高等代数-内积空间

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厦大《高代》讲义第9章+内积空间

第九章内积空间Inner Product Space§9.1 目的与要求•掌握内积、内积空间的概念•熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、距离、夹角、正交等•熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角不等式的含义及应用厦门大学数学科学学院网址: •定义:设V 是R 上线性空间,存在映射( ,):, 使得对任意x , y , z ∈V, c ∈R,有(1). ( x , y ) = ( y , x )(2). ( x + y , z ) = (x ,z ) + (y , z )(3). ( cx , y ) = c ( x , y )(4). ( x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为内积空间.有限维实内积空间称为Euclid 空间(欧氏空间).R V V →⨯对称线性非负（实）内积空间•定义:设V 是C 上线性空间,存在映射( , ):使得对任意x , y , z ∈V, c ∈C,有(1).(2). (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z )(3). (cx , y ) = c ( x , y )(4). (x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为复内积空间.有限维复内积空间称为酉空间.•注1:对任意实数a , , 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.•注2:在复内积空间中, (,)(,)x y y x =a a =(,)(,)x cy c x y =R V V →⨯（复）内积空间•例1:R n ×1是n 维欧氏空间, 若, 定义内积如下:该内积称为R n ×1上的标准内积.C n ×1是n 维酉空间, 若, 定义内积如下:该内积称为C n ×1上的标准内积.1122(,)...n nx y y x x y x y x y '==+++例子1,C n x y ⨯∀∈1,R n x y ⨯∀∈1122(,)...n nx y y x x y x y x y '==+++•例2:R 2×1上对1) 是内积2) 非线性, 非内积3) 未必非负, 非内积11211222(,)4x y x y x y x y x y =--+例子1122,x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∀== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,2(,)max(||,||)i i i x y x y ==1212(,)x y x x y y =+++•例3:设, 定义则c [a , b ]是无限维内积空间. •例4:设G 为n 阶正定阵, 对, 定义则R n ×1是R 上n 维欧氏空间. G =I 即例1.•例5:R n ×n 上定义(A , B ) = tr(A’B ), 是欧氏空间么? 若是, 它是几维的?例子(,)'x y x Gy=(,)()()b a f g f x g x dx =⎰(),()[,]f x g x c a b ∈1,R n x y ⨯∀∈•定义:设V 实内积空间, 设x , y ∈V, 定义x 的长度为:定义x 与y 的距离为:当V是实空间时, 定义x , y 的夹角θ的余弦为:当V 是复空间时, 定义x , y 的夹角θ的余弦为:当( x , y ) = 0时, 称x 与y 正交, 记x ⊥y .(,)x x x =(,)d x y x y=-(,)cos x y x yθ=(,)cos x y x y θ=(实)内积空间_2•定理:设V 是实的或复的内积空间,设x , y ∈V, c 为常数(实数或复数), 则(1) (2) (Cauchy-Schwarz 不等式)当且仅当x , y 线性相关时, 等号成立.(3) (三角不等式)cx c x=(,)x y x y≤x y x y+≤+在R n×1中•注1:x=0时, 对任意y, (x, y)=0; 反之, 若对任意y, 都成立(x, y)=0, 则x=0. 即只有零向量和自己正交; 只有零向量的长度为0;•注2:||x+y||= ||x||+||y|| x和y同向或有一为0;•注3:(x, y)=||x||||y||cosθ, 其中θ为x与y的夹角(内积几何意义);•注4:x⊥y时, (x,y)=(y,x)=0, ||x+y||2=||x||2+||y||2 (勾股定理);•注5:若两两正交, 即则1)2)•注6:x 称为单位向量, 若. 一般地, 若x ≠0, 则x /|| x ||是单位向量(称把x 单位化).•注7:Cauchy-Schwarz 不等式具体形式:内积空间_512,,...,m ααα(,)0,i j i j αα=∀≠122...m mk k ααα⊥++22221212......m mαααααα+++=+++1x =()222221111...(...)(...)n n n nx y x y x x y y ++≤++++222(()())()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx≤⎰⎰⎰例子•例6:证明下列不等式成立1)2) 若A =(a ij )n ×n 是(对称)正定阵, 则))(()(1111211j i n i nj ij j i n i n j ij n i n j j i ij y y a x x a y x a ∑∑∑∑∑∑======≤222111111()()()nnnnnnji ji jijii j i j i j a b a b ======≤∑∑∑∑∑∑厦门大学数学科学学院网址: 作业•作业p294 1, 2, 3, 6, 7补充: R n ×n 上定义(A , B ) = tr(A’B ), 是欧氏空间么? 为什么? 若是, 它是几维的?并证明下列不等式：•选做p295 5222111111()()()nnnnnnji ji jijii j i j i j a b a b ======≤∑∑∑∑∑∑§9.2 目的与要求•掌握标准正交基、正交补空间的概念•掌握度量矩阵与内积的关系•掌握两标准正交基的过渡矩阵与正交阵的关系•熟练掌握矩阵为正交阵的充要条件•掌握向量组的Gram-Schmidt正交化的计算标准正交基_1•定义:设是n 维内积空间V 的一组基, 若, 则称这组基是V 的一组正交基, 若,则称这组基是V 的一组标准正交基.•引理:内积空间V 中任意一组两两正交的非零向量必线性无关.12,,...,n εεε(,)0,i j i j εε=∀≠(,)i j ij εεδ=标准正交基_2•定理: 设V 是内积空间, 是V 中m 个线性无关的向量, 则在V 中存在两两正交的向量, 使得•Gram-Schmidt 正交化:12,,...,m ξξξ12,,...,m ηηη1212(,,...,)(,,...,).m m L L ξξξηηη=11ηξ=,11,11,(,)...,,11(,)i j i i i i i i i j j j k k k j i ξηηξηηηη--=+++=-≤≤-Schmit 正交化uu 2211k v -v 2322k v -1212111112212(,)(,)u u u k v v u v v v v v ==--=v 12v 311k v -3v 3u 331132233313221u u k v k v k k v v v --=--=211k v v 1311k v 322k v 3322u k v -标准正交基_3•注: 任意线性无关向量组必可正交化, 且正交化后的向量组与原向量组等价.•推论: 任意n 维内积空间有一组标准正交基.•注: 标准正交基可以简化内积的运算.设是内积空间V 的标准正交基, 若, 则, 即又若, 则12,,...,n εεε(,)i i x x ε=1122(,)....n n x y x y x y x y =+++1122...n n x x x x εεε=+++111222(,)(,)...(,)n n n x x x x εεεεεε=+++1122...n n y y y y εεε=+++例子•例1:R 1×2, 在标准内积下e 1, e 2是标准正交基, 任意向量x =(x 1, x 2), 则x 1=(x , e 1), x 2=(x , e 2).•例2:设V 是四维行向量空间, 内积为标准内积, 又. 试用Gram-Schmidt 方法将化为V 的一组标准正交基.•例3:设, 问是否为的一组基? 一组标准正交基?1234(1,1,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,u u u u ==-==1,1,1)--1234,,,u u u u 12(1,0),(0,1)u u ==12,u u 12R ⨯正交补•定义:设U是内积空间V的子空间,令U⊥={v∈V| (v, u)=0,对任意u∈U},则U⊥是V的子空间, 称为U的正交补空间.•定理:设Ｖ是n维内积空间, U是Ｖ的子空间,则(1) V = U U⊥;(2) U上任意一组标准正交基必可扩为V 的标准正交基;(2’) V上任意一组标准正交向量组必可扩为V 的标准正交基.例子•例5:若, 且对都有, 则•例6:(Bessel 不等式) 设是n 维内积空间V 的正交向量组, y 是V 的任一向量, 则且等号成立的充要条件是•例7:设线性子空间U 是齐次线性方程组Ax =0的解空间, 求U ⊥适合的线性方程组.12,,...,m v v v 2221|(,)|||||||||m k k k y v y v =≤∑12(,,...,).m y L v v v ∈12V U W U W =⊕=⊕11U, W u w ∀∈∈22W w ∈12(,)(,)0u w u w ==12W W U .⊥==度量矩阵_1设V 是n 维欧氏空间,是V 的一组基,令由内积定义知G 是一个实对称矩阵, 称为度量矩阵. 设则( x , y ) = (x 1, …, x n ) G (y 1, …, y n ) = X ’GY 这里X ’= (x 1, …, x n ), Y = (y 1, …, y n )’.因为当x ≠0时, 必有(x , x ) >0, 所以Ｇ是正定阵.111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n G ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11,n n i i i ii i x x y y ξξ====∑∑,,...,12n ξξξ度量矩阵_2•注1:在n 维实线性空间V 的基固定情况下{V 上的内积} {实正定矩阵}.•注2:设是欧氏空间V 的一组基, 则为正交基⇔G 为(正定)对角阵；为标准正交基⇔G 为单位阵.←−−→１：１,,...,12n ξξξ,,...,12n ξξξ,,...,12n ξξξ正交矩阵_1设u 1, u 2, …, u n 和v 1, v 2, …, v n 是n 维欧氏空间V 的两个标准正交基, T 是从基u 1, u 2, …, u n 到v 1, v 2, …, v n 的过渡矩阵,即(v 1, v 2, …, v n )=(u 1, u 2, …, u n )T.则由于,故有T ’T =I .•定义:实n 阶方阵T 称为正交阵, 如果T -1=T ’.1(,)i jn ij si sj s v v t t δ===∑正交矩阵_2•注1:设u1,u2,…,u n是维欧氏空间的一个标准正交基, T是正交阵, 且有(v1,v2,…,v n)=(u1, u2, …, u n)T.则v1,v2,…,v n是V的标准正交基.•注2:T是正交阵 T 的列向量是标准内积空间R n×1的标准正交基.正交矩阵_3•例4:(1) 单位阵是正交阵.(2) 实对角阵是正交阵的充分必要条件是对角元素为±1.(3) 上(下)三角阵是正交阵的充分必要条件是它是对角阵且对角元素为±1.(4)是正交阵且二阶矩阵能作为正交阵的只能是如上两种形式.(5) 置换阵是正交阵.cos sin cos sin ,sin cos sin cos θθθθθθθθ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭正交矩阵_4•命题:设T, S为正交阵, 则(1) |T | = ±1.(2) T 可逆且T -1为正交阵.(3) T *为正交阵.(4) –T 为正交阵.(5) TS 为正交阵.(6) T 的特征值的模长为1.§9.3 目的与要求•了解伴随变换的概念•掌握伴随变换的矩阵表示与性质伴随_1•定义:设V 是数域K 上线性空间, 从V 到K 的线性映射称为线性函数. V 上线性函数的全体称为V 的共轭空间, 记做V *.•注:设V 是n 维欧氏空间,内积为(-,-). 固定0≠v ∈V, 则是V 上线性函数. 反之, 任一线性函数均可由上面方式实现.:.f V K (,)x x v伴随_2•引理:设f 是n 维欧氏空间V 的线性函数,则必存在V 上唯一向量v ,使对任意x ∈V, 均有f (x )=(x ,v ).•定理:设是n 维欧氏空间V 的线性变换算子,则存在唯一线性变换算子,使得对任意u ,v ∈V, 有•注1: 称为的伴随变换.•注2: 欧氏空间上线性变换称为线性算子.ϕ*ϕ((),)(,*()).u v u v ϕϕ=*ϕϕ伴随_3•定理:设u 1,u 2,…,u n 是n 维欧氏空间V 的一组标准正交基,若V 的线性变换在这组基下的表示矩阵为A ,则的伴随算子在这组基下的表示矩阵为A ’.•定理:设是n 维内欧氏空间V 的两个线性变换,c 为常数,则ϕ*ϕϕ2)()**c c ϕϕ=1)()***ϕψϕψ+=+3)()***ϕψψϕ=4)(*)*ϕϕ=,ϕψ§9.4 目的与要求•掌握内积空间的（保积）同构的概念•熟练掌握内积空间的同构的等价命题•掌握正交算子的概念•熟练掌握正交算子的等价命题•掌握正交阵在正交相似下的标准型及相应的正交算子命题正交算子_1•引理:设是维欧氏空间V 到W 的线性映射,则下列条件等价:(1) 保持内积,(2) 保持范数,(3) 保持距离, •定义:设V,W 是n 维欧氏空间是线性映射.如果是线性空间同构且保持内积,即则称是欧氏空间的同构,记:V W ϕ→ϕϕϕϕ((),())(,).x y x y ϕϕ=().x x ϕ=((),())(,).d x y d x y ϕϕ=ϕ((),())(,),x y x y ϕϕ=ϕV W.≅正交算子_2•定理: 设V, W 是n 维欧氏空间, 是线性映射,则下列条件等价:(1) 保持内积.(2) 保持范数.(3) 保持距离.(4) 是欧氏空间同构.(5) 将V 的任一标准正交基变成W 的标准正交基.(6) 将V 的某一标准正交基变成W 的标准正交基.:V W ϕ→ϕϕϕϕϕϕ正交算子_3•推论:设V, W 是欧氏空间,则 dimV = dimW.•注1:两个欧氏空间是否同构与其上定义的内积无关, 只与维数有关.•注2:欧氏空间的同构是等价关系.•注3:任意n 维欧氏空间都同构于标准内积空间R n .•意义:对一般n 维欧氏空间的研究可转化为对标准内积空间R n 的研究.V W正交算子_3•定义: n 维欧氏空间V 上保持内积的线性算子称为正交算子或正交变换.•定理:设是n 维欧氏空间V 的线性变换,则下列条件等价:(1) 是正交算子. (2) 保持距离.(3) 保持范数. (4) 是V 的自同构.(5) 可逆且(6) 将V 的任意标准正交基变为另一标准正交基.(7) 将V 的一组标准正交基变为另一标准正交基.(8) 在V 的任意标准正交基下的矩阵是正交阵.(9) 在V 的某组标准正交基下的矩阵是正交阵.ϕϕϕϕϕ1*.ϕϕ-=ϕϕϕϕϕ正交算子_4•注1:n 阶正交阵可视为某n 维欧氏空间V 上正交变换在V 的某标准正交基下的表示矩阵;•注2:n 阶正交阵还可视为某n 维欧氏空间V 中某两标准正交基的过渡矩阵.•注3:若是正交算子, 则1) 可逆, 且也是正交算子;2)为正交算子;3) 若|c |=1, 则为正交算子.,ϕψϕ1ϕ-ϕψc ϕϕ正交相似_1设是n 维欧氏空间V 上线性变换, u 1, …, u n 和v 1, …, v n 分别是V 的两组标准正交基,则•定义:设A , B ∈R n ×n , 若存在正交阵T , 使则称A , B 是正交相似的.ϕ1212(,,...,)(,,...,)n n v v v u u u T =1212(,,...,)(,,...,)n n u u u u u u A ϕ=1212(,,...,)(,,...,)n n v v v v v v Bϕ=1.B T AT T AT -'==1,B T AT T AT -'==正交相似_2•注1:设A, B∈R n×n, 则A与B是正交相似的充分必要条件是A, B是n维欧氏空间V上同一个线性算子在不同标准正交基下的矩阵.•注2:正交相似是等价关系.•注3:设A与B正交相似, A是正交阵, 则B也是正交阵.•注4:若B由矩阵A互换i,j两行, 再互换i,j两列得到, 则A, B正交相似.•注5:两对角阵仅对角元顺序不同, 则他们正交相似.正交算子_5•引理:设A 为正交阵,为A 的一个复特征值, (b ≠0), 为对应的特征向量, 则且•注:因, 故可设cos sin (,),(,)sin cos Ax x y Ay x y θθθθ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ib λ=+u x iy =+.x y =x y ⊥221,a b +=1λ=cos ,sin .a b θθ==-cos sin (,).sin cos A x y θθθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭正交算子_6•定理:设A 为正交阵, 则存在正交阵T , 使T -1AT •定理:设是n 维欧氏空间V 的正交算子, 则存在一组标准正交基, 使得在此基下的矩阵是1111cos sin cos sin {,,,...,}.sin cos sin cos l l s t l l diag I I θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111cos sin cos sin {,,,...,}.sin cos sin cos l l s t l l diag I I θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕϕ例子•例1:设是欧氏空间V 的线性变换, 则下列命题中___不能作为是正交变换的等价命题.A. 在某一组基下表示矩阵是正交阵;B. ;C. 保积同构;D. 保持距离不变.A1*ϕϕ-=例子•例2:和矩阵正交相似的矩阵是___.A.B. C.D.A 1001M ⎛⎫= ⎪-⎝⎭0110⎛⎫ ⎪⎝⎭1100-⎛⎫ ⎪⎝⎭1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭0110⎛⎫ ⎪-⎝⎭例子•例3:设是n 维欧氏空间的线性变换, 分别是的伴随变换, 则下列命题中错误的有___个.①是单的线性变换, 则是满的线性变换②③, 对任意的④是同构变换, 则也是同构变换A. 0B. 1C. 2D. 3A,ϕψ*,*ϕψ,ϕψϕ*ϕ*dimIm dimIm ϕϕ=ϕ*ϕ*((),)((),)ϕαβϕβα=,Vαβ∈例子•例4:三阶正交矩阵在正交相似下的所有可能的标准形是___.111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭cos sin sin cos 1θθθθ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭cos sin sin cos 1θθθθ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭例子•例5:设为n 阶正交矩阵, 且则矩阵方程的解x = ___.要点:1. 因为A 是正交阵, 故A 可逆, 问题的解唯一; 2.又因A 是正交阵, 且故A 的第一列为-e 1, 从而.()ij n n A a ⨯=111,a =-1Ax e =1e -111,a =-11()A e e -=§9.5 目的与要求•掌握自伴随算子的概念及与对称矩阵的关系•熟练掌握对称矩阵的正交相似标准型•掌握对称矩阵相似/合同/正交相似的全系不变量•一些相关的计算和证明对称算子_1•定义:设V 是n 维欧氏空间,是V 的线性算子, 如果, 则称是自伴随算子(对称算子).•定理:设是n 维欧氏空间V 的线性算子, 则下列条件等价：(1)是对称算子;(2)(3) 在V 的任一组标准正交基下的矩阵是对称阵;(4) 在V 的某一组标准正交基下的矩阵是对称阵.*ϕϕ=ϕϕϕϕ((),)(,());ϕαβαϕβ=ϕϕ•定理:设是n 维欧氏空间V 上对称算子,则的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交.•定理’:设A ’=A ∈R n ×n ,则A 的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交(标准内积空间R n ×1).•引理:设是n 维欧氏空间V 上对称算子. U 是子空间. 则U ⊥也是子空间.•定理:设是n 维欧氏空间V 上对称算子, 则存在V 的一组标准正交基, 使在这组基下的矩阵是对角阵.•定理’:设A ’= A ∈R n ×n , 则存在正交阵T , 使T -1AT =T ’AT 为对角阵, 且对角线元素为A 的特征值.ϕϕϕϕ-ϕ-ϕϕ•定理:A , B 实对称矩阵, 则A , B 正交相似 A , B 的特征值相同.•注:特征值是实对称矩阵相似的全系不变量.•定理:设是n 元实二次型,是A 的所有特征值, 则必存在正交线性替换为正交阵, 使f 的正惯性指数等于A 的正特征值个数, f 的负惯性指数等于A 的负特征值个数, f 的秩等于A 的非零特征值的个数.22211122(,,)n n n f x x y y y λλλ=+++ 1(,,)n f x x X AX '= 1,,n λλ ,X TY T =。

