常见函数的傅里叶级数

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傅里叶级数公式总结

傅里叶级数公式总结傅里叶级数是一种电磁波、声波等周期性信号的频谱分析方法，通过将一个周期性函数展开成无穷多个正弦和余弦函数的和来描述这个函数。

傅里叶级数公式是傅里叶级数的数学表达式，也是傅里叶分析的核心工具之一。

傅里叶级数公式可以表示为：\[f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(\fra c{2\pi n}{T}x)+b_{n}\sin(\frac{2\pi n}{T}x))\]其中，\(f(x)\)是一个周期为\(T\)的函数，\(a_0\)、\(a_n\)、\(b_n\)是系数，可以通过傅里叶级数的积分公式计算得到。

在这个公式中，\(a_0\)表示函数的直流分量，即函数在一个周期内的平均值。

而\(a_n\)和\(b_n\)则表示函数在一个周期内的振幅和相位信息。

傅里叶级数公式的意义在于它将一个周期函数分解成许多不同频率的正弦和余弦函数的和。

通过傅里叶级数分析，我们可以得到函数在不同频率上的能量分布情况，从而揭示了周期性信号的频谱特性。

通过傅里叶级数公式，我们可以深入理解周期函数的谐波分量以及它们在函数中的作用。

具体来说，\(a_n\)和\(b_n\)分别对应了频率为\(n/T\)的正弦和余弦波的振幅，而相位则决定了每个谐波分量在函数中的位置。

傅里叶级数公式的应用十分广泛。

在信号处理中，它可以用于滤波、降噪、频谱分析等方面。

在图像处理中，傅里叶级数可以用于图像的频域分析和图像的压缩。

在通信领域，傅里叶级数也被广泛应用于调制解调和信号检测等方面。

总之，傅里叶级数公式是一种重要的数学工具，它能够将周期函数分解成不同频率的正弦和余弦波的和，揭示了周期性信号的频谱特性。

通过傅里叶级数的分析，我们可以更好地理解周期性信号的谐波分量和它们在函数中的作用。

傅里叶级数公式的应用广泛，可以用于信号处理、图像处理、通信等领域，对于这些领域的研究和实际应用具有重要的指导意义。

几种常见函数的傅里叶变换及推导

几种常见函数的傅里叶变换及推导傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表达转换为频域中的表达。

在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。

本文将介绍几种常见函数的傅里叶变换及推导过程。

1. 方波函数的傅里叶变换方波函数是一种周期函数，它在每个周期内以不同的幅度交替出现。

方波函数的傅里叶变换可以通过将方波函数表示为一系列正弦函数的和来推导得到。

假设方波函数为f(t)，其周期为T，傅里叶变换为F(ω)。

根据傅里叶级数展开的性质，方波函数可以表示为：f(t) = (1/2) + (2/π)sin(ωt) + (2/π)sin(2ωt) + (2/π)sin(3ωt) + ...其中，ω = 2π/T是方波函数的角频率。

根据傅里叶变换的定义，可以得到方波函数的傅里叶变换为：F(ω) = (1/2)δ(ω) + (1/2π)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)] + (1/2π)[δ(ω-2ω0) - δ(ω+2ω0)] + (1/2π)[δ(ω-3ω0) - δ(ω+3ω0)] + ...其中，δ(ω)是狄拉克函数，表示单位冲激函数。

傅里叶变换的结果是一系列的冲激函数，每个冲激函数对应一个正弦函数的频谱分量。

2. 高斯函数的傅里叶变换高斯函数是一种常用的连续函数，其在数学和物理学中有广泛的应用。

高斯函数的傅里叶变换可以通过将高斯函数表示为指数函数的平方和来推导得到。

假设高斯函数为f(t)，傅里叶变换为F(ω)。

根据高斯函数的定义，可以得到：f(t) = e^(-αt^2)其中，α是常数。

根据傅里叶变换的定义，可以得到高斯函数的傅里叶变换为：F(ω) = √(π/α)e^(-ω^2/(4α))高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是幅度和频率发生了变化。

