位移法——位移法的概念
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第八章位移法
8
r22
Z2 1
2
M1 图
2 令EI=4
解： n 2
iAB 1.6
iBC 2
iBD iCE 1
50
60 50
60
R1 p
120
R2 P
R1=0 R2=0
r11Z1 r12 Z 2 R1 p 0 r21Z1 r22 Z 2 R2 p 0
M P图
r11 6i
R1 p 24
代入（8-4）式可得
4 Z1 i
4.计算基本未知量
4 Z1 i
（实际为转角 A ）
M M1Z1 M P
5.采用叠加法绘最后内力图 3i r11
A B
120
96
A
Z1 1
R1P
C
C
96
M p图
B
160
3i
M1 图
108
4 M BA 3i 96 108kN m i 4 M BC 3i 120 108kN m i
两端固定的情况
M AB 4i A 2i B M BA
一端固定一端铰支情况
6i F AB M AB l 6i F 2i A 4i B AB M BA l
F F M AB M BA ------固端弯矩
A
B
6i Fl M BA 2i A 4i B AB 0 l 8 1 3i 1 F B ( A AB M BA ) 2 l 2i
基本结构
EI
n4
EI
n3
B A
C
D
G
F
n6 E
位移法—位移法的基本概念(建筑力学)
如何求基本未知量 ?
位移法
首先，附加一个约束使结点B不能转动（图
b），此时结构变为两个单跨超静定梁。在荷
载作用下，可用力法求得两个超静定梁的弯矩
图。由于附加约束阻止结点B的转动，故在附
加约束上会产生一个约束力矩
F1
3Fl
16
然后，为了使变形符合原来的实际情况，
必须转动附加约束以恢复 。两个单跨超
无附加约束，亦无约束力矩，故有
3Fl
3EI1 4 EI 2
0
B
l
h
16
位移法
3Fl
3EI1 4 EI 2
Biblioteka 0 Bh
16
l
解方程可得出 。将 求出后，代回图ｃ，将所得的结果再与图ｂ
叠加，即得原结构的最后弯矩图。
位移法
由这个简单的例子可知，
* 位移法是以结点位移作为基本未知量，
* 通过增加约束的方法，将原结构拆成若干个单跨超
静定梁来逐个分析，
* 再组合成整体，利用力和力矩的平衡方程求解未知
量的。
静定梁在B端有角位移 时的弯矩图同样可
由力法求得，如图ｃ所示。此时在附加约束
上产生约束力矩
3 EI 1 4 EI 2
F11
B
h
l
位移法
经过上述两个步骤，附加约束上产生的约束力矩应为11 和1P 之和。
由于结构无论是变形还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B处
位移法：以某些结点位移基本未知量
位移法
第一节 位移法的基本概念
图a所示刚架在荷载P 作用下，将发生双点画线所示的变
形。在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B只发生
位移法
首先，附加一个约束使结点B不能转动（图
b），此时结构变为两个单跨超静定梁。在荷
载作用下，可用力法求得两个超静定梁的弯矩
图。由于附加约束阻止结点B的转动，故在附
加约束上会产生一个约束力矩
F1
3Fl
16
然后，为了使变形符合原来的实际情况，
必须转动附加约束以恢复 。两个单跨超
无附加约束，亦无约束力矩，故有
3Fl
3EI1 4 EI 2
0
B
l
h
16
位移法
3Fl
3EI1 4 EI 2
Biblioteka 0 Bh
16
l
解方程可得出 。将 求出后，代回图ｃ，将所得的结果再与图ｂ
叠加，即得原结构的最后弯矩图。
位移法
由这个简单的例子可知，
* 位移法是以结点位移作为基本未知量，
* 通过增加约束的方法，将原结构拆成若干个单跨超
静定梁来逐个分析，
* 再组合成整体，利用力和力矩的平衡方程求解未知
量的。
静定梁在B端有角位移 时的弯矩图同样可
由力法求得，如图ｃ所示。此时在附加约束
上产生约束力矩
3 EI 1 4 EI 2
F11
B
h
l
位移法
经过上述两个步骤，附加约束上产生的约束力矩应为11 和1P 之和。
由于结构无论是变形还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B处
位移法：以某些结点位移基本未知量
位移法
第一节 位移法的基本概念
图a所示刚架在荷载P 作用下，将发生双点画线所示的变
形。在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B只发生
第十一章-位移法
X
3
0
即：
M
AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
为杆件AB的刚度方 程（转角位移方程）
§11-2 等截面杆件的刚度方程
讨论：当分别作用有单位位移情况
当 A 1，B 0， 0 时：
则有：
M M
AB BA
4i 2i
当 1， A 0，B 0 时：
则有：
M
AB
M BA
第 十 章 位移法
本章主要内容
➢位移法的基本概念 ➢等截面杆件的刚度方程 ➢无侧移刚架的计算 ➢有侧移刚架的计算 ➢位移法的基第本八章 位体移法 系 ➢位移法应用举例 ➢对称结构的计算
§11-1 位移法的基本概念
一.基本思路
如下图为一个对称结构承受对称荷
载 P。结点B只发生竖向位移 ，
水平位移为零。在位移法中，我们