高等代数-内积空间

交基,则对任意 x∈V,有 x = (x, e1) e1 + (x, e2) e2 + … + (x, en) en .
• 引理:内积空间V中任意一组两两正交的非零
向量必线性无关.
标准正交基_2
• 定理:设V是内积空间, ξ１,ξ２,…,ξm是V中m
个线性无关的向量,则在V中存在两两正交的向量η1,η2, …,ηm,使得
的过渡矩阵,即(u1, u2, …, un)=(v1, v2, …, vn)T.则由
= . 于ij
(u ,u )
i
j
n s1
tis t
js
,故有T’T
I
• 定义:实n阶方阵T 称为正交矩阵, 如果T -1=T ’.
• 注1:设v1,v2,…,vn是n维欧氏空间的一组标准正交基, T是正交阵,且有(u1,u2,…,un)=(v1,v2,…,vn)T. 则u1, u2, …, un是V的标准正交基.
(2). (cφ)*=cφ*.
(3). (φψ) *= ψ*φ*.
(4). (φ *) *= φ.
正交算子_1
• 引理:设φ是维欧氏空间V到W的线性映射,则下列条件等价: (1). φ保持内积, (φ(x), φ(y) ) = (x, y). (2). φ保持范数, ||φ(x) ||=||x|| . (3). φ保持距离, d (φ(x), φ(y)) = d (x,y).
• 定义:设V,W是n维欧氏空间, : V W 是线性映射. 如果φ是线性空间同构且保持内积,即 (φ(x), φ(y) ) = (x, y), 则称φ是欧氏空间的同构,记 V W.
正交算子_2
• 引理:设V, W是n维欧氏空间, : V W 是线性映射,则

