初二数学一元二次方程典型应用题
初二数学上册一元二次方程综合练习题
初二数学上册一元二次方程综合练习题随着我们在初二数学学习中的深入，我们逐渐接触到了一元二次方程这一重要的内容。
一元二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c都是已知的实数，而x则是未知数。
在这篇文章中，我将为大家提供一些一元二次方程的综合练习题，帮助大家熟练掌握这一概念。
练习题一：1. 解方程：x^2 + 5x + 6 = 02. 某企业出售一种产品，每件成本为100元，现有存货1000件。
已知按照市场需求，每降价10%就可以增加销售量20%。
如果降价后的销售量最高，求降价后的单位利润。
3. 解方程：3x^2 + 2x - 1 = 04. 若一个正方形的边长减去它的面积等于4，求这个正方形的边长。
练习题二：1. 解方程：2x^2 - 11x + 12 = 02. 解方程组：x + y = 7x^2 + y^2 = 373. 某商品在一次折扣活动中，原价为x元，根据购买数量的不同，享受不同的折扣：购买数量超过30件，可以打8折；购买数量超过50件，可以打7折；购买数量超过80件，可以打6折。
如果一次购买100件，求其总价格。
4. 解方程：4x^2 - 4a^2 + 2ax - 6a = 0 （a为已知实数）练习题三：1. 解方程组：2x^2 + y = 11x^2 + 3y = 192. 解方程：4x^2 - 12x + 9 = 03. 若一个人每天要步行去上班，一天来回共需2小时。
如果他增加步速，每分钟多行10米，则来回所需时间减少15分钟。
求原本的步行速度和单位时间距离。
4. 某超市以特价100元/台出售一批电视机，如果降价5%可以多售出6台。
求这批电视机原本的数量。
通过以上的练习题，相信大家对一元二次方程的解题方法有了一定的了解。
当然，要注意在解题时要注意运用一元二次方程的基本性质和常用的解法，如因式分解、求根公式等。
同时，也要灵活运用数学知识，将问题转化为方程，从而得出解的结果。
一元二次方程应用题精选含答案
一元二次方程应用题精选含答案一元二次方程应用题精选1.有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
设两个连续整数为x和x+1，则根据题意得到方程：x^2+(x+1)^2=25化简得到2x^2+2x-24=0解得x=3或x=-4因为要求的是两个连续整数，所以答案为3和4.2.一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数。
设这个两位数为10x+y，则根据题意得到方程：10x+y+10y+x)×(10y+x)=1008化简得到11x^2+11y^2+121xy-1008=0因为十位数字与个位数字之和是6，所以有x+y=6将y用x表示得到y=6-x代入方程化简得到11x^2-66x+72=0解得x=4或x=18/11，因为是两位数，所以x=4代入y=6-x得到y=2所以这个两位数为42.3.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元。
为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施。
经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
求：1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，则每天售出的件数为20+2x，每天的赢利为(40-x)×(20+2x)根据题意得到方程：40-x)×(20+2x)=1200化简得到2x^2-20x+200=0解得x=5所以每件衬衫应降价5元。
2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
商场平均每天赢利最多时，每件衬衫的售价应该尽可能高，即不降价。
此时每天售出的件数为20，每天的赢利为40×20=800元。
4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台。
为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。
【必刷题】2024八年级数学上册一元二次方程解法专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024八年级数学上册一元二次方程解法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知方程x^2 5x + 6 = 0，下列哪个选项是它的一个解？A. x = 2B. x = 3C. x = 4D. x = 52. 方程2x^2 4x + 1 = 0的解为：A. x = 1B. x = 1/2C. x = 1/2D. x = 13. 下列哪个方程是一元二次方程？A. x^2 + 3x 2 = 0B. 2x + 5 = 0C. 3x^3 2x^2 + x 1 = 0D. x^2 + y^2 = 14. 一元二次方程x^2 3x + 1 = 0的解为：A. x = 1，x = 2B. x = 1，x = 1C. x = 2，x = 2D. x = 3，x = 35. 方程x^2 4x + 4 = 0的解是：A. x = 2B. x = 2C. x = 0D. x = 2（重根）6. 已知方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0，若a为正数，则方程的解为：A. x = a，x = 1B. x = a，x = aC. x = a+1，x = a1D. x = 2a，x = 2a7. 方程x^2 5x + 6 = 0的解中，较大的是：A. 2B. 3C. 4D. 58. 若方程x^2 (2k+1)x + k^2 = 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是：A. k > 0B. k < 0C. k ≠ 0D. k = 09. 方程x^2 2x 3 = 0的解为：A. x = 3，x = 1B. x = 3，x = 1C. x = 3，x = 1D. x = 3，x = 110. 方程x^2 6x + 9 = 0的解是：A. x = 3B. x = 3C. x = 0D. x = 3（重根）二、判断题：1. 一元二次方程的解一定是两个实数根。
2. 方程x^2 2x + 1 = 0的解为x = 1。
初二数学一元二次方程试题答案及解析
