北师大版九年级数学上矩形的性质与判定
1.2矩形的性质与判定+课件+2023-2024学年北师大版数学九年级上册
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，
即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能
北师大版九年级数学上册1.2.1矩形的性质与判定课件(共23张PPT)
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
矩形的性质与判定第1课时课件北师大版九年级上册数学
合作探究
解:(1)证明:连接BE，由折叠图形的轴对称性可知，B'F＝
BF，
又∠B'FE＝∠BFE＝∠B'EF，∴B'E＝B'F，从而可得B'E
＝BF.
合作探究
(2)第一种关系:a2＋b2＝c2.证明:由折叠可知BE＝B'E，由
(1)知B'E＝BF＝c，∴BE＝c.在△ABE中，∠A＝90°，∴AE2
∴矩形ABCD的周长等于28.
合作探究
变式训练
如图，在矩形ABCD中，AF＝DE.求证:BE＝CF.
证明:∵AF＝DE，∴AE＝DF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∴△BAE≌△CDF，∴BE＝CF.
合作探究
如图，把矩形ABCD沿EF翻折，若∠1＝50°，则
∠AEF等于(
B )
A.110°
B.115°
C.120°
D.130°
合作探究
变式训练
如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在
边AD上的点B'处，点A落在点A'处.
(1)求证:B'E＝BF.
(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a、b、c之间有何等
量关系，并给予证明.
(3)四边形B'FBE是菱形吗？为什么？
＋AB2＝BE2.∵AE＝a，AB＝b，∴a2＋b2＝c2.
第二种关系: a＋b＞c.证明:由折叠可知BE＝B'E.由(1)知
B'E＝BF＝c，在△ABE中，AE＋AB＞BE，∴a＋b＞c.
(3)是.由(1)(2)可知B'F＝BF＝B'E＝BE，∴四边形B'FBE
1.2.2 矩形的性质与判定(课件)九年级数学上册(北师大版)
1.矩形的判定方法：
（1）矩形的判定与性质是互逆定理；
（2）判定矩形的常见思路如下：
四边形 对 角 线
有三个角是直角 矩形 互 相 有一个角是 平 直角 分
平行四边形
对角线相等
情境&导入 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形.
平行四边形
有一个角是直角
矩形
性质 矩形
边
角
矩形的对边 矩形的四个角 平行且相等. 都是直角.
对角线 矩形的两条对角线 相等且互相平分.
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那 么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.求证：□ABCD是矩形. A
B
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC=∠DCB.
D
C
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
D
∴OA = OC,OB = OD.
O
又∵△ABO 是等边三角形，
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
B
C
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）.
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
矩形的性质与判定课件北师大版数学九年级上册
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
由此得到：
已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的一个夹角为60°，求矩形的各边长.
1.
2. 如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质 说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于 斜边的一半.
例
由于AD∥BC，因此EF⊥AD. 同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.
因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
图2-44
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.
O
过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC ，AD相交于点E，F.
我们来进行证明.
在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，
因此 △ABC≌△DCB. (SSS)
从而 ∠ABC=∠DCB.
又∠ABC+∠DCB =180°，
于是 ∠ABC=90°.
所以 □ABCD是矩形.
图2-47
对角线相等的平行四边形是矩形.
