(完整版)Hilbert希尔伯特环变换
希尔伯特变换_信号与系统分析_[共2页]
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3第章连续时间信号与系统的频域分析101另一方面，由于无线频谱的有限性并且要避免通信间的干扰，现有的无线通信系统分配频谱的方法主要是基于固定分配方式，这一分配模式并不能为未来的无线通信系统提供更多可用的带宽，而实际频谱利用情况也表明许多已经分配的频段在空间和时间上并没有被充分利用。
图3-4-8为美国联邦通信委员会FCC（The Federal Communications Commission）在美国伯克利州市内0～6GHz频段使用的频谱覆盖图，频谱利用率为15%～85%，尤其3～6GHz频谱浪费明显，这表明传统的特定授权频带频谱利用率很低，大量授权的无线频谱被闲置，这已大大阻碍了无线通信的应用和发展。
图3-4-8 0～6GHz的频谱利用率情况这表明，目前频谱资源的缺乏在很大程度上是由于低效率的静态频谱分配方案引起的，而不是物理上频谱本身的短缺，因此，导致这些矛盾的根本原因在于固定分配频谱方案和独占频谱使用权（即业务接入权或频谱准入权）原则，但由于固定频谱分配方案过去在频谱规范管理方面曾发挥过很好的作用，同时存在巨大的经济和政治背景，短期内改变这种状况很困难。
因此，现阶段最实际的办法是通过改变业务接入权或频谱准入权，以开放频谱使用、提高频谱使用率和充分利用空闲频谱。
与不断开放新的频段满足新增业务的需求相比，改变频谱资源的分配方式是更具有前景的一种方法。
建立在软件无线电基础上的无线智能通信系统—认知无线电CR（Cognitive Radio）是解决上述无线低频谱利用率，实现无线频谱复用的最佳方案。
CR通过对周围环境的认知，根据环境干扰的变化，自适应实时调整发射功率、载波频率和调制策略等参数，达到系统最佳性能。
认知无线电目前还处于预研阶段，距实际应用还有很长一段路要走。
3.5 希尔伯特变换及小波变换简介3.5.1 希尔伯特变换希尔伯特变换（Hibert transform）反映了傅里叶正反变换之间存在单边特性与解析性的对应关系。
希尔伯特-黄变换说明及程序(标准程序)
目录∙ 1 本质模态函数(IMF)∙ 2 经验模态分解(EMD)∙ 3 结论∙ 4 相关条目∙ 5 参考文献∙ 6 外部链接[编辑]本质模态函数(IMF)任何一个资料，满足下列两个条件即可称作本质模态函数。
⒈局部极大值(local maxima)以及局部极小值(local minima)的数目之和必须与零交越点(zero crossing)的数目相等或是最多只能差1，也就是说一个极值后面必需马上接一个零交越点。
⒉在任何时间点，局部最大值所定义的上包络线(upper envelope)与局部极小值所定义的下包络线，取平均要接近为零。
因此，一个函数若属于IMF，代表其波形局部对称于零平均值。
此类函数类似于弦波（sinusoid-like），但是这些类似于弦波的部分其周期与振幅可以不是固定。
因为，可以直接使用希尔伯特转换，求得有意义的瞬时频率。
[编辑]经验模态分解(EMD)EMD算法流程图建立IMF是为了满足希尔伯特转换对于瞬时频率的限制条件之前置处理，也是一种转换的过程。
我们将IMF来做希尔伯特转换可以得到较良好的特性，不幸的是大部分的资料并不是IMF，而是由许多弦波所合成的一个组合。
如此一来，希尔伯特转换并不能得到正确的瞬时频率，我们便无法准确的分析资料。
为了解决非线性（non-linear）与非稳态（non-stationary）资料在分解成IMF时所遇到的困难，便发展出EMD。
经验模态分解是将讯号分解成IMF的组合。
经验模态分解是借着不断重复的筛选程序来逐步找出IMF。
以讯号为例，筛选程序的流程概述如下:步骤 1 : 找出中的所有局部极大值以及局部极小值，接着利用三次样条(cubic spline)，分别将局部极大值串连成上包络线与局部极小值串连成下包络线。
步骤 2 : 求出上下包络线之平均，得到均值包络线。
步骤 3 : 原始信号与均值包络线相减，得到第一个分量。
步骤 4 : 检查是否符合IMF的条件。
希尔伯特(Hilbert)变换
希尔伯特(Hilbert)变换希尔伯特(Hilbert)变换是一种信号处理中常用的数学工具之一，主要用于将实数信号转化为复数信号，并提取出复信号的包络和瞬时相位等信息。
本文将对希尔伯特变换的基本概念、性质以及在信号处理中的应用进行介绍。
一、基本概念1. 复信号的生成在信号处理中，我们往往需要将一个实数信号变为一个复数信号，这可以通过对信号进行“解析”的方式来实现。
具体地，我们将实数信号x(t)通过一个信号处理器H(t)（即称为系统传递函数）得到一个复数信号X(t)，即：X(t) = H(t) * x(t)其中，符号“*”表示对那些对应时间点处的信号进行点乘，即乘上相应的复数模长e^(jw)，其中w为角频率，j为单位复数。
2. 复信号的包络和瞬时相位由于复数信号包含实部和虚部两个分量，其中实部和虚部分别表示原信号的信号值和90度相位移的信息。
因此，我们可以通过分别从复数信号中提取出它的实部和虚部，来获得原始信号的包络和瞬时相位两个信息。
具体的，假设我们有一个复数信号X(t) = x(t) + j*y(t)，其中x(t)为实部，y(t)为虚部，则：信号的包络：A(t) = sqrt(x^2(t) + y^2(t))其中，atan2(y(t), x(t))表示y(t)/x(t)的反正切，但与通常的反正切最大的区别在于，它不仅考虑了y(t)/x(t)的值，而且也考虑了x(t)的符号，从而在所有象限范围内都具有唯一性。
3. 希尔伯特变换希尔伯特变换是一种用于从实数信号中构造复数信号的技术。
具体地，假设我们有一个实数信号x(t)，那么它的希尔伯特变换y(t)定义如下：y(t) = H[x(t)] = P.\ I.C.\ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{x(t')}{t-t'-j\varepsilon} dt'其中，P和I.C.分别表示柯西主值和积分常数项。
(完整版)Hilbert希尔伯特环变换
黄锷院士在《On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary dat》a 中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis) 要理解HHSA 方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD) 、与希尔伯特-黄变换(HHT) 。
学术背景：在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。
傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。
因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。
希尔伯特变换：希尔伯特变换是以著名数学家大卫•希尔伯特(David Hilbert)来命名。
通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。
但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷：(1) 希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。
但实际应用中，存在许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。
即便是窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会使结果发生错误。
