第一章高等数学(十)

第5章 一元函数积分学

第一节：不定积分

1.不定积分的概念与性质

（1）定义：设函数)(x f 在区间I 上有定义，倘若存在函数)x (F ，使对任x I ∈，有

)x (f )x ('F =或(dx )x (f )x (dF =）

，则称)x (F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。 函数)(x f 的原函数全体叫)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(，且有

⎰+=C x F dx x f )()(（C 为随意常数）

（2）不定积分性质

⎰=)()(x f dx x f dx d C x f dx x f +=⎰)()(' ⎰⎰⎰⎰⎰±=±≠=dx

x g dx x f dx x g x f k dx x f k dx x kf )()()]()([)

0(,)()( 【例题5-1】()f x 的一个原函数为2x e -，则()f x '等于： （A ）222(12)x x e --+

（B ）22x xe --

（C ）222(12)x x e -+

（D ）2(12)x x e --

解析：22()()2x x f x e xe --'==-，

()f x '222(2)2(2)(2)x x x xe e x e x ---'=-=-+--222(12)x x e -=-+ 答案：A

【例题5-2】倘若11()x x f x e dx e

C --=-+⎰，则函数)(x f 等于 （A ）x

1-

； （B ）21x

-； （C ）x 1；

（D ）2

1x 解：两边对x 求导，得1

121()x x f x e

e x --=-，所以()

f x =21x

-，应选B 。 2.不定积分的计算

（1）基本积分公式 ⎰+=C kx kdx ⎰+=C x dx

⎰+=C x x dx ln )1(11-≠++=⎰+μμμμC x dx x

⎰+=+C x x dx arctan 12⎰+=-C x x dx arcsin 12

⎰+=C x xdx sin cos ⎰+-=C x xdx cos sin

⎰+=C e dx e x x )1,0(ln ≠>+=⎰a a C a a dx a x

x

⎰

⎰+==C x dx x x dx tan sec cos 22⎰⎰+-==C x dx x x dx cot csc sin 22

（2）直接积分法

直接积分法就是利用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分的主意。偶尔还要用到代数和三角函数的恒等式对被积函数举行恒等变形,然后再使用积分公式。

【例题5-3】22cos 2sin cos x dx x x

⎰等于： （A ）cot tan x x C -+

（B ）cot tan x x C ++

（C ）cot tan x x C --+

（D ）cot tan x x C -++ 解：22cos 2sin cos x dx x x

⎰=2222cos sin sin cos x x dx x x -⎰ 2211cot tan sin cos dx dx x x C x

x =-=--+⎰⎰ 故应选（C ）。

（3）第一类换元积分法（凑微分法）

倘若被积函数的主要部分是复合函数，例如[()]f x ϕ，而余下部分正巧是内层函数的导数，既()x ϕ'，则可将()x dx ϕ'凑成()d x ϕ，再利用积分公式得结果。

()[()]()[()]()

g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'==⎰⎰⎰

()()[()]f u du F u C F x C ϕ==+=+⎰ 这种主意最关键的一步是凑微分，为方便大家做题，这里列出几种常用凑微分形式：

1） ⎰⎰++=

+)()(1)(b ax d b ax f a

dx b ax f 2） ⎰⎰++=+-)()(1)(1b ax d b ax f an

dx b ax f x n n n n 3） ⎰⎰=)(ln )(ln )(ln 1x d x f dx x f x 4）⎰⎰=)(sin )(sin )(sin cos x d x f dx x xf

sin (cos )(cos )(cos )xf x dx f x d x =-⎰⎰

5） ⎰⎰=)()()(x x x x e d e f dx e f e

6）⎰⎰=x d x f dx x f x )(2)(1

【例题5-4】下列各式中准确的是（C 为随意常数）：

（A ）1(32)(32)2

f x dx f x C '-=--+⎰； （B ）(32)(32)f x dx f x C '-=--+⎰；

（C ）(32)()f x dx f x C '-=+⎰；

（D ）1(32)(32)2

f x dx f x C '-=

-+⎰ 解：因为()32x x ϕ=-，1(32)2

dx d x =--，有 11(32)(32)(32)(32)22f x dx f x d x f x C ''-=---=--+⎰⎰ 故应选（A ）。

【例题5-5】不定积分2

等于:

(A) 4331(1)4x C ++ (B) 133

(1)x C ++ (C) 2333(1)2x C ++ (D) 2331(1)2x C ++ 解

: 22

3331331(1)1(1)32(1)d x x C x +==+++⎰，答案：D

【例题5-6】若3()f x dx x C =+⎰,则⎰xdx x f sin )(cos 等于:(式中C 为随意常数)

(A)3cos x C -+

(B) 3sin x C +

(C) 3cos x C + (D) 31cos 3

x C + 解: 利用第一类换元⎰xdx x f sin )(cos 3(cos )cos cos f x d x x C =-=-+⎰,故应选(A).

【例5-7】设)(x F 是)(x f

的一个原函数，则dx = （A

）12F C + （B

）2F C -+

（C

）2F C +

（D

）12F C -+

解：f dx

22f F C ==+⎰，故应选（C ）。 （4）分部积分法