初二数学一元二次方程试题答案及解析1.解一元二次方程：2x2+4x+1=0．【答案】【解析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．试题解析：这里a=2，b=4，c=1，∵△=16﹣8=8，∴．【考点】解一元二次方程-公式法．2.若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，∴b2﹣4ac=22﹣4m≥0，解得：m≤1，则m的取值范围是m≤1．故选：C．【考点】根的判别式3.若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一个根，则a的值为．【答案】±【解析】把x=2代入方程x2﹣x﹣a2+5=0得：4﹣2﹣a2+5=0，解得：a=±．【考点】一元二次方程的解4.解下列一元二次方程（1）（2）【答案】（1）x1=4，x2=0；（2）x1=2，x2=5．【解析】（1）利用分解因式法即可．（2）去括号、移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．试题解析：（1），x 1=4，x2=0；（2），，，x 1=2，x2=5．【考点】解一元二次方程．5.如图，两个边长均为2的正方形ABCD和正方形CDEF，点B、C、F在同一直线上，一直角三角板的直角顶点放置在D点处，DP交AB于点M，DQ交BF于点N．（1）求证：△DBM≌△DFN；（4分）（2）延长正方形的边CB和EF，分别与直角三角板的两边DP、DQ（或它们的延长线）交于点G和点H，试探究下列问题：①线段BG与FH相等吗？说明理由；（4分）②当线段FN的长是方程的一根时，试求出的值．（4分）【答案】（1）证明见解析；（2）①BG=FH．理由见解析；②．【解析】（1）如图1，根据正方形的性质就可得出BD=FD，∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，由直角三角形的性质就可以得出∠1=∠ADM，进而得出∠3=∠4，由ASA就可以得出结论；（2）①如图1，根据正方形的性质及直角三角形的性质就可以得出△GCD≌△HED就有CG=EH，由等式的性质就可以得出结论；②先解方程x2+2x﹣3=0就可以求出FN=1，得出CN=1，如图2，就可以得出△CND≌△FNH，得出CD=FH=2，就可以得出GB=2，GN=5，由勾股定理就可以求出NH的值，进而得出结论．试题解析：（1）如图1，∵四边形ABCD和四边形CDEF是正方形，∴BC=FC，BD=FD，∠ABD=∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，∠DCB=∠DEF=∠E=∠HFN=∠ADC=90°．∴∠ADM+∠CDM=90°，∵∠PDQ=90°，∴∠CDM+∠CDN=90°．∴∠ADM=∠CDN．∴∠ADB﹣∠ADM=∠CDF﹣∠CDN，∴∠MDB=∠NDF．在△DBM和△DFN中，，∴△DBM≌△DFN（ASA）；（2）①四边形ABCD和四边形CDEF是正方形，∴BC=FC=EF，BD=FD，∠ABD=∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，∠DCB=∠DEF=∠CDE=∠E=∠HFN=∠ADC=90°．∴∠EDH+∠1=90°，∵∠PDQ=90°，∴∠CDM+∠1=90°．∴∠CDM=∠EDH．在△CDG和△EDH中，，∴△CDG≌△EDH（ASA），∴CG=EH，∴CG﹣CB=EH﹣EF，∴BG=FH．②∵x2+2x﹣3=0，∴x1=1，x2=﹣3．∵FN的长是方程x2+2x﹣3=0的一根，∴FN=1．∴CN=1，∴CN=FN．如图2，在△CND和△FNH中，，∴△CND≌△FNH（ASA），∴CD=FH=2，∴GB=2，∴GN=5．在Rt△FNH中，由勾股定理，得NH=．∴．【考点】四边形综合题．6.商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是（）A．0.64B．0.8C．8D．6.4【答案】C．【解析】根据已知中连续的打折问题，注意在打a折的基础上再打a折销售，可以得出等式方程，进而求出a的值．根据题意得：200××=128，即a 2=64，解得：a=8．故选C．【考点】一元二次方程的应用．7.如图，在一次函数的图象上取点P，作PA⊥轴于A，PB⊥轴于B，且长方形OAPB的面积为6，则这样的点P个数共有（）A．4B．3C．2D．1【答案】A.【解析】设点P的坐标为（x，y），由图象得|x||y|=6，再将y=-x+5代入，得x（-x+5）=±6，则x2-5x+6=0或x2-5x-6=0，∴每个方程有两个不相等的实数根故选A．【考点】一次函数综合题．8.用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】∵x2﹣6x﹣7=0，∴x2﹣6x=7，∴x2﹣6x+9=7+9，∴（x﹣3）2=16．故选C．【考点】解一元二次方程-配方法．9.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）16；（2）；（3）.【解析】（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图示，由题可得：BP=10-3t，DQ=2t，所以可以列出方程10-3t=2t，解得t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根据勾股定理，求出BQ即可．（3）此题要分三种情况进行讨论：即①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P 在线段CD上，根据三种情况点的位置，可以确定t的值．（1）如图，过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴．∴CD=16.（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图，由题知：BP=10-3t，DQ=2t，∴10-3t=2t，解得t=2．此时，BP=DQ=4，CQ=12，∴.∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=.（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图，，解得.②当点P在线段BC上时，即时，如图，BP=3t-10，CQ=16-2t，∴，化简得：3t2-34t+100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解．③当点P在线段CD上时，若点P在Q的右侧，即，则有PQ=34-5t，，解得＜6，舍去.若点P在Q的左侧，即，则有PQ=5t-34，，解得.综上所述，满足条件的t存在，其值分别为.【考点】1.双动点问题；2.平行四边形的性质；3.一元二次方程的应用；4.直角梯形的性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．10.六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送1035份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意列出方程为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】全班有x名同学，则每人送（x-1）份小礼品，共送x（x-1）份小礼品，进而可列出方程：.故选C．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．11.根据下面表格中的取值，方程有一个根的近似值（精确到0.1）是（）A.1.5B.1.2C.1.3D.1.4【答案】C【解析】由表格可得：当x的值是1.3时，的值与0最接近．因而方程的解是1.3．故选C．【考点】方程的近似解.12.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0的解是，所以或者.