特殊平行四边形之菱形

特殊平行四边形之菱形

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一、菱形的基本定义及性质：

１、 菱形的定义：在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

２、菱形的性质:

二. 菱形

的判定:

１、判定定理：

在同一平面内, （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2)定理1:四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法. ２、面积计算：菱形的面积：S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。 三、总结:

（1）解题时注意菱形四边相等、对角线垂直这一特点,注意勾股的应用. （2）在平面直角坐标系中利用菱形求点的坐标是今后学习的重点。

例题1如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线

AC 于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF

等于（

）A ．

50°B ．60°C ．70°D ．80°

例题2在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，过点C 作CD∥AB,且

CD=2AB,连接BD ，BD=2．求△ABC 的面积．

利用菱形中的边角关系总结规律

实例:如图，边长为1的菱形ABCD 中,∠DAB=60°．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACEF ，使∠FAC=60°．连结AE,再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n 个菱

形的边长是

性质判定综合运用

实例:如图，在菱形ABCD 中,AB=BD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且BE=CF,连接BF 、DE 交于点M ，延长ED 到H 使DH=BM ，连接AM ，AH

，

则以下四

个

结论：①△BDF≌△DCE ；②∠BMD=120°

；③△AMH 是等边三角形；④S 四边形ABCD =（2012•贵港)如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上,且BE=CF ，连接BF 、DE 交于点M ，延长ED 到H 使DH=BM ，连接AM ，AH,则以下四个结论：①△BDF≌△DCE ；②∠BMD=120°；

③△AMH 是等

边三角形;④S 四边形ABCD = AM 2

．其中正确结论的个数是（ ）

例题.在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F,以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ． （1)如图1，证明平行四边形ECFG 为菱形； （2）如图2，若∠ABC=90°，M 是EF 的中点，求∠BDM 的度数； （3）如图3，若∠ABC=120°,请直接写出∠BDG 的度数．

（答题时间：45分钟) 一、选择题

1、在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,AB=5,AC=6，

过点D 作

AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的面积为( ）A ．22 B ．24 C ．48 D ．44

2如图，将三角形纸片△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上

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的点F 处，且

DE∥BC ，下列结论中,一定正确的个数是（ ）①△BDF 是等腰三角形；

②DE=

BC ；③四边形

ADFE 是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A ．

A ．1

B ．

2 C ．

3 D ．4

*3如图，在▱ABCD 中，AE,CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是( ）A ．AE=AF B ．EF⊥AC C ．∠B=60°D ．AC 是∠EAF 的平分线

＊4如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于M ，O,N ，连接AN,CM,则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于E ，F ，连接EF,则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断（ ）

A ．甲正确,乙错误

B ．乙正确,甲错误

C ．甲、乙均正确

D ．甲、乙均错误

**5、如图四边形ABCD 是菱形，且∠ABC=60，△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD(不含B 点）上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN,连接EN 、AM 、CM ，则下列五个结论中正确的是（ ）①若

菱形ABCD 的边长为1，则AM+CM 的最小值1；②△AMB≌△ENB;③S 四边形AMBE =S 四边形ADCM ；④连接AN ，则

AN⊥BE;⑤当

AM+BM+CM 的最小值为2

时,菱形ABCD 的边长为2．A ．①②③B ．②④⑤C ．①②⑤D ．②③⑤ 二、填空题：

＊6如图，菱形ABCD 的边长为8cm ，∠A=60°，DE⊥AB 于点E ，DF⊥BC

于点F,则四边形BEDF 的面积为 cm 2

．

*7如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2

中有5个菱形,图3中有14个菱形，图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是 个．

＊＊8菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A （0,6），D （4，0)，将菱形ABCD 先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O 旋转90°，则边AB 中点的对应点的坐标为 ．

＊＊9已知四边形ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD=60°，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ．若∠EOD=30°,求

CE 的长 三、解答题： *10试题

（2013•盐城)如图,在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连结AE 、BD 且AE=AB ． （1）求证：∠ABE=∠EAD ； （2）若

∠AEB=2∠ADB ，求证：四边形ABCD 是菱形．

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