七年级数学竞赛专家讲座：第1讲 和绝对值有关的问题
七年级数学绝对值2省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
思索:足球比赛中对所用旳足球有严格旳要求， 下面是5个足球旳质量检测成果（用正数表达超 出要求质量旳克数，用负数表达不足要求质量 旳克数）-20 +10 +12 -8 -11请指 出哪个足球旳质量好某些，并用绝对值旳知识 加以阐明。
答：记为-8旳足球质量好某些。 因为│－20│=20,│+10│=10,│+12│=12,
1．下列说法正确旳是（ ） A．一种数旳绝对值一定是正数 B．一种数旳绝对值一定是负数 C．一种数旳绝对值一定不是负数 D．一种数旳绝对值旳相反数一定是负数
2．假如一种数旳绝对值等于它旳相反数，那么这个数（ ）
A．必为正数
B．必为负数
C．一定不是正数
D．一定不是负数
3．下列语句正确旳个数有（ ） ①若a=b，则|a|=|b|；②若a= –b，则|a|=|b|； ③若|a|=|b|，则a=b；④若|a|=b，则a=b； ⑤若|a|= –b，则a= –b；⑥若|a|=b，则a=±b。
一种数a旳绝对值就是数轴上 表达这个数旳点与原点之间旳距 离。一种数旳绝对值应该怎么样 去记呢？
一种数a旳绝对值用 |a| 表达。 问：像-5、4旳绝对值应该怎样记呢？
│－５│＝５ A
│４│＝４ B
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-5旳绝对值应该记作│－5︱=？
4旳绝对值应该记作│4︱=？
即+7旳绝值是 ,记作 ；
2.表达2.8旳点与原点旳距离是 ，
即2.8旳绝对值是 ,记作 ；
3.表达0旳点与原点旳距离是
，
即0旳绝对值是
,记作 ；
4. 表达-5旳点与原点旳距离是 ，
即-5旳绝对值是 ,记作 ；
绝对值竞赛讲义
绝对值竞赛讲义绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b ±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p ≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．。
初一数学竞赛讲座有理数的有关知识
初一数学比赛讲座有理数的相关知识一、知识重点1、绝对值，假如 x0 x 的绝对值 x 的意义以下：x =x ，假如 xx 是一个非负数，当且仅当x=0 时， x =0绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得： a b 表示数轴上 a 点到 b 点的距离。
2、倒数1 除以一个数 (零除外 )的商，叫做这个数的倒数。
假如两个数互为倒数，那么这两个数的积等于 1。
3、相反数绝对值同样而符号相反的两个数互为相反数。
两个互为相反数的数的和等于0。
二、例题精讲例 1 化简2x 1 x 3 x 6剖析：由 2x+1=0 、 x-3=0 、 x-6=0 求出零点，而后用零点分段法将绝对值去掉，进而达到化简的目的。
解：由 2x+1=0 、x-3=0 、 x-6=0 分别求得： x= - 1/2， x=3， x=6当 x1 时，原式 = - (2x+1)+(x-3)- (x-6)= - 2x+22当1 3时，原式 = (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4x2当 3 x 6 时，原式 = (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10 当 x ≥ 6 时，原式 = (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-22x， 当 x1 时22，当1 x时2x 423∴原式 =3x，当 时106，当 x时2x - 26评注：用零点分段法， 经过零点分段将绝对值去掉， 进而化简式子， 解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。
例 2 已知2x 11x5 3x，求 x 1 x3 的最大值和最小值。
( 第六届迎春杯决赛试题 )32剖析：先解不等式，求出 x 的范围，而后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。
解：解不等式2x 11x 5 3x 得： x732 11-37 111x 1 x 3 的几何意义是x 到 1 的距离与 x 到 -3 的距离的差，从上图中能够看出：当 x ≤- 3 时这差取得最大值 4，因 x7 ，则当 x7 时这差获得最小值 33.11 1111评注： 1、此题是采纳数形联合的思想，用绝对值的几何意义来解题。
武汉七年级数学培优讲义——第1讲 绝对值(word版)
第1讲 绝对值一、知识要点绝对值是是初中代数中的一个基本概念，是学习有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解决代数式化简求值、解方程（组）、解不等式（组）等问题中有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面入手：1．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质①非负性：|a |≥0；②|a |＝|－a |；③|ab |＝|a |·|b |；④|ba |＝b a （b ≠0）；⑤|a |2＝|a 2|＝a 2． 3．绝对值的几何意义 （从数轴上看）|a |指的是数轴上表示数a 的点到原点的距离（长度，非负）；|a －b |指的是表示数a 、数b 的两点间的距离．二、基础能力测试1．小明家去年收入为20 000元记作＋20 000元，那么支出15 000元记作__________；如果向西100米记作－100米，那么400米表示__________，0米表示_________．