3. 矩形函数的傅里叶变换矩形函数是一种常见的函数，它在一个有限区间内的值为常数，而在其他区间内的值为零。

矩形函数的傅里叶变换可以通过将矩形函数表示为两个单位阶跃函数的差来推导得到。

第11章第6节傅里叶级数2015-03-2405311.2MB

例2.设函数
数展式为
2
3
(93 考研)
解:
的傅里叶级则其中系数
利用“偶倍奇零”
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在
上的表达式为
f (x)
1
,

x0
将
f
(x)
展成傅里叶级数.
1, 0 x
y
解: 先求傅里叶系数
1
o
x
1
它的傅里叶级数在 x 处收敛于 (n 1, 2, 3,...)
f1n(2fx1()0(n1010)4ss2ci([inocns,ffsion在nn((nsx0xnxdx0x)x)xd213nxsf1210in(n20[11310处1x,)s收0ixn(n1敛10nn0141xc0于)c2ond,2os]0ks1xn1nxx0d1,00sx0in2(nn.2n1,k
第十一章
11.6 傅里叶级数
一、函数展开成傅里叶级数二、正弦级数和余弦级数
一、函数展开成傅里叶级数
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数，若 f (x) 并满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件:
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛，且
a0 2

n1
(an
cos nx
bn
sin nx)

f (x) 的傅里叶系数
f (x) ,
f (x) 2
x 为连续点
f ( x ) , x 为间断点
例1. 设周期函数在一个周期内的表达式为

傅里叶级数公式

傅里叶级数公式傅里叶级数是一种数学工具，用于将一个周期性函数表示为无限多个简单的正弦和余弦函数的和。

它由法国数学家傅里叶在19世纪中叶发现，并在物理学、工程学和其他领域中得到广泛应用。

本文将介绍傅里叶级数的定义、数学表达式和一些应用示例。

定义给定一个周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：傅里叶级数公式傅里叶级数公式其中a0、an和bn是傅里叶系数，可以通过以下公式计算：傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式数学表达式傅里叶级数公式可以进一步简化为以下形式：傅里叶级数公式简化形式傅里叶级数公式简化形式其中cn是复傅里叶系数，可以通过以下公式计算：复傅里叶系数公式复傅里叶系数公式应用示例傅里叶级数在信号处理、图像处理和音频处理等领域中有广泛的应用。

以下是一些傅里叶级数的应用示例：1. 信号分析傅里叶级数可以将任意周期性信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的和，从而帮助我们理解信号的频谱特征。

通过计算傅里叶系数，我们可以得到信号在不同频率上的幅度和相位信息。

2. 图像压缩傅里叶级数被广泛用于图像压缩算法中，例如JPEG压缩。

通过将图像转换为频域表示，可以将高频部分压缩或丢弃，从而实现图像的压缩和存储。

3. 音频合成傅里叶级数可以用于合成音频信号。

通过给定一些具有不同频率和幅度的正弦和余弦函数的傅里叶系数，我们可以通过求和运算生成一个新的音频信号。

4. 信号滤波傅里叶级数在信号滤波中也有广泛应用。

通过将信号转换到频域，并在频域对信号进行滤波操作，可以实现去除噪声、降低干扰等效果。

总结傅里叶级数是一种将周期性函数表示为正弦和余弦函数的和的数学工具。

它帮助我们理解信号的频谱特征，进行信号分析、图像压缩、音频合成和信号滤波等应用。

通过计算傅里叶系数，我们可以获得信号在不同频率上的幅度和相位信息。

傅里叶级数在现代科学和工程中具有重要的地位，对于理解和处理周期性信号至关重要。

傅里叶级数公式傅里叶级数展开傅里叶级数收敛性的计算公式

傅里叶级数公式傅里叶级数展开傅里叶级数收敛性的计算公式傅里叶级数公式的计算公式提供了一种将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的和的方法。

