高二数学数列中裂项求和的几种常见模型知识点分析新人教版

合集下载

新人教版高中数学选择性必修第二册错位相减法、裂项相消法求和

习题课错位相减法、裂项相消法求和学习目标1.熟练掌握等差和等比数列前n 项和的结构特点以及各个符号的意义.2.掌握错位相减和裂项相消求和的一般过程和思路．一、错位相减法例1求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．解当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1，∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得，S n x ＝1，－nx n ＋11－x ，x ≠1且x ≠0.反思感悟(1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．(2)用错位相减法求和时，应注意：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．跟踪训练1已知数列{a n }的前n 项和为S n1的等差数列，且a 2＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)1的等差数列，∴Sn n＝a 1＋n －1，可得S n ＝n (a 1＋n －1)，∴a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，且a 2＝3.解得a 1＝1.∴S n ＝n 2.∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ＝1时也成立)．∴a n ＝2n －1.(2)b n＝a n·3n＝(2n－1)·3n，∴数列{b n}的前n项和T n＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，∴3T n＝32＋3×33＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1，∴－2T n＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1＝3＋2×9(3n－1－1)3－1－(2n－1)×3n＋1，可得T n＝3＋(n－1)×3n＋1.二、裂项相消法问题已知数列a n＝1n(n＋1)，如何求{a n}的前n项和S n.提示a n＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1，S n＝a1＋a2＋…＋a n＝1－1n＋1＝nn＋1.知识梳理常见的裂项求和的形式：①1n(n＋k)＝②1(2n－1)(2n＋1)＝③2n(2n＋1)(2n＋1＋1)＝12n＋1－12n＋1＋1④1n(n＋1)(n＋2)＝121n(n＋1)－1(n＋1)(n＋2)；⑤1n＋1＋n＝n＋1－n；⑥ln(n＋1)－ln n.注意点：(1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系；(2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组；(3)检验所留的正项与负项的个数是否相同．例2已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S2＝2，S4＝16，{a n＋1}是等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a n>0，设b n＝log2(3a n＋3)n项和．解(1)设等比数列{a n ＋1}的公比为q ，其前n 项和为T n ，因为S 2＝2，S 4＝16，所以T 2＝4，T 4＝20，易知q ≠1，所以T 2＝(a 1＋1)(1－q 2)1－q ＝4，①T 4＝(a 1＋1)(1－q 4)1－q ＝20，②由②①得1＋q 2＝5，解得q ＝±2.当q ＝2时，a 1＝13，所以a n ＋1＝43×2n －1＝2n ＋13；当q ＝－2时，a 1＝－5，所以a n ＋1＝(－4)×(－2)n －1＝－(－2)n ＋1.所以a n ＝2n ＋13－1或a n ＝－(－2)n ＋1－1.(2)因为a n >0，所以a n ＝2n ＋13－1，所以b n ＝log 2(3a n ＋3)＝n ＋1，所以1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，n 项和为…＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2).反思感悟(1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的．(2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．跟踪训练2设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求a n ；(2)设b n ＝1S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解(1)设数列{a n }的公差为d ，a 1＋3d ＝a 1＋6d ，a 1＋7d )－2(a 1＋2d )＝3，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n ＋2)，∴b n＝1n(n＋2)＝∴T n＝b1＋b2＋…＋b n－1＋b n＋12－1n＋1－＝34－1．知识清单：(1)错位相减法求和．(2)裂项相消法求和．2．方法归纳：公式法、错位相减法、裂项相消法．3．常见误区：错位相减法中要注意项的符号以及化简合并；裂项求和中要关注正项与负项的个数是否相同．1．已知a n＝1n＋1＋n(n∈N*)，则a1＋a2＋a3＋…＋a80等于()A．7B．8C．9D．10答案B解析因为a n＝1n＋1＋n＝n＋1－n(n∈N*)，所以a1＋a2＋a3＋…＋a80＝2－1＋3－2＋…＋81－80＝9－1＝8.2．数列12×5，15×8，18×11，…，1(3n－1)×(3n＋2)，…的前n项和为()A.n3n＋2B.n6n＋4C.3n6n＋4D.n＋1n＋2答案B解析由数列通项公式1(3n－1)(3n＋2)＝得前n 项和S n－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－＝n 6n ＋4.32021项和为________．答案20211011解析因为2n (n ＋1)＝所以S 2021＝－12＋12－13＋…＋12021－＝＝20211011.4．已知a n ＝2n ，b n ＝1a n ·a n ＋2，则{b n }的前n 项和T n ＝__________________.答案－1n ＋1－解析1a n a n ＋2＝T n －13＋12－14＋13－15＋…＋1n －＋12－1n ＋1－－1n ＋1－课时对点练1．数列214，418，6116，…的前n 项和S n 为()A ．n 2＋1＋12n＋1B ．n 2＋2－12n＋1C ．n (n ＋1)＋12－12n ＋1D ．n (n ＋1)＋12n＋1答案C解析S n ＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋18＋…＝12n (2＋2n )＋41－12＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1.2．等比数列{a n }中，a 5＝2，a 6＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于()A ．6B ．5C ．4D ．3答案B解析∵数列{a n }是等比数列，a 5＝2，a 6＝5，∴a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝a 5a 6＝10，∴lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 10＝lg(a 1·a 2·…·a 10)＝lg(a 5a 6)5＝5lg 10＝5.3．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020答案D解析设数列{a n }的公差为d ，a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，1＋9d ＝19，1＝1，＝2，∴a n ＝2n －1.设b n ＝a n cos n π，∴b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2020项和S 2020＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2019＋b 2020)＝2×20202＝2020.4．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }n 项的和为()A ．B ．C ．1－1n ＋1 D.12－1n ＋1答案A解析∵a n＝1＋2＋3＋…＋nn＋1＝n(n＋1)2n＋1＝n2，∴b n＝1a n a n＋1＝4n(n＋1)＝∴S n＝－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－＝5．