(完整word版)高等数学偏导数第七节方向导数题库精编
方向导数
第八章第七节方向导数与梯度,PlϕP lαT lz =f (x ,y )•Mρ本质上，方向导数计算可归结为一元函数导数计算14 1414)e ()()e (i i f i if l l r rr rr −=−∂∂=∂∂存在，且时，当i l r r =e ;x f i f ∂∂=∂∂时，当i l r r −=e .)(xf i f ∂∂−=−∂∂)e ()()e (i i fi ifl l r r r r −=−∂∂=∂∂存在可微可偏导沿任意方向的方向导数存在处沿任意方向在)0,0(),(22y x y x f +==均不存在，)0,0()0,0(),(在从而y x f 1oα=5π/4的方向导数达沿梯度相反方向，∂f ∂l取得最小值： min (∂f ) = l ∂l− gradf (x, y)≤0f ( x, y)减小最快 .方向：是函数值增加最快的方向 grad f :模 : 等于函数的方向导数最大值2º 梯度的概念可以推广到三元函数 u = f ( x, y, z)grad f (x, y,z) = { ∂f , ∂f , ∂f } ∂x ∂y ∂z类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质.例5 求函数 u = ln( x2 + y2 + z2 ) 在点 M (1,2, −2)处的梯度。
解grad uM= ⎜⎛ ⎝∂u, ∂u, ∂u ∂x ∂y ∂z⎟⎞ ⎠(1,2,−2)令r=x2 +y2 + z2,则∂u = ∂x1 r2⋅ 2x注意 x , y , z 具有轮换对称性= ⎜⎛ ⎝2 rx2,2 ry2,2z r2⎟⎞ ⎠ (1,2,−2)= 2 (1, 2, − 2) 93. 梯度的几何意义(1) 等高线z对函数 z = f ( x, y),曲线⎧ ⎨ ⎩z z= =f c(x,y)xoyL*在xOy面上的投影 L* : f ( x, y) = c称为函数 z = f (x, y)的等高(值)线 .z z =2−(x2+y2)z =c2ygrad f ( x, y)o xz =c1yf (x, y) =c1 f (x, y) =c2o x(c1 < c2 )(2) 等高线 f (x, y) = c 的法向量等高线 L∗：f ( x, y) = c⎩⎨⎧x y= =x y(x)L∗在点 P ( x, y)处的切向量：r T={1,d y } = {1, −fx }dxfy=1 fy{fy,−fx}( fy ≠ 0)L∗在点 P ( x , y )处的法向量：nr = ± { f x , f y }(nr ⋅r T=0)(3) 等高线上的法向量与梯度的关系L∗在点 P ( x, y)处的法向量为 nr, 则① nr // grad f ( x, y)②∂f=gradf ( x, y) cos(gradf(x,y)∧,nr)∂n = ± grad f ( x, y)= 0或π当 nr 与 grad f ( x, y)同方向时，∂f ∂n=gradf(x,y)=maxl∂f ∂l当 nr 与 grad f ( x, y )同方向时，∂f = ∂ngradf(x,y)=maxl∂f ∂l≥0沿梯度方向， f ( x, y)的值增加最快.故 z = f (x, y) 在点 P( x, y )的梯度恰为等高线 f (x, y) = c 在这点的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数．梯度为等高线上yf ( x, y) = c2 grad f ( x, y) 的一个法向量，P其指向为：从数值较低的等高线f ( x, y) = c1到数值较高的等ox高线.(c1 < c2 )f (x, y) = c等高线同样, 对应三元函数 u = f ( x, y, z), 有等值面(等量面)f (x, y,z) = c, 当各偏导数不同时为零时, 等值面上 点P处的法向量为 grad f P . 函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数 增大的方向.类似地,设曲面c z y x f =),,(为函数),,(z y x f u = 的等量面，此函数在点),,(z y x P 的梯度的方向与 过点P 的等量面c z y x f =),,(在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数沿这个法线方 向的方向导数.4. 梯度的基本运算公式grad (1)r=C u C u C grad )(grad (2)=v u v u grad grad )(grad (3)±=±u v v u v u grad grad )(grad (4)+=uu f u f grad )()(grad (5)′=5. 梯度的应用梯度的应用非常广泛，如：(1) 计算方法中求解非线性方程组的最速下降法；(2) 在热力学中，引出热流向量：U k q grad −=r(其中U (P )为温度函数)表示物体中各点处热流动的方向和强度；(3) 在电磁场学中的电位u 与电场强度有关系：E ruE grad −=r这说明场强:垂直于等位面,且指向电位减少的方向.),z y 沿方向l (γzfβcos cos ∂∂+)沿方向l (方向角为可微时方可用。
方向导数与梯度.