在上例中，如只有二根杆，则结构是静定的，当杆数 3 时，结构
是超静定的。可见用位移法计算时，计算方法并不因结构的静定或 超静定而有所不同。
§11-1 位移法的基本概念
三.总结位移法计算的要点
要点：
(1) 位移法的基本未知量是位移。 (2) 位移法的基本方程是平衡方程。 (3) 建立基本方程的过程分为两步：
pq
11X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
解力法方程，得：
X1 X2
？ ？
X 3 0
A
B
运用力法解，取基本体系如下：
pq
X1
X2
位移法基本概念
基本概念
F
A
B
C
D
E
BV
CV
D
E
G
解：由图可见，只有AB杆及CD杆有杆端相对侧移 -ΔBV 及ΔCV 。E端为弹簧铰，所以，刚结点有D和E。但是，因为CD杆旳刚 度无限大，ΔCV与D结点旳转角有关。
所以，构造有三个位移法变量：θE 、ΔBV 、ΔCV （或D结点 转角θD）
基本思绪
基本概念
三、位移法旳基本思绪---------先修改，后复原。
[举例]
基本概念
例题6
B
A
B
C
A
D
解：三根杆件，A支座为弹簧铰，有约束能力，也可产生转角， 但不可发生水平及竖向位移。C支座有约束能力，但可产生竖向 位移。
所以，位移法变量有：A、B处旳转角θA及θB ，C处旳竖向 位移Δ，共三个位移法变量。 BC杆有侧移Δ，D处无转角，C截面旳转角不作为位移法变量。
C
B
B
A 1．位移法变量：θB 2．修改旳措施
基本思绪
基本概念
1)在B结点附加刚臂，设想刚臂旳作用只是阻止结点B旳转动， 各杆旳弯矩不能相互传递。
2)求杆端弯矩。因为各杆旳弯矩不能相互 传递。所以AB杆与BC杆旳弯矩可独自求 解。即，对弯矩而言，BC杆等价于一端 固定，另一端铰支旳超静定杆；而AB杆
[举例]
基本概念
例题8 D
E
EI
F
EI
D
E
EI
EI1 EI
A B
C
F
F
解：①这是具有无限刚性杆旳构造，BD杆没有变形，只有刚体 侧移，设弦转角为θ。则因为结点E刚结点旳特征，三杆端在E 点保持相同旳转角，从而，结点E旳转角也为θ ②由结点E旳侧移方向垂直BE杆轴线，所以，ΔD =ΔE =ΔF =ΔH 与θ有关，不是独立旳变量。 ③至于弹簧支座，对变形没有影响，只与构造旳受力有关。
结构力学上第8章 位移法
(非独立角位移) l FQBA
M AB M BA
F 3i A 3i M AB l 0
3、一端固 FQAB
A
B1
B
l
F M AB i A i B M AB F M BA i A i B M BA
(非独立线位移)
q B EI C L
Z1
q B
EI C
Z2 4i
Z1=1
EI A 原结构
L
=
Z2=1
EI A qL2 8 基本体系
=
3i
M1图×Z1 2i
+
6EI L2 6EI M2图×Z2 L2
+
qL2 8 MP图
在M1、M2、MP三个 图中的附加刚臂和链杆 中一定有约束反力产生， 而三个图中的反力加起 来应等于零。
M
q
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超 静定梁的杆端弯矩表达式，汇总如下：
F 1）两端固定梁 M AB 4i A 2i B 6i M AB
M BA
l F 2i A 4i B 6i M BA l
2）一端固定另一端铰支梁
F M AB 3i A 3i M AB l M BA 0 3）一端固定另一端定向支承梁 F M AB i A i B M AB
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
11第十一章 位移法
A D
第二、基本结构在△1单独作用 时的计算（如右上图）
——使基本结构在Ｂ点发生结点 位移△1，结点Ｃ仍被锁住。先求 出杆ＢＡ、ＢＣ的杆端力，再 由平衡条件求出约束力Ｆ１１， Ｆ２１。
F11 B 1
C
F21
A
D 2 C F22
F12
第三、基本结构在△２单独作用 时的计算（如右下图） ——使基本结构在Ｃ点发生结点位移 △２，结点Ｂ仍被锁住。先求出杆 ＢＡ、ＣＤ的杆端力，再由平衡 条件求出约束力Ｆ１２，Ｆ２２。 B
1、如图示单跨超静定杆件AB，EI为常数，杆端A和B的角位移分别为 θA、θB，杆端A和B在垂直于杆轴方向上的相对位移为Δ。杆端 A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、QAB、QBA。
MAB
A
EI l
B
QAB
MBA QBA
杆端力和杆端位移的正负规定： ①杆端转角θ A、θ B ，弦转角 β ＝Δ /l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为 正；剪力QAB、QBA同前规定。
住，得到无结点位移的超静定结构。
三、位移法的基本体系 ——把荷载和基本未知位移加在基本结构上，得到的体系。 B 2i C 4m D 2 D
2 B 2i
1
C
2 A 4m
i 基本结构 8m
i
3kN/m
i
原结构 8m
i
D
2
B 3kN/m
1
2i
C
A
i 基本体系 8m
i
A
4m
第四节
位移法方程
一、位移法的建立 （以下图所示结构为例，说明位移法方程的建立） q
第三节
位移法的基本未知量和基本体系 超静定结构计算的总原则:
第二、基本结构在△1单独作用 时的计算（如右上图）
——使基本结构在Ｂ点发生结点 位移△1，结点Ｃ仍被锁住。先求 出杆ＢＡ、ＢＣ的杆端力，再 由平衡条件求出约束力Ｆ１１， Ｆ２１。
