商的变化规律和商不变的规律
商的变化规律的口诀三条
商的变化规律的口诀三条
（1）被除数扩大（缩小）n倍，除数不变，商也相应的扩大（缩小）n倍。
（2）除数扩大（缩小）n倍，被除数不变，商相应的缩小（扩大）n 倍。
（3）被除数与除数同乘以来自或同除以一个数（零除外360问答），商不变。
扩展资料：
积的变化规律是指因数的变化所引起的积的变化。
（1）如一个因数扩大n倍，另一个因数不变，则积也扩大n倍。
（2）一个因数扩大n倍，另一个因数缩小n倍，则积不变。
除法运算肥天裂性质
（1）若某数除以(或乘)一个数，又乘(或除以)同一个数，则这个数
不变。
例如：68÷17×17=68(或68×17÷1绿钱规云歌投建以玉7=68)。
（2）一个数除以几个数的积兴得乡讲从养属得都花你，可以用这个
数依次除以积里的各个因数。
例如：320÷(2×5×8)=320÷2÷5÷8=4。
（3）几个数的积除以一个数，可以让积里的任何一致段机个因数除
以这个数，再与光其他的因数相乘。
例如：8×管苦洲视联72X4÷9=72÷9×8×4=256。
商不变的性质和积不变的性质
商不变的性质和积不变的性质－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－积和商的“变与不变”规律㈠、积的变化规律：⑴、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以）几。
字母表示：如果a×b=c ，则(a×3)×b=c×3举例：a×b=12 如果(a×3)则积就是12×3=36.⑴、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；⑴、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
㈡、积不变规律：一个因数乘（或除以）几，另一个因数相应的除以(或乘)几，积不变。
字母表示：如果a×b=c 则（a×5）×（b÷5）=c㈢、商的变化规律：⑴被除数不变，除数乘几商就除以几，除数除以几商就乘几。
字母表示：如果a÷b=c ，则a÷（b×3）=c÷3举例：a÷b=12 如果(b×3)则商就是12÷3=4⑴除数不变，被除数乘商就相应的乘几，被除数除以几商就除以几。
字母表示：如果a÷b=c ，则(a×3)÷b=c×3举例：a÷b=12 如果(a×3)则商就是12×3=36.被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。
㈣、商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。
定义、符号、缩感谢阅读，欢迎大家下载使用！。
商的变化规律和商不变的规律
从下往上观察：
6 ÷ 3 =2 ↑÷10 ↑÷10 ↑ 不变 60 ÷ 30 = 2 ↑÷10 ↑÷10 ↑ 不变 600 ÷ 300 = 2 ↑÷10 ↑÷10 ↑ 不变 6000 ÷ 3000 = 2
被除数和除数都除 以一个相同的数， 商不变。
这个规律也同样适用吗 ？
2.从下往上观察：被除数和除数 怎样变化？商呢？你发现了什么规律 ？
3.试举例验证你的规律。
从上往下观察：
6 ÷ 3=2 ↓×10 ↓×10 ↓不 变 60 ÷ 30 = 2 ↓×10 ↓×10 ↓不 变 600 ÷ 300 = 2 ↓×10 ↓×10 ↓不 变 6000 ÷ 3000 = 2
变 ）商不变。
8
被除数（乘25 ），除数乘25，商不变。
24÷8=3那么2400÷3003=（ ）。
34÷2=17那么68÷4（ ）=17
判一判
被除数和除数同时乘6，商不变。√（ ）被除数和除数同时乘或除以一个数，商不 变。×（ ） 50÷10=（50×4）÷（10×2×） （ ）
20÷4=（20＋4）÷（4+4）×（ ）
人教版四年级上册
商不变的规 律
王万梅
悟空西天取经回来悟后空，分给桃孩儿们
带来了礼物——桃子，分桃子时，悟 空说“把6个桃子平均分给3只猴子吧 !”孩儿们连连摇头“太少了!太少了 !”孙悟空就说“那好吧，把60个桃子 平均分给30只猴子，怎么样？”小猴
们还是不情愿，孙悟空就说“干脆把 600个桃子平均分给300只猴子吧？”
你会变吗？
3900÷300= 3000÷600=
480÷40= 910÷70=
质疑再探：
通过本节课的学习， 你还有什么不明白的地方 或者又产生了哪些新的疑 问？请提出来，大家一起 解决。
商的变化规律和商不变的规律
