向量的数乘学案2

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【教案】向量的数乘运算教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.2.3向量的数乘运算一、内容和内容解析内容：向量的数乘运算．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节第三课时的内容．实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义.（2）了解平面向量的线性运算的运算律和运算性质．目标解析：（1）学生能通过具体的一类共线向量的加法，类比数的乘法引出向量数乘的运算法则，借助有向线段表示向量数乘的几何意义．学生能够理解：数乘向量的结果是与原向量共线的向量；反之，与一个非零向量共线的向量可以写成是一个实数与这个非零向量的积，并且这个实数是唯一的.（2）学生能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量线性运算的运算律，理解向量线性运算的一些运算性质，体会其几何意义.三、教学问题诊断分析1．教学问题一：物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的数乘运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：与物理中的矢量对比，从大小和方向两个角度分析.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：数形结合，借助图象加强理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：运用向量共线的性质和判断方法处理有关向量共线问题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到向量数乘运算的法则，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中通过问题串的形式引导学生分析问题，解决问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视注重与实际的联系，利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情境.通过这些实例使学生了解向量内容的物理背景，理解向量内容.通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情景引入新知[问题1]实数运算,x+x+x=3x,思考→→→+ +aaa能否写成→a3呢?1.创设情境，生成问题夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差？这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则有v1＝880 000v2.对于880 000v2，我们规定是一个向量，其方向与v2相同，其长度为v2长度的880 000倍．这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘．2.探索交流，解决问题教师1：提出问题1．学生1：学生思考．可以,即3a a a a++=.问题引入：通过设计的问题，让学生开始认识数乘运算及其运算律，和共线向量的定[问题2]→a3与→a的方向有什么关系?→a3-与→a的方向呢?[问题3]按照向量加法的三角形法则,若→a为非零向量,那么→a3的长度与→a的长度有何关系.[问题4]实数a,b满足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a ,若把实数a,b换成向量→a,→b,上式是否仍成立?教师2：提出问题2．学生2：→a3与→a的方向相同,→a3-与→a的方向相反.教师3：提出问题3．学生3：→a3的长度是→a的长度的3倍,即若|→a|=λ,则|→a3|=3λ.教师4：提出问题4．学生4：成立,向量同样满足分配律、结合律.理.明确概念，理解定理[问题5]阅读课本，回答以下问题：（1）向量的数乘运算定义；（2）它的大小和方向如何确定？（3）数乘的运算律有哪些？教师5：提出问题5．学生5：定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.学生6：规定：①|λa|＝|λ||a|，②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.学生7：运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.教师6：我们把向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.学生类比数的运算律自行猜想出向量数乘运算的运算律，并借助向量数乘运算的定义及其几何意义加以验证．帮助学生积累从【练习1】已知非零向量a、b满足a＝4b，则( ) A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|C．a与b的方向相同D．a与b的方向相反【练习2】4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2b B．aC．a－6b D．a－8b[问题6] a＝λb⇒a与b共线，对吗？[问题7]若a与b共线，一定有a＝λb吗？[问题8]若两个非零向量→a,→b共线,是否一定存在实数λ使得→b=→aλ?教师6：完成【练习】学生8：第一题答案：C∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．学生9：第二题答案D教师6：提出问题6．学生10：对．教师7：提出问题7．学生11：不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb.教师8：提出问题8．学生12：一定存在,且是唯一的.教师9：向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.运算的定义出发，发现数学运算的一些性质的学习经验．通过探究让学生理解向量共线定理，培养数学抽象的核心素养.典例探究落实巩固1.向量的线性运算例1.计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)12[(3a＋2b)－23a－b]－76[12a＋37(b＋76a)]；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．2.向量共线定理及其应用例2.已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果AB→＝e1+e2，BC→＝2e1+8e2，CD→＝3(e1-e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．教师10：完成例1．学生13：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)12[(3a＋2b)－23a－b]－76[12a＋37(b＋76a)]＝12(3a－23a＋2b－b)－76(12a＋12a＋37b)＝12(73a＋b)－76(a＋37b)＝76a＋12b－76a－12b＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.教师11：小结：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.教师12：完成例2．学生14：(1)证明：因为AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.所以AB→，BD→共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．（2）解：因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k－λ＝0，λk－1＝0，所以k＝±1.教师13：完成例3．学生15：因为AB→∥CD→，|AB→|＝2|CD→|，所以AB→例1：巩固向量数乘的概念及运用向量数乘的运算律进行计算，理解其中的算理，发展学生的数学运算素养．例2：让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．例3.如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知 AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量AC →,MN →.[课堂练习1]已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________． [课堂练习2]如图，四边形ABCD 中，已知2AD BC =.（1）用AB ，AD 表示DC ；（2）若2AE EB =，34DP DE =，用AB ，AD 表示AP .＝2DC →，DC →＝12AB →.(1)AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1.(2)MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB→＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2.教师18：布置课堂练习1、2．学生16：完成课堂练习，并核对答案．1. 答案：－13由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.2.（1）因为DC DA AB BC =++，所以1122DC DA AB AD AB AD =++=-；（2）因为14AP AE EP AE DE =+=- ()14AE AE AD=--，所以3132144434AP AE AD AB AD =+=⋅+ 1124AB AD =+.课堂练习1：让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．课堂练习2：利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．课堂小结升华认知[问题9]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.(2a－b)－(2a＋b)等于()A．a－2b B．－2bC．0D．b－a2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若AB→＝a，AC→＝b，则AM→等于教师19：提出问题9．学生17：学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.B 2.C 3.D 4.－2师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：巩固定理，是对本节知识的一个深( )A.12(a －b ) B.－12(a －b )C.12(a ＋b ) D.－12(a ＋b )3.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF →＝( ) A ．12AB →＋12AD →B ．－12AB →－12AD →C ．－12AB →＋12AD →D ．12AB →－12AD →4.已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝________.化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。

《向量的数乘运算》教学设计、导学案、同步练习

《6.2.3 向量的数乘运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定理。

实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。

实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。

向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。

特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。

【教学目标与核心素养】A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；B.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；C.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。

【教学重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；【教学难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

【教学过程】。

特点:首尾相接，连首尾。

2.向量的平行四边形法则特点:同一起点,对角线。

3.向量减法的三角形法则。

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。

二、探索新知探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？，记作。

即。

的方向与的方向相同，。

类似地，，其方向与的方向相反，。

AC BC AB =+OC OB OA =+BA OB OA b a =-=-a a a a ++)()(a a a -+-+-a a a BC AB OA OC ++=++=a 3a OC 3=a 3a ||3|3|a a =a PN 3-=a ||3|3-|a a =1.定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。

向量的数乘运算(两课时) 导学案-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算第一课时【学习目标】理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；【自主学习】1.向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向: 当0>λ时，与a 的方向相同；当0<λ时，与a 的方向相同；特别地，当λ＝0时，λa ＝0.，当λ＝－1时，(－1)a ＝－a . 2.向量数乘的运算律(1)λ(μa )＝(λμ)a .(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，(－λ)a ＝－λa ＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb . 3. 向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .【合作探究】【探究一】已知向量a 和向量b ，求作向量－2.5a 和向量2a －3b .【探究二】计算：（1）3(a －b )－(a ＋2b )；（2）(2a ＋6b －3c )－2(－3a ＋4b －2c ).【探究三】如图，在任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：b aEF DC AB 2=+。