F11 B 1
C
F21
A
D 2 C F22
F12
第三、基本结构在△２单独作用 时的计算（如右下图） ——使基本结构在Ｃ点发生结点位移 △２，结点Ｂ仍被锁住。先求出杆 ＢＡ、ＣＤ的杆端力，再由平衡 条件求出约束力Ｆ１２，Ｆ２２。 B
1、如图示单跨超静定杆件AB，EI为常数，杆端A和B的角位移分别为 θA、θB，杆端A和B在垂直于杆轴方向上的相对位移为Δ。杆端 A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、QAB、QBA。
MAB
A
EI l
B
QAB
MBA QBA
杆端力和杆端位移的正负规定： ①杆端转角θ A、θ B ，弦转角 β ＝Δ /l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为 正；剪力QAB、QBA同前规定。
住，得到无结点位移的超静定结构。
三、位移法的基本体系 ——把荷载和基本未知位移加在基本结构上，得到的体系。 B 2i C 4m D 2 D
2 B 2i
1
C
2 A 4m
i 基本结构 8m
i
3kN/m
i
原结构 8m
i
D
2
B 3kN/m
1
2i
C
A
i 基本体系 8m
i
A
4m
第四节
位移法方程
一、位移法的建立 （以下图所示结构为例，说明位移法方程的建立） q
第三节
位移法的基本未知量和基本体系 超静定结构计算的总原则:
结构力学I第7章 位移法
2015-12-21
Page 25
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
Page 26
LOGO
§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！
6i 6i
/ /
l l
2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
LOGO
§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
Page 2
LOGO
§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
Page 20
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
位移法图文课件
R1=0 r11 Z1+ R1P =0
r11=10i
r11 6i
4i
R1P
ql2 / 8
Z1=1
6i 2i M1
q ql2 / 8
MP
R1P ql 2 / 8 Z1 ql 2 / 80i M M1Z1 MP
位 1)确移定法基求ql解本2 /过体20程系q:和基本未知量
2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
Z1
Z2
2.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
Z1
Z2
Z3
基本未知量,基本结构确定I
EI
练习
感谢
谢谢，精品课件
资料搜集
5)解方程 ql 2 / 40 6)作M 弯矩图
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念
三.位移法基本结构与基本未知量
基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能
发生位移的结构.
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
位移法方程
R1=r11 Z1+ R1P =0
3Pl/16 3i/l
MP
Z1---位移法
5P/16
R1P 基本未知量 r11
Z1=1
EA r11 3i / l 2
3i / l 2
r11 6i / l 2 R1P 5P / 16
M1
Z1
Z1 5Pl 2 / 96i
位移法典型方程根据
位移法典型方程根据（实用版）目录1.位移法的基本概念2.位移法的典型方程3.位移法的应用实例4.位移法的优缺点分析正文一、位移法的基本概念位移法是一种求解固体力学问题的数值方法，主要通过计算物体在受力作用下的位移来研究其内部应力和应变分布。
位移法基于弹性力学的基本原理，适用于求解各种复杂的固体力学问题，如梁、板、壳等结构在受力作用下的变形和内部应力分布。
二、位移法的典型方程位移法的典型方程是根据弹性力学原理推导得到的。
以一维简支梁为例，当梁受到均布荷载作用时，其位移法的典型方程为：挠度公式：f(x) = q(x-x0)/8EI弯矩公式：M(x) = EI*(f"(x)-qx)/2其中，f(x) 表示梁在 x 处的挠度，M(x) 表示梁在 x 处的弯矩，E 为材料的弹性模量，I 为梁的惯性矩，q 为均布荷载，x0 为梁的支点，f"(x) 为挠度的一阶导数。
三、位移法的应用实例位移法广泛应用于各种固体力学问题的求解，如梁、板、壳等结构在受力作用下的变形和内部应力分布。
例如，在求解简支梁在均布荷载作用下的挠度和弯矩时，可以采用位移法进行计算。
四、位移法的优缺点分析1.优点：位移法求解固体力学问题时，可以通过计算物体的位移来直接得到其内部应力和应变分布，避免了传统力学方法中的繁琐计算过程。
此外，位移法适用于各种复杂的固体力学问题，具有较强的通用性。
2.缺点：位移法的求解过程涉及到较高阶的微分方程，计算过程较为复杂。
在某些特殊情况下，位移法的求解结果可能不如其他方法准确。