商的变化规律和商不变的规律教学内容：教材第93页例5教学目标：1.通过计算、观察、比较、探索，让学生发现商的变化规律；2.培养学生用数学语言表达数学结论的能力。
3.培养学生学以致用的良好习惯。
教学重难点：通过观察比较、探索，发现商的变化规律。
教具准备：小黑板、规律三条教学过程：一、复习导入1、根据42×15=630，口算下列算式的积42×150=42×5=21×30=集体订正，并让学生说一说是用什么方法口算的。
（引导学生回忆积的变化规律）2、导入：师：刚才同学们利用积的变化规律很快进行了口算，积有这样的变化规律可以帮助我们快速做题，那么商有没有变化规律呢？这节课我们就一起来探讨商的变化规律。
（板书：商的变化规律）师：谁能大胆地猜想一下商会有什么样的变化规律呢？生：师：你们的猜想对不对呢？请跟我一起来探究。
二、探究商的变化规律1、被除数不变时，商的变化规律200÷2=200÷20=200÷40=师引导：仔细观察三个算式，a、哪个数没有变化？b、什么数发生了变化?c、是怎样变化的？试着用语言描述一下（注：请同学们从上往下比较，再从下往上比较，除数和商是怎样有规律变化的？）师：谁能够把他们两组的发现，用精练、准确的语言总结成一条规律呢？学生尝试回答，师引导总结出规律1：被除数不变，除数扩大（缩小）几倍，商反而会缩小（扩大）相同的倍数。
我们一起读一读这条规律。
背２、除数不变时，商的变化规律这组算式里同样藏着很有价值的数学规律，下面我们带着问题来观察讨论。
16÷8=160÷8=320÷8=同桌之间互相讨论：什么数没有变化？什么数有变化？它们的变化规律是什么？大家讨论一下。
反馈总结：引导学生从上往下或者从下往上说清楚。
除数不变，被除数怎么变化。
商会怎么变化？总结得出规律2：除数不变，被除数扩大（缩小）几倍，商也扩大（缩小）相同的倍数。
商的变化规律和商不变的规律
注意事项：使用商的变化规律时，需要注意被除数和除数扩大的倍数必须相同；而商不 变规律中，除数不能为0，否则会导致分母为0的情况，不符合数学规则
商的变化规律和商不变规律的适用范围
商的变化规律 适用于除数不 为0的情况，被 除数和除数同 时乘或除以相 同的数（0除 外），商不变。
商不变规律是指被除数和除数同时乘或除以同一个不 为零的数，商不变。
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数学表达式为：a ÷ b = (a × k) ÷ (b × k) 或 a ÷ b = (a ÷ k) ÷ (b ÷ k)，其中 a、b、k 均 为正数。
单击此处添加项标题
商不变规律是数学中一个重要的定理，它在除法、分 数、比等数学概念中有广泛应用。
商不变规律的证明方法
证明方法一：利 用除法的定义进 行证明
证明方法二：利 用商的性质进行 证明
证明方法三：利 用代数恒等式进 行证明
证明方法四：利 用几何图形进行 证明
01
商的变化规律和商不变规律的对比
商的变化规律和商不变规律的异同点
相同点：两者都是描述除法运算中商的变化情况
不同点：商的变化规律是指被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变；而商不 变的规律是指除数不能为0，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变
当除数扩大若干倍时，商也扩大相同的倍数 当除数缩小若干倍时，商也缩小相同的倍数 除数不为0，当除数扩大或缩小若干倍时，商也相应地扩大或缩小相同的倍数 商随被除数的变化而变化，当被除数扩大或缩小若干倍时，商也扩大或缩小相同的倍数
商的变化规律在实际中的应用
商的变化规律知识总结
1、被除数÷除数＝商……余数
被除数＝除数×商＋余数
除数＝（被除数－余数）÷商
商＝（被除数－余数）÷除数
余数＝被除数－除数×商
2、被除数前两位<除数时，商是一位数，
被除数前两位≧除数时，商是两位数。
3、商的变化规律：
（1）、在除法算式中，被除数不变，除数
乘以（或除以）几（0除外），商反而要除
以（或乘以）相同的数。
（2）、在除法算式中，除数不变，被除数
乘以（或除以）几（0除外），商也要乘以（或除以）相同的数。
简便记法：除数与商的变化方向相反，被
除数与商的变化相同。
（3）、在除法算式中，被除数和除数同时
乘以（或除以）相同的数（0除外），商不变。
这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。
