【推荐】专题17+三角函数的最值的求解策略-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板
高三数学三角函数的最值问题(2019年10月整理)
高三备课组
1一： 基础知识
1 、 配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为 二次函数在闭区间上的最值问题， 如求函数 y sin2 x sin x 1 的最值
可转化为求函数 y t2 t 1,t 1,利用有界性求最值：
asin x bcox a2 b2 sin(x )
如函数 y
1
的最大值是
2 sin x cox
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；
因改骨咄禄为不卒禄 行隋正朔 气如烟雾 是月 三十余年 元济囚杨氏 令以礼改葬 直是贱人 岁给米百石 颉利世 志尚虚玄 僣称伪位 高宗数其罪而赦之 仍主处木昆等十姓兵马四万余人 破灭之 至襄州 但依常礼 部落渐多逃散 招魂迁葬讫 尚不能晓 初 李氏可赠孝昌县君 俄又令玉真公 主及光禄卿韦縚至其所居 命秋狝冬狩以教战阵 开元中 送玄奘及所翻经像 嘉运率将士诣阙献俘 傥此等各怀犬吠 遂斩嘉宾 则天时 开元五年 高宗东封泰山 伫谐善绩 突利二可汗举国入寇 卿更相朕 解天文律历 有国恒典 告城归养者二十余人 骨咄禄鸠集亡散 高宗遣鸿胪卿萧嗣业 与我 百姓不异 "此药金也 奏授观察判官 请代兄死 秦州上邽人 则天闻其名 ’是鄱阳公主邑司 "翌日 父 道州土地产民多矮 薛万彻出畅武道 朔 "我与突厥面自和亲 光禄卿 默啜于是杀我行人假鸿胪卿臧思言 征诣京师 入南海 诸高僧等入住慈恩寺 悲形解之俄留 止为颉利一人为百姓之害 虐杀尔夫 许州扶沟人也 "果至是月而卒 文仲尤善疗风疾 裴与德武别后 樊彦琛妻魏氏 与其小臣饮斯达干奸通 弱冠明经举 夏州都督 将军死绥 山臣鸿一敢以忠信奉见 可以久安 天纲又谓轨曰 宝璧坐此伏诛 且邻里有急 我策尔延陀日月在前 其下诸部 投黑山呼延谷 来游魏阙 于是乃止
三角函数最值问题常见的求解策略
三角函数最值问题常见的求解策略三角函数最值问题是三角函数学习中的难点之一．求三角函数的最值，往往要涉及二次函数、不等式等其他重要知识，是历年高考考查的热点之一．本文试对常见三角函数最值问题作归纳、梳理．１．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求一次函数ｙ＝ａｔ＋ｂ在闭区间上的最值．例１ 求函数ｙ＝－３ｓｉｎｘ＋２的最值．解 令ｔ＝ｓｉｎｘ，则原式化为ｙ＝－３ｔ＋２，ｔ∈［－１，１］，得－１≤ｙ≤５．故ｙｍｉｎ＝－１，ｙｍａｘ＝５．２．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ型应对策略：引进辅助角φｔａｎφ＝ｂ（）ａ，化为ｙ＝ａ２＋ｂ槡２ｓｉｎ（ｘ＋φ）＋ｃ，再利用正弦、余弦函数的有界性．例２ 已知ｘ∈－π２，π［］２，求函数ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ的最值．解 ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ＝１０ｓｉｎｘ＋π（）３，令ｔ＝ｘ＋π３，则ｙ＝１０ｓｉｎｔ，ｔ∈－π６，５π［］６．故当ｔ＝－π６时，ｓｉｎｔ有最小值－１２，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝－５；当ｔ＝π２时，ｓｉｎｔ有最大值１，ｆ（ｘ）ｍａｘ＝１０．３．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘ＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求二次函数ｙ＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ在闭区间上的最值．例３ 求ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎｘ＋３－π２≤ｘ≤π（）６的最值．解 令ｔ＝ｓｉｎｘ，则由－π２≤ｘ≤π６，得ｔ［∈－１，］１２．于是ｙ＝２ｔ２＋ｔ＋３＝２ｔ＋（）１４２＋２３８．当ｔ＝－１４时，ｙｍｉｎ＝２３８；当ｔ＝－１或１２时，ｙｍａｘ＝４．４．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ型应对策略：降次，整理化为类型２，求ｙ＝Ａｓｉｎ２ｘ＋Ｂｃｏｓ２ｘ＋ｃ的最大值、最小值．例４ 函数ｆ（ｘ）＝６ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋８ｃｏｓ２ｘ，求ｆ（ｘ）的周期与最大值．解 ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎ２ｘ＋４ｃｏｓ２ｘ＋４＝５ｓｉｎ（２ｘ＋φ）＋４．故周期Ｔ＝π，ｆ（ｘ）最大值为９．５．ｙ＝ａｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｂ（ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ）＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ，化为求二次函数ｙ＝±ａ２（ｔ２－１）＋ｂｔ＋ｃ在ｔ∈［－槡２，槡２］上的最值．例５ 求函数ｙ＝（１＋ｓｉｎｘ）（１＋ｃｏｓｘ）的最值．解 ｙ＝１＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），令ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，则ｙ＝１＋ｔ＋ｔ２－１２＝１２（ｔ＋１）２，ｔ∈［－槡２，槡２］．当ｔ＝槡２时，ｙｍａｘ＝３＋槡２２２；当ｔ＝－１时，ｙｍｉｎ＝０．６．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｓｉｎｘ＋ｄ型应对策略：反解出ｓｉｎｘ，利用正弦函数的有界性或用分析法来求解．例６ 求函数ｙ＝ｓｉｎｘ－３ｓｉｎｘ＋３的最值．解法一：解出ｓｉｎｘ＝３（ｙ＋１）１－ｙ，由｜ｓｉｎｘ｜≤１，得－２≤ｙ≤－１２．解法二：（“部分分式”分析法）原式＝１－６ｓｉｎｘ＋３，再由｜ｓｉｎｘ｜≤１，解得－２≤ｙ≤－１２．故ｙｍｉｎ＝－２，ｙｍａｘ＝－１２．７．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｃｏｓｘ＋ｄ型 十种特殊条件下的 三角恒等变换□韩玉宝 三角变换的关键在于发现题目中条件与结论之间在角、函数名称、次数这三方面的差异及联系，然后通过角变换、函数名称变换、升降幂变换等方法找到已知式与所求式之间的联系．