最新正余弦定理-练习题
(完整版)正弦定理与余弦定理练习题
正弦定理与余弦定理1．已知△ABC 中，a=4，ο30,34==A b ，则B 等于（ ）A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30°3．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π 4．在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin CA=2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ）A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ∆中，756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A.14 B.23 C.23- D.14- 10．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos2=，则△ABC 为（ ）三角形．A ．正B ．直角C ．等腰直角D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4，则B 等于（ ）A ．B=45°或135°B ．B=135°C ．B=45°D ．以上答案都不对13．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（ ）A.6πB.3πC.23πD.56π14．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 15．已知在ABC ∆中，2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角 16．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos ,2,sin 2sin 4B bC A ===，则ABC ∆的面积为（ ） A.156 B. 154 C. 152D. 15 17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝3π，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ． 3－1 B ．3 C. 2 D. 1 评卷人 得分一、解答题（题型注释）18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知4A π=，22212b ac -=. （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.19．在△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知，（1）求B ；（2）若b=2，△ABC 的周长为2+2，求△ABC 的面积．ABC C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B2=b ABC21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()222332b c a bc +=+ （1）求sinA ； （2）若32a =，△ABC 的面积S ＝22，且b>c ，求b ，c ．22．已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A+=++.（Ⅰ）求ba的值； （Ⅱ）若17a c ==，，求ABC △的面积.23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，5c =， （1）求b 的值； （2）求sin C 的值．二、填空题 24．已知在中，，，，则___．25．△ABC 中，若222a b c bc =+-，则A ＝ .26．在中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若，则b=___________．27．在C ∆AB 中，已知，C 4A =，30∠B =o ，则C ∆AB 的面积是 ． 28．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，，则C 的大小为___________. 29．在∆ABC ，则这个三角形的形状是参考答案1．D 【解析】试题分析：B b A a sin sin =，2342134430sin 34sin sin 0=⋅=⋅==a A b B ；b a <Θ，030=>∴A B ， 060=∴B 或0120=B ，选D.考点：正弦定理、解三角形2．B 【解析】试题分析：33sin 4321sin 21=⋅⋅=⋅⋅=∆C C BC AC S ABC ,则23sin =C ，所以060=C ，选B.考点：三角形面积公式3．C 【解析】试题分析：由已知和正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,A C B B C ++=展开化简得2sin cos sin 0A B A +=，由于A 为三角形内角，所以0,sin 0A A ≠≠,所以1cos 2B =-，23B π=，选C. 考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角.4．C 【解析】试题分析：由正弦定理可得，sin 22sin C c c a A a==⇒=，又222237b a ac b a -=⇒=，由余弦定理可得，2222221cos 242a cb a B ac a +--===-，又()0,B π∈，所以120B ︒∠=. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.5．D 【解析】解：=， ∴sinC=•sinA=×=，∵0＜C ＜π，∴∠C=45°或135°， ∴B=105°或15°， 故选D ．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解． 6．D 【解析】试题分析：由余弦定理得22275682682596AB =+-⨯⨯⨯=，所以最大角为B 角，因为226258cos 0265B +-=<⨯⨯，所以B 角为钝角，选D.考点：余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．A 【解析】试题分析：由正弦定理得()2sin cos 2sin cos sin sin B C C A B C -==+sin cos cos sin B C B C =+，2sin cos 3sin cos ,sin 2cos 3sin cos 2B C C B C C C C ==，()2222cos 3cos sin C C C =-，213tan ,tan 33C C ==，2,B C C =∴Q 为锐角,所以,,632C B A πππ===，故选A.考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理.8．C 【解析】试题分析：由题可根据正弦定理，得a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝2222a b c ab+-<0，则角C 为钝角考点：运用正弦和余弦定理解三角形. 9．D 【解析】试题分析：sin :sin :sin 3:2:4,::3:2:4A B C a b c =∴=2221cos 24a b c C ab +-∴==- 考点：正余弦定理解三角形10．C 【解析】试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得22222a b c a b ab+-=g ，那么化简可知所以 2222=a a b c +-，即 22=b c ，=b c ，所以三角形ABC 是等腰三角形．故选C ．考点：余弦定理判断三角形的形状． 11．B 【解析】试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状． 解：∵cos2=，∴（1+cosB ）=，在△ABC 中，由余弦定理得，=，化简得，2ac+a 2+c 2﹣b 2=2a （a+c ），则c 2=a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形， 故选：B ． 12．C 【解析】试题分析：由A 的度数求出sinA 的值，再由a 与b 的值，利用正弦定理求出sinB 的值，由b 小于a ，得到B 小于A ，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数． 解：∵A=60°，a=4，b=4， ∴由正弦定理=得：sinB===，∵b ＜a ，∴B ＜A ， 则B=45°． 故选C 13．A 【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB ， ∵sinB ≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB=12， ∵a ＞b ，∴∠A ＞∠B ，∴∠B=6π 考点： 14．B 【解析】试题分析：()22cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin b C c B a A B C B C A B C A +=∴+=∴+=sin 12A A π∴=∴=，三角形为直角三角形考点：三角函数基本公式 15．A【解析】试题分析：22cos 2cos 11cos 1cos 222A b c A b c b b b A A c c c c c++=⇒==+⇒+=+⇒= ()sin sin cos sin cos 0cos 0,sin sin 2A CB A AC C C C C π+==⇒=∴==，选A考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦16．B【解析】试题分析：2222214sin 2sin 2cos 242a c b a c C A c a B ac ac +-+-=∴==∴=Q Q 1,2a c ∴==111515sin 122244S ac B ∴==⨯⨯⨯= 考点：正余弦定理解三角形17．C 【解析】试题分析：由余弦定理可得2222113cos 2222b c a c A c bc c+-+-=∴=∴= 考点：余弦定理解三角形 18．(1)2；(2)3.【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得b c 322=，进而求得b a 35=，再运用正弦定理求C sin 的值即可获解；（2）利用三角形的面积公式建立关于b 方程求解. 试题解析：（1）由余弦定理可得222222⨯-+=bc c b a ， 即bc c a b 2222=+-，将22212b a c -=代入可得b c 322=，再代入22212b ac -=可得b a 35=， 所以522sin sin ==a c A C ，即52sin =C ，则51cos =C ，所以2tan =C ； （2）因3sin 21=A bc ，故322322212=⨯⨯b ，即3=b . 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用． 19．（1）B=（2）【解析】解：（1）由正弦定理可得：=，∴tanB=，∵0＜B ＜π， ∴B=；（2）由余弦定理可得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，即a 2+c 2﹣ac=4，又b=2，△ABC 的周长为2+2， ∴a+c+b=2+2， 即a+c=2， ∴ac=，∴S △ABC =acsinB=××=．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（1）B=.4π（2）21+ 【解析】试题分析：（1）由题为求角，可利用题中的条件B c C b a sin cos +=，可运用正弦定理化边为角， 再联系两角和差公式，可求出角B 。
正余弦定理练习题（含答案）
A.6B.2 C.3 D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．42 B ．43 C ．46 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC C.32或3 D.34或3、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解． 的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．的长．1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形．等腰三角形或直角三角形 7的面积为( ) A.32B.3428．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 17．如图所示，货轮在海上以40 40 km/h km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°A2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b，那么26 6 6 ＝3－A.3 B.2 5 c 2＋3bc ＝3A.π B.π C.π或5π D.π或2π ＝3，c A.3 ．23 C.323 3，则边32＝13，则＝a ＋b －c 1为3，则(3－(3∶1023x 为2＝2sin 的面积为1sin ＝5，－π)A.6B.2 3 6 应用正弦定理得：＝，求得＝＝ 6. 42 43 46 D.32＝ 6. 3，42，则角由正弦定理＝得：＝＝2，又∵＝2，则B.1 D.1，由＝得＝2×2×sin 30°sin 30°＝中，若cos A ＝，则△∵＝sin B ，∴cos A ＝sin B ，π. 3A.3 B.3 C.3或3 D.3或3D.＝，求出＝3，∵1AB ，6A.6 C.3 D.2 由正弦定理得6＝2，＝ 2. 3，π，则＝2＝1. A ＝csin C， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B ⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×12×sin30°sin30°sin120°＝43， ∴．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________. 解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×12×sin60°sin60°sin60°××c ＝183， ∴c ＝6. 答案：12 6 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°， ∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R s in A －2sinB ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：由解析：由正弦定理正弦定理得：a sin a ＋c ＝8 3. 