Keller-Segel趋化模型的高精度紧致差分方法

合集下载

一类趋化－流体耦合方程组的能量不等式

一类趋化－流体耦合方程组的能量不等式何璞;林静秋【摘要】能量不等式的建立对于偏微分方程解的整体存在性、有界性的研究具有重要意义.本文结合精细的积分估计与不等式估计技巧,推导一类耗氧的趋化－流体耦合方程组的能量不等式.【期刊名称】《西华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(037)005【总页数】5页(P108-112)【关键词】趋化－流体耦合方程组;能量不等式;分部积分【作者】何璞;林静秋【作者单位】西华大学理学院,四川成都 610039;西华大学理学院,四川成都610039【正文语种】中文【中图分类】O175.291 预备知识趋化方程是一类刻画细胞自我组织和趋化运动规律的数学模型，这类问题经典的研究模型是标准Keller-Segel模型[1]，标准Keller-Segel模型的解的整体存在性和有限时刻爆破等问题已经被大量数学工作者研究(参考综述[2-4]及其中的参考文献)。

然而，在实际生物学背景中，细胞所处流体环境对于细胞趋化运动行为同样有着不可忽视的影响。

因而，文献[5]的作者经过实验观察，提出了如下趋化-流体(chemotaxis-fluid)耦合模型：此处的未知函数n=n(x,t)表示细胞密度、c=c(x,t)代表化学物质、信号的浓度，u=u(x,t)和P分别表示流体速度场和相应的压力；参数κ∈R与非线性流体对流项的强度有关；φ表示重力势，是已知函数。

本文将考虑这类方程组的如下初边值问题：(1)其中，Ω⊂RN为具有光滑边界的有界凸区域。

这类方程组研究的一个基本问题是解的整体存在性和有界性，而能量不等式估计的方法是研究方程(组)解的整体存在性与有界性的一个重要方法。

一旦建立了方程组的能量不等式，我们就可结合Lp-Lq估计、Neaumann热半群、Stokes半群的衰减性质等建立方程组解的相应先验估计；从而最终建立方程组解的整体存在性或有界性。

