抛物线基础题

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高二数学抛物线试题

高二数学抛物线试题1.由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为（）A．B．1C．D．【答案】B【解析】令，得，因此围成的面积．【考点】利用定积分求平面图形的面积．2.抛物线的焦点坐标是_____________.【答案】【解析】焦点坐标,所以【考点】抛物线焦点坐标.3.对抛物线，下列描述正确的是A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为【答案】A【解析】由抛物线的定义可知：开口向上，焦点坐标为，所以C为正确答案.【考点】抛物线的定义.4.已知抛物线：，为坐标原点，为的焦点，是上一点. 若是等腰三角形，则 .【答案】或【解析】由抛物线方程可知，则。

设点坐标为，当时，由抛物线的定义可知，则，此时点与原点重合故舍。

当时，。

当时，由抛物线的定义可知，所以，解得。

所以。

综上可得或。

【考点】1抛物线的定义；2抛物线的焦点坐标。

5.已知F为抛物线的焦点，M为其上一点，且，则直线MF的斜率为()．A．－B．±C．－D．±【答案】B【解析】表示抛物线上点到焦点的距离，这让我们想到抛物线的焦半径公式，点的坐标为，对抛物线有，于是由题意，，，，．【考点】抛物线的焦半径或抛物线的定义．6.抛物线的焦点坐标是 .【答案】【解析】抛物线的开口向上，所以其焦点在轴的正半轴，因为，所以，则其焦点坐标为．【考点】本题的考查的知识点是抛物线的焦点坐标的求解方法．7.抛物线的焦点坐标是（）A．（0,1）B．（0,－1）C．（0, ）D．(0,－)【答案】C【解析】抛物线化为标准方程，根据抛物线的几何性质，知焦点坐标为，选C．【考点】抛物线的性质．8.若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______．【答案】【解析】设，联立直线与抛物线整理得，所以中点为【考点】直线与抛物线相交的位置关系点评：直线与圆锥曲线相交时常联立方程组，将所求问题转化为与两交点坐标相关的问题9.给定直线动圆M与定圆外切且与直线相切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）设A、B是曲线C上两动点（异于坐标原点O），若求证直线AB过一定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由已知可得：定圆的圆心为（－3，0），且M到（－3，0）的距离比它到直线的距离大1，∴M到（－3，0）的距离等于它到直线的距离，∴动圆圆心M的轨迹为以F（－3，0）为焦点，直线为准线的抛物线，开口向左，，∴动圆圆心M的轨迹C的方程为：（也可以用直接法：，然后化简即得：）；（2）方法一：经分析：OA,OB的斜率都存在，都不为0，设OA：，则OB：，联立和的方程求得A（，），同理可得B（，）,∴, 即: ,令,则,∴,∴直线AB与x轴交点为定点，其坐标为。

高三数学抛物线试题

高三数学抛物线试题1.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设直线：.因为，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，为准线的抛物线.圆C半径最小值为，圆面积的最小值为选A.【考点】抛物线定义2.已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，，则直线AF的斜率，选C．【考点】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．3.（5分）（2011•陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x【答案】B【解析】根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．解：∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故选B点评：本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．4.若，则称点在抛物线C：外．已知点在抛物线C：外，则直线与抛物线C的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】A【解析】因为点在抛物线C：外，所以由与联立方程组消得：因此，所以直线与抛物线相交.【考点】直线与抛物线位置关系5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由抛物线的定义得，，，故，，故，，又，故，从而．【考点】抛物线定义.6.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8D．﹣8【答案】B【解析】抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选B．7.抛物线的准线为( )A．x= 8B．x=-8C．x=4D．x=-4【答案】D【解析】在抛物线中，所以准线方程为，选D.8.设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________【答案】【解析】∵圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，∴可设圆心C(a，0)，其半径为3－a∴圆C之方程为(x－a)2+y2=(3－a)2联立抛物线与圆C之方程得：x2－2(a－1)x+6a－9=0由题意知Δ=4(a－1)2－4(6a－9)=0a=4－∴圆C的半径能取到的最大值为9.已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.【答案】（1）y2＝4x；（2）点N坐标为或.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以，即，p＝2．故抛物线E的方程为y2＝4x． 5分（2）设N(s，t)．P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D方程为，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0．①又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0．②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．③ 9分P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．故点N坐标为或． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质.10.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，，由抛物线定义，得．在中，由余弦定理，得,,,,故选B.【考点】1.抛物线的定义；2.基本不等式.).若点M到该抛物线焦点11.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y的距离为3,则|OM|等于()A．2B．2C．4D．2【答案】B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为x+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x.M∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.12.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|等于()A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3【答案】C【解析】过点M作MM′垂直于准线y=-1于点M′,则由抛物线的定义知|MM′|=|FM|,所以==sin∠MNM′,而∠MNM′为直线FA的倾斜角θ的补角.因为直线FA过点A(2,0)、F(0,1),=-=tanθ,所以kFA所以sinθ=,所以sin∠MNM′=,即|FM|∶|MN|=1∶.故选C.13.已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为.【答案】x-2y+4=0【解析】点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.分线,kMF14.将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥3【答案】C【解析】结合图象可知，过焦点且斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两个正三角形，且不难看出符合题意的正三角形有且仅有两个．15.已知直线y=-2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程.(2)若直线l2是曲线C的一条切线,当点(0,2)到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.【答案】(1) x2=2y(x≠0) (2) x-y-1=0或x+y+1=【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(x,-2).∵OP⊥OQ,∴当x=0时,P,O,Q三点共线,不符合题意,故x≠0.当x≠0时,得kOP ·kOQ=-1,即·=-1,化简得x2=2y,∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).(2)∵直线l2与曲线C相切,∴直线l2的斜率存在.设直线l2的方程为y=kx+b, 由得x2-2kx-2b=0.∵直线l2与曲线C相切,∴Δ=4k2+8b=0,即b=-.点(0,2)到直线l2的距离d==·=(+)≥×2=.当且仅当=,即k=±时,等号成立.此时b=-1.∴直线l2的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.16.已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点．若，则实数．【答案】【解析】如下图，是抛物线的准线，直线过准线与轴的交点，作，是垂足，则，由于，所以，设，则①，再由抛物线方程得，代入直线方程可得，所以有②，③，由①②③解得.【考点】直线和圆锥曲线相交问题.17.若抛物线y2＝8x上的点(x0，y)到抛物线焦点的距离为3，则|y|＝()．A．B．2C．2D．4【答案】B【解析】设点A(x0，y)，F(2,0)，过点A作AA1垂直l(l为抛物线的准线)于点A1，则|AF|＝|AA1|＝x0＋2＝3，得x＝1，代入抛物线方程得|y|＝＝2.18.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A, B两点，O为坐标原点。

