线段中点练习题

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人教版七年级数学上册《6.2.2线段的比较与运算》同步练习题及答案

人教版七年级数学上册《6.2.2线段的比较与运算》同步练习题及答案一、单选题1．借助圆规，可得图中最长的线段是（）A ．BAB ．CAC ．DAD ．EA2．“把弯曲的公路改直”能缩短路程，解释这个现象的数学依据是（） A ．经过两点，有且仅有一条直线 B ．经过一点有无数条直线 C ．两点之间，线段最短D ．垂线段最短3．若点C 在线段AB 上，线段5cm AB =，3cm BC =则线段AC 的长是（） A ．4cmB ．8cmC ．2cmD ．1cm4．如图所示，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段CB 上，且6AD BD -=，若18AB =，则CD 的长（）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，一只蚂蚁从“A ”处爬到“B ”处（只能向上、向右爬行），爬行路线共有（）A ．3条B ．4条C ．5条D ．6条6．台湾的省会为台北市，在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（） A ．吉林市B ．西安市C ．海口市D ．福州市7．如图，线段18cm AB =，点C 在线段AB 上，P ，Q 是线段AC 的三等分点，M ，N 是线段BC 的三等分点，则线段PN 的长为（）A ．6B ．9C ．12D ．158．B 是线段AD 上一动点，沿A 至D 的方向以2cm/s 的速度运动．C 是线段BD 的中点10cm AD =．在运动过程中，若线段AB 的中点为E ．则EC 的长是（） A ．2cmB ．5cmC ．2cm 或5cmD ．不能确定二、填空题9．已知点C 在线段AB 上6,2AB BC ==，则AC = ．10．线段10cm AB =，点C 在线段AB 上，点M 、N 分别是线段AC BC 、的中点，则MN = ． 11．P 为线段AB 上一点，且25AP AB =，M 是AB 的中点，若3cm PM =，则AB = ． 12．已知点C 在线段AB 上20AC =，30BC =点M 是AC 的中点且点N 是BC 的三等分点，则线段MN 的长度为．13．已知点M 是线段AB 上一点，若14AM AB =，点N 是直线AB 上的一动点，且AN BN MN -=，则MNAB= ．三、解答题14．如图，已知线a 、b ，求作一条线段c ，使2c a b =-．要求：不写画法，保留必要的作图痕迹．15．如图，A 、B 、C 、D 四点在一条直线上，根据图形填空：(1)图中共有线段_______条；(2)若C 是BD 的中点16cm AD =，2AB BC =求线段AC 的长．16．如图所示，A 、B 、C 是一条公路上的三个村庄，A ，B 间的路程为100km ，A ，C 间的路程为40km ，现欲在C ，B 之间建一个车站P ，设P ，C 之间的路程为km x ．(1)若P 为线段BC 的中点，求AP 的长；(2)用含x 的代数式表示车站P 到三个村庄的路程之和；(3)若车站P 到三个村庄的路程之和为102km ，则车站应建在何处？(4)若要使车站P 到三个村庄的路程总和最小，问车站应建在何处？最短路程是多少？参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CCCAA ACB1．C【分析】用圆规量出四条线段，再进行比较即可．此题考查了比较线段的长短，会用圆规度量各线段是本题的关键．【详解】通过用圆规比较图中的四条线段，其中最长的DA故选：C ． 2．C【分析】本题主要考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键．根据“两点之间，线段最短”进行判断即可．【详解】解：“把弯曲的公路改直”能缩短路程，解释这个现象的数学依据是“两点之间，线段最短”．故选：C ． 3．C【分析】本题考查线段的加减，根据AC BC AB +=求解即可．【详解】∵点C 在线段AB 上 ∵AC BC AB += ∵5cm AB = 3cm BC = ∵532cm AC AB BC =-=-= 故选：C ． 4．A【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，根据图示正确找到线段之间的和差关系是解题关键．根据192AC BC AB === 9,9AD AC CD CD BD BC CD CD =+=+=-=-即可求解．【详解】解：∵点C 是线段AB 的中点18AB = ∵192AC BC AB === ∵9,9AD AC CD CD BD BC CD CD =+=+=-=- ∵6AD BD -=∵()9926CD CD CD +--== ∵3CD =故选：A 5．A【分析】只能向上或向右走，就是最短的路线，可以用列举的方法进行求解．【详解】解：如图，根据规则可得：,,,A C D B A E D B A E F B →→→→→→→→→ 一共有3种不同的走法．故选：A ．【点睛】本题考查了线段问题，利用求最短路线的方法：清晰的分类是解题的关键． 6．A【分析】本题考查了点与点之间的距离，根据点与点之间的距离并结合生活常识即可得出答案．【详解】解：在地图上如果把城市看作一点，与台北市之间的距离最大的是吉林市故选：A ． 7．C【分析】本题考查了两点间的距离，n 等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得23PC AC =23CN BC =然后由两点间的距离求解即可．【详解】解：∵P ，Q 是线段AC 的三等分点，M ，N 是线段BC 的三等分点 ∵23PC AC =23CN BC =∵22221812cm 3333PN PC CN AC BC AB =+=+==⨯=．故选C ． 8．B【分析】根据线段中点的性质，做出线段AD ，按要求标出各点大致位置，列出EB ，BC 的表达式，即可求出线段EC ．【详解】设运动时间为t则AB=2t ，BD=10-2t∵C 是线段BD 的中点，E 为线段AB 的中点 ∵EB=2AB =t ，BC=2BD=5-t ∵EC=EB+BC=t+5-t=5cm 故选：B ．【点睛】此题考查对线段中点的的理解和运用，涉及到关于动点的线段的表示方法，难度一般，理解题意是关键． 9．4【分析】本题主要考查了线段的和差计算，根据线段的和差关系列式求解即可．【详解】解；∵点C 在线段AB 上 6,2AB BC == ∵624AC AB BC =-=-= 故答案为：4． 10．5cm /5厘米【分析】本题考查与线段中点有关的运算，根据线段中点得到12MC AC =，12NC BC = 结合MN MC NC=+求解即可．【详解】解：如图∵点C 在线段AB 上，点M 、N 分别是线段AC BC 、的中点 ∵12MC AC =12NC BC =∵线段10cm AB = ∵()115cm 22MN MC NC AC BC AB =+=+== 故答案为：5cm ． 11．30cm /30厘米【分析】本题考查线段的和差，线段的中点，根据线段中点的定义得到12AM AB =，从而根据线段的和差得到110PM AM AP AB =-=，即10AB PM =，即可解答．【详解】解：如图∵点M 是AB 的中点2∵25AP AB =∵1212510PM AM AP AB AB AB =-=-=∵()1010330cm AB PM ==⨯=．故答案为：30cm 12．30或20/20或30【分析】本题主要考查了线段中点的相关计算，线段的和差计算，解题的关键是数形结合，先求出1102AM MC AC ===，分两种情况：当点N 是靠近B 点的三等份点时，当点N 是靠近C 点的三等份点时，分别画出图形，求出结果即可．【详解】解：∵20AC =，点M 是AC 的中点 ∵1102AM MC AC === 当点N 是靠近B 点的三等份点时，如图所示：∵21030303MN CM CN =+=+⨯=；当点N 是靠近C 点的三等份点时，如图所示：∵11030203MN CM CN =+=+⨯=综上分析可知，线段MN 的长是30或20．故答案为：30或20．13．1或12【分析】分两种情况：当点N 在线段AB 上，当点N 在线段AB 的延长线上，然后分别进行计算即可解答．【详解】解：分两种情况：当点N 在线段AB 上，如图：AN BN MN -= AN AM MN -=BN AM ∴=414BN AB 12MN AB AM BNAB 12MN AB；当点N 在线段AB 的延长线上，如图：AN BN MN -= AN BN AB -=AB MN ∴=1MNAB∴= 综上所述：MNAB的值为1或12故答案为：1或12．【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 14．作图见详解【分析】画射线AM ，用尺规在射线AM 上取AB a ，取BC a =，再以C 点为起点，向反方向取CD b =，则AD 即为所求线段c ．【详解】解：如图如下AB a ，BC a = 以C 点为起点，向反方向，即CB 方向取CD b = ∵2AD c a b ==-．【点睛】本题主要考查线段的加减，掌握尺规作图的方法是解题的关键． 15．(1)6； (2)12cm ．【分析】本题考查线段的和差和中点有关的计算，熟练掌握线段和差倍分的计算是解题的关键．（1）根据线段定义数出线段即可；（2）根据图形，由线段和差和线段中点求解即可．【详解】（1）解：图中线段有AB AC AD BC BD CD 、、、、、，共6条线段故答案为：6；（2）解：∵C 是BD 中点 ∵12BC CD BD == ∵2AB BC =又∵AD AB BC CD =++ 16cm AD = ∵162BC BC BC =++ ∵4cm BC =∵4cm CD = 28cm AB BC == ∵12cm AC AB BC =+=． 16．(1)70km (2)()100km x +(3)车站应建在村庄C 的右侧2km 处(4)车站建在村庄C 处，路程和最小，最短路程是100km【分析】本题考查了线段长的计算、代数式的应用、一元一次方程的应用等知识，根据题意画出图形分类讨论是解题关键．（1）根据AC BC AB +=计算出BC ，再根据P 为线段BC 的中点，即可解答；（2）由题意列出车站P 到三个村庄的路程，再求和即可；（3）由题意得100102x +=解方程即可得到答案；（4）由题意得车站到三个村庄的总路程为()100100x +=，根据代数式的特点求出最小值，找到车站位置即可．【详解】（1）解：100km,40km,AB AC AC BC AB ==+=∵()1004060km BC AB AC =-=-=．又∵P 为线段BC 的中点 ∵()30km PB BC ==∵()1003070km AP AB PB =-=-=；（2）解：车站P 到三个村庄的路程之和为()()()4010040100km PA PB PC x x x x ⎡⎤++=++-++=+⎣⎦；（3）解：若车站P 到三个村庄的路程之和为102km ，则100102x += 故2x =即车站应建在村庄C 的右侧2km 处；（4）解：要使车站P 到三个村庄的路程总和最小，即100x +最小，故取0x = 这时车站建在村庄C 处，路程和最小，最短路程是100km ．。

人教版七年级数学上册第四章专题训练(九) 线段计算中的数学思想及动点问题作业练习题

2．如图，AB＝6 cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 在 CB 上，且 CD ＝12 DB，求 AD 的长．
解：因为 AB＝6 cm，点 C 是线段 AB 的中点，所以 AC＝CB＝12 AB＝3(cm)，因为点 D 在 CB 上且 CD＝12 DB，所以 CD＝13 CB＝1(cm)，所以 AD＝AC＋CD＝3＋1＝4(cm)
5．如图，点C，D，E将线段AB分成2∶3∶4∶5四部分，M，P，Q，N 分别是线段AC，CD，DE，EB的中点，且MN＝21，求线段PQ的长度．
解：设AC＝2x，则CD＝3x，DE＝4x，EB＝5x，于是有MC＝x，EN＝ 2.5x，由题意得，MN＝MC＋CD＋DE＋EN，又因为MN＝21，可得x＋ 3x＋4x＋2.5x＝21，解得x＝2.所以PQ ＝PD＋DQ＝0.5(CD＋DE)＝3.5x＝ 7.
3．如图，已知线段AB＝13 cm，BC＝9 cm，点M是线段AC的中点．
(1)求线段AC的长度； (2)在线段CB上取一点N，使得NB＝2CN，求线段MN的长．
解：(1)因为 AB＝13 cm，BC＝9 cm，所以 AC＝AB－BC＝13－9＝4 (cm) (2)因为 M 是线段 AC 的中点，所以 MC＝12 AC＝12 ×4＝2 (cm).因为 NB＝ 2CN，所以 CN＝13 BC＝3(cm).所以 MN＝MC＋CN＝2＋3＝5 (cm)
类型五角的计算中的动点问题 8．如图①，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB(∠OAB＝30°)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA 在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒 10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板旋转到如图②所示的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？请说明理由；

与线段中点有关的几何综合题

F
26
求证：CE=2MN 方法3：解析法
27
五、典型题练习
2012东城上学期期末
五、典型题练习
2011海淀1模
五、典型题练习
2011顺义1模
五、典型题练习
2011石景山2模
五、典型题练习
2011大兴2模
五、典型题练习
北京55中数学组
34
A
E
B
D
F
C
14
典型题举例
构造中位线
15
典型题举例
构造中位线
16
三、方法指导
与线段中点有关的内容: ① 中线平分面积 ② 倍长中线，构造8字全等形(中心对称) ③ 构造三角形、梯形中位线 ④ 构造等腰三角形底边上中线(轴对称)
A
E B
F
D
C
17
三、方法指导
与线段中点有关的内容:
① 中线平分面积
② 倍长中线，构造8字全等形(中心对称)
③ 构造三角形、梯形中位线
④ 构造等腰三角形底边上中线(轴对称)
⑤ 构造直角三角形斜边上中线 A
B
F
O G
E
D
C
18
典型题举例
构造直角三角形斜边上的中线
已知： ∠A+ ∠D=90 °，BC ∥AD，AD=10， BC=6，E、F为BC、AD中点求：EF
M
N
义务教育课程标准实验教科书人教版九年级（下册）
与“线段中点”有关的几何综合题
1
一、考试说明要求
《考试说明》中涉及线段中点的有3个知识点，都有B层要求，分别为：
掌握证明三角形的中位线定理会用三角形中位线性质解决有关问题会用线段中点的知识解决简单问题

求线段的长度专项练习

求线段的长度的专项练习第一组：1、如图，已知C点为线段AB的中点，D点为BC的中点，AB＝10cm，求AD的长度。

2、如图，C为线段AB上任一点，E、F分别为AC、BC的中点，EF=12cm，求AB的长。

FEA BC3、如图9，ＡＤ＝12ＢＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，ＢＥ＝２ｃｍ，ＡＣ＝１０ｃｍ，求线段ＤＥ的长．4. 如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AB为5：11，若CD＝10cm，求AB。

5.已知如图，AB＝10，点C为线段AB上一点，点D、E分别为线段AB、AC的中点，ED＝1，求线段AC的长。

E D C BA6.如右图，已知：C，D是AB上两点，且AB=20cm,CD=6cm,M是AD的中点，N是BC的中点，求线段MN的长7.线段AB和CD的公共部分为BD，且BD=31AB=51CD，线段AB、CD的中点E、F的距离为6cm，求AB、CD 的长.A CBDE F图9ADCB E8.直线上顺次截取AB=BC，CD=3AB，若AB的中点M与CD的中点N之间的距离是5cm，求AB、CD的长。