以为例，设=y,则，解得.则，从而求出.【考点】①一元二次方程的解；②根的判别式.13.解下列方程与不等式(1)3x(7-x)=18-x(3x-15)；（2） (x+3)(x-7)+8＞(x+5)(x-1).【答案】（1）x=3;（2）x＜－1.【解析】解方程与不等式的步骤是先化简方程,去括号,移项,合并同类项,系数化为1,值得注意的是不等式两边同时乘以或除以负数时,不等式方向要改变,（1）先去括号,21x-3x2=18-3x2+15x,移项, 21x-3x2+3x2-15x =18,合并同类项,6x="18," x=3;（2）先去括号,x2-7x+3x-21+8＞x2-x+5x-5,移项,x2-7x+3x -x2+x-5x＞-5+21-8,合并同类项,-8x＞8,系数化为1,注意要改变不等式的方向,x＜－1.试题解析：（1）先去括号,21x-3x2=18-3x2+15x,移项, 21x-3x2+3x2-15x =18,合并同类项,6x=18,x=3;（2）先去括号,x2-7x+3x-21+8＞x2-x+5x-5,移项,x2-7x+3x -x2+x-5x＞-5+21-8,合并同类项,-8x＞8,系数化为1,注意要改变不等式的方向,x＜－1.【考点】解方程与不等式.14.关于的一元二次方程有一个根为0，则．【答案】【解析】由题意把代入方程即可得到关于a的方程，再结合一元二次方程的二次项系数不为0求解即可.解：由题意得，，则．【考点】方程的根的定义点评：解题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值．15.解下列一元二次方程：（1）；（2）【答案】（1），；（2），【解析】（1）先把方程移项整理为一般式，再根据公式法解一元二次方程即可；（2）先移项，再提取公因式即可根据因式分解法解一元二次方程.解：（1）△=∴∴，；（2）∴或∴，.【考点】解一元二次方程点评：解一元二次方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.16.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元。
一元二次方程应用题专题训练
一元二次方程应用题专题训练一、面积问题1. 题目- 一个矩形的长比宽多2cm，面积是100cm²，求这个矩形的长和宽。
- 解析：设矩形的宽为x cm，因为长比宽多2cm，所以长为(x + 2)cm。
根据矩形面积公式：面积=长×宽，可得到方程x(x + 2)=100。
展开方程得到x²+2x - 100 = 0。
对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（这里a = 1，b = 2，c=-100），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，先计算判别式Δ=b^2-4ac = 2^2-4×1×(- 100)=4 + 400=404。
则x=(-2±√(404))/(2)=(-2±2√(101))/(2)=-1±√(101)。
因为矩形的宽不能为负数，所以取x=-1+√(101)≈ - 1+10 = 9（这里√(101)≈10），长为x + 2=9+2 = 11cm。
2. 题目- 有一块正方形铁皮，从四个角各剪掉一个边长为2分米的正方形后，所剩部分正好围成一个无盖的正方体盒子，这个盒子的容积是27立方分米，求原来正方形铁皮的边长。
- 解析：设原来正方形铁皮的边长为x分米。
那么围成无盖正方体盒子底面的边长为(x - 2×2)=(x - 4)分米，盒子的高为2分米。
根据正方体容积公式V=a^3（这里a为正方体棱长），可得方程(x - 4)^2×2 = 27，即(x - 4)^2=(27)/(2)，展开得到x^2-8x + 16=(27)/(2)，整理为2x^2-16x+32 - 27 = 0，即2x^2-16x + 5 = 0。
这里a = 2，b=-16，c = 5，判别式Δ=b^2-4ac=(-16)^2-4×2×5=256 - 40 = 216，x=(16±√(216))/(4)=(16±6√(6))/(4) = 4±(3√(6))/(2)，因为边长不能为负，所以x =4+(3√(6))/(2)分米。
一元二次方程应用题20道
一元二次方程应用题20道胜蓝教育一元二次方程应用题20道1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之积的3倍刚好等于这个两位数。
求这个两位数。
3、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
面积问题4、用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为Xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方形盒子，求X的值。
5、如图，在长为32m，宽为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块作实验田，要使试验田面积为570m2，道路的宽应为多少？增长率问题6、某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册？7、某校2009年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2011年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？胜蓝教育销售问题8、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？9、某商店如果将进货价格为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采取提高售价，减少进货量的方法，增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少元时可赚利润720元？10.一超市销售某种品牌的牛奶，进价为每盒 1.5元，售价为每盒2.2元时，每天可售5000盒，经过调查发现，若每盒降价0.1元，则可多卖2000盒。
要牛奶，进价为每盒1.5元，售价为每盒2.2元时，要使超市盈利4500元，，问该超市如何定价？11.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。
初二数学一元二次方程试题答案及解析