总之，位移法作为一种求解固体力学问题的数值方法，具有广泛的应用前景。
结构力学
因 B 0, QAB QBA 0 EI l MBA
1 A 代入（2）式可得 l 2
M AB i A M BA i A
A
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数(即刚度系数， 是只与截面尺寸和材料性质有关的常数)。
单跨超静定梁简图
A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
关于刚架的结点未知量
A P C
q
B A
A
A
B
M AB
A
P C
M AB
A
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
θA
q
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1P
q
ql2/12
A
C F1P
ql 2 F1P 12
ql2/12
2 EI A l
A l
βA EI=常数
C
A
C
F1=0
ql2/48
2
2 EI A l
B
2 EI A l
4i
2 EI A l
B
ql3 A 96EI
4 EI θA A l
§2 等截面杆件的刚度方程
杆端力和杆端位移的正负规定
①杆端转角θA、θB ，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。 ②杆端力的表示方法和正负号的规定 1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，顺时针为 正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负，逆时针为正。 P B A MBA0 MAB0 2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同前。 P B A QAB0 QBA0
A A
A A F1 0 A A F1 0
位移法
第十六章位移法16.1 位移法的基本概念位移法是以节点位移作为基本未知量求解超静定结构的方法。
16.1.1 位移法基本变形假设：1. 各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变；2. 刚性节点所连各杆端的截面转角是相同的16.1.2 位移法的基本未知量力法的基本未知量是未知力，位移法的基本未知量是节点位移。
(节点是指计算节点)。
节点位移分为节点角位移和节点线位移两种。
每一个独立刚节点有一个转角位移(基本未知量)，是整个结构的独立刚节点总数。
角位移数为6 角位移数为1对于结点线位移，由于忽略杆件的轴向变形。
这两个节点线位移中只有一个是独立的，称为独立节点线位移。
独立节点线位移为位移法一种基本未知量。
独立节点线位移的数目可采用铰接法确定(即将所有刚性结点改为铰结点后，添加辅助链杆使其成为几何不变体的方法) 。
“限制所有节点线位移所需添加的链杆数就是独立节点线位移数”。
独立节点线位移数为1 独立节点线位移数为216.1.3 位移法的杆端内力位移法中杆端弯矩、固端剪力正负号规定：杆端弯矩使杆端顺时针转向为正。
固端剪力使杆端顺时针转向为正。
位移法中节点弯矩正负号规定：节点弯矩使节点逆时针转为正。
固端弯矩是荷载引起的固端弯矩,固端剪力是荷载引起的固端剪力。
固端弯矩、固端剪力可通过查表16.1获得。
i称为线刚度：EIil其中：EI是杆件的抗弯刚度；l 是杆长。
16.2 位移法的原理将刚架拆为两个单杆。
AB杆B端为固定支座，A端为刚节点，视为固定支座。
AC杆C端为固定铰支座，A 端为刚节点，视为固定支座。
写出各杆的杆端弯矩表达式（注意到AC 杆既有荷载，又有节点角位移，故应叠加：以上各杆端弯矩表达式中均含有未知量θA ，所以又称为转角位移方程。
把上面的表达式代入：再把i θA 代回各杆端弯矩式得到：16.3 位移法的应用位移法求解超静定结构的一般步骤如下： 1、确定基本未知量；2、将结构拆成超静定(或个别静定)的单杆；3、查表16 .1，列出各杆端转角位移方程。
位移法
杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是 位移法基本方程的基础．因此位移法也叫做刚度法。
位移法的思想主要有两点：
第一，将结构拆开，分析各根杆件的受力情况，用 杆端位移表示各杆件的杆端力； 第二，将各杆件联结起来组成结构，利用变形谐调 条件和平衡条件，建立求解结点位移的方程。 求出结点位移后，再利用转角位移方程求出 杆端力，进而绘制内力图。
位移法的基本方法
平衡方程法和典型方程方法。 平衡方程法：“先拆后搭” 平衡方程法力学概念非常清楚，但 不能象力法那样以统一的形式给出 位移法方程。我们将讨论位移法的 第二种思想 –– 典型方程法。 典型方程法：“先锁后松”
等截面杆件刚 度方程 等截面单跨超 静定梁杆端弯 矩和剪力表
例题详解
如图 (a) 所示刚架，柱的线刚度为 i ，梁的线刚度为 2 i 。 基本未知量为刚结点B的转角θB和柱顶的水平位移Δ， 如图(b)所示。
A BA BA AB
对于柱CD： 1 M 0 ,Q M 4
D CD
DC
这样就有：
M AB M BA M DC 24 0
即
6i B 3.75i 24 0
（2 ）
联立（1）、（2）两式就可算得：
1 1 B 0.737 ， 7.58 i i
F2 P 6kN .