本文将主要建立方程组(1)的一个能量不等式。

一维时间分数阶Keller-Segel模型的解析解

一维时间分数阶Keller-Segel模型的解析解侯婕;王丽真【摘要】在这篇文章中,用广义分离变量法、齐次平衡法和不变子空间方法研究了含有分数阶导数的广义Burgers方程.借助一维抛物-椭圆型Keller-Segel模型与Burgers方程之间的关系,建立了一维分数阶Keller-Segel模型的几类精确解.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2019(035)003【总页数】11页(P276-286)【关键词】广义分离变量法;齐次平衡法;不变子空间方法;广义Burgers方程;Keller-Segel模型【作者】侯婕;王丽真【作者单位】西北大学数学学院, 陕西西安 710127;西北大学数学学院, 陕西西安710127【正文语种】中文【中图分类】O175.21 IntroductionFractional partial differential equations(PDEs)appear more and more frequently in different research fields and engineering applications,such as biology,physics,rheology,control theory,signal processing andelectrochemistry[1-2].There are many methods introduced to discuss the construction of solutions to fractional PDEs,such as Lie symmetry method[3-4],generalized differential transform method[5],Adomian decomposition[6],homotopy perturbation[7],which have achieved significant progress for some fractional PDEs.The generalized separation variable method can split the original equation into several ordinary differential equations(ODEs)[8].The time-fractional heat conduction equation[9],fractional Korteweg-de Vries equation[10],two and three-dimensional timefractional telegraph equations[11]and nonlinear time fractional biological population model[12]were discussed by separation variable method.And the function expansion method of separation variable type based on the homogenous balanced principle was introduced in reference[13].And Rui[14]has studied the exact solutions of nonlinear fractional PDEs.The invariant subspace method is another method for finding the analytical exact solution of the fractional PDEs.This method was initially proposed by reference[15].General fractionalODEs[16],Burgers equation under the Caputo derivative[17]and time fractional coupled nonlinear PDEs[18]were investigated by the invariant subspace method.And the homogenous balanced principle and the invariant subspace method are both special cases of the generalized separation variable method.In this paper,we consider the following time fractional one-dimensional Keller-Segel(KS)modelwhere 0<α<1.Equation(1)is the generalization of a class of parabolic-elliptic equations called KS model that characterizes the chemotaxis phenomenon in biology.The KS model was proposed byreference[19],while the parabolic-elliptic model was introduced due to the fact that the diffusion coefficient of the chemical substance is verylarge[20].Cauchy problems for Keller-Segel type time-space fractional diffusion was studied in reference[21].The main discussion of this paper is as follows.In section 2,we begin with some basic definitions and remarks of time fractional PDEs with Riemann-Liouville derivative and Caputo derivative.In section 3,we use three methods to solve the generalized Burgers equation.And in Section 4,with the help of the relation between the generalized Burgers equation and KS equations,the solutions of the KS equations are constructed.2 PreliminaryIn this section,we introduce some definitions and properties of the Riemann-Liouville derivative and Caputo derivative which will be used later. Definition 2.1 Let α>0,the Riemann-Liouville fractional integral operator of order α of the function f(t)∈ L1([a,b],R+)is defined byis the Euler gamma function.Definition 2.2 The Riemann-Liouville fractional derivative is defined byhere and hereafteris the usual partial derivative of integer order n. Definition 2.3 The Caputo fractional derivative is given byAnd the following two properties of fractional derivatives and integrals are useful for our discussion.For γ >0,0< δ<1,t>0,one hasThe result related to the solution of the special type fractional ODE is listed as follows.Lemma 2.1[22] Let α >0,λ,β ∈ R,λ 0.If α + β <1,t>a,then the α-th order fractional ODE3 The exact solutions of the generalized Burgers equationIn this section,we consider the following generalized Burgers equationwhere h(t)is an arbitrary function of t.We will use the generalized separation variable method,homogenous balanced principle and invariant subspace method to solve equation(4)separately.3.1 Generalized separation variable methodFor generalized Burgers equation(4)with Riemann-Liouville fractional derivative defined by Definition 2.2,we use generalized separation variable method introduced in reference[8]to seek exact solutions of equation(4). Case 3.1SetSubstituting the ansaze into(4),we can obtainUsing splitting method mentioned in reference[8],we obtain the determining equationsSolving(7)and(8)with the help of Maple yieldsC1is an arbitrary constant,and G=LambertW is the inverse of f(w)=wewin which w is an arbitrary complex number.The combination(5)with(6)gives,In particular,when A2=0,solving(10)with the formula given in Lemma2.1,we find thatThus,we obtain the following observation on the solution of the Burgers equation.Theorem 3.1 Generalized Burgers equation(4)has solutions of the formwhere f(x)satisfies(9)and g(t)satisfies(10).Especially,when A2=0,g(t)is given by(11).Case 3.2Let (x,t)=xg1(t)+f(x)g2(t).Substituting it into(4),we haveDifferentiating(12)with respect to x twice,and using the splitting method,we obtain the determining equationsC1,C2,Z are arbitrary constants,and L=RootOf is a placeholder for representing all the roots of an equation in one variable.Thus we have the following result on the solution of(4).Theorem 3.2 Generalized Burgers equation(4)has solutions of the formwhere g1(t),g2(t),f(x)satisfy(17),(18),(21),separately.Particularly,we obtain the exact solution g1(t),g2(t)which satisfy(20)and(19),respectively.3.2 Homogenous balanced principleIn this subsection,we will investigate the exact solution of(4)in Caputo sense,that is,using homogeneous balanced principle given in reference[14].Supposewhere ak,γkare constants to be determined later.The highest order of x in the te rm is m.And the highest order of x in the nonlinearis 2m−1.Thus we obtain m=1 using the homogenous balancedmethod.Therefore,equation(22)has the following type exact solutionwhere γ0,γ1,a0and a1are determined constants.We balance the