高一数学《2.3.2平面与平面垂直的判定》课件
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高一数学人教A版必修2232平面与平面垂直的判定.ppt
第二章 2．3 2．3.2
[知识拓展](1)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面 的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
(2)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与 二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
第二章 2．3 2．3.2
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面 角是( )
第二章 2．3 2．3.2
已知Rt△ABC中，AB＝AC＝1，AD是斜边BC上的高，以 AD为折痕将△ABD折起，使∠BDC成直角．
求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC； (2)∠BAC＝60°.
第二章 2．3 2．3.2
[证明] (1)如图(1)，∵AD⊥BC，
第二章 2．3 2．3.2
∴BC＝ 2BD＝ 2× 22＝1. ∴AB＝AC＝BC.∴∠BAC＝60°.
第二章 2．3 2．3.2
建模应用之路
第二章 2．3 2．3.2
命题方向 二面角的实际应用 [例3] 如图：一山坡的坡面与水平面成30°的二面角， 坡面上有一直道AB，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山 路行走20m后升高了多少米？
[答案] D
第二章 2．3 2．3.2
7．如图，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三 角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，则直线AD⊥平面 BDC ；直线BD⊥平面ADC；直线CD⊥平面ABD .
[答案] BDC ADC ABD
第二章 2．3 2．3.2
新课引入
第二章 2．3 2．3.2
命题方向 面面垂直的判定 [例2] 如图所示，已知△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC.求证平面PAC⊥平面 ABC.
[知识拓展](1)二面角的平面角的大小是由二面角的两个面 的位置唯一确定的，与选择棱上的点的位置无关．
(2)平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边都与 二面角的棱垂直，这个角所确定的平面与棱垂直．
第二章 2．3 2．3.2
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面 角是( )
第二章 2．3 2．3.2
已知Rt△ABC中，AB＝AC＝1，AD是斜边BC上的高，以 AD为折痕将△ABD折起，使∠BDC成直角．
求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC； (2)∠BAC＝60°.
第二章 2．3 2．3.2
[证明] (1)如图(1)，∵AD⊥BC，
第二章 2．3 2．3.2
∴BC＝ 2BD＝ 2× 22＝1. ∴AB＝AC＝BC.∴∠BAC＝60°.
第二章 2．3 2．3.2
建模应用之路
第二章 2．3 2．3.2
命题方向 二面角的实际应用 [例3] 如图：一山坡的坡面与水平面成30°的二面角， 坡面上有一直道AB，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山 路行走20m后升高了多少米？
[答案] D
第二章 2．3 2．3.2
7．如图，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三 角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，则直线AD⊥平面 BDC ；直线BD⊥平面ADC；直线CD⊥平面ABD .
[答案] BDC ADC ABD
第二章 2．3 2．3.2
新课引入
第二章 2．3 2．3.2
命题方向 面面垂直的判定 [例2] 如图所示，已知△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC.求证平面PAC⊥平面 ABC.
平面与平面垂直的判定定理(课件)
那么判定两平面互相 垂直（面面垂直）， 除了定义外，还有其 他方的判定方法吗？
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
2.3.2平面与平面垂直的判定课件人教新课标
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析:∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β.又m⊂α,∴α⊥β.
答案:C
)
1
2
3
4
2.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与
平面PBC、平面PAD的位置关系是 (
)
A.平面PAB分别与平面PBC、平面PAD垂直
B.它们两两垂直
C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直
由PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,知CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD.
又CD∥l,∴l⊥PD.
∴∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,为45°.
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.
探究一
探究二
探究三
思想方法
垂直关系的综合应用
例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱
△ABE折到△A1BE的位置(如图2),使A1C=A1D,求证:平面A1BE⊥平面
BCDE.
思路分析:△ABE是等腰直角三角形,翻折前后未变,要充分利用
这一特点,取BE的中点F,使A1F⊥平面BCDE即可.
