2-1牛顿运动定律和质心运动定理
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y
m
ar
a0
N m ( g a0 ) cos
2015/3/17
ar ( g a0 ) sin
mg
N ar
x
17
DUT 常葆荣
方法（二） 取升降机为参考系 惯性力
y
Fi ma0
mg
mg N Fi mar x 方向 N sin ma cos r
2015/3/17 DUT 常葆荣 7
例题 已知传送带与砖之间的摩擦系数s ，砖块质量m，皮带 倾角，求：匀速运砖时，皮带和砖块间的静摩擦力。
N
fs
解：1、分析力；
2、建坐标系；
mg sin f s max 0
mg
0
f s mg sin
砖块有下滑的趋势，摩擦力沿斜面向上， 当 fs>N s ,砖与皮带间有相对运动。 思考：若皮带加速运动，想保证砖与皮带 间无相对运动，加速度不可超过多大？
g 3 1 1.238 10 r a d s Re
Re 6378 km
g 9.778 ms
现在地球自转角转速度
170 0
2 0 7.27 106 rad s 1 24 3600
2015/3/17 DUT 常葆荣 16
例题 一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当 升降机以匀加速度a0 上升时，质量为m 的物体从斜 面顶端开始下滑。 求 物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。
2015/3/17 DUT 常葆荣 21
2、质心运动定理
一个质点系由n个质点构成
mi ri 两边对时 rc mi 间求导
drc vc 左= dt dri mi dt 右= mi
质心的速度
Mvc mi vi
Mvc mi vi P
质点系的总动量就等于质点 系的总质量与质心速度之积
a0
解 方法(一)
取地面为参考系
a a r a0 设物体的加速度为 a m g N m a m ( a r a0 )
x 方向 mg sin m ( ar a0 sin ) y 方向 N mg cos ma0 cos
惯性力
2015/3/17
a
a a a0
大小：mao
F m(a ao ) F ma mao
非惯性系中， 牛顿定律在形 式上成立！
方向： ao
DUT 常葆荣
惯性力不是真实力，所 以没有施力物体，没有 反作用力。虚拟力
12
转动参考系的惯性力
在转动的圆盘上，有一个相对圆盘静止的物体。 在地面参考系S中，物体做圆周运动， 牛顿运动定律成立
2 ydx 2 xdx
设薄板单位面积的质量为 小面元的质量为 dm 2 xdx
O x
a
x dx
xc
xdm dm
a/ 2
0 a/
0
2 a 2 3 2 x d x
2 x d x
2
质心和重心是两个不同的概念，质心是与物体质量分布有关 的一个特殊点，而重心是一个物体各部分所受重力的合力作 用点。
mao Fi
DUT 常葆荣
例题
在加速运动的列车上分析悬挂与列车天花板上的小球 的受力 y′
ao
以车厢为参考系，计算悬线和竖 直方向之间的夹角。 解：以车厢为参考系，小球静止
ma0 T
mg
a wk.baidu.com 0
以车厢为参考系，对小球用 牛顿第二定律 O
x′
a0 arctg g
14
x′向： T sin Fi ma x 0 y′向： T cos mg ma y 0
2. 第二定律：物体运动的量的变化率与施加在该物体上的 力成正比，并且发生在该力的方向上。 3. 第三定律：每一个作用力，总有一个等值的反作用与之 对应；或者说，两个相互作用的物体，彼此对对方的作用 总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。
2015/3/17 DUT 常葆荣 2
1. 第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态， 除非作用在其上的力迫使它改变这种状态。 惯性——质点不受力时保持静止或匀速直线运动状态的 性质, 其大小用质量量度。 力——使质点改变运动状态的原因 第一定律描述了力处于平衡时物体的运动规律。 提出了用于选择一类特殊参考系的标准。 惯性系——在惯性系中观察，一个不受力或处于受力平衡状 态的物体，将保持其静止或匀速直线运动的状态不变。 相对于惯性系做匀速直线运动的任何其它参考系也一定是惯 性系。
f s man m r
2
r ：圆心物体
f s m r 0
2
在圆盘S’系中的人观察，物体静止 非惯性系S’ 中
a 0 Fi f s m 2 r f s Fi ma 0
