角动量和氢原子

h22 ,
二 . 角动量算符的本征值问题
1.角动量的描述
L2，Lz 描述角动量
Lˆ2
h2
1
sin
(sin
)
1 sin2
2 2
2.本征值问题的解
Lˆz
ih
Lˆ2Y ( l,m
,
)
L2Y ( l,m
,
)
l(l
1)h2Yl
,m(
,
)
l 0,1,2,
Lˆ Y
§10 角动量和氢原子
一.角动量算符
Lˆ2＝Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z
i Lˆ r pˆ x
jk yz
球坐标系
Lˆx
ih(sin
ctg
cos
)
pˆ x pˆ y pˆ z
Lˆ y
ih(
cos
ctg
sin
)
Lˆz
ih
Lˆ2
h2
1
sin
(sin
)
1 sin2
2 2
2
P 2,1,1
2,1,1
P2,1,1
P2,1,0 P2,1,1 P2,1,1 (1 / (32 ))(r2 / a05 )er/a0
球对称
2）P P2,1,0dV
(1 / (32 ))(r2 / a05)er/a0 cos2 r2 sin drd d
00
1
总可在原子量级空间发现电子
Ylm ( , ) 2 d
例：氢原子的三个状态电子的波函数分别是：
2,1,0 (r, , ) (1 / (4 2 ))a03/2(r / a0 )er/(2a0 ) cos 2,1,1(r, , ) (1 / (8 ))a03/2(r / a0 )er/(2a0 ) sin ei
2,1,1(r, , ) (1 / (8 ))a03/2(r / a0 )er/(2a0 ) sin ei
求：1）三个状态的概率密度P2，1，0 ， P2，1，0 ， P2，1，0 ，及其和；
2）在2，1，0 态，全空间中找到电子的概率 解：1） P2,1,0 2,1,0 2 (1 / (32 ))(r2 / a05 )er/a0 cos2
P2,1,1 2,1,1 2 (1 / (64 ))(r2 / a05 )er/a0 sin2
zl
,m
(
,
)
LY
zl
(
,m
,
)
mhYl
,m
(
,
)
m 0,1,2, ,l
角动量大小量子化 L l(l 1)
Z，B
3.角动量在空间取向的量子化
对于确定的角量子数l ,磁量 子数m可取 (2l+1) 个值
角动量空间取向量子化 L m
z
2
－0 －2
L2 2212
l2 m 0,1,2
三 .中心力场中的定态薛定谔方程
,
m s
)
Sˆz
(
1 2
,
ms)
ms
(1 2
,
ms
)
1
(ms
) 2
自旋角动量无经典对应，是相对论效应。
S1 2
二.四个量子数
电子运动由四个量子数决定
主量子数n: n=1,2,3,…
角量子数l: l=0,1,2,…,(n-1)
磁量子数ml: ml=0,1, …, l
自旋磁量子数ms: ms=1/2
四. 氢原子的解 1. 能量本征值
e2 U(r)
40r
En
me4
2h2(4
0)2
1 n2
(n 1,2,3,L )
2. 氢原子光谱 3. 本征波函数
＝ Ei E f
h
(r, , ) R (r)Y ( , )
nlm
nl
lm
n 1,2,3,
主量子数——能量量子化、能态
l 0,1,2, , (n 1) 角量子数：角动量大小量子化、状态 m 0,1,2, ,l 磁量子数：角动量空间量子化、状态
§11 电子的自旋 四个量子数
一.电子的自旋
s1
s2
斯特恩－盖拉赫实验（1921）
• 轨道运动磁矩 基态银原子 l＝0
SP N
射线的偏转表明：电子还应具有自旋角动量
• 设自旋角量子数为S，磁量子数为mS 2S 1 2
• 自旋角动量的本征值问题
Sˆ 2(
1 2
,
m s
)
1 2
1 2
1
h2(
1 2
三.泡利不相容原理
不能有两个电子具有相同的n,l,ml ,ms
1)费米子和玻色子
费米子：自旋为 h 的奇数倍的粒子 2
玻色子：自旋 S＝0 或 h 的偶数倍的粒子 2
2) 玻色凝聚
玻色子不受泡利不相容原理的限制，一个单粒子态可容 纳多个玻色子—玻色凝聚。
§12 碱金属原子能级和分子能级简介
一.碱金属原子能级 1
[ h2 2 U(r)] E 2m
( U( r )为中心力场 )
1 球坐标系
2
1 r2
r
(r2
) r
Lˆ2 r 2h2
2 定态薛定谔方程
{
h2 2m
[
1 r2
r
(r2
) r
Lˆ2 r 2h2
] U(r)}(r, , )
E(r, , )
3 分离变量
角动量守恒
(r, , ) R(r)Yl,m( , )
氢原子的状态基本可以用三个量子数表达。
4. 电子径向概率分布
r～ r+dr
Wnl
( r )dr
4
0
Ylm
(
,
)
来自百度文库
2
d
R
2
nl
(r )r 2dr
R2nl (r )r 2dr
z
z
z
5. 电子角向概率分布
O
( , )方向立体角d
w00
w10
Wlm
(
,
)d
0
Rnl
r
2
r
2dr
Ylm
(
,
)
2
d
w1±1
Enl 13.6 nnl 2 (eV )
nl 为量子数亏损
二 .分子能级简介
• 分子能级
E＝E电子＋E振动＋E转动
• 能级间隔
ΔE电子 > Δ E振动 > Δ E转动
1.电子能级
由分子的电子能级间发生跃迁，光谱在可 见区和紫外区。
2.振动能级
En
n
1 2
,
n 0,1,2
振动光谱在近红外区
3.转动能级
Hˆ Lˆ2 2J
J代表分子的转动惯量
EL＝2hJ2 L L＋1
转动光谱在远红外和微波区
三. 分子光谱的带状结构
紫
红
C2分子的一个光谱带系结构