答案：83 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得，得 2R sin A ＝2·2·22R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：答案：等腰三角形等腰三角形13解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab s in C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：23 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．组解．解析：∵b sin C ＝＝BC ·sin ∠ABCsin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是102 2 km. km. 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c . 解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A2，得，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1， 即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得，得b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 22A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．的值． 43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°140°))＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°105°))＝45°， 由正弦定理得AC 年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C＝10，＝1－sin 2B ＝310. ＝3，∴＝5，25，25×310－5×10＝2. π. 3π2＝＝得5a ＝10b ＝2c 2b ＝5－b ＝2－，∴2＝2－＝2，c ＝ 5. 603×3×sin ＝1，∴∠3，sin A ＝sin B ，∴215. 21，那么6 6 46 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝ 42＋62－2×2×4×4×4×6×6×13＝6. ．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3A.3 2 C.5 2(3－2×((32. ＋3bc ＝＝－3bc 2bc ＝－32，：603153＝1153115. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos Bsin B . 显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3. 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1 ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|·||AC →|·|·sin sin A＝12×4×4×1×1×1×sin sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×4×1×1×12＝2. 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A.3 B ．23 C.3或23 D ．2 解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3. 9．已知△ABC π3. 在△ABD 中，中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×2×1×1×1×2×2×12＝ 3. 答案：3 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10. 设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，，联想到余弦定理，代入得到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c C ．c D ．以上均不对．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c . 6．如果把．如果把直角三角形直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形三角形 B ．直角三角形．直角三角形 C ．钝角三角形．钝角三角形 D ．由增加的长度决定．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( 的三个的三个内角内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的上的中线中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝＝－1，3，＝1ab ＝3，∴＝＝＝11，7，＝－132，43＝1，∴＝22. 1ab 431·32·22＝432 3. 答案：23 ＝ ＝49＋25－36 19，－19) ±12，又∵＝21或61. 答案：21或61 ，则角1ab ＝＝·1ab4＝78. 答案：723x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10. 18．已知△ABC AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1. (2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝A C ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°60°. . 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；的值；(2)求sin(2A －π4)的值．的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，得AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. 则îïíïìk 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的∴最小角的余弦余弦值为32＋42－222×2×3×3×817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；的长； (2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．的度数． 解：(1)由题意及由题意及正弦定理正弦定理得AB ＋BC ＋＝16sin C ，得BC ·AC ＝13， 由余弦定理得cos C＝. sin C ，所以＝，得sin C ＝，。
(完整版)正弦定理和余弦定理练习题
【正弦定理、余弦定理模拟试题】一. 选择题：1. 在∆ABC 中，a b B ===︒232245，，，则A 为（ ）A B C D ....60120603015030︒︒︒︒︒︒或或2. 在∆AB C A a B bB 中，若，则sin cos =∠=（ ） A BCD ....30456090︒︒︒︒3. 在∆ABC 中，a b c bc 222=++，则A 等于（ ）A B C D ....604512030︒︒︒︒4. 在∆ABC 中，||||()()AB BC AB BC AB BC →=→=→+→⋅→+→=+12523，，，则边||AC →等于（ ） A B C D ....5523523523--+5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形6. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形7. 在∆ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则∆ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形8. 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程57602x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 213C. 16D. 4二. 填空题：9. 在∆ABC 中，a b A B +==︒=︒126045，，，则a =_______，b =________10. 在∆ABC 中，化简b C c B cos cos +=___________11. 在∆ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，则cosA =___________12. 在∆ABC 中，A 、B 均为锐角，且cos sin A B >，则∆ABC 是_________三. 解答题：13. 已知在∆ABC 中，∠=︒==A a c 4526，，，解此三角形。
高中数学必修二 6 4 正、余弦定理(精练)(含答案)
6.4.2 正、余弦定理(精练)【题组一 正余弦的定理的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，则下列等式正确的是( ) A ．a=b cos C+c cos B B ．a=b cos C-c cos B C ．a=b sin C+c sin B D ．a=b sin C-c sin B【答案】A【解析】b cos C+c cos B=b ·222-2a b c ab ++c ·2222-222a c b a ac a+==a ，所以A 正确、B 错误； a=b sin C+c sin B sin sin sin sin sin 2sin sin A B C C B B C ⇒=+=，显然不恒成立，故C 错误；a=b sin C- c sin B sin sin sin sin sin 0A B C C B ⇒=-=，故D 错误.故选：A2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =b =π4A =，则角B =( ) A ．π6B ．π3C ．π6或5π6D ．π3或2π3【答案】D【解析】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以sin sin b A B a === 因为b a >，所以B A >，因为0πB <<，所以B =π3或2π3，故选：D. 3．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，已知a ＝1，bA ＝30°，则B 等于( ) A ．60° B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°【答案】B【解析】因为1,30a b A ===︒， 由正弦定理得：sin sin a b A B =，即1sin 30︒=sin B =， 因为(0,180)B ∈︒︒，所以60B ︒=或120︒，故选：B.4(2021·贵州师大附中高一月考)在ABC 中，1a =，b =60B =︒，则A =( ) A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【答案】A【解析】因为在ABC 中，1a =，b =60B =︒，所以由正弦定理得，1sin A =1sin 2A =， 因为a b <，所以A 为锐角，所以30A =︒，故选：A5．(2021·贵州大学附属中学高一月考)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且45B =︒，60C =︒，b =c 等于( )ABC ．2 D【答案】B【解析】ABC 中，∵45B =︒，60C =︒，b = ∴由正弦定理sin sin b cB C=得：c =故选：B 6．(2021·贵州·镇远县文德民族中学校高一月考)在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若45A =，30B =，a =b =( ) AB．CD ．3【答案】D【解析】由正弦定理sin sin a bA B=得1sin 3sin a B b A ===.故选：D.7．(2021·全国·高一课时练习)ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若2,,6a A c π===则b =___________. 【答案】2或4【解析】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2680b b -+=，解得2b =或4.故答案为：2或4. 8．(2021·贵州大学附属中学高一月考)在ABC 中，60A =︒，3AC =，2AB =，那么BC 的长度为______．【解析】∵在ABC 中，60A =︒，3AC =，2AB =，∴由余弦定理可得：2222cos 94232cos607BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=°．∴BC =9．(2021·北京·中国农业大学附属中学高一期末)在ABC中，若6,6a b A π===，则B 的大小为__________．【答案】3π或23π【解析】由正弦定理得sin sin a bA B =，∴6sin sin sin b A B a π== ∵b a >，∴B A >，∴3B π=或23π故答案为：π3或2π310．(2021·贵州·镇远县文德民族中学校高一月考)在ABC 中，已知6a =，b =30A =，则B =______. 【答案】60或120【解析】由正弦定理sin sin a b A B=可得1sin 2sin 6b A B a === 因为30A =，则0150B <<，故60B =或120.故答案为：60或120. 【题组二 边角互换】1．(2021·江西·九江一中高一月考)在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b ab c +-=， 则C =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【解析】由题意，222222a b ab c a b c ab ⇒+-=+-=，由余弦定理，2221cos 22a b c C ab +-==，∵0C π<<，∴3C π=.故选：C.2．(2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，则A =( )A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，由正弦定理可得()()()a b a b c b c -+=-，整理可得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，()0,A π∈，3A π∴=.故选：B. 3．