由此得到矩形的判定定理：
对角线相等的四边形是矩形吗？
北师大版九年级数学上册.2矩形的性质与判定课件
自我诊断
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（C）
A 对角线相等
B 对角线垂直
C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等
2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是 5
cm
3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD
分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形
九年级上册
1.2.2 矩形的性质与判定
复习回顾
四边形
两组对边 分别平行
平行 四边形
一个角 是直角
∟
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
边 矩形对边平行且相等；
A
D
O
角 矩形的四个角都是直角；
B
C
对角线 矩形的对角线相等且平分；
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
情境一：工人师傅为了检验两组对 边相等的四边形窗框是否成矩形， 一种方法是量一量这个四边形的两 条对角线长度，如果对角线长相等， 则窗框一定是矩形，你知道为什么 吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
情境一：李芳同学有“边——直角、 边——直角、边——直角、边”这 样四步，画出了一个四边形，她说 这就是一个矩形，她的判断对吗？ 为什么？
ABCD是（ C ） E
A 菱形 B 平行四边形 C 矩形 D 不能确定
AP F
B
D
M
C
N
Q
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
作业
完成教材和 练习册中的练习 题。
北师大版九年级上册数学课件矩形的性质与判定
复 习
矩
角
边
对角线 对称性
形
性 四个角都 对边平行 互相平分 是轴对称
与 质 是直角 且相等 且相等
图形
回
顾 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∵∠ACB=90°AD = BD
1
∴CD = AB
2
A D
C
B
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形
并求出对角线的长。
A
D
△AOB等边三角形
对角线的长是6cm B
O C
练习
已知平行四边形ABCD的对角线AC 和BD相交于点O，△AOB是等边三角 形，AB＝ 4 cm．求这个平行四边形 的面积. （分小组交流结果）
答案：16 3cm2
A
你能在四边形的基础上, 从下列条件中选三个,得到矩 形吗?你找到了多少个答案？ B
矩
形
例如：
A
D
的
判
B
C
定
ABCD
AC = BD
ABCD是矩形
判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形
例如：
A
D
B ∠A= ∠B= ∠C=90°
C 四边形ABCD是矩形
判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形
已知：在
ABCD 中，AC = BD。
A
D
求证：
ABCD 是矩形。
B
C
证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB ， ∴∠ABC = ∠DCB。 ∵AB∥CD， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°， ∴ ∠ABC = 90°， ∴ ABCD是矩形。
北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定(第2课时矩形的判定)课件(共26张)
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )
1.2矩形的性质与判定+课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册
2．(2023·呼和浩特市中考)如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直
平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为
( A )
A．2 3
B．3
C．2 5
D．3 2
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．有一点P从点B沿着
BD往点D移动，若过点P作AB的垂线交AB于点E，过点P作AD的垂线交
证 明 ： ∵∠ABO ＝ ∠DCO ＝ 90° ， OB ＝
OC，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC．
∴OA＝OD．
∵点E，F分别是AO，DO的中点，
1
1
∴OE＝ OA，OF＝ OD．
2
2
∴OE＝OF．
2．如图，AD和BC相交于点O，∠ABO
＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E，F分别是
AO，DO的中点．
2．如图，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量
湖泊两侧C，M两点间的距离，若测得AM的长为2.5 km，则M，C两点
间的距离为
( A )
A．2.5 km
B．3 km
C．4.5 km
D．5 km
3．若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角
18
三角形的面积是______．
下列结论一定正确的是
( C )
A．AC平分∠BAD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．AC⊥BD
【变式1】矩形的两边长分别为6 cm和8 cm，则它的对角线长为
10
_____cm．
知识点2 直角三角形斜边上的中线性质
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中
北师大版九年级数学课件-矩形的性质与判定
第2節 矩形的性質與判定(二）
知識回顧
矩形的定義 有一個角是直角的平行四邊形.
平行四邊形 一個角是直角
矩形
矩邊
矩形的對邊平行且相等.
形
的 角 矩形的四個角都是直角.
性
質 對角線 矩形的兩條對角線相等
且互相平分.
情境一
如圖，在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡 皮筋分別套在兩個相對的頂點上，拉動一對不相 鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發生什麼變化？
有三個角是直角的四邊形是矩形嗎?
已知:如圖,在四邊形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.
求證:四邊形ABCD是矩形.
A
D
證明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, B
C
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴四邊形ABCD是矩形.
矩形判定方法二
問題（1）:
隨著的變化兩條對角線的長度將發生
怎樣的變化？
問題（2）: 當兩條對角線的長度相等時平行四邊形有
什麼特徵？由此你能得到一個怎樣的猜想？
猜想： 對角線相等的平行四邊形是矩形.