6第六讲 商的变化规律
商的变化规律
商的变化规律 1、两个数相除，如果被除数乘几，除数不变， 则商就乘几。 2、两个数相除，如果被除数除以几，除数不变， 则商就除以几。 3、两个数相除，如果被除数不变，除数乘几， 则商就除以几 4、两个数相除，如果被除数不变，除数除以几， 则商就乘几。
1、两个数相除，如果被除数乘几，除 数不变，则商就乘几。
3×120=360 答：商是7，余数是360。
答：商是8，余数是6。
1、两个数相除，如果被除数乘几，除数不变 ，则商就乘几。
练习二
1、两个数相除，商是450，如果被 除数乘5，除数不变。新的商是多少?
450×5=2250 答：新的商是2250。
3、两个数相除，商是27，如果被 除数乘12，除数乘6。新的商是多 少?
12÷6=2
2、两个数相除，商是450，如果被除 数不变，除数乘3，新的商是多少?
450÷3=150 答：新的商是150。
拓 展3 在除法算式128÷4中，
如果被除数乘3，除数乘6。商有
什么变化?
分析与解答：128÷4=32，被除数
乘3，即128×3，除数乘6，即4×6，
商为： （128×3）÷(4×6)
32×3÷6
=384÷24
=96÷6
=16
=16
128÷4=32 也就是 6÷3=2
32÷2=16 答：商就除以2，由原来的32变为16。
拓 展4 在除法算式144÷12中，
拓 展5 在除法算式128÷4中，
被除数乘6，除数除以3。商有什
如果被除数除以4，除数乘2。商
么变化?
有什么变化?
分析与解答：144÷12=12，在除法
分析与解答：128÷4=32，被除数
积和商“变与不变”规律及练习
积和商“变与不变”规律及练习积和商的“变与不变”规律积的变化规律：1.一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以）几。
例如：如果a×b=c，则(a×3)×b=c×3，举例：a×b=12，如果(a×3)，则积就是12×3=36.2.一个数乘一个比1大的数，积比原数大；一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
积不变规律：1.一个因数乘（或除以）几，另一个因数相应的除以(或乘)几，积不变。
例如：如果a×b=c，则（a×5）×（b÷5）=c。
商的变化规律：1.被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。
例如：如果a÷b=c，则a÷（b×3）=c÷3，举例：a÷b=12，如果(b×3)，则商就是12÷3=4.2.除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。
例如：如果a÷b=c，则(a×3)÷b=c×3，举例：a÷b=12，如果(a×3)，则商就是12×3=36.被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。
商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。
练题：1.根据78×12＝936，填写下面各题的结果。
7.8×12＝(93.6)，0.78×12＝(9.36)，7.8×(93.6)＝(734.88)2.根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。
4.14÷1.8＝(2.3)，4140÷1.8＝(2300)，0.414÷0.18＝(2.3)，41.4÷18＝(2.3)3.根据45×63＝2835，填写下面各题的结果。
商的变化规律
精品 文档
商的变化规律（一）：
在除法中，被除数不变，
在除法中，被除数不变，
（苹果不变，人越多，每个人分到的苹果就越少。
人越少，每个人分到的苹果就越多。
）
商的变化规律（二）：
在除法中，除数不变，
在除法中，除数不变，
（人数不变，苹果越多，每个人分到的就越多。
苹果越少，每个人分到的就越少。
）
商的变化规律（三）：
在除法中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
文档说明
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商的变化规律
商的变化规律（一）： 在除法中，被除数不变，除数扩大几倍，商就缩小几倍。 在除法中，被除数不变，除数缩小几倍，商就扩大几倍。