(2021·广东高州·高一期末)在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2cos 3A =，2B A =．则ba=( ) A ．43B ．54C ．32D ．65【答案】A【解析】由正弦定理可得，sin sin 22sin cos 42cos sin sin sin 3b B A A A A a A A A =====.故选：A. 4．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3,4,6a b c ===，则cos cos cos bc A ac B ab C ++的值是___________.【答案】612【解析】因为222222222cos cos cos 222b c a a c b a b c bc A ac B ab C +-+-+-++=++2226122a b c ++==,故答案为：612.5．(2021·广东·中山市第二中学高一月考)在ABC 中，若sin :sin :sin 4:5A B C =，则角A 的大小是___________． 【答案】3π【解析】由正弦定理可得：::4:5a b c =设,4,5a b k c k ===，0k >由余弦定理可得2221625211cos 2402b c a A bc +-+-===，又()0,A π∈，所以3A π=．故答案为：3π．6．(2021·广东·铁一中学高一月考)在①cos cos )cos 0(C A A B +=，②cos23sin()1B A C -+=，③cos sin b C B a +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a ，b 、c ，若1a c +=，________，求角B 的值和b 的最小值．【答案】答案不唯一，见解析.【解析】若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：cos[()](cos )cos 0A B A A B π-++-=，cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos 0A B A B =，又sin 0A ≠∴ sin B B =，∴ tan B = 又∵(0,)B π∈，∴ 3B π=因为1a c +=，所以1c a =-且(0,1)∈a由余弦定理得：2222222112cos (1)(1)331324b a c ac B a a a a a a a ⎛⎫=+-=+---=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴ 当12a =时，2b 取最小值，()2min 14b =， ∴ b 的最小值为12若选②，在ABC 中，A B C π++=，则由题可得222cos 13cos()2cos 3cos 11B B B B π---=+-= ∴1cos 2B =或cos 2B =-(舍去)， 又∵(0,)B π∈， ∴ 3B π=．(剩下同①)若选③，由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin B C C B A +=， 又sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+，∴sin cos sin C B B C =， 又sin 0C ≠，∴ sin B B =，∴tan B 又∵(0,)B π∈， ∴ 3B π=，(剩下同①)【题组三 三角形的面积】1．(2021·浙江省兰溪市第三中学高一月考)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =1，B =45°，其面积为2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．B ．C ．4D ．5【答案】B【解析】∵1sin 21122ABCSac B c ⨯⨯===，∴c =2222cos b a c ac B =+-，∴(22212125b =+-⨯⨯=，可得5b =. 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2sin bR B=，∴52sin 45R ==︒.故选：B.2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若π6A =，1b =，sin C B =，则ABC 的面积S =__.【解析】因为sin C B =，由正弦定理化角为边可得：c == 所以ABC的面积111sin 1222S bc A ==⨯⨯=3．(2021·全国·高一课时练习)已知三角形的一边长为7，这条边所对的角为60︒，另两边长之比为3∶2，则这个三角形的面积是___________.【解析】依题意，设三角形另两边长分别为3,2(0)k k k >，由余弦定理得：2227(3)(2)232cos 60k k k k =+-⋅⋅， 解得27k =，于是得三角形面积213332sin 6022S k k =⋅⋅==4．(2021·全国·高一课时练习)已知在ABC 中边a，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且23ac C π===，则ABC 的面积S =___________.【解析】由正弦定理知sin 1sin 2a C A c===.由a c <，得A C <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6A π=，所以ππ6B AC ，所以11sin 226S ac B π==-=5．(2021·福建·泉州科技中学高一月考)在ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若ABCS =7a b +=，3C π=，则边c =______．【解析】3C π=，1sin 2ABCSab C =，∴解得12ab =，7a b +=，∴由余弦定理可得c6．(2021·广东·惠来县第一中学高一月考)在ABC 中，60A =︒，1b =，则sin sin sina b cA B C_______．【解析】依题意1sin 2ABCSbc A =，1142c c ⨯⨯==， 由余弦定理得22214214cos6013a =+-⨯⨯⨯︒=，a =由正弦定理得13239sin sin sin sin 33a b ca A B CA. 【题组四 判断三角形的形状】1．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，lg(sin sin )2lgsin lg(sin sin )A C B C A +=--，则ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】因lg(sin sin )2lgsin lg(sin sin )A C B C A +=--，则有222lg(sin sin )lg sin C A B -=，即有222sin sin sin C A B -=，于是得222sin sin sin C A B =+， 在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：222c a b =+， 所以ABC 是直角三角形. 故选：B2．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，若22,sin sin sin a b c A B C =+=⋅，则ABC 一定是( ) A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．非等腰三角形【答案】B【解析】在ABC 中，由正弦定理及2sin sin sin A B C =⋅得：2a bc =，因2a b c =+， 则有2222()()4(2)40b c b c bc a a -=+-=-=，即b c =，因此得a b c ==， 所以ABC 是等边三角形. 故选：B3．(2021·全国·高一课时练习)在ABC 中，已知cos bA c=(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】因为cos b A c=，所以sin cos sin B A C =，即()sin cos sin sin cos cos sin C A A C A C A C =+=+，所以sin cos 0A C =，所以sin 0A =或cos 0C =， 又因(),0,A C π∈，所以cos 0C =，则2C π=，所以ABC 为直角三角形.故选：C.4．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos a C c A c +=，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】由正弦定理得：sin cos sin cos sin A C C A C +=，sin()sin A C C ∴+=， sin sin B C ∴=，三角形内角和等于180°，B C ∴=，故选：C.5．(2021·江西·南昌市新建区第一中学高一月考)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2cos22A b c b+=，则ABC 的形状是( )． A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形【答案】C 【解析】21cos (1cos )222A b c A b +=+=，1cos 1b c c A b b +∴+==+，即cos c A b=， 又222cos 2b c a A bc +-=，∴2222b c a cbc b +-=，整理得222a c b +=， 所以ABC 为直角三角形．故选： C.6．(2021·贵州师大附中高一月考)在ABC 中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】在ABC 中，cos cos a A b B =，∴由正弦定理2sin sin a bR A B==，得2sin a R A =，2sin b R B =， sin cos sin cos A A B B ∴=，∴11sin 2sin 222A B =，sin 2sin 2A B ∴=，22A B ∴=或22A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∴为等腰三角形或直角三角形，故选：D【题组五 三角形个数的判断】1．(2021·山东胶州·)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若60B =︒，b 2c =，则ABC 解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【答案】B【解析】由正弦定理得2sin sin sin sin c b c B C C B b=⇒===，由于b c >所以C 为锐角，所以45C =︒，故三角形有唯一解. 故选：B2．(2021·福建福州·)在ABC 中，5a =，8b =，6A π=，则此三角形( )A ．有两解B ．有一解C ．无解D ．解的个数不确定【答案】A【解析】因为8b =，6A π=，所以顶点C 到AB 的距离sin 8sin 46d b A π===，因为5a =，所以d a b <<，所以以C 为圆心，5a =为半径画弧与AB 有两个交点，所以三角形有两解， 故选：A3．(2021·浙江绍兴·)若满足30ACB ∠=︒，2BC =的ABC 有且只有一个，则边AB 的取值范围是( ) A ．[)1,2 B ．{}[)12,+∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞【答案】B【解析】由题意得，sin30AB BC =︒或AB BC ≥时满足题意的ABC 有且只有一个， 则1AB =或2AB ≥. 故选:B4．(2021·安徽·东至县第二中学)已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6B π=，10c =，8b =，则ABC 的解的情况为( ) A ．无解 B ．有一解C ．有两解D ．有三解【答案】C 【解析】因为6B π=，10c =，8b =，所以1sin 1058102c B b c =⨯=<=<=，所以角C 可能是锐角也可能是钝角，所以ABC 有两解， 故选:C ．5．(2021·江西·贵溪市实验中学)不解三角形，下列三角形中有两解的是( ) A ．2,3,105a b B ===︒ B ．2,3,35a b B ===︒ C ．2,3,90a b A ===︒D ．3,2,35a b B ===︒【答案】D【解析】对A ,,a b < B 为钝角，只有一解； 对B , ,,a b < B 为锐角，只有一解； 对C , ,,a b < A 为直角，只有一解； 对D , ,,a b > B 为锐角，A 有两解； 故选：D6．(2021·上海·)在ABC 中，1,45a b A ===︒，则满足此条件的三角形的个数是( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】A【解析】在ABC 中，145a b A ︒===，，由正弦定理sin sin a b A B=可得：sin 2sin 11b A B a ===>，这与sin (01]B ∈，矛盾， 所以满足此条件的三角形不存在，即个数为0.故选：A7．(2021·全国·)已知a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若60A =，6c =，6a =，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解【答案】B【解析】在ABC 中，由正弦定理可得sin sin c a C A = 因为6a =，6c =，60A =所以sin C 60C =或120C =(舍) 由三角形的内角和可得：180606060B =--=，所以此三角形为正三角形，有唯一解.故选：B.8．(2019·江苏·苏州大学附属中学)在ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，若2,1,29a b B ===︒，则此三角形解的情况是( )A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．有无数解 【答案】C 【解析】由正弦定理可得，sin 2sin 29sin 2sin 292sin 3011a B Ab ⨯===⨯<⨯=, a b >， A B ∴>，由于B 为锐角，角A 可以为锐角，也可以为钝角,即三角形的解有2个. 故选：C.9．(2021·江西省南丰县第二中学)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a =1b =，120A =︒，则此三角形解的情况为( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定【答案】B【解析】因为a =1b =，120A =︒， 所以由正弦定理可得，sin 1sin 2b AB a ==，所以30B =︒或150B =︒，当30B =︒时，30C =︒，满足题意；当150B =︒时，180A B +>︒，不能构成三角形，舍去.综上，30B =︒，即三角形的解只有一个.故选：B ．10．