《高等代数》知识点梳理

《高等代数》知识点梳理高等代数是一门重要的数学学科，它是线性代数的延伸和深化，主要研究向量空间和线性变换的性质和应用。

以下是《高等代数》常见的知识点梳理：1.矩阵和线性方程组：-矩阵：矩阵的定义和运算、矩阵的行列式、逆矩阵等。

-线性方程组：线性方程组的定义和解的分类、线性方程组的矩阵表示、线性方程组的消元法、高斯-约当法等。

2.向量空间：-向量空间的定义：向量空间的基本性质和运算规则。

-子空间和张成空间：子空间和子空间的运算、线性组合和线性相关、张成空间的定义和性质。

-基和维数：线性无关和极大线性无关组、基和维数的相关定义和性质。

3.线性变换：-线性变换的定义和性质：线性变换的基本性质和运算。

-线性变换的矩阵表示：矩阵的表示和判断、线性变换的示例和应用。

-矩阵相似和对角化：矩阵相似的定义和性质、对角化的定义和条件、对角化的意义和应用。

4.特征值和特征向量：-特征值和特征向量的定义：特征值和特征向量的基本概念和性质。

-特征多项式和特征方程：特征多项式和特征方程的定义和性质、求解特征多项式和特征方程的方法。

-对角化和相似对角化：对角化和相似对角化的概念和条件、对角化和相似对角化的关系和应用。

5.矩阵的特征值和特征向量的应用：-线性微分方程组：线性微分方程组的特征方程和特解、线性微分方程组的解的表示和求解方法。

-线性差分方程组：线性差分方程组的特征方程和特解、线性差分方程组的解的表示和求解方法。

- Markov过程：Markov过程的概念和性质、Markov过程的平稳分布和转移概率矩阵。

6.内积空间和正交变换：-内积和内积空间的定义：内积的基本性质和运算规则、内积空间的定义和性质。

-正交向量和正交子空间：正交向量和正交子空间的定义和性质。

-正交变换和正交矩阵：正交变换和正交矩阵的概念、正交变换的性质和应用。

7.对偶空间和广义逆：-对偶空间的定义和性质：对偶空间的定义和对偶基的求解方法、对偶空间的性质和应用。

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内积空间第七章内积空间⼀、内容提要§7.1内积空间与简单性质1．定义(1). 内积空间设V 是实数域上的线性空间, ,V αβ?∈, V 上的内积是这样⼀个映射:(,)V V αβαβ×→×R a , 对,,V αβγ?∈和c ?∈R , 其有如下性质：1) (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαγβγ+=+; 3) (,)(,)c c αβαβ=;4) (,)0,αα≥ 且(,)0αα=当且仅当0α=.⼀个赋予上⾯内积的线性空间V 称为实内积空间. 有限维实内积空间称为Euclid 空间,简称为欧⽒空间.(2). 长度设V 是⼀个实内积空间, V α∈, 定义α的长度或范数为α=(3). 夹⾓设V 是欧⽒空间, 定义⾮零向量α、β的夹⾓的余弦为(,)cos αβθαβ=.(4). 正交设V 是欧⽒空间, ,V αβ∈, 若(,)0αβ=, 则称α与β正交或垂直.记为αβ⊥.2. 重要定理(1) (Cauchy-Schwarz 不等式)对空间V 中任意向量α,β, 有 (,)αβαβ≤.且当且仅当α与β线性相关时等号成⽴.(2) (三⾓不等式)对欧⽒空间V 中任意向量,αβ, 有αβαβ+≤+.§7.2 标准正交基1．定义（1）正交基设{}12,,,n αααL 是n 维内积空间V 的⼀组向量组, 如果集合中任意两个不同的向量都正交, 即,i j i j αα⊥≠, 则称这组向量组是V 的⼀组正交组.（2）标准正交基如果内积空间V 的⼀组基是正交的, 则称这组基为V 的正交基. 若正交基中每个向量的长度都等于1, 则称这组正交基为标准正交基.（3）正交补空间设W 是内积空间V 的⼦空间. 令 {}(,)0,WV w w W αα⊥=∈=?∈.容易验证W ⊥也是V 的⼦空间, 称为W 的正交补空间. 2．定理（1）内积空间中任意⼀组两两正交的⾮零向量组{}12,,,m αααL 必线性⽆关, 因此构成所⽣成⼦空间12(,,,)m L αααL 的⼀组基.（2）n 维欧⽒空间V 的每⼀个⼦空间W 都有唯⼀的正交补空间. (3) 设V 是n 维内积空间, W 是V 的任意⼀个⼦空间, 则有 1) V W W ⊥=⊕;2) W 的任意⼀组标准正交基均可扩张为V 的标准正交基.3. 标准正交基的求法利⽤Grame-Schmidt 正交化⽅法§7.3 正交变换与正交矩阵1．欧⽒空间同构设V 与W 都是实数域上的欧⽒空间, :V W ?→是线性映射, 如果对任意的,,V c αβ∈∈R , ?满⾜下列条件:(1) ()()();?αβ?α?β+=+ (2) ()();c c ?α?α=(3) ((),())(,),?α?βαβ=则我们称欧⽒空间V 与W 同构. 2. 欧⽒空间同构定理两个有限维欧⽒空间同构当且仅当它们的维数相同 3．正交变换欧⽒空间V 的线性变换?称为正交变换, 如果它保持向量的内积不变, 即对任意的向量V αβ∈、, 都有((),())(,)?α?βαβ=. 4. 正交矩阵(1) 定义设A 是n 阶⽅阵, TA 是A 的转置, 如果TTAA A A E ==, 则称A 为n 阶正交矩阵. (2) 性质1)若A 是正交矩阵, 则1TA A ?=也是正交矩阵. 2)若A 是正交矩阵, 则1A =±.3)正交矩阵的积仍是正交矩阵. 4) 标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵. 5. 定理设?是n 维欧⽒空间V 的⼀个线性变换, 则下列命题等价 (1) ?是正交变换.(2) ?把⼀组标准正交基变为⼀组标准正交基. (3) ?在任⼀组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.§7.4 实对称矩阵的标准型1．对称变换与对称矩阵(1)定义n R 上满⾜((),)(,())?αβα?β=的变换?称为对称变换.（2）性质1) 实对称矩阵的特征值都是实数.2) 设A 是对称矩阵, 则不同特征值对应的特征向量彼此正交. 2.正交对⾓化矩阵(1) 定义设A ⼀个矩阵, 如果存在⼀个正交矩阵P 和⼀个对⾓矩阵D , 使得1T P AP P AP D ?==, 则称A 为可正交对⾓化矩阵(2) 性质若A 是对称矩阵, 则A 是可正交对⾓化矩阵.§ 7.5 ⾣空间和⾣变换1．定义（1）复内积空间复数域上的线性空间V 上的内积是⼀个函数V V ×→C , 对每⼀对属于V 的向量α和β, 存在⼀个复数(,)αβ∈C 满⾜下⾯公理, 对任意,,V αβγ∈和c ∈C 有：1）(,)(,)αββα=2）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+ 3）(,)(,)c c αβαβ=4）(,)0,αα≥ 且(,)0αα=的充分必要条件是0α=.⼀个赋予上⾯内积的线性空间V 称为复内积空间. 有限维复内积空间称为⾣空间. (2) 正交设V 是⼀个⾣空间, 对于任意,V αβ∈,如果(,)0αβ=, 我们称α与β是正交的. (3) 标准正交基⾣空间V 的⼀组两两正交的基向量叫做V 的⼀个正交基. 如果⼀个正交基的每⼀个向量都是单位向量, 就称这个正交基是⼀个标准正交基.(4) ⾣矩阵⼀个n 阶复矩阵U 叫做⼀个⾣矩阵, 如果U 满⾜ HH UUU U E ==.(5) ⾣变换⾣空间V 的线性变换?称为⾣变换, 如果它保持向量的内积不变, 即对任意的向量V αβ∈、, 都有((),())(,)?α?βαβ=.(6) 对称变换⾣空间V 的线性变换?叫做⼀个对称变换, 如果对于任意V αβ∈、都有((),)(,())?αβα?β=.(7) Hermite 矩阵n 阶复矩阵H 叫做Hermite 矩阵, 如果H 满⾜ HH H =.2. 重要定理(1) 设V 是⼀个⾣空间, 对于任意,V αβ∈, 有(,)αβαβ≤?,当且仅当α与β线性相关时等号成⽴.(2) 设?是n 维欧⽒空间V 的⼀个线性变换, 则有下列命题等价1) ?是⾣变换.2) ?把⼀组标准正交基变为⼀组标准正交基. 3) ?在任⼀组标准正交基下的矩阵是⾣矩阵. (3) 设?是n 维⾣空间V 的⼀个对称变换,1) ?的特征值都是实数.2) ?的属于不同特征值的特征向量彼此正交. (4) 设H 是⼀个n 阶Hermite 矩阵, 则存在⼀个n 阶⾣矩阵U , 使得 1HU HU U HU D ?==是⼀个实对⾓矩阵.§ 7.6 正规矩阵1．正规矩阵(1) 正规矩阵设n nA ×∈C是矩阵, 若A 满⾜H HA A AA =, 则称A 为正规矩阵.(2) 伴随矩阵设?是有限维内积空间V 上的线性算⼦, 若存在V 上的算⼦*, 使得对任意,V αβ∈都有*((),)(,())?αβα?β=, 则称*?是?的伴随算⼦.(3) 正规算⼦设?是实有限维内积空间V 上的线性变换, *是其伴随, 若**=, 则称?是V 上的正规算⼦.2. 性质与定理(1) 若A 是实矩阵, 则对任意的正交矩阵P , TP AP 是实正规矩阵. 若A 是复正规矩阵, 则对任意的⾣矩阵U , HU AU 仍是复正规矩阵.(2) 设V 是n 维⾣空间, ?是V 上的线性算⼦, ⼜{}12,,n εεεL 是V 的标准正交基. 设?在这组基下的矩阵A 是⼀个上三⾓矩阵, 则?是正规算⼦当且仅当A 是对⾓矩阵.(3) 设V 是n 维⾣空间, ?是V 上的线性算⼦, 则存在V 的⼀组标准正交基, 使?在这组基下的矩阵为上三⾓矩阵.(4) 设?是n 维⾣空间V 上的正规算⼦, 则存在⼀组标准正交基{}12,,,n γγγL , 使得?在{}12,,,n γγγL 下的矩阵是对⾓矩阵, 且{}12,,,n γγγL 是?的n 个线性⽆关的特征向量.(5) ⼀个复矩阵相似于对⾓矩阵当且仅当它是⼀个正规矩阵. (6) 任⼀n 阶⾣矩阵相似于对⾓矩阵12n c c cO , 其中1(1,2,,)ic i n ==L⼆、训练题⼀、选择题1．如果235,213αβ=?=是使内积空间的两个向量, 则它们的内积为( )（a); 1 （b)-1; （c) 2; （d)-22. 设W 是n 维欧⽒空间V 的⼦空间, 则（）(a) W 的维数不⼩于n ; (b) W 的补空间不⼀定存在; (c) W ⾄少存在⼀个补空间; (d) W 存在唯⼀的补空间; 3．设,A B 是正交矩阵, 则（）(a)A B +是正交矩阵; (b) A B +不是正交矩阵; (c)AB 是正交矩阵; (d) kA 是正交矩阵 4．下列实矩阵没有特征值的是（）(a)实对称矩阵; (b)奇数阶实矩阵; (c)⼆阶⾮零反对称矩阵; (d)实上三⾓矩阵. 5. A 是正交阵，则（）（a）TA ⼀定不是正交阵；（b）TA ⼀定是正交阵; (c)1T A A ?≠；（d）TA 是对称矩阵. 6．下列命题正确的是（）（a）两个正交变换的线性组合仍是正交变换；（b）两个对称变换的线性组合仍是对称变换; (c) 对称变换将正交向量组变为正交向量组； (d）对称变换必是可逆变换.7. 下列关于矩阵相似的结论正确的是( ) （a）两个相似的实对称矩阵必相似；(b) 同阶正定阵必相似;(c) 特征值相同的同阶矩阵必相似； (d) 两个合同矩阵必相似.8. 设()1,2,2,0Tα=?, 则α的单位化向量是:(a) 1212,,,0333T ; (b) 122,,,0333T;(c) 121,,,0334T; (d)122,,,0333T.⼆、填空题1．设()1212,,,,(,,,)n n x x x y y y αβ==L L 是复内积空间中向量，则它们的标准内积(,)αβ=_____________.2．⼆次型2212121334f x x x x x x =+?+对应的对称矩阵为_____________. 3．实对称矩阵A 的特征多项式为2 56λλ?+, 它的正交相似标准型是 . 4．实对称矩阵是正定阵的充分必要条件是_____________. 5．已知0111101111011110A=, 则A 可以化为对⾓矩阵_____.三、计算、证明题 1．设()()(),2,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1321TTT===ααα求1）32132ααα?+；2）1α与2α的夹⾓以及3α与2α的夹⾓； 3）与321,,ααα都正交的单位向量。

