研究生矩阵论试题与答案

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研究生矩阵论试题及答案

09级-研-矩阵论试题及参考答案一（15分）设实数域上的多项式321()223p x x x x =+++，322()23p x x x x =+++ 323()45p x x x x =-+--，324()367p x x x x =-++（1）求线性空间()1234span ,,,W p p p p =的一组基和维数；（2）求多项式32()41p x x x =++在你所求基下的坐标。

解：（1）111110021130101224600123357000r A -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪=−−→⎪ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭123,,p p p 是W 的一组基，dim 3W =；（2）123()()()()p x p x p x p x =++，p 的坐标为(1,1,1)T x =。

或：x^3+1 , x^2 , x+1.这三个基形式是最简单的。

坐标为（1，4，0）。

二（15分）(1)设2T ()tr()Ff X XX X ==,其中()m n ij m n X x R ⨯⨯=∈是矩阵变量，求dfdX ；（2）设()m nij m n A a R ⨯⨯=∈，12(,,,)T n n x x x x R =∈ 是向量变量，()F x Ax =，求T dF dx.解（1）211()m nij i j f X x ===∑∑，2ij ijfx x ∂=∂， ()22ij m n ijm ndf f x X dX x ⨯⨯⎛⎫∂=== ⎪ ⎪∂⎝⎭；(2) 111()n k k k n mk k k a x F x Ax a x ==⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭∑∑ ，1,1,2,,i i mi a F i n x a ⎛⎫∂ ⎪== ⎪∂ ⎪⎝⎭ ， 11111(,,)n T nm mn a a dF F F A dx x x a a ⎛⎫∂∂ ⎪=== ⎪∂∂ ⎪⎝⎭。

三（15分）已知微分方程组0d d (0)xAx t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，200031011A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（1）求矩阵A 的Jordan 标准形J 和可逆矩阵P 使1P AP J -= （2）求矩阵A 的的最小多项式)(λA m （3）计算矩阵函数Ate ；（4）求该微分方程组的解。

研究生期末试题矩阵论a及答案

计算 ,
,
可得谱分解式（10分）
六、当时，；当时，存在与使得，从而有
，（4分）
对于，有
，（7分）
对于，有
所以是中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
，，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为，所以，于是
由此知的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当时，，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间中任意矩阵，规则，分别为
，问，是否为上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基，，，下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因，，故为上的变换，不是上的变换。（4分）
又对于线性空间中任意矩阵，，，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，
其中，试求，，， .
八、(10分)已知矩阵，写出矩阵函数的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长春理工大学
研究生期末考试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第一学期□开卷√闭卷
长春理工大学
研究生期末考试试题
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：理工科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第一学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间中任意矩阵，规则，分别为，问，是否为上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基，，，下的矩阵．

矩阵引论试题及答案

矩阵引论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素全部为0的矩阵称为：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 标量矩阵答案：A2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行（列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行数变为列数C. 矩阵的列数变为行数D. 矩阵的元素不变答案：A4. 两个矩阵相乘的结果称为：A. 矩阵的和B. 矩阵的差C. 矩阵的积D. 矩阵的逆答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果矩阵A的行列式为0，则称矩阵A为________。

答案：奇异矩阵2. 矩阵A的逆矩阵记作________。

答案：A^(-1)3. 矩阵A与矩阵B相乘，记作________。

答案：AB4. 对于任意矩阵A，矩阵A与单位矩阵相乘的结果仍然是________。

答案：A三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述矩阵的行列式是什么？答案：矩阵的行列式是一个标量值，它提供了关于矩阵的一些重要信息，如矩阵是否可逆（行列式非零则可逆）、线性方程组是否有解等。

2. 矩阵的逆矩阵有什么性质？答案：矩阵的逆矩阵具有以下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，以及单位矩阵I的逆矩阵仍然是I。

3. 矩阵的转置矩阵有什么特点？答案：矩阵的转置矩阵具有以下特点：(A^T)^T = A，(AB)^T =B^TA^T，以及矩阵A的转置矩阵的行列式等于矩阵A的行列式。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，计算A的行列式。