【探究四】如图，解答下列各题．（1）用a d e ，，表示DB ；（2）用b c ，表示DB ；（3）用a b e ，，表示EC ；（4）用d c ，表示EC ．【当堂检测】1.计算：（1）3(－4a ＋5b )；（2）6(2a －4b )－(3a －2b ).2.如图，已知向量a ，b ，求作向量：（1）－2a ；（2）－a ＋b ；（3）2a －b.3.（1）已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝3e 1－5e 2，求4a －3b （用e 1，e 2表示）.（2）已知向量为,a b ，未知向量为y x ,向量,a b ，y x ,满足关系式32,43x y a x y b -=-+=，求向量y x ,．ab4.已知OA 和OB 是不共线的向量，()R AP t ABt =∈,试用OA 和OB 表示OP .5．（2021·云南·罗平县第二中学高一月考）如图，四边形ABCD 中，已知2AD BC =. （1）用AB ，AD 表示DC ；（2）若2AE EB =，34DP DE =，用AB ，AD 表示AP .6．如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使13DB OB =，DC 与OA 交点为E ，设,OA a OB b ==，用a ，b 表示向量OC ，DC .6.2.3 向量的数乘运算第二课时向量共线定理【学习目标】1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；2．培养学生在学习向量共线定理的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.【自主学习】向量共线定理：如果有一个实数λ，使b λ=a (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b λ= a.【合作探究】例1 判断下列各小题中的向量a ,b 是否共线（其中12,e e 是两个非零不共线向量）．（1）115,10a e b e ==-；（2）121211,3223a e eb e e =-=-；（3）1212,33a e e b e e =+=-．例2 设,a b 是不共线的两个非零向量.（1）若233OA a b OB a b OC a b =-=+=-，，，求证：A B C ，，三点共线；（2）若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值；（3）若232AB a b BC a b CD a kb =+=-=-，，，且A C D ，，三点共线，求实数k 的值.例3 如图2－2－11，ABC ∆中，C 为直线AB 上一点，−→−AC λ=)1(-≠−→−λCB求证：λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC .思考：上例所证的结论λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向量−→−OC 可以用,−→−OA −→−OB 表示，那么两个不共线的向量,−→−OA −→−OB 可以表示平面内任一向量吗？例4 已知ABC 的三个顶点A ､B ､C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则ABP △与ABC 的面积比为 .【当堂检测】1.已知→→b a ,是起点相同的不共线向量，当t 取多少时，)(31,,→→→→+b a b t a 三个向量的终点在一条直线上．2.如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线交直线AC AB ,于不同的两点N M ,，若→→=AM m AB ,→→=AN n AC ,求n m +的值．3.若点M 是ABC 所在平面内的一点，点D 是边AC 靠近A 的三等分点，且满足5AM AB AC =+，则ABM 与ABD △的面积比为（）A ．15B ．25C ．35D ．9254．已知D 是ABC 的边AB 的中点，点M 在DC 上，且满足53AM AB AC =+，则ABM 与ABC 的面积之比为（）A ．15B ．25C ．35D ．455.如图，在ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，23AE AD =，AB a =，AC b =．（1）用a ，b 表示AD ，AE ，AF ，BE ，BF ；（2）求证：B ，E ，F 三点共线．。

新教材2021-2022学年人教A版必修第二册向量的数乘运算教案

（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.
由（1）可知，当时， .
由（1）（2）可知， .
教师：你对零向量和相反向量有什么新的认识?
学生：可以看成是实数0与任意向量的乘积；的相反向量可以看成-1与的乘积.
教师：如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示?向量，之间的关系是怎样的?
学生： =3.5 ，向量与向量的方向相同，向量的模是向量的模的3.5倍.
探究二：向量数乘运算的运算律
教师：设为非零向量，求作向量和并进行比较；求作向量与向量并进行比较，结果相等吗?（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）.
学生：， .
根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的.
教师：如图，，类比数的乘法，可知 = .显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即 .
类似地，，同类可知 .显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即 .
教师：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
2.教学难点
数乘运算的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
教师：有一同学从O出发，向东行进，1秒后到达A点，按照相同的走法，问3秒后人在哪里，用向量怎么表示?
学生：思考.
教师：观察下图，可以看出向量与向量共线，并且，
（二）探索新知
探究一：向量的数乘运算
教师：已知非零向量，作出和 .它们的长度和方向分别是怎样的?学生：思考讨论.
设，为实数，那么：
（1）；
（2）；

《向量的数乘2》教学设计

《向量的数乘（2）》教学设计一、内容分析本节课是高中数学第二册《第一章平面向量》的第三节向量的数乘第二课时，本课时要求学生理解并掌握共线向量的运算含义和数乘运算律，要求学生理解并掌握量向量共线的性质和判定方法，从而熟练地运用这些知识处理有关的向量共线问题，结合新课标（2017）中的素养要求，在本课时的学习中，需逐步培养学生的数学运算和逻辑推理数学核心素养。

教材首先提出一个实际的问题，问题背景为张明从家到学校行走路线，引出正负数的加法可以看作是计算这些正负数代表的向量的和，然后分别用向量的观点重新认识初中学习过的数轴与实数，再归纳出数乘运算律。

之后通过两个实例分析，深化学生对平面向量数乘运算律的认识以及共线向量定理的应用，并培养其数学问题提出的能力。

二、教学目的通过具体实例，理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量数乘的运算，达到数学运算核心素养水平一的要求；理解并掌握两向量共线的性质和判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线的问题，达到逻辑推理核心素养水平二的要求，从而逐步提高数学运算能力以及逻辑推理核心素养。

三、重点难点重点：平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。

难点：平面向量数乘运算，运算律以及平面向量共线基本定理的应用。

四、核心素养○直观想象、●数学运算、○数据分析、○数学抽象、●逻辑推理、○数学建模．五、教学准备希沃白板5课件.六、教学流程->->->七、教学过程）共线向量是如何定义的？a的长度伸长到原来的倍，方向不变，得到向量b，向量b该如何a,b之间的关系如何？律的学习作准备。

㈡情境探索给出生活情境，思考问题：如图所示，在一条笔直的马路上，张明从家（点O）出发，往东走100m到公交站（点A）乘车，乘车往西行1.2km到达另一公交站（点B），下车后往东走200m到达学校，不乘公交车，张明从家走到学校应往什么方向走？走多远？总结：正负数的加法可以看作是计算这些正负数代表的向量的和。

