2011年高考数学试题分类汇编9——平面向量
2011年高考数学一轮精品题集：平面向量
2011届高考数学一轮复习精品题集平面向量第2章 平面向量 §2.1向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系． 考纲要求：①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念及向量相等的含义． ③理解向量的几何表示．经典例题：下列命题正确的是（ ）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.下列各量中是向量的是 ( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量2下列说法中正确的是 （ ） A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO 、OB 、CO 、OD是 （ ）A ．平行向量B ．有相同终点的向量C ．相等的向量D ．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是 ( ) A. 零向量只有大小没有方向 B. 对任一向量,||>0总是成立的 C. ||=|BA | D. ||与线段BA 的长度不相等5.若四边形ABCD 是矩形,则下列命题中不正确的是 ( ) A. 与共线 B. 与相等 C. AD 与 CB 是相反向量 D. AB 与CD 模相等6．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（1）与BC相等的向量有 ； （2）与OB长度相等的向量有 ；（3）与DA共线的向量有 ．7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是 ．并对你的判断举例说明．8．如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中： （1）与AO相等的向量有 ；（2）写出与AO共线的向有 ； （3）写出与AO的模相等的有 ； （4）向量AO 与CO是否相等？答 ．9．O 是正六边形ABCDE 的中心，且OA a = ，OB b = ，AB c =，在以A ，B ，C ，D ，E ，O 为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有10．在如图所示的向量a ，b ，c ，d ，e 中（小正方形的边长为1），是否存在：（1）是共线向量的有 ； （2）是相反向量的为 ； （3）相等向量的的 ； （4）模相等的向量 ．http://www../11．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AB ，CA 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量FE共线的有 ．（2）与向量DF的模相等的有 ． （3）与向量ED 相等的有 ．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出．若它位于图中的P 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A 走到与它相邻的B ？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？OA C DEF第2章 平面向量 §2.2向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。
2011年全国统一高考真题数学试卷(文科)(大纲版)(含答案解析版)
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、D．.4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．35．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b36．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．57．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．98．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2B．C．D．19．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4B．C．8D．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁U（M∩N）．【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、D．.【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由|+2|==，代入已知可求【解答】解：∵||=||=1，•=﹣，|+2|===故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积性质的基本应用，属于基础试题4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值．【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5故选：C．【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k 【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k﹣S k=24转化为：+2（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题．【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在Rt△BCD中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故选：C．【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，∵恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，根据分步计数原理知共有6×4=24种结果故选：B．【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4B．C．8D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a 和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=•的值．【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），则有=|a|，|=|b|，故a和b分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2的两个实数根，即a和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32，∴两圆心的距离|C1C2|=•=8，故选：C．【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：0．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数分别取1；9求出展开式的x的系数与x9的系数；求出两个系数的差．=（﹣1）r C10r x r【解答】解：展开式的通项为T r+1所以展开式的x的系数﹣10x9的系数﹣10x的系数与x9的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα的值．【解答】解：∵a∈（π，），∴cosα＜0∴cosα=﹣=﹣故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可．【解答】解：设{a n}的公比为q，由题意得：，解得：或，当a1=3，q=2时：a n=3×2n﹣1，S n=3×（2n﹣1）；当a1=2，q=3时：a n=2×3n﹣1，S n=3n﹣1．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣ac=b2，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，故cosB=，B=45°（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=故a=b×==1+∴c=b×=2×=【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；（Ⅱ）f（x）在x=x0处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3﹣6a由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4，当x=2时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）（Ⅱ）由f′（x）=0得x2+2ax+1﹣2a=0 (1)方程（1）的根的判别式①当时，函数f（x）没有极小值②当或时，由f′（x）=0得故x0=x2，由题设可知（i）当时，不等式没有实数解；（ii）当时，不等式化为a+1＜＜a+3，解得综合①②，得a的取值范围是【点评】将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．。
2011届高考数学平面向量综合复习题
∴a＝(－1,1)或(－3,1)． 15．(2009· 朝阳 4 月)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若∠B＝45° ，b＝ 2，a＝1， 则∠C 等于________度． 答案：105 asinB 1 解析：由正弦定理得 sinA＝ ＝ ，A＝30° 或 150° (舍去)，则∠C＝105° ，故填 105. b 2 16．已知△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 a＝1，∠B＝45° ，△ABC 的面积 S＝2， 那么△ABC 的外接圆的直径等于__________． 答案：5 2
1 1 解析：∵S＝ acsinB＝2，∴ ×1×c×sin45° ＝2， 2 2 ∴c＝4 2， ∴b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×4 2×cos45° ， ∴b2＝25，b＝5. b 所以△ABC 的外接圆的直径等于 ＝5 2. sinB 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。) 17．(本小题满分 10 分)已知|a|＝1，|b|＝ 2. (1)若 a∥b，求 a· b； (2)若 a，b 的夹角为 135° ，求|a＋b|. 解析：(1)∵a∥b， ∴若 a，b 同向，则 a· b＝|a||b|＝ 2； 若 a，b 反向，则 a· b＝－|a||b|＝－ 2. (2)∵a，b 的夹角为 135° ， ∴a· b＝|a||b|cos135° ＝－1， ∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a· b＝1＋2－2＝1， ∴|a＋b|＝1. 18． (2009· 江苏， 15)(本小题满分 12 分)设向量 a＝(4cosα， sinα)， b＝(sinβ， 4cosβ)， c＝(cosβ， －4sinβ)． (1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tanαtanβ＝16.求证 a∥b. 解析：(1)由 a 与 b－2c 垂直 则 a· (b－2c)＝a· b－2a· c＝0， 即 4sin(α＋β)＝8cos(α＋β)，tan(α＋β)＝2. (2)∵b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)， 则|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β， 最 大值为 32，所以|b＋c|的最大值为 4 2. (3)由 tanαtanβ＝16，得 sinαsinβ＝16cosαcosβ， 即 4cosα· 4cosβ－sinαsinβ＝0，故 a∥b. 19．(2009· 四川，17)(本小题满分 12 分)在△ABC 中，A、B 为锐角，角 A、B、C 所对的边分别为 a、 3 10 b、c，且 cos2A＝ ，sinB＝ . 5 10 (1)求 A＋B 的值； (2)若 a－b＝ 2－1，求 a、b、c 的值． 命题意图：本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等 基础知识及基本运算能力． 10 解析：(1)∵A、B 为锐角，sinB＝ ， 10 3 10 ∴cosB＝ 1－sin2B＝ . 10 3 又 cos2A＝1－2sin2A＝ ， 5 5 2 5 ∴sinA＝ ，cosA＝ 1－sin2A＝ . 5 5 ∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝