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数(称为埃及分数)．则下列埃及分数11×3，13×5，15×7，…，12019×2021的和是()A.2020 2021B.1010 2021C.1009 2019D.2018 2019答案B解析∵1(2n－1)(2n＋1)＝∴11×3＋13×5＋15×7＋…＋12019×2021－13＋13－15＋15－17＋…＋12019－＝10102021.6．(多选)设等差数列{a n}满足a2＝5，a6＋a8＝30，则下列说法正确的是()A．a n＝2n＋1B．d＝2C.1a2n－1＝n项和为n4(n＋1)答案ABD解析设等差数列{a n}的公差为d.∵{a n}是等差数列，∴a6＋a8＝30＝2a7，解得a7＝15，又a 2＝5，∴a 7－a 2＝5d .∴d ＝2.∴a n ＝2n ＋1.故AB 正确；∴1a 2n －1＝14n (n ＋1)＝C 错误；n 项和为S n －12＋12－13＋…＋1n －＝n 4(n ＋1).故D 正确．7．在数列{a n }中，a1＝2，a n ＋1＝a n＋n ∈N *，则a n ＝________答案2＋ln n解析∵a n ＋1＝a n ＋∴a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .8．设数列{nan }的前n 项和为T n ，若na n＝n －1，则T n ＝________.答案49－解析T n＝＋＋＋…＋n－1，－12Tn ＝＋＋…＋(n －－1＋n，两式相减得32T n＝1＋…－1－n1n＝23－.所以数列{na n }的前n 项和T n ＝49－.9．已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解(1)a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，1＝1，＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝所以T n －13＋13－15＋…＋12n －1－＝n 2n ＋1.10．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1n 项和T n .解(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意知，a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知，S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝bn a n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋＋122＋…－2n ＋12n ＋1＝32＋121－11－12－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n.11．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 1＝2，且a 1·a 5＝64前n 项和是()A ．1－12n ＋1－1B ．1－12n ＋1C ．1－12n＋1D ．1－12n －1答案A解析在各项都为正数，公比设为q (q >0)的等比数列{a n }中，若a 1＝2，且a 1·a 5＝64，则4q 4＝64，解得q ＝2，则a n ＝2n .∵2n (2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1∴n 项和是12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，故选A.12．设S ＝1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋…＋1＋120202＋120212，[S ]表示不大于S 的最大整数(例如：[2.34]＝2，[－π]＝－4)，则[S ]等于()A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022答案B 解析因为1＋1n 2＋1(1＋n )2＝(n2＋n)2＋2(n2＋n)＋1n2(1＋n)2＝n2＋n＋1n(n＋1)＝1所以S＝11…＋12021－12021，所以[S]＝2020.13．在数列{a n}中，a1＝1，对于任意自然数n，都有a n＋1＝a n＋n·2n，则a15等于() A．14·215＋2B．13·214＋2C．14·215＋3D．13·215＋3答案D解析a n＋1－a n＝n·2n，∴a2－a1＝1·21，a3－a2＝2·22，a4－a3＝3·23…a n－a n－1＝(n－1)·2n－1，以上n－1个等式，累加得a n－a1＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1，①又∵2a n－2a1＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－2)·2n－1＋(n－1)·2n，②①－②得a1－a n＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－1)·2n＝2(1－2n－1)1－2－(n－1)·2n＝(2－n)·2n－2，∴a n＝(n－2)·2n＋3(n≥2)，∴a15＝(15－2)·215＋3＝13·215＋3.14．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n－1(n∈N*)，则数列{na n}的前n项和T n 为________．答案(n－1)2n＋1解析∵S n＝2a n－1(n∈N*)，∴n＝1时，a1＝2a1－1，解得a1＝1，n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－1－(2a n－1－1)，化为a n ＝2a n－1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n＝2n－1.∴na n＝n·2n－1.则数列{na n}的前n项和T n＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1.∴2T n＝2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n·2n，∴－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴T n ＝(n －1)2n ＋1.15．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45，…这些数叫做三角形数．设第n 个三角形数为a n ，则下面结论错误的是()A ．a n －a n －1＝n (n >1)B ．a 20＝210C ．1024是三角形数D.1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝2n n ＋1答案C 解析∵a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，由此可归纳得a n －a n －1＝n (n >1)，故A 正确；将前面的所有项累加可得a n ＝(n －1)(n ＋2)2＋a 1＝n (n ＋1)2，∴a 20＝210，故B 正确；令n (n ＋1)2＝1024，此方程没有正整数解，故C 错误；1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝…＝＝2n n ＋1，故D 正确．16．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数)．(1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ；(2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n .解(1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ)．又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列，此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1；当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0，所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列，此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ·2n ，T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，①2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，②①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2.所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.。