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9
三
方向导数的计算公式
定理 如果函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 是可 微分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向 导数都存在，且有
f f f cos sin ， l x y 其中 为x 轴到方向 L 的转角． 证 z f ( x, y ) 在点 p( x, y )是可微的，
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2
2
P
f 当 不为零时， x
gradf
23
在几何上 z f ( x , y ) 表示一个曲面
曲面被平面 z
c
z f ( x, y) , 所截得 z c
所得曲线在xoy面上投影如图
y f ( x, y) c2
P
f ( x, y) c1
gradf ( x , y )
所求方向导数
z 2 cos( ) 2 sin( ) . 4 4 2 l
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例2 设由原点到点（x,y)的向径为 r x , y
x轴到 r 的转角为 ，x轴正向到射线 l r , 的转角为 , 求 l 其中 r r x 2 y 2 .
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方向余弦为
16
例4 求
u xy z 在点 p(1,1,1) 沿
2 3
3,1,2 l 的方向导数。
u 2 3 u 3 u 2 2 y z , 2 xyz , 3 xy z . 解： x y z
u u u 1, 2, 3 x ( 1 ,1 ,1 ) y ( 1 ,1 ,1 ) z ( 1 ,1 ,1 )
x cos , y cos , z cos
高等数学第九章第七节 方向导数与梯度
| PP | (x)( x, y), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0
1、定义
函数的增量 f (x x, y y) f (x, y) 与
2、设 f ( x, y, z) x 2 2 y 2 3z 2 xy 3 x 2 y 6z ,
则gradf (0,0,0) __________________.
3、已 知 场 u( x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
,则u沿
场的梯度
方向的方向导数是__________________.
4、称向量场 a 为有势场,是指向量a 与某个函数
u( x, y, z)的梯度有关系__________________.
练习题答案
一、1、1 2 3；
2、3 i 2 j 6 k ；
3、
(
2 a
x
2
)
2
(
2 b
y
2
)
2
(
2z c2
)
2
gradu ；
4、a gradu.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长 最快的方向.
练习题
一、填空题:
1、函数z x 2 y 2 在点(1,2) 处沿从点(1,2) 到点
(2,2 3)的方向的方向导数为_____________.
(1,1)
(1,1)
cos sin 2 sin( ), 4
高等数学-偏导数共22页文档
高等数学-偏导数
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
(整理)第七节方向导数与梯度
第七节 方向导数与梯度要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。
重点：方向导数与梯度的计算。
难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。
作业：习题8－7（60P ）2,4,6,8,10一．方向导数问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题．1．方向导数定义设函数),(y x f z =在点(,)P x y 的某一邻域内有定义，自P 点引有向直线L ，x 轴正向与直线L 夹角为ϕ，在L 上任取一点'(,)P x x y y +∆+∆，若'P 沿着L 趋近于P 时，即当0)()(22→∆+∆=y x ρ时，极限ρρ),(),(limy x f y y x x f -∆+∆+→ 存在则称此极限值为函数在点P 沿着L 方向的方向导数．记作ρρ),(),(lim 0y x f y y x x f L f -∆+∆+=∂∂→． 说明（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角0>ϕ，顺时针方向旋转生成的角是负角0<ϕ；2．方向导数的计算定理 若函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，那么函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任一方向L 的方向导数都存在，且有计算公式ϕϕsin cos y f x f L f ∂∂+∂∂=∂∂{},cos ,sin ,f f f f e x y x y ϕϕ⎧⎫⎧⎫∂∂∂∂=⋅=⋅⎨⎬⎨⎬∂∂∂∂⎩⎭⎩⎭． 其中ϕ为x 轴到方向L 的转角，e 是与L 同方向的单位向量．