动量矩定理和动能定理
动能定理和动量定理专题讲解
动量定理和动能定理重点难点1．动量定理：是一个矢量关系式．先选定一个正方向，一般选初速度方向为正方向．在曲线运动中，动量的变化△P 也是一个矢量，在匀变速曲线运动中（如平抛运动），动量变化的方向即合外力的方向．2．动能定理：是计算力对物体做的总功，可以先分别计算各个力对物体所做的功，再求这些功的代数和，即W 总 = W 1+W 2+…+W n ；也可以将物体所受的各力合成求合力，再求合力所做的功．但第二种方法只适合于各力为恒力的情形．3．说明：应用这两个定理时，都涉及到初、末状状态的选定，一般应通过运动过程的分析来定初、末状态．初、末状态的动量和动能都涉及到速度，一定要注意我们现阶段是在地面参考系中来应用这两个定理，所以速度都必须是对地面的速度．规律方法【例1】05如图所示，质量m A 为4.0kg 的木板A 放在水平面C 上，木板与水平面间的动摩擦因数μ为0.24，木板右端放着质量m B 为1.0kg 的小物块B （视为质点），它们均处于静止状态．木板突然受到水平向右的12N·s 的瞬时冲量作用开始运动，当小物块滑离木板时，木板的动能E KA 为8.0J ，小物块的动能E KB 为0.50J ，重力加速度取10m/s 2，求：（1）瞬时冲量作用结束时木板的速度υ0;（2）木板的长度L ．【解析】（1）在瞬时冲量的作用时，木板A 受水平面和小物块B 的摩擦力的冲量均可以忽略．取水平向右为正方向，对A 由动量定理，有：I = m A υ0 代入数据得：υ0 = 3.0m/s（2）设A 对B 、B 对A 、C 对A 的滑动摩擦力大小分别为F fAB 、F fBA 、F fCA ，B 在A 上滑行的时间为t ，B 离开A 时A 的速度为υA ，B 的速度为υB ．A 、B 对C 位移为s A 、s B ．对A 由动量定理有： —（F fBA +F fCA ）t = m A υA -m A υ0对B 由动理定理有： F fAB t = m B υB其中由牛顿第三定律可得F fBA = F fAB ，另F fCA = μ（m A +m B ）g对A 由动能定理有： —（F fBA +F fCA ）s A = 1/2m A υ-1/2m A υf (1)2A o (2)f (1)20o (2)o (2)对B 由动能定理有： F fA Bf s B = 1/2m B υf (1)2B o (2)根据动量与动能之间的关系有： m A υA = ，m B υB = KA A E m 2r (2mAEKA )KB B E m 2r (2mBEKB )木板A的长度即B 相对A 滑动距离的大小，故L = s A -s B ，代入放数据由以上各式可得L = 0.50m ．训练题 05质量为m = 1kg 的小木块（可看在质点），放在质量为M = 5kg 的长木板的左端，如图所示．长木板放在光滑水平桌面上．小木块与长木板间的动摩擦因数μ = 0.1，长木板的长度l = 2m ．系统处于静止状态．现使小木块从长木板右端脱离出来，可采用下列两种方法：（g 取10m/s 2）（1）给小木块施加水平向右的恒定外力F 作用时间t = 2s ，则F 至少多大？（2）给小木块一个水平向右的瞬时冲量I ，则冲量I 至少是多大？答案：（1）F=1．85N（2）I=6．94NS【例2】在一次抗洪抢险活动中，解放军某部队用直升飞机抢救一重要落水物体，静止在空中的直升飞机上的电动机通过悬绳将物体从离飞机90m 处的洪水中吊到机舱里．已知物体的质量为80kg ，吊绳的拉力不能超过1200N ，电动机的最大输出功率为12k W ，为尽快把物体安全救起，操作人员采取的办法是，先让吊绳以最大拉力工作一段时间，而后电动机又以最大功率工作，当物体到达机舱前已达到最大速度．（g 取10m/s 2）求：（1）落水物体运动的最大速度；（2）这一过程所用的时间．【解析】先让吊绳以最大拉力F Tm = 1200N 工作时，物体上升的加速度为a ， 由牛顿第二定律有：a =m T F mg m-，代入数据得a = 5m/s 2f (FT m -mg )当吊绳拉力功率达到电动机最大功率P m = 12kW 时，物体速度为υ，由P m = T m υ，得υ = 10m /s ．物体这段匀加速运动时间t 1 == 2s ，位移s 1 = 1/2at = 10m ．aυf (v )f (1)21o (2)此后功率不变，当吊绳拉力F T = mg 时，物体达最大速度υm = = 15m/s ．mgP m f (Pm )这段以恒定功率提升物体的时间设为t 2，由功能定理有：Pt 2-mg （h -s 1） =mυ-mυ221f (1)2m o (2)21f (1)代入数据得t 2 = 5．75s ，故物体上升的总时间为t = t 1+t 2 = 7.75s ．即落水物体运动的最大速度为15m/s ，整个运动过程历时7.75s ．训练题一辆汽车质量为m ，由静止开始运动，沿水平地面行驶s 后，达到最大速度υm ，设汽车的牵引力功率不变，阻力是车重的k 倍，求：（1）汽车牵引力的功率；（2）汽车从静止到匀速运动的时间． 答案：（1）P=kmgv m（2）t=（v m 2+2kgs ）/2kgv m【例3】05一个带电量为-q 的液滴，从O 点以速度υ射入匀强电场中，υ的方向与电场方向成θ角，已知油滴的质量为m ，测得油滴达到运动轨道的最高点时，速度的大小为υ，求：（1）最高点的位置可能在O 点上方的哪一侧？ （2）电场强度为多大？（3）最高点处（设为N ）与O 点电势差绝对值为多大？【解析】（1）带电液油受重力mg 和水平向左的电场力qE ，在水平方向做匀变速直线运动，在竖直方向也为匀变速直线运动，合运动为匀变速曲线运动．由动能定理有：W G +W 电 = △E K ，而△E K = 0重力做负功，W G ＜0，故必有W 电＞0，即电场力做正功，故最高点位置一定在O 点左侧．