2．_____和____统称有理数；正整数、零、_________统称整数，_________和________统称分数．3．把－722，π，∙3.0，－21，＋5，－6.3，0，－254，6.9，－7，210，0.031，－10%，填在相应的括号内． 正有理数集合：{ …}；整数集合：{ …}； 非负有理数集合：{ …}；负分数集合：{ …}；4．规定了_______、________和________的直线叫做数轴．5．把－2，321，0，－421，1，－31，用“＜”号连接起来：__________________． 6．有理数中，最大的负整数是________，最小的正整数是__________．7．－5.4的相反数是_________，________和3.5互为相反数；－(－2)＝_______，－[＋(－31)]＝_______． 8．（1）若2x ＋1是－9的相反数，在x ＝_______．（2）已知数轴上点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数a ，b （a ＜b ），并且A 、B 两点间的距离是4.8，则a ＝_______，b ＝________．9．一般地，在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的________，记作|a |．若a 是正数，则|a |＝______，若a 是负数，则|a |＝_______，|0|＝________，若|x |＝6，则x ＝______．10．若|a |＝a ，则a ______0；若|a |＝－a ，则a _______0．11．绝对值不大于3的整数有______________________．三、例题解析【例1】填空：（1）已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为负倒数，x 的绝对值是2，则x 2－(a ＋b ＋cd )x ＋(a ＋b )99＋(－cd )100＝____________．（2）若a ＞0，b ＜0，且a ＜|b |，用“＜”号连接比较a ，b ，－a ，－b _____________．（3）已知|a |＝5，|b |＝3，且|a －b |＝b －a ，则a ＋b ＝__________．【例2】（1）计算：|20161－20151|＋|20171－20161|－|20171－20151|＝_________． （2）已知a －|a |＝0，b ＋|b |＝0，且|a |＜|b |，则|a ＋b |＋|－a ＋b |－|a －b |－|b －|b |＝_________．（3）若a 、b 、c 均不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求a a ＋b b ＋cb a ＝___________．〖练〗如图，有理数a ＜b ＜0＜c ，化简|c －b |＋|a －c |＋|b ＋c |＝_________．【例3】将1，2，3，…，100这100个自然数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式21(|a －b |＋a ＋b )中进行计算，求出其结果，50组都代进后可求得50个值，求这50个值的和的最大值．【例4】（1）化简：|x ＋5|＋|2x －3|．（2）化简：|3＋|x －1||．（3）a ，b 为有理数，且|a |＞0，方程||x －a |－b |＝3有三个不相等的解，求b ．〖练〗（1）①已知a＝1，|b|＝2，若a＞b，求b的值；②已知a＝2，|b|＝1，若a＞b，求b的值；（2）①已知|a|＝1，|b|＝2，若a＞b，求a、b的值；②已知|a|＝2，|b|＝1，若a＞b，求a、b的值；（3）①已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，若a＞b＞c，求a、b、c的值；②已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，若a＞b＞c，求a、b、c的值．【例5】（1）已知|ab＋2|与|a＋1|互为相反数，则a＋b的值为___________．（2）已知(a＋1)2＋|b－2|＝1－c，且c为正整数，求a＋b－c．（3）已知有理数x、y满足(y－2)2＋|x|＝x，且|x－2y＋5|＝2，求xy．【例6】（1）当x＝_____时，|x－2|有最小值；当x＝_____时，3－|x－2|有最大值，最大值为_______．（2）|x＋2|＋|x－3|的最小值为___________，此时x需满足的条件为_____________．（3）已知|x＋2|＋|1－x|＝10－|y－5|－|2＋y|，求x＋y的最大值和最小值．〖练〗（1）当x取什么值时，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|有最小值，并求出这个最小值．（2）试求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－2017|的最小值．（3）公共汽车运营线路AD段上有A、B、C、D四个汽车站，如图，现在要在AD段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好．四、反馈练习一、填空题1．（1）如果温度上升10℃记作＋10℃，那么下降5℃记作____________．（2）高出正常水位0.5米记作＋0.5米，则低于正常水位0.3米记作________，正常水位记作________．（3）负债2000元，可以说成拥有_____________元．（4）一潜艇所在高度是－80米，一条鲨鱼在潜艇上方30米处，则鲨鱼所在的高度是____米．2．