研究生矩阵论试题与答案
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中国矿业大学
级硕士研究生课程考试试卷
考试科目矩阵论
考试时间年月
研究生姓名
所在院系
学号
任课教师
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求
10
d At
e t ⎰
（用矩阵A 或其逆矩阵表示）
； （2）设1234(,,,)T
a a a a =α是给定的常向量，42)(⨯=ij x X 是矩阵变量，求T
d()d X αX
；
（3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k
k A A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组
d d (0)x
Ax t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪
⎪=⎩，508316203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，0111x ⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭ （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At
e ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax =
312312
111x x x x x x =⎧⎪
++=⎨⎪+=⎩ （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ；
（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设
11
13A ⎫=⎪⎭
求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。
五（10分） 设(0,,2)T
n
A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2
()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n
r
A R ⨯∈，
（1）证明rank()n I A A n r +
-=-；
（2）0Ax =的通解是(),n
n x I A A y y R +=-∀∈。
七（10分）证明矩阵
21212123
111222222243333
33644421(1)(1)n n n n
n n n n n n ---⎛
⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪+++⎝
⎭
A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
八（15分） 设A 是可逆矩阵，
1
1
,B A A
αβ-=-=（这里矩阵范数都是算子范数）， 如果βα<，证明
（1）B 是可逆矩阵；（2）1
1B αβ
-≤
-；（3）11
()B A βααβ---≤-。
参考答案
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求
10
d At
e t ⎰
（用矩阵A 或其逆矩阵表示）
； （2）设1234(,,,)T
a a a a =α是给定的常向量，42)(⨯=ij x X 是矩阵变量，求T
d()d X αX
；
（3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k
k A A ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∞→)(lim ρ。 解
（1）1
11
00
At
At
de e dt A dt dt
-⎛⎫=
⎪⎝⎭
⎰⎰1()A
A e I -=- （2） 由⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=∑∑==412411j j j j j j a x a x X α，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∑∑==4
1241
1)(j j j j j
j T a x a x X α得
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=24
2322
21
14131211
)()()()()()()()()(x X x X x X x X x X x X x X x X dX
X d T T T T T T T T
T
ααααααααα ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=43
2
1
43210
00000a a a a a a a a （3）A 的特征根为1236,0λλλ===，()6A ρ=.由于A 可对角化, 即存在可逆矩阵C ，使
1600A C C -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，从而1
10()0A C C A ρ-⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故 11111lim lim 00.()600k
k
k k A C C C C A A ρ--→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二（15分）设微分方程组
d d (0)x
Ax t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪
⎪=⎩，508316203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，0111x ⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭ （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At
e ； （3）求该方程组的解。 解 （1）
3(1)I A λλ-=-，2()(1)A m λλ=-；
（2）()(1)t
r a b e t t λλλ=+=+-，140
8()3162014At t t t e r A e t
t t t +⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭； （3）0112()1916At t t x t e x e t t +⎛⎫
⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax =
312312
1
11x x x x x x =⎧⎪
++=⎨⎪+=⎩ （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+
A ；
（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。 解
（1）001011101111100111010A FG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（不唯一）