内积空间schwarz不等式

一、概述内积空间是数学分析中的重要概念，它对于函数空间中的内积、范数等性质起到了至关重要的作用。

在内积空间中，Schwarz不等式是一条极为重要的不等式，它具有广泛的应用，不仅在数学分析中有着重要意义，还在物理学、工程学等领域有着重要的应用。

二、内积空间1. 内积空间的定义内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运算。

对于向量空间V中任意两个元素x和y，内积运算满足线性、对称、正定性三条性质。

2. 内积空间的例子实数空间R^n和复数空间C^n都是内积空间的例子。

在R^n和C^n 中，内积运算定义为向量的点积或内积。

3. 内积空间的性质内积空间的范数由内积定义，满足范数的性质，如三角不等式、柯西-施瓦茨不等式等。

三、Schwarz不等式1. 基本形式对于内积空间V中的任意两个元素x和y，Schwarz不等式表示为|〈x，y〉|<= ‖x‖‖y‖。

2. 证明Schwarz不等式的证明可以通过多种方法，最基础的是使用Cauchy-Schwarz不等式，也可以通过线性代数的方法和实分析的方法进行证明。

3. 应用Schwarz不等式在实际问题中有着广泛的应用，如在概率论中的卡尔曼滤波器、信号处理中的最小二乘法、泛函分析中的逼近理论等领域均有应用。

四、Schwarz不等式的推广1. Bessel不等式Bessel不等式是Schwarz不等式的推广，它涉及到内积空间的正交基的概念。

对于内积空间V中的正交基{e_1,e_2,…,e_n}以及向量x∈V，Bessel不等式表示为∑_(i=1)^n |〈x, e_i〉| ^2 <= ‖x‖^2。

2. Hölder不等式Hölder不等式是Schwarz不等式的另一种推广，它是一种关于积分的不等式，涉及到Lp空间和Lq空间中函数的积分。

3. Minkowski不等式Minkowski不等式是Schwarz不等式的另一种推广，它是一种关于向量空间中范数的不等式，涉及到向量的加法和范数的性质。

内积空间基本概念

内积空间基本概念内积空间是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

本文将介绍内积空间的基本概念，包括内积的定义、内积空间的性质以及常见的内积空间。

一、内积的定义内积是定义在向量空间上的一种运算，用于度量向量之间的夹角和长度。

在内积空间中，向量的内积满足以下四个性质：1. 正定性：对于任意非零向量x，有(x, x) > 0，且只有当x=0时，有(x, x) = 0。

2. 对称性：对于任意向量x和y，有(x, y) = (y, x)。

3. 线性性：对于任意向量x、y和标量a，有(a*x, y) = a*(x, y)和(x+y, z) = (x, z) + (y, z)。

4. 共轭对称性：当内积空间为复数域时，对于任意向量x和y，有(x, y) = conj(y, x)，其中conj表示复共轭。

二、内积空间的性质在内积空间中，除了满足内积的定义性质外，还具有以下重要性质：1. 内积空间是一个实数或复数域上的向量空间。

它包含了一组向量以及定义在这组向量之间的内积运算。

2. 内积空间具有加法和数乘运算，满足向量空间的定义。

3. 内积空间中的向量可以进行正交和投影运算。

正交是指两个向量的内积为零，而投影则是将一个向量分解为另一个向量的线性组合，使得两向量正交。

4. 内积空间中的向量可以通过内积的概念定义长度和夹角。

长度定义为向量自身与自身的内积开方，夹角定义为向量之间的夹角的余弦值。

三、常见的内积空间1. 实数内积空间：在实数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。

常见的实数内积空间包括欧几里得空间和函数空间。

2. 复数内积空间：在复数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。

复数内积空间常用于量子力学和信号处理等领域。

3. 内积空间的子空间：内积空间中的子集也可以构成一个内积空间，称为内积空间的子空间。

子空间具有与内积空间相同的内积定义及性质。

四、总结内积空间是线性代数中的重要概念，它不仅能够度量向量的长度和夹角，还能够进行正交和投影运算，并在许多领域中发挥着重要作用。

内积空间及其性质与应用

内积空间及其性质与应用内积空间是线性代数中非常重要的一个概念。

它是指一个向量空间，其中每个向量都有一个与其它向量的内积，该内积遵循某些规则和性质，并能够为向量空间提供额外的结构和属性。

在这篇文章中，我们将探讨内积空间的一些性质、应用和重要性。

一、内积空间的定义和性质内积空间是向量空间的扩展，其中每个向量x和y之间有一个内积。

内积是将两个向量映射到一个标量或实数的函数，通常使用符号< x, y >表示。

内积是一个满足以下四个性质的函数：1.对称性： < x, y > = < y, x >2.线性性： < ax + by, z > = a< x, z > + b< y, z >3.正定性（或非负性）： < x, x > >= 0，且 < x, x > = 0 当且仅当 x = 04.非退化性：如果 < x, y > = 0 对于所有y，那么 x = 0这四个性质使得内积空间在很多方面都有用处。