数列求和指数型裂项公式总结

数列求和指数型裂项公式总结大家好，今天我们来聊聊一个比较有意思的话题——数列求和指数型裂项公式。

别着急，听起来好像有点高大上，其实并没有那么复杂！你可以想象成我们在做一道数学题，手头有一个数列，需要找出它的和，问题是，这个数列太复杂了，不能直接套公式。

怎么办呢？我们就要用到一个聪明的小妙招——指数型裂项公式。

你别看这名字听起来吓人，它的核心思想其实挺简单。

我们把数列拆成几个小部分，逐个击破。

打个比方，数列就像是一个大餐，直接吃下去有点困难，但是如果把它拆成一个个小菜，吃起来就容易多了。

指数型裂项公式就是帮你把那些复杂的数列拆得像小块巧克力一样，简单又好吃！说白了，裂项公式的意思就是“分拆”，就像拆解一个谜题，把它拆成几个你能解决的小谜题。

一般来说，数列的通项是一个含有指数的表达式，往往这类数列的项数特别多，直接求和会让人头大。

你不妨想象一下，假设你有一串数字，每一项的增长幅度都非常快，怎么把它们加起来呢？这就好比你有一大堆书，每本书的页数越来越多，直接从第一页数到最后一页显然太慢了，不如每本书一页一页拆开来数，这样一口气就能把所有书的页数加起来。

