北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数应用小结与复习 课件
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( x) 3 x 2 6 x 3 x( x 2) 0,解得x>0或x<-2. (2) f
故f(x)的单调递增为(-∞,-2]和[0,+∞). [m, m 1] (,2]或[m, m 1] [0,). 即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0.
2013-4-2
1 1 2 2 ln x ( x 1) 1 (1 x )3 ( x 0). 例5:证明不等式: x 2 3 1 1 2 2 f ( x ) ln x ( x 1) ( x 1)3 ( x 0). 证:设 x 2 3 1 1 2 3 2x 1 则 f ( x ) 2 ( x 1) 2( x 1) ( x 1) 2 , x x x
23 2
3
,即h=2r.
2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
2013-4-2
例4: 如图,在二次函数f(x)= y 2的图象与x轴所 4x-x 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
2 3 2 3 , x2 2 . S ( x) 6 x 24x 16. 令 S ( x ) 0 ,得 x1 2 3 3 2 3 32 3 x1 (0,2), 所以当 x 2 . 时, S ( x )max 3 9
2
2 3 32 3 ,0) . 因此当点B为 ( 2 时,矩形的最大面积是 2013-4-2 2 9
例7.2001—新课程卷—文史类(21): 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试 确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间. 注:此题为p.252课后强化训练第8题. 解:由已知得:
1 f (1) 1 3a 2b 1 a 3 . 1 f (1) 3 6a 2b 0 b 2
2013-4-2
教学目标：
知识与技能:
1. 利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以 及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；2．利用导数 求解一些实际问题的最大值和最小值。
过程与方法:
1. 通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函 数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思 维能力； 2. 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培 养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
2013-4-2
1 1 l n x ( x 1) 2 x 2
例6:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2), 且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直. (1)求a、b的值； (2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值 范围. 2 解:(1) f ( x) 3ax 2bx, f (1) 2 ab 2 a 1 . 由题意得: f (1) 3 3a 2b 3 b 3
b 为函数的最大值；若函数 上单调递减，则 f a 为函数的最大值，
的最小值，f 最小值.
2013-4-2
y f x 在[a，b]
f
b 为函数的
例４ 函数
y 2 x 3x 12 x 5 在[0，3]上的最值.
3 2
X Y’ y
0
(0,2) －
2 0 -15
则称
f x
在点
x0附近有定义，且对
f x0 为函数的一个极大（小）值，称
x0 为极大（小）
值点。
2013-4-2
2. 求可导函数 y f x 极值的步骤： ①
② ③
求导数 f x
求方程 f x ＝０ 的根； 检验 f x 在方程 f x ＝０的根的左、右的符号，
(4)与定义域求交集
(5)写出单调区间
2013-4-2
题型一： 利用导数求切线斜率、瞬时速度
例1 求垂直于直线 2 x 6 y 1 0
，且与曲线
y x 3x 1 相切的直线方程.
3 2
解法提示：在某一点切线的斜率或在某一
时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.
2013-4-2
例3:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等 的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少? 解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60). 3 2 令 V ( x ) 60x x 0,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 2 16000. 由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的 容积很小,因此,16000是最大值. 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
令 f ( x ) 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f ( x ) 0 ;x>1时, f ( x ) 0 ,所以x=1是f(x)的极 小值点. 所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1. 从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
2 3 1 (1 x ) 成立. 3
，则
，
y f x
在该区间上是增函数；若
f x 0
y f x
为减函数。
2013-4-2
2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
(1)求 y = f(x ) 的定义域D
(2)求导数 f ( x ).
(x) 0 (x) 或解不等式 f ¢ < . (3)解不等式; f ¢ > 0
f ( x ) x 3 x 2 x,
f ( x) 3 x 2 2 x 1.
1 1 ( x ) 得 x 1. 0 由 f ( x ) 0得 x 或x 1 f ;由 3 3
故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1/3)和(1,+∞),单调 递减区间是(-1/3,1).
(2,3) ＋
wenku.baidu.com
3
5
５
2013-4-2
题型四 ：利用求导解应用题
例1
如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开
始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进，与此同时， 乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时 间甲、乙相距最近？ B 乙
甲
如图
2013-4-2
A
C 例2:如图,铁路线上AB段长 100km,工厂C到铁路的 距离CA=20km.现在要 在AB上某一处D,向C修 B D A 一条公路.已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
2013-4-2
三、难点突破：
1. 关于单调性的定义,条件是充分非必要的. 若 在（a，b）内， f x 0 （或 f x 0 ），（其中有有限个 x
2013-4-2
练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小 值为2. (1)试确定常数a、b的值; (2)求函数的单调递增区间. 答案:(1)a=1,b=4. (2)单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
2013-4-2
练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都 取得极值. (1)求a、b的值; (2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取 值范围. 答案:(1)a=-1/2,b=-2. (2)利用f(x)max<c2,解得c<-1或c>2. 练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上 的值域. , 答:由已知得 f (0) f (2) 0可求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在[-1,4]上的值域是[-4,16].
