江苏省天一中学数学竞赛班材料 2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练(三)

2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练（三）

班级__________姓名__________

1、复数123,1z i z i =+=-，则复数1

2

z z 在复平面内对应的点位于第__________象限 解：

123(3)(1)24121(1)(1)2

z i i i i i z i i i ++++====+--+，故对应的点位于第一象限 2、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球随机放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，记“恰有两个球的编号与盒子的编号相同”为事件A ，则事件A 发生的概率为__________

解：事件总数为5

5120A =，A 发生可分两步完成，首先选盒子编号与球编号相同的，共有2

5C 种情况，不妨设为4号与5号，则第二步需要将1,2,3号球与盒子完全装错，只有两种情况

（2,3,1或3,1,2），故2555

2C P A ⋅==16

320132013a x ++2013

2013

2a ++=解：令0x =，可得：01a =，令1

2

x =2013

2013

2a ++

=2013

2013

2a ++

=改编：求12201322013a a a +++的值

解：对已知等式两边求导可得：201220121220132013(12)(2)22013x a a x a x --=+++

令1x =，得：12201322013a a a ++

+4026=-

4、已知32n n a =⋅，把数列{}n a 的各项排成三角形状如右图所示，记(,)A i j 表示第i 行中第j 个数，则(10,8)A =

解：各行数的个数构成一个等差数列，则前9行共有99(91)

912812

S ⨯-=⨯+⨯=项，∴ (10,8)A 是数列{}n a 中的第89项，∴89(10,8)32A =⋅

5、已知f (x )＝sin(π2＋α－x )＋cos(5π

2－α－x )是偶函数，且－π2＜α＜π2，则满足条件的实数α

有 个．

12345678910111213141516

a a a a a a a a a a a a a a a a

解：f (x ) =f (－x )，⇒cos(α－x )+sin(α+x ) =cos(α+x )+sin(α－x )，

⇒cos(α+x )－cos(α－x )=sin(α+x )－sin(α－x )，

⇒－sin αsin x=cos αsin x ，⇒tan α=－1，⇒α=k π－π

4

(k ∈Z )，

－π2<α<π2，⇒k=－2，－1，0，1，2，3，共6个值．

6、甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次传球后球仍回到甲手中的不同的传球方式共有 ．

解：5次任意传球，第5次给甲，有24种方法，其中第4次传到甲时，第5次不可能给甲，故应减去23种方法，再加上22种方法，减去2种方法，共有24－23+22－2=10种方法． 7、已知(x 0，y 0)是直线x ＋y ＝2k －1与圆x 2＋y 2＝k 2＋2k －3的交点，则当x 0y 0取最小值时，实数k 的值等于 ．

解：以y=2k －1－x 代入圆方程得：2x 2－2(2k －1)x +3k 2－6k +4=0． 14∆=－2k 2+8k －7≥0，⇒4－22≤k ≤4+2

2

． 2xy=(x +y )2－(x 2+y 2)=3k 2－6k +4=3(k －1)2+1，在k=4－22

时取得最小值．

8、已知点M 、N 分别在大小为60°的二面角α－a －β的α、β内，又点P 到α、β的距离依次为2与3，则ΔPMN 周长的最小值等于 ．

解：作P 关于α、β的对称点Q 、R ，则QR 2=42+63－2⨯4⨯6⨯cos120︒=76．故最小值=219．

9

、S 的整数部分是

解：23k

<

+，

<

<∴取

1,2,,49k =

，得49

1

.

8与9之间，故8=

10、已知非负实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2＋18abc 的最大值等于__________，最小值等于____________

解：a 2+b 2+c 2+18abc=(a +b +c )2－2(ab +bc +ca )+18abc ． 但，ab +bc +ca=(ab +bc +ca )(a +b +c )≥33

a 2

b 2

c 2·33

abc=9abc ．

3

2

O

P 23Q

R

E

A

B

D

D

∴ a 2+b 2+c 2+18abc ≤1－18abc +18abc=1(当且仅当a=b=c=1

3时等号成立)

又由对称性，可设a ≥b ≥c ，从而a ≥1

3

，

故a 2+b 2+c 2+18abc=a 2+(1－a )2－2bc +18abc=2a 2－2a +1+2bc (9a －1)≥2a 2－2a +1=2(a －12)2+

1

2≥12．(a=b=1

2

，c=0时等号成立) 11、定义在实数集R 上的单调函数y ＝f (x )，当x ＜0时f (x )＞1，且f (x ＋y )＝f (x )f (y )对任意实数都成立．又数列{a n }满足a 1＝f (0)，f (a n ＋1)＝1f (－2－a n )(n ∈N *)．

(1)求通项a n ．

(2)求使(1＋1a 1)(1＋1a 2)…(1＋1

a n )≥p 2n ＋1对任意正整数n 都成立的实数p 的最大值．

解：⑴ 1︒ f (x )≠0，否则f (y )=f (x +y －x )=f (x )f (y －x )=0，矛盾． 2︒ f (x )=f (x 2)f (x

2

)>0．

3︒ f (x )=f (x +0)=f (x )f (0)，但f (x )≠0，⇒f (0)=1．a 1=1．

∴ f (a n +1)f (－2－a n )=f (a n +1－a n －2)=1=f (0)，由f (x )单调，⇒a n +1－a n －2=0，⇒a n +1=a n +2． ∴ a n =2n －1．

⑵ 1+1≥p 3，⇒p ≤2

3

3．

记b n =(1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n )2n +1．则b n +1b n =(1+12n +1)2n +12n +3=2n +22n +12n +3>1．于是b n >b n －1>…>b 1=

2

33．即b n +1≥2332n +3对于一切n 成立．故p max =2

3

3．

12、如图。△ABC 中，AB ＞AC ，AE 是其外接圆的切线，D 为AB 上的点，且AD=AC=AE.求证：直线DE 过△ABC 的内心.