数学分析试题及答案

（十四） 《数学分析Ⅱ》考试题

一 填空（共15分，每题5分）：

1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ;

2 设

=--='→5

)

5()(lim

,2)5(5

x f x f f x 则54；

3 设⎩⎨

⎧>++≤=0

,)1ln(,

0,

sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则

0 1 ， =b 0 。

二 计算下列极限：（共20分，每题5分）

1 n n n

1

)1

31211(lim ++++

∞→ ; 解: 由于，n n n n 1

1

)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→n

n n

故 。1)131211(lim 1

=++++∞→n

n n

2 3

)

(21lim n n

n ++∞

→； 解: 由stolz 定理,

3)

(21lim

n n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n n

n )

1)1()(1(lim

-+-+

--

=∞

→n n n n n n n

n

)

1)1(2))(1(()

1(lim

--+---+=∞→n n n n n n n n n

.3

2)1)11(21

11lim

2=--

+-

+

=∞

→n

n n

n 3

a

x a x a x --→sin sin lim

；

解: a

x a

x a x --→sin sin lim a

x a

x a x a

x --+=→2sin 2cos

2lim

.cos 2

2sin

2

cos

lim a a x a x a x a

x =--+=→ 4

x

x x 10

)

21(lim +→。

解:

x

x x 1

)21(lim +→.)21(lim 22

21

0e x x

x =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+=→ 三 计算导数（共15分，每题5分）：

1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+=

求

解: 。

1

11

11

1

1221122)(2

2

2

22

2+-=

+-

+=++++

-

+='x x x x x x x x x

x x

x f 2 解:

3 设。求)100(2

,2sin )23(y x x y -=

解: 由Leibniz 公式

)23()2(sin )23()2(sin )23()2(sin 2)98(2

1002)99(11002)100(0100)100('

'-+'-+-=x x C x x C x x C y

6)2sin(26)2sin(2100)23)(2sin(22

98982991002999922100100⋅+++⋅+-+=⨯ππ

πx x x x x

x x x x x 2sin 2297002cos 26002sin )23(298992100⨯-⋅--= 。]2cos 12002sin )22970812[(2298x x x x --=

四 （12分）设0>a

，}{n x 满足：

,00>x ,2,1,0),(211 =+=

+n x a

x x n

n n

;sin cos 3

3表示的函数的二阶导数求由方程⎩⎨⎧==t a y t

a x ,

tan sin cos 3cos sin 3)cos ()sin (22

33t t

t a t t a t a t a dx dy -=-=''=。t

t a t

t a t dx y d sin cos 3sec )cos (sec 223222='-=

证明：}{n x 收敛，并求。n n x ∞

→lim

解: （1） 证明：易见，),,2,1,0(,0 =>n x n a x x n

x a

n

n =≥

+1),,2,1,0( =n

从而有： ),2,1(02)(212

1 =≤-=-+=-+n x x a x x a

x x x n

n n n n n n ，

故}{n x 单调减少，且有下界。所以}{n x 收敛。 （2）求n n x ∞

→lim

： 设}{n x l =，由（1）知：0}{>≥=a x l n 。

在)(211n

n n x a

x x +=

+两边同时取极限得 1lim +∞

→=n n x l ),(21)(lim 21l

a l x a x n

n n +=+=∞

→ 解之得a l =，即a x n n =∞

→lim 。

五 （10分）求椭圆),(10022

22y x b

y a x 过其上点=+

处的切线方程。

解: 在方程12222=+b y a x 两边对x 求导数得：,0222

2='

+b y y a x

故,22y x a b y -='从而0

2200y x a b y y y x x -='==，所以椭圆),(00y x 在点处的切线方程为

)(00

220x x y x a b y y --=-，即12020=+b yy a xx

六（10分）利用Cauchy 收敛原理证明：单调有界数列必收敛。

证明：设}{n x 单调有界，不妨设}{n x 单调增加。

假定}{n x 不收敛，则由Cauchy 收敛原理，存在常数N n m >∀>,,00

ε

),(n m <0ε≥-n m x x ，于是

令,1=N

存在1,11>n m ),(11n m < 011ε≥-n m x x ， 再令,1n N

=存在122,n n m > ),(22n m < 022ε≥-n m x x ，