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高考数学选择题分类汇编1．【2011 课标文数广东卷】已知向量 a ＝(1,2)，b ＝(1,0)， c ＝ (3,4)．若 λ为实数，(a ＋ λ b)∥ c ，则 λ＝( ) 1 1A. 4 B .2 C ．1 D ． 22．【2011·课标理数广东卷】 若向量 a ，b ，c 满足 a ∥ b 且 a ⊥c ，则 c ·(a ＋ 2b)＝ ( ) A ． 4 B ．3 C ．2 D ． 03【． 2011 大纲理数四川卷】如图 1－1，正六边形 → → →)ABCDEF 中，BA ＋ CD ＋EF ＝ ( A ． 0 →→ → B. BEC. ADD. CF4．【2011 大纲文数全国卷】设向量 a ，b 满足 |a|＝ |b|＝1，a ·b ＝－ 1，则 |a ＋ 2b|＝ ()2 A. 2 B.3 C. 5 D. 7 .5．【2011 课标文数湖北卷】若向量 a ＝(1,2)， b ＝ (1，－ 1)，则 2a ＋b 与 a － b 的夹 角等于 ( ) 3ππ π π A ．－ 4B. 6C.4D. 46．【2011 课标理数辽宁卷】 若 a ，b ，c 均为单位向量， 且 a ·b ＝ 0，(a － c) ·(b － c)≤0，则|a ＋b － c|的最大值为 ( ) A. 2－ 1 B ．1 C. 2 D ． 2【解析】 |a ＋b －c|＝ a ＋ b － c 2＝ a 2＋ b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c － 2b ·c ，由于 a ·b ＝0，所以上式＝3－2c ·a ＋b ，又由于 (a －c) ·(b －c)≤0，得 (a ＋ b) ·c ≥c 2＝ 1，所以|a ＋ b － c|＝ 3－2c ·a ＋b ≤1，故选 B.7．【2011 课标文数辽宁卷】已知向量 a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a ·(2a －b)＝0，则 k ＝()A ．－ 12B ．－ 6C ．6D ．121 8．【2011 大纲理数 1 全国卷】设向量 a ，b ，c 满足 |a|＝|b|＝ 1， a ·b ＝－ 2，〈 a － c ，b －c 〉＝ 60°，则 |c|的 最大 值 等 于 ( ) A ． 2 B. 3 C. 2 D ．19．【2011 课标理数北京卷】已知向量 a ＝( 3， 1)，b ＝(0，－ 1)，c ＝(k ， 3)．若a － 2b 与 c 共线，则 k ＝________.10 ．【 2011·课标文数湖南卷】设向量 a ，b 满足 |a|＝2 5，b ＝ (2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为 ________．【解析】 因为 a ＋λb ＝(1,2) ＋λ(1,0) ＝ (1 ＋λ，2) ，又因为 (a ＋ λb) ∥c ，(11＋λ) ×4－2×3＝0，解得 λ＝2.【解析】 因为 a ∥b 且 a ⊥ c ，所以 b ⊥ c ，所以 c ·(a ＋ 2b) ＝c ·a ＋2b ·c ＝0.→ → → → → → → → →【解析】 BA ＋CD ＋ EF ＝BA ＋ AF －BC ＝BF － BC ＝CF ，所以选 D.【解析】 | a ＋2b | 2 ＝(a ＋ 2b) 2＝| a | 2＋4a ·b ＋4| b | 2 ＝3，则 | a ＋2b | ＝ 3，故选 B【解析】 因为 2a ＋b ＝( 2， 4) ＋( 1，－ 1) ＝( 3，3) ，a －b ＝( 0， 3) ，所以| 2a ＋b | ＝ 3 2 ， | a －b | ＝ 3. 设2a ＋ b 与 a － b 的夹角为 θ， 则 cos θ＝( ) () (3，3 ) () 2 0，π π 2a ＋b · a －b ＝· 0，3＝ 2 ，又 θ∈ [] ，所以 θ＝4.|| ||32×32a ＋ ba －b【解析】 a ·(2a －b)＝ 2a 2－ a ·b ＝ 0，即 10－(k －2)＝ 0，所以 k ＝ 12，故选 D.【解析】设向量 a ，b ，c 的起点为 O ，终点分别为 A ，B ，C ，由已知条件 得，∠ AOB ＝ 120°，∠ACB ＝ 60°，则点 C 在△ AOB 的外接圆上，当 OC 经过圆心 时， |c|最大，在△ AOB 中，求得 AB ＝ 3，由正弦定理得△ AOB 外接圆的直径是3＝2，|c |的最大值是 2，故选 A. sin120 °【解析】 因为 a －2b ＝ (3，3)，由 a －2b 与 c 共线，有 k ＝ 3，可得 k ＝1.3 3【解析】 因为 a 与 b 的方向相反，根据共线向量定义有： a ＝λb( λ<0)，所以 a ＝(2 λ，λ)．a 2 2或 λ＝2(舍去 )，故 a ＝(－ 4，－ 2)． 由 | |＝25，得 2λ ＋λ＝2 5? λ＝－ 2 11．【2011·课标理数天津卷】已知直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ADC ＝90°，＝ ， ＝ ， 是腰 上的动点，则 → → ．AD BC DC＋3PB 的最小值为2 1 P |PA | ________12．【2011·课标理数浙江卷】 若平面向量 α，β满足 | α|＝1，| β|≤ 1，且以向量 α，1β为邻边的平行四边形的面积为 2，则 α与 β的夹角 θ的取值范围是 ________．13 ．【2011·新课标理数安徽卷】 已知向量 a ，b 满足 (a ＋2b) ·(a － b)＝－ 6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为 ________．14．【2011·课标文数福建卷】若向量 a ＝ (1,1)， b ＝ (－1,2)，则 a ·b 等于 ________．→ → →15．【2011·课标理数湖南卷】 在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设BC ＝2BD ，CA ＝ → → →3CE ，则 AD ·BE ＝________.16．【2011 课标理数江西卷】已知 |a|＝|b|＝2，(a ＋2b) ·(a － b)＝－ 2，则 a 与 b 的夹角为 ________．17．【2011·课标文数江西卷】已知两个单位向量e 1 ， 2π的夹角为 ，若向量 b 1＝ 1e3 e－2e 2， 2＝1＋2，则b 3e 4e b ·b ＝________.18．【2011 课标文数全国卷】 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 a ＋b 与向量 ka －b 垂直，则 k ＝ ________. 19．【10 安徽文数】设向量 a (1,0) , b ( 1 , 1 ) , 则下列结论中正确的是2 2(A) a b(B) a ?b2 (C) a / / b(D) a b 与 b 垂直220. 【10 重庆文数】若向量 a (3, m) ， b (2, 1) ， agb 0 ，则实数 m 的值为 （A ）3（ B ）3（C ）2（D ）622【解析】 建立如图 1－6 所示的坐标系，设 DC ＝ h ，则 A(2,0) ，B(1，h)．设 P(0，y)， (0≤y ≤h) → →则 PA ＝(2 ，－ y)， PB ＝ (1，h －y)，∴ |→＋ →|＝ 25＋ 3h － 4y 2 ≥ 25＝5. PA 3PB【解析】 由题意得： |α||β| θ＝1，∵ |α|＝ ，|β|≤ ，∴ sinθ＝ 1≥ 1sin 2 1 1 2|β| 2.π 5π又∵ θ∈(0， π)，∴θ∈ 6， 6 .【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有 (a ＋ 2b) ·(a －b)＝a 2＋a ·b － 2b 2＝－ 7＋2cos θ＝－ 6，所以 1cos θ＝2.因为 π0≤θ≤π，故 θ＝3.【解析】 由已知a ＝(1,1)，b ＝ (－1,2)，得a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝1.【解析】 由题知， D 为 BC 中点， E 为 CE 三等分点，以 BC 所在的直线为 x 轴， 以 AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，可得 A 0， 3 ，D(0,0)，B －1，0 ，2 21 ， 3 → ，－ 3 → 5 3→ → 3 3 1 E，故 AD ＝，BE ＝ ， ，所以 AD ·BE ＝－× ＝－ .3 6 2 6 6 2 64【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ，由 (a ＋ 2b)(a － b)＝－ 2 得1π|a|2＋a ·b －2|b|2＝ 4＋ 2× 2× cos θ－2×4＝－ 2，解得 cos θ＝2，∴θ＝3.【解析】 |e 1 ＝ 2 ＝且11－ 2 · 1＋ 2 ＝ 21·2－1·2＝ ，所以 b 1·2＝1－||e | 1e e2b(e 2e ) (3e 4e ) 3e 2e e122－ 8＝－ 6.8e ＝ 3－ 2× 2【解析】 由题意，得 (a ＋ b) ·(ka －b)＝k |a |2－ ·＋ ·－ |b |2＝k ＋ (k －·－1 a b ka b1)a b ＝ (k －1)(1＋ a ·b)＝0，a 与 b 不共线，所以 a ·b ≠－1，所以 k － 1＝ 0，解得 k＝ 1.【解析】 a b = ( 1,1) ， ( a b)gb 0 ，所以 a b 与 b 垂直 . 【解析】 D2221.【 10 重庆理数】已知向量 a ，b 满足 a ?b 0, a 1, b 2, ，则 2a bA. 0B. 2 2C. 4D. 8 解析： 2a b(2a b )2 424a b b 282 2a22．【10 湖南文数】若非零向量 a ，b 满足 |a | | b |,(2 a b) b 0 ，则 a 与 b 的夹角为 CA. 30B. 60C. 120D. 150uur uur23.【 10 全国卷理数】 V ABC 中，点 D 在 AB 上，CD 平方 b ，ACB ．若 CB a ，CA，uuur2 2 1 （ ）34（ ）43，则 CD （A ）1a 1b 2ab （B ） abCabDab3 333 5555【解析】因为 CD 平分 ACB ，由角平分线定理得AD= CA 2，所以 D 为 AB的DBCB 1三 等 分点 ， 且uuur2 uuur 2uuur uuur，所 以ADAB 3 (CB CA)uuur uuur uuur2 uuur 1 uuur 2 r 1 r3CD CA+ADCB CA a b ，选 B.3 3 3 3uuur r uuur r24. 【 10辽宁文数】平面上 O, A, B 三点不共线，设 OA a, OB b , 则 OAB 的面积等于（ A ） r 2 r 2 r r（B ） r 2 r2r r a b (a b)2 a b (a b) 2（ C ）1 r2 r 2r r 2（D ）1 r2 r 2r r 22a b(a b)a b(a b)2S1 r r r r 1 r r 2r r 1 r r OAB2 | a || b | sin a,b2 | a || b | 1 cosa,b 2 | a ||b | 1r r 2 ( a b) r 2 r 2| a | | b |1 r2 r 2r r 2 2 a b(a b)uuur uuur25.【 10 全国卷】△ ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 平分∠ ACB ，若 CB = a , CA =b ,a = 1 ，uuur2 b （ B ） 2 a + 1b（C ） 3 a + 4b （ D ）b = 2, 则 CD =（A ） 1a +4a + 3b 33335 555BDBC1uuur uuur uuur r r∵ CD 为 角 平 分 线 ， ∴ADAC 2 ， ∵AB CB CA a b ， ∴uuur 2 uuur 2r2ruuur uuur uuur r2r2r2r1rADABab CDCAADbabab3 33，∴333326. 【10 山东理数】定义平面向量之间的一种运算“re ”如下，对任意的 a=(m,n) ，r r rb （ p,q) ，令 a e b=mq-np ，下面说法错误的是（）r r r r r r r r A. 若 a 与 b 共线，则 ae b=0B. a e b=b e aC.对任意的 r r r rr r 2 r r 2 r 2 r2 R ，有（ a) e b= ( a e b) D. (a e b) +(ab) =|a| |b|r r r rr r pn-qm ，而 【解析】若 a 与 b 共线，则有 a e b=mq-np=0 ，故 A 正确；因为 b e a r r r r r r a e b=mq-np ，所以有 a e bbe a ，故选项 B 错误，故选 B 。
2011年高考数学试题分类汇编9——平面向量