探究一
探究二
探究三
பைடு நூலகம்思想方法
证明如图,取图2中BE,CD的中点F,G,连接A1F,FG,A1G.
面角的平面角
0°≤∠AOB≤180°
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平
面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是
直角的二面角叫做直二面角
一
记
法
二
三
棱为 l,面分别为 α,β 的二面角记为 α-l-β.如图所示,也可在 α,β
内(棱以外的半平面部分)分别取点 P,Q,将这个二面角记作二
解析:∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β.又m⊂α,∴α⊥β.
答案:C
)
1
2
3
4
2.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与
平面PBC、平面PAD的位置关系是 (
)
A.平面PAB分别与平面PBC、平面PAD垂直
B.它们两两垂直
C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直
由PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,知CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD.
又CD∥l,∴l⊥PD.
∴∠DPA为平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,为45°.
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.
探究一
探究二
探究三
思想方法
垂直关系的综合应用
例3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱
△ABE折到△A1BE的位置(如图2),使A1C=A1D,求证:平面A1BE⊥平面
BCDE.
思路分析:△ABE是等腰直角三角形,翻折前后未变,要充分利用
这一特点,取BE的中点F,使A1F⊥平面BCDE即可.
探究一
探究二
探究三
பைடு நூலகம்思想方法
证明如图,取图2中BE,CD的中点F,G,连接A1F,FG,A1G.
面角的平面角
0°≤∠AOB≤180°
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平
面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是
直角的二面角叫做直二面角
一
记
法
二
三
棱为 l,面分别为 α,β 的二面角记为 α-l-β.如图所示,也可在 α,β
内(棱以外的半平面部分)分别取点 P,Q,将这个二面角记作二
2.3.2平面与平面垂直的判定.pptx
学生分析，教师板书
巩固所 学知识，培养 学生观察 能 力，空间 想象 能力， 书写表 达能 力.
所以 BC⊥平面 PAC. 又因为 BC 在平面 PBC 内， 所 以 ， 平 面 PAC ⊥ 平 面
PBC. 1．如图，正方形 SG1G2G3
中，E，F 分别是 G1G2，G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现在 沿 SE，SF 及 EF 把这个正 方形折成
通过模
1．二面角 1 半平面
比以上几个问题，归纳出二面 型教学，培养 角的概念及记法表示（可将角 学 生 几 何
平面内的一条直线把平面 与二面角从图形、定义、构成、 直 观能力，
分成两部分，这两部分通常称为 半平面.
2 二面角 从一条直线出发的两个半
表示进行列表对比）. 师生共同实验(折纸)思
考二面角的大小与哪一个角 的大小相同？这个角的边与
∴ 2 a OA AE AD a ， 2
在△AEC 中， AE 2 EC 2 (2OA)2
cos AEC 2AE EC
= ( AE 2OA)( AE 2OA) 0 ， AE 2
∴∠AEC ＞ 90°． 所以面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90°． 【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．
学生独立完成
巩固知识 提升能力
学海无 涯
归纳总结
答：面 ABC⊥面 BCD 面 ABD⊥面 BCD 面 ACD⊥面 ABC. 1. 二面角的定义画法与记 法. 2. 二面角的平面角定义与 范
围.
学生总结、教师补充完善
回顾、反思、 归纳知训提 高自我整合
3. 面面垂直的判定方法.
知识的能力
4. 转化思想.
【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面 PAD 与 PCD 恒为全等三角形．作 AE⊥DP, 垂足为 E，连接 EC，则△ADE ≌△CDE．
巩固所 学知识，培养 学生观察 能 力，空间 想象 能力， 书写表 达能 力.