(2021·福建·厦门双十中学)在ABC 中，100a =，80b =，45A =︒，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】根据正弦定理有sin sin abA B =， 则sin 22sin 5b A B a ，a b >，A B ∴>，∴这样的B 只有一个，即此三角形有一个解.故选：A.【题组六 最值】1．(2021·全国·高一课时练习)在△ABC 中，a=2，c=1，则角C 的取值范围是( )A ．()π02， B ．ππ63⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．ππ62⎛⎫⎪⎝⎭， D ．π06⎛⎤⎥⎝⎦，【答案】D 【解析】在△ABC 中，a=2，c=1，由正弦定理sin sin ac A C =，得21sin sin A C =，∴sin C=12sin A.∵A ∈(0，π)，∴0<sin A ≤1，∴sin C ∈102⎛⎤⎥⎝⎦，.结合函数y=sin x 的图象可得C ∈π5π0π66⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，.∵a>c ，∴角C 是锐角，∴C ∈π06⎛⎤⎥⎝⎦，.故选：D .2．(2021·吉林·延边二中高一月考)已知ABC 三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( )A ．4B ．6C ．3D ．5【答案】Acos sin 0A a C +=cos sin sin 0C A A C +=， 因为()0,180C ∈︒，sin 0C ≠，sin 0A A +=，即tan A =因为()0,180A ∈︒，所以120A =︒.如图，ABC ABD ACD S S S =+， 所以111sin1201sin 601sin 60222bc c b ⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒，所以bc b c =+，即111b c +=，所以11()224b c b c b c c b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当c b =，bc b c =+，即2c b ==时，等号成立，所以b c +的最小值为4.故选：A.3．(2021·重庆第二外国语学校高一月考)在ABC 中，内角A ，B ，C 及其所对的边a ，b ，c ，且cos sin 0a C C b c --=(1)求A ；(2)若a =b c +的取值范围.【答案】(1)3A π=；(2).【解析】(1)由cos sin 0a C C b c --=，以及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，由于B A C π=--即sin cos sin sin()sin A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C -=，又sin 0C >cos 1A A -=， 由辅助角公式可得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由于0A π<<，可得5666A πππ-<-<， 所以66A ππ-=，即3A π=.(2)由(1)知3A π=，又a = 所以22sin a R A==且23B C π+=， 由正弦定理，22b c Rsin B RsinC +=+2sin 2sin B C =+22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3sin B B =1cos 2B B ⎫=+⎪⎪⎭6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又203B π<<，所以5666B πππ<+<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭6B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭综上所述b c +的取值范围为3.4．(2021·陕西·绥德中学高一月考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222a ab b c -+=.(1)求角C 的大小；(2)若c =2，求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π；【解析】(1)因为222a ab b c -+=，所以222a b c ab +-=， 所以由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 因为0C π<<，所以3C π=. (2)因为3C π=，所以2222cos c a b ab C =+-，即2242a b ab ab ab ab =+-≥-=，当且仅当a b =时等号成立.所以1sin 42ABC S ab C ==≤=所以△ABC 5．(2021·四川巴中·高一期末(理))在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos cos cos a C b C c B -=．(1)求角C ；(2)若2a b +=，求c 的取值范围．【答案】(1)π3C =；(2)[)1,2. 【解析】(1)由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=， 即2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，2sin cos sin()sin(π)sin A C B C A A =+=-=，因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2C =， 又因为(0,π)C ∈，所以π3C =； (2)由2a b +=得2b a =-，且02a <<由(1)知：π3C =，由余弦定理得： 222222cos (2)(2)c a b ab C a a a a =+-=+---223643(1)1a a a =-+=-+当02a <<时，由二次函数的性质知：23(1)1y a =-+的值域为[)1,4，当且仅当1a =时取等号，此时1b =， 所以214c ≤<，即12c ≤<所以c 的取值范围为[)1,2．。
正弦定理与余弦定理练习题共3套（附答案）
正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理（一）●作业导航掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于()A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为()A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于()A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为()A ．(2，＋∞)B ．(-∞，0)C ．(-21，0)D ．(21，＋∞) 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16．(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．2．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．3．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-．4．△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，b ＝1，求证：1＜a ＋c ≤2．5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．D 分析：由正弦定理得，B bA a sin sin =，∴sin B ＝23sin =aA b ，∴∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵∠A ＝30°，∠B ＝120°，∴∠C ＝30°，∴BA ＝BC ＝6，∴S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，C cB b A a sin sin sin ==，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．C 分析：A ＞B ⇔a ＞b ⇔2Rsin A ＞2Rsin B ⇔sin A ＞sin B ．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．23或3分析：sin C ＝23230sin 32=︒，于是，∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3．2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得，∴sin C ＝21，∴∠C ＝30°或150°．3．22分析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝22sin 2=C c．4．60°或120°分析：∵S △ABC ＝21bc sin A ，∴23＝21×2×3sin A ，∴sin A＝23，∴∠A ＝60°或120°．5．6＋23分析：∵B bA a sin sin =，∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b，∴b ＝4．∴S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(1)∵a ＋b ＝16，∴b ＝16-aS ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43(16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163．2．解：∵sin C ∶sin A ＝4∶13∴c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k ＝133时b ＜0，故舍去．∴k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4．3．证明：由正弦定理，知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4．证明：∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝3π，A ＋C ＝32π．∵b ＝1，设△ABC 的外接圆半径为R ，∴b ＝2R sin 3π∴1＝2R ·23，∴3R ＝1．∴a ＋c ＝2R sin A ＋2R sin C ＝2R (sin A ＋sin C )＝2R ［sin(32π-C )＋sin C ］＝2R (23cos C ＋23sin C )＝23R (21cos C ＋23sin C )＝23R sin(C ＋6π)＝2sin(C ＋6π)∵A ＋C ＝32π，∴0＜C ＜32π∴6π＜C ＋6π＜65π∴21＜sin(C ＋6π)≤1∴1＜2sin(C ＋6π)≤2 ∴1＜a ＋c ≤2．5．证明：在△ABC 中，设C ≥120°，则c 最长，令最短边为a ，由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A ＋B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0，3π)上是增函数，∴sin(A ＋B )≥sin2A ＞0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin =＝2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°＜A ≤30°∴cos A ≥cos30°＝23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习（二）1．在ABC ∆中，已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．ABC ∆中，bsinA<a<b,则此三角形有（）A．一解B．两解C．无解D．不确定3．若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在ABC ∆中，已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为（）A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5．在ABC ∆中，A>B 是sinA>sinB 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，060,6,14B b a ===，则A=7．在ABC ∆ABC ∆中，已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证：b=c 且A=900。
正弦定理余弦定理练习题
正弦定理余弦定理练习题在平面几何中，正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要定理。
熟练掌握这两个定理的使用方法，对于解题非常有帮助。
本文将通过一些练习题，进一步巩固并应用正弦定理和余弦定理。
一. 练习题一已知三角形ABC，∠BAC = 35°，BC = 10cm，AC = 8cm。
1. 求∠ABC和∠ACB的度数。
2. 求∠BAC的正弦值和余弦值。
3. 求∠BAC的弧度值。
解答：1. 由三角形内角和定理可知∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°，故∠ABC + 35° + ∠ACB = 180°。
化简可得∠ABC + ∠ACB = 145°。
又因为∠ABC和∠ACB为三角形内角，故它们的度数之和小于180°，可知∠ABC和∠ACB的度数为(0, 145°)。
2. 根据正弦定理可得 sin(∠BAC) = BC/AC = 10/8 = 1.25。
因为∠BAC是锐角，故其正弦值为1.25。
根据余弦定理可得 cos(∠BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2 * AB * AC) = (AB² + 8² - 10²) / (2 * AB * 8) = (AB² + 64 - 100) / (16 * AB) = (AB² - 36) / (16 * AB)。
因为∠BAC是锐角，所以其余弦值小于1，得到 AB² - 36 < 16 * AB。
将 AB 换成 x，得到 x² - 16x - 36 < 0。
解这个不等式可得 4 < x < 9，所以 AB 的长度为 (4, 9)。
3. 弧度值可以通过将度数除以180°，再乘以π来计算。
所以∠BAC 的弧度值为35° * (π /180°) ≈ 0.6109。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)
【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形 内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .
正余弦定理典型例题
正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1：已知两角和一边，求其他边和角题目：在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b，c和C。
解析：根据三角形内角和C=180^∘-A B，所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。
由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，已知a = 2，A = 30^∘，B = 45^∘，则b=(asin B)/(sin A)。
因为sin A=sin30^∘=(1)/(2)，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。
再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)，sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。
所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。
2. 例题2：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有两解）题目：在△ ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，求B，C，c。
解析：由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。
把a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘代入，sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。
因为b > a，A = 30^∘，所以B = 60^∘或B = 120^∘。
当B = 60^∘时，C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘，再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C)，c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。
正弦定理和余弦定理4
一、选择题（共5小题；共25正弦定理和余弦定理4分）1. 在锐角 △ABC 中，角 A ，B 所对的边长分别为 a ，b ．若 2asinB =√3b ，则角 A 等于 ( )A. π12B. π6 C. π4 D. π32. 在 △ABC 中，∠B =π4，AB =√2，BC =3，则 sinA =( )A.√1010B.√105C.3√1010D. √553. 在 △ABC 中，∠A =30∘，AB =√3，BC =1，则 △ABC 的面积等于 ( )A. √32B. √34C. √32 或 √3D. √32 或 √344. 钝角三角形 ABC 的面积是 12，AB =1，BC =√2，则 AC = ( )A. 5B. √5C. 2D. 15. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，△ABC 的面积为 S ，若 acosB +bcosA =csinC ，S =14×(b 2+c 2−a 2)，则 B =( )A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘二、填空题（共3小题；共15分）6. 在 △ABC 中，a =4，b =5，c =6，则 sin2AsinC =( )7. 设 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 a =√3，sinB =12，C =π6，则 b =( )．8. 若锐角 △ABC 的面积为 10√3，且 AB =5，AC =8，则 BC 等于 ( )．三、解答题（共2小题；共26分）9. 在梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，CD =2，∠ADC =120∘，cos∠CAD =5√714．Ⅰ 求 AC 的长． Ⅱ 求梯形 ABCD 的高．10. 在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 a =√7，b =3，√7sinB +sinA =2√3． Ⅰ 求角 A 的大小； Ⅱ 求 △ABC 的面积．答案第一部分1. D 【解析】由已知及正弦定理可知：2sinA⋅sinB=√3sinB，因为B为三角形的内角，所以sinB≠0，故sinA=√32，又因为△ABC为锐角三角形，所以A∈(0,π2)，故A=π3．2. C 【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2=BA2+BC2−2BA⋅BC⋅cosB=(√2)2+32−2×√2×3×√22=5，解得AC=√5．由正弦定理得sinA=BC⋅sinBAC =3×√22√5=3√1010．3. D 【解析】由余弦定理的推论知cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC，代入各数值整理，得AC2−3AC+2=0，解得AC=2或AC=1，由三角形的面积公式得S=12AB⋅AC⋅sinA，从而得S=√32或√34．4. B 【解析】由题意知S△ABC=12AB⋅BC⋅sinB，即12=12×1×√2sinB，解得sinB=√22．所以B=45∘或B=135∘．当B=45∘时，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB=12+(√2)2−2×1×√2×√22=1．此时AC2+AB2=BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；当B=135∘时，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB=12+(√2)2+2×1×√2×√22=5，解得AC=√5．5. C【解析】由acosB+bcosA=csinC及正弦定理得2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin2C（R为△ABC 外接圆的半径），即sin(A+B)=sin2C，所以sinC=sin2C，又sinC≠0，所以sinC=1，又C∈(0,π)，所以C=π2，所以c2=b2+a2，S=12ab，又S=14×(b2+c2−a2)，所以a=b，所以B=45∘第二部分6. 1【解析】在△ABC中，由余弦定理的推论得cosA=b2+c2−a22bc =52+62−422×5×6=34，由正弦定理可知 sin2A sinC=2sinAcosA sinC=2a⋅cosA sinC=2a⋅cosAc =2×4×346=1．7. 1【解析】在 △ABC 中，由 sinB =12，可得 B =π6或 B =5π6，结合 C =π6可知 B =π6．从而 A =23π，利用正弦定理 a sinA =bsinB ，可得 b =1． 8. 7【解析】设内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ． 由题意得 12bcsinA =10√3， 可得 sinA =√32，因为 A 为锐角，所以 A =60∘，cosA =12．由余弦定理得 a 2=b 2+c 2−2bccosA =25+64−2×40×12=49，故 a =7，即 BC =7． 第三部分9. （1） 在 △ACD 中，因为 cos∠CAD =5√714， 所以 sin∠CAD =√2114． 由正弦定理得 ACsin∠ADC =CDsin∠CAD ， 即 AC =CD⋅sin∠ADC sin∠CAD=2×√32√2114=2√7．（2） 在 △ACD 中，由余弦定理得 AC 2=AD 2+4−2×2×ADcos120∘， 整理得 AD 2+2AD −24=0，解得 AD =4（舍负）． 过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E ，则 DE 为梯形 ABCD 的高． 因为 AB ∥CD ，∠ADC =120∘，所以 ∠BAD =60∘．在 Rt △ADE 中，DE =ADsin60∘=2√3，即梯形 ABCD 的高为 2√3． 10. （1） 在 △ABC 中，由正弦定理 asinA =bsinB ， 得 √7sinA =3sinB ，即 √7sinB =3sinA ， 又 √7sinB +sinA =2√3，解得 sinA =√32， 因为 △ABC 为锐角三角形，所以 A =π3．（2） 在 △ABC 中，由余弦定理 cosA =b 2+c 2−a 22bc，得 12=9+c 2−76c，即 c 2−3c +2=0，解得 c =1 或 c =2． 当 c =1 时，因为 cosB =a 2+c 2−b 22ac=−√714<0， 所以角 B 为钝角，不符合题意，舍去． 当 c =2 时，因为 cosB =a 2+c 2−b 22ac=√714>0，且 b >c ，b >a ，所以 △ABC 为锐角三角形，符合题意． 所以 △ABC 的面积 S =12bcsinA =12×3×2×√32=3√32．。
完整版)正弦定理与余弦定理练习题
完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。
解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。
2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。
解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。
3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。
解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。
代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。
由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。
代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。
由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。
由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。
正弦定理余弦定理练习题
第七节 正弦定理和余弦定理【知识回顾】【课前演练】1. 在△ABC 中, 若∠A ＝60°, ∠B ＝45°, BC ＝3 , 则AC ＝( ) A. 4 B. 2 C.D.2．（余弦定理）在△ABC 中, a ＝ , b ＝1, c ＝2, 则A 等于( ) A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°[例1](2012·浙江高考)在△ABC中, 内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且bsin A＝acos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3, sin C＝2sin A, 求a, c的值.变式训练一:△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, asin Asin B＋bcos2A＝ a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋a2, 求B.[例2]在△ABC中a, b, c分别为内角A, B, C的对边, 且2asi.A＝(2b＋c)si.B＋(2c＋b)si.C.求A的大小；【变式训练二】: 已知△ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 向量m＝(4, －1), n＝, 且m·n＝.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2 , 试判断△ABC的形状.[例3](2012·新课标全国卷)已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C的对边, acos C ＋asin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2, △ABC的面积为, 求b, c.【变式训练三】: . (2012·江西重点中学联考)在△ABC中, cos 2A＝cos2A－cos A.(1)求角A的大小；(2)若a＝3, sin B＝2sin C, 求S△ABC.1. 在△ABC中, a, b, c分别是角A, B, C所对的边. 若A＝, b＝1, △ABC的面积为, 则a的值为() A. 1 B. 2 C. D.2．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知a＝2 , c＝2 , 1＋＝, 则C ＝()A. 30°B. 45°C. 45°或135°D. 60°3．在△ABC中, 角A, B, C所对边的长分别为a, b, c, 若a2＋b2＝2c2, 则cos C的最小值为()A. B. C. D. －4．在△ABC中, 若sin2 A＋sin2B<sin2C, 则△ABC的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 在△ABC中, 角A.B.C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B, 则角A的大小为6. 在△ABC中, 若a＝3, b＝, A＝, 则C的大小为________.7. 在△ABC中, 若a＝2, b＋c＝7, cos B＝－, 则b＝________.8．△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, asin A＋csin C－asin C＝bsin B.(1)求B；(2)若A＝75°, b＝2, 求a, c.9. 在锐角三角形ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C所对的边, 且满足a－2bsin A＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝5, 且a>c, b＝, 求·的值.。
(完整版)正弦定理与余弦定理练习题
正弦定理与余弦定理1．已知△ABC 中，a=4， 30,34==A b ，则B 等于( ）A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30°3．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π4．在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边。
若sin sin CA=2，ac a b 322=-，则B ∠=( ） A 。
030 B 。
060 C 。
0120 D 。
01505．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°,则B 等于( ) A ．105° B．60° C ．15° D．105° 或 15°6．已知ABC ∆中,756,8,cos 96BC AC C ===，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 9．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ）A 。
正弦余弦定理练习题
正弦余弦定理练习题正弦和余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。
通过熟练掌握这两个定理的使用方法，可以在解题过程中得到准确的结果。
下面将介绍一些关于正弦余弦定理的练习题，帮助你加深对这两个定理的理解和运用。
练习题一：已知三角形ABC，边长分别为a=8cm，b=10cm，c=12cm，求∠C 的大小。
解析：根据余弦定理，我们可以得到如下公式：c² = a² + b² - 2ab·cosC将已知数据带入公式，我们可以得到：12² = 8² + 10² - 2·8·10·cosC144 = 64 + 100 - 160·cosC144 = 164 - 160·cosC160·cosC = 164 - 144160·cosC = 20cosC = 20/160cosC = 1/8根据余弦值表，我们可以得到cosC ≈ 0.125，查表可得∠C ≈ 82.23°。
练习题二：已知三角形DEF，边长分别为d=4cm，e=5cm，f=6cm，求∠E 的大小。
解析：根据正弦定理，我们可以得到如下公式：e/sinE = f/sinF将已知数据带入公式，我们可以得到：5/sinE = 6/sinF根据正弦值表，我们可以得到sinE ≈ 0.5736，sinF ≈ 0.866。
代入公式，我们可以得到：5/0.5736 = 6/0.8668.7155 = 6.9282显然等式不成立，所以无法用正弦定理求解。
练习题三：已知三角形GHI，边长分别为g=5cm，h=7cm，i=10cm，求∠H 的大小。