2002，－3.1416，310，0，190%，0.2，1，＋3.2，－5%，34中 属正数集合的是_______________________，属负数集合的是______________________，属整数集合的是_______________________，属分数集合的是______________________，属正整数集合的是_____________________，属负分数集合是______________________，属有理数集合的是______________________．3．点A 表示－3，从点A 出发，沿数轴移动4个单位长度到达B 点，则点B 表示的数是_______．4．与原点距离5个单位长度的点共有__________个，它们分别可以表示有理数______________________．5．一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离是6，则这个数是_____．6．化简－{＋[－(－1)]}＝___________，|－(5)|＝__________，－|－6.7|＝_______．7．绝对值不大于5.5的整数有______________________．8．已知|x |＞|y |，x ＜0，y ＞0，把x ，y ，－x ，－y 从小到大排列，可得__________．（用“＜”连接）9．已知|a |＝5，|b |＝3，且|a －b |＝b －a ，那么a ＋b ＝__________．10．已知|2a －1|＋|3b －2|＝0，则a ＝_______，b ＝_________．11．已知b 为正整数，且a ，b 满足|2a －4|＋b ＝1，则a b ＝___________．12．若a ＜0，ab ＜0，|a |＞|b |，则a ，b ，－a ，－b 的大小关系为______________；化简|a ＋b |＋|a －b |－|a |－|b |＝___________．二、解答题1．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值等于2，p 的绝对值是最小的数，求p 2000－cd ＋abcdb a ＋m 2的值．2．有理数a ，b ，c 均不为0，且a ＋b ＋c ＝0，设x ＝|c b a+＋a c b+＋b a c+|，试求：x 19＋2x ＋13的值．3．化简|x －1|－|3x －6|．4．将1，2，3，…，200这100个自然数任意分成100组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式21(|a －b |＋a ＋b )中进行计算，求出其结果，100组都代进后可求得100个值，求这100个值的和的最大值．。
七年级上学期数学奥赛绝对值有关的问题
绝对值有关的问题一、知识要点绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
二、知识运用典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b例2、（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？方法总结：例3、（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例4、化简|x+1|+|x-3|三、知识运用课堂训练1、已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号2、已知b b a b a 2=-++，在数轴上给出关于a 、b 的四种情况如图1-4所示，则成立的是 .(写出所有正确的序号)3、父亲是儿子现在年龄时，儿子已经10岁，当儿子是父亲现在年龄时，父亲将82岁，问父子相差几岁？课后训练 等级 1、若x 是有理数，分式21--x 的值为正整数，则x 的个数为_________________个 2、如图，数轴上线段MO （O 为原点）的七等分点A ，B ，C ，D ，E ，F 中，只有两点对应的数是整数，点M 对应的数10->m ,那么m 可以取的不同值有 个，m 的最小值是 .3、若b c b a -<<<<0，则=++-b c b a （ ）.A.b a +B.c a --C.c a +D.c a -4、已知23++-x x 的最小值为a ，23+--x x 的最大值为b ，则b a +=_____________。
2021年秋七年级数学竞赛专家讲座 第1讲 和绝对值有关的问题 (1)
第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一样地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也能够写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中包括分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：那么代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B．2c－a C．2a－2b D．b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一样的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必需先确信绝对值符号内各个数的正负性，再依照绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判定绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确信符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如下图：因此 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为咱们顺利化简摊平了道路。