9.如图，B、C两点把线段AD分成2：3：4三部分，E是线段AD的中点，CD=24cm，求（1）CE的长；（2）求AB：BE的值。

B CA DE第二组：1．如果线段AB=5cm，BC=3cm，且A，B，C三点在同一条直线上，那么A，C两点之间的距离是．2．已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为cm．3．若线段AB=10cm，在直线AB上有一个点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，则AM= cm．4．若线段MN=10cm，Q是直线MN上一点，且线段NQ=5cm，则线段MQ长是cm．5.在直线l上取A,B,C三点，使得AB=4cm，BC=3cm.如果点O是线段A C的中点，那么线段OB的长度是多少？6.自己画图并完成计算：A，B，M，P四点在同一直线上，M为AB的中点，N为AP的中点，若15cmMN=，40cmAB=，求AP的长．B CA DNM7、如图，点C在线段AB上，AC = 8厘米，CB = 6厘米，点M、N分别是AC、BC的中点。

七上数学中点问题解题技巧和方法

七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。

在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。

2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。

假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。

- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。

- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。

- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。

三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。

例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。

分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。

2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。

3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。

4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。

四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。

三角形的中位线经典练习题及其答案

第二讲三角形的中位线1•连结三角形____________ 的线段叫做三角形的中位线.2•三角形的中位线_______ 于第三边，并且等于_____3•一个三角形的中位线有__________ 条.4.如图△ ABC中，D E分别是ABAC的中点，则线段CD>^ ABC的________ ,线段。

丘是厶ABC ____________5、如图，D E、F分别是△ ABC各边的中点（1）如果EF= 4cm,那么BC= ____ cm如果AB= 10cm,那么DF= ________ cm（2） ________________________________ 中线AD与中位线EF的关系是____________________________7 .三角形的三边长分别是3cm 5cm, 6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是 _______________ cm.8.在Rt △ ABC中，/ C=90° , AC=?5 ?BC=?12, ?则连结两条直角边中点的线段长为____________ .9 .若三角形的三条中位线长分别为2cm, 3cm, 4cm,则原三角形的周长为（）A . 4.5cmB . 18cmC . 9cmD . 36cm10•如图2所示，A, B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A, B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A, B的点C,找到AC, BC的中点D, E,并且测出DE 的长为10m,则A, B间的距离为（）A . 15mB . 25mC . 30mD . 20m11.已知△ ABC的周长为1,连结△ ABC的三边中点构成第二个三角形, 三个三角形，依此类推，第14.如图所示，口 ABCD的对角线AC, BD相交于点O, AE=EB求证：OE// BC.6 .如图1所示C?再连结第二个三角形的三边中点构成第2010个三角形的周长是120081200912.如图3所示，已知四边形ABCD R, P分别是DC1~20082BC上的从点B向点C移动而点R不动时,A .线段EF的长逐渐增大C .线段EF的长不变 D13.如图4,在厶ABC中, E, D,A . 10B . 20 CE,)1、~20092那么下列结论成立的是（B .线段EF的长逐渐减少.线段EF的长不能确定F分别是AB, BC CA的中点，AB=6, AC=4,则四边形AEDF?勺周长是（）.30 D . 4015.已知矩形ABCD中，AB=4cm, AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H 分别是AB、AP、DP、DC的中点.求证：EF+GH=5cm；16 .如图所示，在△ ABC中，点D在BC上且CD=CA CF平分/ ACB AE=EB求证:EF=1BD.217.如图所示，已知在口ABCD中, E, F分别是AD, BC的中点，求证：MN/ BC.18.已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.19.如图，点E,求证：四边形EFGH是平行四边形。

线段的中点问题专项训练(30道)

线段的中点问题专项训练（30道）【题型1 单个中点问题】1．如图，已知DB＝2，AC＝10，点D为线段AC的中点，求线段BC的长度．2．如图，C是线段AB上的一点，N是线段BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求AN的长．3．如图，点C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且AB＝12，AC＝4CD．（1）求AC的长；（2）若点E在直线AB上，且AE＝3，求DE的长．4．如图，延长线段AB到C，使BC＝3AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝9cm，那么线段AC的长度是多少？5．如图，已知AD=12DB，E是BC的中点，BE=15AC＝2cm．（1）求BC的长；（2）求DE的长．6．如图，点C是线段AB的中点，点D在线段AB上，若CD＝2，AD=32BD，求AB的长．7．如图，M为线段AB的中点，点C在线段BM上且CM：CB＝1：2．若AB＝12，求线段AC的长．8．如图，已知点C、D在线段AB上，点D是AB中点，AC=13AB，CD＝2．求线段AB长．9．如图，已知C、D两点将线段AB分成2：3：4三段，点E是BD的中点，点F是线段CD上一点，且CF＝2DF，EF＝12cm，求AB的长．10．已知线段AB上有两点C、D，使得AC：CD：DB＝1：2：3，M是线段AC的中点，点N是线段AB上的点，且满足DN=14DB，AB＝24．求MN的长．11．如图，线段AC＝6cm，线段AB＝21cm，M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．12．如图，已知线段AB＝3cm，延长线段AB到C，使BC＝2AB，延长线段BA到D，使AD：AC＝4：3，点M是BD的中点，求线段BD和AM的长度．13．已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：（2）如图2，若BD=14AB=13CD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．【题型2 无关联型双中点问题】14．如图，点C在线段AB上，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点．①若AC＝8，BC＝3，求DE；①若DE＝5，求AB．15．如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝8cm，BC＝12cm，CD＝6cm．（1）求BM的长；（2）求AN的长．16．如图，线段AD＝20cm，线段AC＝BD＝14cm，E、F分别是线段AB、CD的中点，求线段EF的长．17．如图，已知线段AB上有两点C，D，且AC：CD：DB＝2：3：4，点E，F分别为AC，DB的中点，EF＝48cm．求AB的长．18．如图，点C，D在线段AB上，且满足CD=14AD=16BC，点E、F分别为线段AC，BD的中点，如果EF＝10cm，求线段AB的长度．19．如图，点C为线段AB上一点，点M、N分别是线段AC、BC的中点．回答下列问题：（1）试判断线段AB与MN的关系为；（2）若点P是线段AB的中点，AC＝6cm，CP＝2cm，求线段PN的长．20．如图，C为线段AB上一点．AB＝m，BC＝n，M，N分别为AC，BC的中点．（1）若m＝8，n＝2，求MN的长；（2）若m＝3n，求CNMN的值．21．如图，C、D是线段AB上两点，已知AC：CD：DB＝1：2：3，M、N分别为AC、DB 的中点，且AB＝12cm，（1）求线段CD的长；（2）求线段MN的长．【题型3 关联型双中点问题】22．如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，若AB ＝15，CE＝4.5，求出线段AD的长度．23．如图，线段AB＝20cm，线段AB上有一点C，BC：AC＝1：4，点D是线段AB的中点，点E是线段AC的中点．（1）求线段AC的长度；（2）求线段DE的长度．24．如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）AC＝3cm，求线段CM、NM的长；（2）若线段AC＝m，线段BC＝n，求MN的长度（m＜n用含m，n的代数式表示）．25．如图，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段CB 上的一点，点E 是线段DB 的中点，AB ＝20，EB ＝3．（1）求线段DB 的长．（2）求线段CD 的长．26．如图，线段AB ＝8，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 的中点．（1）求线段AD 的长；（2）若在线段AB 上有一点E ，CE =14BC ，求AE 的长．【题型4 两个以上中点问题】27．如图，O 是AC 的中点，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，试判断MN 与OC 的大小关系．28．如图，线段AB ＝6cm ，点C 是AB 的中点，点D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．（1）求线段AE 的长；（2）求线段EC 的长．29．已知线段AB ＝20，M 是线段AB 的中点，P 是线段AB 上任意一点，N 是线段PB 的中点．（1）当P 是线段AM 中点时，求线段NB 的长；（2）当线段MP ＝1时，求线段NB 的长；（3）若点P 在线段BA 的延长线上，求线段P A 与线段MN 的数量关系．30．如图，C 为线段AB 上一点，D 为AC 的中点，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点．（1）若AC ＝4，BC ＝6，求CF 的长；（2）若AB ＝16CF ，求AC CB的值．。

专题26 线段中的常见思想方法的应用(师)