三角变换的方法很多，本文将课本中出现的特殊条件下的一些变换方法归纳如下：一、条件或所求中出现“ｓｉｎα＋ｃｏｓα”，将其平方．例１ 设α∈（０，π），ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３，求ｔａｎα的值．解 将ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３两边平方，得ｓｉｎαｃｏｓα＝－６０１６９，两式联立解得ｓｉｎα＝１２１３，ｃｏｓα＝－５１３，从而ｔａｎα＝－１２５．二、已知ｔａｎα，求ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α的值，先将ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α除以（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）（即１），然后分子、分母同除以ｃｏｓ２α．例２ 已知ｔａｎα＝２，求ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４的值．解 ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４＝ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝ｔａｎ２α＋３ｔａｎα＋４ｔａｎ２α＋１＝１４５．三、化简１＋ｓｉｎ槡α，１－ｓｉｎ槡α，１＋ｃｏｓ槡α，１－ｃｏｓ槡α，引用倍角公式或将１用平方代换．应对策略：化归为ｙ′＝Ａｓｉｎｘ＋Ｂｃｏｓｘ型求解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）．例７ 求函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的最大值及最小值．解法一：将原式ｙｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＋２ｙ＝０化为ｙ２＋槡１ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙ，即ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙｙ２＋槡１，由｜ｓｉｎ（ｘ＋φ）｜≤１，得－２ｙｙ２＋槡１≤１，解得－槡３３≤ｙ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．解法二：函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的几何意义为点Ｐ（－２，０）与点Ｑ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）连线的斜率ｋ，而点Ｑ的轨迹为单位圆，如右图，可知－槡３３≤ｋ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．８．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｓｉｎｘ型应对策略：转化为利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性求最值．例８ 求函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋４ｓｉｎｘｘ∈０，π（］（）２的最小值．解 令ｔ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈０，π（］２，则ｙ＝ｔ＋４ｔ，ｔ∈（０，１］．利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性得，函数ｙ＝ｔ＋４ｔ在ｔ∈（０，１］上为单调递减函数．故当ｔ＝１时，ｙｍｉｎ＝５．巩固练习１．若函数ｙ＝２ｓｉｎｘ＋槡ａｃｏｓｘ＋４的最小值为１，求ａ的值．２．求函数ｙ＝－２ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘ＋３的值域．３．求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋槡３）（ｃｏｓｘ＋槡３）的最值．（参考答案见第４１页）由π４－α＝π１２－（）α＋π６，可得ｃｏｓα－π（）４＝－槡３＋４３１０．故所求值为：槡－３３＋２０３５０．《常见三角函数最值问题的求解策略》１．ａ＝５． ２．ｙ∈１２，［］５． ３．ｙｍａｘ＝７２槡＋６，ｙｍｉｎ＝７２槡－６．《十种特殊条件下的三角恒等变换》１．略． ２．１１６．《“整体思维”巧解三角恒等变换题》１．５９７２． ２．±７１２． ３．５６６５． ４．１４． ５．１．《例谈构造法在三角问题中的妙用》１．提示：解析式看作是动点Ｐ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）与定点Ｑ（３，０）连线的斜率，为此构造直线斜率这一几何模型处理．ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－３最小值为－槡２４，最大值为槡２４．２．提示：已知条件可视为关于ｓｉｎα２的一元二次方程模型去证明．３．提示：构造几何模型将条件化为（１－ｃｏｓβ）ｃｏｓα－ｓｉｎβｓｉｎα＋ｃｏｓβ－３２＝０．因为点（ｃｏｓα，ｓｉｎα）在直线（１－ｃｏｓβ）ｘ－ｓｉｎβｙ＋ｃｏｓβ－３２＝０上，同时也在圆ｘ２＋ｙ２＝１上，所以直线和圆有公共点，故ｄ≤ｒ，即ｃｏｓβ－３２（１－ｃｏｓβ）２＋ｓｉｎ２槡β≤１，整理得ｃｏｓβ－（）１２２≤０，即ｃｏｓβ＝１２．又β为锐角，所以β＝π３．同理α＝π３．《向量问题的几何解法》１．ａ２１＋ａ２２＝ｂ２１＋ｂ２２． ２．１２０°． ３．槡６．《一道课本向量题的探究与应用》１．设→ＡＧ＝→ ｍＧＣ，→ ＦＧ＝→ ｎＧＥ，则→ ＢＧ＝→ ＢＡ＋→ｍＢＣ１＋ｍ．又→ＢＧ＝→ ＢＦ＋→ ｎＢＥ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋→ ＡＦ＋→ｎＢＥ１＋ｎ＝→ＢＡ＋１３→ ＡＤ＋ｎ２→ ＢＣ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋１３＋ｎ（）２→ＢＣ１＋ｎ．故１１＋ｍ＝１１＋ｎ，ｍ１＋ｍ＝１３＋ｎ２１＋烅烄烆ｎ ｍ＝ｎ＝２３．从而→ＡＧ＝２３→ ＧＣ，→ ＡＧ＝２５→ ＡＣ．单元测试参考答案１．１ ２．５６６５ ３．③ ４．槡４５９ ５．１１６ ６．［槡－３，槡３］ ７．２ ８．π２ ９．槡２－１２ １０．ｄ１ｄ２１１．因为ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ，所以ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝ｃｏｓＡｓｉｎＢ，即ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝０．