答案：\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 给定矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{bmatrix}\]，计算B的逆矩阵。

《矩阵论》习题答案,清华大学出版社,研究生教材习题 2.2

= k1 1 ( 1 , ) k 2 2 ( 2 , ) = k1 H 1 k 2 H 2 故是线性变换.又因为
( H , H ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , ) ( , ) 2 ( 2 2 )
, (i 1, , n 2) .如此
又因为各行与第 n 1 行正交，故 ai ,n1 0 由下往上逐行递推，即得结果.
8
17. 证：因为
( A S )( A S ) ( A S ) ( A S ) ( A S )
1 T 1 T T
5. 证：由 ( ( ( 得
cos , ( , )
( ), ( ), (β),
(β))= ( , β) ( ))=( , ) (β))= (β, β)
. ( ), (β))／｜ ( ), (β)＞ ( ) ｜｜ (β)) ｜
= (
= cos＜
1
1
，使
1
( 1 ) 1 . 令
1
( j ) j ( j 2,3, , n) ，如果 j j , j 2,3, , n ，则
2
=
，结论
成立.否则可设 2 2 ，再作镜面反射
2
：
2 2 2 2
( ) 2( , ) ,

于是
2
( 2 ) 2 ，且可验算有
2
(1 ) 1 .
如此继续下去，设经 s 次正交变换
1 , 2 , n , 1 , 2 , , n
1 , 2 , 3, , n 1 , 2 , , n

研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全

B.
1 2 1
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
0 0 0
五、(15 分)求矩阵
的满秩分解：
1 0 1 2 A 1 2 1 1
2 2 2 1
解：
A
E

1 1
0 2
1 1
2 1

1 0
0 1
0 0
2 2 2 1 0 0 1
1 0 1 2 1 0 0
令 g n n2 2 1 n2 2 1 2 1
2 1 n2 1 2 1 1 n3 n4 1 3
由 Hamilton-Cayley 定理知 gA 0
et e 2t
a0 a0
a1 2a1
于是解得：
a0 a1
2et e2t

