线性代数 正定二次型
线性代数 同济版 5-7 正定二次型
例3 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3 是否正定. 解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2
0 2 4 0 , 0 5 4, 3 6.
这是n元非退化线性变换， f ( x1 , x2 ,, xn )经过 这个线性变换化成
f ( x1 , x2 ,, xn ) z z z
2 1 2 2
2 n1
b z .
2 nn n
最后证 bnn 0. f ( x1 , x 2 , , x n )经 过 非 退 化 线 性
则
1 , ,1, dr
,1)
f ( x ) z T ( DTC T ACD) z
2 z1 2 z2 z p p 1
zr2
称之为实二次型 f ( x ) 的规范形.
惯性定理另一种描述：任一实二次型可经
过适当的非退化线性替换化成规范形，且规
范形是唯一.
二、正(负)定二次型的概念
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例4 判别二次型 2 f 5 x 2 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
使得 f n1 ( x1 , x2 ,, xn1 ) y y y
2 1 2 2 2 n 1
.
作线性变换 x1 g 11 y1 g 12 y 2 g 1,n -1 y n 1 , x 2 g 21 y1 g 22 y2 g 2,n -1 yn 1 , x g n 1 n -1,1 y1 g n -1,2 y 2 g n -1, n -1 y n 1， x n yn .
5_4二次型的正定性
2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 5 x3 不是正定二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 − 3 x2 + 5 x3 不是正定二次型
1 1 p p p +1 p +1 r r
其中d 的秩． 其中 i>0 (i=1, 2,…， r), r为f的秩．如果再作可逆线性变换 ， 为 的秩
1 y1 = d z1 1 ⋮ y = 1 z r r dr yr +1 = z r +1 ⋮ yn = z n
其中 ∆ r 叫做矩阵 A 的 r 阶顺序主子式 顺序主子式． 顺序主子式
《线性代数》
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判定下列二次型的正定性 二次型的正定性． 例2. 判定下列二次型的正定性．
2 2 2 (1) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
t 2 − 1 < 0 解联立不等式 t (5t + 4) < 0
4 得－ < t < 0, 5 4 即当－ < t < 0时，f 正定. 5
∆1 =| 1 |> 0
∆2 = 1 t t 1 = 1− t2 > 0
北京工业大学线性代数第六章第七节 正定二次型第八节正交替换化标准形
证：方法一
( AT A)T AT A,
AT A是实对称阵，
任意X O, A可逆， AX O ,
f ( X ) X ( A A) X ( AX ) ( AX ) AX
T T T
2
0,
∴ f 是正定二次型，
AT A是正定矩阵.
19
方法二
( AT A)T AT A,
2 1
2
2( x1 x2 x3 ) 3 x 3 x 4 x2 x3
2 2 2 2 3
14
4 4 2 4 2 2 2( x1 x2 x3 ) 3( x x2 x3 x3 ) x3 3 x3 3 9 3 2 5 2 2 2 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3
2 1 2 2 2 3
是正定二次型.
2 2 f ( x , x , x ) x 2 x ② 1 2 3 1 2
不是正定二次型.
X (0,0, 3) 0, f (0,0, 3) 0 ≯0
2 2 2 f ( x , x , x ) x 2 x x ③ 1 2 3 1 2 3
∴ 二次型f 是正定二次型.
