2.4 矩阵运算的转置、方阵行列式性质

§2.4 矩阵的转置性质和行列式性质

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乘法：记作.C AB =

11221

s ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b ==+++=∑ ()1,2,;1,2,,,i m j n ==

不是所有矩阵都可以相乘的，必须左边矩阵的列数=右边矩阵的行数。m l l n m n A B C ⨯⨯⨯=，它们的积为：左边矩阵的各行与右边矩阵的

各列对应元素积的和。

注：①一般地，.AB BA ≠

②两个非零矩阵的积可能是零矩阵。（实数中不可能有的）

（3）若AB=AC ，不一定有B=C 。

说明矩阵相乘，两个矩阵的顺序非常重要。

（4） 乘方()m A m N +∈，A 是n 阶方阵。

0A E =，,m k m k A A A +=().k m mk A A =().k

k k AB A B ≠

新授：矩阵的乘法运算

一、转置运算及性质

1）();T T A A =();T T T A B A B +=+();T T A A λλ=().T

T T AB B A = 例6：已知171201,423,132201A B -⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭

().T AB 求 解法一：171201423132201AB -⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭

0143,171310-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()0171413.310T AB ⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪-⎝⎭

解法二：()

T T T AB B A =142217*********⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭0171413.310⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

练习：

（2）;AE EA A ==（E 与实数1地位相同）

为了进一步讨论矩阵的性质，我们为矩阵引入了n 阶方阵的行列式的概念，即：把n 阶方阵A 对应的行列式，称为方阵A 的行列式。记为detA 。

从这把矩阵与行列式联系起来。

2368A ⎛⎫= ⎪⎝⎭例2368A =则 2.=- 练习：

二、方阵行列式的性质

例7：1322A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2534B ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，求det(A+B)，det(AB)。 解：①38det()6403452

A B +==-=- 13det 822A ==--，25det 734

B ==- 结论（1）：det()det det A B A B +≠+

②1117det()5622

AB ==-，det det 56A B = 结论（2）：det()det det AB A B =

③12det 832

T A ==-- 结论（3）：det det T A A =

④ 261813det(6)666det 121222

A A ==⨯=-- 结论（4）：det()det n n n kA k A =

关于方阵的行列式，容易出错的地方有两个结论（1）和结论（4），一定要引起注意。

练习：

小结：

矩阵：矩形的数表。

类型：行，列，零，同型，负，转置，方阵：（三角，对角（数量——单位），对称，反对称）

运算：加减（同型），数乘，乘遍每一个元素。

乘法：.AB BA ≠

若AB=AC ，不一定有B=C 。

().T T T AB B A =().k

k k AB A B ≠ det()det det A B A B +≠+

det()det n n n kA k A =