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随机过程课程第三章 马尔可夫过程
特别 P{X nm inm | X n in , , X 0 i0}
= P{X nm inm | X n in}
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性质5 设{ X n , n 0 }为马氏链，其状态空间为 I， 则 对任意给定的 n 个整数，0 k1 k2 kn ，有
P{X kn ikn | X kn1 ikn1 , , X k1 ik1 }
（2） pij (n) 1 , i I jI
3．一步转移矩阵 如果固定时刻n T
则由一步转移概率为元素构成的矩阵P1 ：
称为在时刻n的一步转移矩阵
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即 有
p00 (n)
p10
(n)
p01(n)
p11 (n)
P1
pn0 (n)
pn1 (n)
有限马氏链 状态空间I={0，1，2，…，k}
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性质3 设{ X n , n 0 }为马氏链，其状态空间为 I，
若 0 s r n ，则在X r ir 的条件下，有 P{X n in , X s is | X r ir }
= P{X n in | X r ir } P{X s is | X r ir }
表明 若已知现在，则过去与未来是独立的。
iI
P{X 0 i}P{X n j | X 0 i}
iI
p0 (i) pi(jn)
iI
注 若对定态分布，则 p( j) p(i) pij
iI
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4．切普曼---柯尔莫哥洛夫方程
定理2 设{ X n , n 0 }为一个马氏链，具有初始分布 p0 (i) ，i I
和 n 步转移概率pi(jn) ，i. j I ，n 0 ，
称为n步转移矩阵
规定
P0
《马尔可夫过程 》课件
总结词
PART
06
结论与展望
重要性和应用前景：马尔可夫过程是概率论和随机过程的一个重要分支，它在理论和应用方面都具有重要的意义。在理论方面，马尔可夫过程为随机现象提供了数学模型，有助于深入理解随机现象的本质和规律。在应用方面，马尔可夫过程被广泛应用于金融、经济、生物信息学、计算机科学等领域，为解决实际问题提供了有效的工具。
详细描述
VS
马尔可夫链蒙特卡洛方法在统计物理中广泛应用于求解复杂的数学问题，如高维积分、复杂系统模拟等。
详细描述
在统计物理中，许多问题都需要求解复杂的数学表达式，如高维积分、复杂系统模拟等。马尔可夫链蒙特卡洛方法提供了一种有效的解决方案，通过构造合适的马尔可夫链，可以高效地求解这些数学问题，得到精确的结果。
未来研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，马尔可夫过程的研究方向也在不断拓展和深化。未来，马尔可夫过程的研究将更加注重跨学科的应用和创新，如与人工智能、机器学习等领域的交叉融合，以解决更加复杂和实际的问题。同时，随着大数据时代的到来，如何利用马尔可夫过程处理和分析大规模数据也是未来的一定义和作用。
要点一
要点二
详细描述
策略是指导决策者如何在给定状态下选择行动的规则。值函数是评估特定策略的性能的度量，它衡量了从开始到最终状态的总回报。在马尔可夫决策过程中，值函数和策略是紧密相关的，它们一起决定了在给定状态下采取的行动和最终的累积回报。
总结词
描述贝尔曼方程的定义和作用。
描述马尔可夫决策过程的定义。
总结词
马尔可夫决策过程（MDP）是一种数学模型，用于描述在不确定环境中做决策的问题。它由以下四个基本组成部分组成：状态集合、行动集合、状态转移概率和回报函数。在每个时刻，决策者根据当前状态选择一个行动，然后环境根据所选行动转移到一个新的状态，并给予决策者一个回报。
PART
06
结论与展望
重要性和应用前景：马尔可夫过程是概率论和随机过程的一个重要分支，它在理论和应用方面都具有重要的意义。在理论方面，马尔可夫过程为随机现象提供了数学模型，有助于深入理解随机现象的本质和规律。在应用方面，马尔可夫过程被广泛应用于金融、经济、生物信息学、计算机科学等领域，为解决实际问题提供了有效的工具。
详细描述
VS
马尔可夫链蒙特卡洛方法在统计物理中广泛应用于求解复杂的数学问题，如高维积分、复杂系统模拟等。
详细描述
在统计物理中，许多问题都需要求解复杂的数学表达式，如高维积分、复杂系统模拟等。马尔可夫链蒙特卡洛方法提供了一种有效的解决方案，通过构造合适的马尔可夫链，可以高效地求解这些数学问题，得到精确的结果。
未来研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，马尔可夫过程的研究方向也在不断拓展和深化。未来，马尔可夫过程的研究将更加注重跨学科的应用和创新，如与人工智能、机器学习等领域的交叉融合，以解决更加复杂和实际的问题。同时，随着大数据时代的到来，如何利用马尔可夫过程处理和分析大规模数据也是未来的一定义和作用。
要点一
要点二
详细描述
策略是指导决策者如何在给定状态下选择行动的规则。值函数是评估特定策略的性能的度量，它衡量了从开始到最终状态的总回报。在马尔可夫决策过程中，值函数和策略是紧密相关的，它们一起决定了在给定状态下采取的行动和最终的累积回报。
总结词
描述贝尔曼方程的定义和作用。
描述马尔可夫决策过程的定义。
总结词
马尔可夫决策过程（MDP）是一种数学模型，用于描述在不确定环境中做决策的问题。它由以下四个基本组成部分组成：状态集合、行动集合、状态转移概率和回报函数。在每个时刻，决策者根据当前状态选择一个行动，然后环境根据所选行动转移到一个新的状态，并给予决策者一个回报。
北大随机过程课件：第 3 章 第 2 讲 马尔可夫过程
k
∑ = Pi j (t) ⋅ Pj j (Δt) + Pik (t) ⋅ Pk j (Δt) k≠ j
∑ = Pi j (t)[1 + q j j ⋅ Δt + o(Δt)] + Pik (t) ⋅[qk j ⋅ Δt + o(Δt)] k≠ j
∑ = Pi j (t) + Pik (t) ⋅[qk j ⋅ Δt + o(.1 福克-普朗克方程
设 t 时刻系统状态概率记为： w(t) ，初始概率为 w(0)
若已知初始概率和转移率矩阵 Q ：如何求 w(t) ？
根据全概率公式，有
∑ w j (t + Δt) = wk (t) ⋅ Pk j (Δt)
k
∑ = w j (t) ⋅ Pj j (Δt) + wk (t) ⋅ Pk j (Δt) k≠ j
马尔可夫过程
¾ 1 马尔可夫过程概论 6 1.1 马尔可夫过程处于某个状态的概率 6 1.2 马尔可夫过程的状态转移概率 6 1.3 参数连续状态离散马尔可夫过程的状态转移的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 齐次切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 转移概率分布函数、转移概率密度函数 6 1.4 马尔可夫过程状态瞬时转移的跳跃率函数和跳跃条件分布函数 瞬时转移概率分布函数 6 1.5 确定马尔可夫过程 Q 矩阵 跳跃强度、转移概率 Q 矩阵
渐进分析：确定当 t → ∞ 时，在各个状态上的概率分布；
典型问题：机器维修问题
