线性代数-行列式(完整版)
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123 132 213 231 312 321
注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相 反)——构成逆序.
15
(2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前
后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in). 例1 N (2413)=3 N(312) =2
数a（ ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，排 横称为行， 竖排称为列 ,
ai中 j i称为行, j称 标为列, a标 ij 表示i第 行第 j列元,素
左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线，
例１ 5 1
52(1)313
32
例２
2
3
设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
9
例4 计算三阶行列式
1 2 4 D 2 2 1
3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 1 1 4
4 6 3 2 2 8 4 4 14
例3
( 31)
(42)
(43)
3421 1423 1243 1234
N 5N 2N 1N 0
定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。
证明：
19
对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成
…kj… (2)
此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未
例2 N(n(n-1)…321) =0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
N(135…(2n-1)(2n)(2n-2) …42) =2+4…+(2n-2)=n(n-1)
对换：对换在一个排列i1…is…it …in中，若其中某 两排数 列iis1和…iitt互…换is …位i置n,这, 其种余变各换数称位为置一不个变对得换到, 记另为一 ( is it).
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、
特征多项式的重要工具.本章介绍了n
阶行列式的定义、性质及计算方法， 最后给出了它的一个简单应用——克
莱姆法则.
第1章 行列式
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式的一个简单应用 数学实验
2
返 回
第1.1节 n阶行列来自百度文库的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
3
记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22a12a21
即
a11 a12 a21 a22
a11a22a12a21
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
例3 求二阶行列式
a 1 b2
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
由题可得，即使
1 01
a2b2 0, a,bR, ab0.
即 ab0 时，给定的行列式为零．
例7 a 1 0 1 a 0 0 的充分必要条件是什么？ 411
解a 1 0
1 a 0 a 2 1
411
a2 10 a 1 或 a1
a10
1 a 0 0 a 1或 a1
411
练习： 计算下列行列式
16
(2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前
后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in). 例1 N (2413)=3 N(312) =2 奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.
即
7
a11 a12 a13 a21 a22 a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
主对角线法
a11 a12 a13 a21 a22 a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33
10
例5
1 23
4 0 5 10625(1)340
1 0 6 30(1) 246 150
1048 58
1 0 1
0 2 1 12301(1) 100 1 0 3 12(1) 003 101
62 8
例6 a,bR,
a b0 b a 0 0 1 01
a , b 满足什么条件时有
解a b0
b a 0 a 2 b 2
17
逆序数的计算方法
不 妨 设 元1至 素n的 为自 然并数规定，从小到大 为标准次序。 设i1i2in为一n级 个排列。
考虑i元 j(i1素 ,2n),如果比ij大，且排在 i j前面的元素有t j个，那么ji的逆序t是 j个全，体 元 素 逆序之和 i1i2就 in的 是逆序 即 数，
n
N(i1i2in) t n tn1 t1 t j j1
x1 1 x2 x2 x1
1 0 1 35 0
04 1
解 x1 1 (x1)(x2 x1) 1 x 2 x2 x2 x1x3 1 x 2
1 0 1
3 5 0 151 1347
04 1
§1.2 n阶行列式
1.排列及其逆序数 (1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
称为一个n级排列（. 总数为 n!个） 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：
若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)
若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相 反)——构成逆序.
15
(2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前
后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in). 例1 N (2413)=3 N(312) =2
数a（ ij i, j 1,2)称为它的元素。
今后对任何行列式，排 横称为行， 竖排称为列 ,
ai中 j i称为行, j称 标为列, a标 ij 表示i第 行第 j列元,素
左上角到右下角表示主对角线，
4
右上角到左下角表示次对角线，
例１ 5 1
52(1)313
32
例２
2
3
设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
9
例4 计算三阶行列式
1 2 4 D 2 2 1
3 4 2
解:由主对角线法，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 ( 4 ) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 1 1 4
4 6 3 2 2 8 4 4 14
例3
( 31)
(42)
(43)
3421 1423 1243 1234
N 5N 2N 1N 0
定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。
证明：
19
对换在相邻两数间发生，即
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成
…kj… (2)
此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未
例2 N(n(n-1)…321) =0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2
N(135…(2n-1)(2n)(2n-2) …42) =2+4…+(2n-2)=n(n-1)
对换：对换在一个排列i1…is…it …in中，若其中某 两排数 列iis1和…iitt互…换is …位i置n,这, 其种余变各换数称位为置一不个变对得换到, 记另为一 ( is it).
第1章 行列式
行列式是线性代数的一个重要组 成部分.它是研究矩阵、线性方程组、
特征多项式的重要工具.本章介绍了n
阶行列式的定义、性质及计算方法， 最后给出了它的一个简单应用——克
莱姆法则.
第1章 行列式
n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克莱姆法则—行列式的一个简单应用 数学实验
2
返 回
第1.1节 n阶行列来自百度文库的定义
本节从二、三阶行列式出发，给 出n阶行列式的概念. 基本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义 转置行列式
3
记号： a11 a12 a21 a22
称其为二阶行列式 .
它表示数：
a11a22a12a21
即
a11 a12 a21 a22
a11a22a12a21
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
例3 求二阶行列式
a 1 b2
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
由题可得，即使
1 01
a2b2 0, a,bR, ab0.
即 ab0 时，给定的行列式为零．
例7 a 1 0 1 a 0 0 的充分必要条件是什么？ 411
解a 1 0
1 a 0 a 2 1
411
a2 10 a 1 或 a1
a10
1 a 0 0 a 1或 a1
411
练习： 计算下列行列式
16
(2)排列的逆序数 定义： 在一个n 级排列i1i2…in中，若某两数的前
后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构 成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数， 记为N (i1i2…in). 例1 N (2413)=3 N(312) =2 奇偶排列: 若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.
即
7
a11 a12 a13 a21 a22 a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
可以用对角线法则来记忆如下.
8
主对角线法
a11 a12 a13 a21 a22 a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33
10
例5
1 23
4 0 5 10625(1)340
1 0 6 30(1) 246 150
1048 58
1 0 1
0 2 1 12301(1) 100 1 0 3 12(1) 003 101
62 8
例6 a,bR,
a b0 b a 0 0 1 01
a , b 满足什么条件时有
解a b0
b a 0 a 2 b 2
17
逆序数的计算方法
不 妨 设 元1至 素n的 为自 然并数规定，从小到大 为标准次序。 设i1i2in为一n级 个排列。
考虑i元 j(i1素 ,2n),如果比ij大，且排在 i j前面的元素有t j个，那么ji的逆序t是 j个全，体 元 素 逆序之和 i1i2就 in的 是逆序 即 数，
n
N(i1i2in) t n tn1 t1 t j j1
x1 1 x2 x2 x1
1 0 1 35 0
04 1
解 x1 1 (x1)(x2 x1) 1 x 2 x2 x2 x1x3 1 x 2
1 0 1
3 5 0 151 1347
04 1
§1.2 n阶行列式
1.排列及其逆序数 (1)排列 由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in
称为一个n级排列（. 总数为 n!个） 如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：
发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：
若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)
若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)