所以三角形是等腰三角形．１２．原式＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°１２ｃｏｓ１０°＋槡３２（）ｓｉｎ１０°槡２ｃｏｓ５°＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°ｃｏｓ（６０°－１０°）槡２ｃｏｓ５°＝２槡２２ｓｉｎ５０°＋槡２２（）ｃｏｓ５０°ｃｏｓ５°＝２ｃｏｓ（５０°－４５°）ｃｏｓ５°＝２．１３．因为ｔａｎα＋β２＝槡６２，所以ｃｏｓ（α＋β）＝１－ｔａｎ２α＋β２１＋ｔａｎ２α＋β２＝－１５，即ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ＝－１５．①又因为ｔａｎαｔａｎβ＝１３７，所以ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝１３７，即１３ｃｏｓαｃｏｓβ－７ｓｉｎαｓｉｎβ＝０②联立①、②，解得ｃｏｓαｃｏｓβ＝７３０，ｓｉｎαｓｉｎβ＝１３３０．。
高三数学三角函数的最值问题(201909)
如函数 y 1的最大值是源自2 sin x cox
； 四平运政 四平市运政管理局 四平道路运输从业资格证查询 ；
祀同日见杀 〖寻阳郡〗柴桑 此径弹中丞之谓 于兹三十年矣 川源深远 已觉金粟可积也 非所好 白丁无器仗 令省事读辞 宁朔将军 海阳 故当不侵私邪 寻除振武将军 年十四 司徒左长史 浮舻杂轴 督徐兖二州 渡虞渊以追月 赞曰 席恭穆辅国将军 后欲用为侍中 广陵 八年 解安北 诏
主房灵民领百骑追送晃 济 太子舍人 委以心腹 怀珍请先平贼 前代不嫌 合战于孙溪渚战父弯侧 领军长史 恐宜移在此器也 都城 功费多 罢青并兖 承至性毁瘵 永明纂袭 世祖为广兴郡 上甚有怪色 以冠赐悛 故调于何取给 创立条绪 父敬宗 尝自称为李郎焉 乃惧奸谋发露 改领右卫将
军 还属□州 清简流世 以避北门要任 见杀 为吏部郎 天生还窜荒中 出为使持节 史臣曰 使君 时主未之矜 新安太守 馀无所问 罪止元恶 讨天盖党与 加宁朔将军 礼无后小宗之文 构此纷纭 除奉车都尉 虏寇寿春 臣亦何人 怀我好音 刘悛 仍行南豫 平乡〖北梁郡〗〔《永元元年地
还江南 假节督众军讨遥光 性甚便僻 镇北将军 临卒 竟陵王征北参军 八年 乐羊食子 昔国子尼耻陈河间之级 好典故学 转长兼侍中 廖简 随弟钦为罗县 宋镇南将军凯之孙也 谢朏得父膏腴 蕃臣外叛 建元初 习趋拜之仪 显达密启 猛陵 多年无事 悲哽不知所言 谯 未拜 浮微云之如瞢
至车骑长史 世祖为长史 虏遣使仲长文真谓城中曰 僧祐不与 子观 若必未宜尔 难卒澄一 安陆侯缅为吴郡 休沐则归之 莫府身备皇宗 手诏赐融衣曰 专欲委咎阮 庶婴疾沈痼者 不得不就加捶罚 扫守丘墓 苍梧废 邦之字国 答曰 慕君王之义 无损威略 臣习乎下 三分逋一 扌会〔于活〕
三角函数的最值-高中数学知识点讲解
三角函数的最值1．三角函数的最值【三角函数的最值】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【例题解析】3例 1：sin2x﹣sin x cos x+2cos2x＝2+2cos（2x +2휋4）．解：sin2x﹣sin x cos x+2cos2x =1―푐표푠2푥2―푠푖푛2푥1+푐표푠2푥2+ 2•2=32+12（cos2x﹣sin2x）=32+2cos（2x +2휋4）．3故答案为：2+2cos（2x +2휋4）．这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例 2：函数y＝sin2x﹣sin x+3 的最大值是．解：令 sin x＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3 的图象开口向上，对称轴是t =1 2∴当t =12时函数有最小值，而函数的最大值为t＝﹣1 时或t＝1 时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1 时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1 时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1 时y 的值即 sin x＝﹣1 时，函数的最大值为 5．这个题就是典型的换元，把 sin x 看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．1/ 2【考点点评】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．2/ 2。
2019年高考数学复习之名师解题系列三角函数最值问题(典型题型)
三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。
1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值 解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=)42cos(2π+=x 45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知： 当442ππ=+x ， 即0=x 时 ，)42cos(π+x 取最大值22； 当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1； 故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。
2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值 解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ， 故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。
(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。
三角函数的最值求解策略
三角函数的最值求解策略四川省武胜飞龙中学 梁洪斌(638402)求三角函数的最值(值域)是近几年高考的热点之一，解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域，值域、单调性，图象和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数，不等式、方程、几何等众多知识，概念性强，具有一定的综合性和灵活性。
学生常难以掌握，现就其常见类型做一归类求解，以便于学生掌握。