2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试：54 抛物线

考点测试54　抛物线高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2．理解数形结合的思想3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1．抛物线y ＝x 2的准线方程是( )14A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1 D ．x ＝－2答案　A解析　依题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程是y ＝－1，故选A ．2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为( )A ．4B ．6C ．8D ．12答案　B解析　依题意得，抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，因此点P 到该抛物线准线的距离为4＋2＝6，故选B ．3．到定点A (2，0)与定直线l ：x ＝－2的距离相等的点的轨迹方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y 答案　A解析　由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p ＝4，焦点在x 轴正半轴上，故选A ．4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，)到其焦点的距离是A 到y 轴距离2的3倍，则p 等于( )A ．B ．1C ．D ．21232答案　D解析　由题意3x 0＝x 0＋，x 0＝，则＝2，∵p >0，∴p ＝2，故选D ．p2p4p 225．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10答案　C解析　由抛物线y 2＝4x 得p ＝2，由抛物线定义可得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2，又因为x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝8，故选C ．6．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点为( )A ．(1，2)B ．(0，0)C ．，1D ．(1，4)12答案　C解析　解法一：根据题意，直线y ＝4x －5必然与抛物线y ＝4x 2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y ＝4x －5平行的抛物线的切线的切点．由y ′＝8x ＝4得x ＝，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是，1，该1212点到直线y ＝4x －5的距离最短．故选C ．解法二：抛物线上的点(x ，y )到直线y ＝4x －5的距离是d ＝＝|4x －y －5|17＝，显然当x ＝时，d 取得最小值，此时y ＝1．故选C ．|4x －4x 2－5|174x －122＋417127．已知动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案　y 2＝4x解析　设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x ．8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝|MN |，则∠NMF ＝________．32答案　π6解析　过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有|PN |＝|NF |，∴|PN |＝|MN |，∠NMF ＝∠MNP ．又cos ∠MNP ＝，∴∠MNP ＝，即3232π6∠NMF ＝．π6二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则·＝( )23FM → FN → A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案　D解析　根据题意，过点(－2，0)且斜率为的直线方程为y ＝(x ＋2)，与抛物2323线方程联立Error!消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1，2)，N (4，4)，又F (1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，从而可以求FM → FN→ 得·＝0×3＋2×4＝8，故选D ．FM→ FN → 10．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10答案　A解析　因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1，0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，1k y ＝－(x －1)．1k 由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝1，2k 2＋4k 2所以|AB |＝·|x 1－x 2|1＋k 2＝·1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝·＝．1＋k 22k 2＋4k 22－44(1＋k 2)k 2同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝＋4(1＋k 2)4(1＋k 2)k 2＝4＋1＋1＋k 2＝8＋4k 2＋≥8＋4×2＝16，1k 21k 2当且仅当k 2＝，即k ＝±1时，取得等号．故选A ．1k 211．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．答案　2解析　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Error!所以y －y ＝4x 1－4x 2，212所以k ＝＝．y 1－y 2x 1－x 24y 1＋y 2取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1 的垂线，垂足分别为A ′，B ′．因为∠AMB ＝90°，所以|MM ′|＝|AB |＝(|AF |＋|BF |)＝(|AA ′|＋|BB ′|)．121212因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴．因为M (－1，1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2．12．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案　(1，0)解析　由题意得a >0，设直线l 与抛物线的两交点分别为A ，B ，不妨令A 在B 的上方，则A (1，2)，B (1，－2)，故|AB |＝4＝4，得a ＝1，故抛物线方a a a 程为y 2＝4x ，其焦点坐标为(1，0)．13．(2017·天津高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________．答案　(x ＋1)2＋(y －)2＝13解析　由y 2＝4x 可得点F 的坐标为(1，0)，准线l 的方程为x ＝－1．由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切(如图)，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°．又因为∠FAC ＝120°，所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝，所以点C 的纵坐标为．33所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －)2＝1．3三、模拟小题14．(2018·沈阳监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( )A ．(0，a )B ．(a ，0)C ．D ．(0，116a )(116a，0)答案　C解析　将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝y (a ≠0)，所以焦点坐标为14a ，故选C ．(0，116a )15．(2018·太原三模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若＝3，则|MN |＝( )PF → MF→ A ． B ．8 C ．16 D ．163833答案　A解析　由题意F (1，0)，设直线PF 的方程为y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为准线方程为x ＝－1，所以得P (－1，－2k )．所以＝(2，2k )，PF→ ＝(1－x 1，－y 1)，因为＝3，所以2＝3(1－x 1)，解得x 1＝．把MF → PF → MF→ 13y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1x 2＝1，所以x 2＝3，从而得|MN |＝|MF |＋|NF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝．故选A ．16316．(2018·豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8，7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案　C解析　延长PQ 与准线交于M 点，抛物线的焦点为F (0，1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1．∴|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PM |－1＝|PA |＋|PF |－1≥|AF |－1＝－1＝10－1＝9．82＋(7－1)2当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，则|PA |＋|PQ |的最小值为9．故选C ．17．(2018·青岛质检)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若△APQ 的面积为4，则实数p 的值为( )A ．B ．1C ．D ．21232答案　D解析　解法一：设过点A 且与抛物线C 相切的直线为y ＝kx －．由Error!得p2x 2－2pkx ＋p 2＝0．由Δ＝4p 2k 2－4p 2＝0，得k ＝±1，所以得点P －p ，，p2Qp ，，所以△APQ 的面积为S ＝×2p ×p ＝4，解得p ＝2．故选D ．p212解法二：如图，设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由题意得点A 0，－．y ＝x 2，求导得y ′＝x ，所以切线PA 的p212p 1p 方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，即y ＝x 1x －x ，切线PB 的方程为y －y 2＝x 2(x －x 2)，1p 1p 12p 211p 即y ＝x 2x －x ，代入A 0，－，得点P －p ，，Qp ，，所以△APQ 的面积为1p 12p 2p 2p2p2S ＝×2p ×p ＝4，解得p ＝2．故选D ．1218．(2018·沈阳质检一)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1，1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是________．答案　2x －y －1＝0解析　设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 都在抛物线上，可得Error!作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．因为AB 中点为P (1，1)，所以y 1＋y 2＝2，则有2·＝4，所以k AB ＝＝2，从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即y 1－y 2x 1－x 2y 1－y 2x 1－x 22x －y －1＝0．一、高考大题1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN ．解　(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2)．所以直线BM 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1．1212(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为线段MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN ．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0．由Error!得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝，y 1y 2＝－4．2k 直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝＋＝．①y 1x 1＋2y 2x 2＋2x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)(x 1＋2)(x 2＋2)将x 1＝＋2，x 2＝＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得y 1k y 2k x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)k＝＝0．所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以－8＋8k∠ABM ＝∠ABN ．综上，∠ABM ＝∠ABN ．2．(2018·浙江高考)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．y 24解　(1)证明：设P (x 0，y 0)，A y ，y 1，B y ，y 2．1421142因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程2＝4·即y 2－2y 0y ＋8x 0－y ＝0的两个不同的y ＋y 0214y 2＋x 0220实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)由(1)可知Error!所以|PM |＝(y ＋y )－x 0＝y －3x 0，182123420|y 1－y 2|＝2．2(y 20－4x 0)因此，△PAB 的面积S △PAB ＝|PM |·|y 1－y 2|12＝(y －4x 0)．3242032因为x ＋＝1(x 0<0)，20y 204所以y －4x 0＝－4x －4x 0＋4∈[4，5]．2020因此，△PAB 面积的取值范围是6，．2151043．(2018·北京高考)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2)．过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．QM → QO → QN → QO→ 1λ1μ解　(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)，所以2p ＝4，即p ＝2．故抛物线C 的方程为y 2＝4x ，由题意知，直线l 的斜率存在且不为0．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)．由Error!得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0．依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0，解得k <0或0<k <1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)．从而k ≠－3．所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝．2k －4k 21k 2直线PA 的方程为y －2＝(x －1)．y 1－2x 1－1令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝＋2＝＋2．－y 1＋2x 1－1－kx 1＋1x 1－1同理得点N 的纵坐标为y N ＝＋2．－kx 2＋1x 2－1由＝λ，＝μ得λ＝1－y M ，μ＝1－y N ．QM → QO → QN → QO → 所以＋＝＋＝＋＝·＝1λ1μ11－yM 11－yN x 1－1(k －1)x 1x 2－1(k －1)x 21k －12x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2·＝2．1k －12k 2＋2k －4k 21k 2所以＋为定值．1λ1μ二、模拟大题4．(2018·湖北八市联考)如图，已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，其焦点到准线的距离为2，圆S ：x 2＋y 2－py ＝0，直线l ：y ＝kx ＋与圆和抛物线自左至右顺次交p 2于A ，B ，C ，D 四点．(1)若线段AB ，BC ，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求正数k 的值；(2)若直线l 1过抛物线焦点且垂直于直线l ，l 1与抛物线交于点M ，N ，设MN ，AD 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 过定点．解　(1)由题意可得p ＝2，所以抛物线x 2＝4y ，圆S 的方程可化为x 2＋(y －1)2＝1，其圆心S (0，1)，圆的半径为1，设点A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由Error!得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，所以|AB |＋|CD |＝|AS |＋|DS |－|BC |＝y 1＋1＋y 2＋1－2＝y 1＋y 2＝4k 2＋2＝2|BC |＝4，所以k ＝(负值舍去)．22(2)证明：因为x 1＋x 2＝4k ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2，所以Q (2k ，2k 2＋1)．当k ≠0时，用－替换k 可得P －，＋1，1k 2k 2k 2所以k PQ ＝，k 2－1k 所以PQ 的直线方程为y －(2k 2＋1)＝(x －2k )，k 2－1k 化简得y ＝x ＋3，过定点(0，3)．k 2－1k 当k ＝0时，直线l 1与抛物线只有一个交点，不符合题意，舍去．5．(2018·珠海摸底)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，－2)，3(－2，0)，(4，－4)，，．222(1)求C 1，C 2的标准方程；(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足⊥？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．OM → ON → 解　(1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有＝2p (x ≠0)，y 2x 据此验证四个点知(3，－2)，(4，－4)在抛物线上，3易得，抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x ．设椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)，x 2a 2y 2b 2把点(－2，0)，，代入可得a 2＝4，b 2＝1，222所以椭圆C 1的标准方程为＋y 2＝1．x 24(2)由抛物线的标准方程可得C 2的焦点F (1，0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1．直线l 交椭圆C 1于点M 1，，N 1，－，3232·≠0，不满足题意．OM → ON → 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，并设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由Error!消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0，于是x 1＋x 2＝，8k 21＋4k 2x 1x 2＝．　①4(k 2－1)1＋4k 2则y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2－＋14(k 2－1)1＋4k 28k 21＋4k 2＝．　②－3k 21＋4k 2由⊥得x 1x 2＋y 1y 2＝0．　③OM → ON → 将①②代入③式，得＋＝＝0，4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2k 2－41＋4k 2解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0．6．(2018·石家庄质检二)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝的圆心C 在抛物线94x 2＝2py (p ＞0)上，圆C 过原点且与抛物线的准线相切．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在A ，B 处作抛物线的两条切线交于点P ，求△PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解　(1)由已知可得圆心C (a ，b )，半径r ＝，焦点F 0，，准线y ＝－，因为圆C 与抛物线F 的准线相切，所32p 2p 2以b ＝－．又因为圆C 过原点，且圆C 过焦点F ，所以圆心C 必在线段OF 的32p 2垂直平分线上，即b ＝，所以－＝，解得p ＝2，p 432p 2p 4所以抛物线的方程为x 2＝4y ．(2)易得焦点F (0，1)，直线l 的斜率必存在，设为k ，即直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由Error!得x 2－4kx －4＝0，Δ>0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，对y ＝求导得y ′＝，即k AP ＝．x 24x 2x 12直线AP 的方程为y －y 1＝(x －x 1)，x 12即y ＝x －x ，x 121421同理得直线BP 的方程为y ＝x －x ．x 22142设点P (x 0，y 0)，联立直线AP 与BP 的方程，解得Error!即P (2k ，－1)，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)，点P 到直线1＋k 2AB 的距离d ＝＝2，所以△PAB 的面积|2k 2＋2|1＋k 21＋k 2S ＝·4(1＋k 2)·2＝4(1＋k 2)≥4，121＋k 232当且仅当k＝0时取等号．综上，△PAB面积的最小值为4，此时直线l的方程为y＝1．。

(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之基础面积问题(含解析)