17
1 2 0 2 2 1 ， 是否正定？ 例2 判断矩阵 A 0 1 3
(P205---例6.7.3)
解:
2 1 2 2 0， 2 2
∴A 不是正定矩阵． 例3 试证：实数域上任一n 阶可逆矩阵A ，
都有ATA是正定矩阵．
第七节 正定二次型
一．正定二次型 二．正定二次型的判别法 三．正定矩阵在求多元函数极值中的应用
1
我们知道一元二次函数f(x)=x2 在x=0处
正定二次型
正定二次型一、定义正定二次型是线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论中，正定二次型是正定矩阵基于向量内积的一种自然推广。
正定二次型在数学分析、优化问题以及统计学中有着广泛的应用。
设A是一个n阶方阵，A是一个n维列向量，则称二次型A(A)=AAAA为矩阵A的对应二次型。
如果对于任意的非零向量A，都有A(A)>0，则称二次型A(A)为正定二次型。
二、性质正定二次型具有以下性质：1. 正定二次型的矩阵A一定是对称矩阵。
这是因为对称矩阵的转置等于自身，所以对任意的A，都有AAAA=AA(AAA)=AAAA。
2. 正定二次型的特征值全为正数。
设A是正定二次型的矩阵，对于A 的任意一个特征向量A，我们有AA=AA。
由于正定二次型对于任意非零向量A的取值都大于零，所以对于特征向量A，有AAAA>0，这等价于AA(AA)>0，即A>0。
因此，正定二次型的特征值全为正数。
3. 正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
正定二次型可以通过配方法化简为标准型。
化简的过程就是通过正交变换将原二次型变为标准型。
正交变换保持向量的长度不变，所以正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
4. 正定二次型的零空间只包含零向量。
设二次型A(A)=AAAA是正定二次型，如果A(A)=0，那么由于A≠0，所以AAAA=0，根据正定二次型的定义，A=0。
三、应用正定二次型在数学的许多领域有着广泛的应用。
1. 凸优化凸优化是数学中的一个重要分支，而正定二次型在凸优化问题中扮演着重要的角色。
对于一个凸优化问题，如果目标函数是一个正定二次型，那么这个优化问题就是一个凸优化问题。
通过对正定二次型进行分析，我们可以得到其极小点，并进一步解决凸优化问题。
2. 统计学在统计学中，正定二次型常常出现在协方差矩阵、精确度矩阵等概念中。
协方差矩阵描述了多个变量之间的关系，而正定二次型可以通过协方差矩阵定义一个正态分布的概率密度函数。
线性代数 正定二次型
标准形 f x 1 , L , x n d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 L d n y n 2
因P可逆，X0,YP1X0
n
fx 1 ,L ,x n d iy i2 0 d i 0(i 1 ,L ,n )
1
O
1 1 O
1 0 O
, 即PT AP 0
二、正定二次型
定义：设n元实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X ，若对任意的
X0 XR n，均有 fx 1 ,L ,x n X T A X 0 ,则称
A1 1 0
A A3 2 t1tt 2t 2 2t t1 2 00
1 t 0
A共有n个顺序主子阵，且均为实对称矩阵.
定理（Sylvester定理）：实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X
正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零.
三、应用举例
1 t
例：t
取何值？
A
t2Biblioteka 1 0提示：由Sylvester定理，
1
0
是正定的
1 t
一、惯性定理
任一二次型均可通过非退化的线性变换化为标准形，但 线性变换选择的不同会导致标准形的不同，即：二次型
的标准形不唯一。但由惯性定理可知，标准形中的正平 方项的个数与负平方项的个数却是唯一确定的。 定理（惯性定理） 实二次型 f(x 1 ,x 2 ,L ,x n ) X T A X 经过非退化的线性 变换化为标准形时，其标准形中正、负项的项数是唯一 确定的，二者的和等于矩阵A的秩. 定义：实二次型标准形中的正平方项的项数p称为二次型 的正惯性指数，负平方项的项数q称为二次型的负惯性指 数，二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r称为二次型的符号差.