这种表示方法在信号处理、图像处理等领域具有重要应用。

在本文中，将详细介绍傅里叶级数展开和收敛性的计算公式。

一、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是将周期为T的函数f(t)表示为一组三角函数的和。

傅里叶级数展开的计算公式如下：f(t) = a0 + Σ (an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))，其中a0、an和bn分别为系数，ω为角频率，n为正整数。

根据这个公式，我们可以将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的和。

傅里叶级数展开的关键是计算系数a0、an和bn，这里不再赘述具体的推导过程。

二、傅里叶级数收敛性的计算公式傅里叶级数的收敛性是指在何种条件下，傅里叶级数能够无限接近原函数f(t)。

傅里叶级数的收敛性可以通过计算系数a0、an和bn来确定。

1. 正弦级数的收敛性对于奇函数，即满足f(-t)=-f(t)的函数，其傅里叶级数只包含正弦函数。

对于奇函数f(t)，其傅里叶级数的计算公式为：f(t) = Σ (bn*sin(nωt))，其中bn的计算公式为：bn = (2/T) * ∫[0,T] {f(t)*sin(nωt)} dt。

当函数f(t)满足一定的条件时，傅里叶级数对奇函数收敛。

这些条件包括函数f(t)在一个周期内有有限个有界不连续点，并且在这些点上的左右极限存在。

2. 余弦级数的收敛性对于偶函数，即满足f(-t)=f(t)的函数，其傅里叶级数只包含余弦函数。

对于偶函数f(t)，其傅里叶级数的计算公式为：f(t) = a0/2 + Σ (an*cos(nωt))，其中a0和an的计算公式为：a0 = (2/T) * ∫[0,T] {f(t)} dt，an = (2/T) * ∫[0,T] {f(t)*cos(nωt)} dt。

同样地，当函数f(t)满足一定的条件时，傅里叶级数对偶函数收敛。

高等数学：13-7傅里叶(Fourier)级数

A0 , an
An sinn ,bn
An cosn,t
x ，则得级数
a0
2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx) ．
(13.7.2)
形如式(13.7.2)的级数称为三角级数，其中常数a0, an,bn (n 1, 2, )
称为三角级数(13.7.2)的系数．
显然式（13.7.2）每一项都是周期为2 的函数，因此，如果级数（13.7.2）收敛，则其和函数必是周期为2 的周期函数．
⑵ 至多只有有限个极值点（即不作无限次振荡）；
则函数 f (x) 的傅里叶级数在(,) 内收敛，并且
⑴ 当 x 为 f (x) 的连续点时， f (x) 的傅里叶级数收敛于 f (x) ；
⑵ 当 x 为 f (x) 的（第一类）间断点时， f (x) 的傅里叶级数收敛
于 f (x) f (x) ． 2
n1
f (x) 2
f (x) ．
(13.7.8)
37-12
特别地，在点 x 及点 x 处，由函数 f (x) 的周期性知
f ( ) f ( )，f ( ) f ( ) ，因此其傅里叶级数在点x 及
点 x 处收敛于 f ( ) f ( ) ．
2
如果函数 f (x) 的傅里叶级数收敛于 f (x) ，就称 f (x) 的傅里
式为
f
(x)
0, 1,
x 0, 将 f (x) 展开成傅里叶级数，并作出该级 0 x .
数和函数的图形．
解由式（13.7.5）可得
a0
1
f (x)dx 1
dx 1,
0
an
1
f (x)cos nxdx 1

傅里叶级数展开公式大全

傅里叶级数展开公式大全一、正弦展开公式：对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其正弦展开为以下形式：f(t) = a0 + Σ(an*sin(nω0t) + bn*cos(nω0t))其中，a0、an和bn是常数，n为正整数，ω0=2π/T为基本频率。

1.常数项a0的计算公式：a0 = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)dt其中，[t0,t0+T]为f(t)的一个周期。

2.正弦系数an的计算公式：an = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*sin(nω0t)dt3.余弦系数bn的计算公式：bn = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*cos(nω0t)dt二、余弦展开公式：对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其余弦展开为以下形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nω0t))其中，a0、an和bn是常数，n为正整数，ω0=2π/T为基本频率。

