高二数学数列中裂项求和的几种常见模型知识点分析新人教版

数列中裂项求和的几种常见模型

数列问题是高考的一大热点，而且综合性较强，既注重基础知识的掌握，又注重数学思想与方法的运用。而此类问题大多涉及数列求和，所以数列求和方法是学生必须掌握的，主要的求和方法有：公式法、拆项重组法、并项求和法，裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等，而裂项相消法是其中较为基础、较为灵活的一种，也是出现频率最高，形式最多的一种。下面就例举几种裂项求和的常见模型，以供参考。

模型一：数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，且),3,2,1(0,0 n a d

n ，则

)1

1(111

1 n n n n a a d a a 例1已知二次函数()y f x 的图像经过坐标原点，其导函数为'

()62f x x ，数列{}n a 的前

n 项和为n S ，点(,)()n n S n N

均在函数()y f x 的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m

T 对所有n N 都成立的最小正整数m ； （2020年湖北省数学高考理科试题）

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2

+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2

－2x.

又因为点(,)()n n S n N

均在函数()y f x 的图像上，所以n S ＝3n 2

－2n.

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2

－2n ）－

)1(2)132

n n （

＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12

－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N

）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13

n n n a a b ＝ 5)1(6)56(3 n n ＝)1

61

561(21 n n ，

故T n ＝

n

i i b 1

＝

2

1

)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161 n ）. 因此，要使

21（1－161 n ）<20m （n N ）成立的m,必须且仅须满足21≤20

m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10..

例2在xoy 平面上有一系列点),,(111y x P ),(222y x P ，…，

),(n n n y x P ，…，（n ∈N *），点P n 在函数)0(2

x x y 的图象上，

以点P n 为圆心的圆P n 与x 轴都相切，且圆P n 与圆P n +1又彼此外切. 若n n x x x 11,1且.

（I ）求数列}{n x 的通项公式； （II ）设圆P n 的面积为123,,:2

n n n n S T S S S T

L 求证 解：（I ）圆P n 与P n+1彼此外切，令r n 为圆P n 的半径，

,)()(,||1212111 n n n n n n n n n n y y y y x x r r P P 即

两边平方并化简得,4)(12

1 n n n n y y x x

由题意得，圆P n 的半径,4)(,2

12212 n n n n n n n x x x x x y r

),(21

1,2,01

111

N n x x x x x x x x n

n n n n n n n 即

11

}1{

1 x x n 是以数列为首项，以2为公差的等差数列， 所以1

21,122)1(11 n x n n x n n 即 （II ）4

4

2

2

)

12(

n x y r S n n n n

，

])

12(1

311[2221

n S S S T n n 因为 ))12)(32(1

5.313.111(

n n .

2

3)12(223)]1211(211[)]}

1

21

321()5131()311[(211{

n n n n

所以，.2

3

n T 模型二：分母有理化，如：

n n n n 11

1

例3已知)2(4

1)(2

x x x f ，)(x f 的反函数为)(x g ，点)1,(1

n n a a A 在曲线)(x g y 上

)( N n ，且11 a

(I)证明数列{2

1n a }为等差数列；

(Ⅱ)设1

111

n n n a a b ,记n n b b b S 21，求n S

解(I)∵点A n (1

1, n n a a )在曲线y =g (x )上(n ∈N +)，

∴点(n n a a ,11

)在曲线y =f (x )上(n ∈N +)4)1(12

n

n a a ,并且a n >0

2

1

141n

n a a

，),1(4112

2

1

N n n a a n

n

，∴数列{

2

1n a }为等差数列