第一章高等数学(十)

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高等数学课后习题答案--第一章

《高等数学》习题参考资料第一篇一元函数微积分第一章极限与连续§1 函数习题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1．【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4．【答案】设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

高等数学第一章课后习题答案

高等数学（本）第一章函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤[]ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x班级姓名学号3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。

高等数学第一章、第十节连续函数的运算与性质

幂指函数 u( x)v( x) 的极限计算：的极限计算：
若 lim u( x) = a > 0,
x→x0
x→x0
lim v( x) = b,
lim v( x)
则有 lim u( x)v( x) = [ lim u( x)] x→x0
x→x0 x→x0
= ab .
1 求 lim( x + 2ex ) x−1. 例6 x→0 1 1 lim 解： lim( x + 2e x )x−1 = [lim( x + 2e x )] x→0 x−1 x→0 x→0
∃ M > 0, 使对∀ x∈[a, b], 都有| f ( x) |≤ M （2） f (x) 在 [ a , b ] 上一定能取得它的最大值和最小值）
即至少一点ξ1 ∈[a, b], 使 f (ξ1 )为最大值 ,
和至少一点ξ2 ∈[a, b], 使 f (ξ2 )为最小值 . y 1 注记：注记：（1）区间一定要是闭区间。）区间一定要是闭区间。 y= x 1 3 例 y = , I = (0, 1) o 1 x 在 I = (0, 1) 上连续, 但无界, 1 也无最大值和最小值。也无最大值和最小值。
第十节连续函数的运算与性质
• • • • • 一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质五、小结
一、四则运算的连续性
, 定理1 定理1 若函数 f ( x), g( x)在点x0处连续
f ( x) ( g( x0 ) ≠ 0) 则 f ( x) ± g( x), f ( x) ⋅ g( x), g( x) 在点x 在点 0 处也连续.
(1) lim f ( x) = A , lim f ( x) = B, 且 A⋅ B< 0,

高等数学电子教案

高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。

函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。

1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。

无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。

1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。

导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。

第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。

导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。

2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。

微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。

2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。

积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。

2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。

第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。

微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。

3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。

3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。

第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容（1.1、1.2）函数邻域(){}δδ<-=axxaU,（即(){},U a x a x aδδδ=-<<+）(){}0,0U a x x aδδ=<-<（(){}0,,0U a x a x a xδδδ=-<<+≠）函数两个要素：对应法则f以及函数的定义域D由此，两函数相等⇔两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合DX⊂，若存在正数M，使对所有Xx∈，恒有()Mxf<，称函数()xf在X上有界，或()xf是X上的有界函数；反之无界，即任意正数M（无论M多大），总存在（能找到）Xx∈，使得()Mxf>局部单调性区间DI⊂，对区间上任意两点21xx，当21xx<时，恒有：()()21xfxf<，称函数在区间I上是单调增加函数；反之，若()()21xfxf>，则称函数在区间I上是单调减小函数；奇偶性设函数()xf的定义域D关于原点对称；若Dx∈∀，恒有()()xfxf=-，则称()xf是偶函数；若Dx∈∀，恒有()()xfxf-=-，则称()x f是奇函数；周期性若存在非零常数T，使得对Dx∈∀，有()DTx∈±，且()()x fTxf=+，则称()x f是周期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合；思路：常见的表达式有 ① alog□,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥④ arcsin（[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin ≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，xx g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围；解：216sin )6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。

高等数学同济第六版课件第一章10闭区间连续函数性质

证设：x1则<记xff2((xx)1)在=[xM1,,
f(x2) = m, x2]上连续，
x1,
x2∈[a,b],
不妨
又f(x2) < C < f(x1)
至少存在一点ξ∈(x1, x2), 使f(ξ)=C.
故至少存在一点ξ∈(a,b), 使f(ξ)=C.
例3 设 f(x)在[a,b]上连续, a< x1< x2< x3 <b,
推论(有界性定理)
若 f(x)闭区间[a,b]上连续,
则 f(x)在[a,b]上有界.
二、零点定理与介值定理
定理2 (零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,
则至少存在一点ξ∈(a,b),
y
使f(ξ)=0
aoLeabharlann 且f(a)f(b)<0,
bx
例1 证明方程 x3 4x2 1 0 在区间(0,1)内
第十节
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值
定理
定理1(最值定理) 设函数 f(x)闭区间[a,b]上连续,
则 f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值.
即 1,2 [a,b],
y
使得 x [a,b],
有 f (1) f ( x),
oa
bx
注意: 若区间是开区间, 定理不一定成立;
且f(a)=A,
且f(b)=B, A≠B, 则对于A与B之间的任一个数C，
则至少存在一点ξ∈(a,b),
证设 ( x) f ( x) C, 则 ( x)在[a,b]上连续
使f(ξ)=C.
y
B C
a
o
A