對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？
已知:四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD.
求證:四邊形ABCD是矩形. A
D
證明：
有三個角是直角的四邊形是矩形
A
D
B
∠A=∠B=∠C=90°
C
四邊形ABCD 是矩形
議一議：
1. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎 麼判斷一個四邊形是平行四邊形呢？
2. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎 麼判斷一個四邊形是菱形呢？
【北师大版】数学九年级上册.1矩形的性质与判定
四、巩固练习
4.如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，
OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的
D 长为（ ）
A. 5
B. 4
C. __34_ 2
D. 34
四、巩固练习
5.已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相 交于点O，过点D作DE∥AC交BC延长线于点E. 求证：BD=DE.
平行四边形
轴对称 中心对称图形
边 对边平行且相等
角
对角相等
对角线
互相平分
矩形的特殊性质 轴对称图形 /
四个角都是直角 相等
探究直角三角形的性质
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,思考:
(1)BO是Rt△ABC中斜边AC上什么特殊线段?
(2)BO与AC有什么大小关系? A
D
O
B
C
猜想：BO 是Rt△ABC中斜边AC上的中线，
二、探索性质 (1)矩形具有平行四边形的所有性质，你能列举一些这 样的性质吗？
(2)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？
平行四边形
轴对称 中心对称图形
边 对边平行且相等
角
对角相等
对角线
互相平分
矩形特殊性质
二、探究矩形的性质 (1)矩形是轴对称图形吗？如果是,请指出它的对称轴. (2)矩形有什么特殊性质？
∴ △ABC ≌△DCB(SAS)
A
D
∴AC=BD
O
B
C
矩形的性质定理：
(1)矩形的四个角都是直角 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°
(2)矩形的对角线相等 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD
北师大版数学九年级上册1.2矩形的性质与判定课件
A
∵四边形ABCD是矩形，
ED
∴∠ABC=∠ADC=90°,
O
AD=BC=8cm，DC=AB=6cm.
∴AC AB2 BC2 62 82 10cm.
BF
C
∵折叠后点C与点A重合， ∴AC⊥EF,OC=12 AC=5cm.∴AE=EC.
四、随堂练习
5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使
在△AOE和△COF中，
A
∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF=
15 4
.
∴折痕EF= 15 15
44
15 cm . 2
折叠问题中会有 相等的边，相等 的角，中垂线.
BF
ED O
C
四、随堂练习
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个 动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F. 求PE+PF的值.
点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长.
设AE=EC=xcm. ∴ED=(8-x)cm.
A
ED
∵ED2+DC2=EC2,
∴(8-x)2+62=x2
∴x
25 . 4
∴OE EC2 OC2
25 2 52 15 .
4
4
O
BF
C
四、随堂练习
5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使 点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长.
AC=BD（矩形的对角线相等）.
B
C
北师大版九年级上册1.2矩形的性质与判定(教案)
在学生小组讨论环节，我对每个小组的讨论进行了引导和启发，但有时感觉自己的指导还不足以帮助学生解决问题。为了提高教学效果，我决定在课后查找更多相关资料，提升自己的专业素养，以便在下次教学中更好地引导学生。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是四边都相等且四个角都是直角的平行四边形。它在日常生活和建筑、设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析矩形桌面，了解矩形的性质如何帮助我们计算面积、设计布局等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调矩形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如矩形的推理过程和判定方法的灵活运用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
2.教学难点
-矩形性质的推理过程：学生需要通过观察、猜想、证明的过程，理解矩形性质的逻辑推理。
-矩形判定方法的灵活运用：学生需能够根据不同情况选择合适的判定方法，这对于部分学生来说可能存在难度。
-矩形性质与实际问题的结合：将矩形性质应用于解决实际问题时，学生可能会感到困惑，如何将抽象的几何知识应用到具体情境中。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了矩形的基本概念、性质与判定方法，以及它在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对矩形知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.2 矩形的性质与判定(第二课时 矩形的判定)(课件)九年级数学上册(北师大版)
D
几何语言： ∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形。
B
C
课堂总结
定义法： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩
形
的
判
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
定
定理：
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
课堂练习
1 检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ） A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平分 C．测量门框的三个角，是否都是直角 D．测量两条对角线，是否互相垂直
课堂练习
7 在□ ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝ BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形；
课堂练习
4．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B
B．∠A=∠C
C．AC=BD
D．AB⊥BC
【详解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行 四边形为矩形，正确； B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误； C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确； D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确， 故选B．
课堂练习
2．如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
1.2.3 矩形的性质与判定(第3课时)(课件)-2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
∴四边形 ADCE 为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
（2）解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下：
由（1）知，四边形ADCE为矩形，
则AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
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例题&解析
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.