证明：因为函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，所以有()f ff x y o x yρ∂∂∆=∆+∆+∂∂， 上式两边同除以ρ，得()()cos sin ff x f y o f f o x y x y ρρϕϕρρρρρ∆∂∆∂∆∂∂=++=++∂∂∂∂，则0lim cos sin f f f f L x yρϕϕρ→∂∆∂∂==+∂∂∂ 例1．求函数yxe z 2=在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数．解 这里方向L 即向量{}1,1PQ =-的方向，因此x 轴到L 方向的转角4πϕ=,又因为y e x z 2=∂∂，y xe y z 22=∂∂，所以在点)0,1(处，1=∂∂xz，2=∂∂y z ，于是方向导数为22)4sin(2)4cos(1-=-+-⋅=∂∂ππL z ． 另一方法．例2. 设由原点到点),(y x 的向径为r ，x 轴到r的转角为θ，x 轴到射线L 的转角为ϕ，求Lr ∂∂，其中22y x r r +== )0(≠r ． 解 因为θcos 22==+=∂∂r x y x x xr ，θsin 22==+=∂∂ryy x y yr 所以)cos(sin sin cos cos ϕθϕθϕθ-=+=∂∂Lr， 讨论：当θϕ=时，1=∂∂L r,即沿着向径本身方向的方向导数为1,当2πθϕ±=时，0=∂∂Lr,即沿着与向径垂直的方向导数为零．3．三元函数的方向导数三元函数),,(z y x f u =在空间一点(,,)P x y z 沿方向L (设方向L 的方向角为γβα,,)的方向导数，同样定义为ρρ),,(),,(lim 0z y x f z z y y x x f L f -∆+∆+∆+=∂∂→．其中222)()()(z y x ∆+∆+∆=ρ，γρβραρcos ,cos ,cos =∆=∆=∆z y x ．若函数),,(z y x f 在点(,,)P x y z 可微分，则在该点方向导数计算公式为cos cos cos {,,}{cos ,cos ,cos }f f f f f f fL x y z x y zαβγαβγ∂∂∂∂∂∂∂=++=⋅∂∂∂∂∂∂∂ {,,}f f fe x y z∂∂∂=⋅∂∂∂． 其中{cos ,cos ,cos }e αβγ=是与L 同方向的单位向量．例3．求函数u xyz =在点(5,1,2)P 处沿从点(5,1,2)P 到点(9,4,14)Q 的方向的方向导数．解 因为u yz x ∂=∂，,u u xz xy y z ∂∂==∂∂，所以2,10,5PPPu uu xyz∂∂∂===∂∂∂，而且{95,41,142}{4,3,12}PQ =---=，2||413PQ ==，于是 4312cos ,cos ,cos 131313αβγ===，从而431298cos cos cos 210513131313f f f f L x y z αβγ∂∂∂∂=++=⨯+⨯+⨯=∂∂∂∂． 二．梯度1．梯度定义设函数),(y x f z =在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点(,)P x y D∈都可确定出一个向量j yf i x f∂∂+∂∂，这个向量称为函数),(y x f z =在点(,)P x y D ∈的梯度，记作⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂=∂∂+∂∂=x f x f j y f i x f y x gradf ,),( ． 2．梯度与方向导数关系设cos sin e i j ϕϕ=+是与L 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得{}cos sin ,cos ,sin f f ff f L x y x y ϕϕϕϕ⎧⎫∂∂∂∂∂=+=⋅⎨⎬∂∂∂∂∂⎩⎭(,)(,)cos(^)gradf x y e gradf x y e gradf e =⋅=⋅),(y x gradf prj L =． 可见，方向导数Lf∂∂就是梯度在方向L 上的投影． 当L 方向与梯度方向一致时，有1)^cos(=e gradf，从而方向导数(,)f gradf x y L∂=∂有最大值，所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数),(y x f 在这点增长最快的方向．结论：函数在某点的梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即(,)max()f gradf x y L∂=∂ 3．梯度的计算梯度的模为 22)()(),(xfx f y x gradf ∂∂+∂∂=， 梯度方向为 当0≠∂∂xf时，x 轴到梯度转角的正切xf y f∂∂∂∂=θtan ． 4．梯度的几何意义曲面),(y x f z =被平面c z =所截得曲线L 的方程为⎩⎨⎧==c z y x f z ),(这条曲线L 在xoy 面上的投影是一条平面曲线*L ，它在xoy 平面上的直角坐标方程为c y x f =),(对于曲线*L 上一切点，对应的函数值都是c ，所以称曲线*L 为函数),(y x f z =的等高线， 等高线*L 上任一点(,)P x y 处法线斜率为11tan ()y x x yf dy f f dx f θ-=-==-，梯度j yf i x f ∂∂+∂∂为等高线上点P 处的法向量．梯度与等高线关系：函数),(y x f z =在点),(y x p 的梯度的方向与过点p 的等高线c y x f =),(在该点的法线方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．