第21章一元二次方程-21(2)
第二十一章一元二次方程检测题(附答案解析)
第二十一章一元二次方程检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程：①x2－5＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③(x－2)(x＋3)＝x2＋1；④x2－4x＋4＝0；⑤x2＋1x＝412中，一元二次方程的个数是()A．1 B．2 C．3 D．42．一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为()A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3 C．(x＋3)2＝15 D．(x＋3)2＝33．(2018·上海)下列对一元二次方程x2＋x－3＝0根的情况的判断，正确的是()A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根4．(2018·铜仁)关于x的一元二次方程x2－4x＋3＝0的解为()A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－35．关于x的一元二次方程x2－3x－a＝0有一个实数根为－1，则a的值()A．2 B．－2 C．4 D．－46．等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两根，则它的周长为()A．12 B．12或9 C．9 D．77．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是()8．(2018·咸宁)已知一元二次方程2x2＋2x－1＝0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是()A ．x 1＋x 2＝1B ．x 1·x 2＝－1C ．|x 1|＜|x 2|D ．x 12＋x 1＝129．(2018·舟山)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a2.则该方程的一个正根是( )A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长10．(2018·乌鲁木齐)宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有( )A ．(180＋x －20)(50－x10)＝10890 B ．(x －20)(50－x －18010)＝10890 C ．x(50－x －18010)－50×20＝10890 D ．(x ＋180)(50－x10)－50×20＝10890 二、填空题(每小题3分，共24分)11．把方程(x ＋1)(3x －2)＝10化成一般形式为3x 2＋x －12＝0，一次项系数为1，常数项为 .12．(2018·苏州)若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋2n ＝0有一个根是2，则m ＋n ＝ . 13．(2018·威海)关于x 的一元二次方程(m －5)x 2＋2x ＋2＝0有实根，则m 的最大整数解是 .14．(2018·十堰)对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b ＝a 2－ab ，例如，5※3＝52－5×3＝10.若(x ＋1)※(x －2)＝6，则x 的值为 .15．若两个不等实数m ，n 满足条件：m 2－2m －1＝0，n 2－2n －1＝0，则m 2＋n 2的值是 . 16．等腰△ABC 中，BC ＝8，AB ，AC 的长是关于x 的方程x 2－10x ＋m ＝0的两根，则m 的值是 .17．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是 .18．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 .三、解答题(共66分)19．(6分)解方程：(1)x2－5x＋2＝0; (2)x2－1＝2(x＋1)．20．(6分)方程(m－2)xm2－2＋(3－m)x－2＝0是一元二次方程，试求代数式m2＋2m－4的值．21．(6分)(2018·甘孜州)已知关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．22．(7分)某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%.(1)根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少元？(2)若每件商品售价定为x元，则每天可卖出(170－5x)件，商店预期每天要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？23．(9分)(2018·随州)已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若1x1＋1x2＝－1，求k的值．24．(10分)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2016年该市投入基础教育经费5000万元，2018年投入基础教育经费7200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2019年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2000元，则最多可购买电脑多少台？25．(10分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ的面积为8 cm2?(2)出发几秒后，线段PQ的长为4 2 cm?(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．26．(12分)(2018·常州)阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x ＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的解．(1)问题：方程x3＋x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝；(2)拓展：用“转化”思想求方程2x＋3＝x的解；(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8 m，宽AB＝3 m，小华把一根长为10 m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD，DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长．第二十一章检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程：①x 2－5＝0；②ax 2＋bx ＋c ＝0；③(x －2)(x ＋3)＝x 2＋1；④x 2－4x ＋4＝0；⑤x 2＋1x ＝412中，一元二次方程的个数是(B )A ．1B ．2C ．3D ．42．一元二次方程x 2－6x －6＝0配方后化为(A )A ．(x －3)2＝15B ．(x －3)2＝3C ．(x ＋3)2＝15D ．(x ＋3)2＝3 3．(2018·上海)下列对一元二次方程x 2＋x －3＝0根的情况的判断，正确的是(A ) A ．有两个不相等实数根 B ．有两个相等实数根 C ．有且只有一个实数根 D ．没有实数根 4．(2018·铜仁)关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的解为(C )A ．x 1＝－1，x 2＝3B ．x 1＝1，x 2＝－3C ．x 1＝1，x 2＝3D ．x 1＝－1，x 2＝－3 5．关于x 的一元二次方程x 2－3x －a ＝0有一个实数根为－1，则a 的值(C ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－46．等腰三角形的两边长为方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则它的周长为(A ) A ．