苏教版高中数学必修四第五课时向量的数乘二教案

第五课时向量的数乘(二)教学目标：掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行并能熟练运用.教学重点：实数与向量积的运用. 教学难点：实数与向量积的运用. 教学过程： Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的条件.这一节，我们将在上述知识的基础上进行具体运用. Ⅱ.讲授新课［例1］已知ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：AE ∥CF . 证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点， ∴DE →＝12 DC →，BF →＝12 BA →，由向量加法法则可知：AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12 DC →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋12 BA →.∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝－CB →，DC →＝－BA →， ∴AE →＝－CB →－12 BA →＝－(CB →＋12 BA →)＝－CF → ∴AE →∥CF →， ∴AE ∥CF［例2］已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，证明AO ＝OC ，BO ＝OD . 分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的运算以及平面向量基本定理的综合应用.证明：∵A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线， ∴存在实数λ和μ，使得AO →＝λAC →，BO →＝μBD →. 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ∴AO →＝λ(a ＋b )，BO →＝μ(b －a ). 又∵AB →＋BO →＝AO →， ∴a ＋μ(b －a )＝ λ (a ＋b )，即 (1－μ－λ)a ＋(μ－λ)b ＝0，又∵a 与b 不共线，由平面向量基本定理，⎩⎨⎧=-=--01λμλμ，∴μ＝λ＝12 ， ∴AO ＝12 AC ，BO ＝12 BD ，即AO ＝OC ，BO ＝OD .［例3］已知G 为△ABC 的重心，P 为平面上任一点，求证：PG ＝13 (PA ＋PB ＋PC ). 证明：如图，设△ABC 三条中线分别为AM 、BK 和CL ，则易知AM ＝3GM ，由向量中线公式有：GM →＝12 (GB →＋GC →)，AM →＝12 (AB →＋AC →)，∴GB →＋GC →＝13 (AB →＋AC →)①同理可得GA →＋GB →＝13 (CA →＋CB →) ② GA →＋GC →＝13 (BA →＋BC →)③由式①＋②＋③得：2(GA →＋GB →＋GC →) ＝13 (AB →＋BA →＋AC →＋CA →＋CB →＋BC →)＝0 ∴GA →＋GB →＋GC →＝0 ∴3PG →＝PG →＋PG →＋PG →＝(PA →＋AG →)＋(PB →＋BG →)＋(PC →＋CG →)＝(PA →＋PB →＋PC →)＋(AG →＋BG →＋CG →)＝PA →＋PB →＋PC → ∴PG ＝13(PA ＋PB ＋PC ).［例4］AD 、BE 、CF 是△ABC 的中线，若直线EG ∥AB ，FG ∥BE . 求证：AD ∥＝GC .证明：如图，因为四边形BEGF 是平行四边形. 所以FB →＝GE →又因为D 是BC 的中点，所以BD →＝DC →，所以AD →－AB →＝AC →－AD →，所以AD →＝12 (AB →＋AC →)＝FB →＋EC →＝GE →＋EC →＝GC →所以AD ∥＝GC .［例5］设四边形ABCD 的两对角线AC 、BD 的中点分别是E 、F ，求证：12 ｜AB －CD ｜≤EF ≤12 (AB ＋CD ).证明：如图，∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →， EF →＝EC →＋CD →＋DF →，∴2EF →＝(EA →＋EC →)＋(AB →＋CD →)＋(BF →＋DF →)∵E 、F 分别是AC 、BD 的中点，∴EA →＋EC →＝0，BF →＋DF →＝0， ∴EF →＝12 (AB →＋CD →)又∵｜｜AB →｜－｜CD →｜｜≤｜AB →＋CD →｜≤｜AB →｜＋｜CD →｜， ∴12 ｜｜AB →｜－｜CD →｜｜≤｜EF →｜≤12 (｜AB →｜＋｜CD →｜)，即12 ｜AB －CD ｜≤EF ≤12 (AB ＋CD ).Ⅲ.课堂练习课本P 68练习1，2，3. Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.Ⅴ.课后作业课本P 69习题 9，10，12，13向量的数乘1．已知ABC D 中，点E 是对角线AC 上靠近A 的一个三等分点，设EA →＝a ，EB →＝b ，则向量BC 等于（） A. 2a ＋b B.2a －b C.b －2a D.－b －2a 2．若AB →＝5e 1，CD →＝－7e 1，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是（）A.平行四边形B.等腰梯形C.菱形D.梯形但两腰不相等3．设D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AB →＝－12 a －b ②BE →＝a ＋12 b ③CF →＝－12 a ＋12 b ④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 4．若O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1等于（） A. AO →B. BO →C. CO →D. DO →5．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足等式3x a ＋(10－y )b ＝2x b ＋(4y ＋7) a ，则x ＝，y ＝ .6．在△ABC 中，AE →＝15 AB →，EF ∥BC 交AC →于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示向量BF →为 .7．若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则实数k 的值为 .8．已知任意四边形ABCD 中，E 为AD 中点，F 为BC 的中点，求证：EF →＝12 （AB →＋DC →）.9．在△OAB 中，C 是AB 边上一点，且BC CA ＝λ(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b表示OC →.10．如图，OA →＝a ，OB →＝b ，AP →＝t AB →（t ∈R)，当P 是（1）AB →中点，（2）AB →的三等分点（离A 近的一个）时，分别求OP →.向量的数乘答案1．D 2．B 3．C 4．B 5．4711 1611 6．－a ＋15b 7．±18．已知任意四边形ABCD 中，E 为AD 中点，F 为BC 的中点，求证：EF →＝12 （AB →＋DC →）.证明：∵EF →＋FC →＋CD →＋DE →＝0，EF →＋FB →＋BA →＋AE →＝0 ∴EF →＝ED →＋DC →＋CF →，EF →＝EA →＋AB →＋BF →两式相加，2EF →＝ED →＋EA →＋DC →＋AB →＋CF →＋BF → ∵ED →＋EA →＝0，CF →＋BF →＝0 ∴EF →＝12 （AB →＋DC →）.9．在△OAB 中，C 是AB 边上一点，且BC CA ＝λ(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b 表示OC →.解：OC →＝11＋λ(b ＋λa )10．如图，OA →＝a ，OB →＝b ，AP →＝t AB →（t ∈R)，当P 是（1）AB →中点，（2）AB →的三等分点（离A 近的一个）时，分别求OP →.解：（1）∵P 为AB →中点，∴AP →＝12 （b －a ） ∴OP →＝a ＋12 (b －a )＝12 (a ＋b ). (2)∵AP →＝13 (b －a )∴OP →＝a ＋13 （b －a )＝13 (b ＋2a ).。

数学互动课堂学案：向量的数乘

互动课堂疏导引导1.向量数乘的定义及几何意义（1）实数λ与a的积是一个向量，记作λa，它的长|λa｜=｜λ｜·|a|。

它的方向是这样定义的：当a≠0时.λ＞0，λa与a同向;λ＜0，λa与a 反向;当λ=0或a=0时,0a=0或λ0=0.（2)根据向量数乘的定义。

a与λa为共线向量,两者方向相同或相反，(a≠0，λ≠0)在此前提下，λa可以理解为把a的长度扩大（|λ|＞1）或缩小（|λ|＜1)。

由此可得向量数乘的几何意义:就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小。

(3）几点说明①λa中的实数λ,叫做向量a的系数，此系数决定着λa与a的模的关系及方向相同或相反。

②向量数乘的特殊情况：当λ=0时,λa=0，而当a=0时，λa=0.③实数与向量可以求积，并且结果为一向量，但不能进行加、减运算，如λ+a,λ—a根本无意义。

2.向量数乘的运算律向量数乘满足下列运算律：设λ，u为实数，则（1）（λ+u）a=λa+u a,(2）λ（u a)=（λu）a，（3)λ(a+b)=λa+u b（分配律）。