（2）从O 点到最高点运动过程中，运动过程历时为t ，由动量定理：在水平方向取向右为正方向，有：-qEt = m （-υ）-mυcos θ在竖直方向取向上为正方向，有：-mgt = 0-mυsin θ 上两式相比得，故电场强度为E = θθsin cos 1+=mg qE f (qE )f (1+cos θ)θθsin )cos 1(q mg +f (mg (1+cos θ))（3）竖直方向液滴初速度为υ1 = υsinθ，加速度为重力加速度g ，故到达最高点时上升的最大高度为h ，则h =2221sin 22ggυυθ=f (v \o (2,1))f (v 2sin 2θ)从进入点O 到最高点N 由动能定理有qU -mgh = △E K = 0，代入h 值得U =22sin 2m qυθf (mv 2sin 2θ)【例4】一封闭的弯曲的玻璃管处于竖直平面内，其中充满某种液体，内有一密度为液体密度一半的木块，从管的A 端由静止开始运动，木块和管壁间动摩擦因数μ = 0.5，管两臂长AB = BC = L = 2m ，顶端B 处为一小段光滑圆弧，两臂与水平面成α = 37°角，如图所示．求：（1）木块从A 到达B 时的速率；（2）木块从开始运动到最终静止经过的路程．【解析】木块受四个力作用，如图所示，其中重力和浮力的合力竖直向上，大小为F = F 浮-mg ，而F 浮 = ρ液Vg = 2ρ木Vg = 2mg ，故F = mg ．在垂直于管壁方向有：F N = F cosα = mg cosα，在平行管方向受滑动摩擦力F f = μN = μmg cos θ，比较可知，F sinα= mg sinα = 0.6mg ，F f = 0.4mg ，Fsin α＞F f ．故木块从A 到B 做匀加速运动，滑过B 后F 的分布和滑动摩擦力均为阻力，做匀减速运动，未到C 之前速度即已为零，以后将在B 两侧管间来回运动，但离B 点距离越来越近，最终只能静止在B 处．（1）木块从A 到B 过程中，由动能定理有： FL sin α-F f L = 1/2mυf (1)2B o (2)代入F 、F f 各量得υB = = 2 = 2.83m/s．)cos (sin 2αμα-gL r(2gL(sin α-μcos α))2r (2)（2）木块从开始运动到最终静止，运动的路程设为s ，由动能定理有： FL sin α-F f s = △E K = 0 代入各量得s == 3mααcos sin m L f (Lsin α)训练题质量为2kg 的小球以4m/s 的初速度由倾角为30°斜面底端沿斜面向上滑行，若上滑时的最大距离为1m ，则小球滑回到出发点时动能为多少？（取g = 10m/s 2） 答案：E K =4J能力训练1． 05在北戴河旅游景点之一的北戴河滑沙场有两个坡度不同的滑道AB 和AB ′（均可看作斜面）．甲、乙两名旅游者分别乘坐两个完全相同的滑沙撬从A 点由静止开始分别沿AB 和AB ′滑下，最后都停止在水平沙面BC 上，如图所示．设滑沙撬和沙面间的动摩擦因数处处相同，斜面与水平面连接处均可认为是圆滑时，滑沙者保持一定的姿势在滑沙撬上不动．则下列说法中正确的是（ABD）A ．甲在B 点速率一定大于乙在B ′点的速率 B ．甲滑行的总路程一定大于乙滑行的总路程C ．甲全部滑行的水平位移一定大于乙全部滑行的水平位移D ．甲在B 点的动能一定大于乙在B ′的动能 2．05下列说法正确的是（BCD）A ．一质点受两个力的作用而处于平衡状态（静止或匀速直线运动），则这两个力在同一作用时间内的冲量一定相同B ．一质点受两个力的作用而处于平衡状态，则这两个力在同一时间内做的功都为零，或者一个做正功，一个做负功，且功的绝对值相等C ．在同一时间内作用力和反作用力的冲量一定大小相等，方向相反D ．在同一时间内作用力和反作用力有可能都做正功3．05质量分别为m 1和m 2的两个物体（m 1＞m 2），在光滑的水平面上沿同方向运动，具有相同的初动能．与运动方向相同的水平力F 分别作用在这两个物体上，经过相同的时间后，两个物体的动量和动能的大小分别为P 1、P 2和E 1、E 2，则（B）A ．P 1＞P 2和E 1＞E 2 B ．P 1＞P 2和E 1＜E 2C ．P 1＜P 2和E 1＞E 2D ．P 1＜P 2和E 1＜E 24．05如图所示，A 、B 两物体质量分别为m A 、m B ，且m A ＞m B ，置于光滑水平面上，相距较远．将两个大小均为F 的力，同时分别作用在A 、B 上经相同距离后，撤去两个力，两物体发生碰撞并粘在一起后将（ C ）A ．停止运动B ．向左运动C ．向右运动D ．不能确定5．05在宇宙飞船的实验舱内充满CO 2气体，且一段时间内气体的压强不变，舱内有一块面积为S 的平板紧靠舱壁，如图3-10-8所示．如果CO 2气体对平板的压强是由于气体分子垂直撞击平板形成的，假设气体分子中分别由上、下、左、右、前、后六个方向运动的分子个数各有，且每个分子的速度均为υ，设气体分子与平板碰撞后仍以原速反弹．已知实验舱中单位体积内CO 2f (1)的摩尔数为n ，CO 2的摩尔质量为μ，阿伏加德罗常数为N A ，求：（1）单位时间内打在平板上的CO 2分子数；（2）CO 2气体对平板的压力．答案：(1)设在△t 时间内，CO 2分子运动的距离为L ，则 L =υ△t打在平板上的分子数△N=n L S N A 61故单位时间内打在平板上的C02的分子数为tNN ∆∆=得 N=n S N A υ61(2)根据动量定理 F △t=(2mυ)△N μ=N A m解得F=nμSυ2 31CO2气体对平板的压力 F / = F =nμSυ2 316．05如图所示，倾角θ=37°的斜面底端B 平滑连接着半径r =0.40m 的竖直光滑圆轨道。
动参考系中质点系的动量矩定理和动能定理的讨论
动参考系中质点系的动量矩定理和动能定理的讨论在理论力学学中，由牛顿定律22d d m t =r F，通过积分导出了质点对固定点O 的动量矩定理d()d O m t ⨯=⨯=r v r F M将该式用于质点系中的每一个质点i m ，求和并去掉成对出现的内力系对点O 的主矩，得d()d e i i i i i m t ⨯=⨯∑∑r v r F或d d eO O t =L M即质点系相对于固定点O 的动量矩对时间的一阶导数等于作用在该质点系上外力系对同一点的主矩。