（苹果不变，人越多，每个人分到的苹果就越少。人越少， 每个人分到的苹果就越多。）
商的变化规律（二）： 在除法中，除数不变，被除数扩大几倍，商也扩大几倍。 在除法中，除数不变，被除数缩小几倍，商也缩小几倍。
（人数不变，苹果越多，每个人分到的就越多。苹果越少， 每个人分到的就越少。） 商的变化规律（三）：
在除法中，被除数和除数同时乘或除以相同
商的变化规律和商不变的规律
（80×0）÷ （20×0）= ？
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被除数和除数同时乘或 除以一个相同的数(0除 外），商不变。
Page 6
即时练：根据第一题的商，写出下面两题的商
72÷9= 8 720÷90=8 7200÷900=8
80÷4= 20 800÷40=20 8000÷400=20
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我会变魔术：
自探提示：
自学课本87页的第三题，思考解决下面问 题：
1.从上往下观察：被除数和除数怎样 变化？商呢？你发现了什么规律？
2.从下往上观察：被除数和除数怎样 变化？商呢？你发现了什么规律？
3.试举例验证你的规律。
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从上往下观察：
从下往上观察：
6 ÷ 3=2 ↓×10 ↓×10 ↓不变 60 ÷ 30 = 2 ↓×10 ↓×10 ↓不变 600 ÷ 300 = 2 ↓×10 ↓×10 ↓不变 6000 ÷ 3000 = 2
我做小老师：
编一编
请根据本节所学知识编一道 习题，考考你的同桌。
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填一填
被除数和除数同时乘10，商（ 不变 ） 被除数除以8，除数（ 除以8 ）商不变。
被除数（ 乘25 ），除数乘25，商不变。
24÷8=3那么2400÷300= 3 （ ）。 34÷2=17那么68÷（4 ）=17
人教版四年级上册
商不变的规律
王万梅
悟空分桃
悟空西天取经回来后，给孩儿们带 来了礼物——桃子，分桃子时，悟空说 “把6个桃子平均分给3只猴子吧!”孩儿 们连连摇头“太少了!太少了!”孙悟空就 说“那好吧，把60个桃子平均分给30只 猴子，怎么样？”小猴们还是不情愿， 孙悟空就说“干脆把600个桃子平均分给 300只猴子吧？”猴儿们得寸进尺，试探 的说“大王，再多给点行不行啊？”悟 空一拍胸脯，显示出慷慨大度的样子 “那就把6000个桃子平均分给3000只猴 子，你们总该满意了吧？”小猴子们笑 了，孙悟空也笑了Page。2
商的变化规律和商不变的规律
商不变的规律
王万梅
悟空分桃
悟空西天取经回来后，给孩儿们
带来了礼物——桃子，分桃子时，悟空
说“把6个桃子平均分给3只猴子吧!”孩
儿们连连摇头“太少了!太少了!”孙悟
空就说“那好吧，把60个桃子平均分给
30只猴子，怎么样？”小猴们还是不情
愿，孙悟空就说“干脆把600个桃子平均
分给300只猴子吧？”猴儿们得寸进尺，
？
被除数和除数同时乘 或除以一个相同的数(0 除外），商不变。
即时练：根据第一题的商，写出下面两题的商
72÷9= 8 720÷90=8 7200÷900=8
80÷4= 20 800÷40=20 8000÷400=20
我会变魔术：
1200÷200 =（1200÷100）÷ （200÷100） =12÷2 =6
被除数（ 乘25 ），除数乘25，商不变。
24÷8=3那么2400÷300= 3 （ ）。 34÷2=17那么68÷（4 ）=17
判一判
被除数和除数同时乘6，商不变。（ √ ） 被除数和除数同时乘或除以一个数，商不变。 （ ×） 50÷10=（50×4）÷（10×2）×（ ）
20÷4=（20＋4）÷（4+4） （× ）
从下往上观察：
6 ÷ 3 =2 ↑÷10 ↑÷10 ↑不 变 60 ÷ 30 = 2 ↑÷10 ↑÷10 ↑不 变 600 ÷ 300 = 2 ↑÷10 ↑÷10 ↑不 变 6000 ÷ 3000 = 2
被除数和除数都除以 一个相同的数，商不
这个规律也同样适用吗？
80
÷
20
=
4
（80×0）÷ （20×0）=
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↓不变
↑不变
600 ÷ 300 = 2 600 ÷ 300 =