具体来说，裂项公式通常就是把一些带指数的数列拆成几个比较简单的部分。

想象你有一堆鸡蛋，里面有好几个不同的颜色，每种颜色的鸡蛋数都不一样，直接一股脑地统计很麻烦，不如先把它们分开，然后再分开各自求和，这样不但省力，还能更精确。

这个公式在解决类似于“指数项+常数项”的问题时，尤其管用。

假如一个数列长得像是(a_n = r^n + b)，你可以通过拆开它，分成两个更简单的部分，最后再合起来计算它的和。

再说，公式的好处就是它能把这些原本看起来千头万绪的数列，分解成几个“简单”的求和问题。

这样做，不仅能够大大减少计算的难度，还能让我们在复杂的数列面前保持冷静。

很多同学一看到带有指数的数列就头晕，觉得自己要翻车了。

但是，裂项公式告诉你，不用担心，只要你耐心把它拆开，再一项项求和，最后的答案就不那么难以捉摸了。

裂项求和法的知识点总结

裂项求和法的知识点总结一、裂项求和法的基本思想裂项求和法的基本思想是将原来的级数拆分成若干个部分，然后分别求解这些部分的和。

最后将这些部分的和相加得到原级数的和。

这种方法在求解级数时非常有效，可以将复杂的级数变成简单的级数来求解。

二、裂项求和法的常用技巧裂项求和法的常用技巧包括：拆项、分组求和、 Telescoping 等。

1. 拆项：拆项是裂项求和法中常用的一种技巧。

它可以将原级数中的每一项拆分成两个或多个部分，然后再进行求和。

拆项的目的是为了将原级数转化为一个更易求解的级数。

拆项的具体操作可以根据级数的特点来灵活运用。

2. 分组求和：分组求和是裂项求和法中常用的一种技巧。

它可以将原级数分成若干个相互独立的部分，然后分别求解这些部分的和。

最后将这些部分的和相加得到原级数的和。

分组求和的具体操作可以根据级数的特点和要求来选择合适的分组方法。

3. Telescoping：Telescoping 是裂项求和法中常用的一种技巧。

它可以将原级数中相邻的两项进行变形，从而使得这些项之间的差分项能够互相抵消，最终得到一个简单的级数。

Telescoping 的具体操作包括变形、抵消、整理等。

三、裂项求和法的应用范围裂项求和法在数学中有着广泛的应用范围，包括但不限于如下几个方面：1. 求解收敛级数：裂项求和法可以帮助我们求解各种类型的收敛级数，包括数值级数、幂级数、级数和等。

通过拆项、分组求和、 Telescoping 等技巧，可以将复杂的级数转化为简单的级数来求解。

2. 求解发散级数：裂项求和法也可以帮助我们对发散级数进行求解。

虽然发散级数本身没有定义和，但是通过一些技巧，可以使其在某种意义下有意义，从而得到发散级数的和。

3. 实际应用：裂项求和法在实际应用中也有着广泛的应用。

例如在物理、工程、经济等领域，经常需要求解各种级数，裂项求和法可以帮助我们快速、准确地求解这些级数，为实际问题的解决提供有力的支持。

四、裂项求和法的注意事项在使用裂项求和法时需要注意以下几个方面：1. 根据级数的特点选择合适的技巧：在使用裂项求和法时，需要根据级数的特点和要求来选择合适的技巧。