1.常数项a0的计算公式：a0 = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)dt2.余弦系数an的计算公式：an = (2/T) * ∫[t0, t0+T] f(t)*cos(nω0t)dt需要注意的是，正弦展开公式中同时包含了正弦和余弦函数，而余弦展开公式只包含余弦函数。

正弦展开的系数an和bn分别对应了傅里叶级数中正弦和余弦函数的系数。

除了上述的正弦展开和余弦展开公式外，还存在一些特殊的函数的傅里叶级数展开公式，例如矩形脉冲函数和三角波函数的展开公式。

这些特殊函数的展开公式可以通过将其分解为更基本的正弦和余弦函数来求解。

总结起来，傅里叶级数展开公式是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的数学工具。

正弦展开和余弦展开是两种常见的展开形式，可以通过对周期函数进行积分求解展开系数。

在实际应用中，傅里叶级数展开公式有着广泛的应用，可以分析信号的频谱特性，计算信号的谐波含量，以及进行信号的合成和滤波等操作。

傅里叶级数知识点整理(精简版) -

傅里叶级数知识点整理1.将函数f(x)展开成幂级数的条件：（1）函数连续,并且还要函数具有任意阶的导数.（2）它的余项极限为0.2.将函数f(x)傅里叶展开的条件：只要求函数连续，即便不连续，允许只有有限个第一类间断点（跳跃、可去 <左右极限均存在>）.3.三角级数：（1）通式：（2）三角函数系：1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,….,cosnx, sinnx,……（3）三角函数系的正交性：三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于零. ）和差证明k不等于n，可用积化（0cos cos =⎰-ππnxdx kx4.将函数傅里叶展开的方法：公式法∑∞=++=10)sin cos (2)(f n n n nx b nx a a x ⎰-=πππdx x f a )(10 ,...)3,2,1(cos )(1==⎰-n nxdx x f a n πππ,...)3,2,1(sin )(1==⎰-n nxdx x f b n πππ5.狄利克雷定理：设f(x)是周期为2π的周期函数,如果它满足:(1)在一个周期内连续或只有有限个第1类间断点;(2)在一个周期内至多只有有限个极值点.则f(x)的傅立叶级数收敛于)]0()0([21++-x f x f当x 是f(x)的连续点时,级数收敛于该点函数值;当x 是f(x)的间断点时,级数收敛于左极限与右极限的算术平均值∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a6.周期延拓：f(x)只在[-π,π]上有定义,并满足狄里克雷充分条件，可扩大定义域，使f(x)拓广为周期为2π的周期函数F(x).7.奇偶函数的傅里叶级数：f(x)为奇函数时,余弦系数为0,正弦系数为半区间上积分的两倍=n a ⎰=ππ0sin )(2nxdx x f b n n=0,1,2…… f(x)为偶函数时,正弦系数为0,余弦系数为半区间上积分的两倍⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n 0=n b n=0,1,2……8.函数展开成正余弦级数(1).奇偶延拓:奇延拓：f(x)在[0,π]上满足狄里克雷条件,在(-π,0)内补充f(x)的定义,得到定义在(-π,π]上的奇函数F(x), ,称此种拓广函数定义域的过程为奇延拓.偶延拓：f(x)在[0,π]上满足狄里克雷条件,在(-π,0)内补充f(x)的定义,得到定义在(-π,π]上的偶函数F(x), ,称此种拓广函数定义域的过程为偶延拓.(2).F(x)展开成正余弦级数正弦级数：把奇延拓后的函数F(x)展开为傅立叶级数,即为F(x)的正弦级数.余弦级数：把偶延拓后的函数F(x)展开为傅立叶级数,即为F(x)的余弦级数.(3).f(x)的正余弦级数展开式:正弦级数展开式：限制x 在(0,π]上,此时F(x)≡f(x),F(x)的正弦级数展开式在此范围内即为f(x)的正弦级数的展开式.余弦级数展开式：限制x 在(0,π]上,此时F(x)≡f(x),F(x)的余弦级数展开式在此范围内即为f(x)的余弦级数的展开式.(4)注：同样的函数,进行奇延拓和偶延拓,情况是不同的.但在(0,π)区间函数值是一样的9.常见级数的值：（了解） (5)141312112222+++++=σ (62π) )8.......(. (5)13112221πσ+++= (6)141212222+++=σ (242π) (5)1413121122223++-+-=σ (122π)。