(2) 基本体系在单位转角△1＝1作用下的计算。 当结点 B 转角△ 1 ＝ 1 时，分别求各杆的杆端弯矩，作 出弯矩图( M 1 图)，如图a、b、c所示。
11 4i 3 2i 10i
21 1.5i
(3) 基本体系在单位水平位移△2＝1 , 2 7.58 i i
利用下列叠加公式作刚架的M图：
位移法基本概念汇总
位移法基本概念汇总位移法（也称位移法向量解法）是一种力学分析方法，用来求解物体在外力作用下的位移。
它通过将物体的整体位移分解为线性组合的简单位移元素，从而简化力学问题的计算。
位移法的基本概念包括位移向量、简单位移、整体位移和位移相加、位移相减的规则等。
以下将对这些概念进行详细介绍。
1.位移向量：位移被视为一个矢量量值，具有方向和大小。
通常用r 或Δr表示位移向量。
位移向量指示了一个物体从初始位置移动到最终位置之间的变化，在三维空间中有三个分量，分别表示在x、y和z方向的位移。
2. 简单位移：简单位移是指物体在外力作用下沿其中一特定方向发生的位移。
简单位移用Δri 表示，其中 i 表示位移方向。
简单位移可以表示出位移向量的各个分量。
3.整体位移：整体位移是指物体在外力作用下的总位移，它是各个简单位移的线性组合。
整体位移用Δr表示，可以通过将所有简单位移相加得到。
4.位移相加规则：位移相加规则表示位移向量的加法规则。
位移向量是矢量量值，遵循向量相加的几何法则。
当位移向量是直线的时候，位移相加规则即为向量相加法则；当位移向量不是直线的时候，位移相加规则按照平行四边形法则来进行计算。
5.位移相减规则：位移相减规则表示位移向量的减法规则。
位移相减规则是位移相加规则的逆运算。
对于两个位移向量r1和r2，其差向量Δr=r1-r2，表示从r2到r1的位移。
6.位移法解决问题的步骤：利用位移法解决物体位移的问题通常分为以下几个步骤：（1）分析物体的外力情况和几何形状，确定简单位移的方向，画出位移图。
（2）根据位移图，求出整体位移向量，相加所有简单位移的向量。
（3）根据位移向量的大小和方向，解释和理解物体的位移情况。
通过使用位移法，我们可以方便地求解物体在各种复杂力学系统中的位移。
位移法可以用于解决弹性体（如弹簧）、刚体、杆件等不同类型的力学问题。
同时，位移法也是研究物体运动和变形的重要数学工具，在力学学科中具有广泛的应用。
位移法基本概念
分析步骤：建立刚体模型、设定初始位置、施加外力、求解刚体的位移和运动状态。
弹性体位移法
定义：弹性体位移法是一种基于弹性力学原理的位移分析方法，通过分析结构在 受力作用下的位移变化来推算结构的位移量。
适用范围：适用于各种类型的结构，特别是对于大型复杂结构的位移分析具有较 高的精度和可靠性。
优点：考虑了结构的弹性变形，能够更准确地反映结构的实际位移情况；可以用 于各种类型的结构，具有较广的适用范围。
解平衡方程
建立平衡方程： 根据结构特点 和受力情况， 建立平衡方程
式。
解平衡方程： 通过代数运算 求解平衡方程， 得到各未知数。
验证解的正确 性：将解代入 原方程进行验 证，确保解的
正确性。
应用解的结果： 根据解的结果 进行相应的计
算和分析。
求解位移
确定研究对象的几 何形状和尺寸
建立研究对象的数 学模型，包括平衡 方程、边界条件和 初始条件
感谢您的耐心观看
汇报人：XX
计算简便：位移法基于杆件之间的 相对位移，计算过程相对简单，易 于掌握。
优点
适用范围广：位移法适用于各种结 构形式和边界条件，具有广泛的适 用范围。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
精度较高：位移法考虑了结构的整 体变形，能够得到较高的计算精度。
可用于静力分析和动力分析：位移 法不仅可用于静力分析，也可用于 动力分析，具有较好的通用性。
缺点
添加项标题
计算复杂：位移法需要求解复杂的微分方程，计算量大且复杂
添加项标题
对初始条件敏感：位移法的计算结果对初始条件非常敏感，初始条 件的微小变化可能导致计算结果的巨大差异
添加项标题
适用范围有限：位移法主要适用于线性问题或者某些特定的非线性 问题，对于一般性的非线性问题，位移法可能不适用
弹性体位移法
定义：弹性体位移法是一种基于弹性力学原理的位移分析方法，通过分析结构在 受力作用下的位移变化来推算结构的位移量。
适用范围：适用于各种类型的结构，特别是对于大型复杂结构的位移分析具有较 高的精度和可靠性。
优点：考虑了结构的弹性变形，能够更准确地反映结构的实际位移情况；可以用 于各种类型的结构，具有较广的适用范围。
解平衡方程
建立平衡方程： 根据结构特点 和受力情况， 建立平衡方程
式。
解平衡方程： 通过代数运算 求解平衡方程， 得到各未知数。
验证解的正确 性：将解代入 原方程进行验 证，确保解的
正确性。
应用解的结果： 根据解的结果 进行相应的计
算和分析。
求解位移
确定研究对象的几 何形状和尺寸
建立研究对象的数 学模型，包括平衡 方程、边界条件和 初始条件
感谢您的耐心观看
汇报人：XX
计算简便：位移法基于杆件之间的 相对位移，计算过程相对简单，易 于掌握。
优点
适用范围广：位移法适用于各种结 构形式和边界条件，具有广泛的适 用范围。
添加标题
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精度较高：位移法考虑了结构的整 体变形，能够得到较高的计算精度。
可用于静力分析和动力分析：位移 法不仅可用于静力分析，也可用于 动力分析，具有较好的通用性。
缺点
添加项标题
计算复杂：位移法需要求解复杂的微分方程，计算量大且复杂
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对初始条件敏感：位移法的计算结果对初始条件非常敏感，初始条 件的微小变化可能导致计算结果的巨大差异
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适用范围有限：位移法主要适用于线性问题或者某些特定的非线性 问题，对于一般性的非线性问题，位移法可能不适用
结构力学位移法
二、基本未知量的确定 1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
2.有侧移结构
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移
例3.