e 2t et
从而：
f A e At gA a0 E a1 A

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二1．化下列矩阵为Smith 标准型：（1）222211λλλλλλλλλ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦; （2）22220000000(1)00000λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; （3）2222232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+--+-⎢⎥+--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦;(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦. 解：（1）对矩阵作初等变换133122222222111001100(1)c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦23221311(1)1010000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦，则该矩阵为Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+)1(1λλλ；（2）矩阵的各阶行列式因子为44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,从而不变因子为222341234123()()()()1,()(1),()(1),()(1)()()()D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ===-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦；（3）对矩阵作初等变换1332212132132222222222242322(2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤+--+----⎢⎥⎢⎥+--+-−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3122131211342322(2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥−−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1)⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦故该矩阵的Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--)1()1(112λλλ; (4)对矩阵作初等变换152323230100014360220002206200020101001010033122003312200c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦12213231322000100010002200000020002010100100000100001000c c r r c c c c λλλλλλλλλλλλλλ+-+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2143145425222000101000000000000000000001000000010010000001r r c c c c c c c c λλλλλλλλλλ--↔-↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦在最后的形式中，可求得行列式因子3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===,于是不变因子为2541234534()()()()()1,()(1),()(1)()()D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ=====-==-故该矩阵的Smith 标准形为2100000100000100000(1)00000(1)λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 2.求下列λ-矩阵的不变因子：（1）210021002λλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）10010000λαββλαλαββλα+⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦；（3）100100015432λλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎣⎦；（4）0012012012002000λλλλ+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦. 解：（1）该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1，故12()()1,D D λλ==而33()(2)D λλ=-，所以该λ-矩阵的不变因子为2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;（2）当0β=时，由于4243()(),()()D D λλαλλα=+=+，21()()1D D λλ==，故不变因子为12()()1d d λλ==，2234()(),()()d d λλαλλα=+=+当0β≠时，由于224()[()]D λλαβ=++，且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=，则3()1D λ=，故21()()1D D λλ==，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;（3）该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-，故123()()()1,D D D λλλ===而4324()2345D λλλλλ=++++，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;（4）该λ-矩阵的行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.3．求下列λ-矩阵的初等因子：（1）333232212322λλλλλλλλ⎡⎤++⎢⎥--+--+⎣⎦；（2）3223222212122122λλλλλλλλλλ⎡⎤-+--+⎢⎥-+--⎣⎦. 解：(1)该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-，故初等因子为21,(1)λλ+-；(2) 该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-，故不变因子为12()1,()(1)(1),d d λλλλλ=-=+-因此，初等因子为1,1,1λλλ+--.4．求下列矩阵的Jordan 标准形：（1）131616576687⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦；（2）452221111-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（3）3732524103-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（4）111333222-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（5）03318621410⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（6）1234012300120001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解：（1）设该矩阵为A ，则210001000(1)(3)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦，故A 的初等因子为2(1)(3)λλ-+，则A 的Jordan 标准形为300011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）设该矩阵为A ，则310001000(1)E A λλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，故A 的初等因子为3(1)λ-，从而A 的Jordan 标准形为110011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（3）设该矩阵为A ，则210001000(1)(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦,故A 的初等因子为1,,,i i λλλ-+-从而A 的Jordan 标准形为1000000i i ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （4）设该矩阵为A ，则21000000E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故A 的初等因子为2,λλ，从而A 的Jordan 标准形为000001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （5）设该矩阵为A ，则210001000(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥+⎣⎦,故A 的初等因子为2,(1)λλ+，从而A 的Jordan 标准形为000011001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （6）设该矩阵为A ，则1234012300120001E A λλλλλ----⎡⎤⎢⎥---⎢⎥-=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦，该λ-矩阵的各阶行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(1)D λλ=-，则不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(1)d λλ=-，故初等因子为4(1)λ-，则A 的Jordan 标准形为1100011000110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 5．设矩阵142034043A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求5A .解：矩阵A 的特征多项式为2()(1)(5)A f I A λλλλ=-=--，故A 的特征值为11λ=,235λλ==.属于特征值11λ=的特征向量为1(1,0,0)Tη=,属于235λλ==的特征向量为23(2,1,2),(1,2,1)T Tηη==-.设123121[,,]012021P ηηη⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100050005⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1A P P -=Λ.,故4455144441453510354504535A P P -⎡⎤⨯⨯-⎢⎥=Λ=-⨯⨯⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎣⎦. 6.设矩阵211212112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵P ，使得1P AP J -=.解:(1) 求A 的Jordan 标准形J .221110021201011200(1)I A λλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦,故其初等因子为21,(1)λλ--，故A 的Jordan 标准形100011001J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)求相似变换矩阵P .考虑方程组()0,I A X -=即1231112220,111x x x -⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭解之,得12100,111X X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.其通解为1122k X k X +=1212k k k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭,其中21,k k 为任意常数.考虑方程组1122312111222,111x k x k x k k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭11212121211111122200021110002k k k k k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故当1220k k -=时,方程组有解.取121,2k k ==,解此方程组,得3001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.则相似变换矩阵123100[,,]010111P X X X ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.7.设矩阵102011010A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算8542234A A A A I -++-. 解: 矩阵A 的特征多项式为3()21A f I A λλλλ=-=-+,由于8542320234(21)()(243710)f λλλλλλλλλ-++-=-++-+,其中532()245914f λλλλλ=+-+-. 且32A A I O -+=,故8542234A A A A I -++-=2348262437100956106134A A I --⎡⎤⎢⎥-+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.8.证明：任意可逆矩阵A 的逆矩阵1A -可以表示为A 的多项式. 证明:设矩阵A 的特征多项式为12121()n n n A n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++,则12121n n n n n A a A a A a A a I O ---+++++=,即123121()n n n n n A A a A a A a I a I ----++++=-,因为A 可逆,故(1)0nn a A =-≠,则11231211()n n n n nA A a A a A a I a -----=-++++9.设矩阵2113A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试计算4321(5668)A A A A I --++-.解: 矩阵A 的特征多项式为2()57A f I A λλλλ=-=-+,则227A A I O -+=,而432225668(57)(1)1λλλλλλλλ-++-=-+-+-,故14321111211(5668)()12113A A A A I A I ----⎡⎤⎡⎤-++-=-==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，－1，2，试将2nA 表示为A 的二次式. 解: 矩阵A 的特征多项式为()(1)(1)(2)A f I A λλλλλ=-=-+-,则设22()()n f g a b c λλλλλ=+++,由(1)0,(1)0,(2)0,f f f =-==得21,1,422.n a b c a b c a b c ++=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩解之，得2211(21),0,(24)33n n a b c =-==--,因此2222211(21)(24)33n n n A aA bA cI A I =++=---.11.求下列矩阵的最小多项式：（1）311020111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）422575674-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（3）n 阶单位阵n I ；（4）n 阶方阵A ，其元素均为1；（5）0123103223013210a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦. 解:(1) 设311020111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 231110002002011100(2)I A λλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故该矩阵的最小多项式为2(2)λ-.(2) 设422575674A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,则 2(2)(511)I A λλλλ-=--+,故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为2(2)(511)λλλ--+(3) n 阶单位阵n I 的最小多项式为()1m λλ=-. (4) 因为1()n I A n λλλ--=-,又2A nA =,即2A nA O -=,故该矩阵的最小多项式为()n λλ-.(5)因为22222200123[2()]I B a a a a a λλλ-=-++++,而2222200123()2()m a a a a a λλλ=-++++是I B λ-的因子,经检验知()m λ是矩阵B 的最小多项式.。