解析：根据余弦定理，我们可以得到如下公式：h² = g² + i² - 2gi·cosH将已知数据带入公式，我们可以得到：7² = 5² + 10² - 2·5·10·cosH49 = 25 + 100 - 100·cosH49 = 125 - 100·cosH100·cosH = 125 - 49100·cosH = 76cosH = 76/100cosH = 0.76根据余弦值表，我们可以得到cosH ≈ 0.76，查表可得∠H ≈ 41.41°。
正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）
正弦定理与余弦定理练习题（5篇模版）第一篇：正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是（）（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则A.85sinB的值为sinC5335（）B.458C.D.（）6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA10.在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且cosBb=-.cosC2a+c（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.12.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.2213.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S，且2S=(a+b)-c，求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.7A+B-cos2C=.22第二篇：正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题：1.在∆ABC中，a=23，b=22，B=45︒，则A为（）A.60︒或120︒B.60︒C.30︒或150︒D.30︒sinAcosB2.在∆AB C中，若=，则∠B=（）abB.45︒C.60︒D.90︒A.30︒3.在∆ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）B.45︒C.120︒D.30︒A.60︒→→→→→→→|AB|=1，|BC|=2，(AB+BC)⋅(AB+BC)=5+23，4.在∆ABC中，则边|AC|等于（）A.5B.5-23C.5-23D.5+235.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在∆ABC中，bcosA=acosB，则三角形为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在∆ABC中，cosAcosB>sinAsinB，则∆ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为（）A.52B.213C.16 D.4二.填空题：9.在∆ABC中，a+b=12，A=60︒，B=45︒，则a=_______，b=________10.在∆ABC中，化简bcosC+ccosB=___________11.在∆ABC中，已知sinA:sinB:sinC=654::，则cosA=___________12.在∆ABC中，A、B均为锐角，且cosA>sinB，则∆ABC是_________三.解答题：13.已知在∆ABC中，∠A=45︒，a=2，c=6，解此三角形。
正弦定理余弦定理习题及答案
正 余 弦 定 理1．在ABC ∆中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= .4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a= 。
5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ．6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .1、解：在ABC A B ∆>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ⇔>⇔>⇔>，因此，选C ．2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222C CA B -=⋅⋅=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+-AB323πcos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=，所以ABC ∆一定是等腰三角形选C3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得1sin 60A =得1sin 2A =，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C ==4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。
正弦定理、余弦定理练习题及答案
正弦定理、余弦定理练习题及答案正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1C.2D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A. B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c 是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 15.B16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1. 2（-1）2 3. 45° 4. 8 5.等腰三角形 6.：钝角三角形7. a=b sin A或b＜a8. 60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13. 120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)1.a=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶47.a=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大,最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.13.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2, c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。
正余弦定理练习题(含答案)
正弦定理演习题1．在△ABC 中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝2,则b 等于( )A. 6B. 2C. 3 D ．26 2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C＝75°,则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中,角A.B.C 的对边分离为a.b.c,A ＝60°,a＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不合错误4．在△ABC 中,a∶b∶c＝1∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不肯定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中,a,b,c 分离是角A,B,C 所对的边,若A ＝105°,B＝45°,b＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.146．在△ABC 中,若cos A cos B ＝ba,则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B＝30°,则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或328．△ABC 的内角A.B.C 的对边分离为a.b.c.若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a等于( )A.6B ．2C.3D.29．在△ABC 中,角A.B.C 所对的边分离为a.b.c,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A＝________.10．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sinB ＝________.11．在△ABC 中,已知∠A＝30°,∠B＝120°,b＝12,则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中,a ＝2bcosC,则△ABC 的外形为________．13．在△ABC 中,A ＝60°,a＝63,b ＝12,S△ABC＝183,则a ＋b ＋csinA ＋sinB ＋sinC＝________,c ＝________.14．已知△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1,则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中,已知a ＝32,cosC ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________.16．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c＝2,则此三角形有________组解．17．如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正南偏向顺时针转到目的偏向线的程度转角)为140°的偏向航行,为了肯定船位,船在B 点不雅测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,不雅测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是若干？18．在△ABC 中,a.b.c 分离为角A.B.C 的对边,若a ＝23,sin C 2cos C 2＝14,sinBsin C ＝cos2A2,求A.B 及b.c.19．(2009年高考四川卷)在△AB C 中,A.B 为锐角,角A.B.C 所对应的边分离为a.b.c,且cos 2A ＝35,sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值;(2)若a －b ＝2－1,求a,b,c 的值．20．△ABC 中,ab ＝603,sin B ＝sin C,△ABC 的面积为153,求边b 的长．余弦定理演习题1．在△ABC 中,假如BC ＝6,AB ＝4,cosB ＝13,那么AC 等于()A ．6B ．26C ．36D ．462．在△ABC 中,a ＝2,b ＝3－1,C ＝30°,则c 等于()A. 3B.2C. 5 D ．23．在△ABC 中,a2＝b2＋c2＋3bc,则∠A 等于()A ．60° B．45°C．120° D．150° 4．在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分离为a.b.c,若(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac,则∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC 中,a.b.c 分离是A.B.C 的对边,则acosB ＋bcosA 等于()A ．aB ．bC ．cD ．以上均不合错误6．假如把直角三角形的三边都增长同样的长度,则这个新的三角形的外形为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增长的长度决议7．已知锐角三角形ABC 中,|AB →|＝4,|AC →|＝1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中,b ＝3,c ＝3,B ＝30°,则a 为()A.3B ．23C.3或23D ．29．已知△ABC 的三个内角知足2B ＝A ＋C,且AB ＝1,BC ＝4,则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10,求最大角的度数．11．已知a.b.c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a ＝4,b ＝5,S ＝53,则边c 的值为________．12．在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,则cos A∶cos B∶cos C ＝________.13．在△ABC 中,a ＝32,cos C ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分离为AB ＝7,BC ＝5,AC ＝6,则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分离是 a.b.c,且面积S ＝a2＋b2－c24,则角C ＝________.16．(2011年广州调研)三角形的三边为持续的天然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中,BC ＝a,AC ＝b,a,b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根,且2cos(A ＋B)＝1,求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1,且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C,求角C 的度数．19．在△ABC 中,BC ＝5,AC ＝3,sin C ＝2sin A.(1)求AB 的值;(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中,已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab,且2cos Asin B ＝sinC,肯定△ABC 的外形．正弦定理1．在△ABC 中,∠A＝45°,∠B＝60°,a＝2,则b 等于( )A. 6B.2C.3D ．26解析：选A.运用正弦定理得：a sinA ＝b sinB ,求得b ＝asinBsinA＝ 6.2．在△ABC 中,已知a ＝8,B ＝60°,C＝75°,则b 等于( )A ．42B ．43C ．46D.323解析：选C.A ＝45°,由正弦定理得b ＝asinBsinA ＝4 6.3．在△ABC 中,角A.B.C 的对边分离为a.b.c,A ＝60°,a＝43,b ＝42,则角B 为( )A ．45°或135° B．135°C．45° D．以上答案都不合错误 a sinA ＝b sinB 得：sinB ＝bsinA a ＝22,又∵a>b,∴B<60°,∴B＝45°. 4．在△ABC 中,a∶b∶c＝1∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不肯定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中,a,b,c 分离是角A,B,C 所对的边,若A ＝105°,B＝45°,b＝2,则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选 A.C ＝180°－105°－45°＝30°,由b sinB ＝csinC 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中,若cos A cos B ＝ba,则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ,∴cos A cos B ＝sin Bsin A,sinAcosA ＝sinBcosB,∴sin2A＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B,或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中,AB ＝3,AC ＝1,∠B＝30°,则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32解析：选D.AB sinC ＝AC sinB ,求出sinC ＝32,∵AB＞AC,∴∠C 有两解,即∠C＝60°或120°,∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝12AB·ACsinA 可求面积．8．△ABC 的内角A.B.C 的对边分离为a.b.c.若c ＝2,b ＝6,B ＝120°,则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D.26sin120°＝2sinC,∴sinC＝12.又∵C 为锐角,则C ＝30°,∴A＝30°, △ABC 为等腰三角形,a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中,角A.B.C 所对的边分离为a.b.c,若a ＝1,c ＝3,C ＝π3,则A＝________.