《数列求和裂项》课件

实例二：分式数列的求和
分式数列
(frac{1}{1} + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n})
裂项求和
利用分数的性质，将每一项拆分成更小的部分，然后进行求和。
具体操作
(frac{1}{1} + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n} = (1 - frac{1}{2} + frac{1}{2} - frac{1}{3} + ... + frac{1}{n - 1} - frac{1}{n}) + frac{1}{n})
裂项求和法的总结
裂项求和法是一种常用的数列求和方法，通过将数列的每一项拆分成易于求和的形式，简化求和过程。
裂项求和法适用于多种类型的数列，如等差数列、等比数列等，能够有效地解决一些复杂的数列求和问题。
在应用裂项求和法时，需要仔细分析数列的结构和特点，选择合适的拆分方式，以达到简化求和的目的。
分式形式的裂项公式在处理具有分式规律的数列时非常有效，可以大大简化计算过程，
提高解题效率。
几何级数的裂项公式
几何级数的裂项公式是指将数列中的每一项表示为几何级数的形式，然后通过化简或分解因式，将原数列的求和问题转化为新数列的求和问题。例如，对于数列 $1, 2, 4, 8, ldots$，其裂项公式为$2^{n-1}$。
差分形式的裂项公式在解决数列求和问题中非常常见，尤其在处理等差数列、等比数列等具有明显规律的数列时，可以大大简化计算过程。
指数形式的裂项公式
指数形式的裂项公式是指将数列中的每一项表示为指数形式，然后通过因式分解或化简，将原数列的求和问题转化为新数列的求和问题。例如，对于数列$1, 2^2, 3^3, ldots, n^n$，其裂项公式为$frac{1}{2} times (1 + n^n)$。

高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐

数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比。

高中数学拉档提分全攻略——数列分册 ,裂项求和常见32种类型

+
1] 2n +1
Sn
=
1 11
+ +
1 3 1
− −
1 3 1
− −
1 5 1
+ +
1 5 1
+ +
1 7 1
− −
1 7 1
− −
1 9 1
+ +
1 3 3 5 5 7 7 9
(19)
+（ 1 + 1 ）= 1+ 1 , n = 2k +1
2n −1 2n +1
2n +1
−（ 1 + 1 ）= 1− 1 , n = 2k
an−1 = (3n − 5)2n−1 = (3n − 8)2n − (3n −11)2n−1
an = (3n − 2)2n = (3n − 5)2n+1 − (3n − 8)2n
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
n
ak =(3n − 5)2n+1 + 5 21
1
(28) an = n2 2n
=
1 (2n +1) 2n−1
−
(2n
1 + 3)
2n
Sn
=
1 3
−
(2n
1 + 3) 2n
(21)
Sn
=
n k =1
k 2k + 2 (k + 1)(k + 2)
ak
=
k 2k + 2 (k +1)(k + 2)
=
(k
k 2k +1)(k + 2)

人教版数学高二-数列求和方法小结

数列求和方法小结一、知识预习求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 1．等差数列的前n 项和公式： S n ＝＝． 2．等比数列的前n 项和公式： ① 当q ＝1时，S n ＝． ② 当q≠1时，S n ＝．3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．二、讲授新课(1)公式法：必须记住几个常见数列前n 项和等差数列：2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=；等比数列：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==11)1(111q qq a q na S n n ；例已知数列2{log (1)}a -,*n N ∈为等差数列，且13,a =39a =（1）求数列{}n a 的通项公式（2）证明211a a -+321a a -+...+11n n a a +-=112n -练习：（1）已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二、三、四项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对任意自然数n 均有1332211+=++++n nn a b c b c b c b c 成立．求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2003的值．（2）已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝ca n －c+，其中a ≠1，c ≠0．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a ＝c ＝21，b n ＝n (1－a n )，求数列{b n }的前n 项和S n ．(2)裂项法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）常用的裂项111)1(1+-=+n n n n ，)211(21)2(1+-=+n n n n；=])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n例求和：)(,32114321132112111*N n n∈+++++++++++++++（2）在数列{}n a 中，12...+1+1+1n na n n n =+++，又12n n n b a a +=• 求数列{}n b 的前n 项的和。