这就是质点系对固定点动量矩定理的微分形式。
类比d d t =r v ，有d d O t =L u。
其中，u 为定位矢量O L 的矢端速度。
代入式(44)，得eO=u M式为质点系动量矩定理的几何解释式，称为赖柴定理，即质点系对任一固定点的动量矩矢端速度，等于外力对同一点的主矩。
问题 如图所示，长为l ，质量为m 的均质细长杆的质心O 处与定轴AB 固结，AB l =，倾斜角为θ，定轴以匀角速度ω转动时，求支座A ，B 处动约束力。
答 因AB 非细长杆主轴，先将ω沿杆的主轴正交分解，因杆细长，可忽略2ω方向的动量矩。
则细杆对O 点动量矩大小为21sin 12O L ml ωθ=，方向如图所示，且垂直于杆。
由于d d eO O t ==L u M ，而cos O u L ωθ=，故221sin cos sin 21224eO A B ml M ml F F l l ωθωθωθ====按右手法则确定,A B F F 方向，如图所示(此时,,A B O F F L 共面)。
思考 ①若考虑问题中沿杆轴方向的动量矩，结果有何变化？ ②若杆与轴的固结点偏离质心O ，结果又怎样？ ③若将均质细杆换为均质圆盘或矩形板，如何求解？ 2 积分形式将(44)式两边对时间t 求定积分得2121 d t eO O O t t-=⎰L L M式表明：质点系对任一固定点的动量矩在某一时间间隔内的改变量，等于在同一时间内各外问题图力对同一点的冲量矩之和。
动能定理动量定理联立推导公式
动能定理动量定理联立推导公式动能定理和动量定理是物理学中的两个基本定理，它们可以用来描述质点的运动，并在各种领域都发挥了重要作用。
本文将介绍动能定理和动量定理的定义及其推导公式，着重讨论它们的关系，设计出一个联立的推导公式。
动能定理定义：动能定理指出，当质点受到力作用时，由于动能的定义为K=\frac{1}{2}mv^2 ，因此质点的动能变化量是由力所做的功量决定的，即W=ΔK。
其中 W 是力所做的功量，ΔK 是质点动能的变化量，m 是质点的质量，v 是质点的速度。
动量定理定义：动量定理是描述质点动力学的重要定律之一，表述如下：当质量为m的质点受到力F作用时，它的动量的变化率与这个力的大小和作用时间有关系，即\frac{\Deltap}{\Delta t}=F。
\Delta p是质点动量的变化量，\Delta t是力作用时间的变化量，F是力的大小。
联立动能定理和动量定理：动能定理和动量定理都描述运动物体的性质。
它们之间的联系可以通过联立运用公式来得到。
如果一只质点受到一定的力作用，它的速度将发生变化。
假设在时间\Delta t内，质点的速度从v_1变为v_2，力的大小为F，则根据动量定理：F\Delta t=\frac{\Delta p}{\Delta t}=m\frac{\Delta v}{\Delta t}=ma\Delta v=v_2-v_1，a是质点受到力作用后的加速度。
将动量定理中的F\Delta t=ma带入到动能定理W=ΔK中得到：W=F\Delta x=ma\Delta x=m\frac{\Delta v}{\Delta t}a\Delta x=m\frac{\Deltav}{\Delta t}\Delta (1/2mv^2)=\Delta (1/2mv^2)Δx是质点移动的距离，m和v是质点的质量和速度。
通过上述推导，我们可以发现动能定理和动量定理之间存在非常紧密的关系。
动能定理描述了质点（静止的或运动的）所具有的动能如何与力作用量相比较和联系起来。
动量定理和动能定理的联系
动量定理和动能定理的联系1. 动量定理和动能定理，这俩家伙听起来就像是物理学里的双胞胎兄弟，虽然名字听起来差不多，但它们的个性和做的事情可大不相同。
让我给你细细道来，这俩兄弟的故事。
2. 先说说动量定理吧，这家伙就像是个守门员，它告诉我们力和物体动量变化之间的关系。
想象一下，你踢足球，脚就是那个力，足球就是那个物体。
你一脚踢出去，足球的速度和方向都变了，这就是动量的变化。
动量定理就是告诉你，力和动量变化之间有个啥关系。
3. 动能定理呢，这家伙更像是个会计，它关心的是能量的进出。
还是拿踢球来说，你的脚给球一个力，球就开始滚动，这个过程中，球的动能就在变化。
动能定理就是告诉你，做功和动能变化之间的关系。
4. 这俩兄弟虽然做的事情不一样，但它们之间有个秘密联系。
这个联系就是能量守恒定律。
你想想，当你踢球的时候，你的脚对球做了功，这个功就转换成了球的动能。
同时，这个过程中，球的动量也在变化。
这就是动量定理和动能定理之间的联系。
5. 让我给你举个更具体的例子。
比如说，你在滑冰，你推了一下墙，然后反弹回来。
你推墙的力，就是动量定理里的力，你的动量变化了，因为你从静止变成了移动。
同时，你的动能也从零增加到了某个值，这就是动能定理在起作用。
6. 但是，这里有个好玩的现象，你推墙的时候，墙也对你施加了一个相等大小但方向相反的力，这就是牛顿第三定律。
你的动能增加了，但墙的动能几乎没变，因为它太大了，你的那点力对它来说微不足道。
这就是动量守恒和动能不守恒的一个例子。
7. 再来说说，如果你把一个球扔到空中，球在上升的过程中，它的动能逐渐减少，因为它在对抗重力做功。
当球达到最高点时，动能变为零，所有的能量都转换成了势能。
然后球开始下落，势能又逐渐转换成动能。
这个过程，就是动能定理和能量守恒定律的完美结合。
8. 你看，动量定理和动能定理虽然关注的点不同，但它们都是物理学大家庭中的一员，它们共同遵守着能量守恒这个大原则。
这就像是，无论你是跑步、游泳还是骑自行车，你的身体都在消耗能量，这些能量最终都会以某种形式释放出来。
理论力学第六章
由 动能定理 FS
由 动 2 mv c 能 4 对t求导，得 C 3 mvC a定 Fv C 理 2 故 Fr J C α
3
v
m
r
C
F
C
F
Cv
S
Cv
即动量矩定理
6-2 质点系动能定理
d LC dt
v
MC
v
6-2-1 动能定理的三种形式 问题 3 图(a)系统由静平衡位置转动 角， 此时，系统势能以静平衡为“0”，
V 1 2 k( l 2
k
) 2 对吗?为什么?