设某机器的正常工作时间是一负指数分布的随机变量，平均正常工作时间为 1/λ，它损 坏后的修复时间也是一个负指数分布的随机变量，它的平均修复时间为 1/μ。 如机器在 t=0 时是正常工作的，问在 t=10 时机器正常工作的概率如何？
∑ = Pi j (t) ⋅ Pj j (Δt) + Pik (t) ⋅ Pk j (Δt) k≠ j
∑ = Pi j (t)[1 + q j j ⋅ Δt + o(Δt)] + Pik (t) ⋅[qk j ⋅ Δt + o(Δt)] k≠ j
∑ = Pi j (t) + Pik (t) ⋅[qk j ⋅ Δt + o(.1 福克-普朗克方程
设 t 时刻系统状态概率记为： w(t) ，初始概率为 w(0)
若已知初始概率和转移率矩阵 Q ：如何求 w(t) ？
根据全概率公式，有
∑ w j (t + Δt) = wk (t) ⋅ Pk j (Δt)
k
∑ = w j (t) ⋅ Pj j (Δt) + wk (t) ⋅ Pk j (Δt) k≠ j
马尔可夫过程
¾ 1 马尔可夫过程概论 6 1.1 马尔可夫过程处于某个状态的概率 6 1.2 马尔可夫过程的状态转移概率 6 1.3 参数连续状态离散马尔可夫过程的状态转移的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 齐次切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 转移概率分布函数、转移概率密度函数 6 1.4 马尔可夫过程状态瞬时转移的跳跃率函数和跳跃条件分布函数 瞬时转移概率分布函数 6 1.5 确定马尔可夫过程 Q 矩阵 跳跃强度、转移概率 Q 矩阵
渐进分析：确定当 t → ∞ 时，在各个状态上的概率分布；
典型问题：机器维修问题
设某机器的正常工作时间是一负指数分布的随机变量，平均正常工作时间为 1/λ，它损 坏后的修复时间也是一个负指数分布的随机变量，它的平均修复时间为 1/μ。 如机器在 t=0 时是正常工作的，问在 t=10 时机器正常工作的概率如何？
马尔可夫过程ppt课件
17
例1 以图1所示模型为例，求解稳态概率。
故障（p）
S（η1）
1-p
F（η2）
1-q
修复（q）
图1 马尔可夫过程的状态转移图 18
设系统处于正常状态的稳态概率为η1和处于故障状 态的稳态概率为η2，则有
12
(1 (1
p)1 q)2
q2 p1
1 2 1
显然，前两个方程是线性相关的，可以删掉一个。解 方程组得：
系统在各状态的稳定概率通常有以下两种解法： 已知瞬态概率，求极限
Ai
lim
t
P{Si (t)}
式中 Si（t）--系统i状态的瞬态概率； Ai--i状态的稳态概率。
16
通常，稳态概率空间的表达式不易求出，该解 法适合于解决一些比较简单系统的稳态状态概率问 题。 同构法
当系统达到稳定状态以后，各种状态将持续转 移，但是每种状态出现的概率基本不变，从而形成 一个稳定的状态空间。求解状态空间方程组，就可 得到系统在各种状态的稳态概率。
马尔可夫过程
神和尧
1
2
马尔可夫过程简介
一类随机过程（数学基础是随机过程理论）。 原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫 于1907年提出。 该过程具有如下特性：在已知目前状态 （现在） 的条件下，它未来的演变 （将来）不依赖于它以往 的演变 ( 过去 ) 。 ④例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过 程 。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程， 如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人 数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
参数集T=[0, ∞],状态空间E={整数}
（3）时间离散、状态连续的马尔可夫过程——马尔可夫序列。 参数集T= {0,1,2,…},状态空间E= (-∞, +∞)
例1 以图1所示模型为例，求解稳态概率。
故障（p）
S（η1）
1-p
F（η2）
1-q
修复（q）
图1 马尔可夫过程的状态转移图 18
设系统处于正常状态的稳态概率为η1和处于故障状 态的稳态概率为η2，则有
12
(1 (1
p)1 q)2
q2 p1
1 2 1
显然，前两个方程是线性相关的，可以删掉一个。解 方程组得：
系统在各状态的稳定概率通常有以下两种解法： 已知瞬态概率，求极限
Ai
lim
t
P{Si (t)}
式中 Si（t）--系统i状态的瞬态概率； Ai--i状态的稳态概率。
16
通常，稳态概率空间的表达式不易求出，该解 法适合于解决一些比较简单系统的稳态状态概率问 题。 同构法
当系统达到稳定状态以后，各种状态将持续转 移，但是每种状态出现的概率基本不变，从而形成 一个稳定的状态空间。求解状态空间方程组，就可 得到系统在各种状态的稳态概率。
马尔可夫过程
神和尧
1
2
马尔可夫过程简介
一类随机过程（数学基础是随机过程理论）。 原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫 于1907年提出。 该过程具有如下特性：在已知目前状态 （现在） 的条件下，它未来的演变 （将来）不依赖于它以往 的演变 ( 过去 ) 。 ④例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过 程 。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程， 如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人 数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
参数集T=[0, ∞],状态空间E={整数}
（3）时间离散、状态连续的马尔可夫过程——马尔可夫序列。 参数集T= {0,1,2,…},状态空间E= (-∞, +∞)
随机过程课件-马尔可夫链
定理二
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
随机过程马氏过程.ppt
知，对于任意的 n, t1, t2 ,, tn , t T,
及x1, x2,, xn , x E
X(t1), X(t2 ),, X(tn ), X(t)相互独立，
P{X(t) x | X(tn ) xn,, X(t1) x1} ) xn ,, X (t1) P{X (tn ) xn ,, X (t1 ) x1}
X(t1) X(0), X(t2) X(t1),, X(tn) X(tn1), X(t) X(tn)
不妨设X0=0, 则易见增量 X(t)-X(tn) 与X(t1),
13
X(t2)= [X(t2)-X(t1)]+X(t1) , …, X(tn-1)= [X(tn-1)-X(tn-2)]+…+[X(t2)-X(t1)] +X(t1) 均是独立的，故对任意的实数：
2
例如: 假设一部电梯是由进入电梯内的人自行 操纵的，那么电梯下一步会运行到何处，只依 赖于当前在电梯内的人的意图，而与过去电梯 从何而来是无关的；
又如: 某电话交换台在时段[0,tk)内收到xk 次呼唤，则在时段内[0,t)(t>tk)收到的呼唤 次数X(t)为在[0,tk)内收到的呼唤次数与 [tk,t)内收到的呼唤次数之和，其中xk为确定 已知时，这个数X(t)就与tk以前呼唤的历史情 况无关.
