略谈变式思维训练.doc

略谈“变式思维训练”

【本文摘要】真正有效的教学不是简单地让学生占有别人的知识，不是让学生做大量的题目，而是让学生建构自己的知识经验，形成自己的见解。“授之以鱼，不如授之以渔”。变式教学作为一种传统和典型的中国数学教学方式，不仅有着广泛的经验基础，而且也经过了实践的检验。我们不要现成的数学，而需要活动的数学，让学生们积极地参与到数学课堂活动中来，使他们能学到真正的数学，能力上得到真正的提升。

【关键词】有效的教学建构知识经验变式教学能力的提升

大家知道，真正有效的教学不是简单地让学生占有别人的知识，不是让学生做大量的题目，而是让学生建构自己的知识经验，形成自己的见解。“授之以鱼，不如授之以渔”。变式教学作为一种传统和典型的中国数学教学方式，不仅有着广泛的经验基础，而且也经过了实践的检验。下面，我就变式思维训练中的一题多解和一题多变问题作一些探讨。

例1：如图1，在⊿ABC中，AB=AC,P为BC上的一动点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，CF为AB边上的高线，求证：PD+PE=CF。

证法1：延长DP，过C作CH⊥DP于H，如图所示：

∵CH⊥DP，PD⊥AB

∴CH∥AB

∴∠B=∠PCH

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠PCH=∠ACB

在⊿PCH和⊿PCE中，

∵∠PCH=∠ACB

∠PHC=∠PEC

PC=PC

∴⊿PCH≌⊿PCE(AAS)

∴PE=PH

∴PD+PE=PD+PH=DH

易证：四边形DHCF为矩形

∴DH=CF

∴PD+PE=CF

【评析】这种证明方法叫补短法，通常我们要把较短线段进行合并，使它们成为一条线段，从而转化成为证明两线段相等。

证法2：过D作BC的平行线，交CF于H,如图所示：

∵DH∥PC,CH∥PD

∴四边形PCHD为平行四边形

∴PD=CH,DH=PC

∵DH∥BC

∴∠FDH=∠B

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠FDH=∠PCE

在⊿DFH和⊿CEP中

∵∠FDH=∠PCE

∠DFH=∠CEP=90°

DH=PC

∴⊿DFH≌⊿CEP(AAS)

∴PE=FH

∴CF-FH=CH=PD，CF-PE=PD

即PD+PE=CF

【评析】这种证明方法叫截长法，通常我们要将较长线段进行分割，使分割成的线段正好等于两较短线段的长，从而转化成为证明两线段之差等于另一条线段的长。关于截长法，读者也可以通过下面添加辅助线的方法加以解决。这里，不再赘述。

证法3：过P作PH⊥CF于H,

如图所示（过程略）

证法4：连结AP ，如图所示

∵S ⊿ABP =21AB ×PD S ⊿APC =2

1AC ×PE S ⊿ABC =2

1AB ×CF S ⊿ABP + S ⊿APC =S ⊿ABC

∴21AB ×PD+21AC ×PE=2

1AB ×CF ∵AB=AC

∴AB ×PD+AB ×PE=AB ×CF

∴PD+PE=CF

【评析】这种证明方法叫面积法，通常我们利用

图形之间的面积关系和已知条件，使问题得到解决。

证法5：设∠B=∠ACB=∠a,那么

在Rt ⊿BPD 中：PD=PB ×sina

在Rt ⊿PCE 中：PE=PC ×sina

PD+PE=(PB+PC)×sina =BC ×sina...... ①

在Rt ⊿BCF 中，CF=BC ×sina...... ②

由①②得：PD+PE=CF

【评析】这种方法叫三角函数法，因为三角函数是在直角三角形中定义出来的，利用三个不同的直角三角形和正弦函数的定义，使相关的边角联系起来，从而使问题得以解决。

证法6:∵PD ∥CF

∴PD:CF=PB:BC......①

易证:⊿PCE∽⊿CBF

∴PE:CF=PC:BC......②

①+②得：(PD+PE):CF=(PB+PC):BC=1

即：PD+PE=CF

【评析】这种方法叫比例化归法，通常我们可利用平行线分线段成比例定理或相似三角形对应边成比例。经过比例的相关变形，使问题得到解决。

在平时的教学中，我们常常对试题进行情景和量的改造，让学生再思考，再训练，以达到触类旁通，举一反三之目的。

例2，如图：在⊿ABC中，AB=AC,点P在BC的延长线上，过点P作PE⊥AC，交AC的延长线于E点，过点P作PD⊥AB于点D,CF是AB边上的高线，那么PD,PE 和CF之间存在什么数量关系？写出你的猜想并加以证明。猜想：PD-PE=CF 证明：过C作CH⊥PD于H,如图所示

∵CH⊥PD,AB⊥PD

∴CH∥AB

∴∠HCP=∠B

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠HCP=∠ACB=∠ECP

在⊿PCH和⊿PCE中：

∴∠HCP=∠ECP

∠CHP=∠CEP=90°

PC=PC

∴⊿PCH≌⊿PCE(AAS)

∴PH=EP

∴PD-PE=PD-PH=DH

∵四边形CHDF为矩形

∴DH=CF

∴PD-PE=CF

【评析】本题中，由于点P的位置发生改变，使三线段之间的数量关系发生了改变，但证明方法却没有变化。

例3，如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,点P为BC边上的一点，PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别为E、F、G。（1）

求证：PE+PF=BG。（2）若P是CB延长线上的一点，

其它条件不变，那么PE、PF、BG之间有何关系？

证明你的结论。

(1)证明：∵四边形ABCD是等腰梯形

∴∠ABC=∠C

易证：⊿CPF∽⊿CBG∽⊿BPE

∴PF:BG=PC:BC

PE:BG=PB:BC

∴(PE+PF):BG=(PB+PC):BC=1

∴PE+PF=BG

(2)PF-PE=BG

易证:⊿PBH≌⊿PBE

∴PE=PH

而四边形BGFH是矩形，

∴BG=HF

∴PF-PE=BG

【评析】本题中，题目的情景改变了，但证明的方法可以从上题中迁移过来。

例4，如图在ABC中，AB=AC=3，点P是BC边上的一个动点(不与点B、C重合)，PE∥AB,PF∥AC,分别交AC、AB于点E、F，求PE+PF的长，通过计算，你能得出关于PE+PF的长的结论吗？

解：∵PE∥AB,PF∥AC

∴四边形AFPE为平行四边形

∴PF=AE,PE=AF

∵AB=AC