l 2
l 2
对！弹簧静平衡力与重力在转动时仍平衡， 其功之和为零，可同时不考虑。
k
a
又如图(b)所示:
V 1 2
6-2 质点系动能定理
O
m
k
2
b
6-2-2 动能定理的应用 1. 应用特点 (1)与位形变化有关 (突出空间过程) 已知运动求力，由 T W F
FT
WG GS sin
WF 0 ,
N
S
C
WF 0 ,
T
G
C
FS
FN
WF 2 FS S
S
6-1 功与动能
6-1-1 力的功
2.内力的功
一对内力, FA -FB
d W FA drA FB drB
FA drA drB FA drAB
Cv
求 ,v 问题 2均质轮在OA杆上滚动，已知 m,r,l,ω1求Cr 轮 T 。
T 1 2 m vC
2
1 2
JC
2
动力的计算公式
动力的计算公式1、动量矩定理：F=ma(合外力提供物体的加速度);2、动能定理：W=1/2mV^2-1/2mv^2(合外力做的功等于物体的动能的改变量);3、动量定理：(合外力的冲量等于物体动量的变化量)。
从牛顿运动微分方程组推导出来的具有明显物理意义的定理，计有动量定理、动量矩定理、动能定理、质心运动定理等四个。
前三个都是运动微分方程的一次积分，末一个是动量定理的又一次积分，牛顿认为物体运动的量应用“质量和速度的乘积”表示。
因此他叙述运动定律时，用“动量的变化率”，而不是用“质量乘加速度”可见，动量定理是牛顿观点的产物。
这定理主要用于求速度v(或质心速度)和作用时间的关系。
G.W.莱布尼兹则认为表示物体运动的物理里应是“质量与速度的平方的乘积”，并将mv2称为活力。
用现在的观点，这就相当于物体的动能的两倍。
牛顿对力的作用是从时间的累积效应来认识的，而莱布尼兹则从力对运动路程的累积来认识。
所以动能定浬适用于求速度v和路程S 的关系动量矩适用于物体的转动效应，所以与转动有关的力学问题可以考虑动量矩定理。
有关质心位置的问题，应用质心运动定理。
扩展资料动力学的基本内容包括质点动力学、质点系动力学、刚体动力学，达朗伯原理等。
以动力学为基础而发展出来的应用学科有天体力学、振动理论、运动稳定性理论、陀螺力学、外弹道学、变质量力学以及正在发展中的多刚体系统动力学等(见振动，运动稳定性，变质量体运动，多刚体系统)。
质点动力学有两类基本问题:一是已知貭点的运动，求作用于质点上的力，二是已知作用于质点上的力，求质点的运动，求解第一类问题时只要对质点的运动方程取二阶导数，得到质点的加速度，代入牛顿第二定律，即可求得力。
求解第二类问题时需要求解质点运动微分方程或求积分。
所谓质点运动微分方程就是把运动第二定律写为包含质点的坐标对时间的导数的方程。
动量矩定理和动能定理
正压力 N ，摩擦力 F 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
dr vC dt0
W F dr F vC dt0
(3) 滚动摩擦阻力偶m的功
若m = 常量则
W m m
s R
13
五．质点系内力的功
W F drA F 'drB
F drA F drB
F d (rA rB ) F d ( BA)
稳定阶段（匀速）：dT
dt
0
31
dT / dt 0 机械效率 机器稳定运行时，
在铅直位置时的角速度至少
1
应为多大？
2 2
1 309.81.2 3000 [02 (2.41.2 2 ) 2 ] 388.4(J ) 2 24
1 1 T1 302.4 2 0 2 28.8 0 2 , 2 3
由 T2 T1 W ( F )
T2 0
k—弹簧的
刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m , N/cm。
r0 r /r 。
W F dr k ( r l0 )r0 dr
M1 M1
M2
m2
r 1 1 r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr r 2r 2r
W k ( r l0 )dr
v1 l , 1
v1 l r r
根据动能定理，得 2Q 9 P l 2 2 0 M 12g
3gM 2 l 2Q 9 P
将式对t 求导数，得
6 gM (2Q 9 P)l 2
27
3．两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是 AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止 释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。 解：取整个系统为研究对象
常见刚体运动的动力学分析方法
常见刚体运动的动力学分析方法刚体是指在运动过程中保持形状不变的物体，它的运动可以通过动力学分析方法来研究。
本文将介绍常见的刚体运动的动力学分析方法。
一、平面刚体运动的动力学分析方法在平面刚体运动中，刚体在平面上的运动可以分解为质心运动和绕质心的旋转运动。
常见的动力学分析方法包括线动量定理、角动量定理和动能定理。
1. 线动量定理线动量定理描述了刚体在平面上的线动量变化与合外力矩之间的关系。
根据线动量定理，刚体在一个时间间隔内的线动量变化等于作用在刚体上的合外力矩乘上时间间隔。
线动量定理的数学表达式为：Δp= ∑F⃗ ×Δt，其中Δp表示线动量的变化量，F⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。
2. 角动量定理角动量定理描述了刚体在平面上围绕质心旋转时的角动量变化与合外力矩之间的关系。
根据角动量定理，刚体在一个时间间隔内的角动量变化等于作用在刚体上的合外力矩乘上时间间隔。
角动量定理的数学表达式为：ΔL = ∑τ⃗ ×Δt，其中ΔL表示角动量的变化量，τ⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。
3. 动能定理动能定理描述了刚体在平面上的动能变化与合外力矩之间的关系。
根据动能定理，刚体在一个时间间隔内的动能变化等于作用在刚体上的合外力矩与刚体的质量乘积乘上时间间隔。
动能定理的数学表达式为：ΔE = ∑τ⃗ ×Δθ，其中ΔE表示动能的变化量，τ⃗表示合外力矩，Δθ表示角位移。