疑难疏引向量数乘的运算律与中学代数中实数乘法的运算律极为相似，只是向量的数乘分配律由于因子的不同，可分为（λ+u)a=λa+u a 和λ（a+b)=λa+u b。

但两者也有区别:中学代数中的实数运算的结果是一个数，只满足一种分配律,而向量的数乘的结果是一个向量,满足两种分配律。

3.向量的线性运算向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算，也叫做向量的初等运算.案例1 （1）计算下列各式：①2（a +b ）—3(a —b ）；②3（a -2b +c )—（2c +b —a ）； ③52（a -b )—31(2a +4b ）+152(2a +13b ）. （2）设x 、y 是未知向量解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.21,21b y x a y x【探究】要解决(1）中的问题，需要用到数乘向量的运算律。

人教A版(新教材)必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算学案(含答案)

人教A版（新教材）必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算学案（含答案）6.2.3向量的数乘运算向量的数乘运算学习目标1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.知识点一向量数乘的定义实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下1|a||||a|.2aa0的方向当0时，与a的方向相同；当0时，与a的方向相反.特别地，当0时，a0.当1时，1aa.知识点二向量数乘的运算律1.1aa.2aaa.3abab.特别地，aaa，abab.2.向量的线性运算向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有1a2b1a2b.知识点三向量共线定理向量aa0与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba.思考向量共线定理中为什么规定a0答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线.1若b0，则不存在实数，使ba.2若b0，则对任意实数，都有ba.1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.提示当b0，a0时，实数不唯一.2.若ba，则a与b共线.3.若a0，则a0.提示若a0，则a0或0.4.|a||a|.提示|a||||a|.一.向量的线性运算例11若a2bc，化简3a2b23bc2ab等于A.aB.bC.cD.以上都不对答案C解析原式3a6b6b2c2a2ba2b2c2bc2b2cc.2若3xa2x2a4xab0，则x________.答案4b3a解析由已知，得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.反思感悟向量线性运算的基本方法1类比法向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号.移项.合并同类项.提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”.“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.2方程法向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1计算ab3ab8a.解ab3ab8aa3ab3b8a2a4b8a10a4b.二.用已知向量表示其他向量例2如图，在ABCD中，E是BC 的中点，若ABa，ADb，则DE等于A.12abB.12abC.a12bD.a12b答案D解析因为E是BC的中点，所以CE12CB12AD12b，所以DEDCCEABCEa12b.反思感悟用已知向量表示其他向量的两种方法1直接法2方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练2在ABC中，若点D满足BD2DC，则AD等于A.13AC23ABB.53AB23ACC.23AC13ABD.23AC13AB答案D解析示意图如图所示，由题意可得ADABBDAB23BCAB23ACAB13AB23AC.三.向量共线的判定及应用例3设a，b是不共线的两个向量.1若OA2ab，OB3ab，OCa3b，求证A，B，C三点共线；2若8akb与ka2b共线，求实数k的值.1证明ABOBOA3ab2aba2b，而BCOCOBa3b3ab2a4b2AB，AB与BC共线，且有公共点B，A，B，C三点共线.2解8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akbka2b，即8kak2b0，a与b不共线，8k0，k20，解得2，k24.反思感悟1证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得ABAC或BCAB 等即可.2利用向量共线求参数的方法已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.跟踪训练3已知向量e1，e2不共线，如果ABe12e2，BC5e16e2，CD7e12e2，则共线的三个点是________.答案A，B，D解析ABe12e2，BDBCCD5e16e27e12e22e12e22AB，AB，BD共线，且有公共点B，A，B，D三点共线.三点共线的常用结论典例如图所示，在ABC 中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为A.1B.2C.3D.4答案B解析连接AO图略，O是BC的中点，AO12ABAC.又ABmAM，ACnAN，AOm2AMn2AN.又M，O，N三点共线，m2n21，则mn2.素养提升1本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使OAxOByOC，且xy1.2应用时一定注意O是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养.1.下列运算正确的个数是32a6a；2ab2ba3a；a2b2ba0.A.0B.1C.2D.3答案C解析根据向量数乘运算和加减运算规律知正确；a2b2baa2b2ba0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.2.如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若ABa，ACb，则AM等于A.12abB.12abC.12abD.12ab答案C解析因为M是BC的中点，所以AM12ab.3.设P是ABC所在平面内一点，BCBA2BP，则A.PAPB0B.PCPA0C.PBPC0D.PAPBPC0答案B解析因为BCBA2BP，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.4.化简4a3b62ba________.答案10a解析4a3b62ba4a12b12b6a10a.5.设e1与e2是两个不共线向量，AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k________.答案94解析因为A，B，D三点共线，故存在一个实数，使得ABBD，又AB3e12e2，CBke1e2，CD3e12ke2，所以BDCDCB3e12ke2ke1e23ke12k1e2，所以3e12e23ke12k1e2，所以33k，22k1，解得k94.1.知识清单1向量的数乘及运算律.2向量共线定理.2.方法归纳数形结合.分类讨论.3.常见误区忽视零向量这一个特殊向量.。