如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y f x 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为 正，那么函数 y f x 在这个根处取得极大值.
2013-4-2
题型三 ：求函数的极值与最值
例3 设函数 f x ax3 bx 2 cx 在 x 1或
2
令 y t (
5x 400 x
2
3) 0 0 x 100 的范围内有 ,在
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费 最省. 注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合. 练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h. 答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大. 2.与数学中其它分支的结合与应用. 2013-4-2
2013-4-2
类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2. 2h,得 h V ,则 由V=πr 2
r V 2V 2 S ( r ) 2r 2 2r 2r 2 . r r V V V 2V 3 令S ( r ) 2 4r 0,解得 r ,从而 h r 2 2 V 2 r 3 ( ) 4V V
x 1
处有极值且 f 1 1 . 求 a, b, c. 并求其极值.
分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步
骤来求. 但要注意极值点与导数之间的关系（极值
点为
f x 0 的根）.
2013-4-2
是定义在区间[a，b]上的函数，y f x 在 （a，b）内有导数，求函数 y f x 在[a，b]上的最大值与 1. 设
最小值，可分两步进行： ① ② 求 y f x 在（a，b）内的极值； 将 y f x 在各极值点的极值与 f a , f b 比较，
（三）、函数的最大值与最小值 y f x
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2. 若函数 y f x 在[a，b]上单调递增，则 f a 为函数的
情感态度、价值观：
逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方 2013-4-2 程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯
一、知识点
1．导数应用的知识网络结构图：
2013-4-2
二、重点导析：
（一）、曲线的切线及函数的单调性
1.设函数 则
y f x
在某个区间内可导，若
f x 0
题型二 ：求函数的单调区间.
1 例2试确定函数 y ln x 1 的单调区间. x
分析：确定函数的单调区间,即在其定 义域区间内确定其导数为正值与负值的区
间.
2013-4-2
（二）、可导函数的极值
1. 极值的概念：设函数
x0 附近的所有的点 x 都有 f x f x0 （或 f x f x0
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x 2 400 x 2km. 又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米 的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的 总运费为
y2013-4-2 CD 3t BD 5t 400 x 3t (100 x ) 5t
故f(x)的单调递增为(-∞,-2]和[0,+∞). [m, m 1] (,2]或[m, m 1] [0,). 即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0.
2013-4-2
1 1 2 2 ln x ( x 1) 1 (1 x )3 ( x 0). 例5:证明不等式: x 2 3 1 1 2 2 f ( x ) ln x ( x 1) ( x 1)3 ( x 0). 证:设 x 2 3 1 1 2 3 2x 1 则 f ( x ) 2 ( x 1) 2( x 1) ( x 1) 2 , x x x
23 2
3
,即h=2r.
2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
2013-4-2
例4: 如图,在二次函数f(x)= y 2的图象与x轴所 4x-x 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
2 3 2 3 , x2 2 . S ( x) 6 x 24x 16. 令 S ( x ) 0 ,得 x1 2 3 3 2 3 32 3 x1 (0,2), 所以当 x 2 . 时, S ( x )max 3 9
2
2 3 32 3 ,0) . 因此当点B为 ( 2 时,矩形的最大面积是 2013-4-2 2 9
例7.2001—新课程卷—文史类(21): 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试 确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间. 注:此题为p.252课后强化训练第8题. 解:由已知得:
1 f (1) 1 3a 2b 1 a 3 . 1 f (1) 3 6a 2b 0 b 2
2013-4-2
教学目标：
知识与技能:
1. 利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以 及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；2．利用导数 求解一些实际问题的最大值和最小值。
过程与方法:
1. 通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函 数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思 维能力； 2. 通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培 养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。
2013-4-2
1 1 l n x ( x 1) 2 x 2
例6:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2), 且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直. (1)求a、b的值； (2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值 范围. 2 解:(1) f ( x) 3ax 2bx, f (1) 2 ab 2 a 1 . 由题意得: f (1) 3 3a 2b 3 b 3
b 为函数的最大值；若函数 上单调递减，则 f a 为函数的最大值，
的最小值，f 最小值.
2013-4-2
y f x 在[a，b]
f
b 为函数的
例４ 函数
y 2 x 3x 12 x 5 在[0，3]上的最值.