专题26线段中的常见思想方法的应用【题型1 线段中的整体思想】【题型2 线段中的方程思想】【题型3 线段中的分类讨论思想】【题型4 线段中的数形结合思想】【题型1 线段中的整体思想】【例1】（2022·全国·七年级专题练习）线段AB ＝16，C ，D 是线段AB 上的两个动点（点C 在点D 的左侧），且CD ＝2，E 为BC 的中点．(1)如图1，当AC ＝4时，求DE 的长．(2)如图2，F 为AD 的中点．点C ，D 在线段AB 上移动的过程中，线段EF 的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF 的长．【答案】(1)DE =4 (2)EF =7【分析】（1）首先根据题意求出BC 的长度，然后由E 为BC 的中点求出BE 的长度，最后即可求出DE 的长；（2）由题意可得AD +BC =AB +CD ，由F 为AD 的中点和E 为BC 的中点表示出FD +CE =12(AD +BC )，代入EF =FD +CE −CD ，即可求出EF 长．【详解】（1）∵AB ＝16，CD ＝2，AC ＝4，∵BC =AB −AC =16−4=12，AD =AC +CD =6,∵E 为BC 的中点，∵BE =12BC =6，∵DE =AB −AD −BE =16−6−6=4；（2）线段EF 的长度不会发生变化，EF =7， ∵AB ＝16，CD ＝2，∵AD +BC =AB +CD =16+2=18，∵F 为AD 的中点，E 为BC 的中点， ∵FD +CE =12(AD +BC )=12×18=9，∵EF =FD +CE −CD =9−2=7．【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系．【变式1-1】（2022·黑龙江大庆·期末）如图1，已知点C 在线段AB 上，且AM =13AC ，BN =13BC ．(1)若AC =12，CB =6，求线段MN 的长． (2)若C 为线段AB 上任意一点，且满足AC +BC =a ，其他条件不变，求线段MN 的长．【答案】(1)12；(2)23a【分析】（1）若AC =12，CB =6，求线段MN 的长；（2）若点C 为线段AB 上任意一点，且满足AC +BC =a ，请直接写出线段MN 的长；（1）解：因为AM =13AC ，BN =13BC ，AC =12，CB =6，所以AM =13×12=4，BN =13×6=2．AB =AC +BC =12+6=18．所以MN =AB −AM −NB =18−4−2=12．（2）解：因为AM =13AC ，BN =13BC ，AC +BC =a ，所以：AM +BN =13(AC +BC )=13a ，所以MN =AB −(AM +BN )=AC +BC −(AM +BN )=a −13a =23a ．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用AM =13AC ．BN =13BC ，得出AM 的长，BN 的长是解题关键．点C 是线段AB 上的一点，点M 、N 、P 分别是线段AC ，BC ，AB 的中点．(1)若AB =10cm ，求线段MN 的长； (2)若AC =3cm ，CP =1cm ，求线段PN 的长．【答案】(1)MN ＝5cm ；(2)PN ＝32cm【分析】（1）根据线段中点的性质可得MC ＝12AC ，CN ＝12BC ．再根据MN ＝MC +CN ＝12AC +12BC ＝12（AC +BC ）代入计算即可得出答案；（2）先根据题意可计算出AP 的长度，由线段中点的性质可得AB ＝2AP ，CB ＝AB ﹣AC ，CN ＝12CB ，再根据PN ＝CN ﹣CP 代入计算即可得出答案． (1)解：∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点， ∵MC ＝12AC ，CN ＝12BC ，∵MN ＝MC ＋CN ＝12AC ＋12BC ＝12（AC ＋BC ）＝12AB ＝12×10＝5（cm ）.(2)解：∵AC ＝3，CP ＝1，∵AP ＝AC ＋CP ＝4， ∵点P 是线段AB 的中点， ∵AB ＝2AP ＝8，CB ＝AB －AC ＝5，∵点N 是线段CB 的中点，∵C N ＝12CB ＝52（cm ），∵PN ＝CN －CP ＝52－1＝32（cm ）．【点睛】本题主要考查了两点间距离的计算，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键．已知B 、C 在线段AD 上，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，且AB =CD ．(1)如图线段AD 上有6个点，则共有______条线段；(2)比较线段的大小：AC ______BD （填“＞”、“=”或“＜”）；(3)若AD=12，BC =8，求MN 的长度．【答案】(1)15；(2)＝；(3)10【分析】（1）根据线段有两个端点，得出所有线段的条数；（2）依据AB ＝CD ，即可得到AB ＋BC ＝CD ＋BC ，进而得出AC ＝BD ；（3）依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN 的长度．(1)∵线段AD 上有6个点，∵图中共有线段条数为6×（6−1）÷2＝15；故答案为：15；(2)∵AB ＝CD ，∵AB ＋BC ＝CD ＋BC ，即AC ＝BD ；故答案为：＝； (3)∵AD =12，BC =8， ∵AB +CD =AD −BC =4， ∵M 是AB 的中点，N 是CD 的中点， ∵BM =12AB ，CN =12CD ，∵BM +CN =12(AB +CD )=12×4=2，∵MN =BM +CN +BC =2+8=10．【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．【题型2 线段中的方程思想】【例2】（2022·河南信阳·七年级期末）如图，A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上．(1)若AB =CD ，①比较线段的大小：AC ______BD ；（填“>”“=”或“<”）②若BC =34AC ，且AC =24cm ，则AD 的长为______cm ；(2)若线段AD被点B，C分成了3:4:5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是20cm，求AD的长．【答案】(1)①=；②30；(2)30cm【分析】(1)①根据等式的性质，得出答案；②求出BC的值，再求出AB、CD的长，进而求出AD 的长即可；(2)根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可．（1）①∵AB= CD，∵AB+ BC= CD+ BC，即，AC= BD，故答案为：=；②∵BC=34AC，且AC = 24cm，∵BC=34×24= 18(cm)，∵AB=CD=AC-BC=24-18=6 (cm)∵AD= AC+CD= 24+6= 30 (cm)；故答案为：30；（2）解：如图1所示，∵线段AD被点B，C分成了3:4:5三部分，设AB=3x，则BC=4x，CD=5x，因为M是AB的中点，N是CD的中点，所以BM=12AB=32x，CN=12CD=5x2，所以32x+4x+52x=20；得x=52；所以AD=3x+4x+5x=12x=12×52=30cm．【点睛】本题考查线段的和差及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的前提，以及根据已知，用方程思想解决问题是解题关键.阶段练习）如图，点A、B在线段EF上，点M、N分别是线段EA、BF的中点，EA:AB:BF=1:2:3，若MN=6cm，求线段EF的长．【答案】EF的长为9cm．【分析】由于EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，那么线段MN可以用x表示，而MN=6cm，由此即可得到关于x的方程，解方程即可求出线段EF的长度．【详解】解：设EA=xcm，∵EA:AB:BF=1:2:3，∵AB=2xcm，BF=3xcm，而M、N分别为EA、BF的中点，∵MA=12EA，NB=12BF，∵MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4xcm，∵MN=6cm，∵4x=6，∵x=32，∵EF=EA+AB+BF=6x=9cm．∵EF的长为9cm．【点睛】本题考查了两点间的距离．利用线段中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．【变式2-2】（2022·山东泰安·期中）如图，已知数轴上有两点A，B，它们的对应数分别是a，b，其中a＝12．(1)在B左侧作线段BC＝AB，在B的右侧作线段BD＝3AB（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)若点C对应的数是c，点D对应的数是d，且AB＝40，求c，d的值．(3)在（2）的条件下，设点M是BD的中点，N是数轴上一点，且CN＝4DN，请直接写出MN的长．【答案】(1)见解析；(2)c＝－68，d＝92；(3)MN＝28或3403【分析】（1）利用圆规量得AB的长度，以点B为圆心，AB为半径画弧，交点B左边的坐标轴于一点，即为点C；再点A为圆心，AB为半径画弧，交点A右边的坐标轴于一点，再以此点为圆心，AB为半径画弧，交圆心右边的坐标轴于另一点，则此交点为点D ；（2）根据线段之间的等量关系求得AC 、AD 的长度，从而得出点所表示的数；（3）分两种情况分析：①点N 在线段CD 上；②点N 在线段CD 的延长线上．【详解】（1）解：线段BC 、BD 为所求线段，如图所示：（2）解：∵AB ＝40，BC ＝AB ，∵AC ＝2AB ＝80， ∵a ＝12，∵c ＝12－80＝－68， ∵BD ＝3AB ，∵BD ＝120，∵AD ＝80，设d 为x 则，x －12＝80，解得：x ＝92，∵d ＝92．（3）解：①当点N 在线段CD 上时，由（2）得CD ＝92﹣（﹣68）＝160，点B 对应的数为12﹣40＝﹣28，∵BD ＝92﹣（﹣28）＝120， ∵点M 是BD 的中点，∵点M 对应的数为92﹣60＝32， ∵CN ＝4DN ，∵DN ＝15CD =32， ∵点N 对应的数为92−32=60， ∵MN ＝60−32=28；②当点N 在线段CD 的延长线上时，∵CN ＝4DN ，∵CD ＝3DN =160， ∵DN =1603，∵点N 对应的数为92+1603=4363，∵MN ＝4363−32=3403；故MN 的长为28或3403．【点睛】本题主要考查了数轴与有理数的关系和线段中点的有关计算，解题关键是抓住线段之间的关系，体现了数形结合思想．【变式2-3】（2022·山西晋城·七年级期末）如图，数轴上点A 、B 对应着数10、15．C 、D 两点同时从点A 、原点O 出发分别以1cm/s 和2cm/s 的速度沿数轴向右运动．设运动时间为ts ．(1)当t =2时，请说明BC =12AD ； (2)当t >5，且CD =AB 时，求t 的值；(3)取线段CD 的中点M ，当BM =14OA 时，求t 的值．【答案】(1)BC =12AD ；(2)t =15；(3)t =5或t =253【分析】（1）分别计算出BC 和AD 即可等到BC =12AD ；（2）先计算得到CD 的关于t 的表达式，再根据CD =AB 求出t 即可；（3）根据M 在点B 前面和后面两种情况分别计算出BM 关于t 的表达式，再根据BM =14OA 即可计算出t ．（1）当t =2时，AC =1×t =2,BC =OB −(OA +AC)=15−10−2=3 ，OD =2×t =4,AD =OA −OD =10−4=6，∵BC =12AD ; （2）当D 在C 后面时，如下图所示，OD =2t ,OC =OA +AC =10+t ，CD =OC −OD =10−t ,AB =15−10=5∵CD =AB ，∵10−t =5，∵t =5（舍去），点D 在点C 的前面时，如下图所示，CD =OD −OC =2t −(10+t )=t −10, ∵CD =AB ，∵t −10=5，即t =15．（3）当点M 在点B 左边时，BM =OB −OM =OB −OD −DM =15−2t −12(10+t −2t)=10−32t又∵BM =14OA ，∵10−32t =14×10即t =5；当点M 在点B 右边时，BM =OM −OB =OD +DM −OB=2t +12(10+t −2t)−15=32t −10又∵BM =14OA ，32t −10=14×10 即t =253，∵t =5或t =253．【点睛】本题考查数轴上的点及线段的长度，解题的关键是根据题意建立等式. 【例3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB 上有两点C 、D ，使得AC ∶CD ∶DB =1∶2∶3，M 是线段AC 的中点，点N 是线段AB 上的点，且满足DN =14DB ，AB =24，求MN 的长．【答案】7或13【分析】设AC =x ，则CD =2x ，DB =3x ，根据题意得x +2x +3x =24，计算得x =4，即可得AC =4，CD =8，DB =12，CB =20，根据点M 是线段AC 的中点得MC =12AC =2，根据DB =12，DN =14DB 得DN =3，分以下两种情况：①当点N 在线段CD 上时， ②当点N 在线段DB 上时，进行计算即可得．【详解】解：设AC =x ，则CD =2x ，DB =3x ， ∵AB =24，∵x +2x +3x =24，6x =24解得x =4，∵AC =4，CD =8，DB =12，CB =20， ∵点M 是线段AC 的中点，∵MC =12AC =2， ∵DB =12，DN =14DB ，∵DN =14×12=3，分以下两种情况：①当点N 在线段CD 上时，MN =MC +CD −DN =2+8−3=7，②当点N 在线段DB 上时，MN =MC +CD +DN =2+8+3=13，综上所述，线段MN 的长度为7或13．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的计算，线段的中点的性质，解题的关键是掌握线段中点的性质，分类讨论．【变式3-1】（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，AB 表示A 点和B 点之间的距离，且a 、b 满足(a +1)2+|b −3|=0．(1)填空：a ＝，b ＝，AB ＝；(2)若数轴上存在一点C ，且AC ＝2BC ，求C 点表示的数；(3)若在原点O 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B 处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒）． ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t 表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【答案】(1)－1，3，4；(2)53或7(3)①甲：t +1；乙：3−2t 或2t −3；②t =23秒或t =4秒【分析】（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，再根据两点间的距离公式求得A 、B 两点之间的距离；（2）分C 点在线段AB 上和线段AB 的延长线上两种情况讨论即可求解；（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA 的长，乙球到原点的距离分两种情况：（∵）当0＜t ≤32时，乙球从点B 处开始向左运动，一直到原点O ，此时OB 的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（∵）当t ＞32时，乙球从原点O 处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB 的长度即为乙球到原点的距离；②分两种情况：（∵）0＜t ≤32，（∵）t ＞32，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t 的方程，解方程即可．（1）因为(a+1)2+|b−3|=0，所以a+1=0,b−3=0，所以a=−1,b=3；所以AB的距离＝|b−a|=4，故答案为：－1，3，4；（2）设数轴上点C表示的数为c．因为AC=2BC，所以|c−a|=2|c−b|，即|c+1|=2|c−3|．因为AC=2BC>BC，所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．①当C点在线段AB上时，则有−1<c<3，得c+1=2(3−c)，解得c=53；②当C点在线段AB的延长线上时，则有c>3，得c+1=2(c−3)，解得c=7．故当AC=2BC时，c=53或c=7；（3）①因为甲球运动的路程为：1×t=t,OA=1，所以甲球与原点的距离为：t+1；乙球到原点的距离分两种情况：（I）当0<t≤32时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，因为OB=3，乙球运动的路程为：2×t=2t，所以乙球到原点的距离为：3−2t；（I I）当t>32时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2t−3；②当0<t≤32时，得t+1=3−2t，解得t=23；当t>32时，得t+1=2t−3，解得t=4．故当t=23秒或t=4秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键．【变式3-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，AB=32BC．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q 第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动．(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？(3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ ＝2m？请直接写出x的值．【答案】(1)16，24．(2)当x=45，即运动45秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处．(3)当x=32或x=52或x=194，即运动x=32或x=52或x=194秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m．【分析】（1）由AB=32BC且AC=8cm得8+BC=32BC，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可；（2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=12AQ列方程求出x的值即可；（3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ 上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B 返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可．【详解】（1）解：∵AB =32BC ，AB =AC +BC ，AC =8m ， ∵8+BC =32BC ，解得：BC =16m ，∵AB =32×16=24m ．故答案为：16，24．（2）解：由题意可得：：机器狗P 在点A 与机械猫Q 的中点处只存在一种情况，即机器狗P 与机械猫Q 第一次相遇之前，∵6x =12{8+2x ），解得x =45．答：当x =45，即运动45秒时，机器狗P 在点A 与机械猫Q 的中点处．（3）解：当点P 在线段AQ 上且PQ =2m 时，则6x +2=8+2x ，解得x =32；当点P 在线段BQ 上且PQ =2m 时，则6x -2=8+2x 或24×2-6x =8+2x +2，解得x =52或x=194．答：当x =32或x =52或x =194，即运动x =32或x =52或x =194秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ =2m ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x 的代数式表示线段A P 和AQ 的长是解答本题的关键.江西省丰城中学七年级期中）已知数轴上A 点表示的数是a ，B 点表示的数是b ，且a ，b 满足式子(a +3)2+|b −6|=0． (1)写出a =______，b =______．(2)将数轴上线段AB 剪下来，并把AB 这条线段沿着某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为1：2：2，求折痕处对应的点所表示的数．【答案】(1)−3；6；(2)35或32或125【分析】（1）根据绝对值的非负性与偶次方的非负性，非负数的性质得出a +3=0，b −6=0，再解方程即可求解．（2）设折痕处点表示数为x ，被剪处为点C 、D ，分三种情况：①当AC:CD:DB =1:2:2时，②当AC:CD:DB =2:1:2时，③当AC:CD:DB =2:2:1时，分别求解好戏可．（1）解：∵(a +3)2+|b −6|=0，又∵(a +3)2≥0，|b −6|≥0，∵a +3=0，b −6=0，∵a =−3，b =6．故答案为：−3；6．（2）解：设折痕处点表示数为x ， ①当AC:CD:DB =1:2:2时，AB =5AC =9，∵AC =95， ∵x =−3+2×95=35．②当AC:CD:DB =2:1:2时，则AB =5CD =9，∵CD =95， ∵AC +12CD =52CD =52×95=92，∵x =−3+92=32．③当AC:CD:DB =2:2:1时，则AB =5DB =9，∵DB =95，∵AC +12CD =3DB =3×95=275．∵x =−3+275=125．∵综上，折痕处表示的数为：35或32或125．【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，非负数的性质，线段和差倍分，熟练掌握偶次方与绝对值的非负性，分类讨论思想的应用是解题的关键．【例4】（2022·广东东莞·七年级期末）如图，C 是线段AB 上一点，AB ＝12cm ，AC ＝4cm ，P 、Q 两点分别从A 、C 出发以1cm/s 、2cm/s 的速度沿直线AB向右运动，运动的时间为ts．(1)当t＝1s时，CP＝cm，QB＝cm；(2)当运动时间为多少时，PQ为AB的一半？(3)当运动时间为多少时，BQ＝AP？【答案】(1)3，6；(2)运动时间为2s时，PQ为AB的一半；(3)运动时间为83s或8s时，BQ=AP【分析】（1）根据CP=AC−AP，QB=AB−AQ 的关系，由P、Q两点分别从A、C出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向右运动，求解当t=1s对应的长度即可；（2）通过建立一元一次方程进行求解即可；（3）通过分类讨论的思想，当点Q到点B的左边或右边时，通过建立一元一次方程进行求解．(1)解：∵CP=AC−AP，当t=1s，AP=1cm，∴CP=4−1=3cm，∵QB=AB−AQ，当t=1s，CQ=2cm，∴QB=12−4−2=6cm，故答案为：3，6；(2)解：设运动t秒时，PQ是AB的一半，当点P到点C的左边时，∴PQ=PC+CQ=4−t+ 2t=6，解得：t=2，当点P到点C的右边时，PQ的距离大于AB的一半，不满足题意，故运动时间为2s时，PQ是AB的一半；(3)解：当点Q到点B的左边时，设运动t秒时，BQ=AP，则8−2t=t，解得：t=83，当点Q到点B的右边时，设运动t秒时，BQ=AP，则2t−8=t，解得：t=8，故运动时间为83s或8s时，BQ=AP．【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程，两点间的距离，解题的关键是通过数形结合及分类讨论的思想进行求解．【变式4-1】（2022·山东德州·七年级期末）已知，线段AB=20，M是线段AB的中点，P是线段AB上任意一点，N是线段PB 的中点．（1）当P是线段AM的中点时，求线段NB的长；（2）当线段MP=1时，求线段NB的长；（3）若点P在线段BA的延长线上，猜想线段PA与线段MN的数量关系，并画图加以证明．【答案】（1）7.5；（2）4.5或5.5；（3）PA=2MN，画图证明见解析．【分析】（1）画出符合题意的图形，先求解AM= 10，再求解AP=5，可得PB=15，再利用中点的含义可得答案；（2）分两种情况讨论：当P在M左边时，当P在M右边时，先求解PB,再利用中点的含义可得答案；（3）当P在线段BA延长线上时，如图，设PA=t，求解NB=10+12t，再求解MN=NB−MB=12t，从而可得结论．【详解】解：（1）如图，∵M是线段AB的中点，AB= 20∵MA=12AB=10∵P是线段AM的中点，∵AP=12AM=5∵PB=AB−AP=20−5=15∵N是线段PB的中点，∵NB=12PB=7.5（2）∵MP=1，∵当P在M左边时，如图，BP=MB+MP=11，∵N是线段PB的中点，∵NB=12PB=5.5，如图，当P在M右边时，BP=MB−MP=9，∵N是线段PB的中点，∵NB=12PB=4.5．（3）线段PA和线段MN的数量关系是：PA=2MN，理由如下：当P在线段BA延长线上时，如图，设PA= t，则PB=20+t∵N是线段PB的中点，∵NB=12PB=10+12t∵M是线段AB的中点，AB=20，∵MB=12AB=10∵MN=NB−MB=12t又∵PA=t，∵PA=2MN【点睛】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，整式的加减运算，分类思想的运用，掌握以上知识是解题的关键．【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足|m−4|+(n−8)2=0，点M，N分别为AB，CD中点．(1)求线段AB，CD的长；(2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD 以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长；(3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．【答案】(1)线段AB的长是4，线段CD的长是8(2)16或8(3)当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值，定值为6【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求出m 和n的值即可；（2）分M′在N′的左侧和M′在N′的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出方程，即可求解；（3）由题意，运动t秒后，MN=|30−4t|，AD= |36−4t|，分段讨论即可求解．（1）解：∵|m−4|+(n−8)2=0，∵|m−4|=0，(n−8)2=0，∵m=4，n=8，∵AB=4，CD=8，即线段AB的长是4，线段CD的长是8；（2）解：∵AB=4，CD=8，∵MB=12AB=2，CN=12CD=4，设运动后点M对应点为M′，点N对应点为N′，分两种情况，若6秒后，M′在N′的左侧时：MN+ NN′=MM′+M′N′，∵MB+BC+CN+NN′=MM′+M′N′，即2+BC+4+6×1=6×4+4，解得BC=16．若6秒后，M′在N′的右侧时：MM′=MN+NN′+ M′N′，∵MM′=MB+BC+CN+NN′+M′N′，即6×4=2+BC+4+6×1+4，解得BC=8．即线段BC的长为16或8；（3）解：∵BC＝24，AB=4，CD=8，∵MN=BC+12AB+12CD=24+2+4=30，AD=BC+AB+CD=24+4+8=36，∵线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，∵运动t秒后，MN=|30−4t|，AD=|36−4t|，当0≤t<7.5时，MN+AD=30−4t+36−4t= 66−8t；当7.5≤t≤9时，MN+AD=4t−30+36−4t= 6；当t>9时，MN+AD=4t−30+4t−36=8t−66；故当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值，定值为6．【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想．【变式4-3】（2022·河南周口·七年级期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGebra做了n次取线段中点实验：如图，设线段OP0=1．第1次，取OP0的中点P1；第2次，取P0P1的中点P2；第3次，取P1P2的中点P3，第4次，取P2P3的中点P4；…(1)请完成下列表格数据．(2)小明对线段OP4的表达式进行了如下化简：因为OP4=1−12+122−123+124，所以2OP4=2(1−12+122−123+124)=2−1+12−1 22+123．两式相加，得3OP4=2+124．所以OP4=23+13×24．请你参考小明的化简方法，化简OP5的表达式．(3)类比猜想：P n−1P n=__________，OP n=_________________，随着取中点次数n的不断增大，OP n的长最终接近的值是__________．【答案】(1)P4P5=125，OP5=OP4−P4P5=1−12+1 22−123+124−125(2)OP5=23−13×25(3)12n，23+(−1)n3×2n，23【分析】（1）根据表中的规律可求出P4P5，根据OP5=OP4−P4P5可得出答案；（2）参照小明对线段OP4的表达式的化简可得OP5的表达式；（3）根据类比猜想可得答案．（1）解：P4P5=125，OP5=OP4−P4P5=1−12+122−123+124−125；故答案为：P4P5=125，OP5=OP4−P4P5=1−12+122−123+124−125；（2）解：因为OP5=1−12+122−123+124−125，所以2OP5=2(1−12+122−123+124−125)=2−1+12−122+123−124．两式相加，得3OP5=2−125．所以OP5=23−13×25；（3）解：P n−1P n=12n，OP n=23+(−1)n3×2n，随着取中点次数n的不断增大OP n的长最终接近的值是23．故答案为：12n，23+(−1)n3×2n，23．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键．次数Pi-1Pi线段OPi的长第1次P0P1=12OP1=OP0−P0P1=1−12第2次P1P2=122OP2=OP1+P1P2=1−12+122第3次P2P3=123OP3=OP2−P2P3=1−12+122−123第4次P3P4=124OP4=OP3+P3P4=1−12+122−123+124第5次………。