对转动参考系仍然成立。
13
Fi m 2 r
惯性力
2015/3/17
～惯性离心力，方向始终沿半径向外。
P mv
“物体运动的量的变化率” 动量对时间的变化率
“力”物体在该方向所受的合外力
d P d mv F外 dt dt
质量不变
dv F外 m ma dt
牛顿第二定律的基 本形式
2015/3/17
[SI]
1N 1kg ms
DUT 常葆荣
2
只适用于低速宏观 物体的运动
（3） N N mg ma ma N
618 N
ma mg mg
DUT 常葆荣
N mg ma 558 N
2015/3/17
15
例题
估算地球转速增大到目前转速的多少倍时赤道 处的物体会飞离地球？
解 分析：飞离地球——惯性离心力大于万有引力
f 惯 m Re
2
2
F引 mg
vx
F0t dv x dt 0 m
t
x
F0t 2 dx vx 2m dt
竖直方向有 运动轨迹为
2015/3/17
0d x 0
x
t
F0t 2 dt 2m
F0 3 x t 6m
Fy ma y 0 F0 3 x y 3 6mv 0
y v 0t
11
DUT 常葆荣
二、惯性力
Fi ma0
2015/3/17 DUT 常葆荣
例题 已知人的质量 m=60 kg ，站在电梯中的台秤上，当电 梯以 (1) a= 0 ；(2) a=0.5 ms-2上升； (3) a=0.5 ms-2下降， 分别求台秤的读数。 解 台秤的读数表示人体对其的压力 N
N
（1）
N
a a
（2）
N mg 60 9.8 mg 588 N
y 方向
N ar x
ma0
N cos mg ma0 mar cos N m ( g a0 ) cos ar ( g a0 ) sin
2015/3/17
DUT 常葆荣
18
三、质心运动定理
1、质点系的质心
质心——与质点系统质量分布有关的一个代表点。它 的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。 质点系中第i个质点的质量为mi ，位矢为 r i 质心的位矢
相互作用力属同类，同时存在，同时消失。 系统的内力成对出现，并且内力之和为0.
2015/3/17 DUT 常葆荣 6
动力学问题： 力运动
运动力
解题步骤 1、确定研究对象； 2、分析物体的运动状态；(不同物质运动间的关系) 3、分析力，一个不多，一个不少； 4、选定坐标系按牛顿定律列方程； 5、解方程。先字母，后代数，结果有单位； 6、分析讨论所得结果，判断结果是否正确。
第二章 质点和质点系动力学
牛顿运动定律和质心运动定理
动量定理和动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
功能原理和机械能守恒定律
2015/3/17
DUT 常葆荣
1
2.1
牛顿运动定律和质心运动定理
一、牛顿运动定律 1. 第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态， 除非作用在其上的力迫使它改变这种状态。
dv T ds 切向： mg cos ma m d dt ds ds ld mg cos ds m dv mg dt v 1 2 gl cos d vdv gl sin v v 2 gl sin 2 0
0
v 2 法向：T mg sin ma m l
x
DUT 常葆荣
10
例 设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以 v0 向上运动，从 时刻 t = 0 开始粒子受到 F =F0 t 水平力的作用，F0 为常 量，粒子质量为 m 。
求 粒子的运动轨迹。
解 水平方向有 Fx F0t ma x
v0
y
m
o
F (t )
dv x ax dt
0
mi ri rc mi
mi M
质点系的 总质量
直角坐标系中，质心位置的三个直角坐标为
mi xi xc mi
mi yi yc mi
rc xc i yc j zc k
mi zi zc mi
19
2015/3/17
DUT 常葆荣
例题 质点系有两个质点m1和m2，求出质点系质心的位置。 y 解 l2 rc xc i yc j m1 l 1 m2 m1 x1 m2 x2 mi xi xc xc r c mi m1 m2 r
2015/3/17 DUT 常葆荣 3
地球参考系，自转加速度a ~ 3.4 cms-2 地心参考系，公转加速度a ~ 0.6 cms-2 太阳参考系，绕银河系加速度a ~ 3 10-8 cms-2
客观上，没有最好的惯性系，只有更好的惯性系。
2015/3/17
DUT 常葆荣
4