解析：由正弦定理得：a sinA ＝csinC,所以sinA ＝a·sinC c ＝12.又∵a＜c,∴A＜C ＝π3,∴A＝π6.答案：π610．在△ABC 中,已知a ＝433,b ＝4,A ＝30°,则sinB ＝________.解析：由正弦定理得a sinA ＝bsinB⇒sinB ＝bsinA a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中,已知∠A＝30°,∠B＝120°,b＝12,则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°,∴a＝c,由a sinA ＝b sinB 得,a ＝12×sin30°sin120°＝43, ∴a＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中,a ＝2bcosC,则△ABC 的外形为________．解析：由正弦定理,得a ＝2R·sinA,b＝2R·sinB, 代入式子a ＝2bcosC,得2RsinA ＝2·2R·sinB·cosC, 所以sinA ＝2sinB·cosC,即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC, 化简,整顿,得sin(B －C)＝0.∵0°＜B ＜180°,0°＜C ＜180°, ∴－180°＜B －C ＜180°, ∴B－C ＝0°,B＝C. 答案：等腰三角形13．在△ABC 中,A ＝60°,a＝63,b ＝12,S△ABC＝183,则a ＋b ＋csinA ＋sinB ＋sinC＝________,c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sinA ＋sinB ＋sinC ＝a sinA ＝63sin60°＝12,又S△ABC＝12bcsinA,∴12×12×sin60°×c＝183, ∴c＝6.答案：12 614．已知△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,a＝1,则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得,∠A＝30°,∠B＝60°,∠C＝90°,∴2R＝a sinA ＝1sin30°＝2,又∵a＝2Rsin A,b ＝2Rsin B,c ＝2Rsin C,∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sinB ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2.答案：215．在△ABC 中,已知a ＝32,cosC ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________.解析：依题意,sinC ＝223,S△ABC＝12absinC ＝43,解得b ＝2 3.答案：2316．在△ABC 中,b ＝43,C ＝30°,c＝2,则此三角形有________组解．解析：∵bsinC＝43×12＝23且c ＝2,∴c<bsinC,∴此三角形无解． 答案：017．如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正南偏向顺时针转到目的偏向线的程度转角)为140°的偏向航行,为了肯定船位,船在B 点不雅测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,不雅测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是若干？解：在△ABC 中,BC ＝40×12＝20,∠ABC＝140°－110°＝30°,∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°, 所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°, 由正弦定理得AC ＝BC·sin∠ABC sinA＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△A BC 中,a.b.c 分离为角A.B.C 的对边,若a ＝23,sin C 2cos C 2＝14,sinBsin C ＝cos2A2,求A.B 及b.c.解：由sin C 2cos C 2＝14,得sinC ＝12,又C∈(0,π),所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin Bsin C ＝cos2A2,得sin Bsin C ＝12[1－cos(B ＋C)],即2sin Bsin C ＝1－cos(B ＋C),即2sin Bsin C ＋cos(B ＋C)＝1,变形得 cos Bcos C ＋sin Bsin C ＝1,即cos(B －C)＝1,所以B ＝C ＝π6,B ＝C ＝5π6(舍去),A ＝π－(B ＋C)＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C,得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3,B ＝π6,b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A.B 为锐角,角A.B.C 所对应的边分离为a.b.c,且cos 2A ＝35,sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值;(2)若a －b ＝2－1,求a,b,c 的值．解：(1)∵A.B 为锐角,sin B ＝1010,∴cos B＝1－sin2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin2A ＝35,∴sinA＝55,cos A ＝255,∴cos(A＋B)＝cos Acos B －sin Asin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π,∴A＋B ＝π4.(2)由(1)知,C ＝3π4,∴sin C＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c,即a ＝2b,c ＝5b.∵a－b ＝2－1,∴2b －b ＝2－1,∴b＝1. ∴a＝2,c ＝ 5.20．△ABC 中,ab ＝603,sin B ＝sin C,△ABC 的面积为153,求边b 的长．解：由S ＝12absin C 得,153＝12×603×sin C,∴sin C＝12,∴∠C＝30°或150°.又sin B ＝sin C,故∠B＝∠C.当∠C＝30°时,∠B＝30°,∠A＝120°.又∵ab＝603,a sin A ＝bsin B,∴b＝215.当∠C＝150°时,∠B＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中,假如BC ＝6,AB ＝4,cosB ＝13,那么AC 等于()A ．6B ．26C ．3 6D ．46 解析：选A.由余弦定理,得AC ＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中,a ＝2,b ＝3－1,C ＝30°,则c 等于() A. 3 B.2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2,∴c＝ 2.3．在△ABC 中,a2＝b2＋c2＋3bc,则∠A 等于() A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos∠A＝b2＋c2－a22bc ＝－3bc 2bc ＝－32,∵0°＜∠A＜180°,∴∠A＝150°.4．在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分离为a.b.c,若(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac,则∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB ＝3ac,联想到余弦定理,代入得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝32·1tanB ＝32·cosB sinB .显然∠B≠π2,∴sinB＝32.∴∠B＝π3或2π3.5．在△ABC 中,a.b.c 分离是A.B.C 的对边,则acosB ＋bcosA 等于() A ．a B ．b C ．c D ．以上均不合错误解析：选C.a·a2＋c2－b22ac ＋b·b2＋c2－a22bc ＝2c22c＝c.6．假如把直角三角形的三边都增长同样的长度,则这个新的三角形的外形为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增长的长度决议解析：选A.设三边长分离为a,b,c 且a2＋b2＝c2. 设增长的长度为m,则c ＋m ＞a ＋m,c ＋m ＞b ＋m,又(a ＋m)2＋(b ＋m)2＝a2＋b2＋2(a ＋b)m ＋2m2＞c2＋2cm ＋m2＝(c ＋m)2,∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中,|AB →|＝4,|AC →|＝1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－4 解析：选A.S△ABC＝3＝12|AB →|·|AC →|·sinA＝12×4×1×sinA,∴sinA＝32,又∵△ABC 为锐角三角形, ∴cosA＝12, ∴AB →·AC →＝4×1×12＝2. 8．在△ABC 中,b ＝3,c ＝3,B ＝30°,则a 为() A. 3 B ．23C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中,由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB,即3＝a2＋9－33a,∴a2－33a ＋6＝0,解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角知足2B ＝A ＋C,且AB ＝1,BC ＝4,则边BC 上的中线AD 的长为________． 解析：∵2B＝A ＋C,A ＋B ＋C ＝π,∴B＝π3. 在△ABD 中, AD ＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB＝1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10,求最大角的度数．解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶(3＋1)∶10, ∴a∶b∶c＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k,b ＝(3＋1)k,c ＝10k(k ＞0),∴c 边最长,即角C 最大．由余弦定理,得cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝－12, 又C∈(0°,180°),∴C＝120°.11．已知a.b.c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a ＝4,b ＝5,S ＝53,则边c 的值为________．解析：S ＝12absinC,sinC ＝32,∴C＝60°或120°. ∴cosC＝±12,又∵c2＝a2＋b2－2abcosC,∴c2＝21或61,∴c＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,则cos A∶cos B∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4,设a ＝2k(k ＞0),则b ＝3k,c ＝4k,cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k×4k ＝1116, 同理可得：cos A ＝78,cos C ＝－14, ∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中,a ＝32,cos C ＝13,S△ABC＝43,则b ＝________. 解析：∵cos C＝13,∴sin C＝223. 又S△ABC＝12absinC ＝43, 即12·b·32·223＝43, ∴b＝2 3.答案：2314．已知△ABC 的三边长分离为AB ＝7,BC ＝5,AC ＝6,则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中,cosB ＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝49＋25－362×7×5＝1935, ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B)＝7×5×(－1935) ＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分离是a.b.c,且面积S ＝a2＋b2－c24,则角C ＝________.解析：12absinC ＝S ＝a2＋b2－c24＝a2＋b2－c22ab ·ab 2＝12abcosC,∴sinC＝cosC,∴tanC＝1,∴C＝45°. 答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为持续的天然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1,k,k ＋1(k≥2,k∈N),则⎩⎪⎨⎪⎧ k2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4,∴k＝3,故三边长分离为2,3,4,∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78. 答案：7817．在△ABC 中,BC ＝a,AC ＝b,a,b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根,且2cos(A ＋B)＝1,求AB 的长．解：∵A＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B)＝1,∴cos(π－C)＝12,即cosC ＝－12. 又∵a,b 是方程x2－23x ＋2＝0的两根,∴a＋b ＝23,ab ＝2.∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝a2＋b2－2ab(－12) ＝a2＋b2＋ab ＝(a ＋b)2－ab＝(23)2－2＝10,∴AB＝10.18．已知△ABC 的周长为2＋1,且sin A ＋sin B ＝2sin C.(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为16sin C,求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1,BC ＋AC ＝2AB,两式相减,得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC·AC·sin C＝16sin C,得BC·AC＝13, 由余弦定理得cos C ＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝AC ＋BC 2－2AC·BC－AB22AC·BC ＝12, 所以C ＝60°.19．在△ABC 中,BC ＝5,AC ＝3,sin C ＝2sin A.(1)求AB 的值;(2)求sin(2A －π4)的值． 解：(1)在△ABC 中,由正弦定理AB sin C ＝BC sin A, 得AB ＝sinC sinA BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中,依据余弦定理,得cos A ＝AB2＋AC2－BC22AB·AC ＝255, 于是sin A ＝1－cos2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin Acos A ＝45, cos 2A ＝cos2A －sin2A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2Acos π4－cos 2Asin π4＝210. 20．在△ABC 中,已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab,且2cos Asin B ＝sinC,肯定△ABC 的外形．解：由正弦定理,得sin C sin B ＝c b. 由2cos Asin B ＝sin C,有cosA ＝sinC 2sin B ＝c 2b. 又依据余弦定理,得cos A ＝b2＋c2－a22bc ,所以c 2b ＝b2＋c2－a22bc, 即c2＝b2＋c2－a2,所以a ＝b.又因为(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab,所以(a ＋b)2－c2＝3ab,所以4b2－c2＝3b2, 所以b ＝c,所以a ＝b ＝c,是以△ABC 为等边三角形．。
正弦定理余弦定理练习题及答案(供参考)