高中数学必修5《数列求和-裂项相消法》PPT

常见的裂项公式：
（二）、典例：
谢谢大家！
二、教学重点和难点：重点：裂项相消的方法和形式。能将一些特殊数
列的求和问题转化为裂项相消求和问题。难点：用裂项相消的思维过程，不同的数列采用
不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。
பைடு நூலகம்
三、教学过程：（一）复习：
常用求和方法： 1.错位相减法：
适用于一个等差数列和一个等比数列（公比不等于1）对应项相乘构成的数列求和. 2.分组求和法：
把一个数列分成几个可以直接求和的数列的和（差）的形式. 3.倒序相加法：
如果一个数列中，与首尾两端“距离”相等两项的和等于同一个常数，那么可用倒序相加求和.
4.裂项相消法：
把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和.注意：在抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消。
适用范围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标经历数列裂项相消法求和的探究过程、深化过程和推广
过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
3 情感与价值观目标通过数列裂项相消求和法的推广应用，使学生认识到在
学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。
高中数学必修五数列求和之裂项相消法
考纲要求
考纲研读
1.掌握等差数列、等比数列的对等差、等比数列的求和以考
求和公式．
查公式为主，对非等差、非等
比数列的求和，主要考查分组
2.了解一般数列求和的几种方求和、裂项相消、错位相减等

数列中多种形态的裂项求和

语数外字
Ｎｏ．０８．２０Ｉ３
ＹｕＳｈｕＷｌａｉＸｕｅＸｉ
２０１３年第８期
数列中多种形态的裂项求和
甘向秀（新建县第二中学，江西南昌３３０１００）
摘要：在求数列前／７，和的的方法中，裂项方法是常用Ｏ－－种重要方法。本文对裂项求和的问题的各种类型和解法进行了归纳总结。关键词：高中数学；数列；求和问题中图分类号：Ｃ，６３３文献标识码：Ａ文章编号：１００５— ６３５１（２０１３）一Ｏ８一ｏ０２７一Ｏ１
２口
ｂｂ
２３
Ⅱ ｌＩ
＋ｌ
式可裂项为：
一
一
与等差联系的裂项求和般形式为：如果数列｛）为等差数列，公差为ｄ，求＝
、
１竺二！一生！二！
ｂｂ＋ “
ｎ
～ｂｂ＋。ｎ ’ ６ Ⅱ
：
一
ｂ＋Ｊ “
，ｌ＋２
去＋去＋ … ＋１，其中通项公式可裂项为＝寺（亡一）ｏ
＋ＺＪ、＋Ｚ），，
ｎＩＩ，
＝１【一１一＝『＝１
所以＝南一＋一一・＋一
Ｉ】
一
１
ｓ＝１Ｉ丁１一了１＋１一１＋了１一了１＋．．・＋１一１）

裂项相消法求和的类型及求解策略

Ｎ ∗ . 求数列 { ｃｎ }的前ｎ项和Ｔｎ .
解析 (１) { ａｎ }是等差数列ꎬ且满足ａ１＝１ꎬａ２ ꎬ
ａ３＋１ꎬａ４＋６三个数成等比数列.
所以( ａ３＋１) ＝ａ２ ( ａ４＋６) .
２
６ｎ－５ .
所以Ｃｎ＝
６ｎ＋１－
(２) 因为Ｃｎ (
和式相消后可求得Ｔｎ [３] .
＝ａｎ .
Ｓ２
Ｓｎ
＋＋
２
ｎ
(１) 求数列 { ａｎ }ꎬ { ｂｎ }的通项公式ꎻ
ｂｎ＋３
５
ꎬ求证:ｃ１＋ｃ２＋＋ｃｎ < .
ＳｎＳｎ＋２
８
解析 (１) 由于ａｎ＋１－ａｎ＝ｎ＋１ꎬ则
ａｎ＝ ( ａｎ－ａｎ－１ ) ＋ ( ａｎ－１－ａｎ－２ ) ＋＋
ａｎａｎ＋１
１
１ ö÷
３
３
－
＝
＝３ æç
.
ａｎａｎ＋１ ( ｎ＋１ ) ( ｎ＋２ )
èｎ＋１ｎ＋２ ø
１
因为ｎ∈Ｎ ꎬ所以
> ０.
ｎ＋２
∗
１
１
１
所以－
< .
２ｎ＋２２
３
.
２
评析本题重点考查等差数列的基本运算ꎬ裂
项相消法求解数列的前ｎ项和的问题ꎬ考查转化与
即 λ ＋１＝
解得Ｓｎ＝ｎ２ ꎬｎ＝１时ꎬｂ１＝１＝Ｓ１也满足.
(２) 由于ｃｎ＝
－
(１) 求 λ 的值ꎻ