2. 第二定律：物体运动的量的变化率与施加在该物体上的 力成正比，并且发生在该力的方向上。 动量 =质量 速度 动量 “运动的量”
m1 xc x1 m2 x2 xc
1
m1 l1
分离连续
r2
m2 l2
求和积分
O y
x
mi ri rc mi
xc
rc
yc
r dm
dm
zc zdm M
r
z O
dm
x
20
xdm
M
ydm
M
2015/3/17
DUT 常葆荣
例题 求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。 y 解：小面元的面积为
d vc d vi 两边对时 Mvc mi vi M mi 间求导 dt dt
5
3. 第三定律：每一个作用力，总有一个等值的反作用与之 对应；或者说，两个相互作用的物体，彼此对对方的作用 总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。
m1
f 12 f 21
m2
f12 :物体2对物体1的作用
f 21 :物体1对物体2的作用
f12 f 21
说明：①相互作用力作用于两个不同的物体，不能互相抵消。
2015/3/17 DUT 常葆荣
T 3mg sin
9
例题 一个水平的木质圆盘绕其中心竖直轴匀速转动，在盘 上离中心r=20cm处放一个铁块，如果铁块与木板间的 静摩擦系数 s=0.4，求圆盘转速增大到多少时，铁块 y N 开始在圆盘上移动。 解：对铁块分析，它在盘上不动时， 是作半径为r的匀速圆周运动，具有 法向加速度 a r 2
2015/3/17
DUT 常葆荣
8
例题 一个质量为m的珠子系在线的一端，线的另一端固定在墙 上，线长为l。先拉动珠子使线保持水平静止，然后松手使 珠子下落，求线摆下角时，这个珠子的速率和线的张力。 解：由于珠子沿圆周运动，所以我们按切向 和法向来列牛顿第二定律的分量式 在任意时刻，摆角为时，
S S’
非惯性系中，牛顿运动定律失效。 若在非惯性系研究问题，需寻找 适用的定律。
设
Fi
ao
S 为惯性系， S 为非惯性系， S 相对 S 做平动，加速度为 a0
S系： S’系:
F ma
F mao ma F Fi F ma
mao Fi
n
fs r mg
对铁块运用牛顿第二定律，得法向分量
f s man mr 2 由于 f s s N s mg s g 2 所以 s mg mr r
2015/3/17
O
s g
r
4.43( rad / s )
z n 42.3( r / min) 2
m
ar
a0
N m ( g a0 ) cos
2015/3/17
ar ( g a0 ) sin
mg
N ar
x
17
DUT 常葆荣
方法（二） 取升降机为参考系 惯性力
y
Fi ma0
mg
mg N Fi mar x 方向 N sin ma cos r
2015/3/17 DUT 常葆荣 7
例题 已知传送带与砖之间的摩擦系数s ，砖块质量m，皮带 倾角，求：匀速运砖时，皮带和砖块间的静摩擦力。
N
fs
解：1、分析力；
2、建坐标系；
mg sin f s max 0
mg
0
f s mg sin
砖块有下滑的趋势，摩擦力沿斜面向上， 当 fs>N s ,砖与皮带间有相对运动。 思考：若皮带加速运动，想保证砖与皮带 间无相对运动，加速度不可超过多大？
g 3 1 1.238 10 r a d s Re
Re 6378 km
g 9.778 ms
现在地球自转角转速度
170 0
2 0 7.27 106 rad s 1 24 3600
2015/3/17 DUT 常葆荣 16
例题 一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当 升降机以匀加速度a0 上升时，质量为m 的物体从斜 面顶端开始下滑。 求 物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。
2015/3/17 DUT 常葆荣 21
2、质心运动定理
一个质点系由n个质点构成
mi ri 两边对时 rc mi 间求导
drc vc 左= dt dri mi dt 右= mi
质心的速度
Mvc mi vi
Mvc mi vi P
质点系的总动量就等于质点 系的总质量与质心速度之积
a0
解 方法(一)
取地面为参考系
a a r a0 设物体的加速度为 a m g N m a m ( a r a0 )
x 方向 mg sin m ( ar a0 sin ) y 方向 N mg cos ma0 cos
惯性力
2015/3/17
a
a a a0
大小：mao