尽管例题中没有给出数轴，但咱们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的双侧，两点之间的距离为8，求这两个数；假设数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻觅关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的双侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
初一数学竞赛讲座(一)——绝对值
初一数学竞赛讲座（一）——绝对值班级_______ 姓名___________ 座号________绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用．理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：1．脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点．脱去绝对值符号常用到相关法则、分论讨论、数形结合等知识方法．2．恰当地运用绝对值的几何意义 从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离；a b -表示数a 、数b 的两点间的距离．3．灵活运用绝对值的基本性质 ①0a ≥; ②222a a a ==; ③ab a b =⋅; ④(0)a a b b b=≠; ⑤a b a b ++≤； ⑥a b a b --≥例1 (1)，设a 、b 是有理数，则9a b ++有最大值还是最小值？其值是多少？ (2) 8a b ---是有最大值还是最小值？其值是多少？解： (1) 因为a 、b 为有理数，所以0a b +≥，所以99a b ++≥，又当a +b = 0即a = – b 时，99a b ++=．所以9a b ++有最小值，其最小值为9．(2) 因为a 、b 为有理数，所以a b -≥0，所以88a b ----≤，而当0a b -=即a =b 时 88a b ---=-所以8a b ---有最大值，其最大值为 8-．例2 若0x ＜，化简23x x x x ---．解： 因为x ＜0,所以x –3＜0,从而,3(3)3x x x x x =--=--=-，33()3x x x x --=---=，2233x x x x x x -=--=-=-，因此，原式=33x x -=-． 例3 设0a ＜，且a x a≤，试化简12x x +--．解：因为a ＜0,a a =-,所以1a a a a ==--． a x a≤即x ≤－1， 所以，10,20x x +-≤＜，因此[]12(1)(2)x x x x +--=-+---=123x x --+-=- 例4 已知2020y x b x x b =-+-+--，其中020,20b b x ＜＜≤≤，那么y 的最小值 为 ．试一试 结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号．例5 式子a b ab a b ab++的所有可能的值有( ) ． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 试一试 根据a 、b 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键．例6 (1)已知220ab a -+-=， 求1111...(1)(1)(2)(2)(2006)(2006)ab a b a b a b ++++++++++的值． （2）设a 、b 、c 为整数，且|a – b | + |c – a | = 1，求|c – a | + |a – b | + |b – c |的值试一试 对于(1)，由非负数的性质先导出a 、b 的值；对于(2)写成两个非负整数的和的形式又有几种可能？这是解(2)的突破口．例7 阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道(0)0(0)x x x x x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩＞（=0）＜，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-，可令x +1=0和x －2=0，分别求10x +=和20x -=，分别求得1,2x x =-=(称-1，2分别为1x +与2x -得零点值)．在有理数范围内，零点值x =－1和x =2可将全体有理数分成不重复且不遗漏如下3种情况：(1)1x -＜；(2)12x -≤＜;(3)2x ≥ ． 从而化简代数式12x x ++-可分成3种情况：1． 当x ＜－1时，原式=(1)(2)21x x x -+--=-+；2． 当12x -≤＜时，原式=1(2)3x x +--=；3． 当x ≥2时，原式=21x -，即原式=21(1)3(12)21(2)x x x x x -+-⎧⎪-⎨⎪-⎩＜≤＜≥通过以上阅读，请你解决以下问题：(1) 分别求出2x +和4x -得零点值；(2) 化简代数式24x x ++-．(3) 求24x x ++-的最小值．例8 数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．解：由图可知a ＜0，b ＞0，而且由于a 点离原点的距离比b 点离远点的距离大，因此a +b ＜0．我们有a b b a b a a ++-+--=()()()a b b a b a a -++-+---=(2)a b b a b a --+-+--= b ．a 0b x。
北师版初一数学绝对值4省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
1．比较下列各组数旳大小： (1)－1和－5 (2)－ 和－2．7
做一做
（1）在数轴上表达下列各数，并比较它 们旳大小：-15，-3，-1，-5；
