南开大学数学分析

南开大学2000年硕士研究生入学考试

1.设2

2

22

2

2

()sin 0(,)00

x y xy x y x y

f x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

，证明(,)f x y 在点(0,0)处连续但不可微

2.设()f u 具有连续的导数，且

{}2

lim ()0,(,)|,,0(0)u f u A D x y x y R x y R →+∞

=>=+≤≥>

1） 证明lim ()u f u →+∞

=+∞

2） 求22

()R D

I f x y dxdy =+⎰⎰

3） 求2

lim

R R I R

→+∞

3.（1）叙述()f x 于区间I 一致连续的定义

（2）设(),()f x g x 都于区间I 一致连续且有界，证明()()()F x f x g x =也于上I 一致连续 4.设函数列{}()f x 于区间I 上一致收敛于()f x ，且存在数列{}n a 使得x I ∈当是，总有 (),(1,2...)n f x a n ≤=，证明()f x 于I 上有界

5，设1

0(1,2...),n

n n k

k a n S a

=≥==

∑，证明

（1） 若1

n n n

a S =∑

收敛，则1

n n a =∑也收敛

（2） 如果 ?>1，1

n n n

a S =∑

收敛，问1

n n a =∑是否必收敛？说明理由

6.设(,)f x t 于[],;,a c d +∞连续，(,)a

f x t dx +∞

⎰

于(],c d 一致收敛，证明

(,)a

f x d dx +∞

⎰

收敛

南开大学2001年硕士研究生入学考试

1. 计算三重积分2

2

()x y dxdydz Ω

+⎰⎰⎰，其中Ω为由曲面22x y z +=与平面4z =为界面的

区域

2. 计算220

sin x x

y dx x

dy y

π

⎰⎰

3. 计算2

2

2

2

()y

x I y dx dy x

y

x y

=

--

++⎰，c 为椭圆

2

2

19

4

x

y

+

=，方向为正

4. 设{}n a 为一数列，满足lim ,0n n na a a →∞

=>

（1） 证明1

n n a ∞

=∑收敛

（2） 能否确定1

n n a ∞

=∑的敛散性？说明理由

5．设()f x 于[),a +∞可导，且'()0f x c ≥>（c 为常数），证明 （1）lim ()n f x →∞

=+∞

（2）()f x 于[),a +∞必有最小值

6.设()f x 于[)0,+∞有定义，对任意实数,()A a f x >于[]0,A 可积，且lim ()0n f x →∞

=，证

明0

1lim

()0x f x dt x

+∞→∞

=⎰

7.设0,0x y ≤≤+∞<<+∞时(,)f x y 连续且有界，证明 （1）对任意正数0

,(,)xy

xe

f x y dx δ+∞-⎰，于(),δ+∞一致收敛

（2）0

()(,)xy

F y xe

f x y dx +∞

-=⎰

于()0,+∞连续

（3）问0

(,)xy

xe

f x y dx +∞-⎰

于()0,+∞是否必不一致收敛？说明理由

南开大学2002年硕士研究生入学考试

1.

计算三重积分Ω

⎰⎰⎰

，其中Ω为由222

x y z +=及2z =所围成

2. 设s 为抛物面22x y z +=位于0,1

z z ==之间的部分，取外侧，求22

2s

xydydz y dzdx x dxdy --⎰⎰

3. 设1

n n a n

α

∞

=∑

收敛，βα>，证明1

n n a n

β

∞

=∑

收敛

4. 设{}()n f x 于()00,,0x x δδδ-+>内一致收敛，且0

lim ()(1,2,...)n n x x f x a n →==证明

{}n a 收敛

5. 设()f x 于区间I 一致连续，(1,2,...)n x I n ∈=且{}n x 收敛，证明{}()n f x 也收敛 问若将()f x 于区间I 一致连续改为()f x 于I 连续，上述结论是否仍成立？说明理由

6. 设()f x 于[),a +∞（a 为实数）连续，且()0,lim ()0x f x f x →+∞

≥=，证明()f x 于[)

,a +∞有最大值，问()f x 于[),a +∞是否比有最小值？说明理由

7. 证明0

()xy

f y xe

dx ∞

-=

⎰

于()0,+∞连续问()f x 于[),a +∞是否比有最小值？说明理由

南开大学2003年硕士研究生入学考试

1. 设(,,)w f x y x y x =+-，其中(,,)f x y z 有二阶连续偏导数，求xy u

2. 设数列{}n a 非负单增且lim n n a a →∞

=

证明1

12lim ()n

n n n n

n a a a a →∞

+++=

3．设

2ln(1)

0()00

x x x f x x α⎧->=⎨

≤⎩

试确定α的取值范围，使()f x 分别满足

（1） 极限0

lim ()x f x +

→存在

（2） ()f x 在0x =连续 （3） ()f x 在0x =可导