正定二次型的矩阵
正定二次型的矩阵
正定二次型是指当输入向量不为零时，二次型的值始终大于零。
这意味着它所对应的矩阵的特征值都是正的。
在线性代数中，正定二次型矩阵具有重要的应用，例如用于等式约束和规划问题的求解。
以下是关于正定二次型矩阵的一些基本性质和应用：
性质：
1.正定二次型矩阵的秩等于其阶数。
2.正定二次型矩阵的行列式始终大于零。
3.正定二次型矩阵可以被用于求解优化问题，例如可以用于最小化某个目标函数的约束问题。
4.正定二次型矩阵可以通过进行主元素的分解来求出其特征值和特征向量。
应用：
1.正定二次型矩阵在机器学习领域中被广泛应用，例如用于支持向量机算法的求解。
2.正定二次型矩阵也可以被用于求解一些非线性规划问题，例如广义最小二乘问题和拟牛顿法。
3.正定二次型矩阵也可以被用于计算图像处理和数字信号处理中的优化算法。
总之，正定二次型矩阵是线性代数中非常重要的概念。
它与许多优化算法和规划问题有着密切的关系。
通过深入研究正定二次型矩阵，我们可以更好地理解这些领域中的问题，并提出更有效的算法和解决方案。
线性代数 6-3二次型的正定性
结束
4. 定理：An×n实对称，则 (X TAX正定)
A 正定
惯性指数p＝n,即 A ≃ E. 的正惯性指数 ⇔ A的正 ⇔ 存在可逆阵P,使A(=P EP)= P P . 全为正数. ⇔ A的特征值 λ , λ ,⋯, λ 全为正数 . 个顺序主子式均为正值. ⇔ A的n个顺序主子式均为正值
T T
1 2
n
: A=(aij)n×n正定 推论 推论:
) (其逆否命题可判非正定 其逆否命题可判非正定)
⇒ (1) a
ii >0
(aii = ε iT Aε i )
(2) A > 0 ( A = λ1λ2 ⋯ λn )
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定理（4）的证明
T f ( x , x , … , x ) = a x x = X AX 正定 实二次型 ∑∑ ij i j 1 2 n i =1 j =1 n n
2 2 2 f ( x , x , … , x ) = d y + d y + ⋯ + d y 变成标准形： 1 2 n 1 1 2 2 n n
由于 f 正定 ⇔ di > 0, i = 1,2,⋯, n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
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3、顺序主子式、主子式 设矩阵 A = (aij ) ∈ R
⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠
x1 = x2 = x3 = 0
故 f 正定.
λ1 = 2, λ2 = 2 + 3, λ3 = 2 − 3
,故 f 正定 . 特征值均大于零 特征值均大于零, 正定.
顺序主子式法 法3. 3.顺序主子式法
正定二次型判定方法
正定二次型判定方法正定二次型是数学中重要的概念之一，它在很多领域中都有着广泛的应用。
在线性代数中，正定二次型是指对于任意非零向量，其二次型值都大于零。
本文将介绍正定二次型的判定方法。
我们需要了解什么是二次型。
二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常表示为Q(x)=x^TAx，其中x是一个n维列向量，A是一个对称矩阵。
二次型在很多问题中起到了至关重要的作用，比如在优化问题、概率统计和物理学中。
对于一个二次型，我们希望能够判断它是否是正定的。
如果一个二次型是正定的，那么它具有以下性质：1. 二次型的所有特征值都大于零；2. 对于任意非零向量x，有x^TAx>0。
那么如何判断一个二次型是否正定呢？有以下几种方法：1. 特征值判定法：计算对称矩阵A的所有特征值，如果所有特征值都大于零，则二次型是正定的。
这是一种常用的判定方法，但需要计算所有的特征值，计算复杂度较高。
2. Sylvester判准则：根据A的主子式的符号判断。
一个n阶矩阵A的主子式是A的前k行和前k列所组成的子矩阵的行列式，记作Dk。
如果A的所有主子式Dk的符号交替，即D1>0，D2<0，D3>0，...，(-1)^(n-1)Dn>0，则二次型是正定的。
这种方法通过计算主子式的符号来判断二次型的正定性，计算复杂度较低。
3. 正定矩阵的定义：如果一个矩阵A满足对任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵，对应的二次型是正定的。
这种方法直接使用正定矩阵的定义进行判断，判断过程较为直观。
总结起来，判断二次型是否是正定的方法有特征值判定法、Sylvester判准则和正定矩阵的定义。
这些方法各有优缺点，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，正定二次型的判定方法可以帮助我们解决很多问题。
比如在优化问题中，我们希望找到一个使目标函数取得最小值的向量，可以通过判断二次型的正定性来确定是否存在最小值。
线性代数5-7
定理1. 定理1. 设有实二次型 f ( x ) = x T Ax ，它的秩为 ，有 它的秩为r， 两个可逆线性变换
x = Py , x = Qz
将 f 化为标准形
f ( Py ) = k1 y12 + k2 y2 2 + ... + kr yr 2
f (Qz ) = l1 z12 + l2 z2 2 + ... + lr zr 2
f ( x ) = x T Ax 正定的充分必要条件 定理2. 元二次型 定理2. n元二次型 是它的标准形的n个系数全为正数 个系数全为正数， 是它的标准形的 个系数全为正数，即它的正惯性指数为 n。 。
证明： 证明： 推论. 实对称矩阵A正定的充分必要条件是 的全部 推论. 实对称矩阵 正定的充分必要条件是A的全部 正定的充分必要条件是 特征值都是正数。 特征值都是正数。
a32 ... an 2
a13 a23 a33 ...