矩阵论试题

矩阵论试题一、选择题1.设A是n阶方阵，若|A|=0，则A（）。

A. 一定是可逆矩阵B. 一定是不可逆矩阵C. 可能是可逆矩阵，也可能是不可逆矩阵D. 以上说法均不正确答案：B2.若矩阵A与B相似，则A与B具有（）。

A. 相同的特征值B. 相同的特征向量C. 相同的秩D. 相同的行列式答案：A、D（相似矩阵具有相同的特征值和行列式，但特征向量不一定相同，秩也一定相同，但此题只问具有什么，故A、D为正确答案）3.下列矩阵中，属于正交矩阵的是（）。

A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 上三角矩阵D. 任意方阵答案：A（单位矩阵是正交矩阵的一种特殊情况）二、填空题1.设矩阵A=(1324)，则A的行列式|A|=______。

答案：-2（根据行列式的定义和计算方法，有|A|=1×4-2×3=-2）2.若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B为______。

答案：可交换矩阵（或称为可交换的）3.设n阶方阵A的伴随矩阵为A，则|A|=______。

答案：|A|(n-1)）三、计算题1.设矩阵A=(2113)，求A的逆矩阵A^(-1)。

解答：首先求|A|，有|A|=2×3-1×1=5≠0，所以A可逆。

然后利用逆矩阵的公式A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A*是A的伴随矩阵。

A的伴随矩阵A=(3−1−12)（伴随矩阵的元素是A的每个元素的代数余子式构成的矩阵的转置）。

所以A^(-1)=(1/5)×A=(3/5−1/5−1/52/5)。

2.设矩阵A=147258369，求A的秩R(A)。

解答：对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形。

通过初等行变换，可以得到A的行最简形为1002−303−60。

所以R(A)=2（非零行的个数）。

四、证明题1.证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。

证明：根据可逆矩阵的定义，若矩阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）。

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一

A = ∑∑ aij Fij ，故 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , L , Fnn 是 R n×n 中全体对称矩阵所构
i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) ，则 Gij 是反对称矩阵，易证
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ，则 Fij 是对称矩阵，易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线性无关，且对任意 n 阶对称矩阵 A = (aij ) n×n ，其中 aij = a ji ，有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +

