第二节微积分基本公式 (2)

0 f (t)dt 0 f (t)dt,
d
b( x)
f (t)dt f [b( x)]b( x) f [a( x)]a( x)
dx a( x)
【证完】
【思考】 d
b
f (t)dt ?
(a , b为常数)
dx a
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1 e t 2 dt
【例1】求 lim x0
xf
( x),
dx 0
d
x
f (t)dt f ( x),
dx 0
x
x
x
xf ( x) f (t)dt f ( x) tf (t)dt f ( x) ( x t) f (t)dt
F( x)
0
0
( x f (t )dt)2
0
( x f (t )dt)2
,
0
0
x
f ( x) 0, ( x 0)
利用积分中值定理脱掉积分号
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y
f 在[a,b]连续，由积分中值定理得
f ( )x [ x, x x],
f ( ),
x
lim lim f ( )
x0 x x0
o
( x)
a x x x b x
x 0时 , x ( x) lim lim f ( ) f ( x) .
lim
x0
cos x
x2
lim sin x ecos2 x 1 .
x0
2x
2e
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【例 2】设 f ( x)在(0,)内连续，且 f ( x) 0.证明函数
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内为单调增加函数.
0 f (t)dt
【证】 d
x
tf
(t )dt
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
【证】 令
F(x) 2x
x
f (t)dt 1,
0
f ( x) 1,
F( x) 2 f ( x) 0, F ( x)在[0,1]上为单调增加函数.
F (0) 1 0,
1
1
[0,1]上解存在
F (1) 1 0 f (t)dt 0 [1 f (t)]dt 0,
(2)
d dx
b
a( x)
f
(t )dt
f
[a( x)]
a( x)
d b( x)
(3)
f (t)dt
dx a( x)
f [b( x)]b( x)
f [a( x)]a( x)
【证】 (3)
b( x)
0
f (t)dt (
b( x)
) f (t)dt
a( x)
a(x) 0
b( x)
a( x)
1.【定义】设函数 f ( x)在区间[a,b]上连续，并且设 x 为[a,b]上的一点，考察定积分 y
x
x
a f ( x)dx a f (t)dt
( x)
oa x
bx
如果上限 x 在区间[a,b]上任意变动，则对
于每一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所
以它在[a, b]上定义了一个函数，
记
( x)
dx a
【证】 (1)
设 x (a,b)
( x x)
x x
f (t)dt
a
( x x) ( x)
y
x x
x
a f (t)dt a f (t)dt
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
( x)
x x
x f (t)dt,
o a x x x b x
cos x
x2
.
【分析】这是 0型不定式,应用洛必达法则,求导去掉积分号.
0
但由于 ex2dx “积不出”，故不能先求出定积分再求极
限.
【解】 d 1et2dt d cos x et2dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
1 e t 2 dt
(1) 肯定了连续函数的原函数是存在的. (2) 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.
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三、牛顿—莱布尼茨公式
【定理 3】（微积分基本公式）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间 [a,b]上的一个原函数 ，
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
【注】也可用积分中值定理，脱掉积分号比较大小
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4.【原函数存在定理】
【定理2】如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的
函数( x)
x
a
f
(t)
dt 就是
f
( x)在[a,b]上
的一个原函数.
【定理的重要意义】
第二节 微积分基本公式
一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式 四、小结 思考题
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一、问题的提出
【从变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系看 定积分公式应有的形式】
设某物体作直线运动，已知速度 v v(t)是时间
间隔[T1,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t) 0，求物体
x0 x x
(2) 若 x a, 取 x 0同理可得： (a) f (a) (3) 若 x b, 取 x 0同理可得： (b) f (b)
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3.【推广】若f ( x)连续，a( x)、b( x)可导，则
d b( x)
(1) dx a
f (t)dt
f [b( x)] b( x)
在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动பைடு நூலகம்路程为 T2 v(t )dt T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t ) v(t ).
【注】上述结论在一定条件（连续）下具有普遍性
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二、积分上限函数及其导数
0 f (t)dt 0,
x
也可用积分 中值定理判.
( x t) f (t) 0, 0 ( x t) f (t)dt 0,
F( x) 0 ( x 0). 故F ( x)在(0,)内为单调增加函数.
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【例 3】设 f ( x)在[0,1]上连续，且 f ( x) 1.证明
x
a
f
(t )dt .
——积分上限函数
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2.【积分上限函数的性质】
【定理１】 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数
( x) x f (t)dt 在[a,b]上具有导数，且它的导数是 a
( x) d
x
f (t)dt f ( x)
(a x b)