an 3
... a1n ... a2 n ... a3 n ... ... ... ann
a11 = a11 > 0,
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13
a11 a21
a12 >0 a22
a23 > 0, ..., A > 0 a33
实矩阵， 为 阶单位阵 阶单位阵， 例3. 设A为 m × n 实矩阵，E为n阶单位阵，已知 为 B = λ E + AT A 试证： 试证：当 λ > 0 时，矩阵 为正定矩阵。 矩阵B为正定矩阵 为正定矩阵。 证明： 证明： 证明： 阶实对称矩阵， 与 为 阶实对称矩阵 与 合同 例4. 证明：若A与B为n阶实对称矩阵，则A与B合同 的充分必要条件为A与 有相同个数的正特征值和相同个 的充分必要条件为 与B有相同个数的正特征值和相同个 数的负特征值。 数的负特征值。 证明： 证明：
线性代数14.配方法化二次型、正定二次型
1 2
x3）2 +（2 x2
+x3）2 +（
-
52）x32
当 5， f 正定;
2
规范形为 f z12 z22 z32
当 5，f 半正定;
2
规范形为 f z12 z22
当 5， f 不定;
2
规范形为 f z12 z22 -z32
例6.3.3 设A是n阶正定矩阵, 证明A1, A, Ak (k为正整数)都是正定矩阵.
(x1 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 5x32
令： yy12
x1
2
x2 x2
2x3 x3
y3
x3
y1 1 2 2 x1
即：
y2
0
1
1
x2
y3 0 0 1 x3
x1 1 2 2 1 y1
从而： x2
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
故该实二次型的正惯性指数p 2,
负惯性指数q 0
秩r p q 2 规范形为h(z) z12 z22.
6.3 定性分类
定义6.3.1 设有二次型 f xT Ax ，其中 A 为实对称矩阵,
若对任意非零向量 x ，总有： （1）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为正定二次型， 并称 A 为正定矩阵； （2）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半正定二次型，并称 A 为半正定矩阵； （3）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为负定二次型， 并称 A 为负定矩阵； （4）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半负定二次型，并称 A 为半负定矩阵；
A正定 A的各阶顺序主子式均大于零
A负定 A的奇数阶顺序主子式均为负，
线性代数 正定二次型ppt课件
性质： （Байду номын сангаас） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 设可逆变换x Cy使 n f x f Cy ki yi2.
充分性
i 1
设 k i 0 i 1,,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
是否正定.
解 用特征值判别法.
二次型的矩阵为
2 A 0
0 2 4 0 ,
2 0 5
令 I A 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
f
x
n
ki
y
2 i
0.
必要性
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1,,n.
P
1
P
n
n t
所以A的特征值为1 t，2 t，n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结
线性代数§6.4
小结
1. 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的 区别与联系.
2. 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1) 定义法; (2) 主子式判别法; (3) 特征值判别法.
yT (CT AC) y
任取 y0 0, 由x＝Cy得到与 y0 对应的 x0
0 x0 Cy0
正定.
因为 xT Ax 正定，所以 x0T Ax0 0 即 y0T (CT AC) y0 0 故 yT (CT AC) y 正定.
另一方面，由 yT (CT AC) y 正定
xT Ax 正定.