九、平面向量一、选择题1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= A ．0 B ．BEC ．ADD ．CF【答案】D【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312AA A A λ=（λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||1[0,)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>⇔∈13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->⇔∈其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】A5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为（A ）12- （B ）1（C ）2（D ）2【答案】B6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b •+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D8.（广东理5）已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组22xyx⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。
全国卷2011-高考—平面向量试题带答案
新课标全国卷I 文科数学分类汇编5.平面向量(含解析)一、 选择题【2015, 2] 2.已知点A(0.1), B(3,2)，向MAC = (-4,-3),则向g ：BC = ()A. (-7,-4)B. (7.4)C. (-1,4)D. (1.4)【2014,6】设D,E,F 分别为MBC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB + FC = ()A. ADB. -~ADC. -BCD. ~BC 2 2 二、 填空题【2017, 13】已知向量& =(一1,2), /；=(〃?」)，若向量刁+方与&垂直，则m =.【2016, 13】设向= (x, X+l) , b = (L2),且〃丄方，则兀=・【2013, 13】已知两个单位向量“，b 的夹角为60。
，c=ta+(\-t)b.若b ・c=O,则尸 ___________ .【2012, 15】15.已知向量方，乙夹角为45。
，且帀1=1, 12方一力=应，贝ljl5l= ______________ . (2011, 13】已知“与方为两个不共线的单位向量，R 为实数，若向^a+b 与向萤ka-b 垂直，则k =.2011-2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4.平面向量一、选择题(2017-4)设非零向量0 b ,满足\a+b\=\a-b\则()A. “丄〃B. \a\=\b\C. a // bo. |a|>|Z»|(2015-4)向量a=(l, -I), M-b 2),则(2a +b)a=(A.-lB. 0C. 1 (2014-4)设向量ag 满足+比一方1=拆，则H-b=( )A ・1B ・2C ・3D ・5二、填空题 (2016-13)己知向虽 a=(fn /4)t b==(3厂2),且 a//b.则 m= ______________ ・(2013-14)已知正方形ABCD 的边长为2, E 为CD 的中点，则疋 丽= ________________ ・(2012-15)已知向量a, b 夹角为 45。
上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(7)平面向量
BCE Fy 上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编第7部分:平面向量一、选择题：2．(上海市十校2010-2011学年第二学期高三第二次联考理科)设(2,4),(1,1)a b ==r r，若()b a m b ⊥+⋅r r r，则实数m = -3 ．5、(上海市虹口区2010-2011学年第二学期高三教学质量测试理科)以O 为起点作向量a ，b ，终点分别为A 、B 2=a 5=b ，6-=⋅b a ，则AOB ∆的面积等于 4 ． 12. (上海市五校2011年联合教学调研理科已知函数y=f(x)的图像是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f(1-x)=f(1+x)，若向量)2,1(),1,(log 21-=-=m ，则满足不等式)1()(-<⋅f b a f 的实数m 的取值范围是 。
),8()21,0(+∞⋃7．(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)经过点(1,0)A 且法向量为(2,1)d =-u r的直线l 的方程为 . 220x y --=12．(上海市闵行区2011届高三下学期质量调研文科)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为1，E 为AB 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则OE OF ⋅u u u r u u u r的最大值为 .326、(上海市奉贤区2011年4月高三调研测试)已知||||2,a b a b ==r r r r 与的夹角为,3π则b 在a 上的投影为 18、(上海市徐汇区2011年4月高三学习诊断文科)已知直线l 经过点(5,0)-且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为 1 。
10. (上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)一长方形的四个顶点在直角坐标平面内的射影的坐标分别为(1,2),- (3,3), (3,5),-(1,6)，则此长方形的中心在此坐标平面内的射影的坐标是 ．(0,4)13．(上海市卢湾区2011年4月高考模拟理科)已知向量OA u u u r ，OB u u u r 的夹角为π3，||4OA =u u u r ，||1OB =u u u r ，若点M 在直线OB 上，则||OA OM -u u u r u u u u r的最小值为 ． 23三、解答题：21．(上海市十三校2011年高三第二次联考理科)（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设),(21a a a =，),(21b b b =，定义一种向量运算：),(2211b a b a b a =⊗，已知)2,21(a m =，)0,4(π=n ，点),(y x P 在函数x x g sin )(=的图象上运动，点Q 在函数)(x f y =的图象上运动，且满足n OP m OQ +⊗=（其中O 为坐标原点）。
2005-2011年高考分类汇编-数学平面向量
平面向量1、（广东理科卷）在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O ，E 是线段 OD 的中点， AE 的延伸线与CD 交于点 F ．若 ACa ， BDb ，则 AF （）1 12 1 b1 11 2 bA ． abB ． aC ． abD ． a34233243【分析 】本题属于中档题 .解题重点是利用平面几何知识得出DF:FC1: 2 ,而后利用向量的加减法例易得答案 B. 答案： B2、（广东文科卷）已知平面向量 a (1,2) ， b ( 2, m) ，且 a // b ，则 2a3b ＝（ ）A 、 ( 5, 10)B 、 ( 4, 8)C 、( 3, 6)D 、 (2, 4)【分析 】清除法 :横坐标为 2 ( 6)4答案： B3、（海南、宁夏卷）平面向量a ，b 共线的充要条件是（）A. a ， b 方向同样B. a ， b 两向量中起码有一个为零向量C.R ， baD. 存在不全为零的实数1，2，1a2b【分析 】若 a,b 均为零向量， 则明显切合题意， 且存在不全为零的实数 1 ,2,使得1a2b0 ；若 a 0 ，则由两向量共线知，存在 0，使得 ba ，即 ab0，切合题意，应选Ｄ答案： D4、（海南、宁夏理科卷）已知向量 a (0， 11)， ， b (4，1，0) ， a b29 且0 ，则．【分析 】由题意 a b = (4,1, )16(1)2229(0)3答案： 35、（海南、宁夏文科卷）已知平面向量a =（ 1，－ 3），b =（ 4，－ 2）， ab 与 a 垂直，则是（）A. －1B. 1C. －2D. 2【分析 】 a b4, 3 2 , a 1, 3,∴ a b a 43 32 0 ，即 10 10 01 ，选Ａ答案： A6、（江苏卷） a, b 的夹角为 1200 ， a 1, b3 ，则 5a b▲。
【分析】 本小题考察向量的线形运算。
2011年高考真题二：三角函数、解三角形、平面向量
专题二 三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．(2011年高考湖北卷)已知函数f ()x ＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f ()x ≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 2．(2011年高考重庆卷)已知向量a ＝()1，k ，b ＝()2，2，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．(2011年高考四川卷)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝()a ，b .从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则mn＝( )A.215B.15C.415D.134．(2011年高考山东卷)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32 C ．2 D ．35．(2011年高考浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．16．(2011年高考辽宁卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．127．(2011年高考陕西卷)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x i ＜1，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1]8．(2011年高考大纲全国卷)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.79．(2011年高考大纲全国卷)设函数f ()x ＝cos ωx ()ω>0，将y ＝f ()x 的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 10．(2011年高考湖北卷)若向量a ＝()1，2，b ＝()1，－1，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π4 11．(2011年高考重庆卷)若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.111612．(2011年高考课标全国卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 二、填空题13．(2011年高考大纲全国卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝__________. 14．(2011年高考课标全国卷)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.15．(2011年高考江苏卷)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x的值为________． 16．(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．17．(2011年高考安徽卷)设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交．以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．18．(2011年高考江西卷)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.19．(2011年高考上海卷)在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.20．(2011年高考重庆卷)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝__________. 21．(2011年高考福建卷)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b 等于________． 