F m(a ao ) F ma mao
非惯性系中， 牛顿定律在形 式上成立！
方向： ao
DUT 常葆荣
惯性力不是真实力，所 以没有施力物体，没有 反作用力。虚拟力
12
转动参考系的惯性力
在转动的圆盘上，有一个相对圆盘静止的物体。 在地面参考系S中，物体做圆周运动， 牛顿运动定律成立
2 ydx 2 xdx
设薄板单位面积的质量为 小面元的质量为 dm 2 xdx
O x
a
x dx
xc
xdm dm
a/ 2
0 a/
0
2 a 2 3 2 x d x
2 x d x
2
质心和重心是两个不同的概念，质心是与物体质量分布有关 的一个特殊点，而重心是一个物体各部分所受重力的合力作 用点。
mao Fi
DUT 常葆荣
例题
在加速运动的列车上分析悬挂与列车天花板上的小球 的受力 y′
ao
以车厢为参考系，计算悬线和竖 直方向之间的夹角。 解：以车厢为参考系，小球静止
ma0 T
mg
a wk.baidu.com 0
以车厢为参考系，对小球用 牛顿第二定律 O
x′
a0 arctg g
14
x′向： T sin Fi ma x 0 y′向： T cos mg ma y 0
2. 第二定律：物体运动的量的变化率与施加在该物体上的 力成正比，并且发生在该力的方向上。 3. 第三定律：每一个作用力，总有一个等值的反作用与之 对应；或者说，两个相互作用的物体，彼此对对方的作用 总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。
2015/3/17 DUT 常葆荣 2
1. 第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态， 除非作用在其上的力迫使它改变这种状态。 惯性——质点不受力时保持静止或匀速直线运动状态的 性质, 其大小用质量量度。 力——使质点改变运动状态的原因 第一定律描述了力处于平衡时物体的运动规律。 提出了用于选择一类特殊参考系的标准。 惯性系——在惯性系中观察，一个不受力或处于受力平衡状 态的物体，将保持其静止或匀速直线运动的状态不变。 相对于惯性系做匀速直线运动的任何其它参考系也一定是惯 性系。
f s man m r
2
r ：圆心物体
f s m r 0
2
在圆盘S’系中的人观察，物体静止 非惯性系S’ 中
a 0 Fi f s m 2 r f s Fi ma 0
对转动参考系仍然成立。
13
Fi m 2 r
惯性力
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～惯性离心力，方向始终沿半径向外。
P mv
“物体运动的量的变化率” 动量对时间的变化率
“力”物体在该方向所受的合外力
d P d mv F外 dt dt
质量不变
dv F外 m ma dt
牛顿第二定律的基 本形式
2015/3/17
[SI]
1N 1kg ms
DUT 常葆荣
2
只适用于低速宏观 物体的运动
（3） N N mg ma ma N
618 N
ma mg mg
DUT 常葆荣
N mg ma 558 N
2015/3/17
15
例题
估算地球转速增大到目前转速的多少倍时赤道 处的物体会飞离地球？
解 分析：飞离地球——惯性离心力大于万有引力
f 惯 m Re
2
2
F引 mg
vx
F0t dv x dt 0 m
t
x
F0t 2 dx vx 2m dt
竖直方向有 运动轨迹为
2015/3/17
0d x 0
x
t
F0t 2 dt 2m
F0 3 x t 6m
Fy ma y 0 F0 3 x y 3 6mv 0
y v 0t
11
DUT 常葆荣
二、惯性力
Fi ma0
2015/3/17 DUT 常葆荣
例题 已知人的质量 m=60 kg ，站在电梯中的台秤上，当电 梯以 (1) a= 0 ；(2) a=0.5 ms-2上升； (3) a=0.5 ms-2下降， 分别求台秤的读数。 解 台秤的读数表示人体对其的压力 N
N
（1）
N
a a
（2）
N mg 60 9.8 mg 588 N
y 方向
N ar x
ma0
N cos mg ma0 mar cos N m ( g a0 ) cos ar ( g a0 ) sin
2015/3/17
DUT 常葆荣
18
三、质心运动定理
1、质点系的质心
质心——与质点系统质量分布有关的一个代表点。它 的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。 质点系中第i个质点的质量为mi ，位矢为 r i 质心的位矢
相互作用力属同类，同时存在，同时消失。 系统的内力成对出现，并且内力之和为0.