高中数学 2_2_3 向量的数乘(2) 学案(无答案)苏教版

2.2.3向量的数乘（2）【教学目标】理解向量共线的含义，掌握向量共线定理。

能运用实数与向量的积解决有关问题．【教学重点】两个向量共线（平行）的充要条件．【教学难点】两个向量共线含义的理解及其应用．【教学过程】一、引入：1．填空：（1）=||a λ ；（2）当0>λ时，a λ与a 方向；当0<λ时，a λ与a方向；当0 =时，a λ= ；当0=λ时，a λ= ．（3）=)(a μλ ； =+a )(μλ ； =+)(b a λ ．（4）若向量与方向相反，且5||,2||==，则与的关系是．（5）设,是已知向量，若)(3)(2=--+，则= ．2．如图，D ，E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，求证：BC 与DE 共线，并将DE 用BC 线性表示．3．向量共线定理：如果有一个实数λ，使=b ，)0( ≠a ，那么；反之，如果b 与a )0( ≠a 是共线向量，那么．注意：)0(≠=λλa b 可写成b a λ1=，但不能写成λ=a b 或λ=ba ． 4．提问：上述定理中，若无条件0≠a ，会有什么结果？二、新授内容：例1．（1）判断向量21245a e e =-，12110b e e =-是否共线；（2）设e 是非零向量，若e b a e b a 32,2-=-=+，试问：向量a 与b 是否共线．【变式拓展】如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线．例2．设两个非零向量12,e e 不共线，如果1223AB e e =+，12623BC e e =+，1248CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线．【变式拓展】1.设12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，A BCDE122CD e e =-，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．2．已知O 是平面上一点，证明：A 、B 、C 三点共线OC xOA yOB ⇔=+，且y x +＝1．例3．如图，在OAB ∆中，C 是AB 上一点，且2CB AC =，设OA a =，OB b =，试用a ，b 表示OC ．【变式拓展】如图，OAB ∆中，C 为直线AB 上一点，)1(-≠=λλ，求证：λλ++=1OC ．O a b三、课堂反馈：1．已知向量253,32-==，则与（填“共线”或“不共线”）． 2．点R 在线段PQ 上，且53=，设λ=，则=λ ． 3．如图，在△ABC 中，12CD AE DA EB ==，记,BC a CA b ==，求证：)(31-=．4．已知向量)(3,221221--=-=，求证：a 与b 是共线向量．5．已知向量21212,24+=+=，求证：Q P M ,,三点共线．四、课后作业：姓名：___________ 成绩:___________1．已知e 是单位向量，向量a 的模为2，若a e λ=，则实数λ= ．2．在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB a =，AD b =，用a ，b 表示CE = ．3．已知点P 在直线MN 上，且||=2||MP PN ，设MP PN λ=，则λ的值为．4．给出下列命题：①若||||=，则=； ②若=，则∥； ③若0||=，则=； ④,3,2-==则∥．其中，正确的序号是．5．若O 是平行四边形ABCD 的中心，且216,4e BC e AB ==，则=-1223e e ．6．若G 是△ABC 的重心，则=++GC GB GA ．7．已知)(3,82,5-=+-=+=，则三点共线．8．如图，设点Q P ,是线段AB 的三等分点，若b OB a OA ==,，试用b a ,表示向量OQ OP ,．9．设两个非零a 与b 不共线．（1）若AB a b =+，28BC a b =+，3()CD a b =- 求证：A ，B ，D 三点共线；（2）试确定实数k ，使ka b +和a kb +共线．10．设F E D ,,分别是ABC ∆的边AB CA BC ,,上的点，且AB AF 21=，BC BD 31=， CA CE 41=．若记==,，试用,表示,,．11.如图，平行四边形ABCD中，E是DC的中点，AE交BD于M，试用向量的方法证明：M是BD的一个三等分点．。

6.2.3 向量的数乘运算教案-2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算教案第一课时向量数乘运算及其性质（一）课时教学内容向量数乘运算及其性质．（二）课时教学目标借助实例分析，掌握向量的数乘运算及其性质．（三）教学重点与难点重点：向量的数乘运算、运算规则．难点：对向量数乘运算的理解．（四）教学过程设计引言：我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？1．创设问题，引入新知问题1 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+ (-a)+ (-a)，它们的长度和方向是怎样的？师生活动：教师组织学生画图尝试计算，并从形与数两个角度表达自己的计算结果．教师还可以组织学生举一些类似的例子，并探究结论．如可以借助几何画板等信息技术手段作出4a等向量，与向量a进行比较，发现它们之间的关系．让学生初步体会对的不同值，向量与a之间的关系，体会这种向量运算所蕴含的数与形的含义．最后教师引导学生类比数的乘法，给出向量数乘运算的概念．设计意图：类比数的加法运算，用向量加法运算法则，计算3个向量a（或-a）的和，用简约的方式表示计算的结果，进而提出向量数乘运算的概念，发展学生的运算素养．2．巩固向量数乘运算的概念问题2如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？师生活动：教师组织学生自己画图，分析、表达结果：b=3.5a，b的方向与a的方向相同，b的长度是a的长度的3.5倍．设计意图：通过用向量a表示结果，探讨结果的长度与方向，巩固向量数乘运算的概念．3．探究向量数乘运算的运算律问题3 我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么向量数乘运算有哪些运算律呢？请你写出来并加以验证．师生活动：学生类比数的运算律提出向量数乘运算的运算律，再借助向量数乘运算的定义，自主验证向量数乘运算的三个运算律．对于有困难的学生可以组间交流，教师指导．另外，在教师引导下，将向量的加法、减法和数乘向量统称为向量的线性运算，即定义线性运算．要给学生说明，有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这就为向量法解决几何问题奠定了基础．关于向量的线性运算的运算性质，也要让学生加以了解．设计意图：学生类比数的运算律自行猜想出向量数乘运算的运算律，并借助向量数乘运算的定义及其几何意义加以验证．帮助学生积累从运算的定义出发，发现数学运算的一些性质的学习经验．4．巩固新知例1 计算：（1）(-3)×4a；（2）3(a+b)-2(a-b)-a；（3）(2a+3b-c)- (3a-2b+c)．师生活动：教师引导学生步步有据地展开运算，给出运算过程和结果．教师必要时可以提醒学生，虽然向量的数乘运算及运算律与数的运算及运算律非常类似，但也要注意区别，运算的结果是向量而不是数量．设计意图：帮助学生巩固向量数乘的概念及运用向量数乘的运算律进行计算，理解其中的算理，发展学生的数学运算素养．例2 如图1，,师生活动：（1）让学生自主尝试本问题的解决，体会化归的思想方法；（2）教师适时渗透“给定平面内任意两个不共线的向量a，b，能否用它们表示该平面内的其他向量”的问题，培养问题意识，为平面向量基本定理的教学埋下伏笔．设计意图：巩固向量加法、减法及向量数乘运算的定义，会用两个向量表示其他向量，渗透用向量研究几何问题的意识，为后继学习平面向量基本定理奠定基础．5．课堂练习教科书第15页的练习．设计意图：考查学生向量数乘运算及其几何意义的理解情况．6．布置作业习题6.2的第8题．（五）目标检测1．设a，b为向量，计算下列各式：（1）．设计意图：考查学生对向量数乘运算及其性质的掌握情况．2．把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积：（1）设计意图：考查学生对向量数乘运算及其性质的掌握情况．第二课时共线向量与向量数乘运算的关系教案（一）课时教学内容共线向量与向量数乘运算的关系．（二）课时教学目标掌握共线向量与向量数乘运算的关系．（三）教学重点与难点重点：共线向量与向量数乘运算的关系．难点：对共线向量与向量数乘运算的关系的理解．（四）教学过程设计1．创设情境，探讨共线向量定理问题1向量数乘运算具有明显的几何意义，根据向量数乘运算，你能发现向量与a （a ≠0，是实数）之间的位置关系吗？对于向量a，b及实数，（1）如果b=a（a≠0），向量a与b是否共线？（2）如果向量b与非零向量a共线，b=a成立吗？师生活动：学生独立思考的基础上，小组交流．从正反两个方面讨论共线向量的数乘运算表达．引导学生概括共线向量定理，并关注学生对定理中有关充要条件以及对的唯一性的理解．这里可以借助信息技术手段加以演示，让学生直观感知共线向量定理．最后师生共同概括出共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa．追问1：如图1，若P为AB的中点，则的关系如何？学生独立思考的基础上得到：设计意图：让学生通过探讨共线向量与向量数乘运算的关系得出共线向量定理．2．例题引领，综合运用知识例1如图2，已知任意两个非零向量a，b，试作．猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想．师生活动：学生自主尝试，作图、观察，得到猜想：A，B，C三点共线．教师可以运用多媒体手段辅助，让学生充分直观感知猜想的合理性．然后，教师引导学生转换命题，体会判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线．由于两点确定一条直线，如果能够判断第三点在这条直线上，那么就可以判断这三点共线．本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即考虑是否存在λ，使成立．最后，师生共同给出证明．追问2：已知不共线向量a，b，作向量终点轨迹有什么规律吗？（呢？）追问3：已知不共线向量a，b你能解释的几何意义吗？向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数．设计意图：通过操作、观察，让学生掌握利用向量共线判断三点共线的方法，提高学生综合运用向量知识解决问题的能力，发展直观想象和逻辑推理数学素养．例2已知a，b是两个不共线的向量，向量共线，求实数t 的值．师生活动：教师引导学生阅读题意，明晰题目的条件和要求的结论．学生先自主探究，然后交流解题思路，在学生充分讨论的基础上，教师适时介入，并概要地说明解决问题的关键：判断两个向量共线，首先要考虑其中一个向量不为零向量，可以采取反证法说明向量a－b不为零向量（否则a，b共线），就可以运用共线向量定理建立两个向量之间的关系，进而把这个关系转化成方程或方程组，使问题获得解决．教学中应引导学生体会：（1）数学解题的过程本来就是依据数学的概念、法则、定理、公式等进行命题转化的过程；（2）方程（组）思想是求解未知量的极好武器．设计意图：让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．3．课堂小结提升问题2通过本节课的学习，我们知道了向量的数乘运算及其几何意义，那么实数与向量还能有其他运算吗？比如相加、相减、相除．你认为共线向量定理与证明平面几何中三点共线、直线平行和线段数量关系之间有什么关系？师生活动：学生思考、回答，教师总结：实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减，实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量．向量共线定理是用向量方法证明平面几何中三点共线、直线平行和线段数量关系的理论依据．设计意图：通过问题2对本节课内容进行小结，进一步加深学生对向量数乘运算的理解．4．课堂练习教科书第16页的练习．设计意图：考查学生对共线向量定理的理解情况．5．布置作业习题6.2的第9，14题．（五）目标检测设计1．已知共线，求实数t的值．设计意图：考查学生将向量共线问题转化为方程组问题求解的能力．2．已知，求证：A，B，C三点共线．设计意图：考查学生运用数乘向量运算和共线向量定理进行推理的能力．3．如图，成立，则=（）．设计意图：考查学生结合图形性质运用向量线性运算求解的能力．（六）单元小结问题（1）概述本单元平面向量加法、减法、向量数乘运算（向量的线性运算）是如何定义的．（2）结合实例分别说明向量加法、减法和向量数乘运算的几何意义，共线向量与向量数乘运算的关系．（3）说明为什么要研究平面向量加法、向量数乘运算的运算律，这些运算律的几何意义是什么．（4）概述平面向量线性运算有哪些简单应用．师生活动：提出问题后，先让学生思考并作适当交流，师生辨析完善．在这个过程中，教师不仅要关注学生对基本知识的表达，更要关注学生是否善于借助举例表达对相关知识的理解，是否能察觉知识发生发展的过程中重要的数学思想方法，是否善于概括总结自己的学习收获，发展学生的数学素养．设计意图：（1）让学生回顾借助物理背景，类比数的运算定义向量加法、减法和向量数乘运算的过程．（2）让学生体会向量集几何、代数于一身的两重性，给我们研究数学问题带来极大的方便，如向量数乘运算直接刻画了一类平行向量的关系．（3）让学生体会运算律为我们进行向量的综合运算，进而解决一些相关的问题带来很大方便．（4）明确向量线性运算的背景、法则、几何意义、运算律的基础上，让学生梳理向量线性运算在解决简单的几何问题、物理问题等方面的运用，初步体会向量运算的作用．。

