线性代数-行列式(完整版)

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线性代数第二章方阵的行列式

习题2.2(B) 第1(1)(3)题
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数定义由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个性质不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺；排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序定义在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或证由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整数，则 ⑴ A=nA ； ⑵ AB=AB ； ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ； ② 虽然AB≠BA，但AB=BA ； ⑶由⑵推得，下证⑴ ⑵

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01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)，是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组，且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行列式以及将系数矩阵的某一列替换为常数项列后得到的新矩阵的行列式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用

线性代数第六版第一章行列式

2
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
(1)
(2)
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2;
类似地，消去 x1，得
(a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21 ,
所以当 a11a22 a12a21 0 时，方程组有唯一解
(a12a21 a11a22 ) x2 (a13a21 a11a23 ) x3 a21b1 a11b2 a32
(a12a31 a11a32 ) x2
(a13a31 a11a33 ) x3
a31b1 a11b3
(a22 )
(a22a31 a21a32 ) x2 (a23a31 a21a33 ) x3 a31b2 a21b3 a12
3 4 2
解按对角线法则，有 D 1 2(2) 21 (3) (4)(2) 4
12
1 2 4 例计算三阶行列式 D 2 2 1
3 4 2
解按对角线法则，有 D 1 2(2) 21 (3) (4)(2) 4
(4) 2(3) 2(2)(2) 114
14.
13
1 23 例3 4 0 5
解
3 D
2 3 (4) 7 0 ,
21
12 2
3 12
D1 1
1 14, D2 2
21, 1
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
7
(二) 三阶行列式
三元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2

(完整版)行列式习题答案

线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第一节 n 阶行列式一．选择题1．若行列式 = 0，则[ C ]x52231521-=x （A ）2 （B ）（C ）3（D ）2-3-2．线性方程组，则方程组的解=[ C ]⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ),(21x x （A ）（13，5）（B ）（，5）（C ）（13，）（D ）（）13-5-5,13--3．方程根的个数是[ C ]093142112=x x （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ]（A ）（B ） 665144322315a a a a a a 655344322611a a a a a a （C ）（D ）346542165321a a a a a a 266544133251a a a a a a 5．若是五阶行列式的一项，则的值及该项的符号为[ B ]55443211)541()1(a a a a a l k l k N -ij a l k ,（A ），符号为正；（B ），符号为负；3,2==l k 3,2==l k （C ），符号为正；（D ），符号为负2,3==l k 2,3==l k 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ](A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题1．行列式的充分必要条件是1221--k k 0≠3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是133．已知排列为奇排列，则r =2,8,5s = 5,2,8，t = 8,5,2397461t s r4．在六阶行列式中，应取的符号为负。

