河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试二理科数学试题
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三、解答题
17．已知 方程 表示焦点在 轴上的椭圆， 对于任意 ，不等式 恒成立，若 薇真命题， 为假命题，求实数 的取值范围.
18．数列 是等差数列，若 .
（1）求数列 的前 项和 ；
（2）若 .设数列 的前 项和为 ，求证： .
19．已知 分别为△ 三个内角 的对边，且满足 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）当 时，求△ 面积的最大值．
20．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
21．已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 在抛物线上.
（1）写出该抛物线的标准方程及其准线方程；
（2）过点 作两条倾斜角互补的直线与抛物线分别交于不同的两点 ,求证：直线 的斜率是一个定值.
，∴ ， ，
∴ ，
∴ 与 所成角的余弦值为 .
故选：B
点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.
故选：B
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
6．C
A． B． C． 或 D． 或
7．三棱柱 中， 平面 ， ， ，点 分别是 的中点，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在 中，角 所对的边分别为 .若 ，则 的面积
（ ）
A． B． C． D．
9．设 是圆 上一动点，点 的坐标为 ，若线段 的垂直平分线交直线 于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）
8．B
【解析】
由 可得 ， .由 可得 ，整理可得 ，解得： 或 （舍去），
∴ .
故选：B
9．D
【解析】
由题意知： ， ,
∵ ， ， ，∴点N的轨迹为双曲线， ，
∴Baidu Nhomakorabea 的轨迹方程为
故选：D
10．C
【解析】
∵ ，∴ ，当且仅当 时， 取得最大值为 ，∵不等式 恒成立，∴ ，解得
故选：C
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试二理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．下列叙述正确的是（ ）
A．若 ，则
B．方程 表示的曲线是椭圆
C． 是“数列 为等比数列”的充要条件
D．若命题 ，则
3．设 ，则 的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列 是公比为 的等比数列，其前 项和为 ，则 （ ）
A．15B．8C． D．
5．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）
A．2B．1C．0D．3
6．椭圆的长轴长、短轴长和焦距按照适当的顺序排列，可构成一个等差数列，则该椭圆的离心率（ ）
22．已知椭圆 经过点 ，离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知 ，直线 与椭圆 交与 两点，求四边形 面积的最大值.
参考答案
1．A
【解析】
将抛物线 的方程化为标准形式 ，
∴抛物线 的焦点坐标为 .
故选：A
2．D
【解析】
对于A选项，若 ,不等式不成立；
对于B选项，若 ，则方程 表示的曲线是圆；
对于C选项，若 ，则由 不能得出数列 为等比数列；
∴椭圆 的离心率的取值范围是
故选：A
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
A． B． C． D．
10．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与抛物线 的一个交点，若 ,则 ( )
A．3B． C．4或 D．3或4
12．已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 交椭圆 于 两点，若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
11．B
【解析】
设Q到 的距离为 ，则 ∵ ，∴ ，易得直线 的斜率为 ，
∵ ，不妨令直线 的方程为 ，与 联立可得 （舍）或 ，
∴ ，可得 .
故选B
12．A
【解析】
如图所示，设 为椭圆的左焦点，连接 ， ，则四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，取 ,∵点M到直线 的距离不小于 ，∴ ，解得 ，∴ ,
【解析】
若 成等差数列，则 ，又由 可得 ,整理可得 ，∴ ，解得： 或 （舍去）；
若 成等差数列，则 ，即 ，又由 可得： ，整理可得： ，解得： 或0（舍去）.
故选：C
7．B
【解析】
由已知可得，三棱柱的底面为正三角形，设 中点为D，分别以 ， ， 所在直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系，设 ，则 ， ，
A． B． C． D．
二、填空题
13．“若 ，则 ”的逆否命题是真命题，则实数 的取值范围是__.
14．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， 的面积等于 ，则 的取值范围是_________.
15．在正方体 中，若棱长 ，则点 到平面 的距离等于________.
16．已知 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上一点，点 的坐标为 ，则 的周长最小时，点 到直线 的距离为________.
对于D选项，特称命题的否定，需要该存在量词为全称量词，并否定结论，正确.
故选D
3．C
【解析】
若 ，由 可得 ,故A错误；
若 ， ，则 ，但 ，故B错误；
由 可得： ,若 则 ，所以D错误；
故选：C
4．A
【解析】
.
故选：A
5．B
【解析】
作出不等式组对应的平面区域（如图），平移直线 ，易知直线经过可行域上的点 ， 取得最大值为1.