所以 BC⊥平面 PAC. 又因为 BC 在平面 PBC 内， 所 以 ， 平 面 PAC ⊥ 平 面
PBC. 1．如图，正方形 SG1G2G3
中，E，F 分别是 G1G2，G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现在 沿 SE，SF 及 EF 把这个正 方形折成
通过模
1．二面角 1 半平面
比以上几个问题，归纳出二面 型教学，培养 角的概念及记法表示（可将角 学 生 几 何
平面内的一条直线把平面 与二面角从图形、定义、构成、 直 观能力，
分成两部分，这两部分通常称为 半平面.
2 二面角 从一条直线出发的两个半
表示进行列表对比）. 师生共同实验(折纸)思
考二面角的大小与哪一个角 的大小相同？这个角的边与
∴ 2 a OA AE AD a ， 2
在△AEC 中， AE 2 EC 2 (2OA)2
cos AEC 2AE EC
= ( AE 2OA)( AE 2OA) 0 ， AE 2
∴∠AEC ＞ 90°． 所以面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90°． 【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．
学生独立完成
巩固知识 提升能力
学海无 涯
归纳总结
答：面 ABC⊥面 BCD 面 ABD⊥面 BCD 面 ACD⊥面 ABC. 1. 二面角的定义画法与记 法. 2. 二面角的平面角定义与 范
围.
学生总结、教师补充完善
回顾、反思、 归纳知训提 高自我整合
3. 面面垂直的判定方法.
知识的能力
4. 转化思想.
【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面 PAD 与 PCD 恒为全等三角形．作 AE⊥DP, 垂足为 E，连接 EC，则△ADE ≌△CDE．
2.3.2-平面与平面垂直的判定(上课用)PPT课件
12
例二面正角方B体1-AABAC1-DC—1的A大1B小1C为1D_14_中5_°_，_， 二面角B-AA1-D的大小为__9_0_°__， 二面角C1-BD-C的正切值是___2____.
.
练13习
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，找出下列二面角的 平面角：
（1）二面角D′-AB-D和A′-AB-D；
(C)GF⊥△SEF所在平面
(D)GD⊥△SEF所在平面
G1
.
G3
F
D
E
G2
32
S
G3
F
D
G1
E
G2
SG⊥△EFG所在平面.故选A.
.
33
例 过ABC所在平面外一点P,作PO,垂足为O,
连接PA, PB, PC. 1).若PA PB PC,则O是ABC的___外__心. 2).若PAPB,PBPC,PC PA,则O是ABC 的___垂__心. 练习：P79 B组2(2) 3).若PA PB PC,C 900,则O是AB边的___中___点.
(3)G是BB1的中点，
A
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结:
直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D
A1
D E
D1
.
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
练26习
例3:如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在
的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平 面 P A C 平 面 P B C .
二面 角A的O 平面=B=角 大A 小O 与B 点O在棱上的位置无
.O
l
A’
例二面正角方B体1-AABAC1-DC—1的A大1B小1C为1D_14_中5_°_，_， 二面角B-AA1-D的大小为__9_0_°__， 二面角C1-BD-C的正切值是___2____.
.
练13习
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，找出下列二面角的 平面角：
（1）二面角D′-AB-D和A′-AB-D；
(C)GF⊥△SEF所在平面
(D)GD⊥△SEF所在平面
G1
.
G3
F
D
E
G2
32
S
G3
F
D
G1
E
G2
SG⊥△EFG所在平面.故选A.
.
33
例 过ABC所在平面外一点P,作PO,垂足为O,
连接PA, PB, PC. 1).若PA PB PC,则O是ABC的___外__心. 2).若PAPB,PBPC,PC PA,则O是ABC 的___垂__心. 练习：P79 B组2(2) 3).若PA PB PC,C 900,则O是AB边的___中___点.
(3)G是BB1的中点，
A
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结:
直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D
A1
D E
D1
.
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
练26习
例3:如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在
的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平 面 P A C 平 面 P B C .