傅里叶级数的基本概念

傅里叶级数的基本概念
傅里叶级数是一种将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的方法。

它是以法国数学家傅里叶的名字命名的。

傅里叶级数的基本概念包括：
1. 周期函数：傅里叶级数适用于周期函数，即具有重复性的函数。

周期函数可以用一个周期T来描述，即f(t+T) = f(t)。

2. 基函数：傅里叶级数中的基函数是正弦和余弦函数。

正弦函数的频率是函数在一个周期内重复的次数，余弦函数则是正弦函数相位向右移动90度得到的。

基函数的频率可以用角频率ω表示。

3. 傅里叶级数公式：傅里叶级数表示一个周期函数f(t)可以表示为一个无穷级数的形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) +
bn*sin(nωt))，其中a0/2是函数的平均值，an和bn是函数的系数。

4. 傅里叶系数：傅里叶级数中的系数an和bn可以通过积分计算得到。

an表示在周期T内函数f(t)与cos(nωt)的乘积的平均值，bn则是与sin(nωt)的乘积的平均值。

这些系数代表了基函数的贡献程度。

5. 频谱：傅里叶级数可以将一个周期函数表示成一系列频率成分的和。

这些频率成分称为频谱，由基函数的频率ω和对应的系数确定。

傅里叶级数的基本概念可以帮助我们理解和分析周期函数的特性，以及应用于信号处理、图像处理和物理学等领域。

傅里叶级数

0
2 2 Bk T0
4 x( t ) cos kw0 tdt T0 T0 /2
T0 /2
T0 /2
x(t ) cos kw tdt
0 0
1 2 c0 x( t )dt x( t )dt T0 T0 /2 T0 0 2.奇对称：此时x(t)的傅立叶级数中只含有正弦项
第4章连续时间信号的傅立叶变换
A A sin( k/4) ck sin( k/4) Sinc (k/4) k 4 k/4
其双边频谱图如下：
例4-7 在例4-2中，当 T0 4T1 ，A=4时：
第4章连续时间信号的傅立叶变换
幅度谱
ck
第4章连续时间信号的傅立叶变换
1
jw0 t
j 2 w0 t
j 2 w0Βιβλιοθήκη t1 tan1 (1.5 / 3.5) 0.4
c2 2.5 2 3.2
2 2
ck
3 .8 . . 3 .2. .
0
2 tan (2 / 2.5) 0.67 k
k0
0 .4
0 20
.
.
0
0
.2
0.67 .
x( t ) 2 Dk sink 0 t
k 1
T0 /2
第4章连续时间信号的傅立叶变换
2 2 Dk T0
4 x( t ) sin kw0 tdt T0 T0 /2
T0 /2
T0 /2
x(t ) sin kw tdt
0 0
3.半波对称:
T0 ) 偶半波对称：仅含偶次谐波分量。 x ( t ) x ( t 2 T0 奇半波对称：仅含奇次谐波分量。 x ( t ) x ( t ) 2 镜像对称

傅里叶级数

2. 三角级数的一般形式
一般的三角级数为
取 1, 由于
A A i n ( n x ) 0 ns n
n 1

s i n c o s n x c o s s i n n x s i n ( n x ) n n n
a0 设 A0 , 2
A s i n a , A c o s b n n n n n n
最简单的周期运动，可用正弦函数
y A s i n ( x )

( 1 )
来描写。由(1)所表达的周期运动称为简谐振动
初相角 , 其中 A 振幅 , 角频率 ,
简谐振动(1)的周期为
2 T
对于较为复杂的周期运动，常可以用几个简谐振动
f ( x )cos nxdx ，