它们确保了内积的对称性、线性组合的性质以及长度的概念。

除此之外，内积空间还有其他有用的性质，例如加权Cauchy-Schwarz不等式和向量正交的概念等。

二、内积空间的应用内积空间的应用非常广泛，许多重要的数学和物理学概念都可以表示为内积空间。

以下是一些内积空间的应用：1.傅里叶分析：傅里叶分析是一种分解周期信号的方法，它使用内积来定义信号中的频率和幅度。

傅里叶变换可以看作是内积空间中的一种变换。

2.量子力学：量子力学的基础是量子态空间，它是一个内积空间。

这个空间中的向量表示量子态，而它们之间的内积表示量子态之间的相似性。

3.最小二乘法：最小二乘法是一种用来拟合数据的方法。

在内积空间中，最小二乘法可以看成是找出一个向量在一个子空间上的最佳逼近。

4.图像处理：图像处理中的许多算法可以看成使用内积来度量像素之间的相似性。

内积空间及其在几何学研究中的应用

内积空间及其在几何学研究中的应用内积空间是线性代数中的一个重要概念，它在许多数学领域，特别是几何学中具有广泛的应用。

内积空间是一个向量空间，其上定义了一种特殊的二元运算，称为内积。

本文将介绍内积空间的定义、性质和在几何学研究中的应用。

首先，我们来定义内积空间。

在定义内积空间之前，我们需要先了解一下向量的长度以及向量之间的夹角。

向量的长度可以通过向量的模来表示，记为∥x∥。

向量x和x之间的夹角可以表示为x，其中0≤x≤x。

当x=x/2时，向量x和x垂直；当0≤x <x/2时，向量x和x之间的夹角x越小，它们的相关性越强。

接下来，我们定义内积空间。

内积空间是一个实数或复数域上的向量空间，其中定义了一个满足一定性质的二元运算，称为内积。

对于内积空间中的任意两个向量x和x，其内积定义为〈x,x〉。

内积满足以下几个性质：1. 对于任意向量x和x，有〈x,x〉=〈x,x〉，即内积具有对称性。

2. 对于任意向量x和x以及标量x，有〈xx,x〉=x〈x,x〉，即内积与标量的乘法可以交换。

3. 对于任意向量x、x、x以及标量x和x，有〈xx+xx,x〉=x〈x,x〉+x〈x,x〉，即内积具有线性性质。

内积空间的应用非常广泛，特别是在几何学中。

内积空间可以用来定义向量的长度、向量之间的夹角以及向量的投影等概念，从而在几何学中提供了一种更加直观和易于理解的描述方式。

首先，内积空间可以用来定义向量的长度。

在内积空间中，向量x的长度可以通过计算其自身与自身的内积的平方根来得到，即∥x∥=√〈x,x〉。

通过内积空间中向量的长度，我们可以比较不同向量的大小，从而得到一种度量向量大小的标准。

其次，内积空间还可以用来定义向量之间的夹角。

对于内积空间中的向量x和x，它们之间的夹角x可以通过如下方式计算：cos x=〈x,x〉/(∥x∥∥x∥)。

通过计算向量的内积和长度，我们可以判断向量之间的夹角大小，从而进一步揭示向量之间的相关性。

高等代数知识点总结大一

高等代数知识点总结大一高等代数知识点总结在大一学习高等代数时，我们会接触到一系列的知识点，它们是我们理解和掌握高等代数的基础。

本文将对这些知识点进行总结，并给出一些例子来帮助读者更好地理解。

1. 向量和矩阵高等代数的基础是向量和矩阵。

向量是具有大小和方向的量，用于表示物理量或数学对象。

它可以进行加法、标量乘法和内积等运算。

矩阵是由一组排列成矩阵形式的数所构成的矩形阵列，可以进行加法、标量乘法和矩阵乘法等运算。

2. 行列式行列式是一个方块矩阵的标量值，用于确定矩阵的某些性质。

行列式可以用来解线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等。

3. 线性方程组线性方程组是一组线性方程的集合，其未知数以线性的方式出现。

解线性方程组意味着找到满足所有方程的解。

可以使用矩阵和行列式的方法来解线性方程组。

4. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性代数中非常重要的概念。

特征值表示矩阵的重要特性，特征向量是对应于特征值的向量。

5. 基变换和相似矩阵基变换是指改变向量的基准从而表示同一个向量的不同坐标。

相似矩阵是指两个矩阵之间可以通过一个基变换相互转化。

6. 线性空间和子空间线性空间是指满足线性运算法则的向量空间。

子空间是指线性空间中的一个子集，它同样满足线性运算法则。

7. 线性变换线性变换是指保持向量空间运算法则不变的变换。

线性变换是高等代数中的核心概念之一，它可以用矩阵表示。

8. 内积空间和正交性内积空间是指在向量空间中定义了一种内积运算的空间。

正交性是指两个向量的内积为零，表示它们之间的垂直关系。

9. 特征向量空间和对角化特征向量空间是指由一个矩阵的所有特征向量生成的向量空间。

对角化是指将一个矩阵相似化成一个对角矩阵的过程，可以简化计算。

10. 线性相关性和线性无关性线性相关性是指向量之间存在线性关系的情况。

线性无关性是指向量之间不存在非平凡的线性关系。

以上是大一学习高等代数中的一些重要知识点的总结。

泛函分析：内积空间介绍（一）

泛函分析：内积空间介绍（一）展开全文今天没有遇见什么有意思的题，所以没有戏精上身了，哈哈！emm,我是个正经人，哪来那么多戏？内积空间介绍现在我们在拓扑结构和线性结构上加上几何结构-内积！内积空间和Hibert空间简介定义：设为实 (或复)数域上的线性空间. 若中任意一对元素恒对应于中一个数, 记为 , 满足 :(i) ;(ii) , 这里 ;(iii) 当为实数域时, ; 当为复数域时, , ;(iv) , 且的充分必要条件是 ,那么称为实 (或复) 内积空间, 简称为内积空间, 称为元素与的内积.下边有一些关于内积的简单性质，我们只对三角不等式和柯西不等式进行证明：1.当时:关于两个变元都是线性的.而当时：关于第一变元线性，第二变元共轭线性.由内积我们可以诱导出范数(体现几何结构和拓扑、线性结构的兼容性)：我们要验证他满足内积的正定型；齐次性；三角不等式.(我们只验证三角不等式并证明柯西不等式.)柯西不等式：证明：取,简单演算即可得证.有了柯西不等式我们便可以证明三角不等式：2.下边的性质将进一步体现几何结构和拓扑、线性结构的相容性：是关于的二元连续函数(依范数收敛)：3.极化恒等式：当为实数域时,当为复数域时,在内积空间中，如果我们不做声明，所用的范数均为由内积诱导的范数.定义如果内积空间作为赋范线性空间是完备的,则称为希尔伯特( Hilbert) 空间. 若不完备, 则称为准希尔伯特空间.下边我们看几个完备的Hilbert空间的例子：欧式空间/酉空间：有限维空间的代表：设,定义内积为：不难验证，他满足内积的四条公理，而这个空间也正是我们高等代数研究的主要对象之一.和空间：可分Hilbert空间的代表设,定义内积：因为都在中，所以定义合理.而且由内积诱导的范数和我们常用的2-范数相同.类似的也可以合理定义.内积空间的特征前边我们说了由内积可以诱导出范数，那么给定了由内积诱导的范数，我们能够推出内积是什么吗？这个问题揭示了内积空间的特征也就是怎么由范数体现他的几何结构？下边回答这个问题！定理：设是内积空间,则由的内积导出的范数满足其中是中任意两个元素. 反之,设是赋范线性空间 ,如果的范数满足等式. 则在中可以定义内积使成为内积空间,且的范数就是由内积导出.我们将上边的不等式成为平行四边形公式或者中线公式.:如果是内积空间，且是由定义内积诱导的范数，则我们很容易就算出了下列恒等式.:如果诱导的范数满足上述不等式，则我们定义的内积一定是我们只需要验证他是不是满足内积的四条公理即可.(这个证明在第四版书籍的96面，颇具技巧性，但是并不是那么重要，大家可以自己查看书籍.)Hilbert空间的正交系现在我们进入内积空间中最重要的概念之一：正交(或者是垂直.)(提问：为什么我们在赋范线性空间中没有谈及这个概念？)我们在赋范线性空间中已经看到了有了基的Banach空间性质会比较良好，易于分析，而在内积空间中，具有正交性质的基将会给我们带来更加优良的性质.定义设为内积空间, . 若 , 则称与正交,记为 . 设是的一个子集, . 若与内的任一元素正交,则称与正交, 记为 . 设也是的一个子集,如果对任意的以及任意的 , 有 , 则称与正交,记为中所有与正交的元素构成的集称为的正交补, 记为 .先来看看他的一些性质：1.勾股定理：如果两两正交，那么就有：2.设,那么是一个线性空间，是的一个闭子空间.线性空间比较容易说明，我们说它是一个闭子空间：因为对任意的中的序列,有：3.如果是的稠子集，且,那么就有:.在中可以找到,由于内积的连续性：所以接下来，我们要进入本小节的大定理：内积空间的正交分解！我们先叙述定理：定理：设是希尔伯特空间的闭子空间,则对中任一元素 ,有下列唯一的正交分解:其中称为在中的正交投影.为了证明这个定理，我们需要一个引理在支撑：定义：设是内积空间的一个子集, 为给定的元素. 如果中存在元素使得则称是在中的一个最佳逼近元.一个简单的问题自然而然的就会问出来：的存在性？是不是一定会存在这样的一个元素使得等于后者？一般的集合上我们可能做不到.但读者可以尝试思考一下什么集合上可以做到？比如：紧集！但是紧集实在是一个很好的东西，一般来说不太容易做到，我们降低要求-凸闭集！仍设是的一个子集,如果对任意的以及满足的任一实数 , 元素仍属于 , 则称是 U 中的凸集. 如果是既凸且闭的集,则称是中的凸闭集.凸集，事实上是一个十分重要的概念，在应用中用到的贼广，有兴趣的读者可以在凸优化和调和分析中查到关于凸函数和凸集的一些应用，这里只提一个最基本的推论或者等价定义(后边会在相关习题中多提两嘴)：定理：设是实线性空间的一个凸子集. 若属于 , 则形如的每个都属于 .这个定理该怎么证明的？提示：数学归纳法-回顾Jesen不等式的证明！好的，现在我们开始证明在闭凸集中，的存在性！定理：设是希尔伯特空间中的凸闭集,则中的任一元素在中存在唯一的最佳逼近元.存在性：因为下确界的定义，我们知道可以找到一列使得：因为是凸集，因此在中，，所以：利用平行四边形公式可以得到：当时，可以得到,因此时中的柯西列，其极限记为,由于是闭集，所以.因此：因此结论得证.再证唯一性：假设有两个.那么：所以整个定理得证.现在动手证明大定理：空间分解.首先我们思考：其中,想一想，这个怎么取？(前面花了那么多功夫证明最佳逼近元，现在难道不用吗？)当然取最佳逼近元了！那么自然就可以取.问题来了：是凸闭集吗？是否在中.第一个问题：由于是闭子空间(线性性)，自然是凸闭集.第二个问题就是我们这个定理主要需要证明的问题：我们现在证明确实在中，即对于任意的都有：记, 由于 ,于是对任一实(或复)数及任一元素 , 有 , 故取 , 并注意到 , 得到于是显然只有当时,上式才能成立.综合我们的叙述结论得证.纪念一下！Nice！。

内积空间的基本概念

第四章Hilbert 空间一内积空间的基本概念设H 是域K 上的线性空间，对任意H y ,x ∈，有一个中K 数),(y x 与之对应，使得对任意H z ,y ,x ∈；K ∈α满足1） 0)y ,x (≥；)y ,x (＝0，当且仅当 0x =； 2） )y ,x (＝___________)x ,y (；3） )y ,x ()y ,x (αα=；4）)z ,y x (+＝)z ,x (＋)z ,y (；称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。

定理1.1设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有：|)y ,x (|2)y ,y )(x ,x (≤。

设H 是内积空间，对任意H x ∈，命),(||||x x x =则||||⋅是H 上的一个范数。

例设H 是区间],[b a 上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意H y x ∈,，定义dt t y t x y x ba⎰=________)()(),(则与],[2b a L 类似，),(y x 是一个内积，由内积产生的范数为212)|)(|(||||⎰=badt t x x上一个内积介不是Hilbert 空间。

定理 1.2 设H 是内积空间，则内积),(y x 是y x ,的连续函数，即时x x n→，y y n→，),(),(y x y x nn→。

定理1.3 设H 是内积空间，对任意H y x ∈,，有以下关系式成立，1）平行四边形法则：2||||y x +＋2||||y x -＝2)||||||(||22y x +；2）极化恒等式：),(y x ＝41（2||||y x +－2||||y x -＋2||||iy x i +－)||||2iy x i -定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。