order of t and the coefficients of every terms in(24)to obtainwhere a0is an arbitrary nonzero constant,γ0+1>0 and γ0+1 − α >0.So,we have the following result.Theorem 3.3 Let a0 0,γ0> −1+ α,the generalized Burgers equation(22)with Caputo fractional derivative has the solution of the form3.3 Invariant subspace methodIn this section,we use invariant subspace method to solve the generalizedBurgers equation(22).First,we use the invariant subspace method to solveSet (x,t)=∂x(x,t).The equation(25)is equivalent to(22).If h(t)=0,the solution of the equation is given in reference[17].When h(t)0,it is possible to find an exact solution to(22)by using invariant subspace method.First,we consider a scalar evolution equation.For(22),we haveThen we obtain the invariant subspace W3=<1,x,x2>under the given operator F[].Thus,the solution has the following formwhere a(t),b(t)and c(t)will be determinedlater.Substitution(26)into(25)yieldsSince equation(27)holds for all x∈R.Therefore,vanishing the constant and the coefficients of x and x2,we obtain a simple system of fractional ODEs4 The establishment of the solutions of KS equationsDue to the special structure of the parabolic-elliptic KS equations(1),we can transform it into the generalized Burgers equation.In this part,we apply the results of the solutions of generalized Burgers equation to the KS equations to establish the expression of solutions of the KS equations(1).Integrating(33)with respect to x,we obtain the equation with Riemann-Liouville derivative(4).Using the same method we can findIntegrating(34)with respect to x,we obtain the equation with Caputo derivative(22).Therefore,we get the connection between the generalized Burgers equation and the KS equations(1).With the help of these relations,we can deduce the formulas of the solutions to KSequations(1)with the formExplicitly,applying Theorem 3.1,we get the expression of the solution to the KS equations(1)where f(x)satisfies(9)and g(t)satisfies(10).Especially,the exact solutiong(t)satisfies(11).And using Theorem 3.2,the solution of the KSequations(1)takes the formwhere g1(t),g2(t),f(x)satisfy(17),(18)and(21),separately.Particularly,we obtain the exact solution g1(t),g2(t)satisfy(20),(19),respectively.Exploiting Theorem 3.3,that is,using homogenous balanced principle,we arrive at the solution of the KS equations(1)Due to Theorem 3.4,the solution of the KS equations(1)can be expressedTherefore,we can obtain that equation(35),(36),(37),(38)are the solutions to the fractional one-dimensional parabolic-elliptic Keller-Segel model(1).Reference【相关文献】[1]Oldham K B,Spanier J.The Fractional Calculus[M].London:Academic Press,1974.[2]Podlubny I.Fractional Differential Equations[M].San Diego:Academic Press,1999.[3]Huang Q,Zhdanov R.Symmetries and exact solutions of the time fractional Harry-Dym equation with Riemann-Liouville derivative[J].Physica.A,2014,409:110-118.[4]Wang L Z,Wang D J,Shen S F,et al.Lie point symmetry analysis of the Harry-Dym Type equation with Riemann-Liouville fractional derivative[J].Acta.Math.Appl.Sin-E.,2018,34(3):469-477.[5]Odibat Z,Momani S.A generalized differential transform method for linear partial differential equations of fractional order[J].Appl.Math.Lett.,2008,(21):194-199.[6]Momani S,Odibat Z.Analytical solution of a time fractional Navier-Stokes equation by Adomian decompostion method[J]put.,2006,177:488-494.[7]He J H.Approximate analytical solution for seepage flow with fractional derivatives in porous media[J].Comput.Methods Appl.Mech.Eng.,1998,167:57-68.[8]Polyanin A D,Zaitsev V F.Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations[M].Boca Raton:Chapman Hall/CRC Press,2003.[9]Ning T H,Jiang X Y.Analytical solution for the time-fractional heat conduction equation in spherical coordinate system by the method of variableseparation[J].Acta.Mech.Sin.,2011,27(6):994-1000.[10]Zhuang J Y,Qiao P,Li Z M.The method of separation of variables for local fractional Korteweg-de Vries equation[J].Therm.Sci.,2016,20:859-862.[11]Wang X B,Liu F W.Analytical solutions for the two and three-dimensional time-fractional telegraph equations by the method of separating variables:proceedings of the Fifth Symposium on Fractional Differentiation and Its Application,Nanjing[C].New York:Springer-Verlag,2012.[12]Zhang S,Cai B.Variable separation method for nonlinear time fractional biological population model[J].Int.J.Numer.Method.H.,2015,25:1531-1541.[13]Wu C,Rui W G.Method of separation variables combined with homogenous balanced principle for searching exact solutions of nonlinear time-fractional biological population model[J].Commun.Nonlinear.Sci.Numer.Simulat.,2018,63:88-100.[14]Rui W G.Applications of homogenous balanced principle on investigating exactsolutions to a series of time fractional nonlinearPDEs[J].Commun.Nonlinear.Sci.Numer.Simulat.,2017,47:253-266.[15]Galaktionov V,Svirshchevskii S.Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics[M].Boca Raton:Chapman Hall/CRC Press,2007.[16]Gazizov R K,Kasatkin A A.Construction of exact solutions for fractional order differential equations by the invariant subspacemethod[J].Comput.Math.Appl.,2013,66:576-584.[17]Harris P A,Garra R.Analytic solution of nonlinear fractional Burgers-type equation by invariant subspace method[J].Nonlinear Studies,2013,20(4):247-268.[18]Sahadevan R,Prakash P.Exact solution of certain time fractional nonlinear partial differential equations[J].Commun.Nonlinear.Sci.Numer.Simulat.,2017,42:158-177. [19]Keller E F,Segel L A.Initiation of slime mold aggregation viewed as aninstability[J].J.Theoret.Biol.,1970,26(3):399-415.[20]Jäger W,Luckhaus S.On explosions of solutions to a system of partial differential equations modelling chemotaxis[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1992,329(2):819-824.[21]Li L,Liu J G,Wang L Z.Cauchy problems for Keller-Segel type time-space fractional diffusion equation[J].J.Differential Equations.,2018,265:1044-1096.[22] Kilbas A A,Srivastava H M,Trujilo J J.Theory and Application of Fractional Differential Equations[M].Amsterdam:Elsevier Science B.V.,2006.。