∴
BD
∥= AE,
则
CD
∥ =
AE．
A
B
∴四边形 ADCE 为平行四边形．
又∵∠ADC ＝ 90°,
∴四边形 ADCE 为矩形．
与全等三角形的结合
矩形的性质与 判定的综合
与平面直角坐标系的结合
折叠问题
小结&反思
第一章 特殊平行四边形
2.3 矩形的性质与判定
北师大版九年级数学上册
学习&目标
1.掌握矩形的性质及判定方法 2.会运用矩形的性质及判定方法进行计算和证明（重点） 3.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用（难点）
情境&导入
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形. 矩形判定定理 对角线相等的平行四边形是矩形. 矩形判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形.
探索&交流
1 矩形的性质与判定综合运用 — 例1.如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已知∠AOD = 120°，AB = 2.5cm，则∠DAO = __3_0_°__，AC=___5___cm，
A
D
O
B
C
例题欣赏 ☞
例题&解析
例2.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE ⊥BD，垂足为E，ED=3BE. 求AE的长.
北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
北师大版九年级上册数学矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。
2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。
【练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )A．30° B．° C．15° D．10°3第4题第5题第6题第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF ＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25° C．35° D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
北师大数学九年级上册第一章矩形的性质与判定
1.2矩形的性质与判定知识精讲一．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．二．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有三．矩形的判定判断一个四边形是否为矩形时，需要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上四．直角三角形的性质定理证明过程：如图，矩形ABCD中AO=CO=BO=DO=12AC=12BD在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线则有：AO=12 BD逆定理证明过程：边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补互相平分非轴对称矩形对边平行且相等四个角为直角互相平分且相等轴对称四边形平行四边形角有三个角是直角的四边形是矩形（判定定理）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）对角线/ 对角线相等的平行四边形是矩形（判定定理）斜边中线定理直角三角形斜边中线等于斜边的一半逆定理如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边所对的角为直角（不可直接使用，需证明）OCD已知：在ΔABC 中，BO 是边AC 上的中线，且BO=12AC 求证： ΔABC 是直角三角形 证明：延长BO 到D ，使DO=BO =12AC ，连接AD ，CD 。
∵BO=DO ,AO=CO∴四边形ABCD 是平行四边形 BO=12AC ＝12BD ∴AC ＝BD∴四边形ABCD 是矩形 ∴∠ACB =90°∴ΔABC 是直角三角形 五．思路点拨 矩形ABCD 中，六．易错点1．矩形的对角线相等，不一定互相垂直，如图1 2. 对角线相等的不一定是矩形，如等腰梯形，如图2 3．四边形两个角是直角，不一定是矩形，如图3图1 图2 图34.判断一个四边形是否为矩形的时候，需要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上三点剖析一．考点：1．性质；2．判定；3．直角三角形的性质．ABCDDCBA4个直角三角形Rt △ADC ≌Rt △BCD ≌ Rt △DAB ≌Rt △CBA （两两全等）4个等腰三角形△ADO ≌△CBO △DOC ≌△AOB （两组全等）对角线将矩形面积四等分S △ADO = S △COB = S △DOC =S △AOB过对角线交点的直线将矩形面积平分S AEFB =S EDCF 矩形的问题可以转化为（1）内角均为直角，与勾股定理结合（2）利用矩形的性质，与等腰三角形、全等三角形结合，求线段长度或角度 O二．重难点：矩形的性质；矩形的判定；直角三角形斜边中线等于斜边的一半．三．易错点：1．矩形的对角线大小相等，不一定互相垂直． 2．四边形两个角是直角，不一定是矩形．性质例题1、 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，4cm AC =，120AOD ∠︒＝，则BC 的长为（ ）A.43B.4C.23D.2 例题2、 如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，则EF 的最小值为（ ）A.2B.115C.125D.52例题3、 如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为____例题4、 如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在平面上的F 点处，DF 交BC 于点E ． （1）求证：△DCE △△BFE ；（2）若CD=2，△ADB=30°，求BE 的长．