任取 x0 0, 由 x＝Cy 得到与 x0对应的 y0
(1) 二次型 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2
正定
di 0 (i 1, 2, , n)
充分性，若 di 0 (i 1, 2, , n),y ( y1, y2, , yn) 0 则 f ( y1, y2, , yn ) d1 y12 d2 y22 dn yn2 0
定义1: 设有实二次型 f(x)=xTAx,显然 f (0)=0.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)>0, 则称 f 为正定二
次型, 并称对称矩阵A为正定矩阵.
如果对任意的 x 0, 都有 f(x)<0, 则称 f 为负定二
次型, 并称对称矩阵A为负定矩阵. 注意：正定矩阵一定是对称矩阵. 例如: f = x2 + 4y2 + 16z2 为正定二次型。
故 A1 正定.
A *的特征值为：| A | 由|A|>0，所以 A * 全部
特征值大于零所以 A*正定
正定矩阵具有以下一些简单性质: 1. 若A为正定的, 则AT, A-1, kA（k为正数），A*
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，它在各个数学领域中都有着广泛的应用。
正定二次型在优化问题、矩阵分解、信号处理等领域都有着重要的作用。
了解正定二次型的性质和判别方法对于深入理解和应用线性代数具有重要意义。
本文将介绍正定二次型的定义、性质以及判别方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用正定二次型。
一、正定二次型的定义我们来看一下正定二次型的定义。
设f(x_1,x_2,...,x_n)是关于n个变量的二次齐次多项式，即f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j其中a_{ij}是常数。
如果对任意非零向量x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，都有f(x)>0，那么我们称f(x)是正定二次型。
简单来说，正定二次型就是一个对于任意非零向量都是正的二次齐次多项式。
正定二次型具有许多重要的性质，下面我们来介绍其中的一些。
1. 正定二次型的矩阵表示设f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j是一个正定二次型，那么我们可以把这个二次型表示为矩阵的形式，即A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}这个矩阵就是正定二次型对应的矩阵表示，通常我们把这个矩阵记作A。
而矩阵A是一个对称矩阵，它的对角元素就是二次型中的系数a_{ij}。
正定二次型和对称矩阵之间有着密切的关系。
线性代数第七章 n元实二次型 S2 正定二次型
故上述二次型是正定的.
8
定义3: 若对任意X≠0，恒有XTAX<0，则实二次型 XTAX称为负定二次型. 负定二次型的矩阵A称为负定矩阵. 记为A<0.
* 坐标变换(非退化线性替换)保持二次型的负定性不变.
9
非标准形的二次型是否负定的判定方法
○ n元实二次型负定 它的负惯性指数等于n.
−A>0. A=(aij) 的奇数阶顺序主子式为负，而偶数
则坐标变换 X=PY 化二次型
nn
f X T AX Y T (PT AP )Y a11 y12
bij yi y j
a11 y12 g( y2 , y3 , , yn )
i2 j2
则g(y2, y3,…, yn)的各阶顺序主子式为
b22 | Bj1 |
bj2
b2 j , ( j 2, 3, , n)
第七章 n元实二次型
§7.2 正定二次型
1
定义1：若对任意 X 0，恒有XTAX>0，则实二次型
XTAX称为正定二次型. 正定二次型的矩阵A称为正定矩阵. 记为A>0.
已知：n元二次型的标准形为
X T AX d1 x12 d2 x22 dn xn2
仅当所有n个系数 di>0 (i=1,2,…,n)时，它才是正定的.
7
例1 判别下面二次型是否正定.