正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为B.D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为°°°°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.C.D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是△B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=+（-1） C.（+1）10.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为12.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于°°°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.C.+1D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于+cos2B+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为D.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C 和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC 的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1.2（-1） 23. 45°4. 85.等腰三角形6.：钝角三角形7.a=b sin A或b＜a8.60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13.120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶4=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大, 最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3 （2）C=45°,B=15°。
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正弦定理 余弦定理 3.141．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( ) A.1010 B.31010 C.55 D.2552．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.52144．在△ABC 中，已知b ·cos C ＋c ·cos B ＝3a ·cos B ，其中a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则cos B 的值为( )A.13 B ．－13 C.223 D ．－2235．(文)(2015·辽宁葫芦岛市一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332 D ．3 3[答案] C[解析] 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2＋6，∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. (理)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.55[答案] C[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理． 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴AC ＝5， 由正弦定理，AC sin B ＝BCsin A ，∴sin A ＝BC sin BAC＝3×225＝31010.6．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( ) A ．x ≤y B ．x <y C ．x >y D ．x ≥y[答案] C[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B ) ＝cos(π－C )＝－cos C ，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos C >0， ∴y －x <0，∴y <x .7．(2015·昆明市质检)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若AB 边上的高为c2，且a 2＋b 2＝22ab ，则C ＝( )A.π6B.π4C.π3D.π2 [答案] B[解析] 由已知得：S △ABC ＝12ab sin C ＝12×c ×c2，∴sin C ＝c 22ab，又由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22ab －c 22ab ＝2－c 22ab ＝2－sin C ，即sin C ＋cos C＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π4＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π4＝1，C ＋π4＝π2，C ＝π4. 8．(文)(2015·郑州市质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.213D.334或736[答案] D[解析] 由已知得：2sin B cos A ＝3sin2A ＝6sin A cos A ，若cos A ＝0，则∠A ＝π2，则B ＝π6，b ＝73＝213，∴S △ABC ＝12bc ＝12×213×7＝736；若∠A ≠π2，则sin B ＝3sin A ，由正弦定理得：b ＝3a ，又由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋9a 2－3a 2＝7a 2，∴a ＝1，b ＝3，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334，选D.(理)(2015·衡水中学三调)已知△ABC 的内角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，当内角C 最大时，△ABC 的面积等于( )A.9＋334B.6＋324C.326－24D.36－324[答案] A[解析] 根据正弦定理及sin A ＋2sin B ＝2sin C 得a ＋2b ＝2c ，c ＝a ＋322，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9－a 2＋62a ＋1846a ＝a 8＋34a －24≥2a 8·34a －24＝6－24，当且仅当a 8＝34a，即a ＝6时，等号成立，此时sin C ＝6＋24，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×3×6＋24＝9＋334.二、填空题9．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．[答案] 15 3[解析] 设三角形的三边长分别为a －4，a ，a ＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a ＋4)2＝a 2＋(a －4)2－2a (a －4)·cos120°，则a ＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为S ＝12×6×10×sin120°＝15 3.[方法点拨] 有关数列与三角函数知识交汇的题目，利用正余弦定理将数列关系式或数列问题转化为三角函数问题，用三角函数知识解决．10．(文)(2014·福建理，12)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．[答案] 2 3[解析] 本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，2332＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2， S ＝12×23×2＝2 3. (理)(2014·天津理，12)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． [答案] －14[解析] ∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c ， 又∵b －c ＝14a ，∴b ＝34a ，c ＝12a ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝916a 2＋14a 2－a 22×34a ×12a ＝－14.11．(2015·南京二模)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD →·BC →的值为________．[答案]277[解析] 利用余弦定理求出AC 的长度，再利用面积公式求出BD ，最后利用数量积的定义求解．在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以AC ＝7，由△ABC的面积公式可得12×2×3×32＝12×7BD ，解得BD ＝337.所以BD →·BC →＝BD →·(BD →＋DC →)＝|BD→|2＝277.[方法点拨] 解答三角函数与平面向量交汇的题目，先运用向量的有关知识(平行、垂直、数量积的坐标表示等)脱去向量外衣再运用三角函数知识解决．或先利用三角函数或解三角形的有关知识求出需要的量(边的长度、角的大小)再进行向量运算．三、解答题12．(文)(2015·新课标Ⅰ文，17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．[分析] (1)本小题可先利用正弦定理，根据题设得出三角形的三条边长之间的关系，再利用余弦定理求出cos B ；(2)本小题中已知角B 为直角，利用勾股定理列出方程，再结合(Ⅰ)中a 、c 的关系式求出边长c ，即可求出△ABC 的面积．[解析] (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ac ＝1.(理)(2015·山西太原市一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求A 的值．[解析] (1)∵c ＝2，C ＝π3，由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2；(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，则A ＝π2，②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6，综上所述，A ＝π2或A ＝π6.13．(文)(2015·天津文，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值． [分析] 考查1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换．(1)由面积公式可得bc 的值，结合b －c ＝2，可解得b ，c .再由余弦定理求得a .最后由正弦定理求sin C 的值；(2)直接展开求值．[解析] (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，得sin A ＝154， 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝cos 2A cos π6－sin 2A sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A cos A ＝15－7316.(理)(2014·安徽理，16)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c 且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；4[解析] (1)因为A ＝2B ， 所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ， 由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac ，因为b ＝3，c ＝1， 所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13，由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223，故sin(A ＋π4)＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋(－13)×22＝4－26.14．(文)(2014·陕西理，16)△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a 、b 、c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a 、b 、c 成等比数列，求cos B 的最小值. [解析] (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ， 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时，等号成立．∴cos B 的最小值为12.(理)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；3b[解析] (1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B ， 因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B .由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列． (2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以a b ＝35.15．(文)在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．[分析] 条件式a 2tan B ＝b 2tan A 是边a 、b 与角A 、B 的关系，可用正弦定理化边为角，将“切化弦”，然后，通过三角变形探究A 与B 之间的关系判断形状；也可以应用正弦定理和余弦定理化角为边，再通过代数变形探寻边之间的关系后判断形状．[解析] 解法1：由正弦定理得 a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B .∴(2R sin A )2sin B cos B ＝(2R sin B )2sin Acos A ，∴sin A cos A ＝sin B cos B . ∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形. 解法2：∵a 2tan B ＝b 2tan A ， ∴a 2b 2＝tan A tan B ＝sin A cos B cos A sin B . 由正弦定理得sin A sin B ＝ab.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.∴a 2b 2＝a b ·cos B cos A ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a2， 整理得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0. ∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为等腰或直角三角形．(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，π3<C <π2且b a －b ＝sin2Csin A －sin2C .(1)判断△ABC 的形状；(2)若|BA →＋BC →|＝2，求BA →·BC →的取值范围． [解析] (1)由b a －b ＝sin2C sin A －sin2C 得，a －b b ＝sin A －sin2C sin2C ，∴a b ＝sin Asin2C . 由正弦定理得sin B ＝sin2C . 所以B ＝2C 或B ＋2C ＝π. 若B ＝2C ，由π3<C <π2知2π3<2C <π.即2π3<B <π， ∴B ＋C >π，与三角形内角和为π矛盾，故B ＝2C 舍去． ∴B ＋2C ＝π.∴A ＝π－(B ＋C )＝π－(π－2C ＋C )＝C .故△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知a ＝c ，∵|BA →＋BC →|＝2，∴|BA →＋BC →|2＝4，∴a 2＋c 2＋2ac cos B ＝4，∴cos B ＝4－a 2－c 22ac ＝2－a2a2，∴BA →·BC →＝ac cos B ＝2－a 2，∵cos B ＝cos(π－2C )＝－cos2C ， 由π3<C <π2知2π3<2C <π，∴－1<cos2C <－12，∴12<cos B <1，∴12<2－a 2a 2<1，∴1<a 2<43， ∴23<2－a 2<1， ∴BA →·BC →的取值范围是(23，1)．[方法点拨] “变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.。