基于高精度加权紧致非线性格式的γ－Reθ转捩模型标定与应用

基于高精度加权紧致非线性格式的γ－Reθ转捩模型标定与应用王圣业;王光学;董义道;邓小刚【摘要】为准确模拟航空工程中的转捩问题，在高精度数值风洞平台上采用低速平板试验数据对基于高精度加权紧致非线性格式的γ－Reθ转捩模型进行了标定，并在二维低速问题中进行了应用。

计算结果与试验的对比表明：基于高精度加权紧致非线性格式的γ－Reθ转捩模型可准确模拟自然转捩、旁路转捩及分离转捩的位置，并且具有较低的网格敏感性；在中等雷诺数范围，层流区域和湍流区域有相同量级时，计算必须采用转捩模型才能准确模拟阻力系数。

%In order to accurately simulate the transition in aeronautical engineering,the low speed flat plate data was adopted for the calibration of γ-Reθtransition model based on high-order WCNS (weighted compact nonlinear scheme)on the platform of high-order numerical wind tunnel.Based on the calibrated transition model,the flow over the low speed airfoil was parison between the calculated results and the experiment data indicates that the γ-Reθtransition model based on WCNS can predict the location of nature transition,bypass transition or separation transition very well and has low mesh sensitivity;only the transition model can calculate the drag coefficient accurately within a moderate Reynolds number range where the length of the laminar flow region is comparable to that of the turbulent flow region.【期刊名称】《国防科技大学学报》【年(卷),期】2016(038)004【总页数】7页(P14-20)【关键词】转捩模型;高精度格式;加权紧致非线性格式;湍流模型【作者】王圣业;王光学;董义道;邓小刚【作者单位】国防科技大学航天科学与工程学院，湖南长沙 410073;国防科技大学航天科学与工程学院，湖南长沙 410073; 中山大学物理学院，广东广州510006;国防科技大学航天科学与工程学院，湖南长沙 410073;国防科技大学航天科学与工程学院，湖南长沙 410073【正文语种】中文【中图分类】TN95转捩机理非常复杂，包含了自然转捩、旁路转捩、分离诱导转捩以及湍流边界层在顺压梯度下可能再层流化等[1]，故而对转捩的模拟十分困难。

求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现

1.1 研究背景和意义...................................................................................................... 1 1.2 国内外研究现状...................................................................................................... 2 1.3 本文主要工作.......................................................................................................... 4
Key Words: Convection equation; High-order; Compact difference scheme; LOD method; Finite difference method
II
目录
第一章绪论...................................................................................................................... 1
Finally, these schemes deduced in this paper are integrated into the software of "PHOEBESolver", which makes it easier for scholars in numerical solutions of partial differential equations to use these schemes in this paper.

【国家自然科学基金】_高精度紧致差分格式_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801

2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
科研热词推荐指数高精度 6 richardson外推法 4 高阶紧致格式 3 非均匀网格 2 边界层 2 对流扩散方程 2 高精度紧致差分格式 1 高精度紧致差分方法 1 隐式紧致格式 1 隐式差分 1 调制对传波 1 行进波 1 紧致格式 1 紧致差分格式 1 稳定性 1 泊松方程 1 有限差分法 1 对传波 1 定常行进波 1 定常对流扩散方程 1 交替方向隐式格式 1 二维波动方程 1 stationary traveling wave 1 soret效应 1 soret effect 1 1 schrsoinger equation 1 schrodinger方程 1 richardson extrapolation method 1 poiseuille流动 1 modulated eounterpropagating wave 1 high-order compact scheme 1 high order compact scheme 1 high accuracy 1 counterpropagating wave 1
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
科研热词推荐指数非均匀网格 3 高阶紧致差分格式 2 高精度紧致格式 2 预报校正 2 非线性对流扩散方程 2 紧致差分格式 2 二维热传导方程 2 高精度紧致差分格式 1 高精度 1 预条件技术 1 非定常对流扩散方程 1 边界层问题 1 边界层 1 自然对流 1 线性多步法 1 涡量-流函数方法 1 扩散反应方程 1 多重网格方法 1 四阶紧致格式 1 加权隐式差分格式 1 二维对流扩散方程 1 不可压navier-stokes/boussinesq方程组 1 一维定常对流扩散方程 1 richardson外推法 1 richardson 外推法 1 maccormack方法 1 fgmres迭代法 1 adi方法 1 adi 方法 1

一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式

一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式黄雪芳;郭锐;葛永斌【摘要】A high accuracy compact finite difference scheme with non-uniform grids is pro-posed to solve unsteady convection diffusion equations, which are used to describe boundary layer problems or locally large gradient problems, etc. The new method starts from the dis-cretization of the steady convection diffusion equation. Firstly, the spatial derivatives are discretized by using the Taylor series expansion on non-uniform grids. Then, the second order backward Eulerian difference formula is used to discretize the temporal derivative term. The three-level full implicit compact difference scheme on non-uniform grids for solving the one-dimensional unsteady convection diffusion equation is derived. The new scheme has the second order accuracy in time and the third to fourth order accuracy in space and is unconditionally stable. Finally, some numerical experiments are conducted to demonstrate the high accuracy and the advantages in solving boundary layer problems or locally large gradient problems.%本文在非均匀网格上给出了求解非定常对流扩散方程的一种高精度紧致差分格式，特别适合边界层和大梯度等问题的求解。

二维波动方程的一种高精度紧致差分方法

ｔ）一，则得到误差方程，
（一） —２）＝）Ａ（，（；Ｔ２＋ ×
ｅ
，
Ｊ
＋Ｒ
０≤ ， ≤ 一１，Ｏ≤ ｎ≤ Ⅳ 一１
用ｒ表示时间步长，ｈ表示空间步长，１给出了当７＝表－
（）８
ｅ＝ｏ
ｈ［（Ｌ曰
Ａ
（
３数值验证
对于式（）一（）令（ｙ￣，ｉ（）ｉ（ｒ）（１４，，）＝２ｒｎｓＴ，，ｒｓｎｙ
Ｙ）＝０ｇ，，），问题的精确解为／，，）＝ｉ（订），（Ｙｔ＝０则２Ｙｔｓｔ（ｎｓ（Ｔ）ｉ（ｒ）ｉ＇ｓ叮。数值实验计算是用Ｆ￣ａ７语言进行编程ｎＩｎｙＸｏｒｎ７
ｈ）。阶精度的数值解。孙志忠提出了求解二维波动方程的高精度交替方向隐式方法，并且是无条件稳定的。有关这方面最新的一些工作可参见文献［６—８。本文在此工作基础之］
上，利用Ｒｃａｓｎ外推法进一步提高计算精度，ｉｒｏｈｄ最终可得到
ｏ≤ √≤ 一１
４ｔｈ，＝１时刻，本文格式在不同网格步长下误差的、、
范数，以及与四阶ＡＩＤ格式计算结果的比较。Ｌ范数定义２
厂］ｉ面＝广——一『
ｄ］＝ｏ。ｅ
＼ｅ＝０
。 ≤ Ｍ
一
１
层的。即每一次时间推进都需要知道前两个时间步的值，０第
求解该问题精度为Ｏ（＋。的数值解。ｈ）

