最后标记:
l (v) z (v)
u1
u2
０
0２
2
l(ui )
u3 u4
u5
１８
8
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3
8
7
02 17
3
u1 u1
u1 u6
u2
u6 u7
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点 的最短路．
实现Kruskal算法的MATLAB程序： %加权图的存储结构采用边权矩阵[b(i,j)]m×3 b=[1 1 1 2 2 3 3 4
24535455 8 1 5 6 7 9 10 3]; [B,I]=sortrows(b’,3); B=B’; m =size(b,2); n=5; t=1:n; k=0; T=[ ]; c = 0;
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实现Prim算法的MATLAB程序： a=[0 8 inf 1 5;8 0 6 inf 7;inf 6 0 9 10;1 inf 9 0 3;…
5 7 10 3 0]; T=[ ]; e=0; v=1; n=5; sb=2:n; %1代表第一个红点，sb代表 白点集。 for j=2:n %构造初始候选边的集合
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因 G 是无向图，故 W 是对称矩阵．
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迭代 次数
１ 2 3 4 5 6 7 8
最后标记:
l (v) z (v)
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u1 u1
u1 u6
u2
u6 u7
因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点 的最短路．
运筹学课件：最短路问题
Operation Research
实例1
第八讲
Operation Research
实例2 求从1出发到5的最大流
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例
第八讲
Operation Research
第八讲
第八讲
Operation Research
网络最大流的基本概念（6）
增广链的基本概念
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例：寻找图中增广链
第八讲
Operation Research
第八讲
网络最大流的基本概念（7）
直到 D(k-1)=D(k)
dij(k)=min｛dir(k-1)+drj(k-1)｝
矩阵的计算次数k
Operation Research
实例（1） 求图中任意两点之间的最短ch
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
Operation Research
求解步骤
（1）标号过程
第八讲
Operation Research
（2）调整过程
第八讲
我们的目标是尽快找到一条从起点vs到终点vt的增广链， 所以没必要在中途多停留，即对已标号的vi，每次只检查 一个相邻点vj，再给vj标号，没有必要检查vi的所有相邻点， 这样一次可改进一条增广链，只到没有增广链为止
（2）起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总 和；
运筹学——.图与网络分析-最短路课件
运筹学——.图与网络分析-最短路
v2 (4) 5 v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
① ②
64
v 3(6)
7 v 5 (8) 6
1
v7
③
④
4）接着往下考察，有四条路可走：(v2,v4), (v2,v5).
可选择的最短路为
(v3,v4), (v3,v5).
m k 2 , ik 4 2 n ,k 5 3 ,{ k 4 3 } 5m 9 ,8 , i 1 , n 1 } 0 { 3 8
(v5,v6), (v5,v7 ).
m k 2 ,i k 4 3 n ,k 4 5 ,k { 6 5 } 7 m 9 ,1 i ,1 n ,1 0 } 3 { 4 9
① 给(v2,v4) 划成粗线。
② 给 v 4 标号（9）。
③ 划第5个弧。
运筹学——.图与网络分析-最短路
v 2 ( 4 ) 5 v 4(9 ) 9 v 6 (13 )
运筹学——.图与网络分析-最短路
引言
随着科学技术的进步，特别是电子计算机 技术的发展，图论的理论获得了更进一步的发展， 应用更加广泛。如果将复杂的工程系统和管理问 题用图的理论加以描述，可以解决许多工程项目 和管理决策的最优问题。因此，图论越来越受到 工程技术人员和经营管理人员的重视。
运筹学——.图与网络分析-最短路
树图的各条边称为树枝假定各边均有权重一般图g2含有多个部分树其中树枝总长最小的部分树称为该图的最小部分树也称最小支撑树?定理1图中任一个点i若j是与i相邻点中距离最近的则边ij一定必含在该图的最小部分树内
第6章 图与网络分析
本章内容重点 图的基本概念与基本定理 树和最小支撑树 最短路问题 网络最大流
最短路应用问题课件 15页PPT文档
按照最短路算法可得最短路 {v1, v2, v3, v5}，即计划 期内机器更新最优计划为第 1 年、第 3 年初各购进 一台新机器，4 年总的支付费用为 6.8万元。
选址问题。选址问题是指为一个或几个服
务设施在一定区域内选定它的位置，使某一指 标达到最优值。选址问题的数学模型依赖于设 施可能的区域和评判位置优劣的标准，有许多 不同类型的选址问题。比较简单的两类选址问 题是中心问题和重心问题。
某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初 的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增。若生 产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管 费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损 失费C3=0.4元。假定生产率每调整一次带有固定的调整费 C1=1万元，试问工厂如何制定当年的生产策略，使工厂的 总损失最小？