高中数学必修5《数列求和之裂项相消法》PPT

2
Sn
(
1 2
1) 3
(1 3
1) 4
(1 4
1) 5
(1 1 ) n
2 n 2 2(n 2)
(
n
1 1
n
1
2
)
裂项相消
变式训练
求11121213121341231n,(nN*)。
解：由题意设
···
··· 2[ 1 1 1 1 ]
1 2 2 3 3 4 n(n 1) ···
2n n 1
课堂小结
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.
课堂小结
裂项相消法的适用范围 1
它适用于通项为 an an1 的前n项求和问
题，其中{an}为等差数列，如
例题分析
裂项相消法
例1 求Sn
Sn
1 23
1 3 4
1 45
1 (n 1)(n
2)
分析：此数列为特殊数列，其通项的分母是两个因式之积，且两数相差1,若把通项作适当变形为
1 1 1
裂项
(n 1)(n 2) n 1 n 2
裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.
1(
d
1 an
-
1 an1
).
1 an an1
=
课堂小结
探究提高使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

数列裂项归纳总结(通用4篇)

数列裂项归纳总结第1篇数列求通项的方法总结按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。

为大家总结数列求通项的方法，一起来看看吧！一、累差法递推式为：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)思路：:令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)an-an-1=f(n-1)将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1)当然我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式例1、已知数列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an解：令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=2a3-a2=22a4-a3=23an-an-1=2n-1将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)当n=1时,a1适合上式故an=2n-1二、累商法递推式为：an+1=f(n)an（f(n)要可求积）思路：令n=1,2, …,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)∵f(n)可求积∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1)当然我们还要验证当n=1时，a1是否适合上式例2、在数列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an解：令n=1,2, …,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘后可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1) 即an=2n当n=1时，an也适合上式∴an=2n三,构造法1、递推关系式为an+1=pan+q (p,q为常数)思路：设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)构造数列{bn},bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}为等比数列.故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an例3、(06重庆)数列{an}中,对于n>1(nN)有an=2an-1+3,求an解：设递推式可化为an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3故可将递推式化为an+3=2(an-1+3)构造数列{bn},bn=an+3bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}为等比数列且公比为3bn=bn-1·3,bn=an+3bn=4×3n-1数列裂项归纳总结第2篇求数列通项公式的解题思路广东省高州市第二中学梁志华数列既是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，因此，每年高考对本章内容均作较全面的考查，而且经常是以综合题、主观题的形式出现，难度较大，不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。

