《运筹学教程》胡云权 第五版 运筹学--线性规划--3excel 线性规划及应用共58页文档
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《运筹学教程》胡云权-第五版-运筹学复习
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✓ 右端项非负
解的重要概念
可行解（或可行点）：满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x 2 , x n )
可行域：所有的可行解的全体
D { x Ax b, x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体
称为最优解集合
O {x D c x c y, y D }
0
x3
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bi
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运筹学胡运权第五版课件
运筹学胡运权第五 版课件大纲
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汇报人：
目录
添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人：
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
单击此处添加副标题
汇报人：
目录
添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
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课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
《运筹学教程》胡云权 第五版 第三章 整数规划
人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别 为1000毫升、1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单， 其中一些物品是必带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、 150、250、450、760、190、（单位毫升）。尚有10件可带可不带 物品，如果不带将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的 地的价格（单位美元）。这些物品的容量及价格分别见下表，试给 出一个合理的安排方案把物品放在三个旅行包里。 物品 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
割平面法
纯整数线性规划
max z c j x j
j 1 n
松弛问题
（3.1a）
max z c j x j
j 1
n
（3.1a）
aij x j bi
j 1
n
(i 1, 2, , m) （3.1b） ( j 1, 2, , n) （3.1c） ( j 1, 2, , n)（3.1d）
整数规划数学模型解的特点
• 不考虑x1、x2取整数的约束，称为上述 规划的松弛问题，可行域如图； • B为最优解：X＝(3.57，7.14)，Z＝ 35.7。 • 由于x1 、 x2必须取整数值，可行解集 只是图中可行域内的那些整数点；
• 凑整法：比较四种组合，但（4，7）、 （4，8）（3，8）都不是可行解，（3， 7）虽属可行解，但代入目标函数得 Z=33；
m个约束方程可表示为 CB CN
xi aij x j bi
jK
i Q
（3.2）
XB
CB XB cj-zj B-1b I 0
XN
B-1N ≤0
若其中的 不是整数， 则式（3.2）中相应的约束方程为
运筹学胡运权第五版课件(第3章)分析
B3
B4
ai
11 ④
3 ③
10 7
1
9
2
③
①
7
4
⑥
10 ③
84 59
3
6
5
6 20
24 (8 3) (2 10) 1
表示新方案的费用要减少1元
综上，得到检验数表如下： B1 B2 B3 B4
A1 1 2 0 0 A2 0 1 0 －1 A3 10 0 12 0 注意：有数字格（基变量）的检验数为0。
则总费用为：
34
min z = cijxij i=1 j=1
x11+x12+x13+x14=7
产
x21+x22+x23+x24=4
量 限
制
x31+x32+x33+x34=9
x11+x21+x31=3
s.t.
x12+x22+x32=6
销 量
限
x13+x23+x33=5
制
x14+x24+x34=6 xij0,(i=1,2, 3；j=1,2,3,4)
最优性判别准则： 当所有ij 0时，运输问题达到最优解。
（1）若有负检验数，则该方案需要改进；
（2）若空格的检验数全为正数，则该问题有唯 一最优方案；
（3）若检验数全非负，且有空格的检验数为0， 则该问题有无穷多最优解。
4、改进方案的方法------闭回路法