S(vi)m 1ja{dxij}，i = 1, 2, …, v 有：S(v1) = 10，S(v2) = 7，S(v3) = 6，S(v4) = 8.5， S(v5) = 7，S(v6) = 7，S(v7) = 8.5。
(3) 求出顶点 vk，使 S(vk)m 1i{iSn(vi)}，则 vk 就是要求的建立消防站的地点。因为 S(v3) = 6 最小，故应将消防站设在 v3 处。此点称为图的 中心点。
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0
实验作业
生产策略问题：现代化生产过程中，生产部门面临的突出 问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致 产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产 品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见， 生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便 适时调整生产率，获取最大收益。
选址问题。选址问题是指为一个或几个服
务设施在一定区域内选定它的位置，使某一指 标达到最优值。选址问题的数学模型依赖于设 施可能的区域和评判位置优劣的标准，有许多 不同类型的选址问题。比较简单的两类选址问 题是中心问题和重心问题。
某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初 的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增。若生 产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管 费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损 失费C3=0.4元。假定生产率每调整一次带有固定的调整费 C1=1万元，试问工厂如何制定当年的生产策略，使工厂的 总损失最小？
S(vi)m 1ja{dxij}，i = 1, 2, …, v 有：S(v1) = 10，S(v2) = 7，S(v3) = 6，S(v4) = 8.5， S(v5) = 7，S(v6) = 7，S(v7) = 8.5。
(3) 求出顶点 vk，使 S(vk)m 1i{iSn(vi)}，则 vk 就是要求的建立消防站的地点。因为 S(v3) = 6 最小，故应将消防站设在 v3 处。此点称为图的 中心点。
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实验作业
生产策略问题：现代化生产过程中，生产部门面临的突出 问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致 产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产 品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见， 生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便 适时调整生产率，获取最大收益。
最短路算法上课ppt
优点
缺点
优点
优点
效率低，需要遍历所有点（特别是有时候不需要最优解）、运算中占用空间大
缺点
算法简明易懂、并且一定能得到最优解
优点
Dijkstra算法可能不是最优先使用的方法，因为算法的运算速度效率，往往要比精确度更加重要
实际运用
但似乎在实际运行时效果并不理想！ 这样利用Dijkstra算法设计一个属于我们自己的导航系统啦。
最佳优先搜索简介
这个算法的运算流程跟Dijkstra的流程类似，只不过它考察的是选取点到终点的距离，并且这个距离的权值是评估出来的，这也就是启发式的思想。举例说明，如果说目标的终点在北面，那么越靠近北面的点权值就越小，那么算法在搜索过程中，所加入点集的点就会倾向于北面，因此不用搜索全图东南西北，更多的是搜索北面的点，速度来说会优于Dijkstra算法很多。
01
A*算法能够解决有固定障碍物的路径规划问题，并且能很快地给出解，但是当障碍物是移动的时候，我们又应该如何对算法进行改从而给出解呢？
02
一个典型问题：AGV小车线路规划！
智能码头：AGV
AGV中文名：自动导引小车
是自动化码头水平运输系统中用于搬运集装箱的搬运设备。
其主要职责：就是在规定的时间窗口范围内完成堆场和岸桥之间实现集装箱的传送。
一
算法的描述上看去相当复杂，我们给出下面例子来具体说明整个算法的运行流程！
首先我们要有如下概念：
假设P：v→km是从顶点v到km的一条最短路径，那对这条路径上任意其他一点ki，都有 P上关于v→ ki的子路径为v到点ki的最短路径。
即最短路径的子路径仍然是最短路径，最短路算法本质上上基于这种思想展开的。
最短路问题及相关算法介绍
关于最短路问题课件
V ∞，s
4
1
3
4，s C
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E ∞，s
2，s
A
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54，，sA 5
9∞，，As
D5
S
B
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d (u ) md ( a u ,v ) x v ,{ V { u }}
中心问题
网络G的一个中心是满足下列条件的G的顶点u
d (u ) md i(v n )v , { V }
选址问题可化为求G的中心问题。
（2）
求图的中心的算法过程：
用Dijkstra算法求出G的任意两点间的距离；
求出每点的离距d(v)
如果Pu0uv 是从u 0 到 S 的最短路，
则 u S ，并且P的 (u 0 , u ) 段是最短的
(u 0 , u ) 路，所以 d(u0,u)d(u0,u)w (u,v)