中考数学抛物线压轴题之面积问题（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，是否存在点M，使四边形MBAC的面积为9，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方，将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E的的坐标．2．已知：如图，直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c过A、C两点，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA，PC，试问△PAC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．3．如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且与直线y＝﹣kx+6交于则A（6，3）、B（﹣4，8）两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，解决下列问题：①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点 P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．11．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P 是抛物线上一个动点（不与点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E 的坐标；若不存在请说明理由．12．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．13．综合与探究如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．15．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，Rt△AOB中，∠A＝90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA＝2，AB ＝8，点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O，且经过C点．（1）填空：直线OC的解析式为；抛物线的解析式为；（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．17．已知抛物线y＝﹣x2+bx和直线l：y＝x﹣b．（1）求证：抛物线与直线l至少有一个公共点；（2）若抛物线与直线l交于A，B两点，当线段AB上恰有2个纵坐标是整数的点时，求b的取值范围；（3）当b＞0时，将直线l向上平移b+1个单位长度得直线l'，若抛物线y＝﹣x2+bx的顶点P在直线l'上，且与直线l'的另一个交点为Q，当点C在直线l'上方的抛物线上时，求四边形OPCQ面积的最大值．18．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）、B（4，0），交y轴于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标：（3）在抛物线上存在点P，使得△APB的面积与△ACB的面积相等，求点P的坐标．20．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC把△BDF的面积分成两部分，使S△BDE：S△BEF＝2：3，请求出点D的坐标；（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．22．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点．作直线BC．点P是抛物线上的一个动点．过点P作PQ⊥x轴，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为m（m＞0）．PQ 的长为d．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）求d与m之间的函数关系式；（3）当点P在直线BC下方，且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1：2时，求m的值；（4）连接AC，作直线AP，直线AP交直线BC于点M，当△PCM、△ACM的面积相等时，直接写出m的值．23．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A点，与y轴交于C点，且A（1，0）、B（3，0），点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上是否存在M点，使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标．24．如图，开口向下的抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a为常数）与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，横坐标设为t，连接DC、DB．（1）求A、B的坐标．（2）当点D为抛物线的顶点时，△BCD的面积为15，求抛物线的解析式．（3）若a＝﹣1，过点D作x轴的垂线，垂足为H，当1≤t≤4时，DH+mHO的最大值为．求正实数m的值．25．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，过点A 的直线y＝mx+n交抛物线的另一个点为点E，点E的横坐标为2．（1）求b和c的值；（2）点P在直线AE下方的抛物线上任一点，点P的横坐标为t，过点P作PF∥y轴，交AE于点F，设PF ＝d，求出d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）问的条件下，过点P作PK⊥AE，垂足为点K，连接PE，若PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，求出此时t的值．27．若抛物线上y1＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），P是抛物线上B、C之间的一点．（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？28．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）用含a的代数式表示点C的坐标．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若＝，求a的值．29．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．①满足此条件的函数解析式有个．②写出向下平移且经点A的解析式．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．35．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O 开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．38．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m；①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝x﹣2交于点A（m，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若向下平移抛物线，使顶点D落在x轴上，原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积是△ABC面积的一半？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，OC＝3OA＝3，∴C（0，﹣3），将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入y＝x2+mx+n中，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MN∥y轴交BC于N，如图1，∴N（m，m﹣3），∴MN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S四边形MBAC＝S△ABC+S△BCM＝AB×OC+MN×OB＝×4×3×（﹣m2+3m）×3＝9，解得：m＝1或2，故点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）∵OB＝OC＝ON，∴△BON为等腰直角三角形，∵∠OBM+∠NBM＝45°，∴∠NBD+∠NBM＝∠DBM＝45°，∴MB＝MF，过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，如图2，∴∠HFM+∠BMO＝90°，∵∠BMO+∠OMB＝90°，∴∠OMB＝∠HFM，∵∠BOM＝∠MHF＝90°，∴△BOM≌△MHF（AAS），∴FH＝OM＝1，MH＝OB＝3，故点F（1，4），由点B、F的坐标得，直线BF的解析式为y＝﹣2x+6，联立，解得，∴E（﹣3，12）．2．【解答】解：（1）y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，则点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，﹣3）；将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，过点P作y轴的平行线交AC于点H，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），△APC面积S＝S△PHA+S△PHC＝×PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）×3＝﹣x2﹣x，∵﹣＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为，此时点P（﹣，﹣）；（3）如图2，设点N（﹣1，s），点M（m，n），n＝m2+2m﹣3，过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点N与x轴的平行线于点G，∵∠GMN+∠GNM＝90°，∠GMN+∠HMC＝90°，∴∠HMC＝∠GNM，∵∠MGN＝∠CHM＝90°，MN＝MC，∴△MGN≌△CHM（AAS），∴GN＝MH，即GN＝|﹣1﹣m|＝MH＝|n+3|，①当﹣1﹣m＝n+3时，即m+n+4＝0，即m2+3m+1＝0，解得：m＝，故点M（，）；②当﹣1﹣m＝﹣（n+3）时，即m＝n+2，同理可得：点M（，）；故点M的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．3．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝6，∴A（﹣4，0），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6．∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵CO⊥AD，∴OC2＝OA•OD，∴OD＝，∴D（，0）．（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴E（1，）．如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝y H﹣y P＝﹣m2+m﹣．∴S△BHE＝（x B﹣x E）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG＝∠CAO，∵∠AOC＝∠FGH＝90°，∴△ACO∼△FHG，∴＝＝，∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）＝﹣m2+m+15＝﹣（m ﹣）2+，∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．此时，H的横坐标为．（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），∴CD＝BD＝，BC＝3，∴∠DCB＝∠DBC．①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，∴MN∥AB，∴MN⊥y轴，∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，∴△CKN∼△COB，∴＝＝，∴CK＝，∴OK＝OC+CK＝，∴N（，）．②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，∴CN∥AB，∴N（3，3）．③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∴MN∥CD，作MR⊥y轴于R，则＝＝＝，∴CR＝，RM＝，∴OR＝3﹣，作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，∴△COD∼△MQN，∴＝＝，∴MQ＝MN＝，NQ＝MN＝，∴NQ﹣RM＝，OR+MQ＝，∴N（﹣，）．综上所述，满足要标的N点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．4．【解答】解：（1）把A（6，3）代入y＝﹣kx+6，得3＝﹣6x+6．解得k＝﹣．故直线的解析式是：y＝﹣x+6．把O（0，0）、A（6，3）、B（﹣4，8）分别代入y＝ax2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x；（2）①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，设P（x，x2﹣x），则Q（x，﹣x+6），则PQ＝（﹣x+6）﹣（x2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，∴S△PAB＝（6+4）×PQ＝﹣（x﹣1）2+＝20，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴点P的坐标为（4，0）或（﹣2，3）；②设P（x，x2﹣x），如图2，由题意得：AO＝3，BO＝4，AB＝5，∵AB2＝AO2+BO2，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB＝∠PCO，∴当＝时，△CPO∽△OAB，即＝．整理，得4|x2﹣x|＝3|x|．解方程4（x2﹣x）＝3x，得x1＝0（舍去），x2＝7，此时P点坐标为（7，）；解方程4（x2﹣x）＝﹣3x，得x1＝0（舍去），x2＝1，此时P点坐标为（1，﹣）；当＝时，△CPO∽△OBA，即＝，整理，得3|x2﹣x|＝4|x|，解方程3（x2﹣x）＝4x，得x1＝0（舍去），x2＝，此时P点坐标为（，）．解方程3（x2﹣x）＝﹣4x，得x1＝0（舍去），x2＝﹣，此时P点坐标为（﹣，）．综上所述，点P的坐标为：（7，）或（1，﹣）或（﹣，）或（，）．5．【解答】解：（1）对称轴x＝1，则点B（﹣2，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣8a＝2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝2，联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得：…①，m+n＝2﹣4k，mn＝﹣4，n﹣m＝2＝＝，解得：k＝0（舍去）或1；将k＝1代入①式并解得：x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，﹣）、（，）．（3）设点K（1，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，）过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N，则△KMG≌△GNR（AAS），GM＝1﹣＝＝NR，MK＝，故点R的纵坐标为：，则点R（m﹣1，）将该坐标代入抛物线表达式解得：x＝，故m＝，故点K（1，）．6．【解答】解：（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3），则c＝3，则函数表达式为：y＝ax2+bx+3，将点A坐标代入上式并整理得：b＝3a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝3a+1，即：﹣≥0，解得：a≥﹣，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，b＝3a+1＝﹣2二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△PAB＝×AB×PH＝×3×PQ×＝，则PQ＝|y P﹣y Q|＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P﹣y Q|＝1，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点Q（x，x+3），即：﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝±1，解得：x＝或，故点P（，）或（，）或（，）或（，）．7．【解答】解：（1）对称轴x＝，则点B（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2+x+2；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝，联立抛物线于直线PQ的表达式并整理得：x2+（﹣k）x+1＝0…①，m+n＝3﹣2k，mn＝﹣2，n﹣m＝＝＝解得：k＝0（舍去）或3；故y＝3x+1，则x2+x+2＝3x+1，解得：x＝，故点P、Q的坐标分别为：（，）、（，）；（3）设点K（，m），联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，），过点G作y轴的平行线交过点K′与x轴的平行线于点M，交过点K与x轴的平行线于点N，则△GNK≌△K′MG（AAS），NK＝﹣＝＝MG，NG＝﹣m，则点K′（﹣m，）将该坐标代入抛物线表达式并解得：m＝，故点K（，）或（，）．8．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积＝PH×OA＝3×（x2﹣2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），当x＝时，△ACP的面积的最大，最大值为：，此时点P（，）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN＝CM，故当B、M、N三点共线时，BM+CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN＝AB＝2＝AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．9．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）如图：①设P（m，m2﹣4m+3），将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为y BC＝﹣x+3．∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，∴D（m，﹣m+3），∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．②S△PBC＝S△CPD+S△BPD＝OB•PD＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴当m＝时，S有最大值．当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．∴P（，﹣）．答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．根据题意，点E（2，1），∴EF＝CF＝2，∴EC＝2，根据菱形的四条边相等，∴ME＝EC＝2，∴M（2，1﹣2）或（2，1+2）当EM＝EF＝2时，M（2，3）答：点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．10．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；（2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），同理可得：直线OP的表达式为：y＝﹣x；①过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），△BOD面积＝×DH×x B＝×3（﹣x2+x+x）＝﹣x2+x，∵，故△BOD面积有最大值为：，此时x＝，故点D（，﹣）；②当OP＝PC时，则点P在OC的中垂线上，故y P＝﹣，则点P（，﹣）；②当OP＝OC时，t2+t2＝（）2，解得：t＝（舍去负值），故点P（，﹣）；③当PC＝OC时，同理可得：点P（，﹣）；综上，点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．11．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），﹣12a＝6，解得：a＝﹣，函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+6…①，顶点D坐标为（﹣2，8）；（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP＝PG，S△PCA＝PG×AC＝PG×6＝12，解得：PH＝4，直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；直线n的表达式为：y＝x+2…③同理可得点P（P″、P′″）的坐标为（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1），综上，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1）．（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC＝，CD＝，AD＝，则∠ACD＝90°，sin∠DAC＝＝，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝2，AD＝AD′＝，S△ADD′＝DD′×AC＝DH×AD′，即：2×＝DH×，解得：DH＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y＝x+b，将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y＝x+…④，联立①④并解得：x＝（不合题意值已舍去），即点E（，）；②当点E在AB下方时，同理可得：点E（，﹣），综上，点E（，）或（，﹣）．12．【解答】解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），S四边形ACPB＝S△AOC+S△PCB，∵S△AOC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB＝×OB×PH＝×2（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x，∵﹣＜0，∴S△PCB有最大值，此时，点P（2，﹣）；（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M′，设∠MBC＝∠ABC＝2α，过点B在BC之下作角度数为α的角，交抛物线于点M，过点G作GK⊥BC交BC于点K，延长GK交BM于点H，则GH＝GN，BC是GH的中垂线，OB＝4，OC＝3，则BC＝5，设：OG＝GK＝m，则CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝，则OG＝ON＝，GH＝GN＝2OG＝，点G（0，﹣），在Rt△GCK中，GK＝OG＝，GC＝OC﹣OG＝3﹣＝，则cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，同理直线BG的表达式为：y＝x﹣…③联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝或4（舍去4），则点M（，﹣）；联立①③并解得：x＝﹣，故点M′（﹣，﹣）；故点M（，﹣）或（﹣，﹣）．13．【解答】解：（1）如图1，把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）将x＝0代入y＝x2﹣x﹣3，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC＝3．设N（x，y），∵S△NAB＝S△CAB，∴|y|＝OC＝3，∴y＝±3．当y＝3时，x2﹣x﹣3＝3，解得x＝+1．当y＝﹣3时，x2﹣x﹣3＝﹣3，解得x1＝2，x2＝0（舍去）．综上所述，点N的坐标是（+1，3）或（﹣+1，3）或（2，﹣3）；（3）如图2，由已知得，BB′＝m，PB′＝2，设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0）．∵直线y＝kx+b经过点B（4，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线BC的表达式为y＝x﹣3．当0＜m≤2时，由已知得P′B＝2+m．∵OP′＝2﹣m，∴E（2﹣m，﹣m﹣）．由OB＝4得OP＝2，把x＝2代入y＝x2﹣x﹣3中，得y＝﹣3，∴D（2，﹣3），∴直线CD∥x轴．∵EP′＝m+，D′P＝3，∴ED′＝DP′﹣EP′＝3﹣m﹣＝﹣m+．过点F作FH⊥PD′于点H，则∠D′HF＝∠D′P′B′＝90°．∵∠HD′F＝∠P′D′B′，∴△D′HF∽△D′P′B′，∴＝．∵∠FCD′＝∠FBB′，∠FD′C＝∠FB′B，∴△CD′F∽△BB′F，∴＝．又∵CD′＝2﹣m，∴＝．设D′F＝k（2﹣m），B′F＝km，∴D′B′＝2k，∴＝．∴＝．∵P′B′＝2，∴HF＝2﹣m．∴S△ED′F＝ED′•HF＝×（﹣m+）×（2﹣m）．∵S△PB′D′＝PB′•PD′＝×3×2＝3，∴S＝S△PB′D′﹣S△ED′F＝3﹣×（﹣m+）×（2﹣m）＝﹣m2+m+．14．【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y＝﹣x2+2x+3；又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），得，解得，故直线AC为y＝x+1；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），当x＝1时，y＝x+1＝2，∴B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）．①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3＝﹣x2+2x+3，解得，x＝0或x＝1（舍去），∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），∵F在抛物线上，∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，解得x＝或x＝，。

