高等代数-内积空间

,
sin
sin 是正交阵.
cos
正交矩阵_3
• 命题:设T, S为同阶正交阵, 则 (1). T 可逆且T -1为正交阵. (2). T *为正交阵. (3). –T为正交阵. (4). TS为正交阵. (5). |T | = ±1. (6). T的特征值的模长为1.
伴随算子_1
设V是数域K上线性空间,从V到K的线性映射称为线性函数. 设V是n维欧氏空间,内积为(- , -). 固定0≠v∈V,则
xy
(4). 当V是复空间时,定义x, y的夹角θ的余弦为:
(x, y)
cos
xy
(5). 当( x, y) = 0时, 称x与y正交,记x⊥y.
内积空间的概念_4
• 定理:设V是实的或复的内积空间,设x, y∈V, c为常数(实数或复数),则
(1). cx c x (2). (Cauchy-Schwarz不等式)
(1). φ是正交算子. (2). φ保持距离. (3). φ保持范数. (4). φ是V的自同构. (5). φ可逆且φ-1=φ*. (6). φ将V的任意标准正交基变为另一个标准正交基. (7). φ将V的一组标准正交基变为另一个标准正交基. (8). φ在V的任意标准正交基下的矩阵是正交阵. (9). φ在V的某组标准正交基下的矩阵是正交阵.
则称在V上定义内积( , ). V称为复内积空间. 有限维复内积空间称为酉空间.
• 注1:对任意实数a, a a ,所以复内积空间与实内
积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.
• 注2:在复内积空间中,(x, cy) c(x, y)
对称算子_2
• 定理:设φ是n维欧氏空间V上对称算子,则φ的特征值全 为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交.
L (ξ１,ξ２, … ,ξm) = L (η1,η2,…,ηm).
• 推论:任意n维内积空间有一组标准正交基. • 注:标准正交基可以简化内积的运算.
度量矩阵
设V是n维欧氏空间,ξ１,ξ２,…,ξn是V的一组基,令
( 1, 1) ( 1, 2) L
G
(
2,
1)
( 2, 2)
L
L
LO
( n, 1) ( n, 2) L
(x, y) x y
(3). (三角不等式)
x y x y
标准正交基_1
• 定义:设e1,e2,…,en是n维内积空间V的一组基, 若 (ei,ej)=0,i≠j,则称这组基是V的一组正交基, 若 (ei,ej)=δij,则称这组基是V的一组标准正交基.
• 注:设e1,e2,…,en是n维内积空间V的一组标准正
则称在V上定义内积( ,). V称为复内积空间. 有限维复内积空间称为酉空间.
• 注1:对任意实数a, a a ,所以复内积空间与实内
积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.
• 注2:在复内积空间中, ( x, cy) c( x, y).
内积空间的概念_3
• 定义:设V实内积空间, 设 x, y∈V, (1). 定义x的长度为: x (x, x) (2). 定义x与y的距离为: d( x, y) x y (3). 当V是实空间时,定义x, y的夹角θ的余弦为: cos ( x, y)
( 1, n)
(
2,
n)
M
( n, n)
由内积定义知G是一个实对称矩阵. 设
x
n i1
xii
,
y
y n
i1 i i
则( x, y) = (x1, …, xn) G (y1, …, yn)’= X’GY,
这里 X’= (x1, …, xn), Y= (y1, …, yn)’.
因为当x≠0时, (x, x) >0, 所以Ｇ是正定阵.
• 定理:设V, W是有限维欧氏空间,则 V W的充分必要
条件是dimV = dimW. • 注1:欧氏空间的同构是等价关系. • 注2:任意n维欧氏空间都同构于标准内积空间Rn.
正交算子_3
• 定义: n维欧氏空间保持内积的线性算子称为正交算子. • 定理:设φ是n维欧氏空间V的线性变换,则下列条件等价:
cos sin
l l
sin cos
l l
.}
• 定理:设φ是n维欧氏空间V的正交算子,则存在一组 标准正交基,使得φ在此基下的矩阵是
diag{
Er
,
Es
,
cos sin
1 1
sin cos
1 1
,L
,
cos sin
l l
sin cos
l l
.}
正交相似_1
v设1,φ…是,nv维n分欧别氏是空V间的V标上准正正交交算基子,即, u1, …, un和 φ(u1, …, un) = (u1, …, un) A, φ(v1,…,vn) = (v1,…,vn) B, 且 (v1, …, vn) = (u1, …, un) T.