初二数学一元二次方程试题答案及解析1.将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（）A．(x+4)2=2B．(x+2)2=2C．(x+4)2=－3D．(x+2)2=－5【答案】A【解析】∵x2+4x+2=0，∴x2+4x=﹣2，∴x2+4x+4=﹣2+4，∴（x+2）2=2．故选A．【考点】解一元二次方程2.解方程：【答案】∴x1=2+，x2=2﹣【解析】用配方法解这个方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．试题解析：∵2x2﹣8x+3=0∴2x2﹣8x=﹣3∴x2﹣4x+4=﹣+4∴（x﹣2）2=，∴x=2±，∴x1=2+，x2=2﹣【考点】解一元二次方程3.用指定的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣1=0（用配方法）；（2）2x2﹣8x+3=0（用公式法）．【答案】（1）x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x1=，x2=．【解析】（1）先把常数项移到方程左边，再两边加上4得到x2+4x+4=5，然后把方程左边写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程；（2）利用一元二次方程的求根公式中求解．试题解析：（1）解：x2+4x=1，x2+4x+4=5（x+2）2=5，x+2=±，所以x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）解：∵a=2，b=﹣8，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×2×3=40 ∴x==，∴x1=，x2=．【考点】1．解一元二次方程-配方法；2．解一元二次方程-公式法．4.解方程：(1) (2x－1)(x＋3)＝4 (2)【答案】（1）x1=1,x2=（2）x=【解析】（1）整理到一元二次方程的一般形式后再利用因式分解法进行解方程即可（2）先去分母变为整式方程后再进行求解，最后检验即可试题解析：（1）整理得：2x2+5x-7=0(x-1)(2x+7)=0∴x-1="0" 或2x+7=0∴x1=1,x2=两边同乘(2x-1)(x+2)得：x(x+2)+(2x-1)=(2x-1)(x+2)整理得：x2-x-1=0解得：x=经检验x=是原分式方程的根.【考点】1、解一元二次方程；2、可化为一元二次方程的分式方程5.己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根，可知△＞0，即可求得关于m的不等式，从而得m 的范围；（2）方程有两个相等的实数根，当△=0时，即可得到一个关于m的方程求得m的值试题解析：△=（﹣3）2﹣4（m﹣1），（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，解得m＜．（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=0，即9﹣4（m﹣1）=0解得m=∴方程的根是：x1=x2=．【考点】根的判别式6.已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A．1B．﹣1C．0D．无法确定【答案】B．【解析】根据题意得：（m-1）+1+1=0，解得：m=-1．故选B．【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．7.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为_________．【答案】x（x-1）=28．【解析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．试题解析：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x-1）=28．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．8.根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据题意易知方程一个解的取值范围是0.61＜ｘ＜0.62.故选C.【考点】一元二次方程的解．9.用适当的方法解下列方程：（1）（2）【答案】(1) x1=3，x2="2;(2)" .【解析】（1）运用公式法求解即可；（2）移项，化成完全平方直接开平方即可求解. 试题解析：∵a=2，b=-5，c=3∴△=b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1＞0∴x=即x1=3，x2=2;(2)移项得：∴即：解得：.【考点】1.解一元二次方程----公式法；2.解一元二次方程—直接开平方法.10.已知关于的方程（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【答案】(1)证明见解析；（2）4+或4+．【解析】（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．试题解析：（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1+3+=4+．【考点】1.根的判别式；2.一元二次方程的解；3.勾股定理．11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P、Q为AB边及BC边上的两个动点。
初二数学一元二次方程应用题
初二数学一元二次方程应用题在初二的数学课堂上，一元二次方程总是让人又爱又恨。
你有没有觉得，这玩意儿就像一颗榴莲，外表坚硬，里面却有一股奇妙的香气？哈哈，今天咱们就来聊聊这个看似复杂但其实挺有趣的东西！想象一下，某天你和小伙伴一起去游乐园，买了两种票。
第一种票，一百块钱，可以玩所有的过山车；第二种票，五十块钱，只能玩一次摩天轮。
现在问题来了，如果你们俩想花同样的钱，玩过山车和摩天轮的次数该怎么算呢？设过山车的次数为x，摩天轮的次数为y。
咱们可以写出个方程来描述这个情况，哎呀，真是太好玩了。
总花费要相等，一百块乘以x加上五十块乘以y，这个钱数得让人心服口服。
于是咱们得到的就是一个方程，听起来是不是有点深奥？其实不然，这就是生活中的数学，挺实用的嘛。
我们要考虑一下，还要加个条件，咱们不想玩得太疯，每人玩过山车不能超过五次，摩天轮也不能玩超过三次。
这样一来，咱们得把这些条件放进去，嘿，数学就变得好玩了！想象一下，在游乐园里，大家一边吃着棉花糖，一边思考这些方程，绝对是一幅美好的画面。
然后，咱们再来看看，怎么解这个方程呢？哎，首先要把方程整理一下，真是好像在打理家务，理顺了就能看到整个屋子都变得干净利索！我们可以把所有的x和y分开，逐步破解这个数学谜团。
就像是揭开包裹，里面可能藏着惊喜。
经过一番运算，咱们最终会发现x和y的值，嘿，这可是我们玩的秘籍哦！然后，咱们再来看一个现实生活中的例子。
比如说，有个小伙伴计划开一家面馆，他希望每碗面的成本是20块，售价是40块。
他想知道，要卖出多少碗才能回本呢？这时候，一元二次方程就再次闪亮登场！咱们可以设卖出的碗数为n，利润就等于售价减去成本，再乘以n。
听起来是不是有点复杂？但别担心，咱们可以一步步推理，最后找到答案，真是像探险一样刺激。
大家可能会觉得，数学就像那种难缠的老鼠，时不时就来捣乱。
不过，想想看，如果没有这些方程，我们的生活该多无趣呀！它们不仅帮助我们解决问题，还是我们了解世界的一把钥匙。
一元二次方程试题及实际应用题总括
一元二次方程练习题一、填空1. 一元二次方程 化为一般形式为: , 二次项系数为: , 一次项系数为: , 常数项为: 。
2. 关于x 的方程 ,当 时为一元一次方程；当时为一元二次方程。
3. 已知直角三角形三边长为连续整数, 则它的三边长是 。
4. ； 。
5. 直角三角形的两直角边是3︰4, 而斜边的长是15㎝, 那么这个三角形的面积是 。
6. 若方程 的两个根是 和3, 则 的值分别为 。