在检验数表中，确定绝对值最大的负检验 数对应的空格，利用该空格的闭回路在满足供 需关系下调整各顶点的运量，得到费用更小的 调运方案。
5、运输问题解的情况
运筹学教程胡云权第五版决策分析
风险型决策分析
公司打算生产该护肤品5年。根据以往价格统计资料和市
场预测信息，该产品在今后5年内价格下跌的概率为0.1，保
持原价的概率为0.5，涨价的概率为0.4。通过估算，可得各
种方案在不同价格状态下的益损值如下表所示。
益损值表
单位（万元）
益损值
方案
状态（价格） 概率
跌价 0.1
原价 0.5
涨价 0.4
E(X)=∑ pixi
xi ： 随机离散变量x的第i个取值， i=1,2,3…m；
pi ： x=xi时的概率
E( A1) ? 0.3? 40 ? 0.6 ? 36 ? 0.1? (?16) ? 32 E( A2 ) ? 0.3? 36 ? 0.6 ? 30 ? 0.1? 15 ? 30.3 E( A3 ) ? 0.3? 30 ? 0.6 ? 25 ? 0.1? 20 ? 26.0
从它引出的分枝叫方 案分枝。分枝数量与
方案数量相同。
. 36 . -16
. 36
结果节点
不同行动方案在不同 自然状态下的结果注 明在结果节点的右端
. 30
. 15
. 30 . 25 . 20
风险型决策分析
（2）计算各行动方案的益损期望值，并将计算结果 标注在相应的状态节点上。
32
. 40
. 36
. -16
决策分析概述
决策环境
确定型决策 非确定型决策
风险型决策 不确定型决策
确定型决策
特征： （1）决策者的明确目标（收益大或损失小等）； （2）确定的自然状态； （3）两个以上可供选择的行动方案； （4）不同行动方案在确定状态下的益损值可以计算出来。
【例】某公司管理层需要决策是否生产一种新产品。可以确 定的是，该产品上市后一定供不应求。经数据分析，该产 品的预期单价为 900元，单件可变成本 400元，生产所需固 定成本为50000元。
(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
四运筹学研究的基本特点?系统的整体优化?多学科的配合?模型方法的应用五五运筹学研究的基本步骤运筹学研究的基本步骤?分析与表述问题?建立数学模型?对问题求解?对模型和模型导出的解进行检验?建立对解的有效控制?方案的实施第一章线性规划及单纯形法linearprogrammingandsimplexmethodggp11一般线性规划问题的数学模型11问题的提出例1用一块边长为a的正方形铁皮做一个无盖长方体容器应如何裁剪可使做成的容器的容积最大
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
第二章 对偶理论参数线性规划运筹学基础及其应用胡运权第五版
2+2 λ 3+ λ cB XB b X1 x2 0 x3 6 2 0 0 x4 16 4 0 3+ λ x2 3 0 1 cj-zj 2+ 2λ 0
0 x3 1 0 0 0
0 0 x4 x5 0 - 2/5 1 0 0 1/5 0 -3/5-1/5 λ
§2.5参数线性规划
Ch2 Dual Problem
将其直接反映到最终单纯形表中得：
§2.5参数线性规划
Ch2 Dual Problem
cB 2 0 3
XB b x1 3-1/5λ x4 4+4/5λ x2 3+1/5λ cj-zj
2 X1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
0 0 x3 x4 1/2 0 -2 1 0 0 -1 0
0 x5 -1/5 4/5 1/5 -1/5
- 15 -5 - 5 15
15
-3
-1
1
2
λ
§2.5参数线性规划
Ch2 Dual Problem
例2：求解下述参数线性规划问题：
max z 2 x1 3x 2 2 x1 2 x 2 12 4x 16 1 s.t. 5 x 2 15 x1 , x 2 0
§2.5参数线性规划
0 0 0 x3 x4 x5 1/2 0 - 1/5 -2 1 4/5 0 0 1/5 -1- λ 0 -1/5+1/5 λ
§2.5参数线性规划
Ch2 Dual Problem
上表中最优基不变的条件是-1≤λ≤1，此时目标函数值为 Z=15+9 λ.当λ＜-1时，x3列的检验数-1- λ＞0.将x3作为进基变量进 行单纯形迭代得下表 表2
运筹学基础及应用第五版 胡运权
则 CX0 CX* Y*b Y0b
但 CX0 = Y0 b， ∴ CX0 = CX* = Y* b = Y0 b ∴ X0 = X* ， Y0 = Y* 即 X0——原问题最优解， Y0——对偶问题最优解 证毕。
（3）无界性
若原问题（对偶问题）最优解无界，则对偶问题（原问 题）无可行解 证：由性质1，C X0 Y0 b，当 CX0 ∞ 时，则不可 能存在Y0，使得 C X0 Y0 b 。
设 备 产品
A
B
C
D
单位利润
甲产品 乙产品
现有材料 数量
2 2 12
1 2 8
4 0 16
0 4 12
2 3
1.最大生产利润模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z= 2 X1 +3 X2
2.资源最低售价模型