高考数学抛物线及其性质

9.4 抛物线及其性质考点一抛物线的定义及标准方程1.(2015浙江理,5,5分)如图,设抛物线y 2=4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF|−1|AF|−1B.|BF|2−1|AF|2−1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1答案 A 过A,B 点分别作y 轴的垂线,垂足分别为M,N, 则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1. 可知S △BCFS △ACF= 12·|CB|·|CF|·sin ∠BCF 12·|CA|·|CF|·sin ∠BCF=|CB||CA|=|BN||AM| =|BF|−1|AF|−1,故选A.2.(2014课标Ⅰ理,10,5分)已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP ⃗⃗⃗⃗ =4FQ⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.72B.3C.52D.2答案 B ∵FP⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗ ,∴点Q 在线段PF 上,且在两端点之间,过Q 作QM ⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l 与x 轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM ∽△PFN,则|QM||FN|=|PQ||PF|,即|QM|4=34.∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.3.(2014课标Ⅰ文,10,5分)已知抛物线C:y 2=x 的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点,|AF|=54x 0,则x 0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8答案 A 由y 2=x 得2p=1,即p=12,因此焦点F (14,0),准线方程为l:x=-14,设A 点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x 0+14=54x 0,解得x 0=1,故选A.评析本题考查抛物线的定义及标准方程,将|AF|转化为点A 到准线的距离是解题的关键.4.(2013课标Ⅱ理,11,5分)设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16x D.y 2=2x 或y 2=16x答案 C ∵以MF 为直径的圆过点(0,2),∴点M 在第一象限.由|MF|=x M +p2=5得M (5−p 2,√2p (5−p2)).从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为(52,12√2p (5−p2)), ∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y 轴切于点(0,2),从而2=12√2p (5−p2),即p 2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C.5.(2013课标Ⅱ文,10,5分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=√33(x-1)或y=-√33(x-1)C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)D.y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)答案 C 设直线AB 与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B 作AA 1,BB 1垂直于准线于A 1,B 1.由抛物线的定义可设|BF|=|BB 1|=t,|AF|=|AA 1|=3t.由三角形的相似得|BC||AB|=|BC|4t =12, ∴|BC|=2t,∴∠B 1CB=π6,∴直线l 的倾斜角α=π3或23π.又F(1,0),∴直线AB 的方程为y=√3(x-1)或y=-√3(x-1).故选C.6.(2012四川理,8,5分)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( ) A.2√2 B.2√3 C.4 D.2√5 答案 B 由题意可设抛物线方程为y 2=2px(p>0).由|MF|=p 2+2=3得p=2,∴抛物线方程为y 2=4x.∴点M 的坐标为(2,±2√2),∴|OM|=√4+8=2√3, 故选B.7.(2011课标文,9,5分)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 答案 C 设抛物线方程为y 2=2px(p>0).∵当x=p 2时,|y|=p, ∴p=|AB|2=122=6. 又P 到AB 的距离始终为p, ∴S △ABP =12×12×6=36.评析本题主要考查抛物线的定义、抛物线方程等相关知识,明确准线上任一点到直线l 的距离为p.8.(2017山东,理14,文15,5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p>0)交于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .答案 y=±√22x解析本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4×p 2=y 1+p 2+y 2+p 2,即y 1+y 2=p ①.由{x 2=2py,x 2a 2−y 2b 2=1消去x,得a 2y 2-2pb 2y+a 2b 2=0,所以y 1+y 2=2pb 2a 2②.由①②可得b a =√22,故双曲线的渐近线方程为y=±√22x.思路分析由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y 1+y 2的值(用p 表示).再联立双曲线和抛物线的方程,消去x 得关于y 的一元二次方程,由根与系数的关系得y 1+y 2.从而得b a的值,近而得渐近线方程.解题关键求渐近线方程的关键是求ba的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、|BF|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又A 、B 为两曲线的交点,因此应联立它们的方程求解.这样利用y 1+y 2这个整体来建立等量关系便可求解.9.(2012陕西理,13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.答案 2√6解析建立坐标系如图所示.则抛物线方程为x 2=-2py.∵点A(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x 2=-2y.当y=-3时,x=±√6.∴水位下降1米后,水面宽为2√6米.评析本题考查了解析法在实际问题中的运用.坐标运算是解题的关键.10.(2016浙江,9,4分)若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是 . 答案 9解析设M(x 0,y 0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x 0+1=10,∴x 0=9,即点M 到y 轴的距离为9.考点二抛物线的几何性质1.(2016课标Ⅱ文,5,5分)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,曲线y=k x(k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k=( ) A.12 B.1 C.32D.2答案 D 由题意得点P 的坐标为(1,2).把点P 的坐标代入y=k x(k>0)得k=1×2=2,故选D. 评析利用垂直得到点P 的坐标是求解的关键.2.(2015课标Ⅰ文,5,5分)已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C:y 2=8x 的焦点重合,A,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12答案 B 抛物线C:y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E 的半焦距c=2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),因为离心率e=c a =12,所以a=4,所以b 2=a 2-c 2=12.由题意知|AB|=2b 2a =2×124=6.故选B.评析本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质,运算失误容易造成失分.3.(2015陕西文,3,5分)已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)答案 B 抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,由题设知-p 2=-1,即p 2=1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.4.(2014安徽文,3,5分)抛物线y=14x 2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案 A 由y=14x 2得x 2=4y,焦点在y 轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-p 2=-1.故选A.5.(2013四川文,5,5分)抛物线y 2=8x 的焦点到直线x-√3y=0的距离是( )A.2√3B.2C.√3D.1答案 D 由抛物线方程知2p=8⇒p=4,故焦点F(2,0),由点到直线的距离公式知,F 到直线x-√3y=0的距离d=√3×0|√1+3=1.故选D.评析考查抛物线的方程及其性质、点到直线的距离公式,考查运算求解能力.6.(2012课标理,8,5分)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A,B 两点,|AB|=4√3,则C 的实轴长为( ) A.√2 B.2√2 C.4 D.8 答案 C 如图,AB 为抛物线y 2=16x 的准线,由题意可得A(-4,2√3).设双曲线C 的方程为x 2-y 2=a 2(a>0),则有16-12=a 2,故a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a. 7.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8答案 B 不妨设C:y 2=2px(p>0),A(x 1,2√2),则x 1=(2√2)22p =4p ,由题意可知|OA|=|OD|,得(4p )2+8=(p 2)2+5,解得p=4.故选B.思路分析设出抛物线C 的方程,根据已知条件得出点A 的坐标,利用|OA|=|OD|建立关于p 的方程,解方程得出结论.8.(2017课标Ⅰ理,10,5分)已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A,B 两点,直线l 2与C 交于D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10答案 A 如图所示,设直线AB 的倾斜角为θ,过A,B 分别作准线的垂线,垂足为A 1,B 1,则|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|,过点F 向AA 1引垂线FG,得|AG||AF|=|AF|−p|AF|=cos θ, 则|AF|=p 1−cosθ,同理,|BF|=p1+cosθ,则|AB|=|AF|+|BF|=2p sin 2θ,即|AB|=4sin 2θ, 因l 1与l 2垂直,故直线DE 的倾斜角为θ+π2或θ-π2, 则|DE|=4cos 2θ,则|AB|+|DE|=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=4(12sin2θ)2=16sin 22θ, 则易知|AB|+|DE|的最小值为16.故选A. 方法总结利用几何方法求抛物线的焦半径.如图,在抛物线y 2=2px(p>0)中,AB 为焦点弦,若AF 与抛物线对称轴的夹角为θ,则在△FEA 中,cos θ=cos ∠EAF=|AE||AF|=|AF|−p|AF|, 则可得到焦半径|AF|=p 1−cosθ,同理,|BF|=p1+cosθ,熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如:1|AF|+1|BF|=2p等的帮助很大.9.(2015四川理,10,5分)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)答案 D 当直线AB 的斜率不存在,且0<r<5时,有两条满足题意的直线l.当直线AB 的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,k AB >0和k AB <0时各有一条满足题意的直线l. 设圆的圆心为C(5,0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22, ∴k AB =y 2−y 1x 2−x 1=y 2−y 1y 224−y 124=2y 0. ∵k CM =y 0x 0−5,且k AB k CM =-1,∴x 0=3.∴r 2=(3-5)2+y 02>4(∵y 0≠0),即r>2. 另一方面,由AB 的中点为M 知B(6-x 1,2y 0-y 1), ∵点B,A 在抛物线上,∴(2y 0-y 1)2=4(6-x 1),①y 12=4x 1,② 由①,②得y 12-2y 0y 1+2y 02-12=0, ∵Δ=4y 02-4(2y 02-12)>0,∴y 02<12. ∴r 2=(3-5)2+y 02=4+y 02<16,∴r<4. 综上,r ∈(2,4),故选D.10.(2014课标Ⅱ文,10,5分)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则|AB|=( ) A.√303B.6C.12D.7√3答案 C 焦点F 的坐标为(34,0),直线AB 的斜率为√33,所以直线AB 的方程为y=√33(x −34),即y=√33x-√34,代入y 2=3x,得13x 2-72x+316=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=212, 所以|AB|=x 1+x 2+32=212+32=12,故选C. 11.(2018课标Ⅲ理,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y 2=4x,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点.若∠AMB=90°,则k= .答案 2解析本题考查抛物线的几何性质及应用.解法一:由题意可知C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k 的直线方程为x=yk+1,设A (y 1k+1,y 1),B (y 2k +1,y 2),将直线方程与抛物线方程联立得{x =yk +1,y 2=4x,整理得y 2-4k y-4=0,从而得y 1+y 2=4k,y 1·y 2=-4.∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴MA⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(y 1k +2)·(y 2k+2)+(y 1-1)(y 2-1)=0,即k 2-4k+4=0,解得k=2. 解法二:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1,①y 22=4x 2,②②-①得y 22-y 12=4(x 2-x 1),从而k=y 2−y 1x 2−x 1=4y 1+y 2. 设AB 的中点为M',连接MM'.∵直线AB 过抛物线y 2=4x 的焦点,∴以线段AB 为直径的☉M'与准线l:x=-1相切. ∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴点M 在准线l:x=-1上,同时在☉M'上, ∴准线l 是☉M'的切线,切点为M,且M'M ⊥l, 即MM'与x 轴平行,∴点M'的纵坐标为1,即y 1+y 22=1⇒y 1+y 2=2, 故k=4y 1+y 2=42=2.疑难突破运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.12.(2013浙江理,15,4分)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过点P(-1,0)的直线l 交抛物线C 于A,B 两点,点Q 为线段AB 的中点.若|FQ|=2,则直线l 的斜率等于 . 答案 ±1解析设直线AB方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线和抛物线方程,整理得,y2-4my+4=0,由根与系数关系得y1+y2=4m,y1·y2=4.故Q(2m2-1,2m).由|FQ|=2知:√(2m)2+(2m2−1−1)2=2,解得m2=1或m2=0(舍去),故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切,为满足题意的极限情况).13.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)解析本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算.由题意得a>0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,不妨令A在B的上方,则A(1,2√a),B(1,-2√a),故|AB|=4√a=4,得a=1,故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).14.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-√3)2=1解析本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程.由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,所以OA=√3,即t=√3,故圆C的方程为(x+1)2+(y-√3)2=1.方法总结求圆的方程常用的方法为待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或D,E,F)的方程组,从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把圆的方程设为标准形式,同时应考虑数形结合思想的运用.15.(2014陕西文,11,5分)抛物线y 2=4x 的准线方程为 .答案 x=-1解析由抛物线方程知p=2,故该抛物线的准线方程为x=-p 2=-1.故填x=-1.16.(2018课标Ⅰ文,20,12分)设抛物线C:y 2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.解析 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM 的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-2)(k ≠0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由{y =k(x −2),y 2=2x得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2=2k,y 1y 2=-4. 直线BM,BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2).① 将x 1=y 1k+2,x 2=y2k +2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k(y 1+y 2)k =−8+8k =0. 所以k BM +k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.方法总结直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略:(1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.失分警示 (1)由于忽略点M,N 位置的转换性,使直线BM 方程缺失,从而导致失分;(2)由于不能将“∠ABM=∠ABN ”正确转化为“k BM +k BN =0”进行证明,从而思路受阻,无法完成后续内容.17.(2017课标Ⅰ文,20,12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM,求直线AB 的方程.解析本题考查直线与抛物线的位置关系.(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1−y 2x 1−x 2=x 1+x 24=1. (2)由y=x 24,得y'=x 2,设M(x 3,y 3),由题设知x 32=1,解得x 3=2,于是M(2,1).设直线AB 的方程为y=x+m,故线段AB 的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m 代入y=x 24得x 2-4x-4m=0. 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x 1,2=2±2√m +1.从而|AB|=√2|x 1-x 2|=4√2(m +1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m +1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB 的方程为y=x+7.方法总结 (1)直线与抛物线的位置关系点差法:在已知“x 1+x 2”或“y 1+y 2”的值,求直线l 的斜率时,利用点差法计算,在很大程度上减少运算过程中的计算量.(2)直线与圆锥曲线的位置关系已知直线与圆锥曲线相交,求参数时,一般联立直线与圆锥曲线的方程,消元后利用韦达定理,结合已知列方程求解参数.求弦长时,可通过弦长公式|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2或|AB|=√1+1k 2·|y 1-y 2|=√1+1k 2·√(y 1+y 2)2−4y 1y 2(k ≠0)求解.18.(2016课标Ⅰ文,20,12分)在直角坐标系xOy 中,直线l:y=t(t ≠0)交y 轴于点M,交抛物线C:y 2=2px(p>0)于点P,M 关于点P 的对称点为N,连接ON 并延长交C 于点H.(1)求|OH||ON|; (2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由.解析 (1)由已知得M(0,t),P (t 22p,t ).(1分) 又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t ),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x 1=0,x 2=2t 2p. 因此H (2t 2p,2t ).(4分) 所以N 为OH 的中点,即|OH||ON|=2.(6分) (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线MH 的方程为y-t=p 2t x,即x=2t p(y-t).(9分)代入y 2=2px 得y 2-4ty+4t 2=0,解得y 1=y 2=2t,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.(12分)方法总结将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题. 评析本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了运算求解能力.得到交点的坐标是求解的关键.19.(2012课标理,20,12分)设抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B,D 两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为4√2,求p 的值及圆F 的方程;(2)若A,B,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m,n 距离的比值.解析 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径|FA|=√2p.由抛物线定义可知A 到l 的距离d=|FA|=√2p.因为△ABD 的面积为4√2,所以12|BD|·d=4√2,即12·2p ·√2p=4√2,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8. (2)因为A,B,F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,所以∠ABD=30°,m 的斜率为√33或-√33. 当m 的斜率为√33时,由已知可设n:y=√33x+b,代入x 2=2py 得x 2-2√33px-2pb=0. 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb=0, 解得b=-p 6.因为m 的截距b 1=p 2,|b 1||b|=3,所以坐标原点到m,n 距离的比值为3. 当m 的斜率为-√33时,由图形的对称性可知,坐标原点到m,n 距离的比值也为3.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.。

