利用导数判断函数的单调性含答案

3.3.1利用导数判断函数的单调性

一、学习目标：学会利用导数判断函数的单调性. 二、复习巩固：

1.函数的平均变化率如何求？

2.导数与平均变化率的关系是怎样的？

3.如何用定义证明函数单调性？

三、自主学习：自学课本，思考下面问题：

1. 设函数y=f(x) 在区间（a,b ）内可导，那么在这个区间内f (x)'满足什么条件时，函数y=f(x)

为这个区间内的增函数；在这个区间内f (x)'满足什么条件时，函数y=f(x) 为这个区间

内的减函数 ？

2. 求函数单调区间可以分几步完成？

注：（1）若函数在区间的端点有意义，写区间时往往把端点写进去。 （2）若有多个单调区间，不可以用“∪”并起来！但可以用“和”“及”连起来 3. （重要结论）设函数y=f(x) 在区间（a,b ）内可导，

若函数y=f(x) 为这个区间内的增函数，则在这个区间内f (x)0'≥恒成立； 若函数y=f(x) 为这个区间内的减函数，则在这个区间内f (x)0'≤恒成立。

四、尝试练习：

1.（A ）y=2x-x 2的单调增区间为 ( )

A ．（0，2）

B ．（-∞，1）

C ．（-1，1）

D ．（1，+∞） 2.（A ） 函数1

y x x

=-

的单调区间为（ ） A. ),0()0,(+∞-∞ B. (,0)(0,)-∞+∞和 C. (,1),-∞ D. (1,)+∞

3.（B ）函数x

e f(x)=x

的单调增区间是（ ）

A. (,0)-∞

B. (,1)-∞

C. (1,1),-

D. (1,)+∞

4.（A ）函数y=x x ln 21

-的单调减区间为 .

5.（A ）函数f (x )=1

3

x 3－x 2-3x+1的单调增区间为 减区间为 .

6.（B ）求证：当x<2时32

x 6x 12x 17-+-<.

7.（C ）确定函数f (x )=a

x (a 0)x

+

>在(0，+∞)上的单调区间.

五、小结： 六、：巩固提升：

1.（A ）关于函数762)(2

3+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A.在区间)0,(-∞内，f(x)为增函数 B.在区间（0，2）内，f(x)为减函数

C.在区间),2(+∞内，f(x)为增函数

D.在区间),2()0,(∞+-∞ 内，f(x)为增函数

2.（A ）函数y=xlnx 的单调减区间是（ ）

A.⎪⎭

⎫ ⎝⎛∞+,1e

B.⎪⎭

⎫ ⎝⎛∞-e 1,

C.⎪⎭

⎫

⎝

⎛e 1,

D.()∞+,e 3.（B ）设)('x f 是函数f(x)的导数，y f '(x)=的图象

如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能是（ ） 4．（B ）函数f(x)的导函数)('x f y =的图象如下图，

则函数f(x)的单调递增区间为 5.（B ）函数f (x )=4

x x

+

的增区间为 ； 减区间为 . 6.（C ）证明不等式：x

e x 1≥+

3.3.1利用导数判断函数的单调性 参考答案：

一、尝试练习：

1-3. BBD 4.(0，2) 5. 增(,1],[3,)-∞-+∞；减[-1,3] 6. 证明：令3

2

3

2

f (x)x 6x 12x 17x 6x 12x 8=-+--=-+-， 则/

2

2

f (x)3x 12x 123(x 2)=-+=- ∵当x<2时/

f (x)0≥

∴f (x)在（-∞，2）上单调递增

∴f (x)f (2)0<=

∴3

2

x 6x 12x 17-+-<

7. 解：2/

22a x a

f (x)1x x -=-=

//

x 0

f (x)0x f (x 0x >∴>><由可得）<可得0<

∴函数f (x )=a

x (a 0)

+>在(0，+∞)上的单调增区间)+∞；

减区间为

注：函数f (x )=a x (a 0)x +>在（-∞，0）上的单调性可利用f (x )=a

x (a 0)x

+>是奇函数，

通过图像对称而得到。

三、巩固提升：

1～3 DCB 4.[-1,0]和[2,+∞） 5. 增：(,2],[2,)-∞-+∞ ；减：[-2,0),(0,2] 6.证明：令x

f (x)e x 1=--，则x

f (x)e 1'=-，

由/

x

f (x)e 10x 0;=->⇒>由/

x

f (x)e 10x 0;=-<⇒<

∴x

f (x )e x 1=--的增区间为（0，+∞)；减区间为（-∞，0）

∴0f (x )f (0)e 01

≥

=--= ∴x

e x 1≥+

3.3.1利用导数判断函数的单调性 参考答案：

一、尝试练习：

1-3. BBD 4.(0，2) 5. 增(,1],[3,)-∞-+∞；减[-1,3] 6. 证明：令3

2

3

2

f (x)x 6x 12x 17x 6x 12x 8=-+--=-+-， 则/

2

2

f (x)3x 12x 123(x 2)=-+=- ∵当x<2时/

f (x)0≥

∴f (x)在（-∞，2）上单调递增

∴f (x)f (2)0<=

∴32

x 6x 12x 17-+-<

7. 解：2/

22

a

x a

f (x)1

x x -=-=

//x 0

f (x)0x f (x 0x >∴>><由可得由）<可得0<

∴函数f (x )=a

x (a

0)+>在(0，+∞)上的单调增区间)+∞；

减区间为

注：函数f (x )=a x (a 0)x +>在（-∞，0）上的单调性可利用f (x )=a

x (a 0)x

+>是奇函数，

通过图像对称而得到。

三、巩固提升：

1～3 DCB 4.[-1,0]和[2,+∞） 5. 增：(,2],[2,)-∞-+∞ ；减：[-2,0),(0,2] 6.证明：令x

f (x)e x 1=--，则x

f (x)e 1'=-，

由/

x

f (x)e 10x 0;=->⇒>由/

x

f (x)e 10x 0;=-<⇒<

∴x

f (x )e x 1=--的增区间为（0，+∞)；减区间为（-∞，0）

∴0f (x )f (0)e 01

≥

=--= ∴x

e x 1≥+