压轴题“一题精讲”（十四）：点在线段或其延长线（折线）上的分类讨论

压轴题“一题精讲”（十四）：点在线段或其延长线（折线）

上的分类讨论

动点运动中，运动的范围一般是线段、射线或者直线上，其中以动点在线段和射线上的题型最为常见，射线可看成由线段和线段的延长线两部分组成，需要考虑的情况比较复杂。当动点运动到线段及运动到其延长线上的图像有很大差别，但是要记住口诀“图形改变，方法不变”。

在压轴题中，我们常常会遇到“点在线段或其延长线(折线)上的分类讨论问题”，此类问题的典型特征是，如“点P在直线AB上”或“点P在射线AB上”或“当点P在线段AB上”或“点P落在线段AB或线段BC上”，当出现此类关键词时，要有“分类讨论”的意识，根据点的不同位置画出不同的图形，再进行相应的几何证明或几何计算。

两张图形虽然不同，但是边与边、角与角之间的关系往往没有改变，改变的是线段之间的和差关系。从特殊到一般，这也是我们发现问题、研究问题的一种常用方法。

本题中有“两定”，定角“∠MBN”和定直角三角形“直角三角形ABC”，有三个动点，随着点D的运动，影响着点E和点F的位置。

本题的第一问是特殊情况，即AF⊥BC的情况，此时利用锐角三角比、勾股定理和直角三角形的“等积法”，可以求出EF的长度。

本题的第二问的关键词是“点E在线段BC上”，此时确立了x的取值范围，即E与C重合的特殊位置。

本题是函数关系的建立，图中有三组相似三角形，借助相似三角形对应边成比例可以建立线段间的数量关系。本题的难点在于选择合适的相似三角形，同时找准能用含x或y表示的线段，并且还需要借助勾股定理，求出中间线段的长度。

本题的第三问是相似三角形的存在性问题。需要分类讨论，即点E

在线段BC或线段BC延长线上两种情况。

当E在线段BC上时，此时一个三角形的一个角和另一个三角形的一个角互补，此时这两个三角形不可能相似，所以舍去。

当E在线段BC延长线上时，可知∠DAF=∠AEC，此时再分两种情况进行分类讨论。本问的难点在于发现图形中的相似三角形建立线段间的数量关系。同时，可以发现，尽管此时点E在BC延长线上，y关于x的函数关系式还是不变的。

解放分析：本题是2011年上海中考25题。和上面的例题有着异曲同工之妙，本题的第一问都是特殊情况下借助“等积法”、勾股定理和锐角三角比求线段长度；本题的第二问指出了E在线段AC上，注意点的特殊位置，其难度在于再引入一个未知数用于表示线段的长度，通过灵活应用锐角三角比，标出相关线段的长度，从而建立y关于x的函数关系式；本题的第三问是相似三角形的存在性，和例题的区别在于顶点和顶点之间是一一对应的，因此通过分类讨论后，即E在线段AC或线段BC两种情况，但是这两种分类都仅有一种情况。因此在处理此类问题时，要注意“相似于”和“∽”的区别。