（2）求出（1）中各数旳绝对值，并比 较它们旳大小；
（3）你发觉了什么？
判断： (1)若一种数旳绝对值是 2 ， 则这个 数是2 。 (2)|5|＝|－5|。 (3)|－0.3|＝|0.3|。 (4)|3|＞0。 (5)|－1.4|＞0。 (6)有理数旳绝对值一定是正数。 (7)若a＝b，则|a|＝|b|。 (8)若|a|＝|b|，则a＝b。 (9)若|a|＝－a，则a必为负数。 (10)互为相反数旳两个数旳绝对值相等。
则|a| =________
3. 假如一种数旳绝对值等于3.25 ，则这个数是___
4、假如a 旳相反数是-0.74，那么|a| =______ 5. 假如|x-1|=2，则x=______．
Hale Waihona Puke 作业： 习题 2.3 1～7 试一试1～3
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透亮，柔软筋道，再浇上点陕西红彤彤旳油泼辣椒和多种调料，这就是一碗垂涎欲滴旳擀面皮。”听着这些勾引胃口旳话，几 种老乡旳馋虫被勾了出来，都“口水飞流三千尺”了。马启明又说：“你们懂得‘遥看瀑布挂前川’、‘飞流直下三千尺’是 什么意思？”大家愣愣地看着马启明，不懂得他又玩什么花招。“那是李白吃臊子面时，有感而发，是吃臊子面旳壮观场面！” 马启明哈哈大笑。“李白除了喝酒作诗，还对臊子面也感爱好？”“嗯。”马启明打开一瓶花开啤酒，泡沫不断地望上涌。有 一种老乡为冒出旳啤酒泡沫而感到惊奇，问道：“唉！你们做啤酒旳把啤酒泡沫流出来我倒不奇怪，奇怪旳是原先是怎么把这 些泡沫塞进瓶里去旳？”马启明楞了一下，神神秘秘地说：“就用嘴直接吹！”大家轰然大笑。伴随一瓶瓶啤酒下肚，乱七八 糟旳谈话也一股脑地端了出来。马启明面色酡红地问道，“为何在学校南方同学吃米饭时没有吃到小沙子小石子，而北方同学 却老是吃到小沙子小石子？”坐在马启明旁边旳江文轩解释道：“我们此前在学校时，也尤其奇怪为何南方旳同学吃米饭吃不 到小沙子和小石子，而北方旳同学却总是吃到小沙子小石子，就好像那些小沙子小石子专门欺负咱北方人。目前再一琢磨给琢 磨出来了，原来是南方旳同学习惯吃米饭，在西安那个地方每天吃馒头等面食，吃烦了，自然也尤其想吃米饭。可学校一种周 就供给一二次米饭。当懂得当日要供给米饭时，南方旳学生早早做好准备，一下课就以百米冲刺旳速度冲向食堂。我们学校旳 短跑冠军‘飞毛腿’就是那一次被体育老师发觉旳。难得吃一回米饭，又是费力‘抢’到旳，自然是迫不及待地狼吞虎咽，先 解了馋再说，那还顾得上细嚼慢咽。而北方旳同学吃米饭，只是想换换口味，细细品味，当然就能吃出沙子、石子来了。”江 文轩是马启明在饭桌上刚认识旳，在离马启明不远旳另一种镇上工作，在镇办集体企业护佑制药厂里面当技术员，祖籍宁夏。 旁边，坐着不显山、不露珠旳一位漂亮女生---李若兰，是江文轩旳未婚妻，也是和他同批从陕西招人过来旳，祖籍山东，随 她父母在新疆，和刘丽娟是正儿八经旳老乡，和江文轩是大学同班同学，目前也在护佑制药厂工作。马启明继续刨根问底地问 道：“我就纳闷了，在学校时吃米饭总有沙子石子，可目前在这吃旳米饭却历来没有沙子石子？”“真是这么，一样是米，这 边怎么一粒石子都吃不到？”几种老乡把筷子放下也讨论起来。看大家越来越来劲啦，江文轩也愈加来劲，侃侃而谈：“大米 收获时，大多数人习惯在公路上晾晒。此前公路旳质量远比不上目前旳质量，沙子、小石子到处都是，一扫就把沙子石子给扫 进去了，目前都不在公路上晒大米了。说到吃米饭，我给你们讲个笑话，是真实
初一数学讲义
第一讲 和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 . （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为四、小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
全国初中数学竞赛辅导(初1)_绝对值
第七讲初中数学竞赛中绝对值的应用（一）绝对值在计算中应用从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．因为这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．含绝对值的不等式的性质：(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；(3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．因为绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法实行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式实行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在实行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002，y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就能够分类讨论化简了。
七年级数学上册2.4绝对值与相反数绝对值化简全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
x3
4/9
类型三 已知未知数取值范围，利用定义直接化简
例3 已知有理数a,b,c在数轴上位置如图所表示，
试化简 a b b 1 a 1
解：由数轴分析： a b 0 1
且 a b 1
ab
a b 0 ，b 1 0 ，a 1 0
a b b 1 a 1
a b b 1 a 1
6/9
1、已知 1 x 5 ，化简 1 x x 5
；
2 、已知 a<b ,化简 b a 1 a b 5 。
3 、若|a|＋ |b－3| ＝0．则a ＝_____，b＝ _____.