二、空间刚体运动的动力学分析方法在空间刚体运动中，刚体在三维空间上的运动可以分解为质心运动和绕质心的旋转运动。
常见的动力学分析方法包括动量矩定理、角动量矩定理和动能定理。
1. 动量矩定理动量矩定理描述了刚体在空间上的动量矩变化与合外力和合外力矩之间的关系。
根据动量矩定理，刚体在一个时间间隔内的动量矩变化等于作用在刚体上的合外力和合外力矩乘上时间间隔。
动量矩定理的数学表达式为：ΔL = ∑M⃗ ×Δt，其中ΔL表示动量矩的变化量，M⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。
力学11-动量矩,动量矩定理,动量矩守恒定律
v
∴ ∑ miυi = 0 v
v
转动时， 转动时，
∴ ∑ miυi = 0
结论： 结论： 无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。 无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。 即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态， 即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态， 必须引入新的物理量——动量矩（角动量） 动量矩（ 必须引入新的物理量 动量矩 角动量）
A外 + A = mgs 内
∆Ek = 1 mυ 2 + 1 Jω 2 2 2 = 1 mR2ω 2 + 1 MR2ω 2 2 4 mgs 2 ω= 并非匀速） R 2m + M （并非匀速）
+
2mg 2 mg 1 ds dω = = β= (2m + M )R R 2m + M 2 s dt dt
L = rp = mrv
Lz = r × p = r × mv
2
Lz = rmυ = r mω = J zω
第六章 刚体力学基础 动量矩
10
质点作任何运动都可以用动量矩来描述其运动状态
例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。 v v mυ1 L v v v mυ2 ov v r2 o r1 mυ r
三. 定轴转动的动能定理 ——力矩的持续作用规律 力矩的持续作用规律
作用下，角坐标由θ 设刚体在外力矩 M 作用下，角坐标由 1→ θ2， 角速度ω1 → ω2 ， 由刚体转动定理： 角速度 由刚体转动定理：
dω M = Jβ = J dt
Mdθ = Jωdω
对于整个运动过程
∫θ
θ2
比较质点系的动能定理和动量定理
比较质点系的动能定理和动量定理比较质点系的动能定理和动量定理质点系的动能定理和动量定理是物理力学中非常重要的定理，两者都与质点系的运动状态相关。
下面将对这两个定理进行比较。
一、动能定理动能定理是描述质点运动状态的重要定理，它与质点的动能有关。
动能定理可以表示为：ΔK=W，其中ΔK为质点在某段时间内的动能变化量，W为外力对质点做功。
动能定理的物理意义是：外力对质点做功的大小等于质点动能的变化量，即质点动能的增加等于外力对质点做的功，质点动能的减小等于质点对外界做的功。
二、动量定理动量定理是另一个描述质点运动状态的重要定理，它与质点的动量有关。
动量定理可以表示为：Δp=FΔt，其中Δp为质点在某段时间内的动量变化量，F为质点所受合外力，Δt为质点所受合外力作用的时间。
动量定理的物理意义是：质点所受合外力的作用使质点的动量发生变化，即质点动量的增加等于合外力对质点的作用，质点动量的减小等于质点对外界施加的作用。
三、两者的比较动能定理和动量定理都是物理力学中描述质点运动状态的重要定理，它们之间有以下几点不同：1. 方向：动能定理只涉及质点动能的变化，与动量的方向无关；而动量定理要考虑合外力的方向，与动量的方向有关。
2. 物理量：动能定理描述的是质点的动能变化，而动量定理描述的是质点的动量变化。
3. 计算方式：动能定理的计算只需知道外力对质点做功的大小，而动量定理的计算需要知道合外力的大小、方向和作用时间。
4. 应用场合：动能定理适用于质点在力学系统中的动能变化问题，而动量定理适用于描述质点受力作用后动量变化的问题。
总之，动能定理和动量定理都是描述质点运动状态的重要定理，在不同的物理场合中都有着重要的应用。
动能定理和动量定理的应用
动能定理和动量定理的应用一、动能定理的应用1.动能定理的基本概念：动能定理指出，一个物体的动能变化等于它所受的合外力做的功。
2.动能定理的表达式：ΔE_k = W_net，其中ΔE_k表示物体动能的变化，W_net表示合外力做的功。
3.动能定理在实际问题中的应用：a.计算物体在力的作用下从一个位置移动到另一个位置时动能的变化。
b.分析物体在斜面上滑动时的动能变化，考虑重力势能和摩擦力的影响。
c.研究弹性碰撞和非弹性碰撞中动能的转移和变化。
二、动量定理的应用1.动量定理的基本概念：动量定理指出，一个物体的动量变化等于它所受的合外力作用时间的乘积。
2.动量定理的表达式：Δp = F_net * t，其中Δp表示物体动量的变化，F_net表示合外力，t表示作用时间。
3.动量定理在实际问题中的应用：a.计算物体在力的作用下速度的变化，即动量的变化。
b.分析物体在碰撞过程中的动量守恒，即碰撞前后物体总动量的保持不变。
c.研究爆炸、火箭发射等高速运动物体的动量变化和力的作用。
三、动能定理和动量定理的相互关系1.在某些情况下，动能定理和动量定理可以相互转化应用。
2.动能定理主要关注物体的动能变化，而动量定理主要关注物体的动量变化。
3.在实际物理问题中，根据具体情况选择合适的定理进行分析。
四、注意事项1.在应用动能定理和动量定理时，要正确选择研究对象和研究过程。
2.注意区分合外力和系统内力的作用，以及各种力的方向和大小。
3.在计算功和动量时，要注意单位的转换和数值的精确性。
4.理解动能定理和动量定理的适用范围和条件，避免盲目套用公式。
习题及方法：1.习题：一个物体从静止开始沿着光滑的斜面下滑，斜面与水平面的夹角为30°，物体的质量为2kg，斜面长为10m。
求物体滑到斜面底端时的动能。