5．三元函数的梯度k zf j y f i x f z y x gradf∂∂+∂∂+∂∂=),,(等高线对应等量面．例3．求221y x grad+．解 因为221),(yx y x f +=，所以22)(2y x x x f +-=∂∂，22)(2y x yy f +-=∂∂， 于是j y x yi y x x y x grad 22222222)(2)(21+-+-=+．例4．设222),,(z y x z y x f ++=，求)2,1,1(-gradf ．解 因为k z j y i x z y x gradf222),,(++=，所以k j i gradf422)2,1,1(+-=-．6.数量场与向量场如果对于空间区域G 内的任一点M ，都有一个确定的数量)(M f ，则称在这空间区域G 内确定了一个数量场，一个数量场可由一个数量函数)(M f 来确定，如果与点M 相对应的是一个向量()F M ，则称在空间区域内确定了一个向量场，一个向量场可用一个向量函数()F M 来确定．思考题1．2．方向导数与梯度有何区别？又有何联系？（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
高等数学-偏导数
z
记为
,
x x x0
y y0
f x
,
x x0 y y0
zx
x x0 ,
y y0
或
f x ( x0 , y0 ).
2
同理,可定义函数 z f ( x, y) 在点( x0, y0 ) 处
对y的偏导数为
f y( x0 ,
y0 )
lim
y0
f ( x0,
y0
y) y
f ( x0,
y0 )
z
记为
, y x x0
x 导数,则 2z ( ).
xy
yf ( xy) ( x y) y( x y)
z x
1 x2
f ( xy)
y x
f ( xy)
y( x y)
26
设u
yf
x y
xg
y ,其中f , g有连续的 x
二阶 导数, 求x
2u x 2
y
2u xy
.
答案: 0
解
u x
f
x y
u x x x2 y2 ,
2u (x2 y2) x 2x x2 ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
利用函数关于自变量的对称性
2u y 2
x2 y2 (x2 y2)2
.
2u x 2
2u y2
(
y2 x2
x2 y2 )2
(
x2 x2
y2 y2 )2
0
24
例 验证函数 z sin( x ay)满足波动方程:
2z y2
a2
2z x 2
.
证 因 z cos( x ay), x
高等数学(下册)第八章第七节——方向导数与梯度
l 0 x
y
z
对于二元函数 f (x, y), 在点 P(x, y) 处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
f x (x, y) cos f y (x, y) cos
o
x
特别: • 当 l 与 x 轴同向
西 点 实军 例校 二地 形 图
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
例4.
处矢径 r 的模 ,
试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f (r) x r
f (r) f (r) y ,
• 当 l 与 x 轴反向
0, 时, 有 f f
2
l x
, 时, 有 f f
2
l x
例1. 求函数
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
u 2xyz 2
l P
14
x2y
3 14
例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
G 向量
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度
记作 grad f , 即
(gradient),
f, x
f, y
f z
同样可定义二元函数
在点 P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
对函数
z
f
(x,
y) ,曲线
z
高等数学@9.7 方向导数与梯度
y
cos
f l
fx cos
f y cos
fz cos
= ( fx , fy , fz ) e
梯度
二、 梯 度
定义 设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶
连续偏导数，对D内任意点(x,y)
称向量
f
i
f
j
x y
为z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度,
向量为 e (cos ,cos)
向量为 e (cos ,cos,cos )
则：f(x,y)在点P沿l 方向 则： f(x,y,z)在点P沿l 方
的方向导数:
向的方向导数:
f l
=
fx cos f ( fx , fy ) e
y
cos
= grad f(x,y) e
若极限 lim f ( x0 t cos , y0 t cos) f ( x0, y0 ) 存在，
t0
t
称此极限为函数z=f(x,y)在点P0沿方向l的方向导数，
记为: f l ( x0 , y0 )
f lim f ( x t cos , y t cos) f ( x, y)
u 8 ，
y (1,1,1)
14
cos 3 , 14
u 14， x (1,1,1)
cos 1 . 14
u 6 2 8 3 1 14 11.