4、 |x|=2,， |y|=3，求x+y= _____.
5、实数a,b,c在数轴上位置如图所表示，试化简 a a b c a b c
绝对值应用
1/9
绝对值几何定义 绝 对值，记作 a 。
数轴上表示数a点与原点距离叫做数a
a
ab
0
a
b
a
推广：数轴上数a与数b对应点之间距离，记作 a b 。
绝对值代数定义 一个正数绝对值等于它本身，负数绝对值
等于它相反数，0绝对值是0，
a
0
a, a 0
性质
假如 a a ，那么 a 0 ；
假如 a －a ，那么 a 0 。
2/9
类型一 利用绝对值，直接求数值
例1 （1）若|a|＝2，则a＝___________．
（2）若|x|＝|y|，且x＝－3，则y＝______．
（3）绝对值小于3全部整数为_____________________________．
（4）若|－x|＝－(－8)，则x＝__________．
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第一讲和绝对值有关的问题
一、知识结构框图：
数
二、绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
也可以写成：
()
()
() ||0
a a
a a
a a
⎧
⎪⎪
=⎨
⎪
-
⎪⎩
当为正数
当为0
当为负数
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c－a | －| b－c | 的值等于（A）A．－3a B．2c－a C．2a－2b D．b
解：| a | + | a+b | + | c－a | －| b－c |=－a－(a+b)+(c－a)+b－c=－3a
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++
的值（ C ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号
解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：
所以
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=，
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x <0，y >0，则 4y =8 ，所以y =2 ,x = －6
若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x >0，y <0，则 －4y =8 ，所以y =－2,x =6
（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若x 、y 在原点左侧，即 x <0，y <0，则 －2y =8 ，所以y =－4,x =－12
若x 、y 在原点右侧，即 x >0，y >0，则 2y =8 ，所以y =4,x =12
)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x
2010
20081861641421⨯++⨯+⨯+⨯
例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无穷多个
分析：这道题我们用整体的思想解决。
将x －2008看成一个整体，问题即转化为求方程
a a -=的解，
利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。
例5．（非负性）已知|ab －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．
()()()()()()
1111
112220072007ab a b a b a b ++++++++++ 分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab －2|=|a －1|=0，解得：a =1,b =2 于是()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++
200920082009
11200912008141313121212009
2008143132121=-=-++-+-+=⨯++⨯+⨯+=
在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，
如果题目变成求 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？
答：____相等 .
（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离
1)1(+=--x x 可以表示为
． 分析：点B 表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B 所在的位置。
那么点A 呢？因
为x 可以表示任意有理数，所以点A 可以位于数轴上的任意位置。
那么，如何求出A 与B 两点间的距离呢？
结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x <－1时，距离为－x －1, 当－1<x <0时，距离为x +1， 当x >0，距离为x +1
综上，我们得到A 与B 两点间的距离可以表示为1+x
（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 5 ，取得最小值时x 的取值范围为 －3≤x _≤2______.
分析：2-x 即x 与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x 与2之间的距离。
)3(3--=+x x 即x 与－3的差的绝对值，
它也可以表示数轴上x 与－3之间的距离。
如图，x 在数轴上的位置有三种可能：
图1 图2 图3
图2符合题意
（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 x <－4或x >－1
分析： 同理1+x 表示数轴上x 与－1之间的距离，4+x 表示数轴上x 与－4之间的距
离。
本题即求，当x 是什么数时x 与－1之间的距离加上x 与－4之间的距离会大于
3。
借助数轴，我们可以得到正确答案：x <－4或x >－1。
说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。
这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。
事实上，B A - 表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数B 的点之间的距离。
这是一
个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。
四、小结
1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性
2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用.。