22．(2011年高考安徽卷)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．23．(2011年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.三、解答题24．(2011年高考四川卷)已知函数f ()x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . ()1求f ()x 的最小正周期和最小值；()2已知cos ()β－α＝45，cos ()β＋α＝－45，0<a <β≤π2，求证：[]f ()β2－2＝0.25．(2011年高考山东卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos Ccos B＝2c －a b .(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．26．(2011年高考湖南卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 ，a ，b ，c 满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．27．(2011年高考湖北卷)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b＝2，cos C ＝14.()1求△ABC 的周长； ()2求cos ()A －C 的值．28．(2011年高考重庆卷)设函数f ()x ＝sin x cos x －3cos ()π＋x cos x ()x ∈R . ()1求f ()x 的最小正周期；()2若函数y ＝f ()x 的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g ()x 的图象，求y ＝g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．29．(2011年高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值．专题二 三角函数、解三角形、平面向量一、选择题1．【解析】选B.∵f ()x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴f ()x ≥1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12， ∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z . 解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .2．【解析】选D.a ＋b ＝()1，k ＋()2，2＝()3，k ＋2. ∵a ＋b 与a 共线，∴k ＋2－3k ＝0，解得k ＝1.∴a ·b ＝()1，1·()2，2＝4. 3．【解析】选B.向量α的坐标有()2，1，()2，3，()2，5，()4，1，()4，3，()4，5，共6种情况，以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形共有C 26＝15个． 以a ，b 为邻边所作平行四边形的面积为 S ＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉＝|a ||b |1－cos 2〈a ，b 〉＝|a ||b | 1－()a ·b 2|a |2|b |2＝|a |2|b |2－()a ·b 2. 分别以a ＝()2，1，b ＝()4，1；a ＝()2，1，b ＝()4，3；a ＝()4，5，b ＝()2，3为邻边的平行四边形面积为2，故m ＝3，所以m n ＝315＝15.4．【解析】选B.∵y ＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由y ＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 5．【解析】选D.∵a cos A ＝b sin B ， ∴sin A cos A ＝sin B sin B ， 即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1. 6．【解析】选D.由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.7．【解析】选C.M ＝{y |y ＝|cos 2x |，x ∈R }＝{y |0≤y ≤1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x i ＜1＝{x ||－x i|＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，则M ∩N ＝[0,1)．8．【解析】选B.∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，∴|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝1＋4＋4×⎝⎛⎭⎫－12＝5－2＝3. ∴|a ＋2b |＝ 3.9．【解析】选C.由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6. 10．【解析】选C.2a ＋b ＝2()1，2＋()1，－1＝()3，3， a －b ＝()1，2－()1，－1＝()0，3， ()2a ＋b ·()a －b ＝9.|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3. 设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∴α＝π4.11．【解析】选D.由6sin A ＝4sin B ＝3 sin C 得sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 则由正弦定理知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4， 不妨设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ()k >0，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝()22＋42－32k 22×2k ×4k＝1116.12．【解析】选D.∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2cos 2x ， 当0<x <π2时，0<2x <π，故f (x )＝2cos 2x 在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减． 又当x ＝π2时，2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2＝－2，因此x ＝π2是y ＝f (x )的一条对称轴． 二、填空题13．【解析】∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴()2cos α2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 【答案】－5514．【解析】∵a 与b 是不共线的单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又k a －b 与a ＋b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0. ∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0.(θ为a 与b 的夹角) ∴(k －1)(1＋cos θ)＝0.又a 与b 不共线， ∴cos θ≠－1，∴k ＝1. 【答案】115．【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2得tan x ＝13，tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝12(1－tan 2x )＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132＝49. 【答案】4916．【解】法一：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.法二：设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 【答案】517．【解析】由f (x )≤⎪⎪⎪⎪f (π6)对一切x ∈R 恒成立知，直线x ＝π6是f (x )的对称轴． 又f (x )＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 的周期为π， ∴f ⎝⎛⎭⎫11π12＝f ⎝⎛⎭⎫π6＋3π4可看作x ＝π6的值加了34个周期， ∴f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0.故①正确． ∵7π10－2π3＝π30，π5－π6＝π30， ∴7π10和π5与对称轴的距离相等． ∴⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②不正确． ∵x ＝π6是对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2kx ，k ∈Z . ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，tan φ＝b a ＝13，∴a ＝3b .∴f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6或f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确．由以上知f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .f (x )＝2|b |sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z . 由于f (x )的解析式不确定，∴单调递增区间不确定，故④不正确． ∵f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a ，∴－a 2＋b 2≤f (x )≤a 2＋b 2.又∵ab ≠0，∴a ≠0，b ≠0. ∴－a 2＋b 2<b <a 2＋b 2，∴过点(a ，b )的直线必与函数f (x )的图象相交．故⑤不正确． 【答案】①③ 18．【解析】b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22.又因为e 1，e 2为单位向量，〈e 1，e 2〉＝π3，所以b 1·b 2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.【答案】－6 19．【解析】法一：如图，在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD ＝7，cos ∠BAD ＝32＋(7)2－122×3×7＝5714，∴AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|·cos ∠BAD ＝3×7×5714＝152.法二：∵AD →＝AB →＋BD →，∴AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD →＝|AB →|2＋|AB →||BD →|·cos 120°＝9＋3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝152. 【答案】15220．【解析】∵cos α＝－35且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＝－45，∴tan α＝43.【答案】4321．【解析】a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1. 【答案】1 22．【解析】由(a ＋2b )·(a －b )＝－6得a 2－2b 2＋a ·b ＝－6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴12－2×22＋1×2×cos 〈a ，b 〉＝－6，∴cos 〈a ，b 〉＝12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.【答案】π323．【解析】根据正弦定理应有a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.【答案】523三、解答题24．【解】(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.