设第i种资源收购价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有
min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4 y1 y2 y3 y4
列单纯表计算：
Cj → CB XB b 0 y4 -2 0 y5 -1 cj - zj -24 y2 0 y5 cj - zj -24 y2 -5 y3 cj - zj 1/4 1/2 1/3 -1/3 -15 -24 -5 0 0
y1
0 -5
y2
-6 -2
y3
-1 -1
y4
1 0
y5
0 1 0 0 1
s.t
2 X1
+2 X2 12 X1 +2 X2 8 4 X1 16 4 X2 12 X1 0 , X2 0
运筹学基础及应用-第1章-线性规划及单纯形法(胡运权版)
约束方程的系数矩阵为25矩阵ra222阶子矩阵有10个其中基矩阵只有99个即???????????????????510226103524max53214321321?jxxxxxxxxxxxxzj?????????10261001115a?????????????????????????????????????????????????????????????????100112010211160106112611110050101561015987654321bbbbbbbbb线性规划问题的求解方法一般有两种方法图解法单纯形法两个变量直角坐标三个变量立体坐标适用于任意变量但必需将一般形式变成标准形式下面我们分析一下简单的情况只有两个决策变量的线性规划问题这时可以通过图解的方法来求解
1.一般线性规划问题的数学模型
例1.7 将下列线性规划问题化为标准形式
m in Z 2 x1 x2 3 x3 5 x1 x2 x3 7 x1 x2 4 x3 2 3 x1 x2 2 x3 5 x1 , x2 0, x3 无约束
4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
1 2
1.一般线性规划问题的数学模型
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是：
（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值；
（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
1.一般线性规划问题的数学模型
3. 建模条件 (1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示； (2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的 线性等式或线性不等式表示； (3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便 找出最优方案。
1.一般线性规划问题的数学模型
例1.7 将下列线性规划问题化为标准形式
m in Z 2 x1 x2 3 x3 5 x1 x2 x3 7 x1 x2 4 x3 2 3 x1 x2 2 x3 5 x1 , x2 0, x3 无约束
4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
1 2
1.一般线性规划问题的数学模型
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是：
（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值；
（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
1.一般线性规划问题的数学模型
3. 建模条件 (1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示； (2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的 线性等式或线性不等式表示； (3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便 找出最优方案。
运筹学_胡运权
标准型的向量形式：
max Z c j x j
j 1 n
标 准 型
n p j x j b s.t. j 1 x 0 j 1,2,, n j
a1 j a2 j 其中： p j a mj
标 准 化
把一般的LP化成标准型的过程称为 线性规划问题的标准化 方法： 1 目标标准化 min Z 等价于 max ( - Z ) max Z’=-∑cjxj 2 化约束为等式 加松弛变量、减剩余变量 3 变量非负化 x j 0 做变换 x j x j xj 0 或 x j x j x j 4 右端非负
目标函数 max z 2 x1 x2
数 学 模 型
5 x2 15 6 x 2 x 24 2 约束条件 s.t. 1 x1 x2 5 x1 , x2 0
(1.1a) (1.1b) (1.1c)
(1.1d)
max: maximize的缩写， “最大化”， s.t. subject to的缩写， “受限制于……”