初一难点突破“线段的计算”50道(含详细解析)

试卷第1页，总10页初一难点突破“线段的计算”50道（含详细解析）一．解答题（共50小题）1．如图所示，点A 在线段CB 上，AC=12AB ，点D 是线段BC 的中点．若CD=3，求线段AD 的长．2．已知线段AB=6，在直线AB 上取一点P ，恰好使AP=2PB ，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长．3．已知线段MN=3cm ，在线段MN 上取一点P ，使PM=PN ；延长线段MN到点A ，使AN=12MN ；延长线段NM 到点B ，使BN=3BM ．（1）根据题意，画出图形；（2）求线段AB 的长；（3）试说明点P 是哪些线段的中点．4．已知：点C 在直线AB 上．（1）若AB=2，AC=3，求BC 的长；（2）若点C 在射线AB 上，且BC=2AB ，取AC 的中点D ，已知线段BD 的长为1.5，求线段AB 的长．（要求：在备用图上补全图形）5．如图，已知AC=16cm ，AB=13BC ，点C 是BD 的中点，求AD 的长．6．如图，C 是线段AB 上一点，AB=20cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，以2cm/s的速度沿AB 向右运动，终点为B ；点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 向左运动，终点为A ．已知P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点P 运动时间为xs ．（1）AC= cm ；（2）当x= s 时，P 、Q 重合；（3）是否存在某一时刻，使得C 、P 、Q 这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．7．如图，线段AC=20cm，BC=3AB，N线段BC的中点，M是线段BN上的一点，且BM：MN=2：3．求线段MN的长度．8．已知m，n满足算式（m﹣6）2+|n﹣2|=0．（1）求m，n的值；（2）已知线段AB=m，在直线AB上取一点P，恰好使AP=nPB，点Q为PB 的中点，求线段AQ的长．9．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N 分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？10．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB=2：1，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE=15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB=15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．试卷第3页，总10页11．如图，点C 在线段AB 上，AC=8cm ，CB=6cm ，点M 、N 分别是AC 、BC的中点．（1）求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC +CB=a cm ，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=b cm ，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；12．【新知理解】如图①，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB=12cm ，点C 是线段AB 的巧点，则AC= cm ；【解决问题】（3）如图②，已知AB=12cm ．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t （s ）．当t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由13．已知，点C 是线段AB 的中点，AC=6．点D 在直线AB 上，且AD=12BD ．请画出相应的示意图，并求线段CD 的长．14．已知，如图B ，C 两点把线段AD 分成3：5：4三部分，M 为AD的中点，BM=9cm ，求CM 和AD 的长15．已知线段AB=10cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，点D 是线段AC 的中点，试求线段AD 的长．16．已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC=14AB ，D 为AC 的中点，若BD=6cm ，求AB 的长．17．如图，点A 、M 、B 、N 、C 在同一直线上顺次排列，点M 是线段AB 的中点，点N 是线段MC 的中点，点N 在点B 的右边．（1）填空：图中共有线段条；（2）若AB=6，MC=7，求线段BN 的长；（3）若AB=a ，MC=7，将线段BN 的长用含a 的代数式表示出来．18．如图，已知线段AB 的长为x ，延长线段AB 至点C ，使BC=12AB ．（1）用含x 的代数式表示线段BC 的长和AC 的长；（2）取线段AC 的中点D ，若DB=3，求x 的值．19．如图，延长线段AB 到点F ，延长线BA 到点E ，点M 、N 分别是线段AE 、BF 的中点，若AE ：AB ：BF=1：2：3，且EF=18cm ，求线段MN 的长．20．如图，已知线段AB 和CD 的公共部分为BD ，且BD=13AB=14CD ，线段AB 、CD 的中点E 、F 之间距离是20，求AB 、CD 的长．21．如图，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE的中点．（1）若线段AB=a ，CE=b ，且|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0，求a ，b 的值．（2）在（1）的条件下，求线段CD 的长．22．如图，点C 是线段AB 上一点，点M ，N ，P 分别是线段AC ，BC ，AB的试卷第5页，总10页中点．（1）若AB=12cm ，则MN 的长度是；（2）若AC=3cm ，CP=1cm ，求线段PN 的长度．23．如图，B 是线段AD 上一动点，沿A→D 以2cm/s 的速度运动，C 是线段BD 的中点，AD=10cm ，设点B 运动时间为t 秒．（1）当t=2时，①AB= cm ．②求线段CD 的长度．（2）在运动过程中，若AB 的中点为E ，则EC 的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．24．如图，点C 在线段AB 上，AC=8 cm ，CB=6 cm ，点M 、N 分别是AC 、BC的中点．（1）求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC +CB=a cm ，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=bcm ，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？25．如图，点C 在线段AB 上，AC=6cm ，MB=10cm ，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点．（1）求线段BC 、MN 的长；（2）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=6cm ，M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，求MN 的长度．26．（1）已知线段AB=8cm ，在线段AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 为线段AC 的中点，求线段AM 的长？若点C 在线段AB 的延长线上，AM 的长度又是多少呢？（2）如图，AD=12DB ，E 是BC 的中点，BE=15AC=2cm ，求DE 的长．27．如图，已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC=12AB ，D 为AC 的中点，DC=3cm ，求BD 的长．28．（1）如图，AB=5cm ，BC=3cm ，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC的中点，求线段MN 的长．（2）如图（1）中，AB=a ，BC=b ，其他条件不变，求MN 的长，你发现了什么规律？请把它写出来．29．已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C ，使BC=2AB ，在BA 的延长线上取一点D ，使DA=AB ，取AB 中点E ，若DE=7.5cm ，求DC 的长．30．如图，已知点C 为AB 上一点，AC=15cm ，CB=35AC ，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，求DE 的长．31．已知如图：线段AB=16cm ，点C 是AB 的中点，点D 在AC 的中点，求线段BD 的长．32．已知C 为线段AB 的中点，E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE 的中点．（1）若线段AB=a ，CE=b ，|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0，求a ，b 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE 的长；（3）如图2，若AB=15，AD=2BE ，求线段CE 的长．33．如图，已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为﹣2和8．（1）求线段AB 的长；（2）已知点P 为数轴上点A 左侧的一点，且M 为PA 的中点，N 为PB 的中点．请你画出图形，观察MN 的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN 的长；若改变，请说明理由．试卷第7页，总10页34．如图所示，在数轴上原点O 表示数0，A 点在原点的左侧，所表示的数是a ；B 点在原点的右侧，所表示的数是b ，并且a 、b 满足|a +8|+|b ﹣4|=0（1）点A 表示的数为，点B 表示的数为（2）若点P 从点A 出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B 出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P 、Q 两点同时运动，并且在点C 处相遇，试求点C 所表示的数．（3）在P 、Q 运动的过程中，当P 、Q 两点的距离为2个单位长度时，求点Q 表示的数．35．如图，已知线段AB=16 cm ，点M 在AB 上，AM ：BM=1：3，P 、Q 分别以AM ，AB 的中点，求PQ 的值．36．如图，线段AB ，在AB 的延长线上取点C ，使BC=2AB ，D 是AC 的中点，若AB=60cm ，求BD 的长．37．如图，C 是线段AB 的中点．（1）若点D 在CB 上，且DB=2cm ，AD=8cm ，求线段CD 的长度；（2）若将（1）中的“点D 在CB 上”改为“点D 在CB 的延长线上”，其它条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD 的长度．38．如图，已知AB=24cm ，CD=10cm ，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，求EF的长．39．如图，已知线段AB 上有两点C 、D ，且AC=BD ，M ，N 分别是线段AC ，AD 的中点，若AB=acm ，AC=BD=bcm ，且a 、b满足（a ﹣10）2+|b 2﹣4|=0．（1）求a 、b 的值；（2）求线段MN 的长度．40．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度）．慢车长CD=4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O 为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车A 在数轴上表示的数是a ，慢车头C 在数轴上表示的数是b ，若快车AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD 以4个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a +6|与（b ﹣18）2互为相反数．（1）求此时刻快车头A 与慢车头C 之间相距多少单位长度？（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒两列火车行驶到车头A 、C 相距8个单位长度？（3）此时在快车AB 上有一位爱到脑筋的七年级学生乘客P ，他发现行驶中有一段时间，他的位置P 到两列火车头A 、C 的距离和加上到两列火车尾B 、D 的距离和是一个不变的值（即PA +PC +PB +PD 为定值），你认为学生P 发现的这一结论是否正确？若正确，求出定值及所持续的时间；若不正确，请说明理由．41．如图，线段AB=12，动点P 从A 出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M 为AP 的中点．（1）出发多少秒后，PB=2AM ？（2）当P 在线段AB 上运动时，试说明2BM ﹣BP 为定值．（3）当P 在AB 延长线上运动时，N 为BP 的中点，下列两个结论：①MN 长度不变；②MA +PN 的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．42．如图，已知直线l 有两条可以左右移动的线段：AB=m ，CD=n ，且m ，n满足|m ﹣4|+（n ﹣8）2=0．（1）求线段AB ，CD 的长；（2）线段AB 的中点为M ，线段CD 中点为N ，线段AB 以每秒4个单位长度试卷第9页，总10页向右运动，线段CD 以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN=4，求线段BC 的长；（3）将线段CD 固定不动，线段AB 以每秒4个单位速度向右运动，M 、N分别为AB 、CD 中点，BC=24，在线段AB 向右运动的某一个时间段t 内，始终有MN +AD 为定值．求出这个定值，并直接写出t 在那一个时间段内．43．如图，点C 在线段AB 上，线段AC=8，BC=6，点M 、N 分别是AC 、BC的中点，求MN 的长度．（2）根据（1）的计算过程与结果，设AC +BC=a ，其它条件不变，你能猜想出MN 的长度吗？（3）若把（1）中的“点C 在线段AB 上”改为“点C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=b ，你能猜想出MN 的长度吗？写出你的结论，并说明理由．44．如图，已知线段AB=6cm ，延长线段AB 到C ，使BC=2AB ，若点D 是AC上一点，且AD 比DC 短4cm ，点E 是BC 的中点，求线段DE 的长．45．如图，M 是线段AB 的中点，点C 在线段AB 上，且AC=8cm ，N 是AC的中点，MN=6cm ，求线段AB 的长． 46．已知B 是线段AC 上不同于A 或C 的任意一点，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、AC 的中点，问：（1）MP=12BC 是否成立？为什么？（2）是否还有与（1）类似的结论？47．如图，已知线段AB 的长为12，点C 在线段AB 上，AC=12BC ，D 是AC 的中点，求线段BD 的长．48．如图，C 是AB 中点，D 是BC 上一点，E 是BD 的中点，AB=20，CD=2，求EB ，CE 的长．49．已知A 、B 两点在数轴上表示的数为a 和b ，M 、N均为数轴上的点，且OA ＜OB ．（1）若A 、B 的位置如图所示，试化简：|a |﹣|b |+|a +b |+|a ﹣b |．（2）如图，若|a |+|b |=8.9，MN=3，求图中以A 、N 、O 、M 、B 这5个点为端点的所有线段长度的和；（3）如图，M 为AB 中点，N 为OA 中点，且MN=2AB ﹣15，a=﹣3，若点P为数轴上一点，且PA=23AB ，试求点P 所对应的数为多少？50．如图，点P 是定长线段AB 上一定点，C 点从P 点、D 点从B 点同时出发分别以每秒a 、b 厘米的速度沿直线AB 向左运动，并满足下列条件： ①关于m 、n 的单项式2m 2n a 与﹣3m b n 的和仍为单项式．②当C 在线段AP 上，D 在线段BP 上时，C 、D 运动到任一时刻时，总有PD=2AC ．（1）直接写出：a= ，b= ．（2）判断ABAP = ，并说明理由．（3）在C 、D 运动过程中，M 、N 分别是CD 、PB 的中点，运动t 秒时，恰好t 秒时，恰好3AC=2MN ，求此时AB CD的值．1初一难点突破“线段的计算”50道（含详细解析）答案一．解答题（共50小题）1．如图所示，点A 在线段CB 上，AC=12AB ，点D 是线段BC 的中点．若CD=3，求线段AD 的长．【解答】解：∵点D 是线段BC 的中点，CD=3， ∴BC=2CD=6，∵AC=12AB ，AC +AB=CB ，∴AC=2，AB=4， ∴AD=CD ﹣AC=3﹣2=1，即线段AD 的长是1．2．已知线段AB=6，在直线AB 上取一点P ，恰好使AP=2PB ，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长．【解答】解：如图1所示，∵AP=2PB ，AB=6，∴PB=13AB=13×6=2，AP=23AB=23×6=4；∵点Q 为PB 的中点，∴PQ=QB=12PB=12×2=1；∴AQ=AP +PQ=4+1=5．如图2所示，∵AP=2PB ，AB=6， ∴AB=BP=6，∵点Q 为PB 的中点， ∴BQ=3，∴AQ=AB +BQ=6+3=9．故AQ 的长度为5或9．3．已知线段MN=3cm ，在线段MN 上取一点P ，使PM=PN ；延长线段MN到点A ，使AN=12MN ；延长线段NM 到点B ，使BN=3BM ．（1）根据题意，画出图形；（2）求线段AB 的长；（3）试说明点P 是哪些线段的中点．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵MN=3cm ，AN=12MN ，∴AN=1.5cm ， ∵BN=3BM ，∴BM=12MN=1.5cm ，∴AB=BM +MN +AN=6cm ；（3）∵点P 在线段MN 上，PM=PN ， ∴点P 是线段MN 的中点， ∵BM=AN=1.5cm ，PM=PN=1.5cm ， ∴BP=AP=3cm ，∴点P 是线段AB 的中点． 4．已知：点C 在直线AB 上．（1）若AB=2，AC=3，求BC 的长；（2）若点C 在射线AB 上，且BC=2AB ，取AC 的中点D ，已知线段BD 的长为1.5，求线段AB 的长．（要求：在备用图上补全图形）【解答】解：（1）若C 在A 的左边，则 BC=AB +AC=5；若C 在A 的右边，则 BC=AC ﹣AB=1．故BC 的长为5或1；（2）如图所示：∵点C 在射线AB 上，且BC=2AB ，D 是AC 的中点，∴AD=32AB ，∴BD=12AB ，3∵线段BD 的长为1.5， ∴线段AB 的长为3．5．如图，已知AC=16cm ，AB=13BC ，点C 是BD 的中点，求AD 的长．【解答】解：∵AC=16cm ，AB=13BC ，∴AB=14AC=4cm ，BC=16cm ﹣4cm=12cm ，∵点C 是BD 的中点， ∴CD=BC=12cm ，∴AD=AB +BC +CD=4cm +12cm +12cm=28cm ．6．如图，C 是线段AB 上一点，AB=20cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向右运动，终点为B ；点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 向左运动，终点为A ．已知P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点P 运动时间为xs ．（1）AC= 12 cm ；（2）当x= 203s 时，P 、Q 重合；（3）是否存在某一时刻，使得C 、P 、Q 这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）AC=AB ﹣BC=20﹣8=12（cm ），（2）20÷（2+1）=203（s ）．故当x=203s 时，P 、Q 重合；（3）存在，①C 是线段PQ 的中点，得 2x +20﹣x=2×12，解得x=4； ②P 为线段CQ 的中点，得12+20﹣x=2×2x ，解得x=325；③Q 为线段PC 的中点，得 2x +10=2×（20﹣x ），解得x=7；综上所述：x=4或x=325或x=7．故答案为：12；203．7．如图，线段AC=20cm ，BC=3AB ，N 线段BC 的中点，M 是线段BN 上的一点，且BM ：MN=2：3．求线段MN 的长度．【解答】解：∵AC=20cm ，BC=3AB ，∴BC=34×20=15cm ，∴AB=5cm ， ∵N 为BC 的中点， ∴BN=CN=7.5cm ， ∵BM ：MN=2：3，∴MN=35×7.5=4.5cm ．8．已知m ，n 满足算式（m ﹣6）2+|n ﹣2|=0．（1）求m ，n 的值；（2）已知线段AB=m ，在直线AB 上取一点P ，恰好使AP=nPB ，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长．【解答】解：（1）由条件可得（m ﹣6）2=0，|n ﹣2|=0，所以m=6，n=2．（2）当点P 在线段AB 之间时，AP=2PB ，所以AP=4，PB=2，而Q 为PB 的中点，所以PQ=1，故AQ=AP +PQ=5．当点P 在线段AB 的延长线上时， AP ﹣PB=AB ，即2PB ﹣PB=6，所以PB=6，而Q 为PB 的中点，所以BQ=3，AQ=AB +BQ=6+3=9．故线段AQ 的长为5或9．9．如图1，已知点C 在线段AB 上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．5（1）求线段MN 的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC +BC=a ，其他条件不变，求MN 的长度；（3）动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，点P 以2cm/s 的速度沿AB 向右运动，终点为B ，点Q 以1cm/s 的速度沿AB 向左运动，终点为A ，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C 、P 、Q 三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【解答】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴CM=12AC=5厘米，CN=12BC=3厘米，∴MN=CM +CN=8厘米；（2）∵点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴CM=12AC ，CN=12BC ，∴MN=CM +CN=12AC +12BC=12a ；（3）①当0＜t ≤5时，C 是线段PQ 的中点，得 10﹣2t=6﹣t ，解得t=4；②当5＜t ≤163时，P 为线段CQ 的中点，2t ﹣10=16﹣3t ，解得t=265；③当163＜t ≤6时，Q 为线段PC 的中点，6﹣t=3t ﹣16，解得t=112；④当6＜t ≤8时，C 为线段PQ 的中点，2t ﹣10=t ﹣6，解得t=4（舍），综上所述：t=4或265或112．