()2证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[]f ()β2－2＝4sin 2π4－2＝0.25．【解】(1)由正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B＝2sin C －sin A sin B，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ．因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2. 26．【解】(1)由正弦定理，得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0.从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，故C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12，所以当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2.综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12. 27．【解】()1∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.()2∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝ 1－⎝⎛⎭⎫142＝154. ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A＝ 1－⎝⎛⎭⎫1582＝78，∴cos ()A －C ＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.28．【解】()1f ()x ＝12sin 2x ＋3cos 2x＝12sin 2x ＋32()1＋cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 故f ()x 的最小正周期为T ＝2π2＝π.()2依题意g ()x ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g ()x 为增函数， 所以g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.29．【解】(1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos ⎝⎛⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218.。
2011年高考数学试题分类汇编(必修Ⅳ——向量)
2011年高考数学试题分类汇编（必修Ⅳ——向量）（一）选择题1、【08安徽理3】在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)A B =，(1,3)AC =,则AB =（ B ） A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）2、【08安徽文2】若(2,4)A B = ，(1,3)AC =, 则BC = （ B ） A ． （1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）3、【08广东文3】已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b + ＝（ B ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--4、【08湖北文1】设(1,2),(3,4),(3,2),(2)a b c a b c =-=-=+= 则（C ）A.(15,12)-B.0C.-3D.-115、【08湖南理7】设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,D C BD = 2,C E E A =2,AF FB =则AD BE CF ++ 与BC （A ）A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直6、【08辽宁理5】已知,,O A B 是平面上的三个点,直线A B 上有一点C ,满足2AC CB +=0 ,则O C等于(A ) A.2OA OB - B.2OA OB -+ C.2133O A O B - D.1233O A O B -+7、【08宁夏理8】平面向量a ，b 共线的充要条件是（ D ）A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．λ∈R ∃，λ=b aD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，12λλ+=0a b8、【08宁夏文5】已知平面向量(13)=-，a ，(42)=-，b ，λ+a b 与a 垂直， 则λ=（ A ） A ．1- B ．1C ．2-D ．29、【08全国Ⅰ理3】在A B C △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ A ） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c10、【08全国Ⅰ文5】在A B C △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD=（ A ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +11、【08浙江理9】已知，a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0--= a c b c ，则c 的最大值是（ C ） A ．1B ．2C ．2D ．22（二）填空题12、【08江苏5】b a ,的夹角为 120，1,3a b == ，则5a b -= 713、【08江西理13】直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段B C 的三等分点，则AE ·AF＝ 22 ．14、【08江西文16】如图，正六边形A B C D E F 中，有下列四个命题：A ．2AC AF BC +=B ．22AD AB AF =+C ．AC AD AD AB ⋅=⋅D ．()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅其中真命题的代号是 A,B,D （写出所有真命题的代号）15、【08北京文11】已知向量a 与b 的夹角为120 ，且4==a b ，那么 a b 的值为 -8 16、【08宁夏理13】已知向量(011)=-，，a ，(410)=，，b ，29λ+=a b 且0λ>，则λ= 3 ．17、【08全国Ⅱ理13】设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 2 ． 18、【08陕西理15】关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若 a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-．③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的序号为 ② ．（写出所有真命题的序号）19、【08上海理5】若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝ 720、【08天津文14】已知平面向量(24)=，a ，(12)=-，b ，若()=- c a a b b ，则=c 82 ．21、【08浙江理11】已知0a >，若平面内三点23(1)(2)(3)A a B a C a -，，，，，共线，则a = 12+22、【08浙江文16】已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围是 [0,1] 。
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_平面向量(word解析版)
2011 年高考试题数学（理科）平面向量一、选择题1. (2011 年高考山东卷理科 12) 设 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 是平面直角坐标系中两两不一样的四点，若A 1A 3A 1 A 2 ( λ ∈ R)， A 1 A 4 1 1A 1 A 2 ( μ ∈ R)，且 2 , 则称 A 3， A 4 调解切割A 1 ， A 2 , 已知点 C(c ， o),D(d ， O) (c ， d ∈ R)调解切割点 A(0 ， 0) ，B(1 ， 0) ，则下边说法正确的选项是(A)C 可能是线段 AB 的中点(B)D 可能是线段 AB 的中点(C)C ， D 可能同时在线段 AB 上(D) C ， D 不行能同时在线段 AB 的延伸线上【答案】 D【分析】由A 1 A 3A 1 A 2 ( λ ∈ R) ， A 1 A 4A 1A 2 ( μ ∈ R) 知: 四点 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 在同一条直线上 ,由于 C,D 调解切割点 A,B, 因此 A,B,C,D 四点在同向来线上, 且11 2, 应选 D.c d2. (2011 年高考全国新课标卷理科 10)若 a ， b ， c 均 为 单 位 向 量 ， 且 a b 0 ， (a c ) (b c ) 0 ，则 | a b c | 的最大值为（A ）21 （ B ）1（C ） 2（ D ）23. (2011 年高考全国新课标卷理科 10) 已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有以下四个命题P 1 : a b 10,2P 2 : a b 12 ,33P3 : a b 10,P4 : a b 1,334.(2011年高考四川卷理科3)若向量 a, b, c知足 a // b, 且a c,则 c (a2b)A ． 4B． 3C． 2D．0答案： D分析 : c (a 2b) c a c2b c a 2c b 0 0 0, 应选 D.5.(2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，BA CD EF=( )(A)0 (B)BE (C) AD (D) CF答案： D分析： BA CD EF DE CD EF CD DE EF CF .16. (2011 年高考全国卷理科12)设向量a、b、c知足|a|=|b|=1, a b =,，2a c,b c= 600，则c的最大值等于(A)2(B)3(c)2(D)1B【答案】 AACD【分析】如图，结构 AB a , AD b , ACc ,BAD 120 , BCD 60 ，因此 A, B, C, D 四点共圆，可知当线段 AC 为直径时，c 最大，最大值为2.7．(2011 年高考上海卷理科 17) 设 A 1, A 2 , A 3, A 4 , A 5 是空间中给定的5 个不一样的点，则使MA 1MA 2 MA 3 MA 4 MA 5 0 成立的点 M 的个数为（ ）A ． 0B ． 1C ．5D ． 10【答案】 B二、填空题 :1. (2011年高考浙江卷理科 14) 若平面向量 ， 知足1， 1 ，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为1，则与 的夹角的取值范围是。
2011年平面向量高考题及答案
第五章 平面向量【考试要求】（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．【考题】1、 （全国Ⅰ新卷文2）a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于（ ）A ．865 B ．865- C ．1665 D ．1665- 2、 （重庆卷理2）已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b •===，则2a b -=（ ）A ． 0B ．C ． 4D ． 83、 （重庆卷文3）若向量a=（3,m ）,b=（2,-1）,a·b=0,则实数m 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．2D ．6 4、 （安徽卷理3文3）设向量()1,0=a ，11,22⎛⎫=⎪⎝⎭b ，则下列结论中正确的是（ ）A ．=a bB ．2•=a b C ．-a b 与b 垂直 D ．a ∥b5、 （湖北卷理3）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =（ ）A ．－3 B ．3C ．－3D ．36、 （北京卷文4）若a,b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()f x xa b xb a =+⋅-是（ ）A ．一次函数且是奇函数B ．一次函数但不是奇函数C ．二次函数且是偶函数D ．二次函数但不是偶函数7、 （湖南卷理4）在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅等于（ ）A ．-16B ．-8C ．8D ．168、 （广东卷文5）若向量a=（1,1），b=（2,5），c =（3,x ）满足条件 （8a－b）·c=30，则x =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．39、 （四川卷理5文6）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（ ）A ．8B ．4C ． 2D ．110、（湖北卷理5文8）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511、（湖南卷文6）若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为（ ）A ． 300B ． 600C ． 1200D ． 1500 12、（北京卷理6）a ，b 为非零向量。