趋化-流体耦合模型研究进展

趋化-流体耦合模型研究进展王玉兰【摘要】从经典的Keller-Segel模型出发,简述趋化方程组的生物学背景、一般研究方法和最新研究进展.特别对趋化-流体耦合模型的起源、研究进展、研究困难进行详细的分析,并指出此类方程组研究中一些尚待解决的问题.【期刊名称】《西华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(035)004【总页数】6页(P30-34,38)【关键词】趋化;趋化-流体耦合模型;趋化灵敏度;整体存在;有界性【作者】王玉兰【作者单位】西华大学理学院,四川成都610039【正文语种】中文【中图分类】O175.29趋化性(也被称为化学趋向性)是趋向性的一种，指身体细胞、细菌及其他单细胞、多细胞生物依据环境中某些化学物质的分布而趋向的运动。

这种趋向性的运动对细菌寻找食物(如葡萄糖)十分重要，细菌以此趋进有较高食物分子浓度的地方，或远离有毒(如苯酚)的地方。

在多细胞生物中，趋化性对其生存和发展不可或缺。

另外，已证实趋化性不仅对研究生物运动具有很重要的作用，而且在生物除污、生物膜的形成、感染的发病机制(如癌细胞的转移)、生物固氮、微生物在地下环境和土壤中的迁移以及微生物采油等领域的研究中也具有重要意义。

事实表明，对趋化性现象的研究不仅具有理论意义，而且有很强的现实意义。

趋化方程(chemotaxis equation)就是从生物趋化性现象研究中抽象出的一类用于刻画细胞趋化运动规律的反应扩散方程。

为了描述细胞种群的动力学行为，在过去的几十年中，最典型的趋化模型-Keller-Segel趋化模型被广泛关注和研究 [1]。

此处的n表示细胞密度，c代表化学物质、信号的浓度，而S则是趋化灵敏度函数，根据不同的生物具体背景，它可能依赖于细胞密度n、化学物质浓度c及环境位置变量x。

当(1.1)中的灵敏度函数S恒为常值函数1时，便得到标准的Keller-Segel模型。

这个模型具有很多丰富而有趣的性质，包括解的整体存在、有限时刻爆破及空间模式形成等。

Keller-Segel生物学方程组周期解的爆破

收稿日期：２０１６ — ０７ — １２；修订日期：２０１６ — １２ — ２３
Ｅ— ｍａｉｌ：ｄｕａｎｓｓＯ５１７＠１２６．ｃｏｎ；ｒｓｊｈｕａｎｇＱｍａｉｌａｈｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ

毪
数学物理学报
ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ
Ｋｅｌｌｅｒ — Ｓｅｇｅｌ生物学方程组周期解的爆破
段双双黄守军
（安徽师范大学数学计算机科学学院安徽芜湖２４１００２）
摘要：该文主要研究一类Ｋｅｌｌｅｒ — Ｓｅｇｅｌ生物学方程组柯西问题的周期解的爆破．假设初值是周期的，且初值在一个周期上的全变差满足有界性条件，可以证明Ｋｅｌｌｅｒ — Ｓｅｇｅｌ方程组的光滑周期解将在有限时间内爆破，同时能给出生命区间的上下界估计．关键词：Ｋｅｌｌｅｒ — Ｓｅｇｅｌ模型；趋化性；周期解；爆破；生命区间．
ＭＲ（２０１０）主题分类：３５Ｌ４５；３５Ｌ６０；３５Ｌ６５中图分类号：Ｏ１７５．２文献标识码：Ａ文章编号：１００３ — ３９９８（２０１７）０２．３２６ — １６
１引言和主要结果
（１４０８０８５ＭＡ０１）
通讯作者
Ｎｏ．２
段双双等：Ｋｅｌｌｅｒ — Ｓｅｇｅｌ生物学方程组周期解的爆破

一个抛物—抛物Keller-Segel模型的爆破时间下界估计的开题报告

一个抛物—抛物Keller-Segel模型的爆破时间下界
估计的开题报告
一、研究背景和意义
抛物-抛物Keller-Segel模型是由Keller和Segel在1971年提出的，用于研究微生物种群演化的模型。

