测试技术_课后答案
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信号及其描述习题
1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|C n |—ω ；φn —ω 图并与表1-1对比。
解：傅立叶级数的复指数形式表达式：
⋅⋅⋅±±±==
∑+∞
−∞
=,3,2,1,0;)(0n e
C t x n t
jn n
ω式中： []
()⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅±±±=⋅⋅⋅±±±=−=−−=+×+−=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦
⎤+⎢⎣⎡−==−−−−−−−−−∫
∫∫,6,4,2;
0,5,3,1;2cos 12111)(1)(120000
2
00200202200
0000
000000n n n A j n n A j e e n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae dt e A T dt e t x T C jn jn T t jn T t jn T t jn T t jn T T t jn n πππ
ππωωπ
πωωωωω
所以： ⋅⋅⋅±±±±=⎟⎠⎞⎜⎝⎛
−=∑
+∞
−∞=,7,5,3,1;2)(0n e
n A j t x t jn n ωπ
幅值频谱：
⋅⋅⋅±±±==+=,5,3,1;22
2n n A C C C nI nR n π
相位频谱：立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。求正弦信x s
求指数函数的频谱。）和单位阶跃函数（题图）的频谱 ⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅−−−=⋅⋅⋅=−=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜
⎜⎝⎛−==,5,3,1;2,5,3,1;202n n n A arctg C C arctg nR nI n ππ
πϕ
傅 号的绝对均值和均方根值1.2 x (t )=x 0sin ωt μ| |x rm 解： ωπ
πωμ2;2sin 1)(lim 0000
000=
===∫
∫
∞→T x tdt x T dt t x T T T x 式中：
()2
sin 1)(1002
0002000x dt dt x T dt t x T x T T rms ===∫
∫
ω
1.3 解：00;Ae x ;()(≥>=−t t t αα)
f j A dt e Ae dt e t x f X ft j t ft j παπαπ2)()(022+=⋅==∫
∫
∞+−−∞+∞−−
1.41-1a 1-1b .
求符号函数（题图
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解:1) 符号函数的频谱:
令: f
j dt e e dt e e dt e t x f X t x e t x ft j t
ft j t ft j t ππαπααπαα1)1(lim )()(;)(lim )(022002110
1=⎟⎠
⎞⎜⎝⎛+−===∫
∫∫
∞+−−−∞−−→−−→
2)单位阶跃函数的频谱: f
j dt e e dt e t x f X t x e t x ft j t ft j t
ππααπαα21
lim )()(;)(lim )(0202220
2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛===∫
∫∞+−−→−−→
1.5求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。
⎩⎨
⎧≥<=T t T t t t x ;
0;cos )(0ω 解： (
)
[
]
210000222202sin sin 2)(2)(sin 2)(2)(sin 2
12cos )()(00θθππππππππππ⋅+⋅=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡−−+++=+===−−+−+−−+∞∞−−∫∫
∫
c c T T f f T f f T f f T f f T dt e e e dt te f dt e t x f X ft
j t f j t f j T T T
T
ft j ft
j
1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b ）： 的频谱 00(;sin 0≥>=t e x αωα,)(−t t t
)解： (
)
()
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−++=−⋅===−∞+−−−+∞
−+∞∞
−−∫
∫∫)(21)(2122
2sin )()(002022200200f f j f f j j dt e e e j
e dt
e t
f e dt e t x f X ft j t f j t f j t ft j t
ft j παπαππππαπαπ
1.7设有一时间函数f (t )及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cos ω0t ，(ω0>ωm )。在
这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦型振荡cos ω0t 叫做载波。试求调幅信号f (t )cos ω0t 的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm 时将会出现什么情况？ 解： [](
)
1
121
)(2cos )()()(22220200dt e e e t f dt e t f t f dt e t x f X ft j t f j t f j ft j ft
j ππππππ⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=⋅==−∞
+∞
−−−+∞
∞
−+∞∞−−∫∫
∫