10．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C 在线段AB 上，且AC ：CB=2：1，则点C 是线段AB 的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE=15cm ，点P 是DE 的三等分点，求DP 的长．（2）已知，线段AB=15cm ，如图3，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度在射线AB 上向点B 方向运动；点Q 从点B 出发，先向点A 方向运动，当与点P 重合后立马改变方向与点P 同向而行且速度始终为每秒2cm ，设运动时间为t 秒．①若点P 点Q 同时出发，且当点P 与点Q 重合时，求t 的值．②若点P 点Q 同时出发，且当点P 是线段AQ 的三等分点时，求t 的值．【解答】解：（1）当DP=2PE 时，DP=23DE=10cm ；当2DP=PE 时，DP=13DE=5cm ．综上所述：DP 的长为5cm 或10cm ．（2）①根据题意得：（1+2）t=15，解得：t=5．答：当t=5秒时，点P 与点Q 重合． ②（I ）点P 、Q 重合前：当2AP=PQ 时，有t +2t +2t=15，解得：t=3；当AP=2PQ 时，有t +12t +2t=15，解得：t=307；（II ）点P 、Q 重合后，当AP=2PQ 时，有t=2（t ﹣5），解得：t=10；当2AP=PQ 时，有2t=（t ﹣5），解得：t=﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t=3秒、307秒或10秒时，点P 是线段AQ 的三等分点．11．如图，点C 在线段AB 上，AC=8cm ，CB=6cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．（1）求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC +CB=a cm ，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=b cm ，M 、N 分别为AC 、7BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；【解答】解：（1）∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，AC=8cm ，CB=6cm ，∴CM=12AC=4cm ，CN=12BC=3cm ，∴MN=CM +CN=4+3=7cm ，即线段MN 的长是7cm ；（2）∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，AC +CB=acm ，∴CM=12AC ，CN=12BC ，∴MN=CM +CN=12AC +12BC=12（AC +BC ）=12acm ，即线段MN 的长是12acm ；（3）如图：MN=12b ，理由是：∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，AC ﹣CB=bcm ，∴CM=12AC ，CN=12BC ，∴MN=CM ﹣CN=12AC ﹣12BC=12（AC ﹣BC ）=12bcm ，即线段MN 的长是12bcm ．12．【新知理解】如图①，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”．（1）线段的中点是这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB=12cm ，点C 是线段AB 的巧点，则AC= 4或6或8 cm ；【解决问题】（3）如图②，已知AB=12cm ．动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t （s ）．当t 为何值时，A 、P 、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由【解答】解：（1）∵线段的长是线段中线长度的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”．故答案为：是；（2）∵AB=12cm ，点C 是线段AB 的巧点，∴AC=12×13=4cm 或AC=12×12=6cm 或AC=12×23=8cm ；故答案为：4或6或8；（3）t 秒后，AP=2t ，AQ=12﹣t （0≤t ≤6）①由题意可知A 不可能为P 、Q 两点的巧点，此情况排除． ②当P 为A 、Q 的巧点时，Ⅰ．AP=13AQ ，即2t =13(12−t)，解得t =127s ；Ⅱ．AP=12AQ ，即2t =12(12−t)，解得t =125s ；Ⅲ．AP=23AQ ，即2t =23(12−t)，解得t=3s ；③当Q 为A 、P 的巧点时，Ⅰ．AQ=13AP ，即(12−t)=2t ×13，解得t =365s （舍去）；Ⅱ．AQ=12AP ，即(12−t)=2t ×12，解得t=6s ；Ⅲ．AQ=23AP ，即(12−t)=2t ×23，解得t =367s ．13．已知，点C 是线段AB 的中点，AC=6．点D 在直线AB 上，且AD=12BD ．请画出相应的示意图，并求线段CD 的长．【解答】解：∵点C 是线段AB 的中点，AC=6， ∴AB=2AC=12，①如图，若点D 在线段AC 上，∵AD=12BD ，∴AD=13AB=4，9∴CD=AC ﹣AD=6﹣4=2．②如图，若点D 在线段AC 的反向延长线上，∵AD=12BD ，∴AD=AB=12，∴CD=AC +AD=6+12=18．综上所述，CD 的长为2或18．14．已知，如图B ，C 两点把线段AD 分成3：5：4三部分，M 为AD 的中点，BM=9cm ，求CM 和AD 的长【解答】解：设AB=3xcm ，BC=5xcm ，CD=4xcm ， ∴AD=AB +BC +CD=12xcm ， ∵M 是AD 的中点，∴AM=MD=12AD=6xcm ，∴BM=AM ﹣AB=6x ﹣3x=3xcm ， ∵BM=9 cm ， ∴3x=9，解得，x=3，∴CM=MD ﹣CD=6x ﹣4x=2x=2×3=6（cm ）， AD=12x=12×3=36（cm ）．15．已知线段AB=10cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，点D 是线段AC 的中点，试求线段AD 的长．【解答】解：分两种情况：①如图1，当点C 在线段 AB 上时，AC=AB ﹣BC=10﹣4=6cm ． ∵点D 是AC 的中点，∴AD=12AC=3cm ．②如图2，当点C 在线段 AB 的延长线上时，AC=AB +BC=10+4=14cm ． ∵点D 是AC 的中点，∴AD=12AC=7cm ．16．已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC=14AB ，D 为AC 的中点，若BD=6cm ，求AB 的长．【解答】解：设BC=x ，则AB=4x ， ∵D 为AC 中点， ∴AD=CD=2.5x ， ∵BD=CD ﹣BC=6cm ， ∴2.5x ﹣x=6，解得x=4， ∴AB=16cm ．17．如图，点A 、M 、B 、N 、C 在同一直线上顺次排列，点M 是线段AB 的中点，点N 是线段MC 的中点，点N 在点B 的右边．（1）填空：图中共有线段 10 条；（2）若AB=6，MC=7，求线段BN 的长；（3）若AB=a ，MC=7，将线段BN 的长用含a 的代数式表示出来．【解答】解：（1）图中共有线段1+2+3+4=10条；故答案为：10；（2）∵AB=6，点M 是线段AB 的中点，∴BM=12AB=3，∵MC=7，点N 是线段MC 的中点，∴NC=12MC=3.5，BC=MC ﹣BM=7﹣3=4，∴BN=BC ﹣NC=4﹣3.5=0.5；（3）∵AB=a ，点M 是线段AB 的中点，11∴BM=12AB=12a ，∵MC=7，点N 是线段MC 的中点，∴NC=12MC=3.5，BC=MC ﹣BM=7﹣12a ，∴BN=BC ﹣NC=7﹣12a ﹣3.5=3.5﹣12a ．18．如图，已知线段AB 的长为x ，延长线段AB 至点C ，使BC=12AB ．（1）用含x 的代数式表示线段BC 的长和AC 的长；（2）取线段AC 的中点D ，若DB=3，求x 的值．【解答】解：（1）∵AB=x ，BC=12AB ，∴BC=12x ，∵AC=AB +BC ，∴AC=x +12x=32x ．（2）∵AD=DC=12AC ，AC=32x ，∴DC=34x ，∵DB=3，BC=12x ，∵DB=DC ﹣BC ，∴3=34x ﹣12x ，∴x=12．19．如图，延长线段AB 到点F ，延长线BA 到点E ，点M 、N 分别是线段AE 、BF 的中点，若AE ：AB ：BF=1：2：3，且EF=18cm ，求线段MN 的长．【解答】解：设EA=xcm ，则AB=2xcm ，BF=3xcm ，EF=6xcm ． ∵点M ，N 分别是线段EA ，BF 的中点，∴EM=MA=12xcm ，BN=NF=32xcm ．∵AB=2xcm ，∴MN=MA +AB +BN=4xcm ． ∵EF=18cm ，∴6x=18，解得：x=3， ∴MN=4x=12cm ．20．如图，已知线段AB 和CD 的公共部分为BD ，且BD=13AB=14CD ，线段AB 、CD 的中点E 、F 之间距离是20，求AB 、CD 的长．【解答】解：设BD=x ，则AB=3x ，CD=4x ． ∵点E 、点F 分别为AB 、CD 的中点，∴AE=12AB=1.5x ，CF=12CD=2x ，AC=AB +CD ﹣BD=3x +4x ﹣x=6x ．∴EF=AC ﹣AE ﹣CF=6x ﹣1.5x ﹣2x=2.5x ． ∵EF=20， ∴2.5x=20，解得：x=8．∴AB=3x=24，CD=4x=32．21．如图，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE 的中点．（1）若线段AB=a ，CE=b ，且|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0，求a ，b 的值．（2）在（1）的条件下，求线段CD 的长．【解答】解：（1）∵|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0， ∴|a ﹣15|=0，（b ﹣4.5）2=0， ∵a 、b 均为非负数， ∴a=15，b=4.5，（2）∵点C 为线段AB 的中点，AB=15，CE=4.5，∴AC=12AB=7.5，∴AE=AC +CE=12，∵点D 为线段AE 的中点，∴DE=12AE=6，13∴CD=DE ﹣CE=6﹣4.5=1.5．22．如图，点C 是线段AB 上一点，点M ，N ，P 分别是线段AC ，BC ，AB 的中点．（1）若AB=12cm ，则MN 的长度是 6cm ；（2）若AC=3cm ，CP=1cm ，求线段PN 的长度．【解答】解：（1）∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=12AC ，CN=12BC ，∴MN=MC +CN=12AC +12BC=12（AC +BC ）=12AB=6cm ．故答案为6cm ；（2）∵AC=3cm ，CP=1cm ， ∴AP=AC +CP=4cm ， ∵P 是线段AB 的中点， ∴AB=2AP=8cm ． ∴CB=AB ﹣AC=5cm ，∵N 是线段CB 的中点，CN=12CB=2.5cm ，∴PN=CN ﹣CP=1.5cm ．23．如图，B 是线段AD 上一动点，沿A→D 以2cm/s 的速度运动，C 是线段BD 的中点，AD=10cm ，设点B 运动时间为t 秒．（1）当t=2时，①AB= 4 cm ．②求线段CD 的长度．（2）在运动过程中，若AB 的中点为E ，则EC 的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）①∵B 是线段AD 上一动点，沿A→D 以2cm/s 的速度运动， ∴当t=2时，AB=2×2=4cm ．故答案为：4；②∵AD=10cm ，AB=4cm ， ∴BD=10﹣4=6cm ， ∵C 是线段BD 的中点，∴CD=12BD=12×6=3cm ；（2）不变；∵AB 中点为E ，C 是线段BD 的中点，∴EB=12AB ，BC=12BD ，∴EC=EB +BC=12（AB +BD ）=12AD=12×10=5cm ． 24．如图，点C 在线段AB 上，AC=8 cm ，CB=6 cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．（1）求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC +CB=a cm ，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=bcm ，M 、N 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？【解答】解：（1）∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=12AC ，CN=12BC ，∵MN=MC +CN ，AB=AC +BC ，∴MN=12AB=7cm ；（2）MN=a2，∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=12AC ，CN=12BC ，又∵MN=MC +CN ，AB=AC +BC ，∴MN=12（AC +BC ）=a2；15（3）∵M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC=12AC ，NC=12BC ，又∵AB=AC ﹣BC ，NM=MC ﹣NC ，∴MN=12（AC ﹣BC ）=b2；（4）如图，只要满足点C 在线段AB 所在直线上，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．那么MN 就等于AB 的一半．25．如图，点C 在线段AB 上，AC=6cm ，MB=10cm ，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点．（1）求线段BC 、MN 的长；（2）若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC ﹣BC=6cm ，M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，求MN 的长度．【解答】解：（1）∵AC=6cm ，M 是AC 的中点，∴AM=MC=12AC=3cm ，∵MB=10cm ， ∴BC=MB ﹣MC=7cm ， ∵N 为BC 的中点，∴CN=12BC=3.5cm ，∴MN=MC +CN=6.5cm ；（2）如图，∵M 是AC 中点，N 是BC 中点，∴MC=12AC ，NC=12BC ，∵AC ﹣BC=bcm ， ∴MN=MC ﹣NC=12AC ﹣12BC =12（AC ﹣BC ）=12×6 =3（cm ）．26．（1）已知线段AB=8cm ，在线段AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 为线段AC 的中点，求线段AM 的长？若点C 在线段AB 的延长线上，AM 的长度又是多少呢？（2）如图，AD=12DB ，E 是BC 的中点，BE=15AC=2cm ，求DE 的长．【解答】解：（1）①当点C 在线段AB 上时，∵AB=8cm ，BC=4cm ， ∴AC=AB ﹣BC=8﹣4=4cm ， ∵M 是AC 中点，∴AM=12AC=2cm ．②当点C 在线段AB 的延长线上时，∵AB=8cm ，BC=4cm ， ∴AC=AB +BC=8+4=12cm ， ∵M 是AC 中点，∴AM=12AC=6cm ．（2）∵BE=15AC=2cm ，∴AC=10cm ， ∵E 是BC 中点， ∴BC=2BE=4cm ，∴AB=AC ﹣BC=10﹣4=6cm ，∵AD=12BD ，AD +BD=AB ，∴12BD +BD=AB=6cm ，17∴BD=4cm ，∴DE=BD +BE=4+2=6cm ．27．如图，已知线段AB ，延长AB 到C ，使BC=12AB ，D 为AC 的中点，DC=3cm ，求BD 的长．【解答】解：∵D 为AC 的中点，DC=3cm ， ∴AC=2DC=6cm ，∵BC=12AB ，∴BC=13AC=2cm ，∴BD=CD ﹣BC=1cm ．28．（1）如图，AB=5cm ，BC=3cm ，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，求线段MN 的长．（2）如图（1）中，AB=a ，BC=b ，其他条件不变，求MN 的长，你发现了什么规律？请把它写出来．【解答】解：（1）∵AB=5cm ，BC=3cm ， ∴AC=AB +BC=8cm ，∵点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，∴MC=12AC=4cm ，NC=12BC=1.5cm ，∴MN=MC ﹣NC=4cm ﹣1.5cm=2.5cm ；（2）∵AB=a ，BC=b ， ∴AC=AB +BC=a +b ，∵点M 是线段AC 的中点，点N 是线段BC 的中点，∴MC=12AC=12（a +b ），NC=12BC=12b ，∴MN=MC ﹣NC=12（a +b ）﹣12b=12a ；规律是：MN=12AB ．29．已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C ，使BC=2AB ，在BA 的延长线上取一点D ，使DA=AB ，取AB 中点E ，若DE=7.5cm ，求DC 的长．【解答】解：∵E是AB中点，∴AE=EB，设AE=x，则AB=2x，又∵DA=AB，∴DA=2x，∵BC=2AB，∴BC=4x，∵DE=7.5cm，∴3x=7.5，解得：x=2.5，∴DC=DA+AB+BC=2x+2x+4x=8x=8×2.5=20（cm）．30．如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=35AC，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长．【解答】解：∵AC=15cm，CB=35 AC，∴CB=35×15=9cm，∴AB=15+9=24cm．∵D，E分别为AC，AB的中点，∴AE=BE=12AB=12cm，DC=AD=12AC=7.5cm，∴DE=AE﹣AD=12﹣7.5=4.5cm．31．已知如图：线段AB=16cm，点C是AB的中点，点D在AC的中点，求线段BD的长．【解答】解：∵AB=16cm，点C是AB的中点，∴AC=BC=16÷2=8（cm）；∵点D在AC的中点，∴CD=8÷2=4（cm），∴BD=BC+CD=8+4=12（cm）．32．已知C为线段AB的中点，E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．19（1）若线段AB=a ，CE=b ，|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0，求a ，b 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE 的长；（3）如图2，若AB=15，AD=2BE ，求线段CE 的长．【解答】解：（1）∵|a ﹣15|+（b ﹣4.5）2=0， ∴|a ﹣15|=0，（b ﹣4.5）2=0， ∵a 、b 均为非负数， ∴a=15，b=4.5，（2）∵点C 为线段AB 的中点，AB=15，CE=4.5，∴AC=12AB=7.5，∴AE=AC +CE=12，∵点D 为线段AE 的中点，∴DE=12AE=6，（3）设EB=x ，则AD=2BE=2x ， ∵点D 为线段AE 的中点， ∴AD=DE=2x ， ∵AB=15， ∴AD +DE +BE=15， ∴x +2x +2x=15，解方程得：x=3，即BE=3， ∵AB=15，C 为AB 中点，∴BC=12AB=7.5，∴CE=BC ﹣BE=7.5﹣3=4.5．33．如图，已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为﹣2和8．（1）求线段AB 的长；（2）已知点P 为数轴上点A 左侧的一点，且M 为PA 的中点，N 为PB 的中点．请你画出图形，观察MN 的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN 的长；若改变，请说明理由．【解答】解：（1）∵A ，B 两点所表示的数分别为﹣2和8， ∴OA=2，OB=8， ∴AB=OA +OB=10．（2）如图，线段MN 的长度不发生变化，其值为5．理由如下： ∵M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，∴NP=12BP ，MP=12AP ，∴MN =NP −MP =12BP −12AP =12AB=5．34．如图所示，在数轴上原点O 表示数0，A 点在原点的左侧，所表示的数是a ；B 点在原点的右侧，所表示的数是b ，并且a 、b 满足|a +8|+|b ﹣4|=0（1）点A 表示的数为 ﹣8 ，点B 表示的数为 4（2）若点P 从点A 出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q 从点B 出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P 、Q 两点同时运动，并且在点C 处相遇，试求点C 所表示的数．（3）在P 、Q 运动的过程中，当P 、Q 两点的距离为2个单位长度时，求点Q 表示的数．【解答】解：（1）∵在数轴上原点O 表示数0，A 点在原点的左侧，所表示的数是a ；B 点在原点的右侧，所表示的数是b ，a 、b 满足|a +8|+|b ﹣4|=0， ∴a +8=0，b ﹣4=0，解得：a=﹣8，b=4，则点A 表示的数为：﹣8，点B 表示的数为：4；（2）设x 秒时两点相遇，则3x +x=4﹣（﹣8），21解得：x=3，即3秒时，两点相遇，此时点C 所表示的数为：﹣8+3×3=1；（3）当两点相遇前的距离为2个单位长度时， 3x +x=10，解得：x=52，此时此时点Q 所表示的数为：4﹣1×52=1.5；当两点相遇后的距离为2个单位长度时， 3x +x=14，解得：x=72，此时此时点Q 所表示的数为：4﹣1×72=0.5；综上所述：点Q 表示的数为：1.5或0.5．35．如图，已知线段AB=16 cm ，点M 在AB 上，AM ：BM=1：3，P 、Q 分别以AM ，AB 的中点，求PQ 的值．【解答】解：∵AB=16cm ，AM ：BM=1：3， ∴AM=4cm ．BM=12cm ，∵P ，Q 分别为AM ，AB 的中点，∴AP=12AM=2cm ，AQ=12AB=8cm ，∴PQ=AQ ﹣AP=6cm ．36．如图，线段AB ，在AB 的延长线上取点C ，使BC=2AB ，D 是AC 的中点，若AB=60cm ，求BD 的长．【解答】解：因为BC=2AB ，且AB=60cm ，所以BC=120cm ．所以AC=AB +BC=120+60=180cm ．因为D 为AC 中点，所以 AD=12AC=90cm ．。