也可以说，过程X(t)的“将来”只通过“现 在”与“过去”发生联系，一旦“现在”已经 确定，则“将来”与过去无关。 所以有人形象地将马氏过程戏称为一个“健 忘”过程，即指它是一个只注重现在，而把 过去经历统统忘却的一类特殊的随机过程。
8
二、满足马氏性的随机过程
1 独立随机过程为马氏过程
证：设X(t)为一独立随机过程，则由定义可
及x1, x2,, xn , x E
X(t1), X(t2 ),, X(tn ), X(t)相互独立，
P{X(t) x | X(tn ) xn,, X(t1) x1} ) xn ,, X (t1) P{X (tn ) xn ,, X (t1 ) x1}
X(t1) X(0), X(t2) X(t1),, X(tn) X(tn1), X(t) X(tn)
不妨设X0=0, 则易见增量 X(t)-X(tn) 与X(t1),
13
X(t2)= [X(t2)-X(t1)]+X(t1) , …, X(tn-1)= [X(tn-1)-X(tn-2)]+…+[X(t2)-X(t1)] +X(t1) 均是独立的，故对任意的实数：
2
例如: 假设一部电梯是由进入电梯内的人自行 操纵的，那么电梯下一步会运行到何处，只依 赖于当前在电梯内的人的意图，而与过去电梯 从何而来是无关的；
又如: 某电话交换台在时段[0,tk)内收到xk 次呼唤，则在时段内[0,t)(t>tk)收到的呼唤 次数X(t)为在[0,tk)内收到的呼唤次数与 [tk,t)内收到的呼唤次数之和，其中xk为确定 已知时，这个数X(t)就与tk以前呼唤的历史情 况无关.
也可以说，过程X(t)的“将来”只通过“现 在”与“过去”发生联系，一旦“现在”已经 确定，则“将来”与过去无关。 所以有人形象地将马氏过程戏称为一个“健 忘”过程，即指它是一个只注重现在，而把 过去经历统统忘却的一类特殊的随机过程。
8
二、满足马氏性的随机过程
1 独立随机过程为马氏过程
证：设X(t)为一独立随机过程，则由定义可
随机过程-9马尔科夫链的状态分类
1
1 2
P
0 1
1 0
0 1
2 0
1
2 0
1 0 1
P2
2 0
1
2 0
1 2
1
1
1 2
2
3
1 2
1
由1出发，经过一步首次回到1：无
由1出发，经过两步首次回到1：1→2→1
由1出发，经过三步首次回到1：无
由1出发，经过四步首次回到1：1→2→3→2→1
f (1) 0 11
f (2) 1
11
2
f (3) 0 11
f (4) 1
11
4
f (5) 0 11
f (6) 1
马尔科夫链状态的分类
1、周期性
• 例：从状态1出发，再回到状态1，可能的步数为 3,6,9，...，例如：1→3→6→1，或 1→4→6→2→5→6→1，等等。
• 步数的最大公约数，称为周期。周期为3.
4.2 马尔可夫链的状态分类
例4.6 设马尔可夫链的状态空间 I={1,2,,9}，转移概率如下图
• 定义4.3 状态i的周期d： d=G.C.D{n: p(n) >0}
ii
(最大公约数greatest common divisor) • 如果d>1，就称i为周期的， • 如果d=1，就称i为非周期的
4.2 马尔可夫链的状态分类
注(1)如果i有周期d，则对一切非零的n,
n0 mod d，有 p(n) 0
同理可得
4.2 马尔可夫链的状态分类
f (n) 13
( (
p1q2 p1q2
1 2
P
0 1
1 0
0 1
2 0
1
2 0
1 0 1
P2
2 0
1
2 0
1 2
1
1
1 2
2
3
1 2
1
由1出发，经过一步首次回到1：无
由1出发，经过两步首次回到1：1→2→1
由1出发，经过三步首次回到1：无
由1出发，经过四步首次回到1：1→2→3→2→1
f (1) 0 11
f (2) 1
11
2
f (3) 0 11
f (4) 1
11
4
f (5) 0 11
f (6) 1
马尔科夫链状态的分类
1、周期性
• 例：从状态1出发，再回到状态1，可能的步数为 3,6,9，...，例如：1→3→6→1，或 1→4→6→2→5→6→1，等等。
• 步数的最大公约数，称为周期。周期为3.
4.2 马尔可夫链的状态分类
例4.6 设马尔可夫链的状态空间 I={1,2,,9}，转移概率如下图
• 定义4.3 状态i的周期d： d=G.C.D{n: p(n) >0}
ii
(最大公约数greatest common divisor) • 如果d>1，就称i为周期的， • 如果d=1，就称i为非周期的
4.2 马尔可夫链的状态分类
注(1)如果i有周期d，则对一切非零的n,
n0 mod d，有 p(n) 0
同理可得
4.2 马尔可夫链的状态分类
f (n) 13
( (
p1q2 p1q2
北大随机过程课件：第 2 章 第 3 讲 马尔可夫状态分析
nπ
(n) =∑ ∑ p00 n =1 n =1
∞
(4 p(1 − p) )n
nπ
考虑到 4 p (1 − p ) ≤ 1 ，等式成立的条件是 p=1/2。
当 p=1/2 时， 返的。 当 p≠1/2 时，
∑p
n =1
∞
(n) 00
=
⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎜ + + + L⎟ ⎟ = ∞ ，状态 0 和所有状态是常 ⎜ π⎝ 1 2 3 ⎠
2 马尔可夫链的状态空间举例
绘出各个状态之间的转移图。 研究状态的到达和相通，进行状态空间的分解。研究状态空间的周期性。
研究状态的常返性和非常返性。 例1 设有三个状态（0，1，2）的马尔可夫链，它的一步转移概率矩阵是，
⎛1 / 2 1 / 2 0 ⎞ ⎟ ⎜ P = ⎜1 / 2 1 / 4 1 / 4 ⎟ ，求各个状态之间的关系。 ⎜ 0 1/ 3 2 / 3 ⎟ ⎠ ⎝