该模型被广泛应用于生物、物理、化
学等学科领域中。

其中包括细胞极化、细胞聚集、积累、迁移等问题。

在数学上，该模型被描述为具有非线性扩散项和吸引项的偏微分方程组。

在实际应用中，很多生物系统的行为通过该模型进行建模。

例如，
人类白细胞的趋化性，细胞的粘附和聚集，以及细菌群落的形成等。

尤
其是在医学应用方面，该模型对治疗癌症、心血管疾病等方面具有重要
的参考价值。

确定抛物-抛物Keller-Segel模型的爆破时间下界可以帮助我们了解
该模型在实际应用中的行为特点。

二、研究方法
针对抛物-抛物Keller-Segel模型的爆破时间下界的研究问题，我们
可以采用偏微分方程和概率的方法，来研究该模型。

具体来说，我们可以利用经典的分离变量方法，将抛物-抛物Keller-Segel模型化为一组线性常微分方程。

然后，将该模型从空间上离散，利用离散过程的方法，将问题转化
为随机游走的问题，通过计算概率得出爆破时间的下界估计。

三、预期结果
我们预计通过研究，可以得到抛物-抛物Keller-Segel模型爆破时间
下界的数学公式。

并通过该公式，可以对该模型在实际应用中的行为特
点进行深入的分析，为其在医学应用、环境保护和微细结构等领域提供理论基础和指导。

具有退化扩散的抛物—抛物keller-segel方程组全局弱解的存在性

具有退化扩散的抛物—抛物keller-segel方程组全局弱解的存在性几类退化Keller-Segel方程一致L~∞有界弱解的存在性现如今,随着交叉学科研究风靡全世界,越来越多的数学家开始关注其他学科的模型,例如生物模型,化学模型和物理模型.在这篇文章中,我们将研究一个非常有趣的关于细菌趋化性的生物数学模型:Keller-Segel模型.Keller-Segel模型是由Keller和Segel在1970年[1,2]提出的,它主要描述的是网柄菌的生物趋化性.在这个模型中,细菌被一种化学物质所吸引,并且可以释放出同一种化学物质.我们研究的主要目标是对于两种不同的退化Keller-Segel模型,证明其弱解的全局存在性.这篇文章的主要内容如下:在第一章中,我们介绍了Keller-Segel模型的背景信息.通过叙述原始模型的构造过程,我们希望读者能够更深入而全面的了解Keller-Segel模型.我们还列出了一些著名的简化模型以及优雅的结果,旨在向读者展示Keller-Segel模型的动人之处,从而吸引更多的人投身到研究中来.随后,我们陈述了此文灵感的来源,克服的困难以及得到的结论.我们还在这一章中给出了一些尚未解决的问题.在第二章中,我们研究了如下的退化抛物-抛物Keller-Segel模型:这里d≥3,扩散指数0m2-2/d其中,u(x,t)表示细菌的密度,v(x,t)表示化学物质的浓度.不失一般性地,我们假设v(x,0)=0,即最初的容器中并没有化学物质,随后由细菌产生.为了证明弱解的全局存在性,我们首先要得到先验估计.对于已经被广泛研究的退化抛物-椭圆Keller-Segel方程,具有最佳常数的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式是进行估计的关键:然而在退化的抛物一抛物Keller-Segel方程中,HLS不等式不再适用,因为v(x,t)无法由基本解的形式表出.因此,我们利用半群理论代替HLS不等式进行先验估计.以下关于半群的定义及估计是标准的.考虑柯西问题:定义0.0.1.设T＞0，p≥1(?)以及(?).函数(?)满足是问题(2)在[0,T]上唯一的温和解.这里热半群算子et△为(?),其中G(x,t)是热核即(?)不难证明,上面定义的温和解也是方程的一个弱解.接下来,我们介绍一个著名的热核的最大Lp模正则性结论,它是进行先验估计的关键.引理0.0.1.假设1p+∞,T0.那么对每一个f∈Lp(0,T;Lp(Rd)),方程(2)在Lp(0,T;Lp(Rd))的意义下,有且仅有一个解h(x,t)满足h0(x)=0.进一步地,对所有的f∈Lp(0,T;Lp(Rd)存在一个只与p有关的正常数Cp,使得现在,应用最大Lp模正则性以及一些标准估计,我们得到了方程(1)弱解的先验估计：众所周知,弱解的L1模和L∞模有界是两个非常重要的性质.在进行先验估计的过程中,我们能够得到弱解的质量守恒.接下来,我们将应用Bootstrap迭代的方法证明弱解的L∞模是一致有界的.根据上面所得到的弱解的先验估计,我们能够通过构造(1)的正则化问题来证明方程弱解的全局存在性,即证明第二章的主要定理.我们考虑如下的正则化问题:对ε0,其中d≥3,0m2-2/d对初值u0ε(x)进行适当的假设,我们能够证明正则化问题存在一个经典解且满足定理0.0.1中所有的先验估计.在整个证明的过程中,我们主要遇到的困难是无法应用Aubin-Lions引理证明强收敛,因为只得到了的一致有界性而不是▽uε模的.因此,我们需要应用Aubin-Lions-Dubinskii引理[3]:引理0.0.2.