三角形的中位线练习题

三角形的中位线练习题
1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形的中位线______于第三边，并且等于__ ．
3．一个三角形的中位线有_________条．
4.如图△ABC中，D、E分别是AB、
AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，
线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿
5、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点
（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm
如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm
（2）中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿
6．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______．
8、在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，P是BC上任意一点，那么△PDE与△ABC'面积比为_________ 9．如图所示，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，求证：OE∥BC．
10．如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求
证:EF=1
2
BD．
（4题）(5题)
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专题与线段上的中点有关的计算练习 2024—2025学年人教版数学七年级上册

专题与线段上的中点有关的计算刷难关双中点模型1[2024河南许昌期末,中]如图,点C是线段AB 上的一点,且AC<BC,M和N分别是AB 和BC 的中点，已知A C=10,NB=7,则线段MN的长度是A.3B.3.5C.4D.5子题练变式2[较难]如图,点C 在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点.(1)若AC=9cm,CB=6cm,求线段MN的长.(2)若C 为线段AB 上任一点,满足AC+CB=a cm，其他条件不变，你能猜想出MN 的长度吗?请说明理由.(3)若C 在线段AB 的延长线上,且满足AC-BC=b cm,点M,N分别为AC,BC的中点,你能猜想MN的长度吗?请画出图形，写出你的结论，并说明理由.3[较难]如图,A,B,C,D四点在同一直线上.(1)若AB=CD,①比较线段的大小:AC BD(填“>”“=”或“<”);AC,且AC = 12 cm,则AD 的长为cm.②若BC=34(2)若AB:BC:CD=3:4:5,且AB的中点M和CD 的中点N之间的距离是16 cm,求AD 的长.三中点模型4[2024新疆乌鲁木齐校级期末，中] 是个如图，点A ，B ，C 在同一直线上，H 为AC 的中点,M 为 AB 的中点,N 为BC 的中点,则下列说法:①MN=HC;②MN= 12(AC+HB);③MH= 12(AH-HB);④HN= 12(HC +HB ),其中正确的是 ( )A.①③B.②④C.①④D.①③④专题9 与线段上的中点有关的计算|双中点模型- 的中点的中点 1. D 【解析】因为 N 是BC 的中点,所以BN=CN,所以AB=AC+2BN=10+14=24.因为 M 是AB 的中点，所以 BM =12AB =12,所以MN=BM-BN=12-7=5,故选D. 2.【解】(1)因为AC=9 cm,点 M 是AC 的中点,所以 CM =12AC =4.5cm.因为 BC=6cm,点 N 是BC 的中点,所以 CN =12BC =3cm,所以MN=CM+CN=7.5cm,所以线段MN 的长度为7.5cm.(2)MN=12acm.理由：因为C 为线段AB 上一点,且M,N分别是AC,BC的中点,所以MN=MC+CN=12(AC+BC)=12acm.(3)能.当点C 在线段AB 的延长线上时，如图, MN=12bcm.理由：因为点M是AC的中点，所以CM=12AC.因为点Ⅳ是BC的中点，所以CN=12BC,所以MN=CM−CN=12(AC−BC)=12bcm.3.【解】(1)①因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC,即AC=BD.故答案为=.②因为BC=34AC,且AC=12cm,所以BC=34×12=9(cm),所以AB=CD=AC-BC=12-9=3(cm),所以AD=AC+CD=12+3=15(cm).故答案为15.(2)设AB=3xcm,BC=4x cm,CD=5x cm,则AD=12x cm.因为点M是AB的中点，点N是CD的中点，所以AM=BM=32xcm,CN=DN=52xcm.又因为MN=16 cm,所以32x+4x+52x=16,解得x=2,所以AD=24 cm.三中点模型4. D 【解析】因为H为AC的中点,M 为AB的中点，N为BC的中点，所以MN=12AC=HC,①正确,②错误; MH=MN−HN=12AC−(HC−CN)=12AC−12(AC−BC)=12AC−12AB=12(AC−AB)=12BC=12(HC−HB)=12(AH−HB),③正确; HN=HC−NC=12AC−12BC=12(AC−BC)=12AB=12(AH+HB)=12(HC+HB),④正确.所以①③④正确.故选D.。