高等数学(同济第七版)课后答案解析

(2)不同，因为对应法贝J不同・g⑴=7? ={.：
(3)相同、因为定义域、对应法则均相同.
(4)不同、因为定义域不同.
际3.设
求。(寻)“仔)・9(-骨)顽-2).并作出函数L)的囲形.
TT
S,,,T i
1(、)的,形如图丨・1所示.
S4.试让F列陥数在指定区间内的单Wi性:
第一章函故与扱限
（2）j = x+In n（0, *8）.证（I） y=/（^）=rL-=-丨+宀（-8』）.
F（-T）=/|（-X）+/2（F=/|（对+人（x） =F（x）,
枚，（大）为偶函数.
设幻（T）,&2（愛）均为奇函数.则幻（-工）=-们（*）,幻（-X）=-g2（■*）•令。（]）=g]（））+&《]）,于是
G（-X）=X|（-X）+评2（-X）=■•幻（x） -&2（1）=f）,
故c（x）为奇函数.
解因为AC= 20= 15,所以,Ali= /^后IF=25.
Ih20 <2-15 <20・25可知，点P、Q在斜边AH上相讷.
令a + 2% = 15+20 + 25J!；x = 20.即当x= 2()时•点七。相遇.因此•所求函數的定义域为(0.20).
(I )当Ov — vIO时，点P在CR上•点Q在CA上(图1-5).
洎6.&卜血所考虑的函救都是定义在区间U）上的.i止明：
（1）两个偶函数的和是偶函数.两个奇函数的和是奇函数；
（2）两个偶函数的乘枳是偶函数，两个奇函数的乘枳是偶函数，偶函数与奇丽数的乗积是奇函数.
证（1）设J|（X）./2（X）均为偶函数，则乂（-X）”（'），（-X）=6（x）.今/⑴=/|（^）+/i（x）,于是

高等数学一教材章节

高等数学一教材章节第一章：函数与极限函数的定义与性质函数的概念函数的表示方法函数的分类一元函数的极限极限的定义极限的运算法则极限存在准则函数的连续性连续函数的定义连续函数的性质连续函数的运算法则第二章：导数与微分导数的概念与运算法则导数的定义导数的几何意义导数的运算法则高阶导数与隐函数的导数高阶导数的概念隐函数的导数高阶导数的计算微分中值定理与导数的应用罗尔定理拉格朗日中值定理函数单调性与极值第三章：积分与定积分不定积分不定积分的定义常见函数的不定积分不定积分的基本性质定积分的概念与性质定积分的定义定积分的基本性质定积分的几何意义牛顿-莱布尼茨公式与变限积分牛顿-莱布尼茨公式的推导变限积分的概念与运算法则曲线长度的定积分表示第四章：一元函数的应用或微分方程常微分方程常微分方程的概念一阶线性微分方程一阶齐次线性微分方程微分方程的应用因变量可分离的微分方程可化为一阶线性微分方程的方程可化为齐次微分方程的方程第五章：多元函数微分学多元函数的极限与连续性多元函数的极限定义多元函数的连续性定义多元函数的偏导数与全微分多元函数的导数与微分法多元函数的偏导数多元函数的全微分多元函数的隐函数及其导数多元函数的极值与条件极值多元函数的极值判定多元函数的条件极值第六章：重积分与曲线曲面积分二重积分的概念与性质二重积分的定义二重积分的性质与运算法则可求面积与可求平均值的关系三重积分与多重积分三重积分运算法则广义重积分多重积分的应用曲线积分与曲面积分第一类曲线积分的概念与计算第二类曲线积分的概念与计算曲面积分的概念与计算第七章：向量场与无散场、无旋场向量场的基本概念与性质向量场的概念向量场的性质与分类散度与无散场散度的概念与计算无散场的特点与判定旋度与无旋场旋度的概念与计算无旋场的特点与判定第八章：曲线积分与曲面积分的应用曲线积分的应用曲线积分在物理中的应用曲线积分在工程中的应用曲线积分在电磁学中的应用曲面积分的应用曲面积分在流体力学中的应用曲面积分在电场中的应用曲面积分在热传导中的应用第九章：常微分方程入门常微分方程的基本概念与解法常微分方程的定义与分类分离变量法与齐次方程法一阶线性微分方程的解法高阶微分方程与常微分方程组高阶微分方程的解法常微分方程组的概念与解法常微分方程在物理中的应用第十章：级数与幂级数级数的定义与性质级数的基本概念级数的运算法则级数的比较判别法幂级数的收敛性与展开幂级数的收敛半径幂级数的展开幂级数的应用函数项级数与傅里叶级数函数项级数的定义与性质函数项级数的收敛性傅里叶级数的基本概念与性质。

