微分几何 陈维桓 第四章讲稿.

目录

第四章曲面的第二基本形式 (50)

§ 4.1 第二基本形式 (50)

§ 4.2 法曲率 (52)

§ 4.3 Weingarten映射和主曲率 (55)

一、Gauss映射和Weingarten变换 (55)

二、主曲率和主方向 (55)

§ 4.4 主方向和主曲率的计算 (57)

一、Gauss曲率和平均曲率 (57)

二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵 (59)

三、第三基本形式 (61)

§ 4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开 (61)

§ 4.6 某些特殊曲面 (64)

一、Gauss曲率K为常数的旋转曲面 (65)

二、旋转极小曲面 (66)

第四章 曲面的第二基本形式

本章内容：第二基本形式，法曲率，Gauss 映射和Weingarten 变换，主方向与主曲率，Dupin 标形，某些特殊曲面

计划学时：12学时，含习题课3学时.

难点：主方向与主曲率

§ 4.1 第二基本形式

设:(,)S r r u v =为正则曲面，(,)n n u v =是单位法向量. 向量函数(,)r u v 的一阶微分为

u v dr r du r dv =+，

二阶微分为

()222222u v u v uu uv vv d r d r du r dv r d u r d v r du r dudv r dv =+=++++.

由于0dr n ⋅=，再微分一次，得2

d r n dr dn ⋅=-⋅.

定义 二次微分式 222II 2d r n dr dn Ldu Mdudv Ndv =⋅=-⋅=++ (1.6)

称为曲面S 的第二基本形式(second fundamental form)，其中

uu u u L r n r n =⋅=-⋅，uv u v v u M r n r n r n =⋅=-⋅=-⋅，vv v v N r n r n =⋅=-⋅ (1.4-5) 称为曲面S 的第二类基本量. 第二基本形式的几何意义：刻划了曲面偏离切平面的程度，也就是曲面的弯曲程度 由微分的形式不变性可知第二基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，而在改变定向的参数变换下会相差一个符号. 但是，在参数变换下第二类基本量,,L M N 一般都会改变.

第二基本形式与空间坐标系的选取无关.

对曲面:(,)S r r u v =作参数变换

(,),(,)u u u v v v u v == (1.7)

在新的参数下，

(,)n u v (,r u u v +∆(,)

r u v r ∆

u u v u v r r r u u ∂∂=+∂∂，v u v u v r r r v v ∂∂=+∂∂. 因此

(,)(,)u v u v u v u v u v u v r r r r r r u v v u u v ∂∂∂∂∂⎛⎫⨯=-⨯=⨯ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭

. (1.10) 当(,)0(,)u v u v ∂>∂时，n n =，从而II ,,II dr dn dr dn =-=-=；当(,)0(,)

u v u v ∂<∂时，n n =-，从而II ,,II dr dn dr dn =-==-. 在保持定向的参数变换下，第二类基本量有和第一类基本量相同的变化规律. 事实上，记参数变换(1.7)的Jacobi 矩阵为

u v u u u v v v J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则 ()()(),,,u v u u u v v v du dv du dv du dv J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪

⎝⎭

. (1.14) 从而

T II (,)(,)(,)II L M du L M du du L M du dv du dv J J du dv M N dv M N dv dv M N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭， 即有

T L M L M J J M N M N ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. (1.13)

例 求平面(,,0)r u v =和圆柱面()cos ,sin ,u u a a r a a v =的第二基本形式. 解. (1) 对平面，(1,0,0)(0,1,0)dr du dv =+，20d r =，所以II 0=.

(2) 对圆柱面，()sin ,cos ,0u u u a a r =-，()0,0,1v r =，()cos ,sin ,0u u u v a a n r r =⨯=. 因此 ()11sin ,cos ,0u u u a

a

a a dn du r du =-=， ()()211II u v u a a dr dn r du r dv r du du =-⋅=-+⋅=-. □ 定理1.1 正则曲面S 是平面(或平面的一部分)，当且仅当S 的第二基本形式II 0≡.

证明 “⇒”平面S 的单位法向量n 是常向量，故II 0dr dn =-⋅=.

“⇐” 由0u n n ⋅=，0u u n r L ⋅=-=，0u v n r M ⋅=-=得0u n =. 同理有0v n =. 所以0n n =是常向量. 于是0()0dr n d r n ⋅=⋅=. 故0r n C ⋅=. □

定理1.2正则曲面S 是球面(或球面的一部分)，当且仅当S 的第二基本形式是第一基本形式的非零倍数：II I λ≡，其中(,)u v λλ=是非零函数. 证明 “⇒”不妨设球心为原点，半径为a . 则22r a =，0r dr ⋅=，1a n r =. 从而

211II I a a dr dn dr =-⋅=-=-.

“⇐”由条件，L E λ=，M F λ=，N G λ=(因为,du dv 是独立的变量). 所以 ()0u u u n r r L E λλ+⋅=-+=，()0u u v n r r M F λλ+⋅=-+=.

又()0u u n r n λ+⋅=. 故

u u n r λ=-. (1)