n (1,1,1) 14 14 14 14 14
7
(1)二元函数
(2)三元函数
设z=f(x,y)在点P(x,y)可微， 设z=f(x,y,z)在P(x,y,z)可微，
高等数学第八章多元微分第七节方向导数与梯度
证 由于函数可微，
j
P
故增量
o
x
f(x x ,y y ) f(x ,y ) f x f y o () x y 两边同除以 , 得到
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f( x x ,y y ) f( x ,y ) f x f y o () x y
分析：在(3,2)点处，沿不同方向温度的变化率不同， 蚂蚁应沿由热变冷变化最快的方向（梯度方向）
爬行． 如何确定这个方向？ 利用方向导数！
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一、方向导数的定义与计算
意义：确定函数 zf(x,y)在点 P 处沿某一方向
的变化率．
设函数 zf(x,y)在点 P(x, y) y
l
r rr ( 2 x 3 ) i ( 4 y 2 ) j 6 z k ,
rr r 故 gu r( 1 ,1 a ,2 ) d 5 i 2 j 1 k .2
在
P0
(
3 2
,
1 2
,0)处梯度为0.
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内容小结
1. 方向导数
• 三元函数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)沿方向 l (方向角
2 l x
推广: 若三元函数 u = f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 可微,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,
l
且 ffco sfco sfco s
l x
y
z
P(x,y,z)
其中 , , 为 l 的方向角.
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f(x,y)c1
而梯度的模等于函数在该法线 o
高数偏导数复习
z z f y (x, y) f x (x, y) y x
按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数：
z 2 z z 2 z ( ) 2 f xx (x, y) , ( ) f xy (x, y) y x x y x x x
z 2 z z 2 z ( ) f yx (x, y) , ( ) 2 f yy (x, y) x y yx y y y
曲面的法线方程是
x x0 y y0 z z0 . Fx (x 0 , y0 , z 0 ) Fy (x 0 , y0 , z 0 ) Fz (x 0 , y 0 , z 0 )v
例题： 求旋转抛物面 z x 2 y 2 1 在点 (2,1, 4) 的切平面及法线方程. 解:
grad f (x 0 , y0 ) f x (x 0 , y0 )i +f y (x 0 , y 0 ) j
10. 多元函数的极值和其求法. 定理 1：设函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 具有偏导数，且在点 (x 0 , y 0 ) 处 有极值，则有
f x (x 0 , y 0 )=0，
f y (x 0 , y 0 )=0
定理 2： 设函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 的某一领域连续且有一阶及二 阶连续偏导数 f x (x 0 , y0 )=0，f y (x 0 , y0 )=0 ，令
f xx ( x
(0x ,0 y f) = B y y,
L(x, y) f (x, y) (x, y)
n( F x , 0y 0 , zF x ( 0 y) ,
0
x 2 y 3z 6 .