ij a 623551461423a a a a a a 三、计算下列行列式：1．=181322133212．=5598413111３．yxyx x y x yyx y x +++332()x y =-+４．=10001100000100100５．000100002000010n n -1(1)!n n -=-６．0011,22111,111 n n nn a a a a a a --(1)212,11(1)n n n n n a a a --=-线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第二节行列式的性质一、选择题：1．如果，，则 [ C ]1333231232221131211==a a a a a a a a a D 3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---==1D （A ）8（B ）（C ）（D ）2412-24-2．如果，，则 [ B ]3333231232221131211==a a a a a a a a a D 2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---==1D （A ）18（B ）（C ）（D ）18-9-27-3． = [ C ]2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a （A ）8 （B ）2（C ）0（D ）6-二、选择题：1．行列式 12246000 2. 行列式-3=30092280923621534215=11101101101101112．多项式的所有根是0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 0,1,2--3．若方程= 0 ，则225143214343314321x x --1,x x =±=4．行列式 5==2100121001210012D 三、计算下列行列式：1．2605232112131412-21214150620.12325062r r +=2．xa a a x a a a x 1[(1)]().n x n a x a -=+--线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第三节行列式按行（列）展开一、选择题：1．若，则中x 的一次项系数是[D]111111111111101-------=x A A （A ）1（B ）（C ）（D ）1-44-2．4阶行列式的值等于 [D ]443322110000000a b a b b a b a （A ）（B ）43214321b b b b a a a a -))((43432121b b a a b b a a --（C ）（D ）43214321b b b b a a a a +))((41413232b b a a b b a a --3．如果，则方程组的解是 [B]122211211=a a a a ⎩⎨⎧=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a （A ），（B ），2221211a b a b x =2211112b a b a x =2221211a b a b x -=2211112b a b a x =（C ），（D ），2221211a b a b x ----=2211112b a b a x ----=2221211a b a b x ----=2211112b a b a x -----=二、填空题：1．行列式中元素3的代数余子式是 -6122305403--2．设行列式，设分布是元素的余子式和代数余子式，4321630211118751=D j j A M 44,j a 4则 =，=-6644434241A A A A +++44434241M M M M +++3．已知四阶行列D 中第三列元素依次为，2，0，1，它们的余子式依次分布为1-5，3，4，则D = -15,7-三、计算行列式：1．321421431432432112341234134101131010141201311123031111310131160.311-==---=-=-2.12111111111na a a +++ ==121111011101110111n a a a+++121111100100100na a a---211112111110010010n c c a a a a a+--+111223211111100001000na a cc a a a a++-+11121101111000000ni ni iia a a c a c a=+++∑1211()(1)nn i i a a a a =+∑或121123113111111000000nn a r r a r r a r r a a a a+------211211212311111000000na a aa a a c c a a a a+++--11122313311111100000ni in nnaa a c c a a a c c a a a a=++++∑1122()(1)nn i ia a a a a =++∑或11221121121110111110111111111(1).n n n n nn i ia a a a a a D a a a a a a a --=++++=+=+=+∑线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号综合练习一、选择题：1．如果，则 = [ C ]0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D 3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D =（A ）2 M（B ）－2 M（C ）8 M（D ）－8 M2．若，则项的系数是[ A ]xxx x x x f 171341073221)(----=2x （A ）34 （B ）25 （C ）74 （D ）6二、选择题：1．若为五阶行列式带正号的一项，则 i = 2 j = 154435231a a a a a j i 2. 设行列式，则第三行各元素余子式之和的值为 8。

线性代数-行列式(完整版)

a11a22 a12a21
数a（ ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，横排称为行，竖排称为列 ,
aij中i称为行标, j称为列标, aij 表示第i行第j列元素, 左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线，例１
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13
a21 a22 a31 a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
主对角线法
a11
a12
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a21 a22 a31 a32
9
例4 计算三阶行列式
定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。
证明：
19

对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成 …kj… (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
n!个）称为一个n级排列（总数为 . 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个： 123 132 213 231 312 321 注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相
反)——构成逆序.
15
(2)排列的逆序数

定义：在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N (i1i2…in).

线性代数课件PPT第一章行列式 S1_3 行列式定义

任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故左端＝ a11 B =右端.
14
回顾：在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解：（分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆倍乘阵倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

线性代数1行列式

线性代数1⾏列式⼆阶⾏列式所谓⼆阶⾏列式，是由四个数，如a11，a12，a21，a22排列成含有两⾏两列形如a11a12a21a22的式⼦，它表⽰⼀个数值，其展开式为a11a12a21a22=a11a22−a12a21三阶⾏列式所谓三阶⾏列式，是由九个数，如a11，a12，a13，a21，a22，a23，a31，a32，a33排列成含有三⾏三列形如a11a12a13a21a22a23a31a32a33的式⼦，它表⽰⼀个数值，其展开式为a11a12a13a21a22a23 a31a32a33=a11a22a23a32a33−a12a21a23a31a33+a13a21a22a31a32n阶⾏列式我们观察⼆、三阶⾏列式的定义，顺便定义⼀下⼀阶⾏列式：（⼏乎全是复制）所谓⼀阶⾏列式，是由⼀个数，如a11排列成含有⼀⾏⼀列形如a11的式⼦，它表⽰⼀个数值，其展开式为a11=a11有了⼀阶⾏列式的定义，我们考虑像三阶⾏列式⼀样递归的定义⼆阶⾏列式：a11a12a21a22=a11a22−a12a21⾄此，n阶⾏列式的定义⼏乎呼之欲出了：所谓n阶⾏列式，是由n2个数，如a11，a12，⋯，a nn排列成含有n⾏n列形如a11⋯a1n⋯⋱⋯a n1⋯a nn的式⼦，它表⽰⼀个数值，其展开式为a11⋯a1n⋯⋱⋯a n1⋯a nn =n∑i=1(−1)i+1a1ia21⋯a2 i−1a2 i+1⋯a2n⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯a n1⋯a n i−1a n i+1⋯a nn（其实就是对于第⼀⾏的每个元素，⽤它乘除了它同⾏同列的剩下来数构成的⼦⾏列式。