2020年高考数学复习题：抛物线的方程及性质

抛物线的方程及性质[基础训练]1．过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为l ：x ＝－1.设AB 的中点为E ，过A ，E ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为C ，G ，D .EG 交y 轴于点H (如图所示)．则由EG 为直角梯形ACDB 的中位线知， |EG |＝|AC |＋|BD |2＝|AF |＋|FB |2＝|AB |2＝5， |EH |＝|EG |－1＝4.则AB 的中点到y 轴的距离等于4.2．已知抛物线C: y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝32x 0，则x 0＝( )A.14B.12 C ．1D ．2答案：B 解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－14，因为|AF |＝32x 0，根据抛物线的定义可得 x 0＋14＝|AF |＝32x 0，解得x 0＝12.3．[2019吉林长春一模]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |＝( )A.13 B.23 C.34D.43答案：A 解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，解得|AF ||BF |＝13.4．[2019洛阳模拟]已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，那么M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4在抛物线上，即16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2答案：C 解析：焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.6．[2019海南海口模拟]过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝－12yD ．x 2＝12y答案：D 解析：由已知条件知，动圆圆心到点F 和到直线y ＋3＝0的距离相等，所以动圆圆心轨迹是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，故其方程为x 2＝12y ，故选D.7．[2019豫南九校联考]已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案：C 解析：如图，抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9，当且仅当点P 在线段AF 上时，等号成立，则|P A |＋|PQ |的最小值为9. 故选C.8．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74答案：C 解析：如图，过A ，B 及线段AB 的中点C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1，CC 1交y 轴于C 0.由抛物线定义可知，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |， ∴|CC 0|＝|CC 1|－|C 1C 0| ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－|C 1C 0| ＝32－14＝54，故选C.9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，交准线于点C ，若CB→＝3BF →，则直线l 斜率为________．答案：±22 解析：作BB 1垂直于准线，B 1为垂足，由抛物线定义可知，|BB 1|＝|BF |， ∴|BC |＝3|BB 1|.在Rt △B 1BC 中，tan ∠B 1BC ＝2 2. ∴tan α＝22(α为倾斜角)．由对称性可知，斜率还可等于－2 2. ∴斜率为±2 2.10．[2017全国卷Ⅱ]已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案：6 解析：如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴ PM ∥OF .由题意，知F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵ 点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴ |MP |＝12|FO |＝1. 又|BP |＝|AO |＝2， ∴ |MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义，知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.11．[2017北京卷]已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点⎝⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解：由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12. 所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2. 因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2 ＝(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．[强化训练]1．[2019清华大学学术能力诊断]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A.83p 2B.233p 2C.433p 2D.833p 2答案：B 解析：不妨设P 在第一象限，过Q 作QR ⊥PM ，垂足为R ，设准线与x 轴的交点为E ，∵直线PQ 的斜率为3，∴直线PQ 的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝p1－cos 60°＋p 1＋cos 60°＝2p sin 260°＝83p .在Rt △PRQ 中，sin ∠RPQ ＝|QR ||PQ |， ∴|QR |＝|PQ |·sin ∠RPQ ＝83p ×32＝433p ，由题意可知，|MN |＝|QR |＝433p ， ∴S △MNF ＝12|MN |·|FE |＝12×433p ×p ＝233p 2. 故选B.2．[2019湖北四地七校3月联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点C (－4,0)．过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24.则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x答案：D 解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D.3.[2019安徽芜湖模拟]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2答案：A 解析：①焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24； ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设直线AB ：y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 21y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4. 又∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2. 故y 1y 2x 1x 2＝－4. 4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5答案：C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12.又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥92.5．设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( ) A ．4 B ．6 C ．9D ．12答案：C 解析：由题意，得抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴点F 是△ABC 的重心， ∴x 1＋x 2＋x 3＝92. 由抛物线的定义，可得|F A |＝x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 1＋32，|FB |＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 2＋32， |FC |＝x 3－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 3＋32，∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋32＋x 2＋32＋x 3＋32 ＝9.6．[2019石家庄模拟]已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y答案：D 解析：因为x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，所以c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，所以ba ＝ 3.x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋(3)2＝2，所以p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .7．[2019永州模拟]已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A.22 B ．1－22 C ．1＋22D ．2＋ 2答案：D 解析：抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116，设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，可得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ，由抛物线的定义，可得M 到准线的距离为|MF |，N 到准线的距离为|NF |，由梯形的中位线定理，可得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )，由|MN |2＝λ·d 2，可得14λ＝a 2＋b 2＋2ab (a ＋b )2＝1－(2－2)ab (a ＋b )2≥1－(2－2)ab (2ab )2＝1－2－24＝2＋24，可得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时，取得最小值2＋ 2.8．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.答案：1＋2 解析：|OD |＝a2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ，又抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ×a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ， ∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·ba －1＝0，又b a >1，∴ba ＝1＋ 2.9．[2019河南安阳一模]已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案：2 解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x2b 2＝1，可得 14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)， ∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1.设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知，|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.10．[2019湖北武汉一模]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为点C ，D .若|AF |＝2|BF |，且△CDF 的面积为2，则p 的值为________．答案：233 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为直线AB 过焦点F ，所以y 1y 2＝－p 2. 不妨设点A 在第一象限，因为|AF |＝2|BF |，所以|y 1|＝2|y 2|，所以－2y 22＝－p 2.解得y 2＝－22p ，所以y 1＝－2y 2＝2p . 所以S △CDF ＝12|y 1－y 2|×p ＝12×322p 2＝2，解得p ＝233.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由(1)知，点A 的坐标是(4,4)．由题意，得B (0,4)，M (0,2)，又∵F (1,0)，∴k F A ＝43. ∵MN ⊥F A ，∴k MN ＝－34， ∴直线F A 的方程为y ＝43(x －1)，① 直线MN 的方程为y ＝－34x ＋2，② 由①②联立，得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.。

抛物线知识点及基础训练题

抛物线1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向右左上下标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦点位置 X 正X 负Y 正Y 负焦点坐标 (,0)2p(,0)2p- (0,)2p (0,)2p -准线方程2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈对称轴X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴顶点坐标（0,0）离心率1e = 通径2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p ABα= 若AB 的倾斜角为α，则22cos p AB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===∙∙ 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|AB |=x 1+x 2+p ,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。

(完整版)高二抛物线基础测试题

高二抛物线基础测试题一、选择题：1．顶点在原点，焦点是F (0,5)的抛物线方程是( )A ．y 2＝20xB ．x 2＝20yC ．y 2＝120xD ．x 2＝120y2．抛物线y ＝－x 2的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎝⎛⎭⎪⎫0，－14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，03．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( )A.18 B ．－18 C ．8 D ．－84．(2010年高考陕西卷)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．45．(2010年高考湖南卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．126．若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝－16xB ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝16x 或y ＝0(x <0)7．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|29．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( )A.15 B ．215C.152D ．15.10．以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定11．过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是AB ，抛物线的准线交x 轴于点M ，则∠AMB 是( )A ．锐角B ．直角C．钝角D．锐角或钝角12．(2010年高考山东卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2二．填空题13．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.14．抛物线y2＝4x上的点P到焦点F的距离是5，则P点的坐标是________．15．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝________. 16．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，则以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是________．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．18．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．19．已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．高二抛物线基础测试题参考答案一.选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BBBCBCCCACBB1．解析：选B.由p2＝5得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故x 2＝20y .2．解析：选B.x 2＝－y ，∴2p ＝1，p ＝12，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14.3．解析：选B.由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.4．解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－p2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.∵准线与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.5解析：选B.如图所示，抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，由抛物线的定义知：|PF |＝|PE |＝4＋2＝6.6．解析：选C.∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，∴点P 到F (4,0)的距离与它到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x . 7．解析：选C.通径2p ＝8且焦点在x 轴上，故选C. 8．解析：选C.由抛物线定义知|FP 1|＝x 1＋p2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p2，∴|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|，故选C.9．解析：选A.令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1y 2＝12x 得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝1＋22x 1－x 22＝5[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝15.10．解析：选C.|PF |＝x P ＋p 2，∴|PF |2＝x P 2＋p4，即为PF 的中点到y 轴的距离．故该圆与y 轴相切．11．解析：选B.由题意可得|AB |＝2p .又焦点到准线距离|FM |＝p ，F 为AB 中点，∴|FM |＝12|AB |，∴△AMB 为直角三角形且∠AMB ＝90°.12．解析：选B.∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py－p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. 二．填空题13解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0y ＝ax2，得ax 2－x ＋1＝0，由Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14. 答案：1414．解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋1＝5，∴x 0＝4， ∴y 20＝16，∴y 0＝±4. 答案：(4，±4) 15．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|FA |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.又⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0⇒x 2－5x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7. 答案：7 16．解析：焦点在x 轴正半轴上时，设方程为y 2＝2px (p >0)代入点(32，12)得p ＝312，焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p >0)，∴p ＝－312.综上，所求方程为y 2＝±36x . 答案：y 2＝±36x 三、解答题17．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．解：由抛物线定义知焦点为F (－p 2，0)，准线为x ＝p2，由题意设M 到准线的距离为|MN |，则|MN |＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10， ∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或M (－9，－6)．18．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线相交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求抛物线的标准方程为： y 2＝ax (a ≠0)，A (m ，－3)．则由抛物线的定义得5＝|AF |＝|m ＋a4|，又(－3)2＝am .所以，a ＝±2或a ＝±18.故所求抛物线的方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .19．已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)证明：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k x ＋1，消去x ，得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－1k，y 1·y 2＝－1.因为y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，所以(y 1·y 2)2＝x 1·x 2，所以x 1·x 2＝1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，所以OA ⊥OB .(2)设直线l 与x 轴的交点为N ，则N 的坐标为(－1,0)，所以S △AOB ＝12|ON |·|y 1－y 2|＝12×|ON |×y 1＋y 22－4y 1·y 2 ＝12×1× 1k 2＋4＝10，解得k 2＝136，所以k ＝±16.。

抛物线基础题(含答案)

抛物线（A ）一．选择题：1．准线为x=2的抛物线的标准方程是A.24y x =-B. 28y x =-C. 24y x =D. 28y x =2．焦点是（-5，0）的抛物线的标准方程是A.25y x =B. 210y x =-C. 220y x =- D. 220x y =-3．抛物线F 是焦点，则p 表示 A. F 到准线的距离 B.F 到准线距离的14C. F 到准线距离的18D. F 到y 轴的距离4．动点M （x,y ）到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点M 的轨迹方程是A.40x +=B. 40x -=C. 28y x =D. 216y x =5．动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差等于2，则点P 的轨迹是A 直线B 椭圆C 双曲线D 抛物线6．抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(),3P m -到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是A 4y =B 4y =-C 2y =D 2y =-7．抛物线()20y ax a =<的焦点坐标和准线方程分别为 A 11,044x a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B 11,044x a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ C 110,44y a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D 110,44y a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭8. 在28y x =上有一点P ，它到焦点的距离是20，则P 点的坐标是A ()8,12B ()18,12-C ()18,12或()18,12-D ()12,18或()12,18-9.物线210y x =的焦点到准线的距离是 A.10 B.5 C.20 D.5210.抛物线28x y =-的焦点坐标是A.()4,0-B.()0,4-C.()2,0-D.()0,2-二．填空题：1．2(0)=≠的焦点坐标是y ax a2．24y x=的焦点坐标是准线方程是3．顶点在原点，焦点为（0，-2）的抛物线的方程为。

2022年高考数学一轮复习专题专题41抛物线基础巩固检测题解析版.docx

专题41抛物线基础巩固检测题(解析版)一、单选题1.过抛物线十=4》的焦点F 的直线交抛物线于AB 两点，若F 是线段AB 的中点,则 |AB |=()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【分析】依据题意可知线段AB 为抛物线的通径可得结果. 【详解】由题可知：线段为抛物线的通径所以|AB| = 4 故选：D2. F 为抛物线y2=2px(p>0)上一点，点尸到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,则P=()【答案】D 【分析】由抛物线：/=2px(p>0)可得准线/的方程为：x = --|,设点P(x,y),再由点尸到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,可得x + ^ = 10, y = ±6,再与抛物线方 2 程y2=2px(p 〉0),联立解方程组，即可求解.【详解】解：由题意可得：抛物线V=2px(p>0)的准线/的方程为：x =-宣设点P(x, y),又因点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6, 即。