二面 角A的O 平面=B=角 大A 小O 与B 点O在棱上的位置无
.O
l
A’
2.3.2平面与平面垂直的判定课件人教新课标
平面与平面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
图形表示
β
β
α
α
记作:α⊥β
思考：给出两个相交平面，如何判 断它们是否垂直。
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面互相垂直。
符号表示：
l
l l
α β
αβ
简记：线面垂直，则面面垂直。
从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面。
注:面内的一
QB
条直线，把这个
β
P
平面分成两部分，
每 一部分都叫做
lα
半平面。
A
二面角的记法
用面1－棱－面2表示一个二面角 下图二面角记做 二面角α-l-β，或二面角α-AB-β。
QB
β P
lα
问题3：前面我们学过的空间的角有哪几种？
两条异面直线 所成的角
直线和平面 所成的角
平面与平面 所成的角
新课导入
修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使 水坝面与水平面成一定的角度。
砌墙时，要保证墙面与地面垂直。
A C
B D
教室的门打开时与墙面 成一定的角度。
书本展开时两页纸面成 一定的角度。
二面角
练习1： 如图为正方体,请问哪些平面与 面A1B 垂直?
D1 A1
C1 B1
面A1B 面AC
面A1B 面BC1 面A1B 面A1C1
D
C 面A1B 面AD1
A
B
平面和平面垂直的性质定理
如果两个平面相互垂直，那么在一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面 角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
图形表示
β
β
α
α
记作:α⊥β
思考：给出两个相交平面，如何判 断它们是否垂直。
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的 垂线，那么这两个平面互相垂直。
符号表示：
l
l l
α β
αβ
简记：线面垂直，则面面垂直。
从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面。
注:面内的一
QB
条直线，把这个
β
P
平面分成两部分，
每 一部分都叫做
lα
半平面。
A
二面角的记法
用面1－棱－面2表示一个二面角 下图二面角记做 二面角α-l-β，或二面角α-AB-β。
QB
β P
lα
问题3：前面我们学过的空间的角有哪几种？
两条异面直线 所成的角
直线和平面 所成的角
平面与平面 所成的角
新课导入
修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使 水坝面与水平面成一定的角度。
砌墙时，要保证墙面与地面垂直。
A C
B D
教室的门打开时与墙面 成一定的角度。
书本展开时两页纸面成 一定的角度。
二面角
练习1： 如图为正方体,请问哪些平面与 面A1B 垂直?
D1 A1
C1 B1
面A1B 面AC
面A1B 面BC1 面A1B 面A1C1
D
C 面A1B 面AD1
A
B
平面和平面垂直的性质定理
如果两个平面相互垂直，那么在一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2 (2)
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24
规律技巧 用判定定理证明两平面垂直，就是在一个平面 内找一条直线垂直于另一平面内的两条相交直线，即a⊂β，b ⊂β，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥β，又l⊂α⇒α⊥β.
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25
随堂训练 1.设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是 () A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
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20
规律技巧 在立体几何中，常把空间问题转化为平面问 题，用平面几何知识求解.
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21
三 面面垂直的判定
【例3】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为 AB，BB1的中点．
求证：平面DEF⊥平面A1BD1. 【分析】 画出示意图，利用正方体的性质，证面面垂 直，可先证线面垂直，再用判定定理得证．
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18
【证明】 取BD的中点E，连接AE，CE.
由AB＝AD＝CB＝CD，知
AE⊥BD，CE⊥BD
∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．
在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝
2 2a
∴AE2＝AB2－BE2＝12a2
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19
同理在△BCD中，CE2＝12a2 ∴AE2＋CE2＝a2＝AC2 ∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°. ∴平面ABD⊥平面BCD.