f x1 , x2 , x3 5 x12 x22 5 x32 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
5
解： f x1, x2 , x3 的 矩 阵 为
2
2 4 1 2,
4 2 5
它的顺序主子式
5 0,
5
2 1 0,
21
正定二次型
正定二次型正定二次型是线性代数中一种重要的二次型形式，它在数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍正定二次型的定义、性质以及一些应用。
1. 定义对于一个n维向量x=(x1,x2,...,x n)T，其中x i表示向量x的第i个分量。
正定二次型是指具有如下形式的二次型：Q(x)=x T Ax其中A是一个$n \\times n$的对称矩阵，x T表示向量x的转置。
如果对于任意的非零向量x，都有Q(x)>0，则称二次型Q(x)为正定二次型。
2. 性质正定二次型具有一些重要的性质，下面将介绍其中几个性质。
2.1 对称性正定二次型的矩阵A是一个对称矩阵，即A=A T。
这是因为对于任意的向量x，都有x T Ax=x T(A T x)=(x T Ax)T=x T A T x。
因此，正定二次型的矩阵A是对称的。
2.2 正定性与正定矩阵的关系正定二次型与正定矩阵之间有着紧密的联系。
一个$n \\times n$的对称矩阵A 是正定矩阵，当且仅当对于任意的非零向量x，都有x T Ax>0。
而正定二次型Q(x)是由矩阵A定义的，因此正定矩阵与正定二次型是等价的概念。
2.3 正定矩阵的特征值对于一个正定矩阵A，它的特征值都大于零。
这是因为如果A的一个特征值为$\\lambda$，对应的特征向量为x，那么有$Ax = \\lambda x$。
进而，我们可以得到$x^T A x = x^T (\\lambda x) = \\lambda (x^T x) > 0$。
由于x是非零向量，x T x> 0，因此必有$\\lambda > 0$。
2.4 正定矩阵的行列式对于一个正定矩阵A，它的行列式大于零。
这是因为正定矩阵的特征值都大于零，而行列式是特征值的乘积，因此正定矩阵的行列式也大于零。
3. 应用正定二次型在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍两个典型的应用。
3.1 正定二次型在优化问题中的应用正定二次型经常出现在优化问题的目标函数中。
线性代数第25讲 正定二次型
C T AC
2
其中1 , 2 ,, n是矩阵 A 的全部特征值.从而得到:
定理 3 对称矩阵 A为正定矩阵的充分必要条件是它 的特征值全大于零.
A与E合同,故有 定理 4 n阶矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是 A 的正惯性指数 p n. 定理 5 矩阵 A为正定矩阵的充分必要条件是: 存在 非奇异矩阵 C , 使 A C T C . 推论 若 A为正定矩阵, 则 | A | 0.
2 1 2 2 2 3
将其改写成 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 2 x3 )2 0, 当 x1 x2 2 x3 0 时, f ( x1 , x2 , x3 ) 0, 故 f ( x1 , x2 , x3 ) 是半负定的, 其对应的矩阵
2 1 1 2 1 1 2 2 4
正定二次型
一、二次型有定性的概念 二、正定矩阵的判别法
一、二次型有定性的概念
定义 具有对称矩阵 A 之二次型 f x Ax , 如果对 于任何非零向量 x , 都有 T x Ax 0 (或 0) T 则称 成立, f x Ax 为正定(负定)二次型,矩阵 A
T
称为正定矩阵(负定矩阵). 如果对于任何非零向量 x , 都有 x T Ax 0 (或 0) 则称 成立, 且有非零向量 x 0 , 使 x T 0 Ax0 0,
2 d k 0, x k 0, 故 d k xk 0, 而当 i k 时,
di x 0
2 i
x Dx d i x 0,
T i 1 2 i
n
D 为正定矩阵.
1 n
证毕.
由于对任一对称矩阵 A, 存在正交矩阵 C , 使得
线性代数及其应用第7节正定二次型
例如 实二次型
f (x1 , x2 , x3) = x12 + x22 + 2x32 为正定二次型； g (x1 , x2 , x3) = –x12 – 2x22 – 3x32 为负定二次型； h (x1 , x2 , x3) = x12 + x22 – 3x32是不定的， 因为h (1 ,0 ,0) = 1 > 0，h (0 ,0 ,1) = –3 < 0； k (x1 , x2 , x3) = x12 + x22 也是不定的， 因为k (1 ,0 ,0) = 1 > 0，k (0 ,0 ,1) = 0．
三、正定二次型的判别定理
定理 12 实二次型 f(x) = xTAx 为正定的充
分必要条件是: 它的标准形的 n 个系数全为正，
即它的规范形的 n 个系数全为 1，亦即它的正 惯性指数等于 n .
定 理 12 实 二 次 型 f(x) = xTAx 为 正 定 的 充
分必要条件是: 它的标准形的 n 个系数全为正，
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件
是: A 的特征值全为正.