随练1、 如图，矩形的两条对角线所夹锐角为60︒，两条对角线的长度的和为20cm ，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）．ABC D OA.10cmB.8cmC.6cmD.5cm随练2、如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若△ABE是等边三角形，则DCEABESS=____．随练3、如图，四边形ABCD的对角线AC△BD，垂足为O，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．随练4、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A.10B.12C.16D.18判定例题1、连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所构成的四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形例题2、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE=AB，联结ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是（）A.AC=CDB.AB=ADC.AD=AED.BC=CE．例题3、如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点；（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．A DB CO例题4、 已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN △AB ，DN 交AC 于点M ，MA=MC ． ①求证：CD=AN ；②若△AMD=2△MCD ，求证：四边形ADCN 是矩形．随练1、 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，已知下列6个条件：AB DC ①∥；AB DC =②；AC BD =③；90ABC ∠=︒④；OA OC =⑤；OB OD =⑥． 则不能使四边形ABCD 成为矩形的是（ ）A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥ 随练2、 矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝6，点E 在线段AB 上．点F 在线段AD 上 （1）沿EF 折叠，使A 落在CD 边上的G 处（如图），若DG ＝3，求AF 的长；求AE 的长； （2）若按EF 折叠后，点A 落在矩形ABCD 的CD 边上，请直接写出AF 的范围．随练3、 如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若AB=DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．直角三角形斜边中线等于斜边的一半例题1、 如图，在△ABC 中，BF 平分△ABC ，AF △BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为（ ）A.2B.3C.4D.5例题2、 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，D 在CB 上，E 为AB 之中点，AD 、CE 相交于F ，且AD DB =．若20B ∠=︒，则DFE ∠=（ ）A.40︒B.50︒C.60︒D.70︒随练1、 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌；（2）PAE PBF ∠=∠．课后习题1、 下列关于矩形的说法中正确的是（ ） A.对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线相等且互相平分 C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.矩形的对角线互相垂直且平分2、 如图，O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若BC=8，OB=5，则OM 的长为（ ）A.1B.2C.3D.43、 如图所示，矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为（ ）PFEDC BAA.cmB.cmC.cmD.8cm4、如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（）A.3B.23C.3D.335、如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，点D为边CB上动点，以AD为边在AD右侧作等边三角形ADE，连BE，取BE的中点P．当点D从点C出发沿CB方向向点B运动时，点P的运动路径长为___________6、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是____cm2．7、已知：在△ABC中，AB=AC，若将△ABC顺时针旋转180°，得到△FEC．（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由；（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．8、已知：如图，在ABCD□中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：ABE FCE△≌△；（2）若AF AD=，求证：四边形ABFC是矩形．9、如图，在长方形ABCD中，AC是对角线，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90︒到长方形GBEF位置，H是EG的中点，若6AB=，8BC=，则线段CH的长为（）AB CDEFA.C.HGFEDCBA。
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2
2
∴OA=OD.∵∠AOD=120°，
ODA = OAD = 1 (180 -120) = 30. 2
又∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角），
∴BD=2AB=2×2.5=5.