部编数学七年级上册专题有关线段中点的计算问题大题专项提升训练(重难点培优)同步培优含答案

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题4.5有关线段中点的计算问题大题专项提升训练（重难点培优）一、解答题1．（2022·山东潍坊·七年级期中）已知点C在直线AB上，点M，N分别为AC，BC的中点．(1)如图所示，若C在线段AB上，AC=6厘米，MB=10厘米，求线段BC，MN的长；(2)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC―BC=a厘米，请根据题意画图，并求MN的长度（结果用含a的式子表示）．∵M是AC的中点，∵M是AC的中点，cm，CB=8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：(1)求AD的长度；(2)求DE的长度；(3)若M在直线AB上，且MB=6cm，求AM的长度．∴AM的长度为26cm或14cm．【点睛】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键．3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC 的中点，F为DE的中点(1)如图1，若AC=4，BC=6，求CF的长；(2)若AB=16CF，求AC的值；CB(3)若AC＞BC，AC―BC=a，取DC的中点G，CE的中点H，GH的中点P，求CP的长(用含a 的式子表示)．设AC=x，BC=y，即x―y=a，则DC 的中点，如果CD=4cm，(1)求AC的长度；(2)若点E是线段AC的中点，求ED的长度．分别是线段AB、BP的中点．(1)如图1，点B在线段AP上一点，AP=15，求MN的长；(2)如图2，点B在线段AP的延长线上，AM-PN=3.5，点C为直线AB上一点，CA+CP=13，求CP长．CP+CA=CP+(CP+AP)=13，即CP+(CP+7)=13，解得CP=3；当点C在点A的左侧时，CA+CP=CA+(CA+AP)=13，即CA+(CA+7)=13，解得CA=3，∴CP=CA+AP=3+7=10．综上所述，CP的长为3或10．【点睛】本题考查中点的定义和线段的和差关系，解题的关键是熟练运用分类讨论思想，避免漏解．6．（2021·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）如图，已知线段AB=24，动点P从A 出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．(1)若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=AM？(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．7．（2022·河南郑州·七年级期末）如图，点A，C，E，B，D在同一条直线上，且AB=CD，点E是线段AD的中点．(1)点E是线段BC的中点吗？说明理由；(2)若AB=11，CE=3，求线段AD的长．【答案】(1)点E是线段BC的中点．理由见解析(2)16【分析】（1）先根据线段和差可得AC=BD，再根据线段中点的定义可得AE=DE，然后根据线段和差即可得出结论；（2）先根据（1）的结论可得BC=CE+BE=6，从而可得AC=5，再根据CD=AB可得CD=11，然后根据AD=AC+CD即可得．（1）解：点E是线段BC的中点．理由如下：因为AB=CD，所以AB―BC=CD―BC，即AC=BD，又因为E是线段AD的中点，所以AE=DE，所以AE―AC=DE―BD，即CE=BE，所以点E是线段BC的中点．（2）解：因为CE=3,CE=BE，所以BC=CE+BE=3+3=6，又因为AB=11，所以AC=AB―BC=11―6=5，又因为CD=AB=11，所以AD=AC+CD=5+11=16．【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．8．（2021·江西鹰潭·七年级期中）已知，点A，B，C在同一条直线上，点M为线段AC的中点、点N为线段BC的中点，(1)如图，当点C在线段AB上时；①若线段AB=10，BC=4，求MN的长度；②若AB=a，则MN=_______．(2)若AC=10，BC=n，直接写出MN的长度．（用含n的代数式表示）点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）(1)线段BA的长度为____，当t =3时，点P所表示的数是____；(2)求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；(3)在运动过程中，当PB=2时，求运动时间t．∴|20―2t―5|=2，∴20―2t―5=2，或20―2t―5=―2，解得t=6.5，或t=8.5．综上所述，所求t的值为1.5或3.5或6.5或8.5．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键．10．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校七年级期末）已知：如图，点C、D 在线段AB上，AB，AB＝12．点D是AB中点，AC=13(1)求线段CD的长；(2)E是线段BD上一点，且DE＝CD，请在图中画出点E，并证明C是AE的中点．CD的长为1．(1)求AB的长度；(2)若点E为BC中点，试求DE的长度．【答案】(1)10(2)3【分析】（1）根据AC和CD得到AD，再根据中点的定义求出AB；（2）先求出BC，根据中点的定义得到CE，再加上CD即可得到DE．（1）解：∵AC=6，CD=1，∴AD=AC-CD=5，∵点D为AB中点，∴AB=2AD=10；（2）∵AB=10，AC=6，∴BC=AB-AC=4，∵E为BC中点，∴BE=CE=2，∴DE=CD+CE=1+2=3．【点睛】本题考查了中点的定义，线段的和差，解题的关键是掌握中点平分一条线段．12．（2022·山东东营·期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D 为线段AE的中点．(1)若线段AB＝a，CE＝b且(a―16)2+|2b―8|=0，求a，b的值；(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，【答案】(1)a=16，b=4；(2)CD=2．【分析】（1）根据非负数的性质即可推出a、b的值；（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC=8，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度，再根据线段的和差关系可求出CD的长度．（1）BC的中点．(1)若AM＝2，BC＝8，求MN的长度；(2)若AB＝14，求MN的长度．【点睛】此题考查了两点间距离，解题的关键是熟练掌握线段的中点性质．14．（2021·贵州毕节·七年级阶段练习）（1）如图，已知平面内A、B两点用没有刻度的直尺和圆规按下列要求尺规作图，并保留作图痕迹①连接AB；②反向延长线段AB到C，使AC ＝AB；③延长线段AB到D，使AD＝3AB．（2）若点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，AB＝4cm，求线段EF、CD的长度，并说明线段EF、CD的数量关系．【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）EF＝8cm，CD＝16cm，CD＝2EF【分析】（1）根据要求作图即可．（2）根据线段中点的定义可得出答案．【详解】解：（1）①如图，线段AB即为所求．②如图，线段AC即为所求．③如图，线段AD即为所求．（2）∵AB=AC=4cm，AD=3AB=12cm，点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，∴AE=2cm，AF=6cm，∴EF=AE+AF=8cm，CD=AC+AD=16cm，∴CD=2EF．【点睛】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段等知识，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义．15．（2022·全国·七年级专题练习）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB 的中点．BC，求线段CD的长度；(1)点D在线段AB上，且AB=6，BD=13(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当AD:BD=2:3时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．【答案】(1)线段CD的长度为2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析【分析】（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可；（2）分两种情况讨论，当点D在线段AB上和点D在BA延长线上时，利用设元的方法，分别表示出AB以及CD、CE的长，即可得到CD与CE的数量关系．【详解】（1）解：如图1，∵点C是线段AB的中点，AB=6 AB=3，∴BC=12设AD=2x，则BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，设AD=2a，则BD=3a，∴AB=BD-AD=a，M是AB的中点，N是AC的中点．求：(1)线段CM的长；(2)求线段MN的长．【答案】(1)1cm(2)3cm【分析】（1）根据M是AB的中点，求出AM，再利用CM＝AM−AC求得线段CM的长；（2）根据N是AC的中点求出NC的长度，再利用MN＝CM＋NC即可求出MN的长度．（1）解：∵AB＝10，M是AB的中点，∴AM＝5，又∵AC＝4，∴CM＝AM﹣AC＝5﹣4＝1（cm）．∴线段CM的长为1cm；（2）解：∵N是AC的中点，∴NC＝2，∴MN＝NC＋CM，2＋1＝3（cm），∴线段MN的长为3cm．【点睛】本题主要考查两点间的距离，线段中点的运用，知道线段的中点把线段分成两条相等的线段是解题的关键．17．（2021·山东·高青县教学研究室期中）如图，点C，E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB＝6，CD＝1．(1)求BC的长；(2)若AE：EC＝1：3，求EC的长．【答案】(1)BC＝2在线段AD上．(1)图中共有条线段；(2)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；②如图2，若AD＝20，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度．【答案】(1)6(2)①＝；②16【分析】（1）依据B、C在线段AD上，即可得到图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD；题）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．(1)若AB＝CD．①比较线段的大小：AC BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；AC，且AC＝12cm，则AD的长为cm；②若BC＝34(2)若线段AD被点B、C分成了3∶4∶5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．【答案】(1)①=；②15(2)24cm【分析】（1）①由已知同加BC即得答案；②求出BC和AB，根据AB=CD得到CD，即可得到AD；（2）根据题意画出图形，设AB=3x，BC=4x，CD=5x，根据线段的和差关系求得MN，根据题意列出方程进而即可求解．（1）①∵AB=CD，∴BM=AM=32x,CN点C在线段AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度；（2）已知：如图2，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点，AC+CB＝a，求MN的长度；（3）已知：如图3，点C在直线AB上，线段AC＝15，BC=5，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度．∵点M、N分别是AC，BC中点，11（苏科版））如图，O为数轴原点，点A原点左侧，点B在原点右侧，且OB＝2OA，AB＝18．(1)求A、B两点所表示的数各是多少；(2)P、Q为线段AB上两点，且QB＝2PA，设PA＝m，请用含m的式子表示线段PQ；(3)在②的条件下，M为线段PQ的中点，若OM＝1，请直接写出m的值．【答案】(1)A表示的数为﹣6，B表示的数为12(2)18﹣3m或3m﹣18(3)m＝4或m＝8【分析】（1）由题意可求得OB＝12，OA＝6，从而可表示出点A，B所表示的数；（2）分两种情况进行讨论：①点P在点Q的左侧；②点P在点Q的右侧，再利用相应的线段的关系可以求解；PQ＝AB﹣PA﹣BQ＝18﹣3m；②当点P在点Q的右侧时，如图，PQ＝QB﹣（AB﹣PA）＝3m﹣18，∴线段PQ的长是18﹣3m或3m﹣18．直线l上，且AB＝18cm，点C是AB的中点．(1)若点P 是直线l 上的动点，且PB ＝5cm ，则CP ＝ cm ；(2)若点Q 是AB 的延长线上一点，点M 、N 分别是AQ 、BQ 的中点，求线段MN 的长．【点睛】本题考查两点间的距离，线段的和差关系，熟练掌握线段中点的定义与线段的和差直线l 上的两点，点C 、D 在直线l 上且点C 在点D 的左侧，点D 在点B 的右侧，且AC ＝13BC ，BD ＝12AB ．(1)若AB ＝8，求线段CD 的长；(2)若CD ＝m ，则线段AB 的长为（用含m 含的代数式表示）．∵AC=1BC，AB=8，∵AC=1BC，AB=8，∵AC=1BC，∵AC=1BC，四点在同一直线上．(1)若AB=CD．①比较线段的大小：AC________BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；AC，且AC=16cm，则AD的长为________cm；②若BC=34(2)若线段AD被点B、C分成了2：3：4三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18cm，求AD的长．(2)解：如图所示，设每份为x，则AB=2x，BC=3x，CD=4x，AD=9x，∵M是AB的中点，点N是CD的中点N，∴AM=BM=x，CN=DN=2x又∵MN=18，∴x+3x+2x=18，解得，x=3，∴AD=9x=27(cm)．【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，解题的关键是理解线段中点的意义．25．（江苏省苏州市振华中学校2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）已知线段AB= a，小明在线段AB上任意取了点C然后又分别取出AC、BC的中点M、N的线段MN（如图1）；小红在线段AB的延长线上任意取了点D，然后又分别取出AD、BD的中点E、F的线段EF（如图2）(1)试判断线段MN与线段EF的大小，并说明理由．(2)若EF=x，AD=4x+1，BD=x+3，求x的值．a；∴MN=12如图2，得EF=ED-FD=1AD―1BD=1(AD―BD)，AB，D为线段BC的中点．（如图），C是AB反向延长线上的点，且AC=13(1)将CD的长用含a的代数式表示为________；(2)若AD=3cm，求a的值．cm，C是线段AB上一点，AC=6cm，D、E分别是AB、BC的中点．(1)求线段CD的长；(2)求线段DE的长．28．（江苏省盐城市射阳县第六中学2021-2022学年七年级上学期期末数学试题（b卷））如图，已知点D是线段AB上一点，点C是线段AB的中点，若AB＝10cm，BD＝4cm．(1)求线段CD的长；BD，求线段AE的长．(2)若点E是线段AB上一点，且BE=12BD=2cm∵BE=12∴AE=AB线段AB上一点，AB＝m，BC＝n，M、N分别为AB、BC的中点．(1)若m＝10，n＝3，求MN的长；(2)若m＝3n，求CN的值．MN已知数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7．（1）AB= ；（2）点P、点Q分别从点A、点B出发同时向右运动，点P的速度为每秒4个单位，点Q 的速度为每秒2个单位，经过多少秒，点P与点Q相遇？（3）如图2，线段AC的长度为3个单位，线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t 秒．①t为何值时，点B恰好在线段AC的中点M处．②t为何值时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．。