d ( u 0 ,S ) m d ( u 0 i ,u n ) w ( { u ,v )u ,S ,v S } (1)
点到其他所有顶点的最短路；这些最短路构成了图的
63 最短路问题PPT课件
第六章 图与网络分析
6.1图与网络的基本知识 6.2 树 6.3最短路径问题 6.4网络最大流问题 6.5最小费用最大流问题
1
6.3 最短路问题
Shortest Path Problem
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度最短? 3
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最短路问题
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最短路问题
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6.1图与网络的基本知识 6.2 树 6.3最短路径问题 6.4网络最大流问题 6.5最小费用最大流问题
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Shortest Path Problem
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度最短? 3
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现问从u1到u8,的各条路线中,哪一条的总长度?
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最短路问题
最短路问题
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图论模型：最短路24页PPT
T ( v 1 , n 0 ) f 0 { } 1 m , 0 i2 } n 2 {
T ( v 2 ) m T ( v 2 ) i P ( v , 0 n ) f 0 { } 2 m , 0 i 8 } n 8{
T ( v 3 ) m T ( v 3 ) P i ( v , 0 n ) f 0 } { 3 m , 0 i 1 } n 1{
称其为图解。凡是有向图，在图解上用箭头标明其方 向。
例 设 V ＝ v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } ， E 如 { v 1 v 2 , v 1 v 3 , v 1 v 4 , v 2 v 3 , v 2 v 4 , v 3 v 4 }
则G＝（V,E）是一个有4个顶点、6条边的图，其
v的路径，用E(P)表示路径P(u,v)的全部边的集合，
记为，
，则称F(P)为路径P(u,v) 的权或长
度。
F(P) F(e)
eE(P)
▪ 定义2 若P0(u,v)是G中连接u,v的路径，且对任意
在G中连接u,v的路径P(u,v)，都有F(P0)≤F(P),则
称P0(u,v)是G中连接u,v的最短路径。
▪ 定义4 任意两点都有通路的图称为连通图。
▪ 定义5 连通而无圈的图称为树，常用T表示树。
§7.2 最短路模型及其算法
▪ 最短路问题是网络理论中应用最为广泛的问题之一， 不少优化问题可化为这个模型。如管道的铺设、运 输网络的设计、线路安排、设备更新、厂区布局等。
▪ 定义1 设P（u,v）是赋权图G=(V,E,F)中从点u到点
定若 理 v0v1v2 vk是 G 中v0 从 到 vm 的最短 路 i,j, ，
1ijm , vivi1 vj必G 为 中vi从 到 vj的最 . 短
最短路问题__D算法 ppt
-
8
例一、
用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。
v2 2
v4
3
v1
1
4
22
v6
5 v3 4
2 v5
（4）T ( v 3 ) m T ( v 3 ) i ,P ( n v 2 ) l [ 2 ] 3 m 5 ,3 i1 ] n 4[
T ( v 4 ) m T ( v 4 ) , P i ( v 2 n ) l 2 ] [ 4 m , 3 i 2 ] n 5[ T ( v 5 ) m T ( v 5 ) i ,P ( n v 2 ) l 2 [ ] 5 m ,3 i 2 n ] 5 [
最短路问题
-
1
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数最小的通路。（注意：在有向图 中，通路——开的初等链中所有的弧应 是首尾相连的。）
（2）应用背景——管道铺设、线路安排、 厂区布局、设备更新等。
-
2
二、最短路算法
1． D氏标号法（Dijkstra）；边权非负 2. 列表法（福德法）；有负权，无负回路
2
3
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p4=1
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p5=6
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3
4
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4
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p6=3
p7=3
min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8}=min {8,7,6,11}=6
X={1,2,4,5,6,7}, p5=6
-
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内容介绍
一、SSSP问题 二、dijkstra算法 三、Bellman-ford算法 四、差分约束系统 五、Gabow的变尺度算法 六、APSP问题 七、floyd-warshall算法 八、Johnson算法
一、单源最短路问题(SSSP)
《算法艺术与信息学竞赛》 教学幻灯片
算法图论 第六讲 最短路
声明
• 本系列教学幻灯片属于刘汝佳、黄亮著 《算法艺术与信息学竞赛》配套幻灯片
• 本幻灯片可从本书blog上免费下载，即使您 并未购买本书.
