高等数学习题及答案解析

高等数学习题及答案解析

1. 设 $f(x,y)=ax+by$，其中 $a,b$ 为常数，则

$f(xy,f(x,y))=axy+abx+by$。

2. 函数 $z=x+y$ 在点 $(1,2)$ 处，沿从点 $(1,2)$ 到点$(2,2+3)$ 的方向的 $2$ 方向导数是 $1+2\sqrt{2}$。

3. 设有向量场 $\vec{A}=y\vec{i}+xy\vec{j}+xz\vec{k}$，则 $\operatorname{div}\vec{A}=2x$。

4. 二重积分 $\iint\limits_D

f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 交换积分次序后为

$\iint\limits_{D'} f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$，其中

$D'$ 为 $D$ 投影到 $y$ 轴上的区间，$D=\{(x,y)|0\leq x\leq (y-3)^n,0\leq y\leq 1\}$。

5. 幂级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}z^n$ 的收敛域为 $[0,6)$。

___\limits_{-

\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}z}{(z^2+1)^2}=\pi$。

解：设曲面在点 $M(x,y,z)$ 处的法线平行于 $\vec{S}$，令 $F=xyz-32$，则在点 $M(x,y,z)$ 处曲面的法向量为

$\vec{n}=\langle F_x,F_y,F_z\rangle=\langle yz,xz,xy\rangle$。由于 $\vec{n}\parallel\vec{S}$，故有

$\frac{x}{2}=\frac{y}{8}=\frac{z}{1}$。解得 $x=4y,z=8y$，代入曲面方程 $xy(8y)=32$，解得 $y=1$，$x=4$，$z=8$，用点

向式即得所求法线方程为 $\frac{x-4}{2}=\frac{y-

1}{8}=\frac{z-8}{1}$。

令 $y'=p$，则 $y''=p'$，原方程化为 $p'=1+p$。该方程是一阶线性非齐次方程，其通解为 $p=-1+Ce^x$，其中 $C$ 是常数。代入 $y'=p$ 得 $y'=-1+Ce^x$，对其积分得 $y=-

x+C'e^x+D$，其中 $C'$ 和 $D$ 是常数。因此原方程的通解为$y=-x+Ce^x+D$。

1. B

2. D

3. A

4. C

5. D

6. A

7. B

8. C

9. B

1. 2

2. 5

3. 1/3

4. 3/2

1. (1) 1/2 (2) -3/2

2. (1) 2 (2) 1/4

1. $\frac{x}{y}=2$，所以$x=2y$，代入第二个式子得到$y=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$，$x=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$，所以点$P$的坐标为$(\frac{1}{\sqrt{\pi}},\frac{1}{2\sqrt{\pi}})$。

2. 由于$f(x)$在$[0,1]$上单调递增，所以$f^{-1}(x)$在$[f(0),f(1)]$上单调递增，所以可以使用分块法，将$[0,1]$分成$n$个小区间，每个小区间长度为$\frac{1}{n}$，则在第$i$个小区间上，$f^{-1}(x)$的取值范围为$[\frac{i-

1}{n},\frac{i}{n}]$，所以在该区间上的最大值为$f^{-

1}(\frac{i-1}{n})$，代入面积公式得到该小区间上的矩形面积为$\frac{1}{n}f^{-1}(\frac{i-1}{n})$，将所有小区间上的矩形

面积相加得到总面积为$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}f^{-

1}(\frac{i-1}{n})$，当$n$趋近于无穷大时，该和趋近于

$\int_{0}^{1}f^{-1}(x)dx$，所以所求面积为$\int_{0}^{1}f^{-1}(x)dx$。