• 定理:设Ｖ是n维内积空间, U是Ｖ的子空
间, 则
(1). V = U U⊥ ,
(2). U上任意一组标准正交基可扩为V 上 的标准正交基.
正交矩阵_1
设u1, u2, …, un和v1, v2, …, vn是n维欧氏空间V的两
组标准正交基, T是从基v1, v2, …, vn到u1, u2, …, un
• 注: φ*称为φ的伴随变换(伴随算子).
伴随算子_2
• 定理:设u1,u2,…,un是n维欧氏空间V的一组标准 正交基,若V的线性变换φ在这组基下的矩阵为 A,则φ的伴随算子φ*在这组基下的矩阵为A’.
• 定理:设φ,ψ是n维欧氏空间V的两个线性变
换,c为常数,则
(1). (φ+ψ)*=φ*+ψ*.
的过渡矩阵,即(u1, u2, …, un)=(v1, v2, …, vn)T.则由
= . 于ij
(u ,u )
i
j
n s1
tis t
js
,故有T’T
I
• 定义:实n阶方阵T 称为正交矩阵, 如果T -1=T ’.
• 注1:设v1,v2,…,vn是n维欧氏空间的一组标准正交基, T是正交阵,且有(u1,u2,…,un)=(v1,v2,…,vn)T. 则u1, u2, …, un是V的标准正交基.
正交算子_4
• 引理:设A为正交阵,λ=a+ib为A的一个复特征值, (b≠0), u =α+ iβ为对应的特征向量, 则α⊥β,且 ||α||=||β||.
• 定理:设A为正交阵,则存在正交阵T,使
T -1AT =
diag{
Er
,
Es
,
cos sin
1 1
sin cos
1 1
,L
,
• 定义:设V,W是n维欧氏空间, : V W 是线性映 射. 如果φ是线性空间同构且保持内积,即 (φ(x), φ(y) ) = (x, y), 则称φ是欧氏空间的同构,记 V W.
正交算子_2
• 引理:设V, W是n维欧氏空间, : V W 是线性映射,则
下列条件等价: (1). φ保持内积. (2). φ保持范数. (3). φ保持距离. (4). φ是欧氏空间同构. (5). φ将V的任一组标准正交基变成W的标准正交基. (6). φ将V的某一组标准正交基变成W的标准正交基.
• 注2:正交相似是Rn×n的等价关系.
• 注3:设A与B正交相似, A是正交阵, 则B也是 正交阵.
对称算子_1
• 定义:设V是n维欧氏空间,φ是V的线性算子,如果 φ= φ* ,则称φ是自伴随算子(对称算子).
• 定理:设φ是n维欧氏空间V的线性算子,则下列条 件等价： (1). φ是对称算子. (2). (φ(α),β)=(α, φ(β)). (3). φ在V的任一组标准正交基下的矩阵是对称阵. (4). φ在V的某一组标准正交基下的矩阵是对称阵.
第九章 内积空间
内积空间的概念_1
• 定义:设V是R上线性空间,存在映射
( ,): V V R, 使对任意x, y, z∈ V, c∈R,有
(1). ( x, y) = ( y, x) (2). ( x + y, z) = ( x, z) + ( y, z) (3). ( cx, y) = c ( x, y) (4). ( x, x) ≥ 0且等号成立当且仅当x = 0. 则称在V上定义了一个内积( ,). 线性空间V称为 实内积空间.有限维实内积空间称为Euclid空间 (欧氏空间).
• 注2:T是正交阵T 的列向量是标准内积空间Rn
的标准正交基.
正交矩阵_2
• 例:
(1). 单位阵是正交阵.
(2). 实对角阵是正交阵的充分必要条件是对角元素 为±1.