1

n0,1,2,
f ( x )sin nxdx

1

， n 1 , 2 ,
2. Fourier系数和Fourier级数 Euler―Fourier公式：
如 f 是以2 为周期的函数 , 则

可换为
c 2
c
设函数 f ( x ) 在区间[ , ] 上可积，称公式

1 , s i n k x sinkxdx 0 ,

k 1 , 2 , ;
k , h 1 , 2 ,
s i n k x c o s h x d x s i n, k x c o s h x 1 s i n ( kh ) x s i n ( kh ) x d x 0, 2

5-傅立叶级数

解：
a0
1
xdx
0
，
an
1
xcosnxdx 0 ，
bn
1
xsin nxdx
1
xcosnx
1
n
n
cosnxdx
(1)n1 2 ， n
∴ f (x) ~
(1)n1 2 sin nx 。
n1
n
3．傅里叶级数的收敛性
定理 1（狄利克雷（ Dirichlet ）充分条件）简称为狄氏条件。
cosnxdx 0
(n 1, 2, 3, ) ；
sin nxdx 0
(n 1, 2, 3, ) ；
cosmx sin nxdx 0
(m, n 1, 2, 3, ) ；
cosmx cosnxdx 0
(m, n 1, 2, 3, ,m n) ；
sin mx sin nxdx 0
(m, n 1, 2, 3, ,m n) 。
0 (1)cosnxdx 1
cosnxdx
0
0 (n 1, 2, ) ，
bn
1
f (x)sin nxdx
1
0 (1)sin nxdx 1
sin nxdx
0
1 [ c osnx ] n
0
1[ cosnx] n
0
1 (1cosncosn1) 2 [1(1)n ]
n
n
4 (2k 1)
,
(x)
以
2
为周期，且
f
(x)
1,
1,
x0 ， 0 x
将 f (x) 展开为傅里叶级数，并求其和函数 S (x) 。
解： f (x) 满足狄氏条件，由收敛定理知 f (x)的傅里叶级数

§8.4 傅里叶(Fourier)级数

π 1 l an= ∫ f ( x) cos n xdx,(n = 0,1,2,L) l −l l π 1 l bn= ∫ f ( x) sin n xdx,(n = 1,2,L) l −l l
例8.4.5设f ( x )是周期为4的函数，且在[ −2， ]上的表达式为 2 0.当 − 2 ≤ x ≤ 0时； f ( x) = 1，当0 ≤ x < 2时。将f ( x )展开成傅里叶级数。
例8.4.1设方波函数y ( x )的周期为2π，它在[ −π， π ]上的表达式为 − 1,−π ≤ x < 0; y( x) = 1,0 ≤ x < π . 把y ( x )展开成傅里叶级数.
− 2π
y
１
−π
Ｏ
π
－１
2π
x
设 f ( x )是周期为 2的同期函数，它在区间 ( −1,1]上定义为 2 , − 1 < x ≤ 0, f ( x) = 3 则 f ( x )的傅里叶级数在 x = 1处收敛于 x ,0 < x ≤ 1 .
例8.4.3在0 < x < 2π上把f ( x ) = x展开成傅里叶级数。
2.设f ( x )只在[0， π ]上有定义，有满足收敛定理，我们可以作以2π为周期的函数 F ( x ), 使得在(0， π )内，F ( x ) ≡ f ( x ), 然后将F ( x )展开成为傅里叶级数，则在(0， π )上，该傅里叶级数就是f ( x )在(0， π )上的傅里叶级数，对于区间端点x = 0, x = π , 可根据收敛定理判定基收敛性。由于这里仅给出半个周期定义，所以在作周期延拓时，首先需定义[0， π ]上F ( x )的值，这里可以用两种延拓方法来定义F ( x ) :