）上式中令M1i=a21⋯a2 i−1a2 i+1⋯a2n⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯⋯⋱⋱⋱⋱⋯a n1⋯a n i−1a n i+1⋯a nn$$，称为元素$a1i$的∗∗余⼦式∗∗。

令A_{1i}=(-1)^{i+1}M_{1i}$$，称为元素a1j的代数余⼦式。

线性代数矩阵第2节行列式

第二章矩阵与行列式
§2.2 行列式
注: 二阶行列式和三阶行列式的对角线法则: a11 a12 a21 a22 = a11a22 a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .
例4. 设D =
am1 … amm 0 … 0 , c11 … c1m b11 … b1n cn1 … cnm bn1 … bnn …
am1 … amm
, ,
…
D2 =
…
…
bn1 … bnn
…
证明: D = D1D2.
证明: 对D1施行ci+kcj 这类运算, 把D1化为下三角形行列式:
D1 =
a11 … a1m

.b 0 .. . . . a b . . d =a c +(1)2n+1b . . .. .. c d 0 … 0 d 0
a.
第二章矩阵与行列式
§2.2 行列式
.b 0 .. . . . a b . . d =a c +(1)2n+1b . . .. .. c d 0 … 0 d 0
§2.2 行列式
补充. 数学归纳法(Principle of mathematical induction) 1. 第一数学归纳法原理: 设P是一个关于自然数n的命题, 若 ① P对于n = n0成立. ② 当nn0时, 由“n = k时P成立”可推出 “n = k+1时P成立”, 则P对于任意的自然数nn0成立.

行列式-线性代数

也可记为 D
a
j 1
n
ain Ain aij Aij
j 1
n
(i 1, 2,
, n)
sj
Atj 当 s t 时，若
s t,
D ？
推论行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的
代数余子式的乘积之和，等于零. 即
a A a A i1 j 1 i2 j2 a in A jn 0
所以 Dn
1i j n
(a
j
ai )
n2 n2 n2 n 2 n 2 a a a 3 nn 2 a22 a a 3 n
1 1 a ann (a j ai ) 2 i j n
展开定理 D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
较一般一般
, n)
证明分三步：特殊
(1)
(2)
(3)
D a11 A11 0 A12 0 A1n D 0 Ai1 0 Aij 1 aij Aij 0 Aij 1 D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
0 Ain
证（ 1）
1 1 1 1
3 9 1 1 2 4 4 16
27 1 12 8 64
D1
(a 1)2 (a 2) 2 (a 3) 2 (a 4) 2 a 1 1 a2 1 a 3 1 a4 1
a 1 (a 1)2 r2 r3 (a 1)3
r1 r4
1 1 1 a2 a 3 a4 (a 2)2 (a 3)2 (a 4)2 (a 2)3 (a 3)3 (a 4)3
a11 a 1n a in a

线性代数(行列式新)

b b ba
将第 2,3,,n 列都加到第一列上,得
a n 1 b b b b
a n 1 b a b b
D a n 1 b b a b
a n 1 b b b a
-28-
1 b bb 1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
1 b ba
1b bb
ri r1 a (n 1)b
-2-
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
例如：
a22 a23 a2n
M11
a32
a33
a3n
an2 an3 ann n1
A11 (1)11 M11
a21 a23 a2n
M12
a31
a33
a3n
an1 an3 ann n1
A12 (1)12 M12
-26-
推论5 由 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所构成
矩阵的转置矩阵 A11 A21 An1
A
A12
A22
An2
A1n
A2n
Ann
称为 A 的伴随矩阵。
由行列式展开定理
AA A A A E
伴随矩阵——研究可逆矩阵
-27-
例6 解
a bbb
ba bb计算 n 阶行源自式 D b b a ba11 a1k p11
设为 D1
p11 pkk
ak1 akk pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j , 把 D2 化为下三角形行列式
b11 b1n q11
0
设为 D2
q11 qnn
bn1 bnn qn1 qnn