• 归纳总结矩形的定义，性质定理. • 归纳总结直角三角形的性质定理. • 掌握几种证明线段相等的辅助线的作法.
1.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC和BD相交 于点O，AB=6，OA=4，求BD与AD的长.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .
2.明确定理： 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
2
2
思路：（3）利用中位线：
E
取AB的中点E，连接OE，
由中位线定理得OE∥BC，
所以OE⊥AB，
从而OE垂直平分AB，
所以OA=OB.
4. 直角三角形的性质小结： （1）直角三角形的两个锐角互余. （2）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和
等于斜边的平方. （3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边
观察下面的图片，想一想：这里面应用了平行 四边形的什么性质？
1. 不管怎么拉动，它还是一个平行四边形吗？为什么？ 2. 当有一个角是直角的时候，这是什么图形呢？
一个角是直角
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）.
互动探究一：探索பைடு நூலகம்形的性质定理
1.动手试验，发现问题： 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分 别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对 不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.
得到BC=AD，∠C=∠CAD，
得AD∥BC，所以∠BAD=∠ABC=90°，
从而可得△DAB≌△CBA（SAS），
所以AC=BD，BO 1 BD 1 AC.
2
2
D
思路：（2）造矩形：
补全矩形ABCD.
点O为对角线AC和BD的交点，
由矩形的性质2得OA=OC，OB=OD，AC=BD，
从而得到AO=BO=CO=DO = 1 AC = 1 BD.
解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=2OA=8（矩形的对角线互相平分） ， BD=AC=8（矩形的对角线相等）. ∵AB=6， A∴D在=RtB△DA2B- DA中B2，= 82 - 62 = 2 7.
2. 如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
F，G分别为BC，DE的中点，若ED=10，则FG的长为（ A）
2. 矩形有哪些性质？
（1）边：两组对边分别平行且相等； （2）角：四个角都是直角； （3）对角线：相等且互相平分.
建立模型，探索新知
互动探究一：探索矩形的判定定理1 1.动手试验，发现问题：
如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不 相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样 的变化？
A.2 14
B. 9
C. 10
D.无法确定
复习旧知，温故知新
1.什么样的四边形是平行四边形？它有哪些判定方法 （？1）边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
3.定理证明 已：知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角
线AC与BD相交于点O.
求证：（1）∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°；
（2）AC=BD. 证明：（2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD（矩形的对边相等）. 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB， ∴AC=DB.
北师大版九年级数学上 矩形的性质与判定
2020/8/20
什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？
判定: （1）两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形. （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
性质： （1）边：两组对边分别平行，两组对边分别相等. （2）角：两组对角分别相等. （3）对角线：互相平分.
3.定理证明 已：知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角
线AC与BD相交于点O. 求证：（1）∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°； （2）AC=BD.
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA，∠DAB=∠BCD（矩形的对角相等） ， AB∥CD（矩形的对边平行）.∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°.
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎 样变化的？
（2）当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时 它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线 的长度有什么关系？
2. 明确定理：
矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角. 矩形性质定理2 矩形的对角线相等. 推理格式： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
4. 矩形性质小结：
（1）边：两组对边分别平行且相等； （2）角：四个角都是直角； （3）对角线：相等且互相平分.
5.想一想：矩形是轴对称图形吗？ 如果是，它有几条对称轴？ 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴.
互动探究二：探索直角三角形的性质定理 1.议一议：
如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O ， 那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与 AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
的一半. （4）直角三角形斜边中线等于斜边的一半.
互动探究三：矩形、直角三角形性质定理的应用
例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形的对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形对角线相等），
OA = OC = 1 AC，OB = OD = 1 BD（矩形的对角线互相平分）.