数列求和-裂项法

1 1 1 1 2 2 1 (2n 1)(2n 1) (2n 1) (2n 1)
通项an 1 cn cn1
2n( n 1) Sn 2n 1
3 5 7 2n 1 3.求和Sn . 2 2 2 2 (1 2) (2 3) (3 4) [n(n 1)]
试一试：可以调整一下，一步到位吗？
小结：
在分式求和中，恰当地裂开通项转化为新数列的两项差以达到累加相消，实现无限到有限的跨越！
an = cn - cn + k (n , n + k ? N )
*
裂项相消法与错位相减法
例题已知数列 . {an }满足：a1 , a2 a1 , a3 a2 , , an an 1 , 是首项、公差均为2的等差数列. ( Ⅰ求数列 ) {an }的通项公式an； (2n 1) 3n * (Ⅱ)令bn (n N )，求数列{bn }的前 an n项和Tn .
2n 1 2n 1 通项an 2 2 2 [n(n 1)] n (n 1)
1 1 2 n (n 1) 2
cn cn1
1 Sn 1 2 (n 1)
2 4.求和：Sn = k+1 k -1)(2 -1) k=1 (2 2 (2 - 1) - (2 -1) n+1 n+1 n n (2 -1)(2 -1) (2 -1)(2 -1)
2 4.求和：Sn = k+1 k -1)(2 -1) k=1 (2
n
k
4 12 4 22 4 32 4 n2 2.求数列 2 , , , , , 2 2 2 4 1 1 4 2 1 4 3 1 4 n 1 的前n项和.

2022届高考数学一轮复习第五章数列第四节数列求和课件新人教版

1．在数列{an}中，an＝
1 nn＋1
，若{an}的前n项和为
2 2
019 020
，则项数n为
(D )
A．2 016
B．2 017
C．2 018
D．2 019
2．已知数列：1
1 2
，2
1 4
，3
1 8
，…，
n＋21n
，…，则其前n项和关于n的表
达式为________．
答案：nn2＋1＋1－21n
B．22
019 020
2 019 C.2 018
D．12
019 010
2．(2021·张掖期末测试)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长
方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，21，31，41，…，1n.①
第二步：将数列①的各项乘以n，得到一个新数列a1，a2，a3，…，an，
a2－5＝3(a1－3)．因为a1＝3，所以an＝2n＋1. (2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.① 从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.② ①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，所以 Sn＝(2n－1)2n＋1＋2.
2n－1，
故数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝( 3 －1)＋( 5 － 3 )＋…＋
( 2n＋1－ 2n－1)＝ 2n＋1－1.
裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2) 消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

高中数学中的数列求和知识点总结

高中数学中的数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的重要概念和技巧之一，它涉及到数列的性质和求和方法的应用。

本文将对高中数学中的数列求和知识点进行总结，包括求和公式、数列性质与求和、递推数列求和和常用数列求和等内容。

1. 求和公式求和公式是数列求和的基础，它们可以帮助我们简化求和过程并得到准确的结果。

常见的求和公式包括等差数列求和公式和等比数列求和公式。

（1）等差数列求和公式对于等差数列 {an}，其通项公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差，n 为项数。

等差数列的求和公式为 Sn = (a1 + an) * n / 2。

其中 Sn 表示前 n 项的和。

（2）等比数列求和公式对于等比数列 {an}，其通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。

等比数列的求和公式分为两种情况：当 |q| < 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = a1 / (1-q)。

当 |q| > 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = (a1 - anq) / (1-q)。

2. 数列性质与求和数列性质与求和是数列求和中较为重要的内容之一。

在求解数列求和问题时，熟练掌握数列的性质对于简化计算和解题过程非常有帮助。

（1）数列的首项与末项一个数列 {an} 的首项为 a1，末项为 an。

在使用求和公式时，需要准确确定数列的首项和末项。

（2）逆序求和对于满足一定条件的数列，其求和式可以通过逆序求和的方式得到更简洁的结果。

例如，等差数列 {an} 的求和式为 Sn = (a1 + an) * n / 2，而逆序求和的方式是 Sn = (an + a1) * n / 2。

（3）奇数项和与偶数项和有些数列的求和问题可以通过分别求解奇数项和与偶数项和来得到最终结果。

例如，等差数列 {an} 的奇数项和为 So = (a1 + an) * (n/2)，偶数项和为 Se = an * (n/2)。