而实际信号中由于噪声的存在，会使很多原来满足 希尔伯特变换条件的信号无法完全满足；(2) 对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在 一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；(3) 对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大 程度上失去了原有的物理意义。
图1傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率 希尔伯特-黄变换：针对上述的三个问题，黄铐院士在 1998年提出希尔伯特-黄变换 (HHT)。
(完整版)希尔伯特-黄变换(Hilbert-HuangTransform,HHT)
希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）0 前言传统的数据分析方法都是基于线性和平稳信号的假设，然而对实际系统，无论是自然的还是人为建立的，数据最有可能是非线性、非平稳的。
希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）是一种经验数据分析方法，其扩展是自适应性的，所以它可以描述非线性、非平稳过程数据的物理意义。
1 HHT简介[贺礼平.希尔伯特-黄变换在电力谐波分析中的应用研究[D].湖南:中南大学,2009]HHT的发展。
1995年，Norden E.Huang为研究水表面波构思出一种所谓“EMD--HSA”的时间序列分析法，通过这种方法他发现水波的演化不是连续的，而是突变、离散、局部的。
1998年，Norden E.Huang等人提出了经验模态分解方法，并引入了Hilbert谱的概念和Hilbert谱分析的方法，美国国家航空和宇航局（NASA）将这一方法命名为Hilbert-Huang Transform，简称HHT，即希尔伯特-黄变换。
HHT是一种新的分析非线性非平稳信号的时频分析方法，由两部分组成：第一部分为经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）（the sifting process，筛选过程），它是由Huang提出的,基于一个假设：任何复杂信号都可以分解为有限数目且具有一定物理定义的固有模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF；也称作本征模态函数）；EMD方法能根据信号的特点，自适应地将信号分解成从高到低不同频率的一系列IMF；该方法直接从信号本身获取基函数，因此具有自适应性，同时也存在计算量大和模态混叠的缺点。
第二部分为Hilbert谱分析（Hilbert Spectrum Analysis，HSA），利用Hilbert变换求解每一阶IMF 的瞬时频率，从而得到信号的时频表示，即Hilbert谱。
希尔伯特变换
§5.6 希尔伯特(Hilbert )变换•希尔伯特变换的引入 • 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换一．由傅里叶变换到希尔伯特变换正负号函数的傅里叶变换 根据对称性得到那么假设系统函数为那么冲激响应系统框图:系统的零状态响应利用卷积定理具有系统函数为 － 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络同理可得到: 假设系统冲激响应为()[]ωj t F 2sgn =()jt 221sgn ⋅↔-πω()ωπ-↔sgn 1j t ()为奇函数ωsgn ()ωπsgn 1j t -↔()⎩⎨⎧<>--=-=090 0 90sgn )(00ωωωωj j j j H ()()[]t j H F t h πω11==-()()ωF t f ˆˆ ()()ωF t f ()ωsgn j -()()()()t t f t h t f t f π1ˆ*=*=()[]()()()[]()()⎩⎨⎧<>-=-⋅== 0 0 sgn ˆˆωωωωωωωjF jF j F F t f F ()t t h π1-=2π()ωsgn j其网络的系统函数为该系统框图为输出信号利用卷积定理具有系统函数为 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络 希尔伯波特变换二． 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换可实现系统是因果系统，其冲激响应()[]()⎩⎨⎧<->===090 0 90 sgn )(00ωωωωj j j t h FH ()()ωt f ()(ωF t f ˆˆ ()ωsgn j ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-*=*=t t f t h t f t f π1ˆˆ()()()()()⎩⎨⎧<->=⋅= 0 0 sgn ˆωωωωωωωjF jF j FF 2π()ωsgn j ()[]()()τττπd 1ˆ⎰∞∞--==t f t f tf H ()()t t f t f π1ˆ*=()[]()()τττπd 1ˆ1⎰∞∞----==t f t f tf H ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-*=t t f t f π1ˆ即:其傅里叶变换又那么根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得因果系统系统函数 的实部与虚部满足希尔伯特变换约束关系三．常用希尔伯特变换对作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用()()()t u t h t h ⋅=()00<=t t h()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+*=ωωπδωπωj j H j H 121()()())()(ωωωωωϕj jX j R e j H j H j +==()ωωj jX j R +)(()()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+*+=ωωπδωωπj j jX j R 121()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡*+=ωωωππ121j X j R ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡*-+ωωωππ12j R j X j ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+∴⎰∞∞-λλωλπωωωd 2121j X j R j jX j R ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎰∞∞-λλωλπωd 212j R j X j ()λλωλπωd 1)(⎰∞∞--=j X j R ()()λλωλπωd 1⎰∞∞---=j R j X )(ωj H例5-6-1用三种方法求解此题：方法1 :方法2：那么希尔伯特变换的频谱函数为即：方法3：直接用希尔伯特变换定义式例5-6-2因为即系统函数式中实部虚部[]的实部与虚部满足希尔，证明)()()(thFtueth tα-=().