a.首先，计算物体下滑过程中的重力势能变化ΔE_p = mgh，其中m为物体质量，g为重力加速度，h为高度变化。
ΔE_p = 2kg * 9.8m/s^2 * 10m * sin(30°) = 98Jb.根据动能定理，物体动能的变化等于重力势能的变化，即ΔE_k =ΔE_p。
刚体的动量矩及转动动能汇总
§ 6、刚体的动量矩及转动动能上次课我们将质点组的两个基本动力学定理，即质心运动定理和动量矩定 理.（e ）dJ,d -一 -- e:Mr c = 7F i，"dp （ = d !=：r im iV ）二、r iFi=M应用于刚体，于是就给出了描述刚体动力学规律的基本运动微分方程。
虽然上次课已经给出刚体动力学基本方程，但是对基本方程中的动量矩的具体形式并没有给出， 这次课我们仍然以质点组的动量矩和动能定义为出发点推出刚体的动量矩以及刚体的转动动能。
下面我们先 讨论：一、 刚体定点转动的动量矩:假设刚体在某一时刻以角速度 3转动。
取刚体上任 一质点p i 的质量为m 。
它相对固定点0点的位矢 量为r i 。
那么根据质点组的动量矩定义式可得整个 刚体对固定点 0的动量矩是： 亍=送（仁汉口6）i因为， Vi =w ri 所以，它就等于 送，严mi （w 芥J 根据矢量多重叉积的基本公式： a (b c) = (a c)b -(a b)c 可得由此可以看出，动量矩J 一般不与角速度••共线，只有r w 三0时，j 与w 才是共线的。
由于角动量是个矢量，如果我们确定了坐标系，那么就可以将它写成分量形式。
如图所示，建立直角坐标系 O-X 、Y 、Z （并与绕定轴转动的刚体固连在一起，坐标这样取在目前的情况 下比较方便。
因为刚体上任一点的坐标（x,y,z ）不管刚体怎样运动，它们相对刚体都是不 随时间改变的常数，所以取与刚体固定的动坐标系比较方便。
J 二、Im i (r i w)ri）则仃和w 在三正交坐标轴的分量…… 则：r i 二X i i 一 — ■— ■■ + ・ + 1 1 1 y i j 乙k w _w x iw yjJ z八2 2 2m i(Xi讨、zJ w x - m i (X i w xw X ■ ( Xm iX i y i)w y_(、m iX i Z i)wxw zk 于是可得动量矩在x 轴上的分量：+ y ：w y+ Z iw z）X i=|[£m i （yi同理im i(r ir Jw ： Y iwJr i 」珥可得：2 2J y ="m iX i y^W x' ml y ：zJw y-(' m iy i z^Wz在这儿我们2 2z =AZI xy ~ | yx -LPH Xi yP 则动量矩在直角坐标系中的分I yz T zy=^IH iZ iy iIzx= | xz =迟 m i z x iJ x= | xxW x— I xyW y— Ixz z量式就可简写为： ：由这些分量式也可以看出刚体绕固定J y = — I yxW x+ I yyW y- I yzWzJz = T zxW x T zyWyI zzWz点转动的动量矩的分量与角速度的三个分量W x，W y，W z 都有关。
12.转动动能定理 动量矩定理
5/23
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细棒，可绕轴 O 在竖直平面内转 动，初始时它在水平位置。 求 由水平位置下摆 0 角时， 棒的 和 ？
m O
l
x
C
解法一： 刚体的转动定律
解法二： 刚体转动的动能定理
mg
dA Md
1 当下摆到 角时， M mgl cos 2
机械能守恒
v r 2 2 2 v (mr J Z ) / (2r ) 重力势能零点
mgh v 2 (mr 2 J Z ) / (2r 2 ) 0
10/23
2 v mgh 2 (mr 2 J Z ) 2r
求导
mg dh 2v dv 1 2 (mr 2 J Z ) dt dt 2r dh dv v， a dt dt
r0
O
r
F
v0
解：力为有心力，对 O 点的力矩为零 质点的动量矩守恒
L0 mv0 r0 L mvr
质点动能定理：
r0 v v0 ( ) r
1 1 2 2 A EK mv mv0 2 2
2 1 1 1 2 r0 2 2 r0 mv0 mv0 mv0 1 2 2 r 2 r 2
Li ri Pi ri mi vi
取一质量元
O
2 m r Li mi ri vi i i J i
ri
Pi
mi
整个刚体系统
Lz Li mi ri J z
2
刚体定轴转动的动量矩 ＝ 刚体定轴转动的 J 与角速度的乘积
动能定理和动量定理联立结果的推导
动能定理和动量定理联立结果的推导
运动定理，是研究物体运动的一种简单定理，是力学的基础。
引入牛顿运动定理和动量定理，可以定义物体在力学运动
中的运动情况，也可以更深入的预测物体的运行速度，位移和
加速度的轨迹。
牛顿的运动定理指出：物体在受到力的作用下，它的运动
速度会发生变化，即它会受到外力引起的加速度。
这个定理被
称为物体受推力，推力大小等于物体的质量乘以其加速度。
在
它之上，受力消失时，物体有一个恒定速率运动，也就是说受
力停止时，物体会以它原来速度继续运动，恒定速度与外力无关。
动量定理即物体的冲量是它的质量乘以它的速度。
它可以
表明受力时物体的运动受外力的推力方向影响，但是冲量的大
小与方向都不变。
也就是说，受力消失时，冲量的大小没有变化，但方向可能发生变化。
将牛顿运动定理和动量定理联立可以得出，只有速度改变
时才会产生推力，若物体速度没有改变，则不受任何外力影响，推力也就消失。
也就是说，只有当物体受外力所产生的推力改
变它的速度的加速度的幅度大于它原有加速度的幅度，才会使
它的冲量发生变化，方向改变，其他情况都没有变化，也就是
受力时物体的速度和位移的不变。
由此可见，牛顿运动定理和动量定理联立提供了很好的参
考和帮助，能够更深入的理解物体在力学运动中的特征，有助
于我们正确判断物体在各种外力形式下的运动轨迹，更好的应
用力学原理指导日常实践工作，进一步促进我们政务民生的发展。
动能定理与动量定理
动能定理与动量定理在物理学中，动能定理和动量定理是两个重要的定理，用于描述物体的运动和相互作用。
本文将详细介绍和解释这两个定理的含义和应用。
