分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和

1 1

分析：因为------ -------

n n 1

n 1 n n(n 1)

n(n 1)

（n为自然数）

n（n 1）

所以有裂项公式:

1 1 1

n(n 1) n n 1

【例

1】10 11

1

11 12

的和。

59 60

1 1

10 60

丄

12

（二）用裂项法求乔七型分数求和

分析: 型。（n,k均为自然数）

n（n k）

因为

1(1

所以

【例

2】

n(n

k)] n(n k)

n(n k)

")

1

计算5 7 9 11 11 13 13 15

1

勺

1(1 9 2'9

1 1、，1 1 )(

丄(丄丄)

2 11 13

1 1

)(

丄(1 1)

2 5 7

111

-[( )( )( ,、 ,、

2 5 7 7 9 9 11 11 1

3 13 15

2[515]

丄

15

（三）用裂项法求—「型分数求和

n（n k）

分析：

k

- 型（n,k均为自然数）

n（n k）

1 1 _ n k n k

n n k n(n k) n(n k) n(n k)

所以

k _ 1

1

n(n k) n n k

亠2 2 2 2

【例3】求2的和

1 3 3 5 5 7 97 99

（四）用裂项法求仝型分数求和

n(n k)(n 2k)

分析：2k 均为自然数）

分析：

n（n k)(n (n,k

2k)

2k 1 1

n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k)

【例4】计算：-

4 4 4 4 1 1 1 1

(1 3)( ) (-

3 5 5 1 1

99

98

99

(

1 1 ) ( 1 1 )

(

93 95

95 97)(95 97

97 99)

1 1 1 、 “ 1 1 、

“ 1

1 、、

[( )(

)... ...(-

)]

3 1 2 3

2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20

丄[

1 1

]

3 1 2 3 18 19 20

1139 20520

(五)

用裂项法求

1

型分数求和

n(n k)(n 2k)(n 3k) 分析：

1

（n,k 均为自然数）

n(n k)( n 2k)(n 3k)

1 1 1 n(n k)(n 2k)(n 3k) 3k (

n(n k)( n 2k)

1

(n k)(n 2k)(n

3k)

【例

5】

1 1 计算：1

2

3

4 2 3 4 5

1

17 18 19 20

3k

1

1

n(n k)( n 2k)(n

3k) n(n k)( n 2 k) (n k)( n 2k)(n 3k)

【例6】

计算：-

3 3 3

分析:

(n,k 均为自然数)

1 (

1 3 1、( 1 1、 3 5) (3 5 5 7)

1

1

1 3 97 99 3200

9603

(六)

用裂项法求 n(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和

n(n k)(n 2k)(n 3k)

(1 1 ) ( 1 1 )

(1 2 3 2 3 4) (2 3 4 3 4 5)

1 1

1 2 3 18 19 20

1139

6840

（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）( 1 1 )

(17 18 19 18 19 20)