设B,Y是Banach空间,M+是B中的一个非负半赋范锥,且满足M+∩Y≠(?),1≤p≤∞.如果(i)M+→B是紧的,(ii)对所有(ωn)(?)B,当n→∞时,在B中有ωn→ω,在Y中有ωn→0,则ω=0,(iii)U(?)Lp(0,T;M+∩Y)且在Lp(0,T;M+)中有界,(ⅳ)当h→0时,在u∈U中一致地有||u(t+h-h)-u(t)||Lp(0,T-h;Y)→0,那么U在Lp(0,T;B)中是相对紧的.为了应用Aubin-Lions-Dubinskii引理,我们选取B=Lp(Ω),并构造是一个满足下面定义的Lp+1中的非负半赋范锥.定义0.0.2.设B是一个Banach空间,M+(?)B满足(1)对所有的u∈M+,C≥0有有Cu∈M+,(2)存在函数[·]:M+→[0,∞),使得当且仅当u=0时,[u]=0,(3)对所有C≥0,有[Cu]=C[u],那么M+是B中的一个非负半赋范锥.从而,应用Aubin-Lions-Dubinskii引理,我们可以逐步的证明全局弱解的存在性.此外,当1m2-2/d时,弱解还是一个弱熵解.我们已经列出了证明第二章中存在性定理的重要思想,现在我们给出定理的完整叙述:在第二章的最后,我们证明了弱解的局部存在性并给出了一个爆破准则.当0m2-2/d时,退化抛物-抛物Keller-Segel方程弱解的有限时间爆破仍然是一个公开问题.第三章,我们在d≥3的情况下提出了p-LaplaceKeller-Segel方程:其中p1.这个模型是退化抛物-椭圆Keller-Segel模型的一个自然延伸,因为多孔介质方程和p-Laplace方程都叫作非线性扩散方程.二者虽然属于不同的领域,但在描述的现象上,使用的技巧上以及获得的结果上都有很多重合之处.在这个p-LaplaceKeller-Segel方程中,我们找到了一个临界指数p,它与方程(1)中的m=2-2/d扮演相同的角色.当p=3d/d+1时,如果(u,v)是方程(5)的一个解,我们构造u的质量守恒坐标变换以及相应的v的坐标变换那么(uλ,vλ)也是方程(5)的一个解.因此,我们将p=3d/d+1称为临界指数.对一般的p,(u λ,vλ)满足如下的方程根据p的不同取值,我们将问题分为超临界情形和次临界情形.当1p3d/d+1时,我们称为超临界情形.在超临界问题中,当细菌密度很高时,聚合作用强于扩散作用,导致有限时间爆破;当细菌密度很低时,扩散作用强于聚合作用,导致无限时间的传播.相应地,当p3d/d+1时,我们称为次临界情形.在次临界问题中,当细菌密度很高时,扩散作用强于聚合作用,阻止了有限时间爆破;当细菌密度很低时,聚合作用强于扩散作用,从而阻止了无限时间的传播.在第三章中,我们的主要目的是在超临界大初值假设下,证明方程(5)弱解的全局存在性.为了证明定理,我们首先要进行先验估计:对于p-LaplaceKeller-Segel方程,我们并没有像第二章一样得到u的质量守恒,这是一个公开问题.但是使用Bootstrap迭代方法,我们同样能够得到方程(5)弱解的L∞一致有界性.证明过程中的主要思想与定理0.0.2基本相同,但细节上却存在很大差异.得到弱解的先验估计后,我们构造方程(5)对应的正则化问题来证明本章中最主要的存在性定理:对于ε0这里α(d)是d-维单位球的体积.对初值u0ε(x)进行适当的假设,我们能够证明正则化问题存在一个经典解且满足定理0.0.4中所有的先验估计.那么结合Aubin-Lion引理得到的强收敛以及一致有界估计得到的弱收敛,我们能够证明第三章的主要定理:定理0.06.设d≥3,1p3d/d+1,q=d(3-p)/p.如果u0∈L+1(Rd)∩L ∞(Rd),A(d,p)=Cp,d3-p-‖u0‖Lq3-p0,其中Cp,d=[qpp/Kp(d,p)(q-2)+p)p]1/3-p是一个常数,那么方程(5)存在一个非负的全局弱解(u,v),使得定理0.04中所有的先验估计以及定理0.05中的L∞一致有界估计都成立.定理的证明过程中,困难的部分是用单调算子理论得到非线性项的极限.下面的引理是单调算子的一个重要性质:引理0.0.3.对任意η,η'∈Rd,下列不等式成立其中C1和和C2是两个只依赖于p的正数.当1p3d/d+1时,p-LaplaceKeller-Segel方程弱解的有限时间爆破仍然是有待解决的问题。

洛克斯基米尔勒高阶方程

洛克斯基米尔勒高阶方程（Lax-Kilmister equation）是一种偏微分方程，主要用于描述非线性波动问题，特别是在物理学和工程领域中。

它由美国数学家皮埃尔·拉克斯（Peter Lax）和英国数学家戴维·基米尔斯特（David M. Keldysh）在20世纪60年代提出。

洛克斯基米尔勒高阶方程的一般形式为：
u_tt = Δ(u + f(u))
其中，u 是未知函数，Δ 是拉普拉斯算子，即 ∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2（在二维情况下），t 是时间变量，f(u) 是非线性函数。