马尔可夫链 状态分类
1 马尔可夫链中状态的分类：
1.1 到达和相通： 定义 1：状态 i 可到达状态 j， 如果对状态 i 和 j 存在某个 n(n ≥ 1) 使得 p i j > 0 ，即由状态 i 出发，经过 n 步状
n
态转移，以正的概率到达状态 j，则称自状态 i 可到达状态 j，并记为 i → j 。反之， 如状态 i 不能到达状态 j，记为 i + → j ，此时对于一切 n, p i j = 0 。
∞
∑p
n =1
∞
( n) ii
= ∞ ，如果状态 i 是非常返的，则
∑p
n =1
(n) ii
=
1 <∞ 1 − fii
随机过程马尔科夫过程 ppt课件
3442马尔可夫链的状态分类ijij3542马尔可夫链的状态分类ii1称状态i为非常返的ii不返回到i期望值表示由i出发再返回到i的平均返回时间iinfiiii定义3642马尔可夫链的状态分类首达概率与n步转移概率有如下关系式定理44对任意状态iijij定义3742马尔可夫链的状态分类ijij3842马尔可夫链的状态分类引理42周期的等价定义gcdgcd例例4848设马尔可夫链的状态空间i123转移概率矩阵为求从状态1出发经n步转移首次到达各状态的概率3942马尔可夫链的状态分类121212124042马尔可夫链的状态分类同理可得11134142马尔可夫链的状态分类以下讨论常返性的判别与性质数列的母函数与卷积的卷积的母函数4242马尔可夫链的状态分类定理45状态i常返的充要条件为规定则由定理44iiiiii4342马尔可夫链的状态分类iiiiii4442马尔可夫链的状态分类4542马尔可夫链的状态分类ii同理ii4642马尔可夫链的状态分类定理47设i常返且有周期为d则其中ndiindii4742马尔可夫链的状态分类由定理47知对d的非整数倍数的nndiindiindii4842马尔可夫链的状态分类子序列所以d1从而i为非周期的i是遍历的ndiindiilim而由定理limlimndii4942马尔可夫链的状态分类状态的可达与互通状态i与状态j互通ij
输一局后输光）
2020/11/13
23
4.1 马尔可夫链与转移概率
( p q )u i pu i 1 qu i 1
p(ui1 ui ) q (ui ui1 )
ui1 ui
q p
(ui
ui1 )
i 1,2, , c 1
(1q)1,即 pq1
p
2
ui1ui uiui1ui1ui2 u1u0 ˆ
输一局后输光）
2020/11/13
23
4.1 马尔可夫链与转移概率
( p q )u i pu i 1 qu i 1
p(ui1 ui ) q (ui ui1 )
ui1 ui
q p
(ui
ui1 )
i 1,2, , c 1
(1q)1,即 pq1
p
2
ui1ui uiui1ui1ui2 u1u0 ˆ
随机过程课件-马尔可夫链
第n次抽取后甲袋的球数，n=1,2,….{Xn,n=1,2,…}
甲
是一随机过程，状态空间I={0,1,2,3,4,5},当Xn=i
时，Xn+1=j的概率只与i有关，与n时刻之前如何取到
i值是无关的，这是时齐马氏链，一步转移矩阵为：
0 1 2 34 5
乙
0
1 2
1 2
0 0 0 0
1
1 2
0
1 2
0
1
2
3 奶酪
456
7猫 8 9
浙江大学随机过程
21
解：一旦老鼠跑到3号或7号房间，我们就认为老鼠将永
远呆在那个房间。用X n表示n时老鼠所在的位置。则 {X n}是一时齐Markov链，状态空间是{1, 2,...,9},3和7是两 个吸收态。所求的就是从2出发最终被7吸收的概率。
令hi P(最终被7吸收 | X 0 i),则h7 1, h3 0.
性质 : pij (m, m n) 0, pij (m, m n) 1 jI
记P(m, m n) ( pij (m, m n))II 为对应的n步转移矩阵
性质: 各元素非负，每行之和为1
浙江大学随机过程
7
定义： 如果对任何状态i, j, P( X n1 j | X n i）不依赖于n, 则称{X n}是时齐的Markov链
pij： P( X n1 j | X n i）称为从i到j的一步转移概率
P （pij）II 称为一步转移概率
浙江大学随机过程
8
例2（. 0 1传输系统）
X0
1
X1
2
… X2
Xn-1
n
Xn …
只传输0和1的串联系统中，设每一级的传真率为p,误码率
随机过程马尔科夫过程PPT课件
Xn i
P(Xn1 j Xn i)
记i个个体各自产生的后代数分别记为随机变量
，且
有概率分布
1,2, ,i
l (l 0,1, ,i)
P(l k) pk , k 0,1, 2
故一步转移概率为
P(Xn1 j Xn i) P(1 2 i j)
第21页/共44页
例4（卜里耶模型）设一个坛子里有b个黑球和r个红球，每次随机地从坛子中摸出
当时中国近代数学才刚刚起步，大学也没有概率课程。此时 苏联的概率论水平已届于世界最前列。王梓坤也根本不知道什么 是概率，可他的研究方向又恰恰被定为概率论， 著有《概率论基础及其应用》、《随机过程论》、 《生灭过程与马尔科夫链》等9部数学著作．
第2页/共44页
本章主要内容 马尔可夫过程的定义 马尔可夫链的转移概率与概率分布 齐次马尔可夫链状态的分类 转移概率的稳定性能
m)
(n)
P{X
nk
m
j
Xn
i)
P{( Xnk l), Xnkm j Xn i)
l
P{ ( Xnk l, Xnkm j) Xn i)
l
P( Xnk l, Xnkm j) Xn i)
l
第25页/共44页
P( Xnk l Xn i) P(Xnkm j Xn i, Xnk l)
P(k
)
(n)
(
p(k ij
)
(n))
为系统{Xn , n 0}在 n时的k步转移概率矩阵.