的值分别为18或2.故选：D. 【点睛】B. 4C. 4 或9D. 2或18所以有，》+农102y = ±6 ,解得＜y 2 =2 pxx = l 、或＜ [p = 18|x = 9[P = 2‘A. 2本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题.3.已知抛物线方程为必=4>,则该抛物线的焦点坐标为( )A. (0,-1)B. ^-―C.D. (0,1)【答案】D【分析】根据抛物线方程求出。

=2，即可得抛物线的焦点坐标.【详解】由抛物线方程x2=4y可知2p = 4,所以p = 2,又抛物线的焦点在V轴正半轴上，所以该抛物线的焦点坐标为(0,1).故选：D4.已知抛物线C:x2=2py(p〉0)的焦点在直线x+y-1 = 0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60。

的直线交抛物线C于A、8两点，则|仙|=( )A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】C【分析】直线x+y-l =。

高考数学考点通关练第七章平面解析几何 54 抛物线试题理-人教版高三全册数学试题

考点测试54 抛物线一、基础小题1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )A.10 B．4 C.15 D．5答案 D解析由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )A．18 B．24 C．36 D．48答案 C解析如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6.又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36.3．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6B.π4或3π4 C.π3或2π3D.π2 答案 B解析焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，当斜率不存在时，弦长为2p ＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k ，所以方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，代入y 2＝6x ，得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0，设弦的两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＋p ＝12，即3k 2＋6k2＋3＝12，k 2＝1.∴k ＝tan α＝±1，结合x ∈[0，π)，可得α＝π4或34π.4．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D.5－1 答案 D解析由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.5．抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．2x －y －1＝0 答案 C解析 ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)．设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2.∴k BC ＝－2. 又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2.∴BC 中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.6．若抛物线y 2＝2x 上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，且y 1y 2＝－1，则实数b 的值为( )A ．－52 B.52 C.12 D ．－12答案 A解析直线AB 的斜率为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212y 21－12y 22＝－1，所以y 1＋y 2＝－2，y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝6.线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 224，－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，代入y ＝x ＋b ，得b ＝－52.故选A.7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案 y 2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________. 答案π6解析过N 作准线的垂线，垂足是P ，则有PN ＝NF ， ∴PN ＝32MN ，∠NMF ＝∠MNP .又cos ∠MNP ＝32，∴∠MNP ＝π6，即∠NMF ＝π6. 二、高考小题9．[2015·某某高考]如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案 A解析过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知S △BCF S △ACF ＝12·|CB |·|CF |·sin∠BCF12·|CA |·|CF |·sin∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1，故选A.10．[2016·全国卷Ⅰ]以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝2222p＝4p，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B. 11．[2016·某某高考]设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1 答案 C解析设P (x ，y )，∵|PM |＝2|MF |，∴|PM ||MF |＝2，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴⎩⎨⎧x M ＝x ＋2×p21＋2＝x ＋p 3，y M＝y 1＋2＝y 3，∴k OM ＝y M x M ＝yx ＋p，由题易知k OM 最大时y >0，∴k OM ＝2px x ＋p＝2px ＋p x≤2p 2p ＝22，当且仅当x ＝p 时取等号．12．[2016·某某高考]若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案 9解析设M (x 0，y 0)，由抛物线方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.13．[2016·某某高考]设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．答案6解析由已知得抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则|FC |＝3p ，∴|AF |＝|AB |＝32p ，则A (p ，2p )(不妨设A 在第一象限)．易证△EFC ∽△EAB ，所以|EF ||AE |＝|FC ||AB |＝|FC ||AF |＝2，所以|AE ||AF |＝13，所以S △ACE ＝13S △AFC ＝13×32p ×2p ＝22p 2＝32，所以p ＝ 6.三、模拟小题14．[2017·某某监测]抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 答案 C解析将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C.15．[2017·豫南九校联考]已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|PA |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 C解析抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝82＋7－12－1＝10－1＝9.当且仅当A、P、F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.16．[2016·某某某某模拟]如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋x n＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P n F|＝( )A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20答案 A解析由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|P n F|＝x n＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P n F|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋x n＋1＝(x1＋x2＋…＋x n)＋n＝n＋10.故选A.17．[2016·某某某某一模]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝( )A.83B.52C．3 D．2答案 A解析设l 与x 轴的交点为M ，如图所示，过Q 作QN ⊥l ，垂足为N ，则△PQN ∽△PFM ，所以|NQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝23，因为|MF |＝4，所以|NQ |＝83，故|QF |＝|QN |＝83，故选A.18．[2016·某某某某二模]直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 、圆x 2＋(y －1)2＝1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|CD ||AB |的值为________．答案 16解析如图所示，抛物线x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，直线3x －4y ＋4＝0过点(0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，3x －4y ＋4＝0，得4y 2－17y ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝174，y 1y 2＝1，解得y 1＝14，y 2＝4，则|CD ||AB |＝|FD |－1|AF |－1＝y 2＋1－1y 1＋1－1＝16.一、高考大题1．[2016·某某高考]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值X 围．解 (1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)．因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x ，得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2，从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0. 方程(*)的两根为y 1,2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上，所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p . 由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43. 2．[2016·全国卷Ⅲ]已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解由题设知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，或x 1＝1. 设AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 二、模拟大题3．[2017·某某模拟]已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切于点N .(1)求C 的方程；(2)若圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，求直线l 的方程和圆M 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p . 又∵以AB 为直径的圆M 与直线y ＝－1相切，∴|AB |＝y 1＋y 2＋2，故p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 并整理，得x 2－4kx －4＝0. ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2 ＝4k 2＋2， ∴圆心M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22的坐标为M (2k,2k 2＋1)．∵圆M 与直线x ＝－32相切于点Q ，∴|MQ |＝|MN |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k ＋32＝|2k 2＋2|，解得k ＝12.此时直线l 的方程为y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，半径r ＝52，即圆M 的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝254.4．[2017·某某师大附中质检]已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点F (1,0)，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．解 (1)证明：由题可知K (－1,0)，抛物线的方程为y 2＝4x ，则可设直线l 的方程为x ＝my －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4＝0，∴Δ＝(－4m )2－4×4≥0，得m 2≥1， ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，则直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，即 y －y 2＝4y 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 224.令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，∴点F (1,0)，在直线BD 上．(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，∴x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1.又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2) 故FA →·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝8－4m 2，则8－4m 2＝89，∴m ＝±43，故直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x －4y ＋3＝0，y 2－y 1＝±y 2＋y 12－4y 1y 2＝±16m 2－16＝±473，故直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0或3x －7y －3＝0. 又KF 为∠BKD 的平分线，故可设圆心M (t,0)(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －192＋y 2＝49.5．[2017·某某重点中学联考]如图，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点P 1，P 2，过P 1，P 2作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P 1Q ⊥P 2Q .(1)求抛物线C 和圆Q 的方程；(2)过点F 作直线l ，与抛物线C 和圆Q 依次交于M ，A ，B ，N ，求|MN |·|AB |的最小值．解 (1)因为抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，所以p2＝1，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .由抛物线和圆的对称性，可设圆Q ：x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵P 1Q ⊥P 2Q ，∴△P 1QP 2是等腰直角三角形，不妨设P 1在左侧，则∠QP 1P 2＝45°，∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22r ，b －22r ，代入抛物线方程有r 22＝4b －22r .由题意，可知在P 1，P 2处圆和抛物线相切，对抛物线方程x 2＝4y 求导得y ′＝x2，所以抛物线在点P 2处切线的斜率为k ＝2r 4. 由∠QP 1P 2＝45°，得k ＝2r 4＝1，所以r ＝22，代入r22＝4b －22r ，解得b ＝3.所以圆Q 的方程为x 2＋(y －3)2＝8.(2)由题意，知直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 圆心Q (0,3)到直线l 的距离为d ＝21＋k2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝42－11＋k2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得y 2－(2＋4k 2)y ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k 2＋2，由抛物线定义知，|MN |＝y 1＋y 2＋2＝4(1＋k 2)，所以|MN |·|AB |＝16(1＋k 2)2－11＋k2. 设t ＝1＋k 2(t ≥1)，则|MN |·|AB |＝16t2－1t＝162t 2－t ＝162⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－18(t ≥1)，所以当t ＝1，即k ＝0时，|MN |·|AB |有最小值16.6．[2017·某某适应考试]已知抛物线C ：y 2＝4x ，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点P 1，P 2和点P 3，P 4，线段P 1P 2，P 3P 4的中点分别记为M 1，M 2.(1)求△FM 1M 2面积的最小值； (2)求线段M 1M 2的中点P 满足的方程．解 (1)由题意，得抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线P 1P 2的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，消去y 并整理，得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0.(*)(*)是关于x 的一元二次方程，其判别式Δ＝[－2(2＋k 2)]2－4k 4＝16(1＋k 2)>0. 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个不相等实根，且x 1＋x 2＝22＋k2k 2.设M 1(xM 1，yM 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧xM 1＝x 1＋x 22＝2＋k 2k2，yM 1＝kxM 1－1＝2k，类似地，设M 2(xM 2，yM 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧xM 2＝2＋1k 21k2＝2k 2＋1，yM 2＝－1kxM 2－1＝－2k ，所以|FM 1|＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2＋k 2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2k 21＋k 2，|FM 2|＝ 2k22＋－2k2＝2|k |1＋k 2，因此S △FM 1M 2＝12|FM 1|·|FM 2|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1|k |＋|k |.因为1|k |＋|k |≥2，所以S △FM 1M 2≥4，当且仅当1|k |＝|k |，即k ＝±1时，S △FM 1M 2取到最小值4.(2)设线段M 1M 2的中点为P (x ，y )，由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12xM 1＋xM 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2k 2＋2k 2＝1＋k 2＋1k 2，y ＝12yM 1＋yM 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －2k ＝－k ＋1k ，消去k ，得y 2＝x －3.∴线段M 1M 2的中点P 满足的方程为y 2＝x －3.。

(完整版)抛物线基础练习题

完整版)抛物线基础练习题抛物线基础练习题1.抛物线方程及性质1.1 抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数常数。

a 的值决定了抛物线的开口方向。

当 $a。

0$ 时，抛物线开口向上。

当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。

1.2 抛物线的对称轴是垂直于 x-轴的直线，可以通过以下公式求得：x = -\frac{b}{2a}$$2.抛物线图像绘制2.1 绘制抛物线图像的步骤：确定抛物线的方程。

找出对称轴的 x 坐标。

绘制对称轴，并确定对称轴上的一点。

根据对称轴上的点，绘制抛物线的图像。

2.2 使用上述步骤绘制以下抛物线的图像：2.2.1 $y = x^2$，开口向上的抛物线。

首先，我们可以得知对称轴的 x 坐标为 $x = 0$。

确定对称轴上的一点 P(0,0)，然后根据 P 点的坐标起始绘制抛物线图像。

绘制结果如下图所示：抛物线图像](image.png)3.练习题请计算并回答下列问题：1.当抛物线方程为 $y = -2x^2 + 3x + 1$ 时，求其对称轴的 x 坐标。

2.给定抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，求其开口方向。

4.答案解析解答上述练习题：1.根据公式 $x = -\frac{b}{2a}$，代入 $a=-2$ 和 $b=3$，我们可以计算得到对称轴的 x 坐标为 $x = -\frac{3}{2}$。

2.根据抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，我们可以得知 $a = 4.0$，所以抛物线的开口方向是向上。

希望以上内容能够帮助你理解抛物线的基本概念和绘制方法。

如果还有其他问题，请随时提问。

抛物线基础题(含答案)

抛物线1．在平面内，“点P 到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P 的轨迹为抛物线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B2．若动点P 到定点F (－4,0)的距离与到直线x ＝4的距离相等，则P 点的轨迹是( )A ．抛物线B ．线段C ．直线D ．射线答案 A3. 已知动点P 到定点(0,2)的距离和它到直线l ：y ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________。