定理 13 对称矩阵 A 为正定的充分必要条
件是: A 的各阶顺序主子式都为正, 即
a110,
a11 a21
a120,,a11
a22
an1
a1n 0;
ann
对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是: 奇数阶顺 序主子式为负, 而偶数阶顺序主子式为正, 即
第 7 节 正定二次型
惯性定理
正定二次型的概念
举例
正定二次型的判别定理
这个定理称为惯性定理, 这里不予证明.
二次型的标准形中正系数的个数称为二次
型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性 指数. 若二次型 f 的正惯性指数为 p，秩为 r ,
正定二次型判断方法
正定二次型判断方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，在实际应用中具有广泛的应用。
判断一个二次型是否正定的方法是线性代数中最基本的问题之一，也是非常重要的。
本文将介绍正定二次型的概念、性质和判定方法。
一、正定二次型的概念和性质1.1 正定二次型的定义设f(x1,x2,...,xn)是一个n元二次齐次函数，则称f(x1,x2,...,xn)是正定二次型，如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,...,xn)，都有f(x)>0。
（1）正定二次型的值域是正实数。
（3）正定二次型的解析式一定是一个关于字母的二次有理函数。
（4）正定二次型的非零二次型矩阵一定是可逆矩阵。
对于二元二次型f(x1,x2)=2x1^2+2x2^2-x1x2，我们可以验证该二次型是否正定。
根据定义，我们需要对于任意的非零向量(x1,x2)，都有f(x)>0。
即需要满足如下条件：2x1^2+2x2^2-x1x2>0化简得：由于x1^2和x2^2始终是非负数，并且当x1=x2=0时，x1^2+x2^2+\frac{1}{2}x1x2=0，因此只要证明\frac{1}{2}x1x2的系数大于等于0，就能证明f(x)是正定的。
根据矩阵乘法的定义可得到f(x)=x^T\begin{bmatrix}2 & -\frac{1}{2} \\-\frac{1}{2} & 2\end{bmatrix} x由于该矩阵是正定矩阵（两个特征值均为正数），因此该二次型是正定的。
2.1 特征值法设二次型为f(x)=x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵，λ1,λ2,...,λn为矩阵A的n 个特征值，则有如下结论：当A是正定矩阵时，有λ1>0,λ2>0,...,λn>0。
2.2 主元法当二次型f(x)对应的矩阵A是可逆矩阵时，有如下结论：当二次型的系数矩阵A的顺序主子式（行列式）都大于0时，二次型成为正定的。
正定二次型
22
nn
（充分性） 若ki 0 (i 1, 2, ,n), 对任意的
x 0 ( x Rn ) , 则 y P 1 x 0, 有
6.2 正定二次型
6.2.2 正定二次型的判定
f k y 2 k y2 k y 2 0，
11
22
nn
即 f 为正定二次型.
（必要性）用反证法：假设存在
解 (1) 2＞0, 2 1 5 0,
2 2
2 1 0
1 2 1 4 0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
6.2 正定二次型
6.2.2 正定二次型的判定
例6.2.2 判断下列对称矩阵的正定性
2 0
(1)
1
01 12 21,
5 2 2
. (2) 22 06 40
解 (2) ∵-5<0, 5 2 26 0, 2 6
线性代数与空间解析几何
第6章 二次型
本章主要内容
6.1 二次型及其标准形 6.2 正定二次型
6.2 正定二次型 本节主要内容
正定二次型的概念 正定二次型的判定
6.2 正定二次型
本节基本要求
了解惯性定理 理解正定、半正定、负定、半负定二次型的概念 理解正定、半正定、负定、半负定矩阵的概念 会判定二次型（实对称矩阵）正定性
5 2 2
2 6 0 80 0, ∴该矩阵为负定矩阵.
2 0 4
6.2 正定二次型
(一)小结 1. 正定二次型的概念, 正定二次型与正定矩阵的 区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法 ： (1)定义法； (2)配方法； (3)顺次主子式判别法 ； (4)特征值判别法.