ˆtft的希尔伯特变换ω()()弧度，即滞后比希尔伯特变换2ˆπtftf()()[]tttfHtfsin4cosˆωπω=⎪⎭⎫⎝⎛-==()[]()()cosωωπδωωπδωω-++==tFF因()()()[]()()()sgnˆωωπδωωπδωωω--++=-⋅=jjjFF()()()[]()ttfjFsinˆˆωωωδωωδπω=↔--+=[]tttHsindcos1cosωτττωπω=-=⎰∞∞-()[][]ωααjtueFthF t+==-1)(()()()ωωωαωωααωjjXjRjjH+=+-+=2222()22ωααω+=jR()22ωαωω+-=jX现在求 的希尔伯特变换可求出各分式系数那么()ωj X ()[]()λλωλπωd 1⎰∞∞--=j X j X H ()()λλωαλλπd 122⎰∞∞-=+-=()()λωαλαλλωαλλ-+++-==+-C j B j A 22令22,21,21αωωαωαω+=+-=--=C j B j A ()[]()()()()()()λωλαωωαλαωαλαωπωd 2121122⎰∞∞-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++++-+---=j j j j j X H ()[]()()()()()()λωλαωωαλαωαλαωπωd 2121122⎰∞∞-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++++-+---=j j j j j X H ()λωλωαλωλααωπd 122222⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+=()λωλωαλωλαλααωπd 12222222⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++=()()()∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+=ωλωαλαωαλααωπln ln arctg 12222()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=0022122ππααωπ22αωα+=()ωR =例5-6-3试分析下面系统可以产生单边带信号信号 是带限信号，其频谱函数为图中系统函数 载频由调制定理可知 为带通信号其频谱函数 是的希尔伯特变换信号其频谱那么其频谱函数即输出信号其频谱为()t y 2m m()t g ()ωG ()()ωωsgn j j H -=m ωω>>0()()t t g t y 01cos ω=()[]()()()00112121ωωωωω-++==G G Y t y F ()t g ˆ()t g ()[]()()()ωωωsgn ˆˆj jG G t g F -==()()()t t g t y 02sin ˆω-⋅=()[]()()()()[]0022ˆ21ωωδωωδπωπω+--*==j G Y t y F ()()()()[]0000sgn sgn 2ωωωωωωωω+++---=jG jG j ()()()()()00002sgn 21sgn 21ωωωωωωωωω++---=G G Y ()()()t y t y t y 21+=()()()ωωω21Y Y Y +=频谱图如下所示是带通信号〔上边带调幅信号〕的频谱 00m 0m 000m 0m 0()ωY。
傅里叶和希尔伯特变换技术详解
射为它们傅立叶变换的乘积，其公式为： y(t) = h(t) ∗ x(t) ←⎯F→ H ( jw) X ( jw) ，其变换推到如下：
∫ y(t) = h(t) ∗ x(t) = +∞ x(τ )h(t −τ )dτ −∞
Envelop analysis
2012-8-29
1 傅立叶变换及 Hilbert 变换
傅立叶变换是在傅立叶级数的基础上实行的一种把信号从时间变量转换到频率变量的数学方法，其 数学表达式：
∫ x(t) = 1 +∞ X ( jw)e jwtdw
2π −∞
∫ X ( jw) = +∞ x(t)e jwtdt −∞
令 x(t) 和 y(t) 表示实变量 t 的复信号，它们具有有限能量，且它们的傅立叶变换为 X (Ω) 和 Y (Ω) 。 若满足 X (Ω) = 0, ( Ω > b) , Y (Ω) = 0, ( Ω < a) , 其中 a > b > 0 ，则 x(t) y(t) 的 Hilbert 变换满足以
−∞
−∞
上式右边积分就是 x（t）的傅立叶变换即 Y ( jw) = H ( jw) X ( jw)
调制与解调：
一个信号被另一个信号去乘，可以理解为用一个信号去调制另一个信号的振幅，因此两个信号相乘 也称之为幅度调制，一般轴承和齿轮信号当中有相当大成分是调制信号，对于此信号一般可采样包络解 调的方法进行分析，以获得信号的调制成分，求取包络比较方便的方法就是通过 Hilbert 变换求得解析 信号，通过对解析信号的求模即可得到对应信号包络。具体对于解析信号的理解如下：
Hilbert变换及谱分析
Hilbert变换及谱分析Hilbert变换是⼀个很有⽤的变换，⽤它来做包络分析更是⼀种有效的数据处理⽅法。
现⽤代码测试其变换效果第⼀个程序效果如下% Hilbert变换测试clcclear allclose allts = 0.001;fs = 1/ts;N = 200;f = 50;k = 0:N-1;t = k*ts;% 信号变换% 结论：sin信号Hilbert变换后为cos信号y = sin(2*pi*f*t);yh = hilbert(y); % matlab函数得到信号是合成的复信号yi = imag(yh); % 虚部为书上定义的Hilbert变换figuresubplot(211)plot(t, y)title('原始sin信号')subplot(212)plot(t, yi)title('Hilbert变换信号')% 检验两次Hilbert变换的结果（理论上为原信号的负值）% 结论：两次Hilbert变换的结果为原信号的负值yih = hilbert(yi);yii = imag(yih);max(y + yii)% 信号与其Hilbert变换的正交性% 结论：Hilbert变换后的信号与原信号正交sum(y.*yi)% 谱分析% 结论：Hilbert变换后合成的复信号的谱没有⼤于奈⽒频率的频谱，即其谱为单边的NFFT = 2^nextpow2(N);f = fs*linspace(0,1,NFFT);Y = fft(y, NFFT)/N;YH = fft(yh, NFFT)/N;figuresubplot(211)plot(f,abs(Y))title('原信号的双边谱')xlabel('频率f (Hz)')ylabel('|Y(f)|')subplot(212)plot(f,abs(YH))title('信号Hilbert变换后组成的复信号的双边谱')xlabel('频率f (Hz)')ylabel('|YH(f)|')第⼆个效果如下第⼀个包络测试可以看到，此包络分析得到的包络信号频率为20Hz，包络信号的波形为余弦信号的绝对值信号，这是因为计算包络时是取绝对值得到的，从⽽使信号频率加倍。
4.1希尔伯特变换
限带基带信号通过理想LPF不失真
限带频带信号通过理想BPF不失真
14
4 Hilbert变换(1)
定义：若 f (t) 为实函数，
ˆ ( t ) H [ f ( t )] f 1
f (τ) d t -τ
1 f (t ) t
f (t ) H
1
ˆ ( t )] [f
4.1.2 希尔伯特变换的性质
ˆ(t )的希尔伯特变换为 x(t ) 1. x 1 x( ) ˆ (t ) H [ x(t )] 证明 : x d t ˆ ( ) 1 x 1 ˆ (t )] x(t ) H [ x d t
0 j t f (t ) cos 0 t z(t ) cos 0 t j sin 0 t e
0
1
F e j t d
f ( t ) m( t )cos 0 t
z ( t ) m t e j0 t
20
注：m t 为低通信号，带宽(角频率)W 0 .