上海交大研究生矩阵理论答案

习题一cosnx sin nxcosx sin x cos(n 1)x sin( n 1)x1．（ 1）因=sin(n1)x cos(n ，故由概括法知sin nx cosnx sin x cosx1)xA n cosnx sin nx。

sin nx cosnx（ 2）直接计算得 A 4 E ，故设 n 4k r (r 0,1,2,3) ，则 A nA 4 k A r( 1)k A r ，即只要算出 A 2, A 3 即可。

0 10 1（3）记 J=，则，1 0a n C n 1a n 1 C n 2 a n 2C n nna nC n 1 a n 1C n n 1aA nJ )n C n i a i J n ia n(aE。

i 0 C n 1a n 1a n2．设 AP1a1 则由2E 得P(a 1,0),A2a1时,11111221 不行能。

10 121而由 a 0时, 1112知i1 因此所求矩阵为 PB i P 1 ，2222此中 P 为随意满秩矩阵，而B 11 0 1 01 00 , B 2, B 3。

111注： A 2E 无实解， A n E 的议论同样。

3．设 A 为已给矩阵，由条件对随意n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2个未知数时线性方程 AXXA=0 有 n 2 个线性没关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，经过直接查验即发现 A 为纯量矩阵。

a n a n 1 a 1 0A 4．分别对（ AB ）和作行（列）初等变换即可。

C5．先证 A 或 B 是初等到阵时有 AB * B * A * ，进而当 A 或 B 为可逆阵时有 *ABB *A * 。

考虑到初等变换 A 对 B 的 n1 阶子队列式的影响及 A * A 1 即可得前方提到的结果。

下设 PAQE r 0，（这里 P ， Q 满秩），则由前议论只要证下式建立刻可： 0E r 0 *E r 0 *BB *，0 0（ 1） r<n-1 时，因秩小于n-1 的 n 阶方阵的 n-1 阶子式全为 0，结论明显；Bn1**Bn2（ 2） r=n-1 时， E r 00 0 ， B * E r 0 00 B nn，但0 00 1 0 0b 11b12b1 nb 11b12b1nE r 0b 21b22b2nb 21b 22b2n，故0 0b n1bn2bnn0 0*Bn1Bn 2*E r 0B* E r 0。

研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题

证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和
A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U*
∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在
2 5
5 0 1 5
0 1 0
1
5
0
2 5
习题3-9
#3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则 A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵.
证: A*A=((E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1
=((E+T+iS)-1(E-(T+iS))(E+(T+iS))(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =E
∴ A+B是正定Hermite矩阵.
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*,
其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集合的任意排列.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得其中1,…, ArA=n是=UUdAdi的iaag特g((征1r1,,值…….,,于nn是r))U,U**,=0 蕴∴涵Air==U0d,iia=g1(,0…,…,n,.0后)U者*=又0.蕴涵 1=…=n=0.

矩阵考试题及答案详解

矩阵考试题及答案详解一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵的行列式为零，意味着什么？A. 矩阵是奇异的B. 矩阵是偶数阶的C. 矩阵是对称的D. 矩阵是单位矩阵答案：A2. 矩阵A和矩阵B可以相乘的条件是？A. A的列数等于B的行数B. A的行数等于B的列数C. A和B的行数相同D. A和B的列数相同答案：A3. 矩阵的转置操作会改变矩阵的什么？A. 行列数B. 元素位置C. 行列式值D. 秩答案：B4. 矩阵的逆矩阵存在的条件是？A. 矩阵是方阵B. 矩阵是满秩的C. 矩阵的行列式非零D. 所有以上条件答案：D5. 矩阵的秩是指？A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中最大线性无关行或列的数量D. 矩阵的行数和列数之和答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果矩阵A的行列式为1，则称矩阵A为________矩阵。