7. 若代数式 与 的值互为相反数, 则 的值是 。
8. 方程 与 的解相同, 则 = 。
9. 当 时, 关于 的方程 可用公式法求解。
二、10. 若实数 满足 , 则 = 。
三、11．若 , 则 = 。
四、12．已知 的值是10, 则代数式 的值是 。
五、选择1. 下列方程中, 无论取何值, 总是关于x 的一元二次方程的是（ ）（A ）02=++c bx ax （B ）x x ax -=+221（C ）0)1()1(222=--+x a x a （D ）0312=-+=a x x 2. 若 与 互为倒数, 则实数 为（ ）（A ）±21（B ）±1 （C ）±22 （D ）±2 3. 若 是关于 的一元二次方程 的根, 且 ≠0, 则 的值为（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）21- （D ）21 4. 关于 的一元二次方程 的两根中只有一个等于0, 则下列条件正确的是（ ）（A ）0,0==n m （B ）0,0≠=n m （C ）0,0=≠n m （D ）0,0≠≠n m5. 关于 的一元二次方程 有实数根, 则（ ）（A ）k ＜0 （B ）k ＞0 （C ）k ≥0 （D ）k ≤06. 已知 、 是实数, 若 , 则下列说法正确的是（ ）（A ）x 一定是0 （B ）y 一定是0 （C ）0=x 或0=y （D ）0=x 且0=y7. 若方程 中, 满足 和 , 则方程的根是（ ）（A ）1, 0 （B ）-1, 0 （C ）1, -1 （D ）无法确定六、解方程1. 选用合适的方法解下列方程（1）)4(5)4(2+=+x x （2）x x 4)1(2=+（3）22)21()3(x x -=+ （4）31022=-x x四、解答题已知等腰三角形底边长为8, 腰长是方程 的一个根, 求这个三角形的腰。
一元二次方程应用题总结分类及经典例题(初二数学 1份)
一元二次方程应用题总结分类及经典例题（一）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？3.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。
为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。
经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为多少？2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是多少？3.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？4. 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）（三）面积问题判断清楚要设什么是关键1.如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551㎡。
一元二次方程10道例题
一元二次方程10道例题一、直接开平方法例1：解方程(x - 3)^2=16解析：对于方程(x - 3)^2 = 16，根据直接开平方法，我们得到：x-3=±4当x - 3=4时，x=4 + 3=7；当x-3=-4时，x=- 4+3=-1。
所以方程的解为x_1 = 7，x_2=-1。
二、配方法例2：解方程x^2+6x - 7 = 0解析：在方程x^2+6x-7 = 0中，1. 移项得x^2+6x=7。
2. 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+6x + 9=7 + 9，得到(x + 3)^2=16。
3. 然后用直接开平方法，x+3=±4。
- 当x+3 = 4时，x=1。
- 当x + 3=-4时，x=-7。
所以方程的解为x_1=1，x_2 = - 7。
三、公式法例3：解方程2x^2-5x+3=0解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c=0(a≠0)，其求根公式为x=(-b±√(b^2 - 4ac))/(2a)。
在方程2x^2-5x + 3=0中，a = 2，b=-5，c = 3。
1. 先计算判别式Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×3=25 - 24 = 1。
2. 把a、b、Δ的值代入求根公式，得到x=(5±√(1))/(4)。
- 当取正号时，x=(5 + 1)/(4)=(3)/(2)。
- 当取负号时，x=(5-1)/(4)=1。
所以方程的解为x_1=(3)/(2)，x_2 = 1。
四、因式分解法例4：解方程x^2-3x+2=0解析：1. 对x^2-3x + 2进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)=0。
2. 则有x-1=0或者x - 2=0。
- 当x-1=0时，x = 1。
- 当x-2=0时，x=2。
所以方程的解为x_1=1，x_2=2。
例5：解方程6x^2+x - 1=0解析：1. 对6x^2+x - 1进行因式分解，得到(2x + 1)(3x - 1)=0。
初二数学一元二次方程的应用试题
初二数学一元二次方程的应用试题1.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为A．200(1+x)2=1000B．200+200×2x=1000C．200+200×3x=1000D．200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000【答案】D【解析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．故选D．【考点】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程点评：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．2.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为A．20％B．30%C．50%D．120%【答案】A【解析】本题为增长率问题，增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．则每亩收获的花生可加工成花生油的质量是200（1+x）•50%（1+x），即可列方程求解．设新品种花生亩产量的增长率为x，根据题意得200（1+x）•50%（1+x）=132，解得x1=0.2=20%，x2=-3.2（不合题意，舍去），则新品种花生亩产量的增长率为20%，故选A.【考点】本题考查的是一元二次方程的应用点评：本题为一般的增长率问题，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．3.若两个连续整数的积是56，则它们的和是A．±15B．15C．-15D．11【答案】A【解析】设这两个连续整数中较小的一个是为x，则较大的是x+1．根据两个连续整数的积是x （x+1），根据关键描述语“两个连续整数的积是56”，即可列出方程求得x的值，进而求得这两个数的和．设这两个连续整数为x，x+1．则x（x+1）=56，解之得，x1=7或x2=-8，则x+1=8或-7，则它们的和为±15．故选A【考点】本题考查的是一元二次方程的应用点评：解答此题的关键是掌握连续整数的相差1，用代数式表示两个连续整数．4.一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是。