2.2.2向量的数乘运算及其几何意义导学案-2021-2022学年高一数学人教A版必修4

2.2. 2向量的数乘运算及其几何意义学习目标、细解考纲1.掌握向量数乘运算法则，并理解其几何意义；2.让学生能由实数运算律类比向量运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果；3.初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。

4．通过向量的数乘运算学习，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养；一、自主学习—————（素养催化剂）预习教材P85—P861．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向；当λ＜0时，λa的方向与a的方向．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μ a)＝；②(λ＋μ)a＝；③λ(a＋b)＝；特别地，有(－λ)a＝＝；λ(a－b)＝．2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝．二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)例1：若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝．变式1：已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.变式2：本例中条件“AB →＝2e 1－8e 2”改为“AB →＝2e 1＋k e 2”且A ，B ，D 三点共线，如何求k 的值？例4、设OA →，OB →不共线，且OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )．(1)若a ＝13，b ＝23，求证A ，B ，C 三点共线； (2)若A ，B ，C 三点共线，则a ＋b 是否为定值？并说明理由．四、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）例2 :(1)已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB→＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．:已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，求x ＋y 的值．例3：如图，▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，则DE →＝( )A ．12a －bB ．12a ＋bC ．a ＋12bD ．a －12b变式3：本例中，若点F 为边AB 的中点，设a ＝DE →，b ＝DF →，用a ，b 表示DB →.三、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）。

向量的数乘运算教案

向量的数乘运算教案教案标题：向量的数乘运算教案教学目标：1. 理解向量的数乘运算的概念和性质；2. 掌握向量的数乘运算的计算方法；3. 能够应用向量的数乘运算解决实际问题。

教学重点：1. 向量的数乘运算的定义和性质；2. 向量的数乘运算的计算方法。

教学难点：1. 理解向量的数乘运算的几何意义；2. 运用向量的数乘运算解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算工具、教学PPT；2. 学生准备：课本、笔记本、计算工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师引入向量的数乘运算的概念，通过实际例子说明向量的数乘运算的意义和应用；2. 提问学生：你们对向量的数乘运算有什么了解？有什么应用场景？二、概念讲解（10分钟）1. 教师介绍向量的数乘运算的定义和性质，包括数乘的定义、数乘的性质（分配律、结合律等）；2. 教师通过几何图形解释向量的数乘运算的几何意义。

三、计算方法（15分钟）1. 教师详细讲解向量的数乘运算的计算方法，包括向量与实数的相乘、向量的分量与实数的乘积等；2. 教师通过示例演示向量的数乘运算的具体计算步骤。

四、练习与讨论（15分钟）1. 学生进行课堂练习，计算给定向量的数乘运算；2. 学生互相讨论解题方法和答案，并与教师进行交流。

五、拓展应用（10分钟）1. 教师引导学生思考向量的数乘运算在实际问题中的应用，如力的合成、速度的变化等；2. 学生尝试应用向量的数乘运算解决实际问题，并与教师分享解题思路和结果。

六、归纳总结（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结和归纳，强调向量的数乘运算的重要性和应用；2. 学生进行笔记整理，梳理向量的数乘运算的关键点和方法。

七、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关练习题作为课后作业，巩固向量的数乘运算的知识；2. 教师提醒学生预习下节课的内容，做好课前准备。

教学反思：本节课通过引入实际例子、概念讲解、计算方法、练习与讨论、拓展应用等环节，全面介绍了向量的数乘运算的概念、性质和计算方法，培养了学生的计算能力和应用能力。