答案：单位2. 矩阵的________是指矩阵中任意两行（或两列）的元素对应相乘后求和的结果。

答案：元素3. 矩阵的________是指矩阵中所有元素的平方和的平方根。

答案：范数4. 矩阵A和矩阵B相乘得到单位矩阵，称矩阵B为矩阵A的________。

答案：逆矩阵5. 如果矩阵A和矩阵B的秩相等，则称矩阵A和矩阵B是________的。

答案：等价三、解答题（每题10分，共20分）1. 给定矩阵A和矩阵B，求它们的乘积AB，并说明结果矩阵的行列式。

答案：首先计算矩阵A和矩阵B的乘积AB，然后根据行列式的性质，结果矩阵AB的行列式等于矩阵A的行列式乘以矩阵B的行列式。

2. 证明矩阵的秩等于其行秩和列秩。

答案：矩阵的秩是指矩阵中最大线性无关行或列的数量。

由于矩阵的行和列可以相互转换（通过转置操作），因此矩阵的行秩和列秩实际上是相等的，即矩阵的秩等于其行秩和列秩。

四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。

答案：设矩阵A的行列式为det(A)，矩阵A的转置为A^T。

华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A卷)矩阵论答案

华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A卷）(2013-2014)一、判断题（每小题2分，共10分）1. 方阵的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。

(X)见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n，后者小于等于n2.性无关的向量,则.正确，线性无关的向量张成一组基3.的线性子空间,的线性子空间.错误，按照线性子空间的定义进行验证。

Aλ4. n阶-()逆的充分必要条件是Aλ的秩是n .()见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数5. n阶实矩阵A是单纯矩阵的充分且必要条件是的最小多项式没有重根.见书90页。

二、填空题（每小题3分，共27分）（6则Jordan标准型为首先写出然后对于若当标准型要求非对角元部分为1.（7的Smith标准型为见书61-63页，将矩阵做变换即得（8）设，则。

见书109页，可将A对角化再计算即得。

（9在基。

见书12页，自然基下坐标为（2,3,4，-5）T，再写出过渡矩阵Ａ，坐标即A的逆乘以自然基下坐标。

对于本题来说。

由于第一行实际上只和前两个基有关，第二行只和后两个基有关。

因此不用那么麻烦，只需要计算（1,1）x+（1,2）y=（2,3）就可得解为1,1.再解（1，-3）x+（2,1）y=（4，-5）就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。

（10）设15。

见书100页，计算每行的绝对值的和。

（11）对矩阵中的每个元素求极限。

12设是已知矩阵，则矩阵方程的极小范数最小二乘解是见书113-115页，将矩阵方程拉直，再用广义逆的定义去算。

（12）若n。

见书121以后面的项都为零。

（13）方阵的特征多项式是小多项式是则Jordan标准形是有1阶的若当块。

三(7分)、设证明有唯一解。

见书114页，本题需要验证A和-B没有相同的特征值，具体解法如下。

证明：非奇异。

显然,的特征值为,下证明：不是的特征值：方法1：三个行圆盘分别是,的特征值，从而0不是的特征可逆，从而有唯一解。

研究生课程-《矩阵分析》试题及答案

第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。

故1x ，2x ，3x 是线性无关的。

（2）用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，；显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

关于矩阵考试题及答案

关于矩阵考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵的行列式为0，说明该矩阵是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正交的D. 对称的答案：B2. 矩阵A与矩阵B相乘的结果为零矩阵，那么矩阵A和矩阵B：A. 至少有一个是零矩阵B. 都是零矩阵C. 都是单位矩阵D. 至少有一个不可逆答案：D3. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的数量B. 矩阵中线性无关的行或列的最大数量C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B4. 矩阵的特征值是：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的非对角线元素C. 满足特征方程的λ值D. 矩阵的转置答案：C5. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的秩C. 矩阵对角线元素的和D. 矩阵的逆矩阵答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果矩阵A的行列式为-5，则矩阵A的逆矩阵的行列式为______。