一般形式：
目标函数
概 念 和 ห้องสมุดไป่ตู้ 型
max（或min） Z c1 x1 c 2 x2 c n xn a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 约束条件 a x a x a x (, )b 2n n 2 21 1 22 2 s.t. a x a x a x (, )b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0 0,自由
标 准 化
2 x 2 x x x x 9 2 3 3 4 1 3x x 2 x 2 x x 4 1 2 3 3 5 s.t. 4 x1 2 x2 3 x3 3 x3 6 x1 , x2 , x3 , x3 , x4 , x6 0
《运筹学教程》胡云权第五版运筹学-线性规划-3excel线性规划及应用PPT课件
x3
4000
x1 3000
x2
3000
x3 3000
xi
0, i
1, 2, 3
2021/2/12
第 3第3 页33 页
3、人员分配问题
上海财经大学
《运筹学》
某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需四
级和乘务人员数如下表所示。问该公交线路至少配备 多少名司机和乘务人员？
班次 1 2 3 4 5 6
开始上班，则
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x6 60
x1
x2
70
x2
x3
60
x3 x4 50
x4
x5
20
x5 xi
x6 30 0, i 1, 2,
,6
2021/2/12
第 3第5 页35 页
4、运输问题
上海财经大学
《运筹学》
设有A1，A2，A3三个产地，生产某种物质，其产 量分别为7，5，7，B1，B2，B3，B4四个销地，需要该 物资，销量分别为2，3，4，6，又已知各产销地之间 的运价如下表，确定总运费最少的调运方案。
2021/2/12
第 2第9 页29 页
1、材料利用问题
上海财经大学
《运筹学》
现要做100 套钢架,每套用长为2.9m , 2.1m 和1.5m 的元钢各一根制成。已知原料长7.4米，问应如何下料， 使用的原材料最省？
2021/2/12
30
第 3第0 页30 页
1、材料利用问题
上海财经大学
《运筹学》
第18页运筹学第18页2019117上海财经大学?在工作表的顶部输入数据?确定每个决策变量所对应的单元格位置?选择单元格输入公式找到目标函数的值?选择一个单元格输入公式计算每个约束条件左边的值?选择一个单元格输入公式计算每个约束条件右边的值图中规定b12c12为可变单元格可变单元格存放决策变量的取值可变单元格数目等于决策变量个数建立数学公式步骤二第19页运筹学第19页2019117上海财经大学?在工作表的顶部输入数据?确定每个决策变量所对应的单元格位置?选择单元格输入公式找到目标函数的值?确定约束单元格输入公式计算每个约束条件左边的值?确定约束单元格输入公式计算每个约束条件右边的值在目标单元格中需要填入计算目标函数值的公式
运筹学教案(胡运权版)
《绪论》（2课时）【教学流程图】运筹学运筹学与数学模型的基本概念管理学本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法,过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
任务驱动是实现本课教学目标和完成教学内容的主要方法，任务是师生活动内容的核心，在教学过程中，任务驱动被多次利用。
自主学习能提高学生的自主探究能力，竞赛和协作学习调动学生的积极性，激发学生参与的热情。
学生之间互帮互助，共同分享劳动果实，从而激发了学生的团队意识，达到理想的教学效果。
【教学内容】一、教学过程：（一）举例引入：（5分钟)（1)齐王赛马的故事（2)两个囚犯的故事导入提问：什么叫运筹学？（二）新课：绪论一、运筹学的基本概念(用实例引入）例1—1战国初期，齐国的国王要求田忌和他赛马，规定各人从自己的上马、中马、下马中各选一匹马来比赛，并且说好每输一匹马就得支付一千两银子给予获胜者.当时齐王的马比田忌的马强，结果每年田忌都要输掉三千两银子。
但孙膑给田忌出主意,可使田忌反输为赢。
试问:如果双方都不对自己的策略保密,当齐王先行动时，哪一方会赢？赢多少？反之呢?例1-2有甲乙两个囚犯正被隔离审讯,若两人都坦白，则每人判入狱8年；若两个人都抵赖，则每人判入狱1年；若只有一人坦白，则他初释放，但另一罪犯被判刑10年。
求双方的最优策略。
乙囚犯抵赖坦白甲囚犯抵赖—1，-1 -10，0坦白0，—10 -8，—8定义：运筹学（Operation Research）是运用系统化的方法，通过建成立数学模型及其测试，协助达成最佳决策的一门科学。
它主要研究经济活动和军事活动中能用数学的分析和运算来有效地配置人力、物力、财力等筹划和管理方面的问题。
二、学习运筹学的方法1、读懂教材上的文字;2、多练习做题，多动脑筋思考；3、作业8次;4、考试;5、EXCEL操作与手动操作结合.二、学生练习（20分钟）三、课堂小结（5分钟）《线性规划及单纯形法》（2课时)【教学流程图】运筹学运筹学与线性规划的基本概念线性规划(线性规划的标准型目标函数约束条件的右端常数约束条件为不等式本课主要采用任务驱动和程序式思维相结合的教学方法,过程当中辅以案例讲解、启发提问、自主学习和协作学习等方式。