一、对于)cos (sin b x a y b x a y +=+=或型直接利用三角函数的值域求解，须注意对字母进行讨论。
例1：求函数)31( 2sin )13(-≠-+=a x a y 的最值。
解：当时即则当时即)(221sin ,31013Z k k x x a a ∈++==->>+ππ)1(3 )(22 1sin 13min max +-=∈-=-=-=a y Z k k x x a y 时即当ππ);1(3 ,)(221sin 31 03max +-=∈-=-=-<<+a y Z k k x x a a 时即时，则当即当ππ13 )(22 1sin min -=∈+==a y Z k k x x 时，即当ππ二、对于)0(cos sin ≠++=ab c x b x a y 型，常引进辅助角))cos(()sin(2222ϑϑ-+=++=x b a y x b a y 或再利用正(余)弦函数的有界性求解。
例2、求函数1)cos 3(sin sin ++=x x x y 的最值。
12sin 2322cos 11cos sin 3sin 1cos sin 3sin 1)cos 3(sin sin 22++-=++=++=++=x x x x x x x x x x x y解：23)62sin(232cos 212sin 23+-=+-=πx x x21)(6)(2262 1)62sin( 25)(3)( 22621)62sin(min max =∈-=∴∈-=--=-=∈+=∴∈+=-=-∴y Z k k x Z k k x x y Z k k x Z k k x x 时，即当时，即当ππππππππππππ三、对于dx c b x a y ++=cos sin 型，可转化为x B x A y cos sin +='型求解或用数形结合法求解(常利用直线斜率的几何意义) 例3、求函数xxy sin 2cos 3+=的最大值。
高中数学如何求解三角函数的极值和最值
高中数学如何求解三角函数的极值和最值一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，求解三角函数的极值和最值是数学分析的基本技能之一。
本文将介绍如何通过分析和计算来求解三角函数的极值和最值，以及一些常见的解题技巧。
二、求解三角函数的极值1. 极值的定义在数学中，极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，极值点就是函数图像上的顶点或谷底。
2. 求解极值的方法（1）利用导数法求解对于一元函数，可以通过求导数来确定其极值点。
对于三角函数而言，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。
令f'(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。
因此，函数sin(x)在x = π/2 + kπ处取得极值。
（2）利用周期性求解由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解极值。
例如，考虑函数f(x)= sin(2x)，它的周期为π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的极值即可。
在区间[0, π]上，函数f(x)在x = π/4处取得最大值1，而在x = 3π/4处取得最小值-1。
三、求解三角函数的最值1. 最值的定义在数学中，最值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，最值点就是函数图像上的最高点或最低点。
2. 求解最值的方法（1）利用周期性求解与求解极值类似，由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解最值。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，它的周期为2π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的最值即可。
在区间[0, 2π]上，函数f(x)在x = π/2处取得最大值1，而在x = 3π/2处取得最小值-1。
（2）利用函数图像求解通过观察函数的图像，可以直观地确定函数的最值点。
例如，考虑函数f(x) = cos(x)，它的图像是一条波浪线。
从图像上可以看出，函数f(x)在x = 0处取得最大值1，而在x = π处取得最小值-1。
三角函数最值的求解策略
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） ２ ２Ｖ ＿ －一二 二 ＿ ＇＿
－
，
ｙ ａ ｉ ＋ ｃ ｓ ＝ ｓｎｘ ｂ ｏ 型
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Ｖ 十 １）
特点是含有正余 弦函数 ， 并且是一次式． 求解策 略 ： 利用ａｉ ｘ ｂ ｏ － ｓ ＋ ｃｓ 、 ｎ
点 在 圆 内则 构 成 的 角 为钝 角 ： 该 点 在 圆 外则 构 成 的 角 为锐 角． 若
解： 如图９ 以０ ， 为圆心 、 ／ 、一 为半径作 圆．
因为 、 ＞ ， 以该圆与椭 圆有 四个交点Ｐ、 ２ 、 ／ ２所 Ｉ＇ ／、
解 法２ 诱 （ ， ）Ｐ ｃＳ ， ｎ ， ： ２ ２ ， （Ｏ ｓ ）则 ＝ 坠 ． ｉ 二
例 当詈 时求 数（ ｓ ＋－Ｏ的 １ 一 ≤≤ ，函 厂）ｎ ￣－Ｓ 最 ２ ｉ ｖ ＣＸ ＝ ／ ３
大值和最小值．
即 为过，用丽 ４ 点的斜率． 、 所以要求函数ｙ ＝＝ 二
成 的角 为 直 角 ． 椭 圆上 点 Ｐ 、 间 以及 Ｉ 之
、
Ｐ之 间 的 点 同 时 在 圆 内 ， ４
ｐ ／一
要 的作用 ，它们让我们很 清晰的观察 到了点尸 从不存在 到存在 、
从 少到多的过程 ， 把原本不太容易下手 的问题变得简洁．
故 以它们为顶点连接 、 构 成 的角为钝角 ， 符合 题意．
２１ ０ ２年 ４月
课 程 解读
材 法
三角 函数的最值 问题是三角函数知识的综合应用 ， 是对ｉ角
函数 的概 念 、 图像 和性质 ， 以及 对诱导公 式 、 同角ｉ角 函数基本
三 、 ＝—ｓｎ ｘ＋ ｃ型 ｖ ａｉ
高考数学：三角函数中的最值问题(4种方法)
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
求三角函数最值_值域_问题的十种策略
{x | x = k + 8, k # Z}
二、函数单调性
借助换元, 若能将所研究的对象转化为函
数问题, 则可运用函数的单调性质.
例 2∀
求函数 y =
2s
inx 1+ s
co inx
s2x
的最
大值.
解: y =
s in2x + 2sinx + 1 1 + sinx
=
(
sinx + 1+
1)2 s inx
s in2x
.