3. 根据正定二次型的判别方法,可以得到负定二 次型(负定矩阵)相应的判别方法,请大家自己推导.
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（２） 若Ａ可逆，则Ａ的的特征值均非零。
且若λ０ 是Ａ的特征值，则
１ λ０
为Ａ－１ 的特征值。
P205 ex3 设A、B为正定矩阵，证明B A也是正定矩阵。 证明：因为A、B为正定矩阵，由定义它们都为对称矩阵, 对任意向量X 0，X T AX 0, X T BX 0,则 由定义B A也是正定矩阵。
f 则称 为负定二次型,并称对称矩阵A是负定矩阵；
例如
f x 2 4 y 2 16z 2 为正定二次型
f x12 3 x22
为负定二次型
二、正(负)定二次型的判别
定理2 实二次型f xT Ax为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的n个系数全为正.
推论1 二次型正定的充要条件是它的标准型为
3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导．
定理2之证明 充分性
设可逆变换x Cy使 n
f x f Cy ki yi2.
i 1
设 k i 0 i 1, ,n. 任给 x 0,
则 y C -1 x 0, 故
f
x
n
ki
yi2
0.
必要性
P 205 ex4 设A为正定矩阵，证明A1与An也是正定矩阵。 证明 : 因为A是正定矩阵，则A是对称矩阵, 且A的特征值 都是正数.则A1与An也是对称矩阵, 且它们的特征值都 是正数.由定理它们为正定矩阵。
P205 ex2设A为对称矩阵，证明当t充分大时， tI A是正定矩阵。
证明：因为A为对称矩阵，A可对角化，存在可逆
a11 5 0,
a11 a12 5
2 26 0,
a21 a22 2 6
A 80 0, 根据定理3知f为负定.
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵,则AT , A1, A均为 正 定 矩 阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵,则A B也是 正定矩阵.
性质： （１） 设λ０ 是Ａ的特征值， ｇ（ｘ）为任一多项式， 则ｇ（λ０） 是ｇ（Ａ）的特征值。（用定义证）
解
f x1, x2 , x3 的矩阵为
2
1 2,
4 2 5
它的顺序主子式
52
5 0,
1 0,
21
故上述二次型是正定的.
5 2 4 2 1 2 1 0, 4 2 5
例2 判别二次型
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3
是否正定.
解 用特征值判别法.
i 1
假设有 ks 0, 则当y es (单位坐标向量)时,
f Ces ks 0.
显然 Ces 0, 这与 f 为正定相矛盾.
故 ki 0i 1, , n.
f
X
=
y12
+
y
2 2
+L
y
2 n
A A 推论2 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的
特征值全为正．
推论3 正定二次型的矩阵行列式必大于零.
A A 定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的
各阶顺序主子式全为正，即
a11 0,
a11 a21
a11
a12 0, ,
a22
an1
对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶
顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正,即
a1n 0; ann
a11 a1r
1r
0,
ar1 arr
这个定理称为霍尔维茨定理．
r 1,2, , n.
例1 判别二次型
f x1, x2 , x3 5x12 x22 5x32 4x1x2 8x1x3 4x2 x3
是否正定.
5 2 4
二次型的矩阵为
令 I A 0
2 0 2 A 0 4 0 ,
2 0 5
1 1, 2 4, 3 6.
即知 是A正定矩阵，
故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x2 6 y2 4 z2 4xy 4xz
的正定性.
5 2 2
解
f的矩阵为
A
2
6
0 ,
2 0 4
矩阵P，使得，
1
A
P
1
1
P，tI
A
P
1
n
P
tI
n
1
P
1
1 t
P
P 1tIP
P
1
n
P
n t
所以A的特征值为1 t，2 t， n t，当t充分大时，
它们全大于零，所以tI A是正定矩阵。
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
第二节 正定二次型
一、正定二次型的概念 二、正(负)定二次型的判定
一、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型
f ( x) xT Ax, 如果对任何
x 0( x ( x1, x2 , , xn )T ), 都有f ( x) 0, f 则称 为正定二次型,并称对称矩阵A是正定矩阵；
如果对任何x 0,都有f ( x) 0,