17．已知 方程 表示焦点在 轴上的椭圆， 对于任意 ，不等式 恒成立，若 薇真命题， 为假命题，求实数 的取值范围.
18．数列 是等差数列，若 .
（1）求数列 的前 项和 ；
（2）若 .设数列 的前 项和为 ，求证： .
19．已知 分别为△ 三个内角 的对边，且满足 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）当 时，求△ 面积的最大值．
20．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
21．已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 在抛物线上.
（1）写出该抛物线的标准方程及其准线方程；
（2）过点 作两条倾斜角互补的直线与抛物线分别交于不同的两点 ,求证：直线 的斜率是一个定值.
，∴ ， ，
∴ ，
∴ 与 所成角的余弦值为 .
故选：B
点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.
故选：B
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
6．C
A． B． C． 或 D． 或
7．三棱柱 中， 平面 ， ， ，点 分别是 的中点，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在 中，角 所对的边分别为 .若 ，则 的面积
（ ）
A． B． C． D．
9．设 是圆 上一动点，点 的坐标为 ，若线段 的垂直平分线交直线 于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）
8．B
【解析】
由 可得 ， .由 可得 ，整理可得 ，解得： 或 （舍去），
∴ .
故选：B
9．D
【解析】
由题意知： ， ,
∵ ， ， ，∴点N的轨迹为双曲线， ，
∴Baidu Nhomakorabea 的轨迹方程为
故选：D
10．C
【解析】
∵ ，∴ ，当且仅当 时， 取得最大值为 ，∵不等式 恒成立，∴ ，解得
故选：C
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试二理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．下列叙述正确的是（ ）
A．若 ，则
B．方程 表示的曲线是椭圆
C． 是“数列 为等比数列”的充要条件
D．若命题 ，则
3．设 ，则 的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列 是公比为 的等比数列，其前 项和为 ，则 （ ）
A．15B．8C． D．
5．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）
A．2B．1C．0D．3
6．椭圆的长轴长、短轴长和焦距按照适当的顺序排列，可构成一个等差数列，则该椭圆的离心率（ ）
22．已知椭圆 经过点 ，离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知 ，直线 与椭圆 交与 两点，求四边形 面积的最大值.
参考答案
1．A
【解析】
将抛物线 的方程化为标准形式 ，
∴抛物线 的焦点坐标为 .
故选：A
2．D
【解析】
对于A选项，若 ,不等式不成立；
对于B选项，若 ，则方程 表示的曲线是圆；
对于C选项，若 ，则由 不能得出数列 为等比数列；
∴椭圆 的离心率的取值范围是
故选：A
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
A． B． C． D．
10．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与抛物线 的一个交点，若 ,则 ( )
A．3B． C．4或 D．3或4
12．已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 交椭圆 于 两点，若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
11．B
【解析】
设Q到 的距离为 ，则 ∵ ，∴ ，易得直线 的斜率为 ，
∵ ，不妨令直线 的方程为 ，与 联立可得 （舍）或 ，
∴ ，可得 .
故选B
12．A
【解析】
如图所示，设 为椭圆的左焦点，连接 ， ，则四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，取 ,∵点M到直线 的距离不小于 ，∴ ，解得 ，∴ ,
【解析】
若 成等差数列，则 ，又由 可得 ,整理可得 ，∴ ，解得： 或 （舍去）；
若 成等差数列，则 ，即 ，又由 可得： ，整理可得： ，解得： 或0（舍去）.
故选：C
7．B
【解析】
由已知可得，三棱柱的底面为正三角形，设 中点为D，分别以 ， ， 所在直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系，设 ，则 ， ，
A． B． C． D．
二、填空题
13．“若 ，则 ”的逆否命题是真命题，则实数 的取值范围是__.
14．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， 的面积等于 ，则 的取值范围是_________.
15．在正方体 中，若棱长 ，则点 到平面 的距离等于________.
16．已知 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上一点，点 的坐标为 ，则 的周长最小时，点 到直线 的距离为________.
对于D选项，特称命题的否定，需要该存在量词为全称量词，并否定结论，正确.
故选D
3．C
【解析】
若 ，由 可得 ,故A错误；
若 ， ，则 ，但 ，故B错误；
由 可得： ,若 则 ，所以D错误；
故选：C
4．A
【解析】
.
故选：A
5．B
【解析】
作出不等式组对应的平面区域（如图），平移直线 ，易知直线经过可行域上的点 ， 取得最大值为1.