• 若作为教学使用，欢迎和作者联系以取得 技术支持，也欢迎提供有不同针对性的修 改版本，方便更多人使用
一般SSSP算法
• 一般算法
– 可以以任意顺序寻找紧边并松弛 – 收敛时间没有保障
• 解决方案：把结点放到bag中，每次取一个出来检查 • 特殊bag：dijkstra(heap), bellman-ford(queue)
二、dijkstra算法
Dijkstra算法
• E.W.Dijkstra. A note on two problems in connection with graphs. Num.Math.,1:269271, 1959
SSSP
• 给加权图和一个起点s, 求s到所有点的最短路 (边权和最小的路径)
• 最短路有环吗
– 正环: 何必呢, 删除环则得到更短路 – 负环: 无最短路, 因为可以沿负环兜圈子
最优性原理
• 最优性原理: 若最短路uv经过中间结点w, 则 uw和wv的路径分别是u到w和w到v的最短路.
• 意义: 贪心、动态规划
一般SSSP算法的结束条件
• 刚才已经证明
– 结束时dist(v)和pred(v)相容 – 若算法结束，则结果正确
• 算法何时能结束呢？
– 含负圈（能到达的），则永不结束，因为在一 次松弛以后，负圈上一定有紧边（反证）
– 不含负圈，则一定结束，因为要么减少一个无 穷dist值，要么让所有有限dist值之和至少减少 一个“不太小的正值”。
– 把每条边拆成w(u,v)条边串联, 然后BFS – 直接修改dijkstra得到O(VW+E)的算法 – 优化到O((V+E)lgW)
• 从s出发的边有可能有负边(但无负环), 其他边均 为正权. Dijkstra算法能得到最优解吗?
应用——路的最小公倍数
• 给出一个带权无向图G
– 边权为1…1 000的整数 – 对于v0到v1的任意一条简单路p, 定义s(p)为p上
所有边权的最大公约数 – 考虑v0到v1的所有路p1,p2,…, 求所有
s(p1),s(p2),…的最小公倍数
三、bellman-ford算法
SSSP：bellman-ford算法
• Ford 1956, Bellman 1958, Moore 1959. • 如有最短路，则每个顶点最多经过一次
最短路的表示
• 最短路的表示
– s到所有点的最短路不需要分别表示 – 最短路树: 到每个点都沿着树上的唯一路径走 – 实际代码: 记录每个点的父亲pred[u]即可 – 输出最短路: 从终点沿着pred[u]递推回起点
为什么单源最短路形成树?
• 考虑下图 • 如果uz的路只取一条即可
最短路树和最小生成树
共|E|次
• 直接实现: O(V2) • 二项堆: O(ElogV) • Fibonacci堆: O(E+VlogV)
练习
• 给有向加权图, 边权值为[0,1]之间的实数, 代表边 的可靠性(各边的可靠性独立). 找出s到t的路径中 可靠性最大的一条(总可靠性等于每条边可靠性之 乘积)
• 假设边权值范围为{1, 2, 3, …, W}
• dist(v)称为点v的标号(label), 它是最短路的上界 • 基本想法: 让标号不断趋近, 最终达到最短路
一般SSSP算法
• 什么样的标号明显可以改进(趋近最短路)?