一元二次方程应用题(含答案)整理版
一元二次方程应用题1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元，依题意x≤10∴(44-x)(20+5x)=1600展开后化简得：x²-44x+144=0即(x-36)(x-4)=0∴x=4或x=36(舍)即每件降价4元2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，增加了多少行多少列？解：设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3增加了3行3列3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。
在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价关系式解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意得:y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x^2+260x-6500(30<=x<=70)(2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元.∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.4.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒？解：设边长x则(19-2x)(15-2x)=774x^2-68x+208=0x^2-17x+52=0(x-13)(x-4)=0,当x=13时19-2x<0不合题意,舍去故x=45.某商品进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨10元，每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，每件商品的售价每涨1元，每个月少卖3件。
初二数学 一元二次方程应用题四道
例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a ）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
例3 如图4所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.
（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？
（2）点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在，
求出运动的时间；若不存在，说明理由.
例4 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由. Q P C B 图4。
一元二次方程实际应用题
一元二次方程实际应用题
一元二次方程应用题
题目一：物体自由落体问题
1.已知一个物体从高度为ℎ的位置自由落下，经过t秒后着地。
设重
力加速度为g，求ℎ与t的关系式。
2.如果ℎ=100米，g= m/s2，求着地所需的时间。
题目二：公式推导
1.已知一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0，请推导出其
求根公式。
2.使用上述求根公式，求解方程2x2+3x−5=0的解。
题目三：抛物线问题
1.一个喷泉的水柱呈抛物线形状，已知喷泉的高度ℎ，以及抛物线
的顶点坐标(x0,y0)，求抛物线方程。
2.如果ℎ=10米，(x0,y0)=(5,8)，求抛物线的方程。
题目四：面积计算
1.已知一个矩形的长度为x米，宽度为y米，求矩形的面积。
2.如果x=5米，y=3米，求矩形的面积。
题目五：速度问题
1.一辆汽车以匀速v米/秒行驶，已知在t秒内行驶的距离为d米，求
速度v和时间t的关系式。
2.如果d=500米，t=50秒，求速度v。
题目六：投射问题
1.炮弹从地面发射，抛物线方程为y=ax2+bx+c，已知炮弹落
点与发射点水平距离为d，求抛物线方程的系数a、b和c。
2.如果d=100米，求抛物线方程。
以上为一元二次方程的一些常见应用题，希望能对你的命题工作有所帮助！。
一元二次方程应用题(动点问题)2016.9.8
课外延伸
4．有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR， PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一直 线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的 速度沿直线l按箭头方向匀速运动， （1）t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的 面积为5，求时间t； （2）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面 积为7，求时间t；
2 2
2
2 t2 t 5
B t=2不符合题意，舍去
拓展与创新
例3如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现
有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s 的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点 C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设 动点运动时间为x秒 （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若 存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． A P B Q C
一元二次方程的应用 ---动点问题
①若一个直角三角形的三边长为连续的偶数，则这个直角 三角形的斜边的长为 ． ②若直角三角形的一条直角边的长为4cm，斜边与另一条 直角边的长度之比为5∶3，则这个直角三角形的面积 ．
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开 始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B 开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q 分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于 8cm2？
课外延伸