向量的数乘教案

向量的数乘教案教案：向量的数乘教学目标：1. 了解向量的数乘的概念和性质。

2. 掌握向量的数乘的计算方法。

3. 能够应用向量的数乘解决简单的几何问题。

教学重点：1. 向量的数乘的概念和性质。

2. 向量的数乘的计算方法。

教学难点：1. 向量的数乘的性质的理解与运用。

2. 向量的数乘与几何问题的联系。

教学准备：白板、黑板笔、教学课件、练习题。

教学过程：Step 1：引入新知识（5分钟）1. 向学生展示一个重量物品的图像，并询问学生这个图像代表的是什么，并引导学生思考一个问题：如果这个重量物品增加2倍重量，该如何表示？2. 引导学生思考数乘概念，引出向量的数乘的概念。

Step 2：向量的数乘的概念与性质（10分钟）1. 讲解向量的数乘的概念：向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个实数。

2. 引导学生思考数乘的性质：数乘的结果仍然是一个向量，数乘后的向量与原向量的方向相同或相反，数乘后的向量的大小是原向量的大小的乘积。

Step 3：向量的数乘的计算方法（15分钟）1. 讲解向量的数乘的计算方法：将实数分别乘以向量的每个分量。

2. 在黑板上进行示范演示，引导学生逐步理解向量的数乘的计算方法。

Step 4：向量的数乘的应用（15分钟）1. 引导学生思考数乘在几何问题中的应用。

例如，一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，经过3小时，汽车行驶的距离如何表示？2. 让学生独立思考并解答应用题，加深对向量的数乘的应用理解。

Step 5：练习与巩固（10分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成，再进行学生讲解答案。

2. 在学生出现错误或不理解的地方进行解答和讲解。

Step 6：小结与反思（5分钟）1. 总结向量的数乘的概念、性质和计算方法。

2. 引导学生思考向量的数乘在几何问题中的应用。

教学延伸：1. 调查与讨论向量的数乘在实际生活中的应用，例如速度、力和功等。

2. 深入研究向量的数乘的性质和计算方法，并解决更复杂的几何问题。

人教版数学必修四：2.2.3向量的数乘(2)学案(教师版)

课题：§2.2 .3 向量的数乘（2）总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】（1）理解向量共线含义,掌握向量共线定理，会判断两个向量是否共线（2）学会综合运用向量的加减法法则、数乘向量运算及向量共线定理,证明简单的几何问题.【重点难点】重点：向量共线定理，难点：向量共线定理的证明和应用。

【学习过程】一、自主学习与交流反馈：如图：D 、E 分别为ΔABC 的边AB 、AC 的中点.问题1：与共线吗？问题2：能用线性表示吗？学生活动通过解答以上的问题，我们看到，如果两个向量共线，那么其中的一个向量可以由另一个（非零）向量的数乘来表示，即线性表示。

二、知识建构与应用：向量共线定理：如果有一个实数λ,使)(≠=λ,那么与是共线向量;反之,如果与)(≠是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使λ=。

定理的证明（证明要从两方面来进行）。

让学生体会定理中的≠的含义。

三、例题例1 如图,ΔOAB 中,C 为直线AB 上一点, =λ (λ≠-1).求证:λλ++=1OC A C BO提问：上例中，当λ=1时，你能得到什么结论？E D C B A提问：当λ>0,λ<0时点C 分别在直线AB 的什么位置上?提问:当C 与A 重合时λ的值是多少? C 与B 能重合吗？探究例1的结论也可写成λλλ+++=111,其中两个系数之和是常数1，我们发现如果满足以下的要求，则C B A ,,三点共线。

(1) 存在确定的实数λ使AC =λCB (λ≠-1).(2)平面上另有一点C ，若存在两个实数t s ,且1=+t s ，使t s +=. 两者等价（证明选讲）例2 判断下列各题中的向量是否共线：（1）21245a e e =-，12110b e e =-；其中1e ，2e 不共线（2）12a e e =+，1222b e e =-，其中1e ，2e 共线．提问：以上的例题中，“12,e e 不共线”有什么意义？四、巩固练习1．已知b a ,都是非零向量，且,032=+b a 求证：b a //.2．已知向量1222a e e =-，213()b e e =--，求证：a 与b 是共线向量。

高中数学《向量数乘运算及其几何意义》教案2 新人教A版必修4

2.2.3 向量的数乘运算及几何意义（1）一、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；二、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律。

三、教学过程：（一）复习：已知非零向量a r ，求作a a +r r 和()()a a -+-r u u r ．如图：OB a a =+u u u r r r 2a =r ，()()CE a a =-+-u u u r r r 2a =-r ．（二）新课讲解：1．实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=r r ；（2）当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反；当0λ= 时，0a λ=r r ．2．实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ=r r （结合律）；（2）()a a a λμλμ+=+r r r （第一分配律）；（3）a b λλλ+r r r r （a+b ）=（第二分配律）．3．例1 计算：（1）(3)4a -⨯r ；（2）3()2()a b a b a +---r r r r r ；（3）(23)(32)a b c a b c +---+r r r r r r ．解：（1）原式=12a -r ；（2）原式=5b r ；（3）原式=52a b c -+-r r r ．例2．已知向量a ϖ和向量b ϖ，求作向量b a a ρρρρ325.2--和4．练习计算：（1）)2(2)(3b a b a +-- （2）)243(3)362(2c b a c b a -+---+ （3）教材P90面5题 5．思考例3．a -r E a r a r a r O B A C D a -r )0( ρρρρ≠a a a 有何关系？与λ. ab a b ρρρρλλ=，使得一个实数共线当且仅当有且只有与非零向量向量是否共线？向量212122 ,e e b e e a +-=-=ρρ例4．教材例7。

第4课时2.2向量的数乘教案

第4课时2.2向量的数乘教案
第4课时§2.2向量的数乘
【教学目标】
一、知识与技能
向量数乘定义。

向量数乘的运算律。

二、过程与方法
在对有关数乘问题的解决中理解数乘概念和实际意义.
三、情感、态度与价值观
联系生活实际学习向量的数乘让学生感受数学美
【教学重点难点】向量的数乘的定义和运算律
一、复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，
二、讲解新课：
．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
；
当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当时，．
．实数与向量的积的运算律：
；
；
．
．向量共线定理：
内容：
三、例题分析：
例1、计算：；
；
例2、如图，已知，．试判断与是否共线．
例3、判断下列各题中的向量是否共线：
；
且，共线．
当，中至少有一个为零向量时，显然与共线．
例4、设是两个不共线的向量，已知，，，
若，，三点共线，求的值．
五、课时小结：
．掌握实数与向量的积的定义；
．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；．理解向量共线定理，并会判断两个向量是否共线。