第9页/共44页
特别 当k=1时，
p(1) ij
(n)为系统在n时的一步转移概率,
记为 pij (n)
P(1)
(n)
(
p(1) ij
5随机过程第五章马尔可夫过程
iS
n 0 P n
n 1 n P
j n 1 i n . pij
iS
5．举例
例1：天气预报问题 假如明天是否有雨仅与今日是否有雨有关，与过去的天气无 关。设今日下雨明日下雨的概率为0.7，今日无雨明日有雨的 概率为0.4。又假设有雨定义为0状态、无雨定义为1状态， 则可以表示为两个状态的马尔可夫链， S {0,1}，一步状态转 移概率矩阵为
n+k时刻 X n k j
pij
k
n P X nk j | X n i , i, j S , n 0, k 0
称为n时刻的k步转移概率， 描述Markov链特性的重要概念 ，为条件概率。
(2) 性质
k k n 0, pij n 1, i S pij
绝对分布由初始分布和转移概率决定
由全概率公式和马尔可夫性
j n P X n j P X 0 i, X n j
iS
P X 0 i P X n j | X 0 i i 0 . pij 0,
例2： 多级数字信号传输（级联） 传送两种信号0，1 每级正确传送概率为p，错误为1-p 单位时间传送一级， X 0 是第一级的输入，X n 是第n级的输入 1 为状态空间的齐次马氏链， ，则 { X n , n 0} 是以 S 0， 一步转移概率矩阵为
p q P q p
iS iS
n 0, i, j S
或
n 1 n P n
4、齐次马尔可夫链
转移概率描述Markov链 pij n PX nk j | X n i k 如果 pij n 与起始时刻无关，则称为齐次马氏链。
n 0 P n
n 1 n P
j n 1 i n . pij
iS
5．举例
例1：天气预报问题 假如明天是否有雨仅与今日是否有雨有关，与过去的天气无 关。设今日下雨明日下雨的概率为0.7，今日无雨明日有雨的 概率为0.4。又假设有雨定义为0状态、无雨定义为1状态， 则可以表示为两个状态的马尔可夫链， S {0,1}，一步状态转 移概率矩阵为
n+k时刻 X n k j
pij
k
n P X nk j | X n i , i, j S , n 0, k 0
称为n时刻的k步转移概率， 描述Markov链特性的重要概念 ，为条件概率。
(2) 性质
k k n 0, pij n 1, i S pij
绝对分布由初始分布和转移概率决定
由全概率公式和马尔可夫性
j n P X n j P X 0 i, X n j
iS
P X 0 i P X n j | X 0 i i 0 . pij 0,
例2： 多级数字信号传输（级联） 传送两种信号0，1 每级正确传送概率为p，错误为1-p 单位时间传送一级， X 0 是第一级的输入，X n 是第n级的输入 1 为状态空间的齐次马氏链， ，则 { X n , n 0} 是以 S 0， 一步转移概率矩阵为
p q P q p
iS iS
n 0, i, j S
或
n 1 n P n
4、齐次马尔可夫链
转移概率描述Markov链 pij n PX nk j | X n i k 如果 pij n 与起始时刻无关，则称为齐次马氏链。
随机过程Ch5连续时间的马尔可夫链ppt课件
注：虽然前进方程和后退方程在形式上有所不同， 但两者的解都是同一的，费勒在1940年已证明。
由柯尔莫哥洛夫向前方程旳矩阵形式可得
例：设有一参数连续，状态离散的马尔可夫
过程X t,t 0，状态空间为I 1,2,, N，
当i j，时qij 1，i, j 1,2,, N，
当i 1,2,, N时，qii (N 1)，求pij t 。
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX t h PX t
e t h et
eh
1 h
5.2柯尔莫哥洛夫微分方程
一.连续性条件(正则性条件)
规定lim t 0
pij t ij
1 0
i j i j
或lim Pt I t 0
称此为连续性条件(正则性条件)
阐明：过程刚进入某状态不可能立即又 跳跃到另一状态，这恰好阐明一种物理系统要 在有限时间内发生无限屡次跳跃，从而消耗无 穷多旳能量这是不可能旳，亦即经过很短时间 系统旳状态几乎是不变旳。
定理：设pij (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率， 则下列极限存在：
dpij t
dt
t 0
lim
h0
pij h
h
pij 0
lim
h0
pij h ij
h
Hale Waihona Puke qij即: 1dpii t
dt
t 0
lim
h0
pii h 1
h
由柯尔莫哥洛夫向前方程旳矩阵形式可得
例：设有一参数连续，状态离散的马尔可夫
过程X t,t 0，状态空间为I 1,2,, N，
当i j，时qij 1，i, j 1,2,, N，
当i 1,2,, N时，qii (N 1)，求pij t 。
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX t h PX t
e t h et
eh
1 h
5.2柯尔莫哥洛夫微分方程
一.连续性条件(正则性条件)
规定lim t 0
pij t ij
1 0
i j i j
或lim Pt I t 0
称此为连续性条件(正则性条件)
阐明：过程刚进入某状态不可能立即又 跳跃到另一状态，这恰好阐明一种物理系统要 在有限时间内发生无限屡次跳跃，从而消耗无 穷多旳能量这是不可能旳，亦即经过很短时间 系统旳状态几乎是不变旳。
定理：设pij (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率， 则下列极限存在：
dpij t
dt
t 0
lim
h0
pij h
h
pij 0
lim
h0
pij h ij
h
Hale Waihona Puke qij即: 1dpii t
dt
t 0
lim
h0
pii h 1
h
北大随机过程课件：第 3 章 第 2 讲 马尔可夫过程
Pi j (τ )
满足：
∑ Pi j (τ ) ≥ 0 ， Pi j (τ ) = 1 j∈I
跳跃强度
Pij (Δt) = Pij (0) + qij ⋅ Δt + 0(Δt) = δ ij+ qij ⋅ Δt + 0(Δt)
qij
=
lim
Δt→o
Pij (Δt) − Δt
Pij (0)
其中 Pij (0) = δ
2 前进方程和后退方程
2.1 福克-普朗克方程
设 t 时刻系统状态概率记为： w(t) ，初始概率为 w(0)
若已知初始概率和转移率矩阵 Q ：如何求 w(t) ？
根据全概率公式，有
∑ w j (t + Δt) = wk (t) ⋅ Pk j (Δt)
k
∑ = w j (t) ⋅ Pj j (Δt) + wk (t) ⋅ Pk j (Δt) k≠ j
k
由此得到关于状态转移概率的一个方程：
柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程：
∑ j
初始条件：
Pi
j
(0)
=
⎧1 ⎨⎩ 0
(i = j) (i ≠ j)
考虑矩阵柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程中的第 i 行，将矩阵 P(t) 的第 i 行记作 pi (t)
d dt
pi
从任意状态转移到特定状态的转移概率矩阵：
记作 s j (τ ) ，为 P(τ ) = ⎡⎣Pi j (τ )⎤⎦ 的第 j 行的列矢量
t 时刻系统状态的概率分布律矩阵：
w(t) = [wi (t)] = [w0(t), w1(t),"wk (t),"]
从实际物理问题，确定马尔可夫过程描述，相应的 Q 矩阵 根据 Q 矩阵，确定某一时刻在各个状态上的概率分布； 根据 Q 矩阵，确定经过一段时间的状态转移概率；
满足：
∑ Pi j (τ ) ≥ 0 ， Pi j (τ ) = 1 j∈I
跳跃强度
Pij (Δt) = Pij (0) + qij ⋅ Δt + 0(Δt) = δ ij+ qij ⋅ Δt + 0(Δt)
qij
=
lim
Δt→o
Pij (Δt) − Δt
Pij (0)
其中 Pij (0) = δ
2 前进方程和后退方程
2.1 福克-普朗克方程
设 t 时刻系统状态概率记为： w(t) ，初始概率为 w(0)