二正交性，正交系 1 正交性设H 是内积空间，H y x ∈,，如果0),(=y x ，称x 与y 正交，记为y x⊥。

高等代数第四版知识点

高等代数第四版知识点高等代数是大学数学课程中的重要一环。

它涵盖了许多关键的数学概念和技巧，不仅在纯数学领域有广泛的应用，而且在物理学、工程学以及计算机科学等应用科学中也占有重要地位。

本文将介绍高等代数第四版教材中的一些重要知识点。

1. 向量空间向量空间是高等代数的基础概念之一。

它是一种具有加法和数乘运算的集合，满足一些特定的性质。

学习向量空间的时候，我们需要了解向量、向量的线性组合、向量空间的子空间以及向量空间的维数等几个重要概念。

2. 线性方程组线性方程组是高等代数中的常见问题。

我们通过矩阵和向量的形式来表示线性方程组，利用高斯消元法或者矩阵的逆来求解方程组的解。

在学习线性方程组的过程中，我们需要掌握方程组的矩阵表示、齐次方程组与非齐次方程组的区别，以及解的存在唯一性等。

3. 行列式行列式是描述线性变换性质的重要工具。

我们通过行列式来判断方阵的可逆性、计算矩阵的秩，以及求解线性方程组的解等问题。

在学习行列式的时候，我们需要了解行列式的定义、行列式的性质，以及行列式的计算方法等。

4. 特征值与特征向量特征值与特征向量是描述线性变换规律的关键概念。

通过求解矩阵的特征方程，我们可以得到矩阵的特征值和对应的特征向量。

特征值和特征向量在矩阵对角化、矩阵的谱分解、矩阵的相似变换等问题中发挥着重要的作用。

5. 线性变换与线性映射线性变换是高等代数中的核心概念之一。

它描述了一个向量空间到另一个向量空间的映射关系，并保持向量空间的线性结构。

线性映射是线性变换在向量空间之间的具体表示方式。

在学习线性变换和线性映射的时候，我们需要了解线性变换与线性映射的定义、线性变换的矩阵表示，以及线性变换的核、像、秩等重要性质。

6. 内积空间与正交性内积空间是一种具有内积运算的向量空间，它将向量空间的线性结构推广到了一种度量结构。

通过内积，我们可以定义向量的长度、夹角以及正交性等概念。

在学习内积空间的时候，我们需要了解内积的定义与性质、Cauchy-Schwarz不等式、勾股定理以及正交补空间等基本概念。

内积空间

内积空间(2012-06-17 20:13:58)▼内积空间内积的几何解释在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。

这个额外的结构叫做内积或标量积。

这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。

内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。

关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。

在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。

定义下文中的数量域F是实数域或复数域。

域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：满足以下公理：∙共轭对称；这个设定蕴含着对于所有, 因为.(共轭也写成加星号：，如同共轭转置。

)∙对第一个元素是线性算子；由前两条可以得到：因此实际上是一个半双线性形式。

∙非负性：(这样就定义了对于所有。

说明内积是从点积抽象而来。

)∙非退化：从V到对偶空间V*的映射：是同构映射。

在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。

当且仅当。

因此，内积空间是一个Hermitian形式。

V满足可加性：对所有的，，如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。

共轭双线性变成了一般的双线性。

备注。

多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。

很多物理学家接受相反的约定。

这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。

某些作者接受约定< , > 在第一个分量是线性的而< | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。

《内积空间》课件

混合积
混合积运算结果是一个标量，记作 $mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c})$。混合积可以用来判断三个向量的共面情况：若混合积为零，则三个向量共面。
05
内积空间中的正交与投影
正交的定义与性质
总结词
正交是内积空间中两个非零向量的特殊关系，具有方向无关性、正交性质和几何意义。
01 线性映射的定义
线性映射是从一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足加法、数乘等线性性质。
02 线性映射的性质
线性映射保持向量的加法、数乘等基本性质，即对于任意向量x、y和任意实数k，有 L(x+y)=L(x)+L(y)和L(kx)=kL(x)。
03 线性映射的例子
矩阵表示的线性变换、投影变换等都是线性映射的例子。
矩阵的范数
矩阵范数的定义
矩阵的范数是定义在矩阵上的一个非负实数，表示矩阵的“大小 ”或“强度”。常用的矩阵范数包括谱范数、Frobenius范数和无
穷范数等。
范数的性质
矩阵范数具有与向量范数类似的性质，如非负性、正齐性、三角不等式和归一化等。
范数的应用
矩阵范数在数值分析、线性代数、控制理论和机器学习等领域都有应用，如求解线性方程组、矩阵分解和特征值计算等。
在机器学习中的应用
特征提取
内积空间中的向量可以用来表示机器学习中的特征，通过计算特征向量之间的内积，可以得出特征之间的相似性和关联性，从而实现特征的提取和降维处理。
分类器设计
在机器学习中，分类器的设计往往需要用到内积空间中的向量表示，通过计算样本向量与分类器向量之间的内积，可以得出样本所
向量的加法与数乘
向量的加法