1
ˆ (t )d v(t ) x v( ) x ˆ (t ) v ˆ(t ) x(t )
另一种证明方法
1 1 ˆ (t ) [v(t ) x(t )] v(t ) [ x(t ) ] v(t ) x ˆ (t ) y t t 1 ˆ(t ) x(t ) [v(t ) ] x(t ) v t 23
2
J
2
Hz
单边能量谱密度(针对实信号) 0 2 E( ), G( ) 0 0, 1 E E ( )d E ( f )df 2
(研)第二章希尔伯特变换与相关分析第5-6课 PPT
X
()
2
2
1 X ()d 1
d
2 2
1
2
(
)d
2 2 2 2 2 2
|
( 2 2 )
4
因为本项有两项频率项，其解析信号就是略去负频率项
e e 1
Xa
(t)
[ 4
j12)t
j
( 2
)t 1
]
e cos1t j2t
注意: (1) 给定一个实信号,尽管通过Hilbert可以构成一个解析信号, 且是唯一的,但并不是每一个解析信号都有明确的物理意义
(2)只有当 xt A(t) cos(t)
解析信号和原信号之间的频谱关系：
xa (t) x(t) jxˆ(t) Xa () X ( j) jXˆ ( j) Xˆ ( j) jX ( j)Sgn()
所以：
Xˆ ( j) X ( j)
ˆ( )
(
(
) )
2
2
0 0
tt
2 (t) 2其中：
y(t) 1 1 2 (t)
tt
0 0
一.希尔伯特变换
h(t) 1
H
(
j
t
)
jSgn(
)
j
j
0 0
e j900
e
j
900
0 0
HT是将信号相移90度的运算,与其它变换不同是属于 相同域的变换,时域到时域变化.
希尔伯特黄变换
而且能够表示可变的频率。因此，新方法突破了傅立叶变
换的束缚。用Hilbert谱可以进一步定义边际谱为：
(12)
H H,tdt
这里由HHT得到的边际谱与Fourier频谱有相似之 处，从统计观点上来看，它表示了该频率上振幅 (能量)在时间上的累加，能够反映各频率上的能 量分布，但因为瞬时频率定义为时间的函数，不 同以往Fourier等需要完整的振荡波周期来定义局 部的频率值，而且求取的能量值不是全局定义的 。因此对信号的局部特征反映更准确，在这方面 优于Fourier谱。尤其是在分析非平稳信号时，这 种
2.4 Hilbert谱和边际谱
• 在IMF定义和EMD的基础上，Huang等人系统地
提出了一种分析信号的新理论或新方法。它包
括两个大组成部分，EMD和与之相应的Hilben
谱分析方法。即首先用EMD将任意信号s(t)分解
成有限个IMF的和
n
s(t)cjtrnt
j1
然后分别对每一个IMF分量用Hilbert变换进行谱 分析。最后得到信号的瞬时频率表示:
2．2时间特征尺度
• 现在有三种测量时间尺度的方法：相邻两过零点间隔 的时间尺度，相邻两极值点间隔的时间尺度，相邻两 曲率极值点间隔的时间尺度。三种情况中，时间间隔 都是用来局部测量事物时间变化的。局部极值时间间 隔和曲率时间间隔尺度代表了整个波形，无论波形是 否穿过零线。Huang等人分析认为，时间尺度代表了 信号的局部震荡尺度，并且仅表示一种震荡模式。这 种震荡从一个极值点到另一个相反的极值点，因此时 间尺度是震荡本身所隐含的尺度，称为特征时间尺度。 EMD方法使用的时间尺度是极值点间隔，它当然提供 了一个很好的对时间尺度测量的方法。所谓的局部是 特征尺度是指信号重量邻近极大值点或者极小值点的 时间间隔。HHT分析方法是通过对信号本身的局部特 征进行分析，从局部特征时间尺度入手，获得不同时 间尺度特征的有限个IMF分量。
希尔伯特变换公式
希尔伯特变换公式希尔伯特变换（Hilbert Transform）是信号处理领域中的一种重要方法，可以将实部信号变换为虚部信号或者将虚部信号变换为实部信号。
它常用于信号分析、调制解调、信号检测等应用中。
希尔伯特变换在数学上具有许多重要的性质和定理，其中最著名的就是希尔伯特变换的公式。
X(t) = \frac{1}{\pi} P.V. \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau其中，X(t)表示得到的复信号，x(t)表示原始的实部信号，P.V.表示柯西主值，\int_{-\infty}^{\infty}表示对变量\tau从负无穷到正无穷的积分。
这个公式的意义是，通过对原始信号进行积分，并用柯西主值来消除奇点，得到一个复信号。
复信号X(t)的实部就是原始信号x(t)，而虚部则是原始信号在频域上的一个相位信息。
X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i \omega t} dt 其中，X(\omega)表示变换后得到的频域信号，e^{-i \omega t}表示傅里叶变换的基函数。
然后，我们通过一些数学技巧，可以将傅里叶变换转换为希尔伯特变换。
具体过程如下：1. 对傅里叶变换的结果X(\omega)进行频域平移，将频率轴平移到正半轴。
X(\omega) \rightarrow X(\omega - \frac{\pi}{2})2.将平移后的结果再进行傅里叶反变换，得到变换后的信号y(t)。
y(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega -\frac{\pi}{2}) e^{i \omega t} d\omega3. 最后，我们通过在变换后的信号上加上一个相位角为-\frac{\pi}{2}的复指数，得到复信号X(t)。