若已知初始概率和转移率矩阵 Q ：如何求 w(t) ？
根据全概率公式，有
∑ w j (t + Δt) = wk (t) ⋅ Pk j (Δt)
k
∑ = w j (t) ⋅ Pj j (Δt) + wk (t) ⋅ Pk j (Δt) k≠ j
k
由此得到关于状态转移概率的一个方程：
柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程：
∑ j
初始条件：
Pi
j
(0)
=
⎧1 ⎨⎩ 0
(i = j) (i ≠ j)
考虑矩阵柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程中的第 i 行，将矩阵 P(t) 的第 i 行记作 pi (t)
d dt
pi
从任意状态转移到特定状态的转移概率矩阵：
记作 s j (τ ) ，为 P(τ ) = ⎡⎣Pi j (τ )⎤⎦ 的第 j 行的列矢量
t 时刻系统状态的概率分布律矩阵：
w(t) = [wi (t)] = [w0(t), w1(t),"wk (t),"]
从实际物理问题，确定马尔可夫过程描述，相应的 Q 矩阵 根据 Q 矩阵，确定某一时刻在各个状态上的概率分布； 根据 Q 矩阵，确定经过一段时间的状态转移概率；
第1章随机过程与马尔可夫链优秀PPT
X(e，t)， e S， t T， 简写为： { X(t)， t T} 通常情况下，t表示时间。
第2节 一维随机过程的定义及物理意义
4、随机过程的物理意义：
1）、对于一个特定的试验结果（样本）eiS， X(ei，t)表示对应于ei的样本函数，也是随机过程的 一次实现。（样本函数族） 2）、对于每一个固定的参数 tjT， X(e，tj)是一 个定义在S上的随机变量。（随机变量族） 随机过程是依赖于参量 tT的一族随机变量。
例4：连续抛掷一枚骰子的实验，第n次实验的结果 记为X(n) (n=1,2, … )
参量(次数)离散，状态（点数）离散
第2节 一维随机过程的定义及物理意义
3、随机过程的定义
设E是随机试验，S＝{e}是其样本空间。如果对于每一个 样本e S ，总可以有一个确定的参数为t的实值函数X(e， t)，t T与之对应，我们称之为随机过程，记作：
出H 现 出T 现
P (H )P ( 1 )P (T)P (2)1 2
X (1)
2
1
P
1
1
2
2
1 F(x;1)P[X(1)x] 1 20
x2 2x－ 1
－ 1x
第3节 一维随机过程的统计特性
3）、
X ( 1 ) X (1)
0
2
1
1
1 2
0
2
0
1 2
1 F ( x1, x2 ; 2
,1)
P[ X
7、随机过程的分类
1）、按随机过程任一时刻的状态，可分为连续型 随机过程和离散型随机过程。 2）、按参量t（通常表示时间）时离散还是连续可 分为连续参量随机过程和离散参量随机过程 3)、说明：可列(离散)与非可列(连续)
第2节 一维随机过程的定义及物理意义
4、随机过程的物理意义：
1）、对于一个特定的试验结果（样本）eiS， X(ei，t)表示对应于ei的样本函数，也是随机过程的 一次实现。（样本函数族） 2）、对于每一个固定的参数 tjT， X(e，tj)是一 个定义在S上的随机变量。（随机变量族） 随机过程是依赖于参量 tT的一族随机变量。
例4：连续抛掷一枚骰子的实验，第n次实验的结果 记为X(n) (n=1,2, … )
参量(次数)离散，状态（点数）离散
第2节 一维随机过程的定义及物理意义
3、随机过程的定义
设E是随机试验，S＝{e}是其样本空间。如果对于每一个 样本e S ，总可以有一个确定的参数为t的实值函数X(e， t)，t T与之对应，我们称之为随机过程，记作：
出H 现 出T 现
P (H )P ( 1 )P (T)P (2)1 2
X (1)
2
1
P
1
1
2
2
1 F(x;1)P[X(1)x] 1 20
x2 2x－ 1
－ 1x
第3节 一维随机过程的统计特性
3）、
X ( 1 ) X (1)
0
2
1
1
1 2
0
2
0
1 2
1 F ( x1, x2 ; 2
,1)
P[ X
7、随机过程的分类
1）、按随机过程任一时刻的状态，可分为连续型 随机过程和离散型随机过程。 2）、按参量t（通常表示时间）时离散还是连续可 分为连续参量随机过程和离散参量随机过程 3)、说明：可列(离散)与非可列(连续)
随机过程_马尔可夫过程-2分析
那么，N Y (n) 就表示返回j的次数。平均返回次数为
n1
E[N | X (0) j] E[Y (n) | X (0) j] E[Y (n) |X (0) j]
n1
n1
Y (n)P[Y (n) |X (0) j] P[ X (n) j |X (0) j] p jj (n)
(1) fii<1 (2) P{Tii } 1
(3) pii (n) n1
5.2.4 马尔可夫链的状态分类_状态属性的判定 五、状态判别准则
定理: 若状态i是常返态,则:
(1)
i是正常返态的充要条件是
lim
n
pii
(n)
0
(2)
i是零常返态的充要条件是
lim
n
pii
(n)
0
(3)
i是遍历的充要条件是
可约马氏链，否则称为可约马氏链。
5.2.4 马尔可夫链的状态分类 七、状态空间的分解
性质
（1）C是闭集 对于i∈C, j∈C, pij(n)=0, n≥1,
pij (n) 1
jC
（2）所有常返态构成一个闭集 。
（3）齐次马氏链不可约任何两个状态均相通。
（4）在不可约马氏链中，所有状态具有相同的状态类型。 （5）不可约马氏链或没有非常返态或没有常返态。
5.2.4 马尔可夫链的状态分类
七、状态空间的分解
闭集定义
设C是状态空间E的一个子集，如果从C内任何一个状态i 不能到达C外的任何状态，则称C是一个闭集。即，对任意 的i∈C，j∈C，n≥1, 都有pij(n)=0.
显然，如果C是闭集，对于任意 i∈C，恒有 pij (n) 1 。 jC 整个状态空间E是最大的闭集。
随机过程-2马尔可夫过程
1110010011111110011110111111001111111110001101101 111011011010111101110111101111110011011111100111.
马尔可夫链的概念及转移概率
定理4.1 设{Xn,n∈T}是马尔可夫链,则对任意整数n≥0, 0≤l＜n和i,j∈I,n步转移概率pij(n)具有下列性质: (1) pij(n)= pik(l )pkj(n-l ); (2) pij(n)= pik pk k pk (3) P(n)=PP(n-1);
马尔可夫链的概念及转移概率
内有两个顾客进入系统的概率.由假设这种情况是不可能 发生的, p13=0. 考虑到系统内有一顾客正在接受服务,有一顾客正在排 队,在Δt间隔内顾客因服务完毕离去,但再无顾客进入;以 及系统内有一顾客正在接受服务,有两顾客正在排队, 在 Δt间隔内顾客因服务完毕离去, 但再无顾客进入的概率 相等,故有p21=p32=p(1-q). 又系统内有两顾客,其中一人正在接受服务,在Δt间隔 内,他因服务完毕而离去,而另一顾客进入系统,或者正在 接受服务的顾客将继续要求服务,且再无人进入系统的概 率为:p22=pq+(1-p)(1-q). 类似地,系统内有两顾客, 正在接受服务的顾客将继续
马尔可夫链的概念及转移概率
转移概率. 定义4.3 若对任意的i,j∈I, 马尔可夫链{Xn,n∈T}的转 移概率pij(n)与时间n无关,则称马尔可夫链是齐次的, (亦称是时齐的,即具有平稳转移概率)并记pij(n)为pij. • 下面只讨论齐次马尔可夫链,并将齐次两字省略. 设P为一步转移概率pij所组成的矩阵,状态空间I={1,2, …},则 P=
马尔可夫链的概念及转移概率
多于一个顾客进入或离开系统实际上是不可能的.再设有 无顾客来到与服务是否完毕是相互独立的. • 如何用马氏链描述这一服务系统? 设定Xn≡X(nΔt),表示时间nΔt时系统内的顾客数,即 系统的状态.则{Xn,n=0,1,2,…}是一随机过程,状态空间 I={0,1,2,3}.由于当Xn=i,i∈I为已知时,Xn+1所处的状态 的概率分布只与Xn=i有关,而与时间nΔt以前所处的状态 无关,所以该随机过程是一个齐次马氏链. • 怎样计算此马氏链的一步转移概率? 记 p00为:在系统内没有顾客的条件下,经Δt后仍无顾客的 概率(显然p00是条件概率,以下与此同), p00=1-q.