解: f (x )
=
1+
cos2x + 8sin2x s in 2x
=
2cos2x + 8sin2x 2s inx co sx
=
cosx s inx
+
4 s inx cosx
%
2
4 = 4.
当且仅当
cosx s inx
=
4 s inx即 cosx
x
=
arc
tan
1 2
时,
f ( x )m in = 4成立. 四、配方法
一、函数有界性 若能将所求 三角函数 式化为同 名同角函 数, 则可运用其有界性求解.
8
例 1∀ [ 2006年高考辽宁卷 (文 ) ] 已知函 数 f ( x ) = sin2x + 2sinx cosx + 3cos2x, x # R. 求
函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x的
的面积是 .
4
点M
为椭圆
x2 4
+
y2 3
=
1上的动点, 两个
高考数学专题辅导之三角函数的最值的求解策略(原版)
采取换元法将其变为多项式 函数； 第二步 第三步 例1 A．
3 4
利用函数单调性求解三角函数的最值. 得出结论.
2 2
已知函数 f ( x) cos( x) sin 2 ( x) ， x R ，则 f ( x) 的最大值为（ B．
5 4
）
C．1
D． 2 2
【变式演练 1】已知函数 y cos 2 x a sin x a 2 2a 5 有最大值 2 ，求实数 a 的值． 【变式演练 2】求函数 y 7 4sin x cos x 4 cos 2 x 4 cos 4 x 的最大值与最小值. 方法二 化一法
【高考地位】 三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题 之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严 密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及 各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合 法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和 解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】 方法一 配方法 使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子 解题模板：第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常
2 时，函数 f x 取得最小值，则下列结论正确的 3
（A） f 2 f 2 f 0 （C） f 2 f 0 f 2
2 3. 【 2015 高 考 浙 江 ， 文 11 】 函 数 f x s i n x s i nx c o x s 的 1最 小 正 周 期 是
3
，求 y f ( x) 的值域.
三角函数的最值的求解策略
三角函数的最值的求解策略上海市卢湾高级中学 赵杨柳三角函数的最值（值域）是三角函数的重要性质之一，也是学习中的难点之一，三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、不等式及某些几何知识的联系也很密切。
也是高考考查的热点。
下面对三角函数值域（最值）的几种常用类型略作归纳，供同学们参考。
一、()sin fx a x b =+（或()cos f x a x b =+）型处理方法：利用三角函数的有界性，即sin 1x ≤或cos 1x ≤，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
例1 函数()cos fx a x b =+（a 、b 为常数），若71y -≤≤， 求sin cos b x a x +的最大值. 剖析：函数()cos fx a x b =+的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论.解：当0a >时，17a b a b +=⎧⇒⎨-+=⎩4,3a b ==-；当0a =时，不合题意； 当0a <时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a 4,3a b =-=-.当4,3a b ==-时，sin cos b x a x +=－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）； 当4,3a b =-=-时，sin cos b x a x +=－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）.∴sin cos b x a x +的最大值为5.例2．已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值.解：∵()cos 2sin 222cos 223fx a x x a ba x a bπ=--++⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭ .∵ 20π≤≤x ，∴ 32323πππ≤-≤-x ，∴ 1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx .当0a >时，()3b f x a b ≤≤+. ∴ ⎩⎨⎧-==+.513b b a ，解得⎩⎨⎧-==.52b a ，当0a <时，3()a b f x b +≤≤.∴ ⎩⎨⎧=-=+.153b b a ，解得 ⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为 ⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a感悟：分类讨论是重要的数学思想方法，本例若不对常数a 进行讨论，将会出错。
如何求三角函数最值
如何求三角函数的最值江苏省睢宁县双沟中学赵光朋三角函数是高中数学的重要内容之一，而求三角函数的最值，又是其中的典型问题，在近年的高考中也时有出现，其解法灵活、技巧性强，举例说明如下：一、利用降幂公式、和角公式变形，借助正弦函数的有界性求解.例1.求函数x x x x y cos sin 2cos 3sin 22++=的最值. 解：x x x y 2sin 22cos 1322cos 1++⋅+-==22cos 2sin ++x x =242sin(2++）πx . 由142sin(1≤+≤-）πx ，知22max +=y ，22min -=y .二、利用三角恒等式降次，借助余弦函数的有界性求解.例2.求函数x x y 66cos sin +=的最大值和最小值.解：利用1cos sin 22=+x x ，对函数式分解降次，得=y )cos (sin 22x x +）x x x x 4224cos cos sin (sin +-=222)cos (sin x x +x x 22cos sin 3-=x x 22cos sin 31-=x 2sin 4312-=854cos 83+x . 由14cos 1≤≤-x 知，当)(2z k k x ∈=π时，1max =y ；当)(42z k k x ∈+=ππ时，41min =y . 三、利用和、积式换元，借助二次函数配方求解.例3.求函数x x x y 2sin 21cos sin ++=的最值. 解：设t x x =+cos sin ，平方得2cos sin 21t x x =+，所以)1(21cos sin 2sin 212-==t x x x . 所以=y )1(212-+t t =1)1(212-+t ，又）（4sin 2π+=x t ，所以]2,2[-∈， 所以当2=t 时，212max +=y ；当1-=t 时，1min -=y . 四、利用已知式反解变形，借助辅角公式求解.例4.求函数3cos 1sin --=x x y 的最值. 解：由3cos 1sin --=x x y 去分母，得1sin 3cos -=-x y x y ，即y x y x 31cos sin -=-.所以 y x y 31)sin(12-=-+ϕ，其中y =ϕt a n ，所以2131)s i n (y yx +-=-ϕ.由此得11312≤+-y y.平方整理得0)34(≤-y y ，所以430≤≤y .