(3). 上(下)三角阵是正交阵的充分必要条件是它是 对角阵且对角元素为±1.
(4). cos
sin
sin cos
cos
• 注1: {R上n维线性空间的内积} １：１{实正定矩阵}.
• 注2: 当ξ１,ξ２,…,ξn为正交基时,G为对角阵；
当ξ１,ξ２,…,ξn为标准正交基时,G为单位阵.
正交补空间
• 定义:设U是内积空间V的子空间,令
U⊥ ={v∈V| (v, u)=0,对任意u∈U}, 则U⊥是V的子空间, 称为U的正交补空间.
(2). (cφ)*=cφ*.
(3). (φψ) *= ψ*φ*.
(4). (φ *) *= φ.
正交算子_1
• 引理:设φ是维欧氏空间V到W的线性映射,则下列 条件等价: (1). φ保持内积, (φ(x), φ(y) ) = (x, y). (2). φ保持范数, ||φ(x) ||=||x|| . (3). φ保持距离, d (φ(x), φ(y)) = d (x,y).
内积空间的概念_2
• 定义:设V是C上线性空间,存在映射( ,): V V R
使得对任意x, y, z∈V, c∈C,有 (1). ( x, y) ( y, x) (2). (x + y, z) = (x, z) + ( y, z)
(3). (cx, y) = c ( x, y) (4). (x, x) ≥ 0且等号成立当且仅当 x = 0.
交基,则对任意 x∈V,有 x = (x, e1) e1 + (x, e2) e2 + … + (x, en) en .
• 引理:内积空间V中任意一组两两正交的非零
向量必线性无关.
标准正交基_2
• 定理:设V是内积空间, ξ１,ξ２,…,ξm是V中m
个线性无关的向量,则在V中存在两两正交 的向量η1,η2, …,ηm,使得
• 定义:设V是C上线性空间,存在映射( ,):V V R
使得对任意x, y, z∈V, c∈C,有 (1). (x, y) ( y, x) (2). (x + y, z) = (x, z) + ( y, z) (3). (cx, y) = c ( x, y) (4). (x, x) ≥ 0.且等号成立当且仅当 x = 0.
则B = T －1AT = T’AT.
• 定义:设A, B∈Rn×n,若存在正交阵T,使 T －1AT = T’AT = B, 则称 A, B是正交相似的.
正交相似_2
• 注1:设A, B∈ Rn×n,则A与B是正交相似的充 分必要条件是A, B是n维欧氏空间V上同一 个线性算子在不同标准正交基下的矩阵.
对称算子_3
• 定理:实对称矩阵的特征值是实对称矩阵正交 相似的全系不变பைடு நூலகம்。
• 定理:设f (x1, …, xn) = X’AX是n元实二次 型,λ1, …,λn是A的所有特征值,则经过正交线性替 换X = TY, T为正交阵,可得
f ( x1,L , xn ) 1 y12 2 y22 L n yn.2
• 定理’:设A’=A∈Rn×n,则A的特征值全为实数且属于不 同特征值的特征向量互相正交.
• 引理:设φ是n维欧氏空间V上对称算子.U是φ-不变子空 间.则U⊥也是φ-不变子空间.
• 定理:设φ是n维欧氏空间V上对称算子,则存在V的一组 标准正交基,使φ在这组标准正交基下的矩阵是对角阵.
• 定理’:设A’= A∈Rn×n,则存在正交阵T,使 T－1AT=T’AT 为对角阵,且对角线元素为A的特征值.
f : V K. x a (x, v)
是V上线性函数.反之,任一线性函数均可由上面方式实现.
• 引理:设f是n维欧氏空间V的线性函数,则必存在V上唯
一向量v,使对任意x∈V ,均有f(x)=(x,v).
• 定理:设φ是n维欧氏空间V的线性变换,则存在V上唯 一线性变换φ*,使得对任意u,v∈V,有 (φ(u), v)=(u, φ* (v))
且 f 的正惯性指数等于A的正特征值个数, f 的负惯性指数等于A的负特征值个数, f 的秩等于A的非零特征值的个数.