X(t) = y(t) e^{-i \frac{\pi}{2}} = y(t) (-i)将y(t)带入公式中，得到：X(t) = -\frac{i}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega t} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) e^{-i (\omega -\frac{\pi}{2})\tau} d\tau \right] d\omega通过交换积分的顺序，可以得到：X(t) = \frac{1}{\pi} P.V. \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t - \tau} d\tau这就是希尔伯特变换的公式。
补充二希尔伯特变换及其应用ppt课件
• z=sqrt(rx.*rx+ix.*ix);%求信号x的包络
• %z=sqrt(abs(x).^2+abs(y).^2);
• subplot(222);
• plot(z);
1
1.5
• thet=atan(ix./rx);%求信0.5号x的瞬时相位
1
• subplot(223);
0
• plot(thet);
h(n) 1 H (e j )e jnd 1 0 je jnd 1 je jnd
2
2
2 0
h(n) 1 (1)n
n
0
2
n
n为偶数 n为奇数
1
Hilbert变换与解析信号
∴ x(n)的Hilbert变换 xˆ(n)为：
xˆ(n) x(n)*h(n) 2 x(n 2m 1)
t
Xˆ ( j) X ( j)H ( j)
X ( j)[ j sgn( )] jX ( j)sgn( )
X ( j) j sgn( )Xˆ ( j)
由此可得：Hilbert反变换的公式
x(t) 1 * xˆ(t) 1 xˆ( )d
解析信号 t
t
设xˆ(t)为x(t)的Hilbert变换，定义 z(t) x(t) jxˆ(t)
1
amp
单道地震信号数值模拟
3. 瞬时属性的分辨率及地质意义
通过单道信号的瞬时属性的分析，可知利用瞬时属性可以反映同相轴的 局部或细微变换，但其分辨率也是有限的，而且不同瞬时属性反映的信息也 不同。
属性类别 物理意义
主要地质意义
瞬时振幅 地震反射波强度 的量度
瞬时相位 瞬时频率
同相轴连续性的 量度
希尔伯特变换
希尔伯特变换一物理可实现系统其传递函数为一解析函数，而其冲激响应必为因果函数(即时，冲击响应为0)。
也就是说时域的因果性与频域得解析性是等效的。
我们来证明，物理可实现系统的传递函数的实部与虚部之间存在某种相互制约的联系。
对于物理可实现系统而言，其冲激响应为其中为单位阶跃函数，系统传递函数为F (4.3-3)由频域卷积定理可知(4.3-4)由式(4.3-3)、(4.3-4)可得(4.3-5)(4.3-6)由式(4.3-5)、(4.3-6)可知，物理可实现系统的传递函数其实部与虚部之间存在对应的确定关系。
通常把这一对关系式称为希尔伯特变换对，式(4.3-5)称为希尔伯特变换，而式(4.3-6)称为希尔伯特反变换。
希尔伯特滤波器，它实质上是一个宽带相移网络，对中的任意频率分量均相移一般这个变换被用在单边带调制上面。
假如一个函数为f(t)，其Hilbert变换就是：1/π{∫[f(u)/(t-u)]du}其中：π为圆周率，大括号里面的积分区间为负无穷到正无穷。
除了一些比较特殊的函数，该积分一般无法求出。
求积分过程往往利用留数定理。
有性质：H{cos(ωt+φ)}＝sin(ωt+φ)，其中H表示hilbert变换。
于是，你的题目的结果为：H{m(t)}＝sin(20000πt)+sin(4000πt)其实这个结果也可以从频域角度考虑。
一个函数的hilbert变换在频域上实际上等价于：将函数频谱的正半部分的相位移动-π/2，负半部分的相位移动π/2。
显然，将cos(ωt+φ)的频谱进行上述操作后，再进行傅立叶逆变换，很快就得到上述结果了。
希尔伯特变换和解析过程
第四章 窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换一． 希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(ˆt x或)]([t x H ，并定义为 τττπd t x t x H t x⎰∞∞--==)(1)]([)(ˆ 用'ττ+=t 代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(ˆτττπd t x t x⎰∞∞-+-=也可得'')'(1)(ˆτττπd t x t x⎰∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt xHt x ⎰∞∞----==)(ˆ1)](ˆ[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ⎰⎰∞∞-∞∞-+=--=)(ˆ1)(ˆ1)(二． 希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和tπ1的卷积，即 tt x t xπ1*)()(ˆ= 于是，可以将)(ˆt x看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为11)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为)(<≥-=ωωωjj H即 1)(=ωH202)(<≥-=ωπωπωϕ上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(ˆt x的傅立叶变换)(ˆωX 为 )()sgn()sgn()()(ˆωωωωωX j j X X-=-⋅= 2. )(ˆt x 的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](ˆ[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(ˆ)(ˆ*)()(ˆt x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(ˆt x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TTT ⎰⎰⎰⎰-∞→-∞→∞∞-∞∞-==)(ˆ21lim)(21lim )(ˆ)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