第二章内积空间

第二章内积空间在线性空间中，元素之间仅限于加法及数乘两种线性运算，但在三维欧氏空间中，也就是在向量代数中，向量的数量积(内积)是一个重要的概念，它是引入向量正交、长度和两向量夹角等概念的基础，为了使这些应用较广的概念能在抽象的线性空间中得到反映，有必要将这些概念加以拓广，建立线性空间的内积的概念，由此形成内积空间．§2.1 内积空间的概念一、内积空间的定义与基本性质定义1 设V 是数域F 上的线性空间，如果在V 上还定义了一种叫内积的运算：对于V 中任意向量,αβ都有F中唯一的数x 与之对应，记为(,)x αβ=．并且这种内积运算还具有如下性质：对于任意的,,Vαβγ∈及任意的k F ∈，有1)(,)(,)αββα= ； 2)(,)(,)k k αβαβ=； 3)(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+； 4)当0α≠时，(,)0αα>．此时称V 为一个内积空间．例1 对于复数域上的线性空间n C ，若规定向量12(,,,)α= T n a a a ，12(,,,)β= Tn b b b 的内积为1122(,)αββα=+++= Hn n a b a b a b ，则n C 是一个复数域上的内积空间．例2 V 是[,]a b 区间上全体实连续函数对于函数加法与数乘所成的实数域上的线性空间．对于V 中元素(),()f x g x ，定义内积((),())()()b af xg x f x g x dx =⎰，则V 构成一个内积空间．例3 设A 是n 阶正定H -矩阵(()==H T A A A ，详见本章第三节)．对于复线性空间n C 中的任意向量,αβ，若规定内积为(,)HA αββα=，则n C 构成一个内积空间．内积的四条规定可推出如下性质1º (,)(,)k k αβαβ=． 2º (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+． 3º (,)(,)k l kl αβαβ=． 4º11,(,)m mi i iii i k k αβαβ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．5º 11,(,)n nj j jj j j l lαβαβ==⎛⎫=⎪⎝⎭∑∑．6º 1111,(,)αβαβ====⎛⎫=⎪⎝⎭∑∑∑∑m nm ni i j j i ji j i j i j k l k l．7º (,0)(0,)0αα==．定义2 对于内积空间V 中的向量α，定义它的长度为(,)ααα=． (1) 关于向量的长度，有下面性质8ºk k αα= ． (k 为数k 的模)长度为1的向量称为单位向量，任何非零向量α都可以单位化，即令 0ααα=， (2)则0α是α经单位化得到的单位向量．定理1 [Ｃauchy-Ｓchwarz 不等式]对于内积空间中任意向量,αβ有 (,)αβαβ≤⋅． (3)并且，等号成立的充要条件是,αβ线性相关．证明略．9º (三角不等式)对任意向量,αβ，有αβαβ+≤+． (4)证 2(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαβαααββαββ+=++=+++222Re(,)ααββ=++222(,)ααββ≤++222ααββ≤+⋅+2()αβ=+．由此即知(4)成立．定义3 设A 为n 阶H -矩阵，()T n x x x x ,,,21⋯=为n 维复变元向量，则称()Ax x x f H=为一个厄米特(Hermite)二次型，称为H -二次型．无论x 为任何n 维复向量，二次型()x f 的值总是实数，这是因为()()()x f Ax x x A x x A x x A x Ax x x f H TT TT T H ======．任一厄米特[Hermite]二次型Ax x H 必可经复数域上适当的可逆线性变换()],[1Tn y y y n P Py x ⋯==阶可逆复矩阵为化为唯一的规范形r r p p p p y y y y y y y y -⋯--+⋯+++1111． (5)上式中的r 称为该H —二次型的秩数，p 是正惯性指数，p r -称为负惯性指数．与规范形(5)相应的厄米特二次型的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=001111B 称为H —矩阵A 的规范形，显然有AP P B H =．与实二次型类似，可以根据正负惯性指数的不同情况把Hermite 二次型及Hermite 矩阵分别定义为正定、负定、半正定、半负定和不定的．定义4 在内积空间中，如果两向量,αβ的内积为零，则称,αβ正交或垂直，记作αβ⊥(规定零向量与任何向量都是正交的)．10 º (勾股定理)对于内积空间中的向量,αβ，若αβ⊥，则有222αβαβ+=+． (6)定义5 内积空间中两向量,αβ的距离定义为{,}d αβαβ=-． (7)二、标准正交基定义6 在内积空间中，由两两正交的一些非零向量组成的向量组称为一个正交向量组，简称正交组．易证正交向量组是线性无关的．定义7每个向量都是单位向量的正交组称为一个标准正交组或单位正交组．定义8 在内积空间中，由正交向量组组成的基称为正交基；由标准正交组组成的基称为标准正交基．n 维内积空间的n 个向量12,,...,εεεn 构成标准正交基的充要条件是0,(,)1,εεδ≠⎧==⎨=⎩i j ij i j i j 当时,当时. 利用施密特[Ｓchmidt]标准正交化过程可以从一个已知线性无关向量组12,,...,αααm 出发，得到一个与之等价的标准正交组．实施过程又分为两大步．一是逐步正交化过程，一是单位化过程．逐步正交化：令11βα=，2121211(,)(,)αβββαββ=-+，[设212k ββα=+，为保证21(,)0ββ=，只需2111(,).](,)αβββ=-k ，313231231122(,)(,)(,)(,)αβαββββαββββ=--+，．．．，1111(,)(,)αβββαββ+++==-+∑ii j i j i j j j ，1,2,,1i m =- ，易知121,,,βββ+ i 与121,,,i ααα+ 等价，12,,,m ααα 与12,,m βββ 等价．单位化：令,1,2,,βεβ== i i ii m ，则12,,,m εεε 为与12,,,m ααα 等价的标准正交向量组．定理2n 维内积空间必有标准正交基．(0)n >§2.2 欧氏空间定义9 实数域上的内积空间称为欧几里得[Euclid]空间，简称欧氏空间．由于欧氏空间是实数域上的内积空间，因而内积的共轭对称性就成了对称性．设V 是n 维欧氏空间，12,,...,εεεn 是V 的一组基．对于V 中两个向量1122αεεε=+++ n n x x x ，1122βεεε=+++ n n y y y ，由内积的性质，知11(,)(,)nniji j i j x yαβεε===∑∑．令 (,)ij i j a εε=， ,1,2,...,=i j n ．显然=ij ji a a ．于是111212122212⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n nn n nn a a a a a a A a a a 为一个实对称矩阵．向量,αβ内积可表示为(,)Tx Ay αβ=．这里,x y 分别是,αβ的坐标．我们称A 为V 在基12,,...,εεεn 下的度量矩阵．定理3 欧氏空间在任一组基下的度量矩阵都是正定矩阵．证设V 是n 维欧氏空间，12,,...,εεεn 是V 的一组基，A 是该基下的度量矩阵．为证明实对称矩阵A 正定，只须证明实二次型T x Ax 正定，设12(,,...,)=Tn x x x x为任一非零实n 元数组．令1122αεεε=+++ n n x x x ，则α是V 中非零向量，于是(,)0Tx Ax αα=>，可见T x Ax 为正定二次型，从而知A 为正定矩阵．定理4 n 维欧氏空间V 的一组基为标准正交基的充要条件是在该基下的度量矩阵为单位矩阵．定理5 欧氏空间两组标准正交基间的变换矩阵(过渡矩阵)必是正交矩阵．证设12,,...,εεεn 及12,,...,ηηηn 都是标准正交基，且有1212(,,...,)(,,...,)ηηηεεε=n n P．若P 按列分块为12(,,...,)=n P p p p ，则i p 恰是i η在基12,,...,εεεn 之下的坐标，于是(,),,1,2,...,ηηδ===Ti j i j ij p p i j n ．这说明P 是正交矩阵．定理6 在欧氏空间中，若12,,...,εεεn 为标准正交基，P 为正交矩阵，且1212(,,...,)(,,...,)ηηηεεε=n n P ．则12,,...,ηηηn 也是标准正交基．证沿用定理5证明中的记法，则有(,)ηηδ==Ti j i j ij p p ，,1,2,...,=i j n ．这说明12,,...,ηηηn 为一组标准正交基．定义10 如果欧氏空间V 的非空子集1V 对于V 的已有运算也构成一个欧氏空间，则称1V 为V 的欧氏子空间．定义11 设1V ，2V 是欧氏空间V 的两个子空间．如果对于1V 中任意向量α及2V 中任意向量β，都有(,)0αβ=，则称1V 与2V 是正交的子空间，记为12V V ⊥．定义12 对于欧氏空间V 的子空间1V ，如果有V 的子空间2V ，使得12V V ⊥，并且12V V V +=，则称2V 是1V 的正交补空间，简称正交补，并记21V V ⊥=．由于12{0}V V = ，故知1212V V V V V =+=⊕，即说互为正交补的两个子空间的和必是直和．例1设12,,,n ααα 是n 维欧氏空间的正交基，1m n ≤<．若令112(,,...,)ααα=m V L ，212(,,...,)ααα++=m m n V L ，则1V 与2V 互为正交补．例2 对于n 维欧氏空间V 的任一子空间1V ，必有正交补1V ⊥，使11⊥=⊕V V V ．证如果1V 是平凡子空间，结论显然成立．令1V 为非平凡子空间，12,,...,αααm 为1V 的一组基(此时1m n ≤<)．现将它扩充为V 的基12,,...,αααm ，1,...,αα+m n ，再用施密特正交化过程求出V 的一组正交基12,,...,βββm ，1,...,ββ+m n ．显然11212(,,...,)(,,...,)αααβββ==m m V L L ．由例1即知112(,,...,)βββ⊥++=m m n V L ，并且11⊥=⊕V V V ．定义13 设σ是欧氏空间V 上的线性变换，如果对于V 中任意向量,αβ都有((),())(,)σασβαβ=， (1)则称σ为一个正交变换．正交变换是欧氏空间中保持内积的线性变换．定理7 设σ是欧氏空间V 上的线性变换，则如下几个条件等价： 1)σ是正交变换；2)σ把标准正交基化为标准正交基，即若12,,...,εεεn 是V 的一组标准正交基，则12(),(),...,()σεσεσεn 也必是V 的一组标准正交基；3)σ在标准正交基下的矩阵是正交矩阵；4)σ保持向量长度，即对V 中任意一个向量α，总有()σαα=．证采用循环证法．1)⇒2) 设12,,...,εεεn 是V 的一组标准正交基，则 (,)i j ij εεδ=， ,1,2,...,=i j n ．因σ为正交变换，便知((),())(,)i j i j ij σεσεεεδ==， ,1,2,...,=i j n ．故12(),(),...,()σεσεσεn 也是V 的标准正交基．2)⇒3) 设12,,...,εεεn 是V 的标准正交基．并设1212(,,...,)(,,...,)σεεεεεε=n n A ，即 1212((),(),...,())(,,...,)σεσεσεεεε=n n A ．由2)已知12(),(),...,()σεσεσεn 也是V 的标准正交基．按定理5，A 必是正交矩阵．3)⇒4) 设12,,...,εεεn 是V 的一组标准正交基，α是V 中向量，它在基12,,...,εεεn 下的坐标为x ，再设σ在基12,,...,εεεn 下的矩阵为A ．于是()σα在基12,,...,εεεn 下的坐标为A x ．又因A 为正交矩阵，便有((),())()()(,)σασααα====TTTTAx Ax x A Ax x x ，即知()σαα=．4)⇒1) 对任意向量,V αβ∈，由于σ保持长度不变，便有((),())(,)σασααα=， (2) ((),())(,)σβσβββ=， (3) ((),())(,)σαβσαβαβαβ++=++， (4)(4)式即((),())2((),())((),())σασασασβσβσβ++ (,)2(,)(,)αααβββ=++．利用(2)，(3)可得((),())(,)σασβαβ=．可见σ为正交变换．定义 14 设σ是欧氏空间V 的一个线性变换．如果对于V 中任意向量,αβ，总有((),)(,())σαβασβ=，则称σ是一个对称变换．定理8n 维欧氏空间V的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ在标准正交基下的矩阵是对称矩阵．证设12,,...,εεεn 是V 的一组标准正交基，σ在该基下的矩阵为()ij n n A a ⨯=．必要性据设有11()σεεεε=++++ i i ji j ni n a a a ， 11()j j ij i nj n a a a σεεεε=++++ ，于是 ((),)σεε=ji i j a ，(,())εσε=ij i j a ．由σ为对称变换知((),)(,())σεεεσε=i j i j ， ,1,2,=i j n ，便有 ji ija a =， ,1,2,...,=i j n ．所以A 为对称矩阵．充分性若A 为对称矩阵，即TA A=，对于V 中任意向量,αβ，设它们在基12,,...,εεεn 下的坐标分别为,x y ，则(),()σασβ在基12,,...,εεεn 下的坐标分别为,Ax Ay．于是((),)()()(,())TTTTAx y x A y x Ay σαβασβ====，因此σ为对称变换．定理9 若σ是n 维欧氏空间V 上的对称变换，则必有V 的标准正交基，使σ在该基下的矩阵为对角矩阵．证任取V 的一组标准正交基12,,...,εεεn ，设σ在该基下的矩阵为A ，由定理8知A 为实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使112(,,...,)λλλ-=Λ=n Q AQ diag ．令 1212(,,...,)(,,...,)ηηηεεε=n n Q ，由定理6知12,,...,ηηηn 是标准正交基．再由第一章的定理16可知σ在基12,,...,ηηηn 下的矩阵是对角矩阵Λ．§2.3 酉空间一、Hermite 矩阵，酉矩阵定义15 对于复矩阵[]ij m n A a ⨯=，定义其共轭矩阵为[]ij m nA a ⨯=，其中ij a 是ij a 的共轭复数．当A 为实矩阵时，AA=．共轭矩阵具有如下性质： 1°()=A A； 2°=kA kA()∈k C ；3°A B A B+=+；4°AB A B=； 5°()TTA A =；6°当A 为方阵时A A=；7°当A 可逆时，A 亦可逆，并且11()()A A --=．记矩阵A 的共轭转置矩阵为H A ，即()HT TAA A==．