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7
名师讲解 两平面相交成直二面角时，两平面垂直．两平面相交的这 一特殊位置关系，决定着平面与平面垂直的概念、性质和判 断，涉及的空间知识极为丰富，是高考的热点内容之一．
2.3.2平面与平面垂直的判定课件
平面与平面垂直的判定
复习旧知 1、什么是二面角的平面角？
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角．
2、如图四面体ABCD的棱BD长为2，其余 各棱长均为 2 ，求二面角A-BD-C的大小。
解：取BD的中点E,连接EA,EC ∵ AB = AD ∴ AE ⊥ BD 同理CE ⊥ BD ∴∠AEC为所求二面角的平面角 易求得AE = 1,CE = 1.又AC = 2 ∴∠AEC = 90o 故二面角A - BD - C为90o。
如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
分组讨论：
检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲 尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工 件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这 个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢？
如果不转动，只能 确定两条直线 OA⊥OB，无法确 定OA⊥β，从而无 法确定α⊥β．
变式训练：
∴平面PAC⊥平面PBC．
例1中的四面体P-ABC中，哪些平面互相垂直？
巩固提高：
C
A
S E D
F
G
（3）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，D、E分别是点A在PB，PC上的射 影，求证：①平面PBC⊥平面PAB； ②AD⊥平面PBC；③平面ADE⊥平面PAC。
证明：①∵ PA ⊥面ABC ∴ PA ⊥ BC 又AB ⊥ BC ∴ BC ⊥面PAB 又BC ⊂ 面PBC ∴面PBC ⊥面PAB
② :由①知BC ⊥面PAB ∴ BC ⊥ AD 由题知AD ⊥ PB ∴ AD ⊥面PBC
复习旧知 1、什么是二面角的平面角？
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角．
2、如图四面体ABCD的棱BD长为2，其余 各棱长均为 2 ，求二面角A-BD-C的大小。
解：取BD的中点E,连接EA,EC ∵ AB = AD ∴ AE ⊥ BD 同理CE ⊥ BD ∴∠AEC为所求二面角的平面角 易求得AE = 1,CE = 1.又AC = 2 ∴∠AEC = 90o 故二面角A - BD - C为90o。
如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
分组讨论：
检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲 尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工 件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这 个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢？
如果不转动，只能 确定两条直线 OA⊥OB，无法确 定OA⊥β，从而无 法确定α⊥β．
变式训练：
∴平面PAC⊥平面PBC．
例1中的四面体P-ABC中，哪些平面互相垂直？
巩固提高：
C
A
S E D
F
G
（3）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，D、E分别是点A在PB，PC上的射 影，求证：①平面PBC⊥平面PAB； ②AD⊥平面PBC；③平面ADE⊥平面PAC。
证明：①∵ PA ⊥面ABC ∴ PA ⊥ BC 又AB ⊥ BC ∴ BC ⊥面PAB 又BC ⊂ 面PBC ∴面PBC ⊥面PAB
② :由①知BC ⊥面PAB ∴ BC ⊥ AD 由题知AD ⊥ PB ∴ AD ⊥面PBC
2.3.2平面与平面垂直的判定.ppt
问题：
问题： 如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直.
下面我们来验证这个定理
已知：直线 AB⊥平面β于B点，AB 平面α，
这样的角有何特点，该如何表示呢？
1.二面角及二面角的平面角
半平面——
平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
l
2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱，每个半平
面叫做二面角的面．
棱为l，两个面分
别为、的二面角记
l
为 -l- ．
线线垂直
线面垂直
面面垂直
1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作__一__个平
面与α垂直.
P69例3、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所 在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
则二面角 B-PA-C 的平面角是 90°.
答案:90°
四、当堂训练，针对点评
变式训练 2-1：如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面
ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面 PDC⊥平面 PAD. 证明:∵PA⊥平面 AC,CD⊂ 平面 AC,∴PA⊥CD.
2018-2019学年人教A版必修2 2.3.2 平面与平面垂直的判定 课件(30张)
课前自学
课堂互动
课堂达标
4. (2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为 AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
课前自学
课堂互动
课堂达标
证明 (1)由已知，DE 为△ABC 的中位线， ∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得 AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1， 且 DE⊄平面 A1C1F，A1C1⊂平面 A1C1F， ∴DE∥平面 A1C1F. (2)在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且 A1B1∩AA1＝A， ∴A1C1⊥平面 ABB1A1，∵B1D⊂平面 ABB1A1，
课前自学
课堂互动
课堂达标
3.下面的结论，有助于判断面面垂直： (1)m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β； (2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β； (3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.