4.1希尔伯特变换3ppt课件
),
0 0
E 1
E( )d
E( f )df
2
1
G( )d
G( f )df
2 0
0
1
2 确定信号的表示(2)
▪ 能量信号的自相关函数
R
f *(t) f (t )dt
(1) R R 0
(2) E R0
(3) R E
能量信号的互相关函数
R12
f1 * (t) f2 (t )dt
2 确定信号的表示(1)
▪ 能量信号：能量有限(限时或非限时信号)
E f (t) 2 dt 1 F ( ) 2 d
2
能量谱密度：单位带宽中信号能量与角频率的关系
双边能量谱密度
E F 2 或 E f F 2 f 2 J Hz
单边能量谱密度(针对实信号)
G(
)
2E(
T2
f
T 2
t
1
e
jn0t
dt
T
FT
n0
6
2 确定信号的表示(6)
▪ 周期信号(续)
(1) F 2 Fn ( n0 ) n
(2) P 2 Fn 2 ( n0 ) n
(3) R
F e2 jn0 n
n
周期函数(周期为T)
7
2 确定信号的表示(7)
▪ 信号带宽：信号能量或功率主要部分集中的频率范围
12
3 确定信号通过线性系统(4)
▪ 系统的带宽
➢ 3dB带宽B(Hz)：
H ( f ) 保持在其最大值的1 2以内的频率区间
H f
1
0.71
-f0
B
0
f0
B
hilbert希尔伯特变换
实因果信号傅氏变换与Hilbert变换
1 F [ xe (n)] [ X (e j ) X (e j )] Re[ X (e j )] X R (e j ) 2 1 F [ xo (n)] [ X (e j ) X (e j )] j Im[ X (e j )] jX I (e j ) 2 即xe (n) X R (e j ) 此式表明：实因果信号的傅里叶变换的实
~ ~ ~
n 1,2,...(N / 2) 1 n 0, N / 2 n ( N / 2) 1,..., N 1 n 1,2,...(N / 2) 1 n ( N / 2) 1,..., N 1 n 0, N / 2 n 1,2,...(N / 2) 1 n ( N / 2) 1,..., N 1
ln | X (e j ) | d
以上结论揭示：实因果信号傅里叶变换实部与虚部、 对数幅度谱与相位谱是相互联系的。只要知道了其中 的一个，就可通Hilbert变换关系求得另一个，从而 求得信号的所有信息。
1) Find
X I (e j )
jw
X R (e j ) 1 cos(2)
2) Find X(z)
X R ( e j )
1 cos( ) 1 2 cos 2 1 ( / 2)(e j e j ) j X R (e ) 1 ( e j e j ) 2 X R ( e j ) 1 ( / 2)(z z 1 ) X R ( z) 1 ( z z 1 ) 2 1 ( / 2)(z z 1 ) X R ( z) (1 z 1 )(1 z ) 1 1 1 2 1 z 1 1 z 1 1 xe ( n) n u[ n] n u[ n] 2 2 x( n) n u[ n] 1 X ( z) z 1 1 z X R ( z)
希尔伯特变换-主导循环阶段
希尔伯特变换-主导循环阶段希尔伯特变换是一种常用的信号分析方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
在希尔伯特变换中，主导循环阶段是其中一个重要的步骤，本文将详细介绍希尔伯特变换的主导循环阶段。
希尔伯特变换是一种将实数信号转换为复数信号的变换方法，它可以使信号在频域上具有较好的性质。
希尔伯特变换的主导循环阶段是指在进行离散希尔伯特变换时，对信号进行循环操作的过程。
在希尔伯特变换的主导循环阶段中，首先需要对输入信号进行分段处理。
将输入信号按照固定的长度进行分段，然后对每个分段进行希尔伯特变换。
这样可以将原始信号分解为多个小段的信号，每个小段的信号都具有一定的频率特性。
接下来，在主导循环阶段中，需要对每个小段的信号进行循环操作。
具体而言，对每个小段的信号进行循环移位，并与原始信号进行卷积运算。
这样可以得到每个小段信号的希尔伯特变换结果。
在主导循环阶段中，循环操作的次数取决于信号的长度以及分段的长度。
通常情况下，循环操作的次数越多，得到的希尔伯特变换结果越精确。
因此，在实际应用中，需要根据信号的特性和要求来确定循环操作的次数。
主导循环阶段的关键是循环移位和卷积运算。
循环移位是将每个小段的信号进行平移操作，使得信号的起始点在每次循环中都向右移动一个固定的步长。
而卷积运算是将每个小段的信号与原始信号进行卷积，从而得到希尔伯特变换结果。
通过主导循环阶段，可以将输入信号转换为复数信号，并且保留了原始信号的频率特性。
这使得希尔伯特变换在信号处理和频域分析中具有广泛的应用。
例如，在音频信号处理中，可以利用希尔伯特变换提取信号的频率特征，用于音乐分析、语音识别等方面。
需要注意的是，在进行希尔伯特变换的主导循环阶段时，需要注意信号的边界处理。
由于循环操作的存在，信号的边界处可能会出现不连续或失真的情况。
因此，在进行循环移位和卷积运算时，需要进行边界处理，以保证得到准确的希尔伯特变换结果。
希尔伯特变换的主导循环阶段是将输入信号分段处理，并对每个小段信号进行循环移位和卷积运算的过程。
hilbert变换