– 一条边(u,v)被称为紧的(tense), 如果 dist(u)+w(u,v)<dist(v)
– 可以松弛：dist(v)=dist(u)+w(u,v), pred(v)=u
– 结束时对s到v的任意路sv，dist(v)<=w(sv)
• 归纳于sv所含边数，假设su-v（u=pred(v)） • dist(u)<=w(su)，两边加w(u,v)得： • dist(u)+w(u,v)<=w(sv)。因为无紧边，所以 • dist(v)<=dist(u)+w(u,v)<=w(sv)
• 结论
– 存在紧的边，一定没有正确的求出最短路树 – 不存在紧的边，一定正确的求出最短路树
一般SSSP算法的正确性
• (u,v)被称为紧的：dist(u)+w(u,v)<dist(v) • 不存在紧边，一定求出最短路树
– 即由pred表示出的路径上所有边权和等于dist(v) （归纳于松弛的次数）
• 原始是O(n2), 可以用各种形式的堆加速
Dijkstra算法
• 标号设定算法: 每次dist(v)最小的一个恰好等于 它的最短值，予以固定
• 正确性证明 (注意为什么需要权非负)
时间复杂度
• Dijkstra算法使用了一个优先队列
– INSERT (line 3), 每个结点一次 – EXTRACT-MIN, 每个结点一次 – DECREASE-KEY (line 8, 在RELAX过程中), 一
一般SSSP算法
• 临时最短路
– 存在此路，即真实的最短路长度不大于此路长度
– 但是有可能有更短的，所以此路长度只是一个上界
• 给定起点s，对于每个顶点v，定义
– dist(v)为临时最短路树中s->v的长度 – pred(v)为临时最短路树中s->v中v的前驱 – 初始化: dist(s)=0, pred(s)=NULL, – 初始化: 所有其他dist(v)为无穷，pred(v)=NULL
– 这条路不超过n-1条边
– 长度为k的路由长度为k-1的路增加一条边得到
– 由最优性原理, 只考虑长度为1…k-1的最短路 – 算法梗概: 每次迭代依次松弛每条边
• 时Байду номын сангаас复杂度
– O(Dm)，v为迭代次数(v<=n-1) – 完全图边权在[0, 1]中均匀分布, 很大概率D=O(log2n) – 若某次迭代没进行成功松弛, 可立即停止 – 可用dijkstra得到初始dist
内容介绍
一、SSSP问题 二、dijkstra算法 三、Bellman-ford算法 四、差分约束系统 五、Gabow的变尺度算法 六、APSP问题 七、floyd-warshall算法 八、Johnson算法
一、单源最短路问题(SSSP)
《算法艺术与信息学竞赛》 教学幻灯片
算法图论 第六讲 最短路
声明
• 本系列教学幻灯片属于刘汝佳、黄亮著 《算法艺术与信息学竞赛》配套幻灯片
• 本幻灯片可从本书blog上免费下载，即使您 并未购买本书.
• 若作为教学使用，欢迎和作者联系以取得 技术支持，也欢迎提供有不同针对性的修 改版本，方便更多人使用
一般SSSP算法
• 一般算法
– 可以以任意顺序寻找紧边并松弛 – 收敛时间没有保障
• 解决方案：把结点放到bag中，每次取一个出来检查 • 特殊bag：dijkstra(heap), bellman-ford(queue)
二、dijkstra算法
Dijkstra算法
• E.W.Dijkstra. A note on two problems in connection with graphs. Num.Math.,1:269271, 1959
SSSP
• 给加权图和一个起点s, 求s到所有点的最短路 (边权和最小的路径)
• 最短路有环吗
– 正环: 何必呢, 删除环则得到更短路 – 负环: 无最短路, 因为可以沿负环兜圈子
最优性原理
• 最优性原理: 若最短路uv经过中间结点w, 则 uw和wv的路径分别是u到w和w到v的最短路.
• 意义: 贪心、动态规划
一般SSSP算法的结束条件
• 刚才已经证明
– 结束时dist(v)和pred(v)相容 – 若算法结束，则结果正确
• 算法何时能结束呢？
– 含负圈（能到达的），则永不结束，因为在一 次松弛以后，负圈上一定有紧边（反证）
– 不含负圈，则一定结束，因为要么减少一个无 穷dist值，要么让所有有限dist值之和至少减少 一个“不太小的正值”。
– 把每条边拆成w(u,v)条边串联, 然后BFS – 直接修改dijkstra得到O(VW+E)的算法 – 优化到O((V+E)lgW)
• 从s出发的边有可能有负边(但无负环), 其他边均 为正权. Dijkstra算法能得到最优解吗?