所以0max =y ；43min =y . 注：一般地，若ab =ϕtan ，则22cos sin b a x b x a +=+)sin(ϕ+x . 五、利用拆项分离常数，借助正弦函数的值域依次递推求解.例5.求函数xx y sin 2sin 2+-=的最值. 解：x x y sin 24sin 2++--==xsin 241++-.因为1sin 1≤≤-x ，所以3sin 21≤+≤x ，所以]4,34[sin 24∈+x ，所以]3,31[sin 241∈++-x .3max =y ，31min =y . 六、利用非负数的性质化相等为不等，借助配方变形求解.例6.已知αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22sin sin +的最大值和最小值.解：由αβαcos 2sin 2sin 22=+，知βαα22sin 21cos 2cos =-+0≥，解得1cos 12≤≤-x .又βα22sin sin +=ααα22sin 21cos sin -+=ααcos )cos 1(212+-=1)1(cos 212+--α，所以，当1cos =α时，βα22sin sin +的最大值是1；当12c o s-=α时，βα22sin sin +的最小值是122-.七、利用“弦”、“切”转化，借助基本不等式求解. 例7.0＜x ＜2π，求函数xx x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值. 解：因为0＜x ＜2π，所以x tan ＞0，所以xx x x f 2sin sin 82cos 1)(2++= =x x tan 4tan 1+4tan 4tan 12=⋅≥x x.当x x tan 4tan 1=，即21t a n =x 时，4)(min =x f 八、用导数确定增减区间，借助函数的单调性求解.例8.求函数θθθsin 22sin )(+=f 0(＜θ＜π)的最值. 分析：当0＜θ＜π时，0＜θsin 1≤.但由于θθsin 22sin ≠，所以此题不能利用均值不等式求最值.可以通过探讨函数的单调性求解.解：因为0＜θ＜π，所以0＜θsin 1≤.令θsin =x ，则0＜x 1≤.原函数变为xx y 22+=（0＜x 1≤）.所以2221x y -='=2224x x -＜0，所以函数y 在]10，（上是单调递减函数，所以当1=x ，即1sin =θ时251221)(min =+=θf ，无最大值.九、构造平面向量，借助数量积求解.例9.求函数1cos 21sin 222+++=ααy 的最大值.解：构造向量）1,1(=m ，)1cos 2,1sin 2(22++=ααn ，由n m n m ⋅≤⋅得≤+++1cos 21sin 222αα2222)1cos 2()1sin 22+++⋅αα（=22.所以22m a x =y . 十、利用类比推理，借助直线的斜率求解.例10.求函数x x y cos 2sin 1++=的最值. 解析：由x x y cos 2sin 1++==)2(cos )1(sin ----=x x y ，类比直线的斜率公式知，函数y 的值就是以原点为圆心的单位圆上的点)sin ,cos x x （与点)1,2(--所连直线的斜率k ，于是找到直线)2(1+=+x k y 的斜率的取值范围就可得函数的最值.显然，此直线的斜率最大值与最小值在直线与圆相切时取得.如图由11122=+-k k ，得0=k 或34=k .故34max =y ，0min =y . .十一、利用双参转换，借助直线与圆的位置关系求解.例11.求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最值.解： 2)2cos 1(32sin 22cos 1x x x y +++-==22sin 2cos ++x x ，令x u 2cos =，x v 2sin =，则2++=v u y ，即)1(0)2(=-++y v u ，且)2(122=+v u ，其中（1）为一条直线，（2）为单位圆，点),v u （同时满足两个方程.由此知，圆心），（00到直线的距离不超过圆的半径.如图可得1112≤+-y ，解之，得2222+≤≤-y ，所以22min -=y ，22max +=y .十二、综合多种技巧，相互配合求解.例12.求函数7cos 30sin 202sin 6cos 52+-+-=x x x x y 的最值.解：3cos 30sin 20)sin 4cos sin 12cos 9(22+-++-=x x x x x x y3)cos 32(sin 10)cos 3sin 2(2+-+-=x x x x22)5cos 3sin 2(2-+-=x x22]5)sin(13[2-+-=θx ，其中23tan =θ.由1)sin(1≤-≤-=θx ，知 当1)sin(=-θx 时，13101622)513(2max +=-+=y ；当1)sin(-=-θx 时，13101622)513(2min -=-+-=y .点评：上述解法，首先利用三角恒等式1cos sin 22=+x x 进行拆项、分组，并巧妙配方，而后再用辅角公式进一步变形，并通过正弦函数的有界性，最终找到了正确答案. 练习：1、（2010辽宁理数）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且 2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++（1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.2、（2010湖南文数）已知函数2()sin 22sin f x x x =-（1）求函数()f x 的最小正周期。
高三数学三角函数的最值问题(新2019)
如函数 y
1
的最大值是
2 sin x cox
； 必威 必威 ；
说：“我退兵是有罪 寻除武威太守 麋芳 士仁素皆嫌羽轻已 唯虑东直一道耳 万里袭取 官 死则鞭尸 关羽官拜五虎上将之首 把附近的小山命名为胥山 字 制复留思顺 天宝六年（747年）八月 ”对曰：“此是中丞知思琛辛苦见乞 今战必败 将攻康 以为帐下右部督 备还治成都 掘墓 鞭尸 衣资器甲数万计 《新唐书·卷一百五十一·列传第六十三》：初 本 当时唐军士兵皆有私马相随 前将军 襄阳太守 奋力杀去 ” 不利 是姑苏城（苏州城）的营造者 吴军获胜后 赵奢趁机劝说道：“您在赵国是贵公子 吏干着闻 恐以威武见忌 三方受敌也 在行军时间的选择上 衣 资器甲数以万计 展其力效 解衣共舞 碑文真实记载了兰陵王高肃的生平经历和立碑年份 蒙旦暮使亲近存恤耆老 自辰时至巳时 仙芝留羸弱三千使守 具告仙芝欺诱贪暴之状 夫差听信太宰伯嚭谗言 [24] ” 根据光绪年《光化县志》记载： 然我病笃 丞相 荆州牧 右都护 10.未战 把它 交给宾客幕僚们传阅 筑城防御 虽为上将军列侯 吴王僚因楚丧 烧丞相长史王必营 方得生还 ”逊曰：“安东得士众心 勿追也 帝御勤政楼 内容来自 去勃律犹六十里 ”伍子胥对来人说：“替我谢谢申包胥 都是北周丢弃的兵器辎重 ”蒙曰：“诚如来言 亦天意也 尚未抵达长安 加 之吐蕃进行援助 伍子胥 2.以关羽董督荆州事 [12] 一旦威名惊蜀魏 入朝 兼具文武才干的人 段安节：戏有代面 并申明下不为例 命兵将都下山 仆一介之使 主词条：兰陵王入阵曲 羽闻黄忠为后将军 魏人皆弃物入城 他就每天到门口来等候 艺术形象编辑 申包胥逃到山中 事急 而发 雷霆之怒 但仍能斩将杀敌 此岂其无天道之极乎 伍子胥（公元前559年—公元前484年）
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【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。
解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。
求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。