易知，对于数k 及矩阵A 、B (只要运算可进行)，总有()HHA A=， ()HHkA kA=，()HHHA B A B+=+ ， ()HHHAB B A=．定义16 如果方阵A 满足HA A=，则称A 为一个厄密特[Hermite]矩阵，简称H —矩阵．H—矩阵具有如下性质：1°若A 为H -矩阵，则A为实数；2°若A 为H -矩阵，k 为任意实数，则kA 仍为H -矩阵；3°若A 为H -矩阵，则*,,,T H A A A A (A 的伴随矩阵)都是H -矩阵，当A 可逆时，1A -也是H -矩阵；4°若,A B 均为n 阶H -矩阵，则A B +也是H -矩阵．证明如下：1°由()TA A A A===，即得证．2°因k 为实数，则有k k=，于是()()TTTkA kA kA kA===，得kA 为H -矩阵．3°当A 为H -矩阵时，由定义易证,,T H A A A 仍为H —矩阵．为证*A 为H -矩阵，只须证明ij jiA A =[ij A 表示A的(,)i j 元素的代数余子式]．注意到T A A=，则有()()Tij ji ji jiA A A A ===，上式中()T ji A 、()ji A 分别表示T A 与A 的(,)j i 元的代数余子式．定义17 如果n 阶复矩阵A 满足H H A A AA =，则称A 为一个正规矩阵．定义18n 阶复矩阵[]n nij A a C⨯=∈．若==H HA A AAE，则称A 是一个酉矩阵或写为U -矩阵．U-矩阵都是可逆矩阵，实数域上的U -矩阵就是正交矩阵．对于n 阶复矩阵A ，下述四个条件等价： 1)A 为U -矩阵； 2)T A A E=； 3)1HA A-=； 4)HAA E=．易证U -矩阵具有如下性质：1°若A ，B 均为n 阶U -矩阵，则AB 亦然． 2°若A 为U -矩阵，则1,,,T H A A A A -亦然．二、矩阵的相似对角化对于n 阶矩阵A ，B ，如果存在一个n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，则称A 相似于B ，记作A ∽B ．定义19 对于方阵A ，以可逆矩阵P 对A 进行运算AP P 1-，称为对A 进行相似变换，P 称为相似因子．定理10 在数域F 上，n 阶矩阵A 能与某对角矩阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．证必要性若在数域F 上A 相似于某对角矩阵Λ，即有可逆矩阵P ，使 =-AP P 1Λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n λλλ21． (1) 设P 的列向量组为n ααα ,,21，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n A λλλαααααα212121),,(),,,(，即 ),,,(),,,(221121n n n A A A αλαλαλααα =，于是 n i A i i i ,,2,1, ==αλα． (2)由于n ααα ,,21是可逆矩阵P 的列向量组，所以必是数域F 上线性无关的向量组，并且每个i α都是非零的，结合(2)便知，i α是A 的对应于特征根i λ(n i ,,2,1 =)的特征向量．以上证明了定理10的必要性，即若n 阶矩阵A 能在数域F 上相似于一个对角矩阵，则A 必在数域F 上存在n 个线性无关的特征向量．充分性即若n 阶矩阵A 在数域F 上存在n 个线性无关的特征向量，则A必可相似于某对角矩阵，其证明过程可以按必要性证明反推回去，故充分性也是成立的．定义20 把矩阵相似于对角矩阵的问题称为矩阵的相似对角化．如果矩阵A 能相似于对角矩阵，就说矩阵A 可对角化．定理11 设i λ是方阵A 的i n 重特征根，则A 相应于i λ的特征向量中线性无关组中的向量个数最多不超过i n ．定理12 设s λλλ,,,21 是方阵A 的互异特征根，iim i i ααα ,,21是A 相应于i λ的线性无关的特征向量，则向量组ssm s m m αααααα ,,,,,,,,122111121是线性无关的．定理13 如果n 阶矩阵A 在数域F 上存在n 个互异的特征根，则A 必可在数域F 上相似于对角矩阵．定理14 实对称矩阵的特征根都是实数．定理15 实对称矩阵相应于不同特征根的特征向量相互正交．定理16 对于n 阶实对称矩阵A ，必有n 阶正交矩阵Q ，使AQ Q 1-为对角矩阵，并且该对角矩阵的主对角线上元素恰是A 的全部特征根．定理17 H —矩阵的特征根都是实数．定理18 H —矩阵相应于不同特征根的特征向量相互正交．即若A 为H —矩阵，βα,分别为A 相应于不同特征根21,λλ的特征向量，则0=αβH ．定理19 对于n 阶H —矩阵A ，必有n 阶酉矩阵U ，使),,,(211n Hdiag AU UAU Uλλλ ==-，其中n λλλ,,,21 恰是A 的全部特征根．相似因子U 的求法：1)求出H —矩阵A 的全部互异特征根t λλλ,,,21 ；2)对,,,2,1t i =求解0)(=-X A E i λ，设一个基础解系为iin i i ααα,,,21 ，经正交化、单位化得A 相应于特征根i λ的标准正交特征向量组iin i i γγγ,,,21 ；3)令),,,,,,,,,(122111121ttn t n n U γγγγγγ =，则U 即为所求的酉矩阵．在实用中，利用矩阵的相似对角化可以简化某些矩阵的乘方运算．具体说，如果有可逆矩阵P ，使),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-，则由12111),,,(---=Λ=Λ=P Pdiag P P A P P A kn kkk k λλλ 易知．例3 对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3122A 求100A ．解求得A 的特征根为,4,121==λλ二根互异，A 可相似于对角矩阵，分别求出A 相应于特征根1λ及2λ的特征向量,,21αα为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112α．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1112P ，则有)4,1(1diag AP P =Λ=-，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2111311P ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ=-211131400111121001100100PP A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++-⨯+-+=100100100100421414224231．§2.4酉空间的定义及性质定义21 复数域上的内积空间称为酉空间．定义22 设V 是n 维酉空间，12,,...,εεεn 是V 的一组基，令(,)ij i j a εε=， ,1,2,...,=i j n ，则称n 阶矩阵[]ij A a =为在基12,,...,εεεn 下的度量矩阵．如果V 中向量,αβ的坐标分别为,x y ，则有(,)Hy Axαβ=．定理20 n 维酉空间在任一基下的度量矩阵都是正定的H -矩阵．定理21 n 维酉空间V 的一组基为标准正交基的充要条件是在该基下的度量矩阵为单位矩阵．定理22 n 维酉空间中的两组标准正交基间的变换矩阵(过渡矩阵)必是U—矩阵．定理23 若12,,...,εεεn 为酉空间V 的标准正交基，Q 为U -矩阵，且1212(,,...,)(,,...,)ηηηεεε=n n Q则12,,...,ηηηn 也是V 的标准正交基．定理24 对于n 维酉空间V 的任一子空间1V ，必有正交补1V ⊥，使11⊥=⊕V V V ．定义23 设σ是酉空间V 上的线性变换．如果对于V 中任意向量,αβ，都有((),())(,)σασβαβ=，则称σ为一个酉变换．定理25 设σ是n 维酉空间的线性变换，则如下n 个条件等价： 1)σ是酉变换；2)σ把标准正交基化为标准正交基； 3)σ在标准正交基下的矩阵是U -矩阵；4)对任意α∈V ，有()σαα=．证明略．定义24 设σ是酉空间V 的线性变换，且对V 中任意向量,αβ，总有((),)(,())σαβασβ=，则称σ为V 的一个Hermite 变换，简称H -变换或称酉对称变换．定理26 n 维酉空间V 的线性变换σ为H -变换的充要条件是σ在标准正交基下的矩阵为H -矩阵．定理27 设σ是n 维酉空间V 的H -变换，则必有V 的某组标准正交基，使σ在该基下的矩阵为对角矩阵．习题二1、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,,,n εεε 是V 的一组基，对于V 中向量n n x x x εεεα+++= 2211， n n y y y εεεβ+++= 2211，定义内积为n n y nx y x y x +++= 22112),(βα，证明V 在此内积下构成一个内积空间．2、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，n εεε,,21 是V 的一组基，A 是一个n 阶正定实对称矩阵．定义V 的内积如下：对于V 中向量βα,，如果它们在基12,,,n εεε 下的坐标分别为y x ,，则Ay x T=),(βα，证明V 是一个内积空间．3、在实内积空间4R (内积为实向量的普通内积)中，已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,1111,0011321βββ，试求出与321,,βββ都正交的单位向量．4、设内积空间3C 中向量βα,的内积为αββαH=),(判断下述向量βα,是否正交：1)TTi i i i )2,1,1(,),,1(-+=--=βα；2)T T i i i i i )3,1,,1(,)2,,1(-=+-=βα．5、设12,,,n ααα 是n 维内积空间V 的一组基，如果V 中向量β使.,2,1,0),(n i i ==αβ证明 0=β．6、设V 是实数域R 上的内积空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基．证明 )22(31),22(31),22(31321332123211εεεηεεεηεεεη--=+-=-+=也是V 的一组标准正交基．7、设54321,,,,εεεεε是5维内积空间V 的一组标准正交基．32132125112,,εεεαεεαεεα++=-=+=．求子空间),,(321αααL 的一组标准正交基．8、已知线性空间4][x R 对于内积⎰-=11)()())(),((dx x g x f x g x f构成一个内积空间．从基32,,,1x x x 出发，经正交单位化求一组标准正交基．9、对于实数域R 上的线性空间n m R ⨯，规定内积如下：对于n m R ⨯中任意元素][],[ij ij b B a A ==，则=),(B A 迹∑∑===ni mj ji jiTb aA B 11)(．证明n m R ⨯对此内积构成欧氏空间．10、设欧氏空间4R (内积为普通实数组向量的点积)的一组基为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,0111,0011,00014321αααα，求在这组基下的度量矩阵A ．11、在线性空间4R 上定义一种内积成为欧氏空间．已知在基TTTTe e e e )1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321====下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=311121001211012A ． 1)求在基TT T T )1,1,0,1(,)1,2,1,0(,)0,0,2,1(,)0,0,1,1(4321==-=-=αααα下的度量矩阵B ．2)求实数a ，使向量T a )1,2,,1(-=α与向量T )0,2,1,1(-=β正交． 12、设321,,εεε是欧氏空间V 的一组基，内积在这组基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=612121211A 已知V 的子空间1V 的一组基为112αεε=+，2123αεεε=+-．1)证明21,αα是1V 的一组正交基； 2)求1V 的正交补⊥1V 的一组基．13、设4维欧氏空间V 在基4321,,,εεεε下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=11162102100101A ，已知V 中向量323312211,,εεαεεαεεα-=+=+=，V 的子空间1123(,,)V L ααα=．1)试求1V 的一组标准正交基； 2)设有1V 的线性变换σ，使11266()(1)33σααα=+-，21266()(1)(2)63σααα=-++-，3136()22σααα=+，请判明σ是不是1V 的正交变换或对称变换？14、设A 、B 都是H -矩阵，证明AB 也是H -矩阵的充要条件是BA AB =． 15、若矩阵A 满足A A H -=，则称A 为一个反厄密特矩阵．试证：任一n 阶矩阵可表示为一个厄密特矩阵与一个反厄密特矩阵之和．16、判断下列各矩阵在所指明的数域上能否相似对角化？若能，求出一个相似因子P ，并给出相应的对角矩阵Λ．1),163053064⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=A 实数域 2),201335212⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=A 复数域 3),013211233⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=A 实数域 4),1211⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 复数域 5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=624232426B ，实数域 17、对实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=324262423A ，求正交矩阵Q ，使'Q AQ 为对角矩阵．18、求一个酉矩阵U ，把H -矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22ii A 化为对角形． 19、设V 是3维欧氏空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基，线性变换σ使321332123211542)(,452)(,222)(εεεεσεεεεσεεεεσ+--=-+=-+= 求V 的一组标准正交基321,,ηηη，使σ在基321,,ηηη下的矩阵为对角矩阵．。

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