2023年山东理科第20题的多解分析及探究

2023年山东理科第20题的多解分析及探究
题目描述
2023年山东理科高考数学第20题的题面如下：
已知正整数x,y,z满足 $x\\leq y\\leq z$，且x+y+z=11。

则x,y,z中至少有两个相等。

求满足条件的所有(x,y,z)。

解题思路
对于这道高考题目，在11这个数字的限制下，我们可以列出以下方程组：$$\\begin{cases} x+y+z=11 \\\\ z-y=a,a\\geq 0 \\\\ y-x=b,b\\geq 0
\\end{cases}$$
根据题目要求，我们需要求满足条件的所有(x,y,z)，因此我们需要将a,b都列出来。

将上面的方程组化简为：
$$\\begin{cases} x=b \\\\ y=b+a \\\\ z=b+2a \\end{cases}$$
代入x+y+z=11即可得到：
b+a=4
因为x,y,z都为正整数，所以b,a都是非负整数。

因此，对于b=0,1,2,3，我们可以算出a的取值以及相应的(x,y,z)：
b a(x,y,z)
0 4 (0,4,7)
1 3 (1,4,6)
2 2 (2,4,5),(2,3,6)
3 1 (3,4,4),(3,3,5),(3,2,6)
综上，我们可以得到以下解：
(0,4,7),(1,4,6),(2,4,5),(2,3,6),(3,4,4),(3,3,5),(3,2,6)
解析与讨论
首先，我们可以验证这 7 个解都符合题目的要求。

其次，我们可以尝试寻找其他的解法。

解法一
假设x,y,z中有两个数相等。

我们假设x=y，代入x+y+z=11，可得：
2x+z=11
因为 $x\\leq y\\leq z$，因此 $x\\leq 3$。

所以有：
•当x=1时，(x,y,z)可以为(1,5,5),(1,4,6),(1,3,7)
•当x=2时，(x,y,z)可以为(2,4,5),(2,3,6)
•当x=3时，(x,y,z)可以为(3,4,4),(3,3,5),(3,2,6)
这样，我们可以得到另外8个解。

解法二
我们还可以换个角度再来看这道题目。

x+y+z=11，我们发现11是一个奇数，而奇数个奇数相加一定是奇数，因此，x,y,z中一定至少有一个数为偶数。

我们可以将x,y,z分类讨论：
•当有两或三个数为偶数时，显然满足条件。

例如
(0,2,9),(1,6,4),(2,4,5)等等。

•当只有一个数为偶数时，我们假设x是偶数，则可能的情况只有(2,3,6),(4,3,4),(0,2,9)。

综上，我们可以得到11个解。

总结
通过以上的讨论，我们可以发现，数学题目往往有多种解法。

对于这道题目而言，使用不同的方法，可以得到不同的答案个数，但是都能保证答案是正确的。

因此，我们在解数学题时，不仅需要掌握解题方法，还需要掌握灵活运用多种方法的能力。

这也是数学学习的魅力所在。