答案：-1/52. 矩阵A和矩阵B相乘得到单位矩阵，那么矩阵A和矩阵B互为______。

答案：逆矩阵3. 对于一个3x3的矩阵，其秩最大为______。

答案：34. 如果一个矩阵的所有行（或列）都线性相关，则该矩阵的秩为______。

答案：05. 矩阵的特征值可以通过求解特征方程______得到。

答案：det(A-λI)=0三、计算题（每题10分，共20分）1. 给定矩阵A=[1 2; 3 4]，求矩阵A的行列式。

答案：det(A) = 1*4 - 2*3 = -22. 给定矩阵B=[2 0; 0 3]，求矩阵B的逆矩阵。

答案：B^(-1) = [1/2 0; 0 1/3]四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果矩阵A和矩阵B可交换，即AB=BA，那么它们的特征值可以同时对角化。

答案：略2. 证明：对于任意的方阵A，有tr(A) = tr(A^T)。

答案：略。

矩阵论考试试题(含答案)精选全文

可编辑修改精选全文完整版矩阵论试题一、(10分）设函数矩阵 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()⎰tdt t A 0和(()⎰20t dt t A )'。

解:()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 000sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t tt t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2t dt t A )'=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅22222sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、（15分)在3R 中线性变换σ将基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2303β(１)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示Ａ；(2）求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标; (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。

解：（1)不难求得:()2111ααβασ-==()32122αααβασ++-==()321332αααβασ++-== 因此σ在321,,ααα下矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110211111A(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101321k k k 解之得:9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。

()ξσ在321,,ααα下坐标可得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133223*********1111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6151941001111110194101A()ξσ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ,求At e 。

矩阵论考试题和答案(详细)

1 1 1 1
因此 B = Udiag (λ ,L , λ )U = Vdiag (λ ,L , λ )V H = E 。
H
1 3 1
1 3 n
1 3 1
1 3 n
-------------4
（2）因为 A ≥ 0 ，所以 A 的特征值均非负。设 A 的特征值为 λ1 ,L , λn ，且 λ1 ≥ L ≥ λn ≥ 0 ，则 A2 的特征值为 λ12 ,L , λn2 ，于是
AT Ax = AT b
的解，所以不相容线性方程组 Ax = b 的最小二乘解唯一当且仅当 AT A 非奇异，即 rank ( AT A) = n 。因为 rank ( AT A) = rank ( A) ，所以不相容线性方程组 Ax = b 的最小二乘解唯一当且仅当 A 列满秩。 -----------4
记 P = U H V = ( pij ) ，则 diag (λ1 ,L , λn ) P = Pdiag (λ1 ,L , λn ) ，从而
λi pij = λ j pij (i, j = 1,L , n) ，
于是
1 1
λi3 pij = λ j3 pij (i, j = 1,L , n) ，
即
diag (λ13 ,L , λn3 ) P = Pdiag (λ13 ,L , λn3 ) ，
A + = C T ( CC
T
-----------------5
1 4 0 1 − 4
)−1 ( B T B )−1 B T
1 − 4 = 0 1 4
0 1 0
---------5
1 （2）因为 AA + b = 2 ≠ b ; 所以不相容的。 -----------3 2 1 4 -----------3 其极小最小二乘通解为 x = A + b = 2 1 − 4 （3）因为 x 是不相容线性方程组 Ax = b 的最小二乘解当且仅 x 是如下相容线性方程组

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中国矿业大学级硕士研究生课程考试试卷考试科目矩阵论考试时间年月研究生姓名所在院系学号任课教师一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求10d Ate t ⎰（用矩阵A 或其逆矩阵表示）；（2）设1234(,,,)Ta a a a =α是给定的常向量，42)(⨯=ij x X 是矩阵变量，求Td()d X αX；（3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求kk A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→)(lim ρ。

二（15分）设微分方程组d d (0)xAx t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，508316203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，0111x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ （1）求A 的最小多项式)(λA m ；（3）求Ate ；（3）求该方程组的解。

三（15分）对下面矛盾方程组b Ax =312312111x x x x x x =⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ （1）求A 的满秩分解FG A =；（2）由满秩分解计算+A ；（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。

四（10分）设1113A ⎫=⎪⎭求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。

五（10分）设(0,,2)TnA R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2()tr()m A λλλ=-；（2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。