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1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A.m⊥n，m∥α，n∥β
B.m⊥n，α∩β＝m，n⊂α
2.3.2 平面与平面垂直的判定
目标定位 1.了解二面角及其平面角的概念，会求简 单的二面角的大小.2.通过直观感知、操作确认，归纳 平面与平面垂直的判定定理.3.能运用判定定理证明一 些空间位置关系的简单命题.
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自主预习
1.二面角 (1)二面角：从一条直线出发的_两__个__半__平__面__所组成的图形叫做二 面角._这__条__直__线__叫做二面角的棱.这_两__个__半__平__面__叫做二面角的面. 如图(1)可记作_二__面__角__α_－__l_－__β_或_P_－__A__B_－__Q_或___P_－__l_－__Q__.
2.3.2平面与平面垂直的判定课件人教新课标
二面角的大小可以用它的平面角来度量．即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
① 二面角的两个面重合： 0o；
4．二面角的大小
二面角的大小可以用它的平面角来度量．即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
① 二面角的两个面重合： 0o；
② 二面角的两个面合成一个平面：180o；
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 平面与垂直，记作⊥.
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
(1)定义法 根据定义作出来
(2)垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到
l
ABO来自lOA
B
A
O
l
D
(3)
5. 二面角的平面角的作法
6. 平面与平面垂直
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 平面与垂直，记作⊥.
6. 平面与平面垂直
2.3.2平面与平面垂直的判定
两直线所成角的取值范围：
平面的斜线和平面所成的角的取值范围：
直线和平面所成角的取值范围：
复习回顾
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
平面的斜线和平面所成的角的取值范围： (0o, 90o)．
直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？
4．二面角的大小
怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？
① 二面角的两个面重合： 0o；
4．二面角的大小
二面角的大小可以用它的平面角来度量．即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
① 二面角的两个面重合： 0o；
② 二面角的两个面合成一个平面：180o；
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 平面与垂直，记作⊥.
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
(1)定义法 根据定义作出来
(2)垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到
l
ABO来自lOA
B
A
O
l
D
(3)
5. 二面角的平面角的作法
6. 平面与平面垂直
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 平面与垂直，记作⊥.
6. 平面与平面垂直
2.3.2平面与平面垂直的判定
两直线所成角的取值范围：
平面的斜线和平面所成的角的取值范围：
直线和平面所成角的取值范围：
复习回顾
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
平面的斜线和平面所成的角的取值范围： (0o, 90o)．
直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？
4．二面角的大小
怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？
课件11：2.3.2 平面与平面垂直的判定
课堂探究 类型一 平面与平面垂直的判定 例1 如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°， 又SA＝SB＝SC，求证：平面ABC⊥平面SBC.
课堂探究
证明：证法一：利用定义证明． ∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， ∴△ASB 和△ASC 是等边三角形， 则有 SA＝SB＝SC＝AB＝AC， 令其值为 a，则△ABC 和△SBC 为共底边 BC 的等腰三角形．
素养提升 1．对二面角的平面角的三点说明 (1)二面角的平面角可以表示二面角的大小，二面角的平 面角是多少度，就说这个二面角是多少度． (2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂 直”．二面角的平面角的大小是唯一确定的，与棱上点的 位置无关，解题时可以把平面角的顶点选在有利于解题 的特殊位置上．
跟踪训练 1 如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的 中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
求证：(1)PA∥平面BDE； (2)平面PAC⊥平面BDE.
证明：(1)连接OE，AC，则O是AC的中点， 又E是PC的中点，所以OE∥AP， 又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE.所以PA∥平面BDE. (2)因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD， 又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O， 所以BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE， 所以平面PAC⊥平面BDE.