应用——路的最小公倍数
• 给出一个带权无向图G
– 边权为1…1 000的整数 – 对于v0到v1的任意一条简单路p, 定义s(p)为p上
所有边权的最大公约数 – 考虑v0到v1的所有路p1,p2,…, 求所有
s(p1),s(p2),…的最小公倍数
三、bellman-ford算法
SSSP：bellman-ford算法
• Ford 1956, Bellman 1958, Moore 1959. • 如有最短路，则每个顶点最多经过一次
最短路的表示
• 最短路的表示
– s到所有点的最短路不需要分别表示 – 最短路树: 到每个点都沿着树上的唯一路径走 – 实际代码: 记录每个点的父亲pred[u]即可 – 输出最短路: 从终点沿着pred[u]递推回起点
为什么单源最短路形成树?
• 考虑下图 • 如果uz的路只取一条即可
最短路树和最小生成树
共|E|次
• 直接实现: O(V2) • 二项堆: O(ElogV) • Fibonacci堆: O(E+VlogV)
练习
• 给有向加权图, 边权值为[0,1]之间的实数, 代表边 的可靠性(各边的可靠性独立). 找出s到t的路径中 可靠性最大的一条(总可靠性等于每条边可靠性之 乘积)
• 假设边权值范围为{1, 2, 3, …, W}
• dist(v)称为点v的标号(label), 它是最短路的上界 • 基本想法: 让标号不断趋近, 最终达到最短路
一般SSSP算法
• 什么样的标号明显可以改进(趋近最短路)?
– 一条边(u,v)被称为紧的(tense), 如果 dist(u)+w(u,v)<dist(v)
– 可以松弛：dist(v)=dist(u)+w(u,v), pred(v)=u
– 结束时对s到v的任意路sv，dist(v)<=w(sv)
• 归纳于sv所含边数，假设su-v（u=pred(v)） • dist(u)<=w(su)，两边加w(u,v)得： • dist(u)+w(u,v)<=w(sv)。因为无紧边，所以 • dist(v)<=dist(u)+w(u,v)<=w(sv)
• 结论
– 存在紧的边，一定没有正确的求出最短路树 – 不存在紧的边，一定正确的求出最短路树
一般SSSP算法的正确性
• (u,v)被称为紧的：dist(u)+w(u,v)<dist(v) • 不存在紧边，一定求出最短路树
– 即由pred表示出的路径上所有边权和等于dist(v) （归纳于松弛的次数）
• 原始是O(n2), 可以用各种形式的堆加速
Dijkstra算法
• 标号设定算法: 每次dist(v)最小的一个恰好等于 它的最短值，予以固定
• 正确性证明 (注意为什么需要权非负)
时间复杂度
• Dijkstra算法使用了一个优先队列
– INSERT (line 3), 每个结点一次 – EXTRACT-MIN, 每个结点一次 – DECREASE-KEY (line 8, 在RELAX过程中), 一
一般SSSP算法
• 临时最短路
– 存在此路，即真实的最短路长度不大于此路长度
– 但是有可能有更短的，所以此路长度只是一个上界
• 给定起点s，对于每个顶点v，定义
– dist(v)为临时最短路树中s->v的长度 – pred(v)为临时最短路树中s->v中v的前驱 – 初始化: dist(s)=0, pred(s)=NULL, – 初始化: 所有其他dist(v)为无穷，pred(v)=NULL
– 这条路不超过n-1条边
– 长度为k的路由长度为k-1的路增加一条边得到
– 由最优性原理, 只考虑长度为1…k-1的最短路 – 算法梗概: 每次迭代依次松弛每条边
• 时Байду номын сангаас复杂度
– O(Dm)，v为迭代次数(v<=n-1) – 完全图边权在[0, 1]中均匀分布, 很大概率D=O(log2n) – 若某次迭代没进行成功松弛, 可立即停止 – 可用dijkstra得到初始dist