有两个刚结点B、C，由于忽略轴向
变形，B、C点的竖向位移为零，B、C
(a)
(b) (c)
2）求图(2)中 φA2和φB2 3）叠加得到
变换式上式可得杆端内力的刚度方程（转角位移方程）：
由平衡条件得杆端剪力：见图（d)
(d)
1.两端固定单元，在A端发生一个顺时针的转角 。
MAB A
由力法求得
B MBA
2i
4i
M
2.两端固定单元，在B端发生一个顺时针的转角 。
MAB A
,得:
BC杆
4. 解方程，得:
5. 把结点位移回代，得杆端弯矩
6. 画弯矩图
ql2 14
B ql2 C 8
A
ql2
28 M图
例2.
1、基本未知量θB、θC
40 43.5 2406k.N9/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
24.5 14.7
AA 4i=I 1 1
BB 3.4
51I62.5 CC
1
94.118I DD
二、形常数和载常数
形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力 载常数：由荷载引起的固端力
1.由杆端位移求杆端内力（形常数）
MAB
Δ
根据力法可求解：
QAB φA
MAB
φB MBA
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
位移法
计算线位移个数时，先把所有受弯直杆视为刚性链杆， 再把所有的刚结点和固定支座改为铰结点和固定铰支座， 从而将刚架转化为铰结体系； 分析铰结体系的几何组成，凡是可动的结点，增设链杆 使其不动，直至成为几何不变体系。
增设的附加链杆数目即为结点的独立线位移的个数。
B
C
B
C
A
D
A
D
C B
A
D
C
A
B
D
E
C
FR
2
k211
k222
k2nn
FR 2Βιβλιοθήκη P0g
g
g
FRn kn11 kn22 knnn FRnP 0
kij ：刚度系数（劲度系数）。FRiP ：自由项。
主系数 kii>0，副系数 kij ( i ≠j ) 可正、可负或为零，
3.求解典型方程，得到未知量。
4.按叠加原理绘制弯矩图，再由平衡条件求出杆端剪力 和轴力，作图。
对于具有n个独立结点位移的结构，共有n个基 本未知量，为了控制所以结点的位移需要加入n个附 加约束，根据每一个附加约束上约束反力等于零的条 件，可建立n个方程：
FR1 k111 k122 k1nn FR1P 0
第6章 位移法
§6.1 位移法的基本概念
发展历史：
1864年出现力法，可求解任何超静定结构。
力法：
以多余约束力作为基本未知量，根据位移条件，求 出多余约束力，然后利用叠加原理计算内力。
上世纪初出现了混凝土，出现了高次超静定结 构，用力法解高次超静定问题十分繁琐，于是建立 了位移法。
P
增设的附加链杆数目即为结点的独立线位移的个数。
B
C
B
C
A
D
A
D
C B
A
D
C
A
B
D
E
C
FR
2
k211
k222
k2nn
FR 2Βιβλιοθήκη P0g
g
g
FRn kn11 kn22 knnn FRnP 0
kij ：刚度系数（劲度系数）。FRiP ：自由项。
主系数 kii>0，副系数 kij ( i ≠j ) 可正、可负或为零，
3.求解典型方程，得到未知量。
4.按叠加原理绘制弯矩图，再由平衡条件求出杆端剪力 和轴力，作图。
对于具有n个独立结点位移的结构，共有n个基 本未知量，为了控制所以结点的位移需要加入n个附 加约束，根据每一个附加约束上约束反力等于零的条 件，可建立n个方程：
FR1 k111 k122 k1nn FR1P 0
第6章 位移法
§6.1 位移法的基本概念
发展历史：
1864年出现力法，可求解任何超静定结构。
力法：
以多余约束力作为基本未知量，根据位移条件，求 出多余约束力，然后利用叠加原理计算内力。
上世纪初出现了混凝土，出现了高次超静定结 构，用力法解高次超静定问题十分繁琐，于是建立 了位移法。
P
结构力学第8章
(h)
1 1 ∆ AB ′ θ A = θ A +θ ′′ = M AB − MBA + 3i 6i l (c) 1 1 ∆ AB ′ θ B = θ B +θ ′′ = − M AB + MBA + 6i 3i l
(2) B端为定向支承，如图(d)所示。 B端为定向支承 如图(d)所示。 端为定向支承， (d)所示
1. 位移法的基本未知量的数目(至少要求出多少个位 位移法的基本未知量的数目( 移未知量) 移未知量) 2. 单跨超静定梁分析 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 3. 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。