一、动能定理动能定理是描述物体的动能与所受力之间关系的定理。
它可以表述为：一个物体的动能的变化等于外力对该物体所做的功。
动能定理可用以下公式表示：∆KE = Wext其中，∆KE表示动能的变化量，Wext表示外力所做的功。
动能定理的由来可以从牛顿第二定律出发推导。
根据牛顿第二定律的表达式 F = m * a，可以推导出v = √(2 * a * s)，即速度与位移间的关系。
代入动能的定义 KE = 1/2 * m * v^2，经过一系列推导，最终得出动能定理。
动能定理的应用十分广泛。
以机械能守恒为例，当没有外力对物体做功时，物体的总机械能保持不变。
此时根据动能定理，如果物体的动能发生改变，则说明有外力对其做功。
而若物体速度不变且无外力作用，则动能保持不变。
例如在自由落体运动中，重力对物体做负功，使得物体的动能逐渐减小。
二、动量定理动量定理是描述物体动量与所受力之间关系的定理。
它可以表述为：物体的动量的变化等于外力对物体的冲量。
动量定理可以用以下公式表示：∆p = Jext其中，∆p表示动量的变化量，Jext表示外力对物体的冲量。
动量定理同样可以通过牛顿第二定律进行推导。
根据牛顿第二定律的推导过程，我们可以得到动量定理的数学表达式。
从而可以看出，外力对物体的冲量等于物体动量的变化。
动量定理的应用广泛，特别是在碰撞和相互作用问题中。
例如，在两个物体碰撞过程中，由于外力的作用，物体的动量会发生变化。
根据动量定理，我们可以计算出碰撞后物体的速度变化情况，从而研究和分析碰撞过程。
总结动能定理和动量定理是描述物体运动和相互作用的重要定理。
动能定理表述了动能与外力所做的功之间的关系，而动量定理则描述了动量与外力对物体的冲量之间的关系。
这两个定理在物理学中具有广泛的应用，能够帮助我们理解和解释物质世界的运动规律和相互作用过程。
动能定理和动量定理的适用条件
动能定理和动量定理的适用条件1. 动能定理的基本概念动能定理，顾名思义，和“动能”这玩意儿紧密相连。
说白了，动能就是物体因运动而具有的能量，公式嘛，大家也不陌生，(E_k = frac{1{2mv^2)，其中 (m) 是质量，(v)是速度。
动能定理的核心思想是：一个物体的动能变化等于它所受的外力做的功。
想象一下，像一辆疾驰的汽车，如果突然踩下刹车，汽车的动能就会减少，减少的部分正是刹车力做的功。
不过，这个定理可不是随便什么情况都能用哦。
首先，咱得保证物体的质量不变，这就像你买包薯片，里面的薯片数量不变才能吃得痛快。
再者，力要是恒定的，变来变去的力简直让人头疼，就像你把网球扔给朋友，他老是接不住，真让人着急。
最后，还得确保我们在一个封闭的系统中，没啥外界力量干扰。
换句话说，像个小气鬼一样，不让外力来插手。
1.1 动能定理的适用情境那动能定理最适合的场合是什么呢？简单说，就是在匀速运动、匀加速运动或者短时间内力恒定的情况。
例如，一个小球在斜坡上滚下来，起初动能为零，随着球的下滑，动能逐渐增大。
这时候动能定理就能派上用场，帮你计算小球到底“吃了多少力气”，让你心中有数，简单得很。
1.2 动能定理的限制但说归说，动能定理也有它的局限性。
比如，碰撞这样的情况就比较复杂。
假设你和小伙伴玩碰撞游戏，结果不小心撞上了，这时候力量不是恒定的，你的定理就不好使了。
所以啊，动能定理好用，但要是条件不符，还是得另寻他法。
2. 动量定理的基本概念说完动能，咱再聊聊动量定理。
动量，这玩意儿听起来就很酷，公式也简单：(p = mv)。
动量定理说的就是：在没有外力作用的情况下，系统的总动量是守恒的。
这就像你在大风天骑自行车，风阻很大，但只要你不摔倒，整体速度就会维持在一个水平。
动量就像是运动的小朋友，不管风怎么刮，他的数量总是没变的。
2.1 动量定理的适用情境动量定理特别适合在碰撞和爆炸这类场合。
想象你和朋友在游乐场里玩碰碰车，虽然你们相撞了，但碰撞前后的动量总和是不会改变的。
第6章动能定理动量定理和动量矩定理完整地描述了质点系所受外力
第6章 动能定理动量定理和动量矩定理完整地描述了质点系所受外力与其运动变化的关系，却没有反映内力的作用效果，也没有考虑作用力的空间累积效应。
动能定理揭示了质点系动能的改变量与其所受作用力(包括内力和外力)的功之间的数量关系。
§6.1 功与动能6.1.1 力的功1 功的一般概念力的功是力对物体的空间累积效应的度量。
在一般情况下，力F 在物体上的作用点不会固定不动，力在其作用点发生微小位移中所作的元功定义为d W t δ=⋅F v (6-1)式中，v 为物体受力点的瞬时速度。
当力在物体上的作用点不变时，d d t =v r ，(6-1)式变为d W δ=⋅F r (6-2) 这是物理学中力对质点元功的定义。
采用W δ是为了区别于全微分d W ，因为功的全微分在许多情形中并不存在。
显然，力系对质点系元功等于各力元功的代数和，即d i i i W W ==⋅∑∑δδF r (6-3)当力F 的作用点在空间沿某曲线L 从A 点移动到B 点所作的功为d ABABW =⋅⎰F r (6-4)这个曲线积分一般与路径L 有关。
常力和有势力的功与路径无关。
功是标量，可以选用任何坐标系进行具体计算，在直角坐标系中，(6-4)式成为(d d d )x y z ABABW F x F y F z =++⎰ (6-5)2 质点系内力的功如图6-1所示，设质点系中任意两质点A ，B 之间相互作用的内力为A F 和B F ，A B =-F F 。
质点A ，B 相对于固定点O 的矢径分别为A r 和B r ，B A AB =+r r r 。
若在d t 时间内，A ,B 两点的无限小位移分别为d A r 和d B r ，则内力在该位移上的元功之和为d d (d d )iA AB B B A B W δ=⋅+⋅=⋅-+F r F r F r rd()d d B B A B AB B AB F r =⋅-=⋅=-F r r F r(6-6)上式表明，当A ，B 两质点之间的距离变化时，其内力的元功之和不等于零。
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k [(r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] 2 令 1 r1 l0 , 2 r2 l0