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_平面向量(word解析版)
2011年高考试题数学（理科）平面向量一、选择题1. (2011年高考山东卷理科12)设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d ∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C 可能是线段AB 的中点 (B)D 可能是线段AB 的中点 (C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D【解析】由1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)知:四点1A ，2A ，3A ，4A 在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112c d+=, 故选D. 2. (2011年高考全国新课标卷理科10)若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为（A ）12-（B ）1（C ）2（D ）23. (2011年高考全国新课标卷理科10)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦4. (2011年高考四川卷理科3)若向量=+⋅⊥)2(,,//,,则且满足 A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 答案：D.,00022)2(:D 故选解析=+=⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅5. (2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=( )(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案：D解析：BA CD EF DE CD EF CD DE EF CF ++=++=++=.6. (2011年高考全国卷理科12)设向量a b c 、、满足|a |=|b |=1, a b ⋅1=2-,，,a c b c <-->=060，则c 的最大值等于(A)2(D)1 【答案】A【解析】如图，构造AB =a , AD =b , AC = c ,120,60BAD BCD ∠=∠=，所以,,,A B C D 四点共圆，可知当线段AC 为直径时，c 最大，最大值为2.7．(2011年高考上海卷理科17)设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．5D ．10【答案】B 二、填空题:1. (2011年高考浙江卷理科14)若平面向量α，β满足1α=，1β≤，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 。
全国卷2011-2017高考—平面向量试题带答案
5.平面向量(含解析)、选择题uuur umr【2015，2】2 •已知点A(0,1), B(3,2)，向量AC ( 4, 3)，则向量BC ( )A • (-7,-4)B • (7,4) C. (-1,4) D • (1,4)【2014, 6】设D.E.F分别为A ABC的三边BC,CAAB的中点，贝U EB FC ( )一 1 一1 —A. ADB. — ADC. — BCD. BC2 2:■、填空题【2017, 13】已知向量a 1,2 , br m,1，若向量a b与a垂直，则m _______________【2016, 13】设向量a = x, x 1 , b = 1,2，且a b，则x ___________________ .【2013，13】已知两个单位向量a，b的夹角为60° c = ta + (1 —t)b.若b c= 0，则t= ___________ 【2012，15】15.已知向量a，b 夹角为45° 且|；| 1，|2； b| J10，则|b| ______________ 【2011,13】已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a b与向量ka b垂直,2011 —2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4.平面向量-、选择题(2017 4)设非零向量a, b，满足a+b = a - b贝9()A. a 丄bB. a = bC. a // bD. a b(2015 4)向量a = (1 , -1), b = (-1, 2)，则(2a +b) a =( )A. -1B. 0C. 1D. 2(2014 4)设向量a,b 满足|a b | 10 , |a b| .. 6，则a b ( )A . 1B . 2C . 3D . 5:■、填空题(201613)已知向量a=(m,4), b=(3,-2)，且a // b，贝U m= ___________ .uiu uur(2013 14)已知正方形ABCD的边长为2, E为CD的中点，贝U AE BD ____________ .(2012 15)已知向量a, b 夹角为45o,且|a|=1, |2a b|=..f0，则|b|= ______ .(2011 13)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直,k= ____5.平面向量（解析版）、选择题二、填空题22 2 解析：-.由题意a b x 2 x 1 0，解得x -.故填 -. 33 3 【2013, 13】已知两个单位向量 a , b 的夹角为60° c = ta + (1 — t)b .若b c = 0，则t= _________1 1 解析：2 . T b c= 0, |a|= |b|= 1,〈 a , b 〉= 60°, — a b = 1 1 — — 2 2 '1 ••• b c= [ta + (1 — t)b] b = 0，即 ta b + (1 — t)b2 = 0 .二一t + 1—1= 0 /. t = 2 2 r r r r r _ r 【2012, 15】15.已知向量 a , b 夹角为 45° 且 |a| 1, |2a b| ，则 |b| ____________________因为 |2a b| .10，所以 4|a|2 4a b |b|2 10，即 |b|2 2 2|b|6 0 ,解得 |b| 3 2 .【2011,13】已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b 与向量ka b 垂直，则k【解析】因为a 与b 为两个不共线的单位向量，所以 |a b 1.又ka b 与a b 垂直，所以 a b ka b 0,2 2即 ka ka b a b b 0,所以 k 1 ka b a b 0,即k 1 kcos cos 0 .(为a 与b 的夹角)所以k 1 1 cos 0,又a 与b 不共线，所以cos 1，所以k 1 .故答案为1.2011 — 2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4.平面向量（解析版）、选择题【2015， 2】 解: uuu Q AB (3,1), uuu uuur BC AC uuu AB =(-7,-4)，故选【2014， 6】 解: uu u EB um r FC uu u EC uuu uur CB+FB uuu 1 uur BC =— AC 2 1 uur — AB2 1 uur uun uur -(AB AC) AD,故选 A 【2017, 13】已知向量1,2 ，b m,1，若向量 a b 与a 垂直，则m 【解析】 由题得 a b (m 1,3），因为（a b ） a 0，所以（m 1） 2 30，解得 m 7 ； 【2016， 13】 设向量a = x, x1 ， b = 1,2，且 a b ，则 x【解析】3 2 . 由已知 a b | a | | b | cos45 |b| .r r r r r 2 rr r 2 r 2 rr r 2 rrr r(2017 4) A 解析：由 |a b| |a b| 平方得(a)2 2ab (b)2 (a)2 2ab (b)2，即 ab 0,则 a b , 故选A.(2015 4) C 解析：由题意可得 a 2=2, a b=-3,所以(2a+b) a=2a 2+a b=4-3=1.(2014 4) A 解析：Q|a b| ,.10,Qa 2 b 2 2ab 10.Q|S! b| ,6, a 2 b 2 2ab 6.两式相减， 则ab i.:■、填空题 (2016 13) (2013 14) -6解析：因为a // b ，所以 uuu AE 2解析：在正方形中, 3 0, uuu uuiu DC) 2m 4 uuiu 1 AD DC , 2 uuu? AD 解得 uuu BD m uir BA 6 • uuu AD uuu AD uuu DC ，所以 uuu uuu uuiu 1 uuu uuiu AE BD (AD DC) (AD (2012 15) 3 . 2 解析：T |2a b|= ,10 , |b|=3 2 或 2 (舍)(2011 13) k = 1 解析：(a+b) (ka-b)=0 展开易得 平方得 1 uuu? -DC 2 4a 2 4a 1 2b+ b 22222 2. 10 ,即 |b |2 2 | b | 6 0,解得 k=1.。
2011高考数学平面向量集锦
2011高考数学平面向量集锦一、填空题1．（安徽）13．在四面体O A B C -中，O A O B O C D === ，，，a b c 为B C 的中点，E 为A D 的中点，则O E =111244++a b c（用，，a b c 表示）．2．（北京）11．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是3-3．（北京）12．在A B C △中，若1tan 3A =，150C = ，1B C =，则A B = 1024．（广东）10.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ 21.5．（湖南）12．在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =7，3c =，则B = 5π6 ．6．（湖南文）12．在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，3c =，π3C =，则A = π6 ．7．（江西）15．如图，在A B C △中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线A B ，A C 于不同的两点M N ，，若AB m AM = ，AC n AN =，则m n +的值为 2 ． 8．（江西文）13．在平面直角坐标系中，正方形O A B C 的对角线O B 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =1．9．（陕西）15.如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°，OAOA +μOB （λ，μ∈R ）,与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λ则λ+μ的值为 6 .10．（天津）15．如图，在A B C △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边B C 上一点，2D C B D =，则A D B C =·83- ．11．（天津文）（15）在A B C △中，2A B =，3A C =，D 是边B C 的中点，则AD BC =52．12．（重庆文）（13）在△ABC 中，AB =1,B C =2,B =60°，则AC ＝3。
2011届高考数学复习精编单元测试题—平面向量与解三角形