高等数学知识点汇总

高等数学知识点高等数学知识点汇总通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。

下面小编给大家介绍高等数学知识点汇总，赶紧来看看吧!高等数学知识点汇总第一章函数与极限知识点1：函数的概念、函数定义域的求法知识点2：函数的分类、特殊类型的函数知识点3：函数的基本性质知识点4：数列极限的概念与性质知识点5：函数极限的概念与性质知识点6：证明极限式与证明极限不存在的方法知识点7：无穷小与无穷大的概念与关系知识点8：极限的四则运算法则知识点9：复合函数的极限运算法则知识点10：极限存在的两个准则知识点11：两个重要极限知识点12：无穷小的比较知识点13：函数连续性的概念及判断知识点14：函数间断点的求法及分类知识点15：闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分知识点16：导数的概念知识点17：导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法知识点18：复合函数的求导知识点19：反函数的求导知识点20：隐函数及参数方程的求导知识点21：微分的概念及运算知识点22：一元函数微分形式的不变性知识点23：导数的物理意义知识点24：按定义求导的题目类型知识点25：可导、可微与连续三个概念之间的关系知识点26：奇偶函数与周期函数的导数的性质知识点27：用求导公式与法则求导数知识点28：函数的高阶导数第三章微分中值定理与导数的应用知识点29：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用知识点30：柯西中值定理的应用知识点31：有关中值定理证明题的典型实例知识点32：洛必达法则求极限知识点33：求极限的方法总结知识点34：函数的零点（方程的根）存在性与唯一性的证明知识点35：函数的零点（方程的根）个数的讨论知识点36：不等式的证明方法总结知识点37：泰勒公式的求法知识点38：泰勒公式的应用知识点39：函数的单调性及判别知识点40：函数的极值及判别知识点41：函数的最值及判别知识点42：渐近线的分类与求法知识点43：曲线的凸凹性和拐点知识点44：曲率、曲率圆及曲率半径（数学一、二）知识点45：弧微分知识点46：导数在经济领域的应用（数学三）第四章不定积分知识点47：不定积分的概念与性质知识点48：不定积分的换元积分法知识点49：不定积分的分部积分法知识点50：有理函数与三角有理式的不定积分知识点51：不定积分计算技巧的典型实例第五章定积分知识点52：定积分的概念与基本性质知识点53：变上限的积分及其导数知识点54：奇偶函数与周期函数的积分性质知识点55：涉及定积分证明题型的典型实例知识点56：用牛顿-莱布尼兹定理计算定积分知识点57：定积分的换元积分法知识点58：定积分的分部积分法知识点59：定积分的特殊计算方法的典型实例知识点60：无穷限的.反常积分的概念与计算知识点61：无界函数的反常积分的概念与计算第六章定积分的应用知识点62：用定积分求平面图形的面积知识点63：用定积分求特殊立体的体积知识点64：用定积分求弧长知识点65：定积分的物理应用（数一、二）知识点66：连续函数的平均值（数一、二）第七章空间解析几何与向量代数知识点67：空间直角坐标系及相关概念（数一）知识点68：向量的属性、向量的长度与夹角（数一）知识点69：向量的各类运算及其运算法则（数一）知识点70：用向量解决的几何问题（数一）知识点71：平面的法向量与平面方程（数一）知识点72：直线的方