↓×10
↓×10
2
↓不变
↑÷10
↑÷10
6000 ÷ 3000 = 2
↑不变
精品课件 6000 ÷ 3000 = 2
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这个规律也同样适用吗？
80 ÷
20
=
4
（80×0）÷ （20×0）
=？
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被除数和除数同时乘 或除以一个相同的数(0除 外），商不变。
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填一填
被除数和除数同时乘10，商 被 （除数除以8，除数（ 除）以8
不变 ）商不变。
被除数（ 乘25
），除数乘25，商不变。
24÷8=3那么2400÷300= 3 （ ）。 34÷2=17那么68÷（4 ）=17
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判一判
被除数和除数同时乘6，商不变。 √
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你会变吗？
3900÷300= 3000÷600= 480÷40= 910÷70=
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质疑再探：
通过本节课的学习， 你还有什么不明白的地方或 者又产生了哪些新的疑问？ 请提出来，大家一起解决。
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我做小老师：
编一编
请根据本节所学知识编一道 习题，考考你的同桌。
分给300只猴子吧？”猴儿们得寸进尺，
试探的说“大王，再多给点行不行啊？”
悟空一拍胸脯，显示出慷慨大度的样子
“那就把6000个桃子平均分给3000只猴
子，你们总该满意了吧？”小猴子们笑
了，孙悟空也笑了精Pa品ge课。件2
自探提示：
自学课本87页的第三题，思考解决下面问 题：
1.从上往下观察：被除数和除数
（被除数和除）数同时乘或除以一个数，商不变。 （× ） 50÷10=（50×4）÷（10×2） ×（ ） 20÷4=（20＋4）÷（4+4） （× ）
360÷30=（360÷10）÷（30÷10）（√ ）
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说一说
通过本节课的学习，你 有什么收获？
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王万梅
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悟空分桃
悟空西天取经回来后，给孩儿们
带来了礼物——桃子，分桃子时，悟空
说“把6个桃子平均分给3只猴子吧!”孩
儿们连连摇头“太少了!太少了!”孙悟
空就说“那好吧，把60个桃子平均分给
30只猴子，怎么样？”小猴们还是不情
愿，孙悟空就说“干脆把600个桃子平均
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即时练：根据第一题的商，写出下面两题的商
72÷9= 8 720÷90=8 7200÷900= 8
80÷4= 20 800÷40= 20 8000÷400= 20
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我会变魔术：
1200÷200 =（1200÷100）÷（200÷100） =12÷2 =6
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怎样变化？商呢？你发现了什么规律？
2.从下往上观察：被除数和除数
怎样变化？商呢？你发现了什么规律？
3.试举例验证你的规律。
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从上往下观察：
从下往上观察：
6
÷
3= 6
÷
3=
2
2
↓×10
↓×10
↑÷10
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↓不变
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