奇、偶函数的傅里叶级数

an cos nx n1
称为余弦级数.
奇、偶函数的傅里叶级数
例 1 将函数 f ( x) x在（- , ] 展开为傅里叶级数.
解：函数f (x) x在( , ]是奇函数，
an =0
n 0,1, 2
bn
1
f ( x)sin nxdx
2
0
x sin nxdx
(1)n1
2 n
x
当x
n1
bn
sin nx
2(sin
x
sin 2x 2
时，傅里叶级数收敛于
sin 3x
3
)
x
f ( 0) f ( 0) 0
2
2
奇、偶函数的傅里叶级数
例2、将函数f ( x) x2在[ , ]展成傅里叶级数.
解：函数f ( x) x2在[ , ]是偶函数，
2
a0
x2dx
奇、偶函数的傅里叶级数
n1
( 2
1
8 )sin x 2
2
sin 2x ( 2
3
8 33
)
sin
3
x
当x 时，傅里叶级数收敛于
0 x
f ( 0) f ( 0) 2 2 0
2
2
奇、偶函数的傅里叶级数
按偶式展开，延拓的偶函数
x2, 0 x
f
(
x)
x
2
,
x 0
即f ( x) x2 , x [ , ]
)
x
奇、偶函数的傅里叶级数
将函数在[0, ]展成傅里叶级数：
（1）按奇式展开：将函数在[- , ]延拓为奇函数
an =0
n 0,1, 2

奇函数与偶函数的傅里叶级数

0
bn 0 (n 1 , 2, 3 ,) .
又因为 f(x) 处处连续，故所求的傅里叶级数收敛于 f(x)，即
f
(x)
2
4
(cos
x
1 32
cos 3x
1 52
cos 5x
)
( x ) .
8.4.3 函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开为正弦级数与余弦级数
设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上，我们设想有一
个函数 (x)，它是定义在 ( ) 上且以 2 为周期的函数，而在 [0 , ] 上， (x) = f(x). 如果 (x) 满足收敛定理的条件，那么 (x) 在 ( )
上就可展开为傅里叶级数，取其 [0 , ] 上一段，
即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数， (x) 称为f(x)
0
bn 0 (n 1 , 2, 3 ,) .
(12.6.6)
例 4 设周期函数 f (x) 在其一个周期上的表达式
x , ≤ x 0 ,
f (x)
x ,
0≤ x .
试将其展开成傅里叶级数 .
解函数 f (x) 的图形如图所示，
f(x)
O
x
由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，因此我们应根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数.
周期偶延拓. y
2 O 2 3 x
周期偶延拓
显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，其傅
里叶系数按公式 (12.6.5) 计算. 即
an bn
0
2
(n 0 , 1 , 2,) .
( x)sinnxdx
2
0
0
f ( x)sinnxdx

傅里叶级数概念

傅里叶级数概念
傅里叶级数概念
傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数来表示周期函数的方法。

具体地说，对于一个周期为T的函数f(x)，傅里叶级数可以表示为：
f(x) = a0 + Σan cos(nωx) + Σbn sin(nωx)
其中，a0、an和bn都是系数，ω为角频率，n为正整数。