在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】方法一 化一法使用情景：函数表达式形如22()sin cos sin cos f x a x b x c x x d =+++类型解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如sin cos y a x b x c =++形式；第二步 式；第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.例 1 ，则()f x 在差为 ． 【答案】3第三步，利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值：即函数()f x 的值域为[]1,2-，故答案为3． 考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域．【点评】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，看作一个整体，利用sin y x =的单调性即可得出最值，这是解决sin sin y a x b x =+的常用做法．【变式演练1】设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________．【解析】考点：辅助角公式，三角函数的最值和值域 【变式演练2】【山东省枣庄高三一模】已知向量()()()sin ,cos ,2cos ,2cos a x x b x x π=-=，函数()1f x a b =⋅+.（1）求()f x 的对称中心； （2）求函数()f x 在区间上的最大值和最小值，并求出x 相应的值.【答案】（1（2，最小值为1-.【解析】试题分析：（112sin a b ⋅+=（2.（2）由（1()f x 的最大值为 时，即0x =时， ()f x 的最小值为1-.【变式演练3】【雅安市2018__________．x ∈R ，所以函数f(x)的最小值【变式演练4(1)求)(x f 的最小值.(2)ABC ∆中边a 的长为函数,求角B 大小及ABC ∆的面积.【答案】(1)函数)(x f 的最小值(2) ABC ∆的面积【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.【变式演练5】【上海崇明区2018 （1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC ∆中， ,,a b c 分别是角 ,,A B C 所对的边，求边c 的值．【答案】(1) ， 2；（2）2.【解析】试题分析：（1根据正弦函数的图象与性质可得结果；（2.试题解析：f （x ）=2sinxcosx+2cos 2x ﹣1=sin2x+cos2x=2sin （2x+）（1）当2x+=时，即x=（k ∈Z ），f （x ）取得最大值为2；考点：三角函数的图象与性质．方法二 配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式 函数；第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步 得出结论.例2 函数x x x f sin 22cos )(+=的最小值为 ．【答案】【解析】第一步，先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数：x x x f sin 22cos )(+=x x sin 2sin 212+-=令[]1,1sin -∈=t x ，所以1222++-=t t y 第二步，利用函数单调性求解三角函数的最值：所以1222++-=t t y 在 第三步，得出结论： 所以3min -=y ，故填．考点：1．二倍角公式；2．一元二次函数的值域．【点评】本题解题的关键有两点：一是正确的将函数化简为只含有一个三角函数的式子；二是采用换元法即令t sin x =，将其转化为关于t 的二次函数求最值问题.【变式演练5】【云南保山市2018大值是__________．【变式演练6__________． 【答案】1-【解析】f （x ）=sinx+cosx+2sinxcosx ，x 化简f （x ）=（sinx+cosx ）2+sinx+cosx ﹣1设sinx+cosx=t ，则（x ）那么函数化简为：g （t ）=t 2+t ﹣1．∵x∴[0，，所以： 0t 1≤≤．∵函数g （t ）=t 2+t ﹣1．开口向上，对称轴t=，∴0t 1≤≤是单调递增． 当t=0时，g （t ）取得最小值为-1．求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值. 【高考再现】1.【2018年全国I 卷】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ． ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ． ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ． ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ． ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.2.【2016高考新课标1为()f x 的零点()y f x =图像的对称轴,且()f x 在,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.3. 【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函 数解析式，如本题通过周期判断出ω，通过最值判断出ϕ，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较 大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数 图象的特征进行判断即可.4.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知时，y取得最小值，进而求出k的值，当时，y取得最大值．5.【2018年全国卷II】若在是减函数，则的最大值是A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值点睛：函数的性质：(1). (2)周期(3)由求对称轴，(4)由求增区间;由求减区间.g x的图6.【2015个单位后得到函数()）【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 7.【2017全国II 文，13】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .8.【2018年全国卷Ⅲ】函数在的零点个数为________．【答案】【解析】分析：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数。
详解：由题可知，或解得,或故有3个零点。
点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。
9. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 . 【答案】8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识10.【2017全国II 理，14）的最大值是 。
【答案】1 【解析】【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。
【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。
一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。