向向量与直线方程（数一）知识点73：两个平面间的关系（数一）知识点74：两条直线间的关系（数一）知识点75：直线与平面的关系（数一）知识点76：点到平面的距离的计算（数一）知识点77：点到直线的距离的计算（数一）知识点78：旋转曲面（数一）知识点79：柱面（数一）知识点80：二次曲面（数一）知识点81：空间曲线的方程及其在坐标面上的投影（数一）第八章多元函数微分法及其应用知识点82：多元函数的概念和几何意义知识点83：二元函数的极限知识点84：二元函数的连续性知识点85：偏导数的概念与常规计算知识点86：高阶偏导数知识点87：多元函数可微与全微分知识点88：连续，可偏导，可微的关系知识点89：多元复合函数的求导法则知识点90：多元函数的微分形式不变性知识点91：多元隐函数的求导知识点92：多元函数的极值问题知识点93：条件极值问题、拉格朗日乘数法知识点94：多元函数的最值问题知识点95：方向导数（数一、二）知识点96：数量场的梯度（数一、二）知识点97：空间曲线的切线与法平面（数一、二）知识点98：空间曲面的切平面与法线（数一、二）知识点99：二元函数的二阶泰勒公式（数一）第九章重积分知识点100：重积分的概念与性质知识点101：直角坐标下二重积分的定限与计算知识点102：极坐标下二重积分的定限与计算知识点103：直角坐标下三重积分的定限与计算知识点104：柱面坐标下三重积分的定限与计算知识点105：球面坐标下三重积分的定限与计算知识点106：重积分积分次序的交换知识点107：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性求重积分的技巧第十章曲线积分与曲面积分知识点108：第一类曲线积分的概念与计算知识点109：第二类曲线积分的概念与计算知识点110：两类曲线积分之间的联系知识点111：二元函数全微分求积知识点112：格林公式及其应用知识点113：曲线积分与路径无关的条件知识点114：第一类曲面积分的概念与计算知识点115：第二类曲面积分的概念与计算知识点116：两类曲面积分之间的联系知识点117：高斯公式及其应用知识点118：通量与散度知识点119：斯托克斯公式及其应用知识点120：环流量与旋度知识点121：涉及重积分与曲线曲面积分的证明题总结第十一章无穷级数知识点122：级数的概念及性质（数一、三）知识点123：级数收敛的概念与判别法（数一、三）知识点124：正项级数的审敛法（数一、三）知识点125：交错级数、莱布尼兹判别法（数一、三）知识点126：函数项级数与幂级数的概念（数一、三）知识点127：函数的幂级数展开（数一、三）知识点128：阿贝尔判别法（数一、三）知识点129：幂级数的收敛域（数一、三）知识点130：幂级数的和函数（数一、三）知识点131：绝对收敛与条件收敛（数一、三）知识点132：傅里叶级数的展开式的求法（数一）知识点133：傅里叶级数的周期延拓（数一）知识点134：傅里叶级数的奇偶延拓（数一）第十二章微分方程知识点135：微分方程的基本概念知识点136：可分离变量的微分方程知识点137：齐次微分方程知识点138：一阶线性微分方程知识点139：全微分方程知识点140：伯努利方程知识点141：用变量替换解微分方程举例知识点142：含变限积分的方程知识点143：可降阶的高阶微分方程知识点144：线性微分方程解的性质和结构知识点145：二阶常系数齐次线性方程知识点146：n阶常系数齐次线性方程知识点147：二阶常系数非齐次线性方程知识点148：欧拉方程（数学一）知识点149：差分方程（数学三）知识点150：微分方程应用题的典型实例。