若序列为因果序列，则()()()x n x n u n =，其中()()()()2e e x n x n x n x n +-==-()()()()2o o x n x n x n x n --==--如果()x n 为因果序列，即()()()x n x n u n = 即当0n <时，()x n =0，则可以从()e x n 恢复()x n ，或者从()e x n 中恢复()x n (0n ≠) 因为()x n 是因果的，()x n 和()x n -除0n =外， ()x n 和()x n -的非零部分不会重叠 ()[][][][]20e e x n x n u n x n δ=-和()[][][][]20o o x n x n u n x n δ=+若()x n 是稳定的，即绝对可和的， 则它的傅里叶变换存在。
即()()()j j j R I X eX e jX eωωω=+()j R X eω-实部 ()j I X e ω-虚部如果()x n 是实序列，则()[]FT j R e X ex n ω()[]FTj I o jX ex n ω因此，一个因果稳定的实序列，()j R X e ω 就完全确定了()j X e ω 可以用下列步骤求出()j X e ω1. 求()j R X e ω的反傅里叶变换()e x n2. 用()[][][][]20e e x n x n u n x n δ=-求出()x n3. 求()x n 的傅里叶变换()j X e ω 一实因果序列()x n ，DFT 实部()j R X e ω为()1cos(2)j R X eωω=+求其傅里叶变换()j X e ω及虚部()j I X e ω2211()122jwj j R X eee ωω--∴=++11()()(2)(2)22e x n n n n δδδ=+-++()()(2)x n n n δδ=+- 2()()11cos(2)sin(2)jwR jwj X eX eej ωωω-∴=+=+-()sin(2)jwI X eω∴=-利用()()()2o x n x n x n --=11()(2)(2)22o x n n n δδ∴=--+2211()sin()22j j I jX eej ωωωω--=-=()sin(2)jwI X eω∴=-上例中的合成方法可以用解析的方法来解释，以便得出()j R X e ω直接表示()j I X eω的一般关系式。
1 希尔伯特变换的基本原理
希尔伯特变换在数字信号处理理论和应用中有着十分重要的作 用，它维系着对离散序列进行傅里叶变换后的实部和虚部之间或者幅度和相位之间的关系。
1 希尔伯特变换的基本原理Hilbert 变换测量法对各次谐波都能有精确的90°移相，给定一连续周期信号x(t)，连续时间信号x(t)的希尔伯特变换定义为：tt x t x t x d d πττπττπττ1)(1)(1)(⊗==⎰⎰+∞∞--+∞∞-- (1) 由式（1）可得单位冲击响应h(t)=)(1t x ,由于jh(t)=)(t j 的傅里叶变换是符号sgn(w),所以希尔伯特变换器频率特性为：H （e jw ）=—jsgn(w)= ⎩⎨⎧-j j 00<>x x 记H （j )ω=)(ωj H e j )(ωϕ,当)(ωj H =1时：信号x(t)的希尔伯特变换可以看成信号x(t)通过一个幅度为1的全通滤波器输出，信号通过希尔伯特变换后，其负频率成分作+90的相移，而正频率成分作—90的相移。
这类滤波器要求滤波器的零频率响应为0，若滤波器的阶数为偶，则要求归一化频率为零。
即如果滤波器的阶数为偶数，那么增益在频率为0Hz 和2fs 处必须降为零，希尔伯特必须是一个带通滤波器。
如果滤波器的阶数为奇数，那么增益在频率为0Hz 处必须降为零，希尔伯特滤波器必须是一个高通滤波器。
随着信息时代的到来和高速发展,数字信号处理已经成为一门极其重要的学科和技术,并且在通信、语音、图像、自动控制等众多领域得到了广泛应用。
在数字信号处理中,数字滤波器占有极其重要的地位,具有精度高、可靠性好、灵活性大等特点。
现代数字滤波器可以用软件和硬件两种方式实现。
软件方式实现的优点是可以通过滤滤器参数的改变去调整滤波器的性能。
本文就是基于MATLAB提出希尔伯特FIR滤波器的设计方法。
MATLAB是matrix与laboratory两个词的组合，意为矩形工厂（矩阵实验室）。
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黄锷院士在《On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary data》中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis)
要理解HHSA方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD)、与希尔伯特-黄变换(HHT)。
学术背景：
在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。
傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。
因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。
希尔伯特变换：
希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。
但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷：
(1)希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。
但实际应用中，存在
许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。
即便是
窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会使结果
发生错误。
而实际信号中由于噪声的存在，会使很多原来满足
希尔伯特变换条件的信号无法完全满足；
(2)对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在