马尔可夫链的概念及转移概率
定理4.1 设{Xn,n∈T}是马尔可夫链,则对任意整数n≥0, 0≤l＜n和i,j∈I,n步转移概率pij(n)具有下列性质: (1) pij(n)= pik(l )pkj(n-l ); (2) pij(n)= pik pk k pk (3) P(n)=PP(n-1);
马尔可夫链的概念及转移概率
内有两个顾客进入系统的概率.由假设这种情况是不可能 发生的, p13=0. 考虑到系统内有一顾客正在接受服务,有一顾客正在排 队,在Δt间隔内顾客因服务完毕离去,但再无顾客进入;以 及系统内有一顾客正在接受服务,有两顾客正在排队, 在 Δt间隔内顾客因服务完毕离去, 但再无顾客进入的概率 相等,故有p21=p32=p(1-q). 又系统内有两顾客,其中一人正在接受服务,在Δt间隔 内,他因服务完毕而离去,而另一顾客进入系统,或者正在 接受服务的顾客将继续要求服务,且再无人进入系统的概 率为:p22=pq+(1-p)(1-q). 类似地,系统内有两顾客, 正在接受服务的顾客将继续
马尔可夫链的概念及转移概率
转移概率. 定义4.3 若对任意的i,j∈I, 马尔可夫链{Xn,n∈T}的转 移概率pij(n)与时间n无关,则称马尔可夫链是齐次的, (亦称是时齐的,即具有平稳转移概率)并记pij(n)为pij. • 下面只讨论齐次马尔可夫链,并将齐次两字省略. 设P为一步转移概率pij所组成的矩阵,状态空间I={1,2, …},则 P=
马尔可夫链的概念及转移概率
多于一个顾客进入或离开系统实际上是不可能的.再设有 无顾客来到与服务是否完毕是相互独立的. • 如何用马氏链描述这一服务系统? 设定Xn≡X(nΔt),表示时间nΔt时系统内的顾客数,即 系统的状态.则{Xn,n=0,1,2,…}是一随机过程,状态空间 I={0,1,2,3}.由于当Xn=i,i∈I为已知时,Xn+1所处的状态 的概率分布只与Xn=i有关,而与时间nΔt以前所处的状态 无关,所以该随机过程是一个齐次马氏链. • 怎样计算此马氏链的一步转移概率? 记 p00为:在系统内没有顾客的条件下,经Δt后仍无顾客的 概率(显然p00是条件概率,以下与此同), p00=1-q.
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移概率 pi(具jn) 有性质
(1)
p(n) ij
p p (l ) (nl ) ik kj
kI
(2)
p(n) ij
p p p ik1 k1k2
kn1 j
(3) P(n)=PPk1(nI-1) kn1I
(4) P(n)=Pn
......
10
4.1 马尔可夫链与转移概率
证(1)
p(n) ij
P X mn
j|Leabharlann XmiP X m i, X mn PX m i
j
kI
P X m i, X ml k, X mn PX m i, X ml k
j PX m i, X ml PX m i
k
P X mn j | X ml kPX ml k | X m i kI
pk(nj l ) (m l ) pi(kl ) (m)
第四章 马尔可夫链
......
1
4.1 马尔可夫链与转移概率
定义 设 {X(t)，t T }为随机过程，若对 任意正整数n及t1< t2<< tn， P{X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1}>0，且条件分 布P{X(tn)xn|X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1}= P{TX}(为tn)马 尔xn|可X(夫tn-过1)=程xn。-1}，则称{X(t)，t
P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
=P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2}
P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
......
5
4.1 马尔可夫链与转移概率
= =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2}
p1n p2n
P
pm1 pm2 pmn
• 转移概率性质
(1) pij 0, i, j I (2) pij 1, i I
P称为随机矩阵
jI
......
8
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定义 称条件概率 pi(jn=) P{Xm+n=j|Xm=i}
为马尔可夫链{Xn，nT }的n步转移概 率(i,jI, m0, n1)。
☆若t1,t2,,tn-2表示过去，tn-1表示现在，tn 表示将来，马尔可夫过程表明：在已知
现在状态的条件下，将来所处的状态与
过去状态无关。
......
2
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 马尔可夫过程通常分为三类：
(1)时间、状态都是离散的，称为马尔可 夫链
(2)时间连续、状态离散的，称为连续时间 马尔可夫链
......
13
4.1 马尔可夫链与转移概率
定理4.2
•设{Xn，nT }为马尔可夫链，则对任意 整数jI和n1 ，绝对概率pj(n)具有性质
(1) p j (n)
pi
p(n) ij
iI
(2) p j (n) pi (n 1) pij iI
(3) PT(n)=PT(0)P(n)
(4) PT(n)= PT(n-1)P
n步转移概率矩阵由一步转移概率矩阵确
定(n次幂)
......
12
4.1 马尔可夫链与转移概率
定义
• 初始概率 p j P{X 0 j}
• 绝对概率 p j (n) P{X n j}
• 初始分布 p j , j I • 绝对分布 p j (n) , j I
• 初始概率向量 pT (0) ( p1, p2 ,) • 绝对概率向量 pT (n) ( p1(n), p2 (n),)
•
n步转移矩阵 Pn
p(n) ij
其中
p(n) ij
0
,
p(n) ij
1, i,
jI
jI
P(n)也为随机矩阵
当n
1时,
p(1) ij
pij
,
P (1)
P
当n
0时
，
规
定p(0) i.j.....
0 , i 1 , i
j j
9
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定理4.1 设{Xn，nT }为马尔可夫链， 则对任意整数n0,0l<n和i,jI，n步转
P{X1=i1|X0=i0}P{X0=i0} 马尔可夫链的统计特性完全由条件概率 P{Xn+1=in+1|Xn=in}确定。
......
6
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定义 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为 马尔可夫链{Xn，nT }在时刻n的一步转移 概率，简称转移概率，其中i,jI。
• 定义 若对任意的i,jI，马尔可夫链 {Xn,nT }的转移概率pij(n)与n无关，则称马 尔可夫链是齐次的，并记pij(n)为pij。
• 齐次马尔可夫链具有平稳转移概率， 状态空间I={1, 2, 3, }，一步转移概率为
......