答案 x 2＝8y 4. 已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 C5. 对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( )A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116答案 B6．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18B ．－18 C ．8 D ．－8解析因为y ＝ax 2(a ≠0)，化为标准方程为x 2＝1a y ，其准线方程为y ＝2，所以2＝1－4a，所以a ＝－18。

故选B 。

答案 B7. 抛物线y ＝－116x 2的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－164，0 B ．(－4,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－164 D ．(0，－4) 解析抛物线方程化为x 2＝－16y 。

其焦点坐标为(0，－4)。

答案 D8. 抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为________。

解析抛物线方程化为y 2＝－74x ，所以抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，0。

答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－716，09．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是( )A ．y 2＝94xB ．x 2＝43yC ．y 2＝－94x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝43y 答案 D10．已知抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x22＝1的一个焦点重合，则m ＝________。

抛物线练习题带答案,知识点总结(基础版)

抛物线重难点复习一．知识点总结2.,,C F p M C 焦抛物线的焦点为为是准距上的点min ;.2pMF OF MF MF p ===(1)(2)若与对称轴垂直，则2000(,)2(0)23p M x y y px p MF x =>=±+±若是抛物线上的点则() 2000(,)224p P x y x py PF y =±=±+若是抛物线上的(点，则) (5).()(90)1cos s ()1co p MF MF pp or MF p MF MF θθθθ≥≤-+==≤ 若与抛物线的为则夹角，对称轴1)2MF MF MF 以为直径的圆与坐标轴相切(的中点到坐标轴的距离为(6)1122(,)(,),.F l A x y B x y l k θ3.过焦点的直线交抛物线于点、，记直线的斜率为倾斜角为221222:2,(),sin 2sin AOB p p C y px AB x x p S θθ∆==++==（1）若抛物线则221222:2,()cos 2cos AOB p p C x py AB y y p S θθ∆==++==（2）若抛物线则， 222222121212124:2,,;:2,,44p p C y px y y p x x C x py x x p y y ==-===-=（）若抛物线则若抛物线则112(3)2();p AF BF p+=通焦点弦的最径小值为 (5)以AB 为直径的圆与准线相切12MN AB ⎛⎫=⎪⎝⎭（6）以CD 为直径的圆与AB 相切与焦点F1．已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则p =________. 【答案】2【解析】抛物线y 2=2px （p ＞0， ∵抛物线y 2=2px （p ＞04，∴p=2.故答案为2.2．已知F 是抛物线y 2=2x 的焦点，A ,B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=11，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】∵F 是抛物线y 2=2x 的焦点∴F (12,0) ,准线方程x =−12，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)∴|AF |+|BF |=x 1+1+x 2+1=11x 1+x 2=10,∴线段AB 的中点横坐标为5∴线段AB 5，所以B 选项是正确的.3．已知抛物线C ：的焦点为F ，()00A x y ，是C 上一点，则0x =（）A. 2B. 2±C. 4D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =，所以04x =±，故选D 。

新高考一轮复习人教版抛物线及其性质作业

9.4抛物线及其性质基础篇固本夯基考点一抛物线的定义及标准方程1.(2022届广州花都8月调研,3)已知抛物线x2=ay的焦点为F,且M(2,1)为抛物线上的点,则|MF|=()A.1B.2C.3D.4答案B2.(2022届江苏百校大联考,3)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上第一象限的点,若|FA|=73,则直线OA的倾斜角为()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案C3.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x 23p +y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案D4.(2021石家庄3月质检,7)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,MF的延长线交y轴于点N.若MF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FN⃗⃗⃗⃗ ,则|MF|为()A.8B.6C.4D.2答案A5.(2020课标Ⅰ理,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.9答案C6.(2021广东湛江一模,6)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,点M是C上的一点,M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍,且|MF|=6,则p=()A.4B.6C.8D.10答案A7.(2021北京,12,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为;△MNF的面积为.答案5;4√5考点二抛物线的几何性质1.(2022届广东茂名11月测试,2)抛物线x=43y2的焦点坐标为()A.(13,0)B.(0,13)C.(316,0)D.(0,23)答案C2.(2021山东枣庄二模,4)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则C的焦点到其准线的距离为()A.1 4B.12C.1D.2答案B3.(2020课标Ⅲ,文7,理5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()A.(14,0)B.(12,0)C.(1,0)D.(2,0)答案B4.(2021辽宁朝阳一模,8)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F与x轴垂直的直线交C于点M,N,有下列四个命题:甲:点F的坐标为(1,0);乙:抛物线C的准线方程为x=-2;丙:线段MN的长为4;丁:直线y=x+1与抛物线C相切.如果只有一个命题是假命题,则该命题是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案B5.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)考点三直线与抛物线的位置关系1.(2022届广东深圳三中检测,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,延长FB交准线于点C,若|BC|=2|BF|,则|BF||AF|=()A.1 4B.13C.12D.23答案B2.(多选)(2022届山东师大附中开学考试,11)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是()A.以线段AB为直径的圆与直线x=-12相交B.以线段BM为直径的圆与y轴相切C.当AF⃗⃗⃗⃗ =2FB⃗⃗⃗⃗ 时,|AB|=92D.|AB|的最小值为4答案ACD3.(2021百校大联考(六),12)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为-2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M,N两点,若|MN|=52,则该抛物线的方程是()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=6x 答案B4.(2021济南二模,7)已知抛物线x 2=2py(p>0),过焦点F 的直线与抛物线交于A,B 两点(点A 在第一象限).若直线AB 的斜率为√33,点A 的纵坐标为32,则p 的值为( )A.14B.12C.1D.2 答案 C5.(2018课标Ⅰ理,8,5分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M,N 两点,则FM ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗ =( )A.5B.6C.7D.8 答案 D6.(2019课标Ⅰ理,19,12分)已知抛物线C:y 2=3x 的焦点为F,斜率为32的直线l 与C 的交点为A,B,与x 轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程;(2)若AP ⃗⃗⃗⃗ =3PB⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|. 解析设直线l:y=32x+t,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). (1)由题设得F (34,0),故|AF|+|BF|=x 1+x 2+32, 由题设可得x 1+x 2=52.由{y =32x +t,y 2=3x可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t−1)9.从而-12(t−1)9=52,得t=-78.所以l 的方程为y=32x-78.(2)由AP⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2.由{y =32x +t,y 2=3x可得y 2-2y+2t=0.所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3.代入C 的方程得x 1=3,x 2=13.故|AB|=4√133. 综合篇知能转换A 组考法一利用抛物线的定义解题1.(2021福建龙岩三模,6)已知抛物线x 2=4y 的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点P 作PQ ⊥l,垂足为Q,若|PF|=4,则∠FQP=( )A.30°B.45°C.60°D.75° 答案 C2.(2022届广东深圳实验学校、长沙市一中联考,13)抛物线y=ax 2(a>0)上的点M (m,12)到其准线l 的距离为1,则a 的值为 . 答案123.(2022届华大新高考联盟11月测评,13)已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则该抛物线上任一点到焦点的距离的取值范围是 . 答案 [1,+∞)4.(2021广东肇庆二模,15)已知点P 是抛物线x 2=8y 上的一个动点,则点P 到点A(2,0)的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为 . 答案 2√25.(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O 为坐标原点,抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP.若|FQ|=6,则C 的准线方程为 . 答案 x=-32考法二直线与抛物线的位置关系问题1.(2022届湖北部分学校11月质检,6)已知抛物线y 2=4x,直线l 与抛物线交于A,B 两点,若线段AB 中点的纵坐标为2,则直线AB 的斜率为( ) A.2 B.√3 C.√33D.1答案 D2.(多选)(2021湖南衡阳联考(一),11)已知抛物线C:x 2=2py(p>0),过其准线上的点T(1,-1)作C 的两条切线,切点分别为A 、B,下列说法正确的是( ) A.p=1 B.TA ⊥TBC.直线AB 的斜率为12D.线段AB 中点的横坐标为1 答案 BCD3.(2022届四省八校期中,14)过点M(-1,2)作抛物线y 2=4x 的两条切线,切点分别为A 、B,则线段AB 的中点到抛物线准线的距离为 . 答案 44.(2020新高考Ⅰ,13,5分)斜率为√3的直线过抛物线C:y 2=4x 的焦点,且与C 交于A,B 两点,则|AB|= . 答案1635.(2019北京理,18,14分)已知抛物线C:x 2=-2py 经过点(2,-1). (1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON 于点A 和点B.求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.解析 (1)由抛物线C:x 2=-2py 经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C 的方程为x 2=-4y,其准线方程为y=1. (2)证明:抛物线C 的焦点为F(0,-1).设直线l 的方程为y=kx-1(k ≠0). 由{y =kx −1,x 2=−4y 得x 2+4kx-4=0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1x 2=-4,直线OM 的方程为y=y 1x 1x. 令y=-1,得点A 的横坐标x A =-x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B =-x 2y 2.设点D(0,n),则DA ⃗⃗⃗⃗ =(−x 1y 1,−1−n ),DB⃗⃗⃗⃗ =(−x2y 2,−1−n ), DA⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2y 1y 2+(n+1)2=x 1x 2(−x 124)(−x 224)+(n+1)2=16x 1x 2+(n+1)2=-4+(n+1)2.令DA ⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗ =0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3. 综上,以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,-3).6.(2021全国乙文,20,12分)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值. 解析 (1)∵抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2,∴p=2.∴抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)由已知不妨设点P(4x 02,4x 0),Q(x 1,y 1),则PQ ⃗⃗⃗⃗ =(x 1-4x 02,y 1-4x 0),∵F(1,0),∴QF ⃗⃗⃗⃗ =(1-x 1,-y 1), ∵PQ ⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗ ,∴{x 1−4x 02=9(1−x 1),y 1−4x 0=9(−y 1),整理得{x 1=110(9+4x 02),y 1=410x 0,∴k OQ =y 1x 1=4x 09+4x 02, 当k OQ 最大时,x 0>0,∴k OQ =49x 0+4x 0≤2√36=13,当且仅当4x 0=9x 0时取“=”,此时x 0=32,点P 的坐标为(9,6),因此k OQ 的最大值为13.B 组1.(2020北京,7,4分)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P 是抛物线上异于O 的一点,过P 作PQ ⊥l 于Q,则线段FQ 的垂直平分线( )A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP 答案 B2.(2017课标Ⅱ文,12,5分)过抛物线C:y 2=4x 的焦点F,且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴的上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为( ) A.√5 B.2√2 C.2√3 D.3√3 答案 C3.(2022届广东深圳七中月考,8)过抛物线C:y 2=4x 的焦点作倾斜角为34π的直线l 交C 于A 、B 两点,以C 的准线上一点M 为圆心作圆M 经过A 、B 两点,则圆M 的面积为( ) A.96π B.48π C.32π D.16π 答案 B4.(多选)(2022届广东11月大联考,10)已知P(x 0,y 0)是抛物线C:y 2=4x 上一动点,则( ) A.C 的焦点坐标为(2,0)B.C 的准线方程为x+1=0 C.x 0+1=√(x 0−1)2+y 02D.x 0+1y 02+1的最小值为34答案 BCD5.(2021湖北九师联盟2月质检,8)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x 0,2√2)(x 0>p2)是抛物线C 上一点,以点M 为圆心的圆与直线x=p2交于E,G 两点,若sin ∠MFG=13,则抛物线C 的方程是( ) A.y 2=x B.y 2=2x C.y 2=4x D.y 2=8x 答案 C。

专题70：抛物线基础知识和典型例题(解析版)

专题70：抛物线基础知识和典型例题（解析版）抛物线1、定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：标准方程范围顶点对称轴轴轴焦点准线方程离心率，越大，抛物线的开口越大焦半径通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：焦点弦长公式3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．4、关于抛物线焦点弦的几个结论：设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则⑴⑵⑶以为直径的圆与准线相切；⑷焦点对在准线上射影的张角为⑸四、直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。