运筹学基础及应用第五版胡运权第一章
问题的提出 某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2、1、4、0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2、2、0、4h。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12h，又知每生产一件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品Ⅱ企业能获得3元利润，问企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大。
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
运筹学(第5版)-2024鲜版
决策变量
表示决策者可以控制的变 量，通常是连续的或离散 的。
8
线性规划问题的图解法
可行域
满足所有约束条件的决策 变量的集合，通常表示为 一个多边形区域。
2024/3/28
目标函数等值线
表示目标函数值相等的点 的集合，通常是一组平行 线。
最优解
使目标函数达到最优值的 决策变量的取值，通常位 于可行域的某个顶点上。
定期订货模型
按固定的时间间隔进行订货，订货量根据库存 水平确定。
29
随机型存储模型
单周期随机存储模型
适用于生命周期短、需求不确定的商 品，如时尚商品、易腐商品等。目标 是确定最优订货量以最大化期望利润。
多周期随机存储模型
适用于需求率随机波动、可以多次订货 的情况。通过动态规划等方法求解最优 策略。
将物品或资源保存在某个地方， 以备将来使用或销售。
由于存储不足而导致的生产中断、 销售损失等费用。
28
确定型存储模型
经济订货批量模型（EOQ）
适用于需求率恒定、不允许缺货、一次订货量 无限制的情况，通过平衡存储成本和订货成本 来确定最优订货批量。
2024/3/28
经济生产批量模型（EPQ）
适用于生产环境，考虑生产批量和存储成本之间的关 系，以确定最优生产批量。
分枝定界法的优缺点 优点是可以求得全局最优解，缺点是计算量较大，适用于 中小规模问题。
14
割平面法
2024/3/28
割平面法的基本思想
通过添加割平面来切割原问题的可行域，使得非整数解被排除在可行域之外，从而逐步逼近 整数最优解。
割平面法的步骤
首先求解原问题的线性规划松弛问题，得到一个非整数最优解。然后构造一个割平面，将非 整数最优解切割掉，再次求解新的线性规划问题。重复以上步骤直到得到整数最优解。
运筹学(胡运权)第五版课后答案,运筹作业
47页1.1b用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解47页1.1d无界解1.2（b）约束方程的系数矩阵A= 1 2 3 4( )2 1 1 2P1 P2 P3 P4最优解A=(0 1/2 2 0)T和(0 0 1 1)T49页13题设Xij为第i月租j个月的面积minz=2800x11+2800x21+2800x31+2800x41+4500x12+4500x22+4500x32+6000x13+6000x23+7300x14s.t.x11+x12+x13+x14≥15x12+x13+x14+x21+x22+x23≥10x13+x14+x22+x23+x31+x32≥20x14+x23+x32+x41≥12Xij≥0用excel求解为：用LINDO求解：LP OPTIMUM FOUND A T STEP 3OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 118400.0VARIABLE V ALUE REDUCED COST Z 0.000000 1.000000X11 3.000000 0.000000X21 0.000000 2800.000000X31 8.000000 0.000000X41 0.000000 1100.000000X12 0.000000 1700.000000X22 0.000000 1700.000000X32 0.000000 0.000000X13 0.000000 400.000000X23 0.000000 1500.000000X14 12.000000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -2800.0000003) 2.000000 0.0000004) 0.000000 -2800.0000005) 0.000000 -1700.000000NO. ITERATIONS= 3答若使所费租借费用最小，需第一个月租一个月租期300平方米，租四个月租期1200平方米，第三个月租一个月租期800平方米，50页14题设a1，a2，a3, a4, a5分别为在A1, A2, B1, B2, B3加工的Ⅰ产品数量，b1，b2，b3分别为在A1, A2, B1加工的Ⅱ产品数量，c1为在A2，B2上加工的Ⅲ产品数量。