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， AB＝4cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A 出发，沿边AD向点D以2cm/s的速度移动，点Q从 点C出发沿边CB向点B以6cm/s的速度移动，P、Q 同时出发，若有一点运动到端点时，另一点也随之 停止．则①CD＝ cm； ②经过 秒后，PQ＝CD．
八年级数学一元二次方程应用题
八年级数学一元二次方程应用题一、面积问题。
1. 用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm²的无盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长。
- 解析：- 设截去的小正方形的边长为x cm。
- 那么长方体盒子底面的长为(80 - 2x)cm，宽为(60 - 2x)cm。
- 根据长方体底面积公式S =长×宽，可列方程(80 - 2x)(60 - 2x)=1500。
- 展开方程得4800-160x - 120x+4x^2=1500。
- 整理得4x^2-280x + 4800 - 1500=0，即4x^2-280x+3300 = 0，两边同时除以4得x^2-70x + 825=0。
- 分解因式得(x - 15)(x - 55)=0。
- 解得x_1=15，x_2=55。
- 因为60 - 2x>0，即x < 30，所以x = 55不符合题意，舍去。
所以截去的小正方形的边长为15cm。
2. 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm²，求两条直角边的长。
- 解析：- 设一条直角边的长为x cm，则另一条直角边的长为(14 - x)cm。
- 根据直角三角形面积公式S=(1)/(2)×一条直角边×另一条直角边，可列方程(1)/(2)x(14 - x)=24。
- 去分母得x(14 - x)=48。
- 展开得14x - x^2=48，整理得x^2-14x + 48 = 0。
- 分解因式得(x - 6)(x - 8)=0。
- 解得x_1=6，x_2=8。
- 当x = 6时，14 - x = 8；当x = 8时，14 - x = 6。
所以两条直角边的长分别为6cm和8cm。
二、增长率问题。
3. 某工厂一种产品2019年的产量是100万件，计划2021年产量达到121万件。
假设2019年到2021年这种产品产量的年增长率相同。
浙教版数学八年级下册_一元二次方程的应用题
一元二次方程的应用题本节课的内容涉及三方面的内容：数字问题、面积问题、增长率或降低率的问题。
下面就这三方面的内容作进一步的说明和补充。
一、数字问题解决此类问题的关键是正确而巧妙地设未知数，一般采用间接设的方法。
多位数字用各数位上的数字与其数位值的乘积的和表示，如百、十、个位数字分别为a,b,c的三位数可表示为100a + 10b + c。
注意：1、连续整数的表示方法：通常设中间的数为x，再用含x的代数式表示其他的数，根据连续整数相邻两个数相差1的特征，可分别设前一个数为x—1，后一个数为x+1。
2、连续奇（偶）数的表示方法：通常设中间一个数为x，再用含x 的代数式表示其他的数，根据连续奇（偶）数相邻两个数相差2的特征，可分别设前一个数为x-2，后一个数为x+2。
二、面积问题面积问题是一元二次方程中常见的问题，通常是求线段的长度，如长方形的长或宽等等。
此类问题的等量关系即为几何图形的面积公式，如长×宽=长方形面积。
解决此类问题的关键就是如何用未知数x表示公式中的未知量，如利用未知数表示长方形的长或宽。
三、增长率、降低率的问题1、增长率问题是在某个数据的基础上，连续增长两次得到新的数据。
此类问题的等量关系是a（1+增长率）2=b，其中a表示增长前的数据，b表示增长后的数据。
2、降低率问题是在某个数据的基础上，连续降低两次得到新的数据。
此类问题的等量关系是a（1-降低率）2=b，其中a表示降低前的数据，b表示降低后的数据。
四、补充相关中考新题型1、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解：设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游，因为2700025000251000<=⨯，所以员工人数一定超过25人。
可得方程[]27000)25(201000=--x x整理，得01350752=+-x x解得：30,4521==x x 。
一元二次方程应用题解题例题
一元二次方程应用题解题例题一、面积问题例题1：用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm²的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长。
解析：1. 设截去的小正方形的边长为x cm。
2. 那么长方体盒子底面的长为(80 - 2x)cm，宽为(60 - 2x)cm。
3. 根据长方体底面积公式S =长×宽，可列出方程(80 - 2x)(60 - 2x)=1500。
- 展开式子得：4800-160x - 120x+4x^2=1500。
- 整理得4x^2-280x + 4800 - 1500=0，即4x^2-280x+3300 = 0。
- 两边同时除以4得x^2-70x + 825=0。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（这里a = 1，b=-70，c = 825），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 先计算Δ=b^2-4ac=<=ft(-70)^2-4×1×825=4900 - 3300=1600。
- 则x=(70±√(1600))/(2)=(70±40)/(2)。
- 解得x_1=(70 + 40)/(2)=55，x_2=(70-40)/(2)=15。
- 因为80-2x>0，60 - 2x>0，当x = 55时，80-2x=80 - 110=- 30<0（舍去）。
- 所以截去的小正方形的边长为15cm。
二、增长率问题例题2：某公司去年的营业额为1000万元，计划今年的营业额比去年增长20%，实际营业额比计划营业额增长了x，结果实际营业额达到了1440万元，求x的值。
解析：1. 计划营业额为1000×(1 + 20%)=1000×1.2 = 1200万元。
2. 因为实际营业额比计划营业额增长了x，所以实际营业额为1200(1 + x)万元。
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解：设十位是X ，则个位数是(X+3) 两位数就 表示成10X+(X+3)=11X+3
所以用“各位平方与寿符”做等量，列方程 11X+3=(X+3)^2 X^2-5X+6=0
(X-2)(X-3)=0 X1=2或X2=3
X1+3=5 X2+3=6 可得两组解，25或36，因为已知“而立之年
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得
△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运
动的时间；若不存在，说明理由.