课堂探究
如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，SD，
则 AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS 为二面角 A－BC－S 的平面角．在 Rt△BSC 中，
∵SB＝SC＝a，∴SD＝
22a，BD＝B2C＝
2 2 a.
课堂探究
在
Rt△ABD
中，AD＝
2 2 a.
数学：2.3.2平面与平面垂直的判定课件
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个 平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂 直（“线面垂直”则“面面垂直”）
第二十七页，编辑于星期日：十二点 十九分。
相交，但不和这个平面垂
直，这条直线叫做这个平
面的斜线，斜线和平面 的交点叫做斜足。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的
射影；
第四页，编辑于星期日：十二点 十九分。
平面的一条斜线和它
在平面上的射影所成的锐 角，叫做这条直线和这个
平面所成的角。
一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；
A
平面ABC ⊥平面ACD
B
平面ABD ⊥平面BCD
D
C
第二十四页，编辑于星期日：十二点 十九分。
练一练： 1.过平面α的一条垂线可作___无__数个平面
与平面α垂直.
2.过一点可作__无__数_个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作____一个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作____一个平
1、半平面： 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。
2、二面角： 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做
二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面。
半
半
平
l平
面
面
面 面
棱l
第十一页，编辑于星期日：十二点 十九分。
二、二面角的 画法与记法
1、二面角的记法：面1－棱－面2
第二十二页，编辑于星期日：十二点 十九分。
例1:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在
的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
第二十七页，编辑于星期日：十二点 十九分。
相交，但不和这个平面垂
直，这条直线叫做这个平
面的斜线，斜线和平面 的交点叫做斜足。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的
射影；
第四页，编辑于星期日：十二点 十九分。
平面的一条斜线和它
在平面上的射影所成的锐 角，叫做这条直线和这个
平面所成的角。
一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；
A
平面ABC ⊥平面ACD
B
平面ABD ⊥平面BCD
D
C
第二十四页，编辑于星期日：十二点 十九分。
练一练： 1.过平面α的一条垂线可作___无__数个平面
与平面α垂直.
2.过一点可作__无__数_个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作____一个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作____一个平
1、半平面： 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。
2、二面角： 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做
二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面。
半
半
平
l平
面
面
面 面
棱l
第十一页，编辑于星期日：十二点 十九分。
二、二面角的 画法与记法
1、二面角的记法：面1－棱－面2
第二十二页，编辑于星期日：十二点 十九分。
例1:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在
的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
数学：2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件(新人教版A必修2)
在二面角α ―l―β的棱l上任取一点O，以点O为垂 足，在半平面α 和β内分别作垂直于棱l的射线OA 和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角 的平面角。
注意: （1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，“OB⊥L”； （2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关； （3）二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是 直角时叫直二面角。 （4）二面角的平面角的范围是:
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高中数学课件
教学目的： 1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面 角的平面角. 2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角: 3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直。
创设情景，揭示课题 问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
求证：α ⊥β ． 证明：设a∩β=CD，则B∈CD． C β α
A
B D
∴AB⊥CD． 在平面β 内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是 二面角α -CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二 面角α -CD-β 是直二面角．
E
∴，不仅是判定两个平面互相垂直 的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑 工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平 面垂直，实际上，就是依据这个原理．另外，这个定理说明要证明面 面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．
课堂诊断: 1.如果平面α 内有一条直线垂直于平面β内的一条直线， 则α ⊥β.（ ） × 2.如果平面α 内有一条直线垂直于平面β内 的两条直线，则 α ⊥β.（ ） × 3. 如果平面α 内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直 线, 则α ⊥β.（ ） √ 4.若m⊥α ，m β，则α ⊥β.( ) √
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A B
C E
练习3： ABCD是正方形，O是正方形的 中心，PO⊥平面ABCD ， E是PC的中点， ABCD求证：(1) PC⊥平面BDE；
是正方形，
(2)平面PAC⊥BDE. P
E
D
C
A
O B
课堂小结
1. 二面角的定义、二面角的平面角； 2. 二面角平面角的求法； 3. 平面与平面垂直的判定.