这个方程可以用来描述许多物理现象，如波动、流体动力学、弹性力学等。

在应用中，需要将具体的物理问题转化为数学模型，然后求解这个方程以获得相应的数学解。

由于洛克斯基米尔勒高阶方程是一个高阶非线性偏微分方程，其求解难度较大。

在实际应用中，常常采用数值方法来求解这个方程，如有限元方法、有限差分方法等。

这些数值方法可以将偏微分方程离散化，转化为数值计算问题，从而得到近似解或精确解。

RLW方程的高精度守恒紧致差分格式

x xx
x +
j)
j)
j)
j)
∑
è
12ø j=1
12j
=1
j=1
j=1
J-1
由边界条件(
12)整理可得
J-1
εh
εh3
2
2
[(
[(
^
^
un
un
x xx
x =0.
j )]
j )]
∑
∑
2 j=1
24 j
=1
J-1
J-1
h
h
n+1
n
n-1
(
).
uj
un
+uj )= ∑ (
j +uj
∑
2j
2
=1
j=1
对上式作递推即可得 Qn =Qn-1 = … =Q0 .
n =0,
1,…,
N -1.
= … =E ,
x =E
j-1 -1
j +uj+1 )[
j )]
∑
∑(
12 l
=1 j=1
对式(
10)两边同时乘以 h,并对j 从 1 到 J-1 求和可得
J-1
J-1
J-1
J-1
h2 ö÷
h3
æ
n
n
(
^

^
^
^
h∑ (
un
h∑ (
un
u
u
t -μ ç1xx
t +h∑ (
11)和如下四
阶两层线性格式来计算 u1 :
1
1
1
h2 ö÷ 0
h2
ε

双排斥细胞的Keller-Segel的定性分析

王巍巍，刘萍，穆强
（哈尔滨师范大学）
【摘
要】研究Ｎｅｕｍａｎｎ边界条件下两个具有排斥性细胞的Ｋｅｌｌｅｒ～Ｓｅｇｅｌ模

型，给出了该模型相应的稳定性分析，得到局部渐近稳定性，这是单个细胞（排除或
吸引）的Ｋｅｌｌｅｒ — Ｓｅｇｅｌ模型不可能发生的现象．
收稿日期：２０１３—０７— ０２黑龙江省教育厅项目（１２５１１１５７）
（，ｔ）的扩散系数．
１预备知识
考虑系数为Ａ，Ｂ和Ｃ的三次方程
４Ａ。＋ＡＡ＋Ａ＋Ｃ＝０Ａ＞０
．
哈尔滨师范大学自然科学学报
ｆｕ： △ — （Ａ “ ），ｚ ∈ ２１，ｔ＞０（１）
【ｔ＝Ａｖ＋Ｏｔｔｔ一卢， ∈ ，ｔ＞０
献［１］也对系统（２）的解的分歧情况进行了研究．两个细胞和一种化学信号的Ｋｅｌｌｅｒ —Ｓｅｇｅｌ模型在Ｎｅｕｍａｎｎ边界条件下的形式为
观０
∈ｎ
其中ｔｔ（ｘ，ｔ），１２（，ｔ）分别代表两个细胞的浓度，
Ｉｆ＝ △ ＋ｕ — ｐ口，
ＩｔｌＪ￡＝５ｗ＋ｙｕ一，
∈ ｎ，ｔ＞０
∈ ｎ，ｔ＞０
ｗ（ｘ，ｔ）表示化学信号的浓度．ｃＲ ” （１２ ≥１）是个带有光滑边界的有界连通子集，参数，＞

具logistic源及奇性灵敏度函数的二维趋化模型解的渐近行为

具logistic源及奇性灵敏度函数的二维趋化模型解的渐近行为本文研究具logistic源和奇性灵敏度函数的二维抛物-椭圆型
Keller-Segel趋化模型ut=△u-x▽.(u/v▽u)+ru-μu2.,0=△v-v+u,附加齐次Neumann边界条件的解的渐近行为,其中Ω是R2中的有界光滑区域,X,μ>0,r ∈R我们得到,若r>2((?)x+1-1)2+X2/(16η|Ω|)(这里η是依赖于Ω的常数),则对任意满足∫Ωu0-1<16μη|Ω|2/X2的非负初值u0∈C(Ω),相应的解(u(.,t),v(.,t))当t→∞时在L∞-模意义下渐近收敛于常数平衡态(r/μ,r/μ).第1章概述本文所研究问题的实际背景及发展现状,并简要介绍本文的内容.第2章,我们给出一些基本事实和辅助命题作为全文的准备工作.第3章,我们叙述并证明本文主要结果(即定理3.1).。

一类趋化模型的稳定性分析

一类趋化模型的稳定性分析
于一
【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》
【年(卷),期】2015(031)002
【摘要】利用线性化方法分析了一类具有敏感函数与logistic增长项的趋化模型常数平衡解的稳定性,得到了常数平衡解的稳定与不稳定区间.
【总页数】2页(P4-5)
【作者】于一
【作者单位】哈尔滨师范大学
【正文语种】中文
【中图分类】O175.21
【相关文献】
1.一类Keller-Segel趋化模型的分支结构 [J], 高海燕
2.一类两种群趋化模型整体解的有界性 [J], 马俊巧;杨小飞
3.一类两种群趋化模型整体解的有界性 [J], 马俊巧;杨小飞;
4.一类多物种生物趋化模型解的局部性质 [J], 郭楠楠
5.一类比率型Holling-Leslie趋化模型的分支结构 [J], 张望;李艳玲;周浩
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。