线性代数课件第一章行列式

线性代数课程介绍
2学分学期课
线性代数课件第一章行列式
《线性代数》是我校国际商学院各个专业，
教育技术系、行政管理、市场营销、财务管理、
会计学等专业，在二年级上学期开设的一门学年公该共课必程修的课主。要2内学容分有、：学行期列课式。、12 矩阵21 、0线3性
方程组、向量的线性相关、相似矩阵及二次型。
线性代数课件第一章行列式
线性代数课件第一章行列式
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
(1)
(2)
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , 2 a12 : a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
定义：将a11 a12 称作二阶行列式，它是一 a21 a22
种特殊的运算，即a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
aij称为行列式的元素第一行第二列
对角线法则:
主对角线 a11 副对角线 a12
a12
a11a22 a12a21 .
a 22
线性代数课件第一章行列式
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
，x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
（3）
a21
由方程组的系数确定.
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
为简洁，引进记号： a11 a12
a11
a a 线性代数课件第一章2行1列式 22

线性代数-行列式(完整版).

17
逆序数的计算方法
不妨设元素为1至n的自然数，并规定从小到大
为标准次序。设i1i2 in为一个n级排列。考虑元素 i j (i 1,2 n), 如果比 i j大，且排在
i
前面的元素有
j
t
j个，那么ji的逆序是
t
j
个，全
体
元
素
逆序之和就是 i1i2 in的逆序数，即
411
a2 1 0 a 1 或 a 1
a10
1 a 0 0 a 1 或 a 1
411
练习：计算下列行列式
x1 1 x2 x2 x 1
1 0 1 35 0
04 1
解 x 1 1 ( x 1) ( x2 x 1) 1 x2 x2 x2 x 1 x3 1 x2
1 0 1
3 5 0 1511 34 7
04 1
§1.2 n阶行列式
1.排列及其逆序数 (1)排列由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
称为一个n级排列（. 总数为 n!个）如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
123 132 213 231 312 321
2
返回
第1.1节 n阶行列式的定义
本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念. 基本内容：二阶与三阶行列式排列及其逆序数 n阶行列式定义转置行列式
3
记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22 a12a21
即
a11 a12 a21 a22
3 4 2
解:由主对角线法，有

线性代数行列式

上三角形方阵
a11 0 A 0
a12 a22 0
a1n a2 n ann
下三角形方阵
a11 0 a21 a22 A a n1 a n 2
a11 0 A 0 0 a22 0
骣11 a21 ça ç ça12 a22 ç T A =ç çL ç L ç ç ça 桫1n a 2 n
a1n ÷ ÷ ÷ a2 n ÷ ÷ ÷ ÷ L ÷ ÷ ÷ ÷ amn ÷
m´ n
am1 ÷ ÷ ÷ am 2 ÷ ÷ ÷ ÷ L ÷ ÷ ÷ ÷ amn ÷
n´ m
2、性质
( AT )T A （1）
k 1 n
即: ai 1 ain m n
b1 j bnj
n s
cij
, m s
记作 C AB . 要点：左看行，右看列。
【注 1】相乘条件：前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。
a12 a 22

a m 2
a1n a2 n a mn
2、性质（1） A （2） (
( ) A ( A) ( A)
)A A A
（3） ( A B) A B 3、负矩阵
第二章
矩阵
§2.1
矩阵的定义
一、定义
a11 a12 a a22 21 A am1 am 2
a1n a2 n ( aij ) mn amn mn
m n 称为矩阵 A 的型.
例如：如学生成绩汇算机图形学等等。

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线性代数第二章方阵的行列式

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