2015/3/17 DUT 常葆荣 6
动力学问题： 力运动
运动力
解题步骤 1、确定研究对象； 2、分析物体的运动状态；(不同物质运动间的关系) 3、分析力，一个不多，一个不少； 4、选定坐标系按牛顿定律列方程； 5、解方程。先字母，后代数，结果有单位； 6、分析讨论所得结果，判断结果是否正确。
第二章 质点和质点系动力学
牛顿运动定律和质心运动定理
动量定理和动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
功能原理和机械能守恒定律
2015/3/17
DUT 常葆荣
1
2.1
牛顿运动定律和质心运动定理
一、牛顿运动定律 1. 第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态， 除非作用在其上的力迫使它改变这种状态。
dv T ds 切向： mg cos ma m d dt ds ds ld mg cos ds m dv mg dt v 1 2 gl cos d vdv gl sin v v 2 gl sin 2 0
0
v 2 法向：T mg sin ma m l
x
DUT 常葆荣
10
例 设一高速运动的带电粒子沿竖直方向以 v0 向上运动，从 时刻 t = 0 开始粒子受到 F =F0 t 水平力的作用，F0 为常 量，粒子质量为 m 。
求 粒子的运动轨迹。
解 水平方向有 Fx F0t ma x
v0
y
m
o
F (t )
dv x ax dt
0
mi ri rc mi
mi M
质点系的 总质量
直角坐标系中，质心位置的三个直角坐标为
mi xi xc mi
mi yi yc mi
rc xc i yc j zc k
mi zi zc mi
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2015/3/17
DUT 常葆荣
例题 质点系有两个质点m1和m2，求出质点系质心的位置。 y 解 l2 rc xc i yc j m1 l 1 m2 m1 x1 m2 x2 mi xi xc xc r c mi m1 m2 r
2015/3/17 DUT 常葆荣 3
地球参考系，自转加速度a ~ 3.4 cms-2 地心参考系，公转加速度a ~ 0.6 cms-2 太阳参考系，绕银河系加速度a ~ 3 10-8 cms-2
客观上，没有最好的惯性系，只有更好的惯性系。
2015/3/17
DUT 常葆荣
4
2. 第二定律：物体运动的量的变化率与施加在该物体上的 力成正比，并且发生在该力的方向上。 动量 =质量 速度 动量 “运动的量”
m1 xc x1 m2 x2 xc
1
m1 l1
分离连续
r2
m2 l2
求和积分
O y
x
mi ri rc mi
xc
rc
yc
r dm
dm
zc zdm M
r
z O
dm
x
20
xdm
M
ydm
M
2015/3/17
DUT 常葆荣
例题 求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。 y 解：小面元的面积为
d vc d vi 两边对时 Mvc mi vi M mi 间求导 dt dt
5
3. 第三定律：每一个作用力，总有一个等值的反作用与之 对应；或者说，两个相互作用的物体，彼此对对方的作用 总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。
m1
f 12 f 21
m2
f12 :物体2对物体1的作用
f 21 :物体1对物体2的作用
f12 f 21
说明：①相互作用力作用于两个不同的物体，不能互相抵消。
2015/3/17 DUT 常葆荣
T 3mg sin
9
例题 一个水平的木质圆盘绕其中心竖直轴匀速转动，在盘 上离中心r=20cm处放一个铁块，如果铁块与木板间的 静摩擦系数 s=0.4，求圆盘转速增大到多少时，铁块 y N 开始在圆盘上移动。 解：对铁块分析，它在盘上不动时， 是作半径为r的匀速圆周运动，具有 法向加速度 a r 2
2015/3/17
DUT 常葆荣
8
例题 一个质量为m的珠子系在线的一端，线的另一端固定在墙 上，线长为l。先拉动珠子使线保持水平静止，然后松手使 珠子下落，求线摆下角时，这个珠子的速率和线的张力。 解：由于珠子沿圆周运动，所以我们按切向 和法向来列牛顿第二定律的分量式 在任意时刻，摆角为时，
S S’
非惯性系中，牛顿运动定律失效。 若在非惯性系研究问题，需寻找 适用的定律。
设
Fi
ao
S 为惯性系， S 为非惯性系， S 相对 S 做平动，加速度为 a0
S系： S’系:
F ma
F mao ma F Fi F ma
mao Fi
n
fs r mg
对铁块运用牛顿第二定律，得法向分量
f s man mr 2 由于 f s s N s mg s g 2 所以 s mg mr r
2015/3/17
O
s g
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4.43( rad / s )
z n 42.3( r / min) 2