在本节中，我们讨论第一个问题， 在本节中，我们讨论第一个问题，位移法的基本未 知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题， 知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题， 后面讨论。 后面讨论。 为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁， 为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁，可以在原 刚架的结点上引入某些附加约束 刚架的结点上引入某些附加约束 如：附加的刚臂（阻止结点转动的约束） 附加的刚臂（阻止结点转动的约束） 附加链杆（阻止结点线位移的约束） 附加链杆（阻止结点线位移的约束） 引入附加的刚臂 附加链杆后 使得结构的结点 附加的刚臂或 结点变 引入附加的刚臂或附加链杆后，使得结构的结点变 固定端或铰支端，而各杆成为单跨超静定梁。 成固定端或铰支端，而各杆成为单跨超静定梁。所得的 结构即为位移法计算时的基本结构 位移法计算时的基本结构。 结构即为位移法计算时的基本结构。 而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为 独立的基本未知量数目 而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为 基本结构时， 附加的刚臂和附加链杆数目之和 数目之和。 基本结构时，所附加的刚臂和附加链杆数目之和。这样 在确定了基本结构的同时， ，在确定了基本结构的同时，也就确定了位移法的基本 未知量的数目。 未知量的数目。如：
第七章 位移法
位移法基本概念可知，如果结构的每根杆件的杆端 位移已知，即可求出杆件内力。又由于汇交于刚结 点处各杆端位移相等，且等于结点位移，位移法把 结构的独立结点位移作为基本未知量。 结点位移 由结点角位移和结点线位移两部分组成，则基本未 知量由结点角位移和结点线位移两部分组成。同时 位移法引入变形假设： 假设结构变形是微小的；忽 略受弯直杆（件）的轴向变形和剪切变形对结点位 移的影响。
位移，编号为Z1；另
外结点A、B、C有一
个独立水平线位移，编
号为Z2，基本未知量
a图
和基本结构见图（b）。
b图
基本结构在外荷载q单
独作用下引起的弯矩
图，记为MP图，见图
（C）。它引起附加 刚臂和附加链杆的反
c图
力矩和反力，分别用
R1P、R2P（图C）
基本结构在Z1=1及
d图
Z2=1单独作用下产
生的弯矩图，称为
因此位移法分析中应解决的问题有以下几方面：
1、确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
2、确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
3、如何建立求解基本未知量的位移法方程式。
7.2等截面直杆的形常数和载常数
对单跨超静定杆件分析是位移法分析的基础。通 常有三种基本杆件类型：两端固定杆件；一端固定、 另一端铰支座杆件；一端固定、另一端定向支座杆件。
对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22Z 2 r2n Z n R2P 0 rn1Z1 rn2 Z 2 rnn Z n RnP 0
第七章
超静定结构的解法
——位移法 (Displacement Method)
7.1位移法基本概念
位移，编号为Z1；另
外结点A、B、C有一
个独立水平线位移，编
号为Z2，基本未知量
a图
和基本结构见图（b）。
b图
基本结构在外荷载q单
独作用下引起的弯矩
图，记为MP图，见图
（C）。它引起附加 刚臂和附加链杆的反
c图
力矩和反力，分别用
R1P、R2P（图C）
基本结构在Z1=1及
d图
Z2=1单独作用下产
生的弯矩图，称为
因此位移法分析中应解决的问题有以下几方面：
1、确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
2、确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
3、如何建立求解基本未知量的位移法方程式。
7.2等截面直杆的形常数和载常数
对单跨超静定杆件分析是位移法分析的基础。通 常有三种基本杆件类型：两端固定杆件；一端固定、 另一端铰支座杆件；一端固定、另一端定向支座杆件。
对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22Z 2 r2n Z n R2P 0 rn1Z1 rn2 Z 2 rnn Z n RnP 0
第七章
超静定结构的解法
——位移法 (Displacement Method)
7.1位移法基本概念
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m
弯矩： 杆端——顺时针为正
AC
结点——逆时针为正
当结点上有荷载时,仍以顺时针为正
B
2. 杆端力与杆端位移的关系 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系 即：由杆端位移求杆端力
3. 转角位移方程 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下
x
M
AB
=
4i A
M AC M AB
qA
A
Aq A M AB = 3iq A
M BA = 0
B
FP C
M AC
=
4iq A
FPl 8
MCA
=
2iq A
FPl 8
由 MA = 0 得：
7iq A
FPl 8
=0
４．求内力
q = FPl A 56i
A
FP C
EI
L
EI
B
3 FP l
56
LF/2P
L9/2FPl 56
M AB
2i B
6i l
DAB
MF AB
M
BA
=
4i B
2i A