①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若，设。

③..时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

五、弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。

即当直线与圆锥曲线交于点，时，则====题型一：求抛物线的解析式例1求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）顶点在原点，焦点是(0,5)F ；（2）顶点在原点，准线是4x =；（3）焦点是8(0,)F -，准线是8y =；（4）顶点在原点，关于x 轴对称，顶点与焦点的距离等于6．例1（1）220x y =；（2）216y x =-；（3）232x y =-；（4）224y x =±. 【解析】【分析】（1）判断焦点位置，设出抛物线方程，根据焦点求解出抛物线的标准方程；（2）根据准线判断焦点位置，设出抛物线方程，根据准线方程求解出抛物线的标准方程；（3）根据焦点和准线设出抛物线方程，根据焦点坐标即可求解出抛物线的标准方程；（4）先判断出顶点位置，然后设出抛物线的标准方程，利用已知条件求解出抛物线的标准方程. 【详解】（1）因为焦点在y 轴正半轴，设抛物线方程22x py =，所以52p=，所以10p =，所以抛物线的标准方程为220x y =；（2）因为准线4x =，所以焦点在x 轴负半轴，设22y px =-，所以42p=，所以8p =，所以抛物线的标准方程为216y x =-；（3）由条件可知抛物线的焦准距被坐标原点平分，所以抛物线的顶点在坐标原点，设抛物线方程22x py =-，所以82p=，所以16p =，所以抛物线的标准方程为232x y =-；（4）设抛物线的标准方程为22y px =，所以62p=，所以12p =±，所以抛物线的标准方程为：224y x =±. 【点睛】本题考查根据已知条件求解抛物线的标准方程，主要考查学生的分析与计算能力，难度较易. 例2：已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =求椭圆E 的方程．例3：2214x y +=.【解析】【分析】由点抛物线焦点F 是椭圆的一个顶点可得1b =，由椭圆离心率e =c a =椭圆方程可求．【详解】设椭圆E 的方程为22221x y a b+=，半焦距为c ．由已知条件，()0,1F ，1b ∴=，c a =222a b c =+，解得2a =，1b =．所以椭圆E 的方程为2214x y +=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求椭圆方程，属于基础题.题型二：求抛物线的轨迹例3：已知曲线()2C :2y x =+上有一点A ，定点()B 2,0，求线段AB 中点P 的轨迹方程。

抛物线基础检测卷

抛物线基础检测卷一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标是（）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭2．下列抛物线中，其方程形式为22(0)y px p =>的是（）A ．B ．C ．D ．3．抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．4个4．抛物线212y x =的焦点坐标是（） A ．()0,1B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭,C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭5．抛物线28x y =的准线被圆2260x y x +-=截得的线段长为（） A ．4B ．5C 5D ．26．抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为（）A ．2B ．1C ．116D ．127．已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若||2PF =，3PFO π∠=，则抛物线C 的方程为（）A ．26y x =B ．22y x =C ．2y x =D ．24y x =8．已知点P 为抛物线C ：()220x py p =>上一点，且点P 到x 轴的距离比它到焦点的距离小3，则p =（） A ．3B ．6C ．8D ．129．已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（） A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．20x y -+=D ．20x y ++=10l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)12M x y -+=相切，则p =（）.A ．12B ．8C ．10D ．611．抛物线的顶点和椭圆221259x y +=的中心重合，抛物线的焦点和椭圆221259x y +=的右焦点重合，则抛物线的方程为（） A ．216y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．26y x =12．已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，点M ，N 分别在抛物线C 上.若2MF FN =，则点M 到y 轴的距离为（） A ．12B ．35C ．23D ．1二、填空题13．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________.14．抛物线22(0)y px p =>的准线截圆22210x y y +--=所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为_________．15．已知抛物线方程为2y x =，点M 在此抛物线上运动，则点(4,0)A 与点M 之间的距离||MA 的最小值为______________.16．已知点M （1，2）在抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上，则点M 到抛物线C 焦点的距离是______．三、解答题17．（1）求过点(P ，(Q 的椭圆的标准方程．（2）求焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5的抛物线的标准方程．18．已知抛物线24y x =．（1）求过点()0,1P 与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；（2）过焦点F M ，N ，求MN 的长．19．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线221243x y -=的一个焦点，O 是坐标原点．（1）求抛物线的方程；（2）经过焦点F 作直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，||5AB =，若OA OB mOD +=，且D 在抛物线上，求实数m 的值．20．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 是椭圆22143x y +=的一个焦点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设P ，M ，N 为抛物线C 上的不同三点，点()1,2P ，且PM PN ⊥.求证：直线MN 过定点.21．已知抛物线E 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2，求（1）求c 的值（2）抛物线E 的方程22．已知抛物线2:4C y x =的焦点是F ，准线是l . （Ⅰ）写出F 的坐标和l 的方程；（Ⅱ）已知点(9,6)P ，若过F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N .求证：MF NF ⊥.参考答案1．C 【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和p ，进而求出焦点坐标. 【详解】由22y x =化为标准方程得212x y =，开口向上，则122p =，即14p =，所以22y x =的焦点坐标是10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查焦点的求法，属于基础题. 2．A 【解析】【分析】根据方程形式为22(0)y px p =>，可得其图象关于x 轴对称，且0x ≥，即可判断.【详解】解：根据方程形式为22(0)y px p =>，可得其图象关于x 轴对称，且0x ≥，故可得该抛物线对称轴为x 轴，开口朝右. 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线方程对应的图像，属于基础题. 3．C 【解析】【分析】结合抛物线的定义判断出结果. 【详解】依题意抛物线28y x =，28,22pp ==，准线方程为2x =-，结合抛物线的定义可知：抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点的横坐标为523-=，将3x =代入28y x =，得224y =，解得y =±，所以抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有2个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题. 4．B 【解析】【分析】先把抛物线方程212y x =化为标准方程22x y =，从而得22p =，122p =，进而可求出其焦点坐标【详解】解：由212y x =，得22x y =，所以22p =，得1p =，所以122p =，所以焦点坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭,，故选：B 【点睛】此题考查由抛物线的标准方程求焦点坐标，属于基础题 5．B 【解析】【分析】先由抛物线方程，得到其准线方程，再由几何法求圆的弦长，即可得出结果. 【详解】因为抛物线28x y =的准线方程为2y =-，圆2260x y x +-=整理得()2239x y -+=，则圆心坐标为()3,0，半径为3r =，则圆心到直线2y =-的距离为2d =，因此2y =-被圆2260x y x +-=截得的弦长为=故选：B. 【点睛】本题主要考查求抛物线的准线，考查求圆的弦长，属于基础题型. 6．B 【解析】【分析】根据抛物线的定义可转化为0||1PF x =+，根据0x 的范围求解即可. 【详解】由题意，24y x =的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，设抛物线上的动点()00,P x y ，根据抛物线的定义可知，0||1PF x =+，因为0[0,)x ∈+∞，所以011PF x =+，故抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为1. 故选：B 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，抛物线的定义，属于容易题. 7．A 【解析】【分析】||2PF =，3PFO π∠=，可求出P 点的坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】过P 向x 轴作垂线，设垂足为Q ，∵3PFO π∠=，||2PF =，∴||PQ =||1QF =，(1,2pP -，将P 点的坐标代入22y px =，得3p =，故C 的方程为26y x =. 故选:A 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题. 8．B 【解析】【分析】由抛物线的定义可知点P 到焦点的距离等于它到准线的距离，可得32p ，从而得出答案.【详解】由题得，抛物线的准线方程为2p y =-，由抛物线的定义可知，点P 到焦点的距离等于它到准线的距离，所以点P 到x 轴的距离比它到准线2py =-的距离小3，于是得32p ，所以6p ．故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 9．B 【解析】【分析】根据抛物线的定义求出直线的斜率得解. 【详解】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--，即20x y +-=，故选B.【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义，将线段的关系转化到角的关系，属于中档题. 10．A 【解析】【分析】首先根据题意直线l 方程为32p y x ⎫=-⎪⎭，根据直线l 与圆22:(2)12M x y -+=相切，得到323223p d -==.【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 方程为32p y x ⎫=-⎪⎭3302x y p --=，因为l 与圆22:(2)12M x y -+=相切，所以圆心()2,0到直线的距离为d ==，解得12p =。

高中数学抛物线经典例题

高中数学抛物线经典例题抛物线是高中数学中一个经典的重要概念，它在很多数学问题中发挥着重要的作用。

本文将介绍几个有代表性的抛物线例题，并对其解法进行详细的讲解。

首先，我们来看一个经典的问题：已知一条抛物线的顶点是（2，-3），且过点（1，0），求该抛物线的方程。

解法：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，代入顶点坐标得到两个方程：-3 = a * 2^2 + b * 2 + c (1)0 = a * 1^2 + b * 1 + c (2)将（2）式代入（1）式，得到：-3 = 4a + 2b + c结合（2）式可以得到一个二元一次方程组：4a + 2b + c = -3 （3）a +b +c = 0 （4）解方程组（3）和（4）可以得到：a = -1b = 3c = -2因此，抛物线的方程为y = -x^2 + 3x - 2。

接下来，我们来看一个与抛物线相关的优化问题：已知一条公路的两个固定点A（-4，0）和B（4，0），一位汽车在该公路上行驶，其行驶速度始终为13m/s。

行驶在该公路上的汽车，需要到达距离起点A距离为10米的地方，求汽车应该选择的行驶路线，使得行驶时间最短。

解法：设汽车行驶的路线为抛物线的方程y = ax^2 + bx + c，其中x表示汽车行驶的距离，y表示汽车离起点A的距离。

此时，我们需要求解该抛物线方程中的系数a、b、c。

由于抛物线的顶点为（2，-3），得到抛物线的顶点公式为：x = -b / (2a)y = -(b^2 - 4ac) / (4a)代入顶点坐标得到两个方程：2 = -b / (2a) （5）-3 = -(b^2 - 4ac) / (4a) （6）根据题目要求，汽车需要到达距离起点A距离为10米的地方，即取x = 10，得到：10 = -b / (2a) （7）求解（5）和（7）可以得到：a = -0.2b = 4将a和b代入（5），可以求解出c：2 = 4 / (2 * (-0.2)) + cc = 0因此，汽车应该选择的行驶路线即为y = -0.2x^2 + 4x。

抛物线相交问题练习题

抛物线相交问题练习题一、基础题1. 已知抛物线 $y = x^2 4x + 3$ 与 $y = 2x^2 3x 1$，求两抛物线的交点坐标。

2. 抛物线 $y = x^2 + 6x 7$ 与 $y = x^2 8x + 15$ 相交于A、B两点，求线段AB的中点坐标。

3. 已知抛物线 $y = 2x^2 4x + 1$ 与 $y = x^2 + 2x + 3$，求两抛物线的交点个数。

4. 抛物线 $y = x^2 2x 3$ 与 $y = 2x^2 + 4x + 5$ 相交于C、D两点，求CD线段的长度。

5. 已知抛物线 $y = 3x^2 6x + 2$ 与 $y = 3x^2 + 6x 2$，求两抛物线的公共弦方程。

二、提高题1. 抛物线 $y = x^2 5x + 6$ 与 $y = 2x^2 + 8x 7$ 相交于E、F两点，若线段EF的中点在直线 $y = 3x 1$ 上，求EF的长度。

2. 已知抛物线 $y = 4x^2 12x + 9$ 与 $y = 2x^2 + 8x 7$，求两抛物线交点处的切线方程。

3. 抛物线 $y = x^2 4x + 3$ 与 $y = x^2 + 6x 7$ 相交于G、H两点，若GH线段的长度为4，求两抛物线的交点坐标。

4. 已知抛物线 $y = 2x^2 8x + 8$ 与 $y = x^2 + 4x 1$，求两抛物线交点处的切线夹角。

5. 抛物线 $y = x^2 2x 3$ 与 $y = 2x^2 + 8x 11$ 相交于I、J两点，若IJ线段的长度为 $\sqrt{5}$，求两抛物线的交点坐标。

1. 抛物线 $y = x^2 6x + 9$ 与 $y = 2x^2 + 12x 18$ 相交于K、L两点，求以KL为直径的圆的方程。

2. 已知抛物线 $y = 3x^2 12x + 11$ 与 $y = x^2 + 4x 3$，求两抛物线交点处的切线平行于直线 $y = 2x + 1$ 的交点坐标。

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