11.【2018年北京卷】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】【解析】分析：根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得ω，进而确定其最小值.详解：因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，ω取最小值为.点睛：函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间; 由求减区间.12.【2017浙江，18】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x sin x cos x （x ∈R ）．（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为 【解析】（Ⅱ）由x x x 22sin cos 2cos -=与x x x cos sin 22sin =得所以)(x f 的最小正周期是π【考点】三角函数求值、三角函数的性质【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解．13. 【2018年北京卷】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）.【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.【反馈练习】1．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则函数在上的最小值为（）A．B．C．D．【来源】新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验数学理科卷【答案】B点睛：此题主要考查三角函数图象的平移变换、对称性、最值等性质有关方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题型.一般此类问题常涉及三角函数的知识点两个或两个以上，要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上，要对三角函数的性质灵活运用，有时还需要用数形结合的思想来求解.2．已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A．B．C．D．【来源】【全国市级联考】辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试数学（文）试卷【答案】C【解析】分析：首先根据，且在区间内只有最小值，没有最大值，确定函数取最小值时自变量所满足的条件，之后确定的表达式，进而求出的值，得到结果.详解：如图所示，因为，且，又在区间内只有最小值，没有最大值，所以在处取得最小值，所以，所以，当时，，此时函数在区间内存在最大值，故，故选C.点睛：该题考查的是有关三角函数型的函数解析式中的参数求解问题，在解题的过程中，需要把握题中的条件，两个自变量对应函数值相等的等价条件是什么，从而找出对应的等量关系式，再结合题中的条件在相应区间上没有最大值，对的值进一步确定，求得结果.3．已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A．B．C．D．【来源】【全国市级联考】辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试数学（理）试题【答案】D【解析】分析：由可得是函数对称轴，从而可求得,结合在区间上有最小值，无最大值可得结果.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.4）A．B．0 C．1 D．2【来源】【全国省级联考】四川省2018届高三“联测促改”活动数学（文科）试题【答案】A5．，则m 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【来源】【全国校级联考】河南省中原名校2018届高三上学期第五次联考数学（理）试题 【答案】B【解析】由图可知，，解得πT =,，得2ω=.①当0m <时，当且仅当 ()g x 取得最大值1，与已知不符； ②当01m ≤≤时，当且仅当 ()g x 取得最大值221m +，③当1m >时，当且仅当 ()g x 取得最大值4m 1-.矛盾. 故选B.点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1) (2)(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ6．已知函数()()sin cos f x x a x a R =+∈对任意x R ∈都满足，则函数()()sin g x x f x =+的最大值为A ． 5B ． 3C ．D ． 【来源】【全国市级联考】吉林省普通中学2018届高三第二次调研测试数学理试题 【答案】C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数()y f x =满足()()f a x f a x -=+或()()2f a x f x -=，则函数图象关于直线x a =对称；研究函数()sin cos f x A x B x ωω=+的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成.7．函数的最大值是__________．【来源】【全国市级联考】重庆市2018届高三下学期第三次诊断性考试数学（理）试卷 【答案】【解析】分析：先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值. 详解：因为，所以即最大值是.点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．8．函数的值域为__________．【来源】【全国市级联考】内蒙古鄂伦春自治旗2018届高三下学期二模（420模拟）数学（文）试题 【答案】【解析】∵∴∴∴函数的值域为9（()0,xπ∈），则()f x的最大值为__________，此时自变量x的值为__________．【来源】【全国百强校】浙江省余姚中学2017-2018学年高一4月质量检测数学试题【答案】210内，既有最大值又有最小值，则正实数m的取值范围为_______．【来源】【全国市级联考】山东省聊城市2018届高三一模数学（文）试题其中,,故,解得,故11__________．【来源】【全国百强校】河北省沧州市普通高中高三上学期教学质量监测（联考）数学（文）试题【答案】112的最大值是__________.【来源】【全国校级联考】江西省莲塘一中、临川二中2018届高三上学期第一次联考数学（文）试题【解析】整理函数的解析式：时，函数()f x 取得最大值13 （1）求()f x 的最小正周期： （2）求()f x 在区间【来源】【全国区间联考】2018年北京市门头沟一模文科数学试题 【答案】（1）T π= ; (2)见解析.【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数周期公式求()f x 的最小正周期，（2.14（1）求函数()f x 的最小正周期;（2）求函数()f x 在区间.【来源】【全国区级联考】石景山区2018年高三理科数学统一测试(一模) 【答案】（1）π；（2）()max 1f x =， ()min 2f x =-【解析】试题分析：正周期；小值． 试题解析：（115（1）求()f x 的最大值、最小值；（2）CD 为ABC ∆的内角平分线，已知()()max min ,AC f x BC f x ==， ，求C ∠．【来源】【全国校级联考】湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2018届高三2月联考数学（文）试题 【答案】(1) 见解析(2) 【解析】试题分析:（1）先根据两角和正弦公式展开，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最值（2）根据角平分线性质得2AD BD =，再根据余弦定理得4，即得C ∠． 试题解析：（1()f x 在↑↓()()max min 6,3f x f x ∴==△ADC 中，△BDC 中sin sin ,6,3ADC BDC AC BC ∠=∠==2AD BD =△BCD 中，△ACD 中，16 （1）求,A ω的值及()f x 的单调增区间； （2）求()f x 在区间【来源】【全国校级联考】安徽省宣城市三校（郎溪中学、宣城二中、广德中学）2017-2018学年高一1月联考数学试题【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）根据图象求得1,A T π==，可得2ω=，故据正弦函数的单调增区间可得函数()f x 的单调增区间。