一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；
(3)对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大
程度上失去了原有的物理意义。
图1 傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率
希尔伯特-黄变换：
针对上述的三个问题，黄锷院士在1998年提出希尔伯特-黄变换(HHT)。
其基本思想是：讲一个非稳态、非线性的信号分解为若干个稳态信号，在对分解后的信号进行希尔伯特变换，分别求取对应的瞬时频率。
在这里将非稳态、非线性信号分解为多个稳态信号的算法成为经
验模态分解(EMD)，EMD算法是希尔伯特-黄变换的核心，也是其能处理非稳态信号与非线性信号的关键。
经验模态分解(EMD)
EMD方法被认为是2000年来以傅立叶变换为基础的线性和稳态频谱分析的一个重大突破，该方法是依据数据自身的时间尺度特征来进行信号分解，无须预先设定任何基函数。
这一点与建立在先验性的谐波基函数和小波基函数上的傅里叶分解与小波分解方法具有本质性的差别。
正是由于这样的特点，EMD 方法在理论上可以应用于任何类型的信号的分解，因而在处理非平稳及非线性数据上，具有非常明显的优势,适合于分析非线性、非平稳信号序列，具有很高的信噪比。
所以，EMD方法一经提出就在不同的工程领域得到了迅速有效的应用，例如用在海洋、大气、天体观测资料与地震记录分析、机械故障诊断、动力系统的阻尼识别以及大型土木工程结构的模态参数识别等方面。
EMD能使复杂信号分解为有限个本征模函数（Intrinsic Mode Function，IMF），所分解出来的各IMF分量包含了原信号的不同时间尺度的局部特征信号。
然后进行希尔伯特变换获得时频谱图，得到有物理意义的频率。
本征模函数(IMF）
在物理上，如果瞬时频率有意义，那么函数必须是对称的，局部均值为零，并且具有相同的过零点和极值点数目。
在此基础上，NordneE.Huang等人提出了本征模函数（Intrinsic Mode Function，简称
IMF）的概念。
本征模函数任意一点的瞬时频率都是有意义的。
Huang 等人认为任何信号都是由若干本征模函数组成，任何时候，一个信号都可以包含若干个本征模函数，如果本征模函数之间相互重叠，便形成复合信号。
EMD分解的目的就是为了获取本征模函数，然后再对各本征模函数进行希尔伯特变换，得到希尔伯特谱。
Huang认为，一个本征模函数必须满足以下两个条件：
(1)函数在整个时间范围内，局部极值点和过零点的数目必须相
等，或最多相差一个；
(2)在任意时刻点，局部最大值的包络（上包络线）和局部最小
值的包络（下包络线）平均必须为零。
EMD分解为IMF过程：
例如：某一信号如下所示：
第一步，找出信号中的局部最大值，并使用三次样条拟合成一条包络线，如下图所示：
第二步，找出信号中的局部最最小值，并使用三次样条拟合成一条包
络线，如下图所示：
第三步，局部最大值包络线减去局部最小值包络线，如下图所示：
第四步，原始信号减去均值包络线即使第一个分量IMF1，如下图所示
对IMF1进行同样操作可以获得第二个IMF2，如此反复，获得所有IMF，如下图所示：
在HHT中，对部分的非线性的信号不能很好的识别，例如一个正弦波与噪声信号乘积所产生的信号，虽然可以通过HHT变换识别出来，但不清楚具体细节。
信号加上高斯噪声，与信号乘上高斯噪声
两种方式噪声引入信号后，所对应的频谱，其中绿色虚线为原正弦波频谱，蓝色实线为噪声频谱，红色为信号频谱。
可以发现正弦波乘上噪声后的频谱中完全没有原信号的频率成分。
而当前的HHT中可以观察到一部分的正弦波成分，但却缺失正弦波的关键信息。
在这里黄锷认为，虽然在整个信号上的频率分布不清楚，但在ＥＭＤ分解后的IMF中，能量的分布与原信号相一致，即在IMF中的幅值是即关于频率也关于时间的函数。
即黄锷最新提出的HHSA方法是一个同是体现时域-频域-能量域(幅值)的方法，如下图所示
主要应用
哈佛医学院用HHT来测量心率不整
约翰霍普金斯公共卫生学院用它来测量登革热的扩散
海军用它来探测潜艇
地震工程、地球物理探测、卫星资料分析
潜艇设计、结构损害侦测
潮汐、波浪场等各项研究
在脑机上的应用
目前HHT作为经典的非线性系统分析方法，在脑机上早有大量应用。
上述的分析表明HHT与HHAS均是对信号进行经验模态分解的基础上进行的。
而经验模态分解一个很重要的特点是依靠信号自身的特性分解为若干个IMF，通过对这些分解后的IMF分析，进而判断
信号的特性。
因此从HHT与HHAS的应用场合上可以看出，其分析的信号多是能反复出现的、有规律的、非线性的、非稳态的信号。
在脑机上，HHT与ＨＨＡＳ的典型应用是针对脑信号经常稳定在某一状态上的场景，大脑在这些状态下的脑电信号是可以稳定复现的，即使是脑电信号本身非稳态、非线性，但ＥＭＤ分解出的信号是类似的。
例如长期失眠、抑郁状态、或高度睡眠、注意力高度集中下，其分解的信号是比较“纯净”的，可以作为参考的。
而人脑在一般的思维过程中产生的信号是很难分解出与有具体含义的成分的。
这是有ＥＭＤ算法本身所决定的，因为ＥＭＤ依靠信号本身特性分解，没有一个共同的“基”，因此一旦脑电信号解析出来的ＩＭＦ没有对应参考，就无法判断大脑状态。
因此ＨＨＴ与ＨＨＡＳ在神经学上检测睡眠、失眠、抑郁，即其他大脑长期处于某种状态的疾病，具有较好的应用。
此外课题组曾在2015年的暑假期间，使用ＨＨＴ算法对１４类的运动想象信号进行识别分类，在离线数据集上达到７５％的正确率，而在实际测试中发现，绝大部分试次均判别错误。
分析原因是，两次实验下被试的大脑状态有所变化，之前脑电信号中分解出的ＩＭＦ与之后分解的ＩＭＦ，无法产生对应关系，因为这两次实验被试大脑状态都不够“纯净”，产生的脑电信号不能用同一个ＩＭＦ表示，这也说ＥＭＤ分解的局限性。
因此ＨＨＴ与HHSA只能应用与信号复现率较高、而且信号是非线性、非稳态的应用场合。