3 2
X Y’ y
0
(0,2) －
2 0 -15
则称
f x
在点
x0附近有定义，且对
f x0 为函数的一个极大（小）值，称
x0 为极大（小）
值点。
2013-4-2
2. 求可导函数 y f x 极值的步骤： ①
② ③
求导数 f x
求方程 f x ＝０ 的根； 检验 f x 在方程 f x ＝０的根的左、右的符号，
(4)与定义域求交集
(5)写出单调区间
2013-4-2
题型一： 利用导数求切线斜率、瞬时速度
例1 求垂直于直线 2 x 6 y 1 0
，且与曲线
y x 3x 1 相切的直线方程.
3 2
解法提示：在某一点切线的斜率或在某一
时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.
2013-4-2
例3:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等 的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少? 解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60). 3 2 令 V ( x ) 60x x 0,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 2 16000. 由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的 容积很小,因此,16000是最大值. 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
令 f ( x ) 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f ( x ) 0 ;x>1时, f ( x ) 0 ,所以x=1是f(x)的极 小值点. 所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1. 从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
2 3 1 (1 x ) 成立. 3
，则
，
y f x
在该区间上是增函数；若
f x 0
y f x
为减函数。
2013-4-2
2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
(1)求 y = f(x ) 的定义域D
(2)求导数 f ( x ).
(x) 0 (x) 或解不等式 f ¢ < . (3)解不等式; f ¢ > 0
f ( x ) x 3 x 2 x,
f ( x) 3 x 2 2 x 1.
1 1 ( x ) 得 x 1. 0 由 f ( x ) 0得 x 或x 1 f ;由 3 3
故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1/3)和(1,+∞),单调 递减区间是(-1/3,1).
(2,3) ＋
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3
5
５
2013-4-2
题型四 ：利用求导解应用题
例1
如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开
始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进，与此同时， 乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时 间甲、乙相距最近？ B 乙
甲
如图
2013-4-2
A
C 例2:如图,铁路线上AB段长 100km,工厂C到铁路的 距离CA=20km.现在要 在AB上某一处D,向C修 B D A 一条公路.已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
2013-4-2
三、难点突破：
1. 关于单调性的定义,条件是充分非必要的. 若 在（a，b）内， f x 0 （或 f x 0 ），（其中有有限个 x
2013-4-2
练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小 值为2. (1)试确定常数a、b的值; (2)求函数的单调递增区间. 答案:(1)a=1,b=4. (2)单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
2013-4-2
练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都 取得极值. (1)求a、b的值; (2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取 值范围. 答案:(1)a=-1/2,b=-2. (2)利用f(x)max<c2,解得c<-1或c>2. 练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上 的值域. , 答:由已知得 f (0) f (2) 0可求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在[-1,4]上的值域是[-4,16].
如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y f x 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为 正，那么函数 y f x 在这个根处取得极大值.
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题型三 ：求函数的极值与最值
例3 设函数 f x ax3 bx 2 cx 在 x 1或
2
令 y t (
5x 400 x
2
3) 0 0 x 100 的范围内有 ,在
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费 最省. 注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合. 练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆 锥体并且体积最大的圆柱体的高h. 答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大. 2.与数学中其它分支的结合与应用. 2013-4-2
2013-4-2
类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2. 2h,得 h V ,则 由V=πr 2
r V 2V 2 S ( r ) 2r 2 2r 2r 2 . r r V V V 2V 3 令S ( r ) 2 4r 0,解得 r ,从而 h r 2 2 V 2 r 3 ( ) 4V V
x 1
处有极值且 f 1 1 . 求 a, b, c. 并求其极值.
分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步
骤来求. 但要注意极值点与导数之间的关系（极值
点为
f x 0 的根）.
2013-4-2
是定义在区间[a，b]上的函数，y f x 在 （a，b）内有导数，求函数 y f x 在[a，b]上的最大值与 1. 设
最小值，可分两步进行： ① ② 求 y f x 在（a，b）内的极值； 将 y f x 在各极值点的极值与 f a , f b 比较，
（三）、函数的最大值与最小值 y f x
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2. 若函数 y f x 在[a，b]上单调递增，则 f a 为函数的
情感态度、价值观：
逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方 2013-4-2 程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯
一、知识点
1．导数应用的知识网络结构图：
2013-4-2
二、重点导析：
（一）、曲线的切线及函数的单调性
1.设函数 则
y f x
在某个区间内可导，若
f x 0
题型二 ：求函数的单调区间.
1 例2试确定函数 y ln x 1 的单调区间. x
分析：确定函数的单调区间,即在其定 义域区间内确定其导数为正值与负值的区
间.
2013-4-2
（二）、可导函数的极值
1. 极值的概念：设函数
x0 附近的所有的点 x 都有 f x f x0 （或 f x f x0
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x 2 400 x 2km. 又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米 的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的 总运费为
y2013-4-2 CD 3t BD 5t 400 x 3t (100 x ) 5t