《高等数学教案》

《高等数学教案》word版第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）1.2 极限的概念与性质引入极限的概念探讨极限的性质与运算1.3 无穷小与无穷大定义无穷小与无穷大的概念比较无穷小与无穷大的大小关系1.4 极限的运算法则极限的加减乘除法则极限的复合函数法则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质引入导数的概念探讨导数的性质（单调性、极值等）2.2 导数的计算法则基本导数公式和、差、积、商的导数法则2.3 微分的方法与应用微分的概念与方法微分在近似计算与优化问题中的应用第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与性质引入泰勒公式的概念探讨泰勒公式的性质与应用3.2 微分中值定理的概念与证明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理微分中值定理的应用（导数与函数的极值关系等）第四章：积分与微分方程4.1 积分的基本概念与方法引入积分的概念探讨积分的方法（牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分等）4.2 微分方程的基本概念与方法引入微分方程的概念探讨微分方程的解法（常微分方程、线性微分方程等）第五章：线性代数基础5.1 向量的概念与运算定义向量的概念探讨向量的运算（加减、数乘、点积、叉积等）5.2 矩阵的概念与运算定义矩阵的概念探讨矩阵的运算（加减、数乘、转置、逆矩阵等）5.3 线性方程组的概念与解法引入线性方程组的概念探讨线性方程组的解法（高斯消元法、矩阵求逆法等）5.4 行列式的概念与性质定义行列式的概念探讨行列式的性质与计算方法第六章：概率论基础6.1 随机事件与概率定义随机事件与概率的概念探讨概率的计算（古典概率、条件概率、独立事件等）6.2 随机变量及其分布引入随机变量的概念探讨离散型随机变量与连续型随机变量的分布律6.3 期望与方差定义期望与方差的概念探讨期望与方差的计算及其性质第七章：线性代数进阶7.1 特征值与特征向量定义特征值与特征向量的概念探讨特征值与特征向量的计算及其应用7.2 二次型定义二次型的概念探讨二次型的标准型与判定定理7.3 线性空间与线性变换引入线性空间与线性变换的概念探讨线性变换的性质与计算第八章：常微分方程与应用8.1 常微分方程的基本概念定义常微分方程的概念探讨常微分方程的解法（分离变量法、积分因子法等）8.2 常微分方程的应用探讨常微分方程在物理、生物学等领域的应用8.3 线性微分方程组引入线性微分方程组的概念探讨线性微分方程组的解法与应用第九章：复变函数基础9.1 复数的基本概念与运算定义复数的概念探讨复数的运算（加减、乘除、共轭等）9.2 复变函数的概念与性质引入复变函数的概念探讨复变函数的性质（解析性、奇偶性等）9.3 复变函数的积分与级数探讨复变函数的积分（柯西积分定理、柯西积分公式等）探讨复变函数的级数（泰勒级数、洛朗级数等）第十章：实变函数与泛函分析初步10.1 实函数的基本概念与性质定义实函数的概念探讨实函数的性质（单调性、有界性等）10.2 泛函分析的基本概念引入泛函分析的概念探讨赋范线性空间与希尔伯特空间的基本概念10.3 赋范线性空间的基本定理探讨赋范线性空间中的基本定理（闭区间上的有界线性算子等）重点解析第一章：函数与极限重点：函数的概念与性质、极限的概念与性质、无穷小与无穷大、极限的运算法则。

高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点

第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点：(1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。

定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。

对应法则是正确理解函数概念的关键。

函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。

函数关系也不同于因果关系。

例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。

y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。

如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。

(2) 函数与函数表达式不同。

函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。

(3) f(x)与f(a)是有区别的。

f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。

(4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。

二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点：(1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。

(2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。

(3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。

如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。

存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。

f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。

(4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。

三、关于复合函数要注意的是，函数的复合是有条件的，并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。

一个函数是否为复合函数与该函数的对应法则的表示方法有关。

例如，和的对应法则相同，但对应法则的表示方法是不同的，前者不是复合函数，后者可以看成是由，，复合而成的复合函数。

高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)

第一章函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节函数一、实数与区间二、领域三、函数的概念四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法：通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域自变量Wy)因变量看右图：如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。

高等数学讲义第一章

高等数学目录第一章函数、极限、连续 (1)第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章一元函数微分学 ··································································· 24 一元函数积分学 ··································································· 49 常微分方程 ·········································································· 70 向量代数与空间解析几何 ··················································· 82 多元函数微分学 ··································································· 92 多元函数积分学 ................................................................... 107 无穷级数（数一和数三） (129)第一章函数、极限、连续§1.1 函数(甲) 内容要点一、函数的概念1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研或竞赛数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数(1) y=limfn(x) n→∞ 4．隐函数(2) y=limf(t,x) t→x2．用变上、下限积分表示的函数(1) y=(2) y=则⎰xaf(t)dt 其中f(t)连续，则dy=f(x) dx⎰ϕϕ2(x)1(x)f(t)dt 其中ϕ1(x),ϕ2(x)可导，f(t)连续， dy'(x)-f[ϕ1(x)]ϕ1'(x) =f[ϕ2(x)]ϕ2dx五、函数的几种性质1．有界性：设函数y=f(x)在X内有定义，若存在正数M，使x∈X都有f(x)≤M，则称f(x)在X上是有界的。

(完整版)高等数学教案各章的教学目的、重点、难点

第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用.第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。

4、会求分段函数的导数。

5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

教学重点:1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;3、基本初等函数的导数公式;4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。