不同于其他方法，傅里叶级数的系数只依赖于函数在一个周期内的取值。

使用傅里叶级数的好处是可以将任意周期函数用少数几个正弦和余弦函数的和来表示。

这种表示方式不仅简单，还能提供有用的信息，例如：
1. 特定的系数an和bn可以用来计算函数的傅里叶变换，进而确定函数的频谱（函数在频率域的表示）。

2. 傅里叶级数的收敛性定理可以帮助我们理解周期函数在各个点的行为和性质。

3. 傅里叶级数在信号处理、图像处理、量子力学和泛函分析等领域有广泛的应用。

总之，傅里叶级数是一种非常有用的理论工具，可以帮助我们更好地理解周期函数的性质和行为，并在实际应用中提供便利。

傅里叶级数

1
an
1
f ( x)cos nxdx
0
x
cos
nxdx
1
n2
2
(1
(1)n )
n 1, 2, 3, .... n0
1
bn f ( x)sin nxdx
1 0
(1)n1
x sin nxdx
n
(n 1, 2, 3, )
在 [ , )上应用收敛定理得：
当 x 时,
定义在[0, ]上的函数展开为Fourier级数：设 f (x) 在[0, ]上有定义,
( 1 ) 要把 f ( x) 展成正弦级数 :
f ( x) x (0, ]
令 F ( x) 0
x0
---f ( x)的奇式延拓.
f ( x) x [ , 0)
则F( x)在[ , ]上为奇函数, F( x)的Fourier级数为
2
4x
例 6 把 f ( x) 2 x 在 (0, 2)内展成以4为周期的 2
正弦级数,并作出其和函数在[4, 4]上的图形.
解：把 f (x) 延拓成(2, 2)上的奇函数
an 0,
bn
2 l
l 0
f (x) sin n x dx
l
2
(1
x ) sin
n
x
dx
2
0
2
2
n
2 x 2 sin nx x (0, 2)
定理1 (Dirichlet(狄利克雷 )收敛定理)
设 f ( x)以2 为周期, 在[ , ]上满足：
1.连续或只有有限个第一类间断点, Dirichlet条件
2.只有有限个极值点,
则 f ( x) 的Fourier级数

傅里叶级数.pdf

f ( x)dx
a0 dx 2
an
n1
cosnxdx bn
sin nxdx
根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：
从而得出
f ( x)dx a0 2 2
1 a0
f ( x)dx
其次求 an ，用 cos nx 乘②式两端，再从
到逐项积分，可得
f (x) cos nxdx a0 2
0
10
1
f ( x) cos( nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
1
1
f ( x) cos(nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
0
2 f ( x) cosnxdx ( n 0,1,2,3, ).
0
1 bn
f ( x) sin nxdx
10
1
f (x) sin nxdx
x sin nxdx
⑤
2 n1
2
2
记
a0 2
c0 ,
an ib n 2
cn ,
an ib n 2
cn
(n 1,2,3, ),
则⑤式就表示为
a0 2
cn einx
n1
c n e inx ) .
(cneinx ) n 0
cn einx c ne inx ) .
n1
cneinx
⑥
n
⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数 cn 的计算
（1）证设 f (x) 为奇函数，即 f ( x) f ( x) 。按傅里叶系数公式有：
1 an
f (x) cosnxdx
10
1

常用傅里叶级数公式总结

常用傅里叶级数公式总结
常用傅里叶级数公式总结
傅里叶级数是把一个无穷级数表示的函数的展开式，它是由若干sin和cos级数组成的，是一种非常有用的数学工具，在很多学科中都有重要的应用，如信号分析、信号处理、运动学等。

1、指数函数的级数展开式：
可以将函数f(x)展开成一个无穷级数：
f(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+…+a_nx^n+…
其中a_n可以表示为：
a_0=f(0)
a_1=f'(0)/1!
a_2=f'(0)/2!
a_3=f'(0)/3!
…
a_n=f^{(n)}(0)/n!
2、三角函数的级数展开式：
可以将函数f(x)展开成一个无穷级数：
f(x)=a_0+a_1cosx+b_1sinx+a_2cos2x+b_2sin2x+…
+a_ncosnx+b_nsinnx+…
其中a_n和b_n可以表示为：
a_0=1/π∫πf(x)dx
a_1=2/π∫πf(x)cosxdx
b_1=2/π∫πf(x)sinxdx
a_2=2/π∫πf(x)cos2xdx
b_2=2/π∫πf(x)sin2xdx
…
a_n=2/π∫πf(x)cosnxdx
b_n=2/π∫πf(x)sinnxdx
3、泊松分布的级数展开式：
可以将函数f(x)展开成一个无穷级数：
f(x)=a_0+a_1e^x+a_2e^2x+a_3e^3x+…+a_ne^nx+…
其中a_n可以表示为：
a_0=f(0)
a_1=f'(0)
a_2=f'(0)/2!
a_3=f''(0)/3!
…。