W mgdz mg ( z1 z 2 )
z1
z2
质点系： W Wi mi g ( zi1 zi 2 ) Mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重 心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
8
2．弹性力的功
弹簧原长 l 0 ，在弹性极限内 F k (r l0 )r0
时力F 所作的功。M点轨迹已知。
F F Fn Fb
11
W F ds F rd mz ( F )d
W mz ( F )d
1 2
( 2 1 )
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 如果作用力偶，m , 且力 偶的作用面垂直转轴
W m d
2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承
3．刚体沿固定面作纯滚动
15
4．联接刚体的光滑铰链（中间铰）
W
(N)
N dr N 'dr
N dr N dr 0
5．柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
16
§10-2
动 能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱 的又一种度量。 一．质点的动能
若m = 常量, 则
1
2
W m( 2 1 )
注意：功的符号的确定。
12
5．摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功 W M1M 2 F ds M1M 2 f ' Nds N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。 (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功
1
第十章
§10–1 §10–2 §10–3 §10–4
动能定理
力的功 质点 质点系动能 动能定理 功率 ·功率方程
§10–5
§10–6
势力场 ·势能 ·机械能守恒定理
动力学普遍定理及综合应用
2
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功
F ds
F dr
Xdx Ydy Zdz
( F Xi Yj Zk , dr dxi dyj dzk
F dr Xdx Ydy Zdz)
5
力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
W F cosds F ds （自然形式表达式）
T 1 m v2 2
瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。
二．质点系的动能
1 T mi vi 2 2
17
三．刚体的动能 1．平动刚体
1 1 1 2 2 1 T mi vi (mi )v 2 Mv 2 MvC 2 2 2 2
2．定轴转动刚体 T 1 mi vi 2 1 ( mi ri 2 ) 2 1 I z 2
M1 M1
M2
M2
F1 dr F2 dr Fn dr
M1 M1 M1
M2
M2
M2
W1 W2 Wn
即
W Wi
在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
7
四．常见力的功 1．重力的功
质点：重力在三轴上的投影：
X 0, Y 0, Z mg
之间的联系，这是一种能量传递的规律。
3
10-1 力的功
力的功是力沿路程累积效应的度量。 一．常力的功
W FS cos F S
力的功是代数量。 2 时,正功； 2 时,功为零； 2 时,负功。
单位：焦耳（Ｊ）；
1J 1N 1m
4
二．变力的功 元功： W F cos ds
r2
r2
k 2 即 W ( 1 2 2 ) 2
弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而 与质点运动的路径无关。
10
3．万有引力的功
1 1) W Gmm ( 0 r2 r1
万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。 4．作用于转动刚体上的力的功， 力偶的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点 作用有力 F ，计算刚体转过一角度
正压力 N ，摩擦力 F 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
dr vC dt0
W F dr F vC dt0
(3) 滚动摩擦阻力偶m的功
若m = 常量则
W m m
s R
13
五．质点系内力的功
W F drA F 'drB
F drA F drB
F d (rA rB ) F d ( BA)
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。 不可伸长的绳索内力功之和等于零。
14
六．理想约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1．光滑固定面约束
W ( N ) N dr 0 ( Ndr )
M1 M1
M2
M2
F dr （矢量式）
M1
M2
M2
M1
Xdx Ydy Zdz
（直角坐标表达式）
6
三．合力的功
质点M 受n个力 F1 ,F2 ,,Fn 作用合力为R Fi 则合力 R
的功
W R dr ( F1 F2 Fn )dr
k—弹簧的
刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m , N/cm。
r0 r /r 。
W F dr k ( r l0 )r0 dr
M1 M1
M2
m2
r 1 1 r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr r 2r 2r
W k ( r l0 )dr