六（10分）设m nrA R ⨯∈，（1）证明rank()n I A A n r +-=-；（2）0Ax =的通解是(),nn x I A A y y R +=-∀∈。

七（10分）证明矩阵2121212311122222224333333644421(1)(1)n n n nn n n n n n ---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。

八（15分）设A 是可逆矩阵，11,B A Aαβ-=-=（这里矩阵范数都是算子范数），如果βα<，证明（1）B 是可逆矩阵；（2）11B αβ-≤-；（3）11()B A βααβ---≤-。

参考答案一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求10d Ate t ⎰（用矩阵A 或其逆矩阵表示）；（2）设1234(,,,)Ta a a a =α是给定的常向量，42)(⨯=ij x X 是矩阵变量，求Td()d X αX；（3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求kk A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→)(lim ρ。

解（1）11100AtAtde e dt A dt dt-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰1()AA e I -=- （2）由⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==412411j j j j j j a x a x X α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==412411)(j j j j jj T a x a x X α得⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=2423222114131211)()()()()()()()()(x X x X x X x X x X x X x X x X dXX d T T T T T T T TTααααααααα ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43214321000000a a a a a a a a （3）A 的特征根为1236,0λλλ===，()6A ρ=.由于A 可对角化, 即存在可逆矩阵C ，使1600A C C -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，从而110()0A C C A ρ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故 11111lim lim 00.()600kkk k A C C C C A A ρ--→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二（15分）设微分方程组d d (0)xAx t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，508316203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，0111x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ （1）求A 的最小多项式)(λA m ；（3）求Ate ；（3）求该方程组的解。

解（1）3(1)I A λλ-=-，2()(1)A m λλ=-；（2）()(1)tr a b e t t λλλ=+=+-，1408()3162014At t t t e r A e tt t t +⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭；（3）0112()1916At t t x t e x e t t +⎛⎫⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭三（15分）对下面矛盾方程组b Ax =312312111x x x x x x =⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ （1）求A 的满秩分解FG A =；（2）由满秩分解计算+A ；（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。

解（1）001011101111100111010A FG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（不唯一）（2）11211126422A +-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；（3）11132LS x A b +⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭；四（10分）设1113A ⎫=⎪⎭求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）解111124131102A -⎫⎫⎛⎫==⋅⎪⎪ ⎪⎭⎭⎝⎭五（10分）设(0,,2)TnA R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2()tr()m A λλλ=- （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。

证（1）易知rank()1A =，tr()TA βα=，故2()tr()()()T T m A A A A A A O βαβα=-=-=又对任意的一次多项式()g c λλ=+，()g A A cI O =+≠。

反证，如果A cI O += 当0c =时，A O =，矛盾。

当0c ≠时，rank()rank()2A cI n =-=≥，矛盾。

（2）由()(tr())0m A λλλ=-=根知，A 的特征值只能是0或tr()TA βα=当tr()0TA βα=≠时，()m λ无重根，A 可对角化，再由rank()1A =知0~0T A J βα⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当tr()0TA βα==时，A 的特征值全是00λ=，由0rank()1n I A n λ--=-知00λ=对应的特征向量只有1n -的线性无关的，从而0~010A J ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭六（10分）设m nrA R ⨯∈，（1）证明rank()n I A A n r +-=-；（2）0Ax =的通解是(),nn x I A A y y R +=-∀∈。

证（1）1r r T T Trn n n O I O O I A A I V U U V I V V O O O O O O -+∑⎛⎫∑⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭r T Tn r O O I O V I V V V O I O O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以rank()n I A A n r +-=-。

（2）由()n A I A A A AA A A A O ++-=-=-=，知n I A A +-的列都是0Ax =的解，其中又有n r -个线性无关的，故其线性组合(),nn I A A y y R +-∀∈就是0Ax =通解。

证：（1）1)1(11)1(111<+-=+=--=∑n n i ik k k kR k G 互不交，说明A 有n 个不同的特征值，从而可对角化。

（2）k G 关于实轴对称，如果A 有复特征值必成对共轭出现，而k G 中只有一个特征值，所以必为实数。