平面向量与解三角形第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法中正确的是 （ ） A ．共面向量就是向量所在的直线在同一平面内； B ．长度相等的向量叫做相等向量； C ．零向量的长度为零； D ．共线向量的夹角为00．2．已知a )1,(x =，b )2,3(-=x ，则a·b 0<的解集是 （ ）A ．1(,)2-∞-B ．1(,)2-+∞C ．1(,)2-∞D ．1(,)2+∞3．如果a=(1,x )，b=(-1,3)，且（2a+b ）∥（a -2b ），则x = （ ） A ．－3B ．3C ．13-D ．134．已知a )1,2(=，b ),3(x =，若（2a -b ）⊥b ，则x 的值为 （ ） A ．1-B ．3C ．1或3D ．1-或35．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222（ ） A ．030B ．060C ．0120D ．01506．e 1、e 2是平面内不共线的两向量，已知=AB e 1-ke 2，=CB 2e 1+e 2，=CD 3e 1-e 2，若DB A ,,三点共线，则k的值是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为（ ）A ．10B ．20C ．－10D ．208．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A = （ ）A ．030B ．060C ．0015030或D ．060120或9．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 10．下列说法中错误的是 （ ） ①0=⋅b a ，则0a =或0b =；②c)a(b b)c (a ⋅=⋅；③222q)(p q p ⋅=⋅.A ．①、②B ．①、③C ．②、③D ．①、②、③11．在△ABC 中，若∠C =60°，则ca bc b a +++= （ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成060角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为（ ）A. 6 B ．2C ．25D ．27第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上． 13．向量),(43-=a ,则与a 平行的单位向量的坐标为 ．14．设p = (2,7)，q = (x ,-3)，若p 与q 的夹角)2,0[πθ∈，则x 的取值范围是 .15．以原点O 及点A （5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使90=∠A ，则AB 的坐标为 .16．地面上画了一个60︒的角∠BDA ，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米，正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点就记为点B ，则B 与D 之间的距离为 米.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .18．（本小题满分12分）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，(13)2c b +=．（1）求C ；（2）若13CB CA ⋅=+，求a ,b ，c ． 19．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形AOB 中，AC 、BD 为中线，求AC 与BD 夹角θ的余弦值．20．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 是直线l 上的不同三点，O 是l 外一点，向量,,OA OB OC 满足23(1)(ln )2OA x OB x y OC =+--，记()y f x =；（1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调区间．21．（本小题满分12分） 已知△ABC 中，（a －c ）（sin A +sin C ）=（a －b ）sin B ，（1）求∠C ； （2）若△ABC 的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．22．（本小题满分14分）已知向量m ＝（sin4x ，cos 4x ），n ＝(3cos 4x ，cos 4x )，记f(x)=m •n ；（1）若f(x)=1,求cos()3x π+的值；（2）若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c ，且满足（2a-c ）cosB=bcosC ，求函数f(A)的取值范围．参考答案一、选择题1．C ；解析：共面向量就是平行向量，故A 是错的；相等向量是指长度相等且方向相同的向量，故B 是错的；根据共线向量的概念知共线向量的夹角为0°或180°，故D 是错的； ∴正确的只有C ．2．C ；解析：∵a·b 02423<-=-+=x x x ， ∴a·b 0<的解集是}21|{<x x .3．A ；解析：∵2a+b=(1,2x+3)，a -2b=(3,x -6)；又2a+b ∥a -2b ，∴1×(x -6)-(2x+3)×3=0，解得x= -3． 4．D ；解析：由a )1,2(=，b ),3(x =，得2a -b )2,1(x -=；∵2a -b ⊥b ， ∴（2a -b ）·b=0，即0)2(31=⋅-+⨯x x ，解得=x 13-或．5. C ；解析：22201cos ,12022b c a A A bc +-==-=． 6． B ；解析：∵D B A ,,三点共线， ∴AB 与BD 共线， ∴存在实数λ，使得AB BD λ=；∵=-=CB CD BD 3e 1 -e 2 -（2e 1+e 2）= e 1 -2e 2， ∴e 1-ke 2(λ=e 1 -2e 2)，∵e 1、e 2是平面内不共线的两向量， ∴⎩⎨⎧-=-=,2,1λλk 解得2=k .7． D ；解析：由题意可知CA BC 与的夹角为︒=-=-12060180180000C ,∴CA BC ⋅=202185120cos 0-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅⋅CA BC . 8．C ；解析：012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302b a B B A B A A ====或0150． 9．B；解析：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=∴+=；∴sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-=； ∴cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+=； ∴cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π=；∴△ABC 是直角三角形．10．D ；解析：∵b a ⊥时, 0=⋅b a ,∴当0=⋅b a 时不能得出0a =或0b =；∴①是错误的.∵b a ⋅是数量,所以b)c (a ⋅为一个向量,并且此向量与c 共线；虽然c)a(b ⋅也是一个向量,但它与a 共线；∴b)c (a ⋅不一定与c)a(b ⋅相等；∴②是错误的.∵22q p q p ||||22⋅=⋅，θ22cos ||||)(22q p q p =⋅（θ为p 与q 的夹角）； ∴当且仅当p//q 时, 222q)(p q p ⋅=⋅才成立；∴③是错误的. ∴本题三种说法均不正确.11．A ；解析：c a b c b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22=222c bc ac ab bc ac b a ++++++（*）， ∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab ，∴a 2+b 2=ab +c 2，代入（*）式得222cbc ac ab bc ac b a ++++++=112．D ；解析：28)60180cos(20021222123=--+=F F F F F ，所以723=F .二、填空题13．)54,53(),54,53(--；解析：因为|a |=54322=+-)(,故所求的单位向量为),(),(54534351-±=-±=±|a |a ． 14．(221,+∞)； 解析： p 与q 的夹角)2,0[πθ∈⇔ p•q>0⇔2x -21>0⇔221>x ，即x ∈(221,+∞).15．（-2，5）或（2，-5）；解析：设),(y x AB =，则由222225||||y x AB OA +=+⇒=…………①，而又由AB OA ⊥得025=+y x …………②，由①②联立得5,25,2=-=-==y x y x 或.），（－或52)5,2(-=∴AB . 16．16；解析：记拐弯处为点A ，则已知即为△ABD 中，AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒；设BD=x ，则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222， 即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ，整理得096102=--x x ， 解得161=x ，62-=x （舍去）；∴BD=16．三、解答题17．解：（1）∵b －2c (sin 2cos ,4cos 8sin )ββββ=-+，且a 与b －2c 垂直， ∴4cos (sin 2cos )sin (4cos 8sin )0αββαββ-++=，即sin cos cos sin 2(cos cos sin sin )αβαβαβαβ+=-，∴sin()2cos()αβαβ+=+， ∴tan()2αβ+=. （…………4分） （2）∵b+c (sin cos ,4cos 4sin )ββββ=+-，∴︱b+c ︱22(sin cos )(4cos 4sin )ββββ=++-12sin cos 1632cos sin 1715sin 2βββββ=++-=-，∴当sin 21β=-时，︱b+c ︱取最大值，且最大值为3242=. （ (8)分）（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβαβ⋅=，即s i n s i n1αβαβ=， ∴(4cos )(4cos )sin sin αβαβ⋅=，即a (4cos ,sin )αα=与b (sin ,4cos )ββ=共线，∴a ∥b.（…………12分）18．解：（1）由(13)2c b += 得 13sin 22sin b Bc C=+=， 则有55sin()sincos cos sin 666sin sin C C CCCππππ---==13132tan 222C +=+， 解得tan 1C =， 即4C π=. （…………6分）（2） 由13CB CA ⋅=+ 推出 cos 13ab C =+ ；而4C π=,∴2132ab =+, 则有 2132(13)2sin sin ab c b a cA C⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩， 解得 2132a b c ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩. （……12分）19．解：如图，分别以等腰直角三角形AOB 的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设()()a B a A 2,0,0,2，则()()a C a D ,0,0,，（0a >）；（……3分） ∴()()a a BD a a AC 2,,,2-=-=, （…………6分） ∵AC 与BD 的夹角为θ， ∴()()aa a a a a BDAC BD AC 552,,2cos ⋅-⋅-=⋅=θ=545422-=-a a ，即AC 与BD 夹角θ的余弦值为45-． （…………12分） 20．解:（1）∵23(1)(ln )2OA x OB x y OC =+-- ，且A 、B 、C 是直线l 上的不同三点，∴23(1)(ln )12x x y ++-=， ∴23ln 2y x x =+； （…………6分） （2）∵23()ln 2f x x x =+，∴2131()3x f x x x x +'=+=，（…………8分）∵23()ln 2f x x x =+的定义域为(0,)+∞，而231()x f x x +'=在(0,)+∞上恒正，∴()y f x =在(0,)+∞上为增函数，即()y f x =的单调增区间为(0,)+∞．（……12分） 21．解：（1）由（a －c ）（sin A +sin C ）=（a －b ）sin B ，得（a －c ）（a +c ）=（a －b ）b ，∴a 2－c 2=ab －b 2，∴a 2+b 2－c 2=ab ，∴cos C =ab c b a 2222-+=21（ (4)分）又∵0°＜C ＜180°，∴C =60° （…………6分）（2）S =21ab sin C =21×23ab =43sin A sin B =43sin A sin （120°－A ） =43sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ）=6sin A cos A +23sin 2A=3sin2A －3cos2A +3=23sin （2A －30°）+3 （…………10分） ∴当2A =120°，即A =60°时，S max =33 （…………12分）22．解：（1）f(x)=m •n=23sincos cos 444x x x +=311sin cos 22222x x ++=1sin()262x π++， ∵f(x)=1， ∴1sin()262x π+=， （…………4分） ∴2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12． （…………6分） （2）∵（2a-c ）cosB=bcosC ，∴由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=，∴2sin cos sin()A B B C =+，∵A B C π++=，∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠，∴1cos ,23B B π== ∴1cos ,23B B π==； （…………10分）∴23Aπ<<，∴1,sin()16262226A Aππππ<+<<+<∴1,sin()16262226A Aππππ<+<<+<；又∵f(x)＝1sin()262xπ++，∴f(A)=1sin()262Aπ++，（…………12分）故函数f(A)的取值范围是（1,32）．（…………14分）。