B
Q
AP
C
考点：一元二次方程的应用．
专题：几何动点问题．
分析：（1）设果P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此 时△PCQ的面积为： 12×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意 的值； （2）△ABC的面积的一半等于 12× 12×AC×BC=12cm2，令 12×2x（6-x）=12，判 断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
平移过来，X²-12X+20=0 (X-10)x（X-2）=0 X取10或2，由于2不符合标准，故舍去，得
X=10米 答：竹竿长10米。
古诗问题（年龄问题）
例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出 周瑜去世时的年龄）. 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
考点：一元二次方程的应用． 专题：定价问题． 分析：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x，
所以此时商场平均每天要盈利（40-x）（20+2x）元，根据商场平均每天要 盈利=1200元，为等量关系列出方程求解即可． 解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利40-x元，每天可以售出20+2x， 由题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 即：（x-10）（x-20）=0， 解，得x1=10，x2=20， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利12O0元，每件衬衫应降价20元
游． 因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25 人． 可得方程[1000-20（x-25）]x=27000． 整理得x2-75x+1350=0， 解得x1=45，x2=30． 当x1=45时，1000-20（x-25）=600＜700，故舍去x1； 当x2=30时，1000-20（x-25）=900＞700，符合题意． 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游．
一元二次方程典型应用
复习问题，提出新知
1.列方程解应用题的基本步骤怎样？
（1）审题：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以 及它们之间的关系。
（2）设未知数：根据题意，可直接设未知数，也可间接设未知数， 未知数必须写明单位，语言叙述要完整。
（3）列代数式和方程：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的 代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程或方程组，一般列 方程的个数与所设未知数的个数相同。
点评：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等
量关系列出方程求解
储蓄问题
例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按 一年定期含蓄存入银行，到期后将本金和 利息取出，并将其中的500元捐给“希望工 程”，剩余的又全部按一年定期存入，这 时存款的年利率已下调到第一次存款时年 利率的90%，这样到期后，可得本金和利 息共530元，求第一次存款时的年利率.（假 设不计利息税）
解答：解：（1）设小路的宽度为x米，根据题意列方程得，
18x+15x-x2=18×15×13， 解得x1=3，x2=30（不合题意，舍去）； 答：图①中小路的宽为3米． （2）设扇形的半径为y米，根据题意列方程得， πy2=18×15×13， 解得y1≈5.4，y2≈-5.4（不合题意，舍去）； 答：扇形的半径约为5.4米．
（4）解方程或方程组应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的 解。
（5）检验答案：解应用题要检验有无增根，又要检验是否符合题意， 最后做出符合题目要求的答案。.
注：（1）在这些步骤中，审题是解 题的基础，列方程是解题的关键。
(2)在列方程时，要注意列出 的方程必须满足以下三个条件：
a,方程两边表示同类量 b,方程两边的同类量的单位一样 c,方程两边的数值相等
解答：解：设这两个月的平均增长率是x，
十一月份的销售额达到200（1-20%）+200（1-20%）x=200（1-20%） （1+x）， 十二月份的销售额达到200（1-20%）（1+x）+200（1-20%）（1+x） x=200（1-20%）（1+x）（1+x）=200（1-20%）（1+x）2， ∴200（1-20%）（1+x）2=193.6， 即（1+x）2=1.21， 所以1+x=±1.1， 所以x=-1±1.1， 即x1=0.1，x2=-2.1（舍去）． 答：这两个月的平均增长率是10%．
趣味问题
例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎 么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁 边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖 着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米， 二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教 他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试， 不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？
解：设竹竿的长度为X，那么X²=(X-4)²+(X2)²=X²-8X+16+X²-4X+4=2X²-12X+20,
解答：解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2． 由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm， 则12•(6-x)•2x=8． 整理，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4． 所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2． （2）由题意得： S△ABC=12×AC•BC=12×6×8=24， 即：12×2x×（6-x）=12×24， x2-6x+12=0， △=62-4×12=-12＜0，该方程无解， 所以，不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻．
如果人数不超过 25人，人均旅游 费用为1000元.
如果人数超过25人，每增 加1人，人均旅游费用降 低20元，但人均旅游费用 不得低于700元.
图1
考点：一元二次方程的应用． 分析：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．依
题意列方程求解．
解答：解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅
小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明 理由.
图2
图3
考点：一元二次方程的应用． 专题：应用题． 分析：（1）设出小路的宽度为x米，表示出两条小路的面积，而小路的
面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可； （2）设出扇形的半径为y米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面 积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即 可．
点评：本题考查的是一元二次方程的应用，难度不大．
等积变形
例7 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园 （阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二. （精确到0.1m）
（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度 相等的小路.
（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的
解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意， 得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.
整理，得90x2+145x－3＝0.
解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－ 1.63.
由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63 舍去.
答 第一次存款的年利率约是2.04%.
点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中
蕴含的数量关系
动态几何问题
例8 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm， BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度 移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积 为8平方厘米？
2.解一元二次方程有哪些方法？ 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
3.一元二次方程常见应用题有哪些类型？
பைடு நூலகம்
（1）增长率问题
（2）商品定价
（3）储蓄问题
（4）趣味问题
（5）古诗问题（年龄问题）（6）情景对话
(7)等积变形
(8)动态几何问题
增长率问题
例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元， 十月份的销售额下降了20%，商厦从十一 月份起加强管理，改善经营，使销售额稳 步上升，十二月份的销售额达到了193.6万 元，求这两个月的平均增长率.
考点：一元二次方程的应用． 专题：增长率问题． 分析：本题设这两个月的平均增长率是x，十月份的销售额为200（1-20%）
万元，十一月份的销售额为200（1-20%）（1+x）万元，十二月份在十一 月份的基础上增加x，变为200（1-20%）（1+x）（1+x）即200（1-20%） （1+x）2万元，进而可列出方程，求出答案．
点评：此类题目旨在考查增长率，要注意增长的基础，另外还要注意解的