高中数学6.2.3向量的数乘运算学案新人教A版必修第二册

6．2.3 向量的数乘运算问题导学预习教材P13－P16的内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|．(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．■名师点拨λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．2．向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么：(1)λ(μa)＝(λμ)a．(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa．(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．3．向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．(2)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．■名师点拨若将定理中的条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a 的积还是向量．( )(2)3a 与a 的方向相同，－3a 与a 的方向相反．( ) (3)若m a ＝m b ，则a ＝b .( )(4)向量共线定理中，条件a ≠0可以去掉．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b答案：D若|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 方向相同，则下列关系式正确的是( ) A ．b ＝2a B ．b ＝－2a C ．a ＝2b D ．a ＝－2b 答案：A在四边形ABCD 中，若AB →＝－12CD →，则此四边形的形状是________．答案：梯形向量的线性运算 (1)计算：①4(a ＋b )－3(a －b )－8a ； ②(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )； ③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）. (2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )．【解】 (1)①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b .②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c .③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b . (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j＝－53i －5j .向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．1．化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋215(2a ＋13b )＝________．解析：原式＝25a －25b －23a －43b ＋415a ＋2615b ＝(25－23＋415)a ＋(－25－43＋2615)b ＝0a ＋0b ＝0＋0＝0.答案：02．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，求未知向量x .解：因为2x －23a －12b －12c ＋32x ＋b ＝0，所以72x －23a ＋12b －12c ＝0，所以72x ＝23a －12b ＋12c ，所以x ＝421a －17b ＋17c .向量共线定理及其应用已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．【解】 (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. 所以AB →，BD →共线，且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线． (2)因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1.向量共线定理的应用(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． (2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB →＝λAC →，则AB →与AC →共线，又AB →与AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________．解析：由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13. 答案：－13用已知向量表示其他向量如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB的中点，已知AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．(1)AC →＝________； (2)MN →＝________．【解析】因为AB →∥CD →，|AB →|＝2|CD →|，所以AB →＝2DC →，DC →＝12AB →.(1)AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1.(2)MN →＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2.【答案】 (1)e 2＋12e 1 (2)14e 1－e 2[变条件]在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →. 解：因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →， MN →＝MC →＋CB →＋BN →，所以2MN →＝(MD →＋MC →)＋DA →＋CB →＋(AN →＋BN →)．又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD →＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0. 所以2MN →＝DA →＋CB →，所以MN →＝12(－AD →－BC →)＝－12e 2－12e 1.用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF →＝( )A ．12AB →＋12AD →B ．－12AB →－12AD →C ．－12AB →＋12AD →D ．12AB →－12AD → 解析：选D.EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－12AD →.1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( )A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B.原式＝16(2a ＋8b )－13(4a －2b )＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b .2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝( )A.BO →B.AO →C.CO →D.DO →解析：选A.BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1，BO →＝12BD →＝32e 2－e 1.3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2.又AB →＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)，所以AB →＝2BD →，所以AB →与BD →共线．因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．[A 基础达标]1.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa |≥|a | C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|－λa |＝|λ|a解析：选C.当λ取负数时，a 与－λa 的方向是相同的，选项A 错误；当|λ|<1时，|－λa |≥|a |不成立，选项B 错误；|－λa |＝|λ|a 中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D 错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a 与λ2a 的方向相同，故选C.2．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4D ．3或4解析：选A.因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m，解得m ＝－1或m ＝3.3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则( ) A.AO →＝2OD → B.AO →＝OD → C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →解析：选B.因为D 为BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OD →，所以2OA →＋2OD →＝0，所以OA →＝－OD →，所以AO →＝OD →.4．设a ，b 不共线，AB →＝a ＋k b ，AC →＝m a ＋b (k ，m ∈R )，则A ，B ，C 三点共线时有( ) A ．k ＝m B ．km －1＝0 C ．km ＋1＝0D ．k ＋m ＝0解析：选B.若A ，B ，C 三点共线，则AB →与AC →共线，所以存在唯一实数λ，使AB →＝λAC →，即a ＋k b ＝λ(m a ＋b )，即a ＋k b ＝λm a ＋λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λm ＝1，λ＝k ，所以km ＝1，即km －1＝0.5．(2019·山东青岛胶南八中期中检测)在△ABC 中，若AB →＋AC →＝2AP →，则PB →等于( ) A ．－12AB →＋32AC →B.12AB →－32AC →C.12AB →－12AC → D ．－12AB →＋12AC →解析：选C.由AB →＋AC →＝2AP →得AP →＝12(AB →＋AC →)，所以PB →＝PA →＋AB →＝－12(AB →＋AC →)＋AB →＝12AB →－12AC →. 6．若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝________．解析：由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0，所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 答案：4b －3a7．已知点P 在线段AB 上，且|AB →|＝4|AP →|，设AP →＝λ PB →，则实数λ＝________．解析：因为|AB →|＝4|AP →|，则AP →的长度是PB →的长度的13，二者的方向相同，所以AP →＝13PB →.答案：138．设a ，b 是两个不共线的向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________．解析：因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k ＜0)．答案：－4 9．计算：(1)13()a ＋2b ＋14(3a －2b )－12(a －b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a .解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 10．已知两个非零向量a 与b 不共线，OA →＝2a －b ，OB →＝a ＋3b ，OC →＝k a ＋5b . (1)若2OA →－OB →＋OC →＝0，求k 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，求k 的值．解：(1)因为2OA →－OB →＋OC →＝2(2a －b )－a －3b ＋k a ＋5b ＝(k ＋3)a ＝0，所以k ＝－3. (2)AB →＝OB →－OA →＝－a ＋4b ，AC →＝OC →－OA →＝(k －2)a ＋6b ，又A ，B ，C 三点共线，则存在λ∈R ，使AC →＝λAB →，即(k －2)a ＋6b ＝－λa ＋4λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －2＝－λ，6＝4λ，解得k ＝12.[B 能力提升]11．在△ABC 中，G 为△ABC 的重心，记a ＝AB →，b ＝AC →，则CG →＝( ) A.13a －23b B.13a ＋23bC.23a －13b D.23a ＋13b 解析：选A.因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .12.如图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的有( )①OA →＋2OB →； ②34OA →＋13OB →； ③12OA →＋13OB →； ④34OA →＋15OB →. A ．①② B ．①②④ C ．①②③D ．③④解析：选A.依题意，在题图中的阴影区域内任取点E ，连接OE 交AB 于点F ，则有OE →＝λOF →＝λ[xOA →＋(1－x )OB →]＝λxOA →＋(1－x )λOB →，其中0<x <1，λ>1，注意到λx ＋(1－x )λ＝λ>1；注意到1＋2＝3>1，34＋13>34＋14＝1，12＋13＝56<1，34＋15＝1920<1，故选A.13.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________．解析：直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →)＝AB →＋3AC →－3AD →，AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.答案：－214．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e ，f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．解：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，所以AD →与BC →方向相同，且AD →的模为BC →的模的2倍，即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．[C 拓展探究]15．设OA →，OB →不共线，且OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )． (1)若a ＝13，b ＝23，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若A ，B ，C 三点共线，则a ＋b 是否为定值？并说明理由．解：(1)证明：当a ＝13，b ＝23时，OC →＝13OA →＋23OB →，所以23(OC →－OB →)＝13(OA →－OC →)，即2 BC →＝CA →，所以BC →与CA →共线，又BC →与CA →有公共点C ，所以A ，B ，C 三点共线． (2)a ＋b 为定值1，理由如下：因为A ，B ，C 三点共线，所以AC →∥AB →，不妨设AC →＝λAB →(λ∈R )，所以OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，又OC →＝aOA →＋bOB →，且OA →，OB →不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－λ，b ＝λ，所以a ＋b ＝1(定值)．。