6i l
DAB
MF BA
转角位移方程
固端弯矩
y
第 七 章 位移法
§7-3 位移法基本未知量
一、结点角位移
有多少个刚结点，就有多少个独立的结点角位移。
二、结点线位移 忽略轴向变形和剪切、弯曲变形较小的前提下,假定
各杆变形后保持长度不变,这样有些刚架就无线位移;虽然 有些结点有线位移,但其中一部分是线性相关的,我们只考
加约束 →求内力 →建立平衡方程 →求位移 →求内力
拆
合
拆
第 七 章 位移法
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
1. 杆端弯矩的表示方法和正负号规定：
表示方法：双下标 如 : M AC , M AB 等 前一个下标表示近端,另一个下标表示远端。
转角： 结点转角——顺时针为正
杆端转角——顺时针为正
杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正
=
3iq A
=
3 56
FP L
M BA = 0
M (kN.m)
= F L MAC=4iq A源自FPl 83 56 P
= F L MCA
=
2iq A
FPl 8
9 56 P
位移法要点: 一、基本未知量： 位移
结点线位移和结点角位移
二、基本结构：无结点位移的结构
特殊的单根杆
三、基本方程： 平衡方程
四、基本步骤： 拆—合—拆
虑独立线位移。
判断独立线位移个数,可用“铰化结点、增加约束” 的办法来判断:
位移法基本未知量为独立结点线位移和角位移之和
判断图示结构位移法基本未知量。
例１
A
B
C
例３
D
E
F
例４
例２
A
B
E
F
C
D
G
H
例６
I
J
基本未知量,基本结构确定举例
EI =
2EI EI
EI =
作业（自己检查）: 7—1、7—2
第 七 章 位移法
§7-1 位移法的概念
例：
L
A
FP C
EI
EI
忽略轴向变形 D AH = D AV = 0， 因此，无结点线位移。
B
L/2 L/2
(结点 )角位移 q A 0。
1．单元分析
设
i
=
EI L
为杆件的线刚度
２．结构分析
A
FP C
EI
L
EI
３．解方程：
q = FPl A 56i
B
L/2 L/2
弯矩： 杆端——顺时针为正
AC
结点——逆时针为正
当结点上有荷载时,仍以顺时针为正
B
2. 杆端力与杆端位移的关系 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系 即：由杆端位移求杆端力
3. 转角位移方程 ——建立杆端力与杆端位移和荷载之间关系
单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动共同作用下
x
M
AB
=
4i A
M AC M AB
qA
A
Aq A M AB = 3iq A
M BA = 0
B
FP C
M AC
=
4iq A
FPl 8
MCA
=
2iq A
FPl 8
由 MA = 0 得：
7iq A
FPl 8
=0
４．求内力
q = FPl A 56i
A
FP C
EI
L
EI
B
3 FP l
56
LF/2P
L9/2FPl 56
M AB
2i B
6i l
DAB
MF AB
M
BA
=
4i B
2i A
6i l
DAB
MF BA
转角位移方程
固端弯矩
y
第 七 章 位移法
§7-3 位移法基本未知量
一、结点角位移
有多少个刚结点，就有多少个独立的结点角位移。
二、结点线位移 忽略轴向变形和剪切、弯曲变形较小的前提下,假定
各杆变形后保持长度不变,这样有些刚架就无线位移;虽然 有些结点有线位移,但其中一部分是线性相关的,我们只考
加约束 →求内力 →建立平衡方程 →求位移 →求内力
拆
合
拆
第 七 章 位移法
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
1. 杆端弯矩的表示方法和正负号规定：
表示方法：双下标 如 : M AC , M AB 等 前一个下标表示近端,另一个下标表示远端。
转角： 结点转角——顺时针为正
杆端转角——顺时针为正
杆端相对线位移---使杆轴顺时针转为正
=
3iq A
=
3 56
FP L
M BA = 0
M (kN.m)
= F L MAC=4iq A源自FPl 83 56 P
= F L MCA
=
2iq A
FPl 8
9 56 P
位移法要点: 一、基本未知量： 位移
结点线位移和结点角位移
二、基本结构：无结点位移的结构
特殊的单根杆
三、基本方程： 平衡方程
四、基本步骤： 拆—合—拆
虑独立线位移。
判断独立线位移个数,可用“铰化结点、增加约束” 的办法来判断:
位移法基本未知量为独立结点线位移和角位移之和
判断图示结构位移法基本未知量。
例１
A
B
C
例３
D
E
F
例４
例２
A
B
E
F
C
D
G
H
例６
I
J
基本未知量,基本结构确定举例
EI =
2EI EI
EI =
作业（自己检查）: 7—1、7—2
第 七 章 位移法
§7-1 位移法的概念
例：
L
A
FP C
EI
EI
忽略轴向变形 D AH = D AV = 0， 因此，无结点线位移。
B
L/2 L/2
(结点 )角位移 q A 0。
1．单元分析
设
i
=
EI L
为杆件的线刚度
２．结构分析
A
FP C
EI
L
EI
３．解方程：
q = FPl A 56i
B
L/2 L/2