2011年高考数学高频考点5、平面向量
2021年高考数学高频考点5、平面向量命题动向平面向量主要包括：平面向量的概念、平面向量的加减运算、平面向量的根本定理及坐标运算、数量积及非零向量的平行与垂直等．平面向量的加减运算将平面向量与平面几何联系起来；平面向量的根本定理是平面向量坐标表示的根底，它提醒了平面向量的根本构造；平面向量的坐标运算，将平面向量的运算代数化，实现了数与形的严密结合．平面向量来源于实践，又应用于实际，是高中数学中的知识工具，应该给予重视．本局部内容在高考中的命题热点是：向量加减法的坐标运算；向量加减法的几何表示；实数与向量的数乘的根本运算；实数与向量积的坐标运算．押猜题9ABC ∆的外接圆的圆心为O ，且,3,4ππ==B A 那么、OB OA ⋅、OC OB ⋅ OA OC ⋅的大小关系是〔 〕 A ．⋅<⋅<⋅ B ．⋅<⋅<⋅ C ．⋅<⋅<⋅ D ．⋅<⋅<⋅ 解析 设ABC ∆的外接圆的半径为R ， 那么,2cos ,2cos 22A R OC OB C R OB OA =⋅=⋅.2cos 2B R =⋅由得,2π<<<C B A 所以,sin sin sin 0C B A <<< 所以,sin 21sin 21sin 21222C B A ->->-即,2cos 2cos 2cos C B A >>所以.OB OA OA OC OC OB ⋅>⋅>⋅应选D.点评 涉及三角形中的向量的数量积问题，常常可以考虑利用向量的数量积的定义、正弦定理、余弦定理来解决. 押猜题10 向量),0,1(),1,1(==满足0=⋅ca且.0>⋅=假设映射,),(),(:y x y x y x f +=''→那么在映射f 下，向量)sin ,(cos θθ〔其中)R ∈θ的原象的模为________.解析 设),,(n m =那么由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧>=+=+.0,2,022m n m n m 解得).1,1(,1,1-=∴⎩⎨⎧-==n m),1,1()1,1()sin ,(cos -+=y x θθ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧=-=+∴).sin (cos 21),cos (sin 21.sin ,cos θθθθθθy x y x y x .22])sin (cos )cos [(sin 412222=-++=+∴θθθθy x 故应填.22 点评 此题考察平面向量的坐标运算和三角变换的根本技能，其中映射的参与使此题显得新颖别致，韵味十足.。
2011—2020年新课标全国卷高考数学试卷分类汇编—平面向量(含解析)
2011—2020年新课标全国卷高考数学试卷分类汇编—平面向量（含全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷，共 8 套全国卷）一、选择题1、( 20 20 ·全国卷Ⅱ，文 5 ) 已知单位向量 a ， b 的夹角为 60°，则在下列向量中，与 b 垂直的是（）A ． a +2 bB ． 2 a + bC ． a –2 bD ． 2 a – b2、(20 20 ·新高考Ⅰ， 7 ) 已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则的取值范用是（）A ．B ．C ．D ．3、 (20 20 ·全国卷Ⅲ，理 5 ) 已知向量 a ， b 满足，，，则（）A ．B ．C ．D ．4、(2019·全国卷Ⅰ，理 7 ) 已知非零向量 a ， b 满足，且b ，则 a 与 b 的夹角为（）A ．B ．C ．D ．5、( 2019 ·全国卷Ⅰ，文 8 ) 已知非零向量 a ， b 满足 = 2 ，且（ a - b ） b ，则 a 与 b 的夹角为（）A ．B ．C ．D ．6、 (2019·全国卷Ⅱ，理 3 ) 已知，，，则 = （）A ．B ．C ． 2D ． 37、( 2019 ·全国卷Ⅱ，文3 ) 已知向量，则（）A ．B ． 2C ． 5D ． 508、 (2018·新课标Ⅰ，理 6) 在中，为边上的中线，为的中点，则（）A ．B ．C ．D ．9、(2018·新课标Ⅰ，文 7 ) 在中，为边上的中线，为的中点，则（）A ．B ．C ．D ．10、（ 201 8 ·新课标Ⅱ，理 4 ）已知向量，满足，，，则（）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 011、(2018·新课标Ⅱ，文 4 ) 已知向量，满足，，则（）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 012、（ 2017 ·新课标Ⅱ， 1 2 理）已知是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则的最小值是（）A. B. C. D.13、（ 201 7 ·新课标Ⅱ，文 4 ）设非零向量，满足则（）A ．⊥ B. C. ∥ D.14、（ 2017 ·新课标Ⅲ， 12 ）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）A ． 3B ．C .D ． 215、（ 2016·新课标Ⅱ， 3 ）已知向量，且，则 m = （）A ． -8B ． -6C ． 6D ． 816、（ 2016·新课标Ⅲ， 3 理，文 3 ）已知向量，，则（）A ．B ．C ．D ．17、（ 201 5 ·新课标Ⅰ， 7 理）设为所在平面内一点，则（）A ．B ．C ．D ．18、(201 5 ·新课标Ⅰ，文 2 ) 已知点 A (0,1) ， B (3,2) ，向量，则向量 ( )A ． (-7,-4)B ． (7,4)C ． (-1,4)D ． (1,4)19、（ 201 5 ·新课标Ⅱ，文 4 ）向量 a = (1 ， - 1) ， b = ( - 1 ， 2) ，则 ( 2a +b ) · a = （）A. - 1B. 0C. 1D. 220、(201 4 ·新课标Ⅰ，文 6 ) 设 D , E , F 分别为Δ ABC 的三边 BC , CA , AB 的中点，则( )A ．B ．C ．D ．21、（ 2014·新课标Ⅱ， 3 理）设向量满足，，则 = （）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 522、（ 201 4 ·新课标Ⅱ，文 4 ）设向量满足，，则（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 5。
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2011年高考数学试题分类汇编9——平面向
量
九、平面向量
一、选择题
1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++
=
A ．0
B ．BE
C ．AD
D ．CF
【答案】D
【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=
2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A
A A A λ=
（λ∈R ），1412A
A A A μ= （μ∈R ），且1
1
2
λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知
平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D
3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
12:||1[0,
)3p a b πθ+>⇔∈ 22:||1(,]3p a b π
θπ+>⇔∈
13:||1[0,)3p a b πθ->⇔∈ 4:||1(,]3p a b π
θπ->⇔∈
其中真命题是
（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A
4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =1
2-
，,a c b c --=060，则
c 的最大值等于 A ．2
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】A
5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则|
|c b a -+的最大值为
（A ）12- （B ）1
（C ）2
（D ）2
【答案】B
6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式
1x y +≤，
则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】
D
7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D
8.（广东理5）已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ⎧≤≤⎪
≤⎨⎪
≤⎩给定。
若
(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA =⋅
的最大值为C
A ．42
B ．32
C ．4
D ．3
【答案】
9.（福建理8）已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域21y 2
x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上
的一个动点，则OA ·OM
的取值范围是
A ．[-1．0]
B ．[0．1]
C ．[0．2]
D ．[-1．2]
【答案】C 二、填空题
10.（重庆理12）已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则122e e -=__________ 【答案】3
11.（浙江理14）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的
平行四边形的面积为1
2，则α与β的夹角θ的取值范围是 。
【答案】5[,]
66ππ
12.（天津理14）已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,0
90ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是
腰DC 上的动点，则3PA PB
+ 的最小值为____________.
【答案】5
13.（上海理11）在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则
A B A D ⋅= 。
【答案】152
14.（江苏10）已知→
→
21,e e 是夹角为π
32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若
0=⋅→
→b a ，则k 的值为 .
【答案】45
15.（安徽理13）已知向量,a b 满足()()a b a b +2⋅-=-6，且1a =，2b =，
则a 与b 的夹角为 .
【答案】3π
16.（北京理10）已知向量a =（3，1），b =（0，-1），c =（k ，3）。
若a -2b 与c 共线，
则k=__________。
【答案】1
17.（湖南理14）在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE ==
则
AD BE ⋅=
__________________．
【答案】14-
18.（江西理11）已知2a b == ,(2)
a b + ·a b - （）=-2，则a 与b 的夹角为
【答案】3π。