7
4.1 马尔可夫链与转移概率
p11 p21
p12 p22
......
4
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 马尔可夫链的性质
P{X0=i0, X1=i1, , Xn=in}
=P{Xn=in|X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1}
P{X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1}
= P{Xn=in|Xn-1=in-1}
P{Xn-1=in-1 |X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
(3)时间、状态都是连续的，称为马尔可夫 过程
......
3
4.1 马尔可夫链与转移概率
随机过程{Xn，nT }， 参数T={0, 1, 2, },状态空间I={i0, i1, i2, }
定义 若随机过程{Xn，nT }，对任意nT和 i0,i1,,in+1 I，条件概率 P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,,Xn=in} = P{Xn+1=in+1|Xn=in}， 则称{Xn，nT }为马尔可夫链，简称马氏链。
p p (l ) (nl ) ik kj
kI
kI
......
11
4.1 马尔可夫链与转移概率
(2)在(1)中令l=1,k=k1,得
p(n) ij
p p (1) (n1) ik1 k1 j
由此可递推出公式
k 1I
(3)矩阵乘法
(4)由(3)推出
说明：
(1)此为C-K方程(切普曼-柯尔莫哥洛夫)
(2) n步转移概率由一步转移概率确定，
......
14
4.1 马尔可夫链与转移概率
证(1)
pj (n) P{X n j} P{X0 i, X n j} iI
P{X n j | X0 i}P{X0 i} iI
(1)
p(n) ij
p p (l ) (nl ) ik kj
kI
(2)
p(n) ij
p p p ik1 k1k2
kn1 j
(3) P(n)=PPk1(nI-1) kn1I
(4) P(n)=Pn
......
10
4.1 马尔可夫链与转移概率
证(1)
p(n) ij
P X mn
j|Leabharlann XmiP X m i, X mn PX m i
j
kI
P X m i, X ml k, X mn PX m i, X ml k
j PX m i, X ml PX m i
k
P X mn j | X ml kPX ml k | X m i kI
pk(nj l ) (m l ) pi(kl ) (m)
第四章 马尔可夫链
......
1
4.1 马尔可夫链与转移概率
定义 设 {X(t)，t T }为随机过程，若对 任意正整数n及t1< t2<< tn， P{X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1}>0，且条件分 布P{X(tn)xn|X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1}= P{TX}(为tn)马 尔xn|可X(夫tn-过1)=程xn。-1}，则称{X(t)，t
P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
=P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2}
P{X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
......
5
4.1 马尔可夫链与转移概率
= =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1 |Xn-2=in-2}
p1n p2n
P
pm1 pm2 pmn
• 转移概率性质
(1) pij 0, i, j I (2) pij 1, i I
P称为随机矩阵
jI
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8
4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定义 称条件概率 pi(jn=) P{Xm+n=j|Xm=i}
为马尔可夫链{Xn，nT }的n步转移概 率(i,jI, m0, n1)。
☆若t1,t2,,tn-2表示过去，tn-1表示现在，tn 表示将来，马尔可夫过程表明：在已知
现在状态的条件下，将来所处的状态与
过去状态无关。
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4.1 马尔可夫链与转移概率
• 马尔可夫过程通常分为三类：
(1)时间、状态都是离散的，称为马尔可 夫链
(2)时间连续、状态离散的，称为连续时间 马尔可夫链
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4.1 马尔可夫链与转移概率
定理4.2
•设{Xn，nT }为马尔可夫链，则对任意 整数jI和n1 ，绝对概率pj(n)具有性质
(1) p j (n)
pi
p(n) ij
iI
(2) p j (n) pi (n 1) pij iI
(3) PT(n)=PT(0)P(n)
(4) PT(n)= PT(n-1)P
n步转移概率矩阵由一步转移概率矩阵确
定(n次幂)
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4.1 马尔可夫链与转移概率
定义
• 初始概率 p j P{X 0 j}
• 绝对概率 p j (n) P{X n j}
• 初始分布 p j , j I • 绝对分布 p j (n) , j I
• 初始概率向量 pT (0) ( p1, p2 ,) • 绝对概率向量 pT (n) ( p1(n), p2 (n),)
•
n步转移矩阵 Pn
p(n) ij
其中
p(n) ij
0
,
p(n) ij
1, i,
jI
jI
P(n)也为随机矩阵
当n
1时,
p(1) ij
pij
,
P (1)
P
当n
0时
，
规
定p(0) i.j.....
0 , i 1 , i
j j
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4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定理4.1 设{Xn，nT }为马尔可夫链， 则对任意整数n0,0l<n和i,jI，n步转
P{X1=i1|X0=i0}P{X0=i0} 马尔可夫链的统计特性完全由条件概率 P{Xn+1=in+1|Xn=in}确定。
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4.1 马尔可夫链与转移概率
• 定义 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为 马尔可夫链{Xn，nT }在时刻n的一步转移 概率，简称转移概率，其中i,jI。
• 定义 若对任意的i,jI，马尔可夫链 {Xn,nT }的转移概率pij(n)与n无关，则称马 尔可夫链是齐次的，并记pij(n)为pij。
• 齐次马尔可夫链具有平稳转移概率， 状态空间I={1, 2, 3, }，一步转移概率为
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4.1 马尔可夫链与转移概率
p11 p21
p12 p22
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4.1 马尔可夫链与转移概率
• 马尔可夫链的性质
P{X0=i0, X1=i1, , Xn=in}
=P{Xn=in|X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1}
P{X0=i0, X1=i1, , Xn-1=in-1}
= P{Xn=in|Xn-1=in-1}
P{Xn-1=in-1 |X0=i0,X1=i1,,Xn-2=in-2}
(3)时间、状态都是连续的，称为马尔可夫 过程
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4.1 马尔可夫链与转移概率
随机过程{Xn，nT }， 参数T={0, 1, 2, },状态空间I={i0, i1, i2, }
定义 若随机过程{Xn，nT }，对任意nT和 i0,i1,,in+1 I，条件概率 P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,,Xn=in} = P{Xn+1=in+1|Xn=in}， 则称{Xn，nT }为马尔可夫链，简称马氏链。
p p (l ) (nl ) ik kj
kI
kI
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4.1 马尔可夫链与转移概率
(2)在(1)中令l=1,k=k1,得
p(n) ij
p p (1) (n1) ik1 k1 j
由此可递推出公式
k 1I
(3)矩阵乘法
(4)由(3)推出
说明：
(1)此为C-K方程(切普曼-柯尔莫哥洛夫)
(2) n步转移概率由一步转移概率确定，
......
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4.1 马尔可夫链与转移概率
证(1)
pj (n) P{X n j} P{X0 i, X n j} iI
P{X n j | X0 i}P{X0 i} iI