2.3.2平面与平面 垂直的判定
复习回顾
两直线所成角的取值范围： 直线和平面所成角的取值范围：
平面的斜线和平面
O
所成的角的取值范围：
1
A
B
复习回顾
两直线所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]．
平面的斜线和平面
O
所成的角的取值范围：
(0o, 90o)．
l
2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二 面角的棱，每个半平 面叫做二面角的面．
l
2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二
面角的棱，每个半平
面叫做二面角的面．
棱为l，两个面分 l
别为、的二面角记
为 -l- ．
3．画二面角
5. 二面角的平面角的作法
5. 二面角的平面角的作法
(1)定义法
A
l
根据定义作出来
OB
(2)垂面法 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到
l
O
A
B
(3)
A
D O
l
6. 平面与平面垂直 两个平面相交，如果它们所成的二
面角是直二面角，就说这两个平面互相
垂直. 平面与垂直，记作⊥.
6. 平面与平面垂直 两个平面相交，如果它们所成的二
度量．即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度．
4．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度．
① 二面角的两个面重合： 0o；
4．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度．
① 二面角的两个面重合： 0o；
② 二面角的两个面合成一个平面：180o；
4．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度． ① 二面角的两个面重合： 0o； ② 二面角的两个面合成一个平面：180o；
二面角的范围：[ 0o, 180o ]． ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
面角是直二面角，就说这两个平面互相
垂直. 平面与垂直，记作⊥.
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
C
A
O
B
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
1
A
B
讲授新课
1．半平面的定义
半半 平平 面面
讲授新课
1．半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部
分，其中的每一部分都叫做半平面．
半半 平平 面面
2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角
l
2．二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二 面角的棱
课后作业
1. 复习本节课内容，理清脉络； 2. 《习案》第十五课时.
3．画二面角 ⑴ 平卧式：
A
l
B
3．画二面角
⑴ 平卧式：
A
A
l
l
B
B
3．画二面角
⑴ 平卧式：
A
A
l
l
B
B
A ⑵ 直立式：
l
B
4．二面角的大小 怎样度量二面角的大小？能否转化
为两相交直线所成的角？ l
4．二面角的大小 怎样度量二面角的大小？能否转化
为两相交直线所成的角？
在二面角-l-的 l
A
B1
A1
OB，射线OA、OB组成∠AOB．
4．二面角的大小
∠AOB的大小一定．
一个平面垂直于二
面角 -l- 的棱 l，且与 l
两个半平面的交线分别 O 是射线 OA、OB，O 为 O1 垂足，则 ∠AOB 叫做
二面角 -l- 的平面角．
B
A
B1
C
B
练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三 个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小？ D
A B
C E
练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三 个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小？ D
线线垂直 →线面垂直 →面面垂直
P
C
A
O
B
练习1：教材P.69探究
(1) 四个面的形状怎样？
(2) 有哪些直线与平面垂直？
(3) 任意两个平面所成的二面角的平面角
如何确定？
A
B
D
C
例2 已知空间四边形ABCD的四条边和对 角线都相等，求平面ACD和平面BCD所 成二面角的大小.
练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三 个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小？ D
棱l上任取一点O，如 O
图，在半平面 和
B
A
内，从点 O 分别作垂
直于棱 l 的射线OA、
OB，射线OA、OB组成∠AOB．
4．二面角的大小 怎样度量二面角的大小？能否转化
为两相交直线所成的角？
在二面角-l-的 l
B
棱l上任取一点O，如 O
图，在半平面 和 O1
内，从点 O 分别作垂
直于棱 l 的射线OA、