线段的计算(中点专题)

线段的计算（中点专题）1．如图，C、D在线段AB上，48CD mm=．求线段BC=，且D为BC的中点，18AB mm和AD的长．2．如图，点C在线段AB上，9=，D是AC的中点，求AD长．AB=，2AC CB3．如图：已知8=，C为AB的中点，求线段DC的长．BD cm=，3AB cm4．如图，点C在线段AB上，线段15=，AB cmCN cm=，点M，N分别是AC，BC的中点，3求线段MC的长度．5．如图，已知点B在线段AC上，8AB cm=，10BC cm=，点P，Q分别为AB，AC的中点．（1）线段AC的长为cm，线段PC的长为cm；（2）求线段PQ的长．6．（1）如图，已知点C在线段AB上，8AC cm=，6BC cm=，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）题中，如果AC acm=，BC bcm=，其他条件不变，求此时线段MN的长度．7．已知，点C是线段AB的中点，6AC=，点D在直线AB上，且12AD BD=．请画出相应的示意图，并求线段AD的长．8．如图，已知线段10AB cm =，2CD cm =，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点．（1）若3AC cm =，求线段EF 的长度．（2）当线段CD 在线段AB 上从左向右或从右向左运动时，试判断线段EF 的长度是否发生变化，如果不变，请求出线段EF 的长度；如果变化，请说明理由．9．如图，C 为线段AB 上一点，点D 为BC 的中点，且30AB cm =，4AC CD =．（1）求AC 的长；（2）若点E 在直线AB 上，且5EA cm =，求BE 的长．10．如图，12AB cm =，点C 是线段AB 的中点，D 、E 分别是线段AC 、CB 上的点，13AD AC =，8DE cm =，求线段CE 的长．11．如图，已知点A，B，C，D，E在同一直线上，且AC BD=，E是线段BC的中点．（1）点E是线段AD的中点吗？请说明理由；（2）当30AD=，9AB=时，求线段BE的长度．12．如图，B是线段AD上一动点，沿A D Acm s的速度往返运动1次，C是线→→以3/段BD的中点，15t．AD cm=，设点B运动时间为t秒(010)（1）当2t=时，求线段AB和CD的长度．（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长．（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变．求出EC的长；若发生变化，请说明理由．13．已知关于m的方程11223m m m+=-的解也是关于x的方程2(3)13x n--=的解．（1）求m、n的值．（2）若线段AB m=，在直线AB上取一点P，恰好使APnPB=，点Q为AP的中点，求线段BQ的长．（3）若线段AB m=，点A，B分别以2个单位/秒和5个单位/秒的速度向左而行，经过几秒，A、B两点相距2个单位．14．已知：如图，一条直线上依次有A 、B 、C 三点．（1）若60BC =，3AC AB =，求AB 的长；（2）若点D 是射线CB 上一点，点M 为BD 的中点，点N 为CD 的中点，求BCMN的值；（3）当点P 在线段BC 的延长线上运动时，点E 是AP 中点，点F 是BC 中点，下列结论中： ①AC BPEF+是定值； ②||AC BPEF-是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．。

七年级数学线段的练习题

七年级数学线段的练习题亲爱的同学们，今天我们来练习一下关于数学中线段的相关知识。

线段是几何学中非常基础的概念，它由两个端点和它们之间的所有点组成。

下面，我为大家准备了一些练习题，帮助大家加深对线段概念的理解。

练习题一：线段的表示方法1. 用线段的端点表示下列线段：A(3,4)，B(6,8)。

2. 如果线段AB的端点分别是A(-2,1)和B(5,-3)，请用数学符号表示这条线段。

练习题二：线段的长度计算1. 计算线段AB的长度，其中A(1,2)，B(4,5)。

2. 给定线段CD，C(-1,-1)，D(3,2)，求线段CD的长度。

练习题三：线段的中点坐标1. 求线段AB的中点坐标，A(2,3)，B(6,7)。

2. 如果线段EF的端点是E(-3,4)和F(1,-2)，请计算线段EF的中点坐标。

练习题四：线段的垂直平分线1. 给定线段GH，G(0,0)，H(4,4)，求线段GH的垂直平分线方程。

2. 线段IJ的端点是I(-2,-3)和J(2,3)，请找出线段IJ的垂直平分线方程。

练习题五：线段的对称性1. 在平面直角坐标系中，线段KL关于x轴对称，K(-1,2)，请找出点L的坐标。

2. 线段MN关于y轴对称，M(3,-1)，请计算点N的坐标。

练习题六：线段的延伸和缩短1. 线段OP，O(0,0)，P(3,0)，若将线段OP延伸至Q，使得PQ=2OP，求点Q的坐标。

2. 线段RS，R(-4,0)，S(0,0)，若将线段RS缩短至T，使得ST=RS/2，求点T的坐标。

同学们，通过这些练习题，我们可以更好地理解线段的性质和计算方法。

请大家认真完成这些题目，并在完成后检查自己的答案。

如果有任何疑问，欢迎随时提问。

数学是一门需要不断练习和思考的学科，希望你们能够享受解题的过程，并从中获得知识和乐趣。

祝学习愉快！。

线段问题练习题

线段问题练习题线段问题是数学中的一个重要内容，需要运用线段的性质和相关的定理来解决。

在这篇文章中，我将为大家提供一些线段问题的练习题，通过解答这些问题，帮助大家巩固对线段相关知识的理解。

1.问题一：给定直角坐标系上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求线段AB的长度。

解析：根据两点间距离公式可以求得线段AB的长度。

设直角三角形ABC，其中AB为斜边，则根据勾股定理有：AB²=BC²+AC²。

由于直角三角形ACB的坐标可以通过已知点坐标求得，因此可以计算得出线段AB的长度。

2.问题二：已知直角坐标系上的线段AB的长度l和点A(x1, y1)的坐标，求点B(x2, y2)的坐标。

解析：设A(x1, y1)和B(x2, y2)，则根据两点间距离公式有：l =√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

由此可以得到一个方程，通过解这个方程可以求解点B的坐标。

3.问题三：已知直角坐标系上的线段AB的中点M的坐标和点A(x1, y1)的坐标，求点B(x2, y2)的坐标。

解析：设A(x1, y1)和B(x2, y2)，M的坐标为M(xm, ym)。

由于M是AB的中点，可以得到以下两个方程：(x1+x2)/2 = xm 和 (y1+y2)/2 = ym。

通过解这个方程组，可以求解点B的坐标。

4.问题四：在正方形ABCD中，已知点E为线段AB的中点，求线段CE的长度。

解析：由于E是AB的中点，可以得知CE与AE和BC平行，根据平行线的性质有：CE = AB。

5.问题五：已知线段AB与原点O之间的距离为d，求线段AB的长度。

解析：设线段AB的长度为l，根据两点间距离公式有：l = √(x²+y²)。

由于AB与原点O之间的距离为d，可以得到一个方程：d = √(x²+y²)。

通过解这个方程，可以求解线段AB的长度。

通过以上几个练习题，我们可以加深对线段问题相关知识的理解和掌握。

七上数学每日一练：线段的中点练习题及答案_2020年单选题版

七上数学每日一练：线段的中点练习题及答案_2020年单选题版答案答案答案答案答案答案2020年七上数学：图形的性质_图形认识初步_线段的中点练习题~~第1题~~(2020鄞州.七上期末) 已知点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 上一点，下列条件不能确定点D 是线段BC 的中点的条件是( )A . CD=DB B . BD= ADC . 2AD=3BCD . 3AD=4BC考点：线段的中点;~~第2题~~(2019绍兴.七上期末) 已知线段 AB ＝10cm ，直线 AB 上有一点 C ，且 BC ＝4cm ，M 是线段 AC 的中点，则 AM 的长（）A . 7cmB . 3cmC . 3cm 或 7cmD . 7cm 或 9cm考点：线段的长短比较与计算;线段的中点;~~第3题~~(2020盐城.七上期末) 已知点C 在线段AB 上，则下列条件中，不能确定点C 是线段AB 中点的是（）A . AC ＝BCB . AB ＝2AC C . AC +BC ＝ABD .考点：线段的中点;~~第4题~~(2020苏州.七上期末)如图，点C 是AB的中点，点D 是BC 的中点，则下列等式中正确的有（）① ② ③ ④A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个考点：线段的长短比较与计算;线段的中点;~~第5题~~(2020武城.七上期末) 如图，点C 是线段AB 上一点，有下列等式：①AC=CB ②AC= AB ；③AB-AC=BC ；④AB=2A C·其中能说明点C 是线段AB 中点的是( )A . ①②③B . ①②④C . ①③④D . ②③④考点：线段的中点;~~第6题~~(2020商河.七上期末) 下列说法正确是（）A . 若AB ＝BC,则点B 为线段AC 的中点 B . 射线AB 和射线BA 是同一条射线 C . 两点之间的线段就是两点之间的距离D . 两点确定一条直线考点：直线、射线、线段;直线的性质：两点确定一条直线;两点间的距离;线段的中点;~~第7题~~(2020武昌.七上期末) 如图，D、E 顺次为线段AB 上的两点，AB=19，BE －DE=7，C 为AD 的中点，则AE －AC 的值为( )A . 5B . 6C . 7D . 8答案答案答案答案考点：线段的长短比较与计算;线段的中点;~~第8题~~(2020南京.七上期末) 下列说法：①两点之间，直线最短； ②若AC ＝BC ，则点C 是线段AB 的中点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的说法有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个考点：线段的性质：两点之间线段最短;线段的中点;垂线;平行公理及推论;~~第9题~~(2020浦北.七上期末) 如图，点在线段上，，点是的中点，若，则等于（）A .B .C .D . 考点：线段的长短比较与计算;线段的中点;~~第10题~~(2019慈溪.七上期末) 如图，点C 是AB 的中点，点D 是BC 的中点，现给出下列等式：①CD=AC-DB ，②CD= AB ，③CD=AD-BC ，④BD=2AD-AB.其中正确的等式编号是（）A .B .C .D .考点：线段的长短比较与计算;线段的中点;2020年七上数学：图形的性质_图形认识初步_线段的中点练习题答案1.答案：D2.答案：C3.答案：C4.答案：B5.答案：B6.答案：D7.答案：B8.答案：A9.答案：A10.答案：B。

三角形的中位线练习题(含答案)

三角形的中位线练习题三角形中位线定义： .符号语言：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点, 则：线段DE 是△ABC 的__ __，三不同点：①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点。

②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点。

相同点：都是一条线段，都有三条。

三角形中位线定理： .符号语言表述：∵DE 是△ABC 的中位线（或AD=BD,AE=CE) ∴DE //21BC练习1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿，线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点（1）假如EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 假如AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm （2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ．(1) (2) (3) (4)7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ．8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（）E DBEDAA ．4.5cmB ．18cmC ．9cmD ．36cm10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个方法：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（） A ．15m B ．25m C ．30m D ．20m11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成其次个三角形，•再连结其次个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（） A ．线段EF 的长渐渐增大 B ．线段EF 的长渐渐削减 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（）A ．10B ．20C ．30D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．15.已知矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；16．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．BG A E FH D C 图5 17．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．18．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．19.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。

三角形中位线练习题初二

三角形中位线练习题初二三角形中位线是指连接三角形的一个顶点和对边中点所得到的线段。

在初二数学中，我们学习了关于三角形中位线的性质以及相关的练习题。

接下来，我们将通过几个练习题来加深对三角形中位线的理解。

练习题一:已知三角形ABC，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。

若DE=5cm，EF=8cm，FD=7cm，求三角形ABC的周长。

解析：首先，我们可以根据中位线的定义得出一个结论：三角形的三条中位线相互交于同一点，并且交点到各顶点的距离为中位线长度的二分之一。

根据这一结论，我们可以得出以下等式：DE = EF = FD = (BC + AC + AB) / 2代入已知条件，得到：5 + 8 + 7 = (BC + AC + AB) / 2解方程，得到：20 = BC + AC + AB即三角形ABC的周长为20cm。

练习题二：已知三角形ABC的边长分别为AB = 10cm，BC = 12cm，AC = 8cm，求三角形DEF的周长，其中D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。

解析：根据练习题一的结论，我们知道三角形DEF的周长等于三角形ABC的周长的一半。

所以，三角形DEF的周长为10 + 12 + 8 = 30cm。

练习题三：已知三角形ABC的边长分别为AB = 12cm，BC = 9cm，AC = 15cm，O为三角形ABC的重心，求DO的长度。

解析：重心是指三角形的三条中位线相交的点。

根据中位线的性质，重心到各顶点的距离为中位线长度的三分之一。

所以，DO = 12 / 3 = 4cm。

练习题四：在三角形ABC中，AD是BC的中线，且AD = 4cm。

已知AC =12cm，求BD的长度。

解析：中位线的性质告诉我们，中位线等于对边的一半。

所以，BD = BC / 2。

根据题意，可得AC = AD + DC。

代入已知条件，得到12 = 4 + DC。

解方程，得到DC = 8cm。

由BD = BC / 2，又有BC = BD + DC。

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1.如图所示,AC＝_____＋_____＝______－______；若AB＝BC＝CD,那么图中有______个点是线段的中点.
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2、如图，CB=4cm,DB=7cm，点D为
•AC的中点，则AB的长为多少？
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3. 在直线上顺次取A、B、C三点，使得AB=5㎝，BC=3㎝，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是多少？
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4、如图，CB=5cm,DB=9cm，点D为
•AC的中点，则AB的长为多少？
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5、如图，已知点C是线段AB上一点，AC=6，BC=4，点M是AC的中点,点N是CB的中点，则线段MN的长度是多少？
6、已知B、C、D是线段AE上的点，如果AB = BC = CE，D是CE的中点，BD = 6，则AE是多少？
7、如图，已知线段AB=6，延长线段AB 到C ，使BC ＝2AB ，点D 是AC 的中点. 求：（1）AC 的长；（2）BD 的长.
8．如下图已知线段AD =16cm ，线段AC =BD =10cm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF 长为多少？
9、在数轴上有两个点A 和B ，A 在原点左侧到原点的距离为6，B 在原点右侧到原点的距离为4，M ，N 分别是线段AO 和BO 的中点，写出A 和B 表示的数；求线段MN 的长度。

10.如图，延长线段AB 到C ，使BC=3AB,点D 是线段BC 的中点，如果CD=3㎝，那么线段AC 的长度是多少?
11. 已知M 是线段AB 所在直线上任一点，且C 为AM 的中点， D 为BM 中点, 若AB=10, 求CD 的长.
F E B C D A B。