高等数学偏导数第七节方向导数题库
【090701】【计算题】【较易0.3】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求z x y，在点2,2沿单位圆x2y21外法线方向的方导游数。
2 2【试题答案及评分标准】coscos2(4分)2z1z x 1y因此z222(10分) n22【090702】【计算题】【较易0.3】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求z3x2y在点11,沿单位圆x2y22外法线方向的方导游数。
【试题答案及评分标准】cos cos2(4分) 2z3z2x y因此z322252n22(10分)2【090703】【计算题】【较易0.3】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数z x ln(1y)在点11,沿曲线2x2y21切线（指向x增大方向）向量的方导游数。
【试题答案及评分标准】4xtan(1,1) 2 2ycos 1cos2(4分) 55因此zln(1y)cosxcos1y(1,1)ln21121(ln21)(10分)5255【090704】【计算题】【较易 】【方导游数与梯度】【方导游数梯度】【试题内容】求函数zlne x 在0,1 点沿曲线y e x切线正向（指向x 增大方向）1y 2的方导游数。
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高等数学 6-7
方向导数与梯度
一.方向导数
二.梯度
习题
第七节
一、方向导数
方向导数与梯度
设函数z=f(x,y)在P(x,y)的某一邻域U(P)内 有定义.自点P引射线 l .设x轴正向到射线 l 的 转角为 ，并设P( x x, y y) 为 l 上的另 一点(图8-9)且 P U ( P) .我们考虑函数的增 量 f ( x x, y y) f ( x, y)与 P、P 两点间 的距离 (x) 2 (y ) 2 的比值 .当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果这个比的极限存在，则称这极
f f f cos sin l x y
其中 为x轴到方向 l 的转角. 证 根据函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微 分的假定，函数的增量可以表达为
f f f ( x x, y y ) f ( x, y ) x y o( ) x y
f f f i j k x y z
这向量称为函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯 度，将它记作 gradf ( x, y, z) ，即
f f f gradf ( x, y) i j k x y z
如果我们引进曲面
f ( x, y, z) c
为函数u=f(x,y,z)的等量面的概念，则可得函 数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度的方向与过 点P的等量面f(x,y,z)=c在这点的法线的一个方 向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高 的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.
二、梯度
在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面 区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 P(x,y)∈D，都可以定出一个向量
第七节、方向导数1
( x0 , y0 , z0 )
如果 u = f ( x , y , z ) 在点
处可微，则
f x ( x0 , y0 , z0 ) cos f y ( x0 , y0 , z0 ) cos
fz ( x0 , y0 , z0 ) cos
例2. 求函数 的方向导数 .
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
（3）同理，在 y 轴的两个方向上
正方向：
( 0, 1)
f l
l
f y ( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
负方向：
( 0, 1) f
f y ( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
结论1：如果函数 z = f ( x , y ) 在点
例4 设
求
在 在 处增加最快的方向以及沿这个方向的方向导数 处减少最快的方向以及沿这个方向的方向导数
（1） （2） （3）
解（1）
在 处变化率为零的方向。 在 处沿梯度 的方向增加最快，
故所求方向可取为 方向导数为 （2）
在
处沿
的方向减少最快， 这方向可取为 方向导数为
（3）
在 处沿垂直于梯度 或
仅反映函数在垂直平方向 上的变化率。
0
x
在实际问题中，还需要考虑函数在斜方向上的变化 率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等。
二、方向导数的定义
函数在某一方向上的变化率，称为函数在该方向 上的方向导数。 y l 与 l 同方向的单位向量为 P ( x, y) t el ( cos , cos ), 则射线 l 的参数方程为
连续偏导数，则对于每一点 P ( x0 , y0 ) D ,
第七节方向导数与梯度
8; 14
u zP
6x2 8y2
z2
14.
P
u n
P
6283(1)4 1 11
14141414
147
.
二、一梯个度二概元函念数与在给计定算的点处沿不同方向
的方(g向ra导di数en是t)不一样的.
问题 函数z = f (x, y)沿什么方向的方向导数为最大
已知方向导数公式 ffcosfcos
f(x,y)c表示一条平面曲线,
所其以参g任数r意形a点式处d：的fxy切向xy(量x)为：1,yfxx f1y,yffxxy
0
1
fx
(
fx fy
)
fy 0 gr afx d ,fyf gradf
所以梯度为曲线 f(x,y)c上点( x, y) 处的法向量.
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y )
zlP fxPco s fyPcos gr zP a (c d ,c oo s )s grzP al0 d 19
沿梯度方向,
函数的增长最快!
gradzP
f x
,
f y
P
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量,
它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它 的模为方向导数的最大值(最大的变化率).
8.7 方向导数与梯度
一、 方向导数的概念 二、 梯度的定义和方向导数的计算 三、 小结 思考题
一、方向导数定义与计算公式
y
实例
(1, 3)
(5, 3)
TT(x,y) k x2 y2
(1, 1)
o
(5, 1)
x
问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
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