12 B ．12或9 C ．9 D ．77．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的大致图象可能是(B )8．(2018·咸宁)已知一元二次方程2x 2＋2x －1＝0的两个根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，下列结论正确的是(D ) A ．x 1＋x 2＝1 B ．x 1·x 2＝－1 C ．|x 1|＜|x 2| D ．x 12＋x 1＝129．(2018·舟山)欧几里得的《原本》记载，形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝a 2，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝a2.则该方程的一个正根是(B )A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长 10．(2018·乌鲁木齐)宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有(B )A ．(180＋x －20)(50－x10)＝10890 B ．(x －20)(50－x －18010)＝10890C ．x(50－x －18010)－50×20＝10890D ．(x ＋180)(50－x10)－50×20＝10890二、填空题(每小题3分，共24分)11．把方程(x ＋1)(3x －2)＝10化成一般形式为3x 2＋x －12＝0，一次项系数为1，常数项为－12. 12．(2018·苏州)若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋2n ＝0有一个根是2，则m ＋n ＝－2. 13．(2018·威海)关于x 的一元二次方程(m －5)x 2＋2x ＋2＝0有实根，则m 的最大整数解是4. 14．(2018·十堰)对于实数a ，b ，定义运算“※”如下：a ※b ＝a 2－ab ，例如，5※3＝52－5×3＝10.若(x ＋1)※(x －2)＝6，则x 的值为1.15．若两个不等实数m ，n 满足条件：m 2－2m －1＝0，n 2－2n －1＝0，则m 2＋n 2的值是6.16．等腰△ABC 中，BC ＝8，AB ，AC 的长是关于x 的方程x 2－10x ＋m ＝0的两根，则m 的值是25或16. 17．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是10%. 18．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是74.三、解答题(共66分) 19．(6分)解方程：(1)x 2－5x ＋2＝0; (2)x 2－1＝2(x ＋1)．(1)x 1＝5＋172，x 2＝5－172解：(2)x 1＝－1，x 2＝320．(6分)方程(m －2)xm 2－2＋(3－m)x －2＝0是一元二次方程，试求代数式m 2＋2m －4的值． 根据题意，得m 2－2＝2且m －2≠0，解得m ＝±2且m ≠2，∴m ＝－2，∴m 2＋2m －4＝(－2)2＋2×(－2)－4＝4－4－4＝－421．(6分)(2018·甘孜州)已知关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围． ∵方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4×1×m ＝4－4m ＞0，解得m ＜122．(7分)某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%. (1)根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少元？(2)若每件商品售价定为x 元，则每天可卖出(170－5x)件，商店预期每天要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？(1)16(1＋30%)＝20.8，即此商品每件售价最高可定为20.8元 (2)由题意得(x －16)·(170－5x)＝280，解得x 1＝20，x 2＝30，因为售价最高不得高于20.8元，所以x 2＝30不合题意，应舍去．故每件商品的售价应定为20元23．(9分)(2018·随州)已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若1x 1＋1x 2＝－1，求k 的值．(1)∵关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k ＋3)2－4k 2＞0，解得k ＞－34 (2)∵x 1，x 2是方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0的实数根，∴x 1＋x 2＝－2k －3，x 1x 2＝k 2，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－（2k ＋3）k 2＝－1，解得k 1＝3，k 2＝－1，经检验，k 1＝3，k 2＝－1都是原分式方程的根．又∵k ＞－34，∴k ＝324．(10分)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2016年该市投入基础教育经费5000万元，2018年投入基础教育经费7200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2019年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影仪需2000元，则最多可购买电脑多少台？(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，得5000(1＋x)2＝7200，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20% (2)2019年投入基础教育经费为7200×(1＋20%)＝8640(万元)，设购买电脑m 台，则购买实物投影仪(1500－m)台，根据题意，得3500m ＋2000(1500－m)≤86400000×5%，解得m ≤880.答：2019年最多可购买电脑880台25．(10分)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，若点P 从点A 沿AB 边向点B 以1 cm /s 的速度移动，点Q 从点B 沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ 的面积为8 cm 2?(2)出发几秒后，线段PQ 的长为4 2 cm?(3)△PBQ 的面积能否为10 cm 2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．(1)设经过t 秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2，则PB ＝6－t ，BQ ＝2t ，∵∠B ＝90°，∴12(6－t)×2t ＝8，解得t 1＝2，t 2＝4，经过2秒或4秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2 (2)设x 秒后，PQ ＝4 2 cm ，由题意，得(6－x)2＋(2x)2＝(42)2，解得x 1＝25，x 2＝2，故经过25秒或2秒时，线段PQ 的长为4 2 cm(3)△PBQ 的面积不能为10 cm 2.理由如下：设经过y 秒，△PBQ 的面积等于10 cm 2，则12×(6－y)×2y ＝10，即y 2－6y ＋10＝0，∵Δ＝b 2－4ac ＝36－4×10＝－4＜0，∴△PBQ 的面积不会等于10 cm 226．(12分)(2018·常州)阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的解．(1)问题：方程x3＋x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝；(2)拓展：用“转化”思想求方程2x＋3＝x的解；(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8 m，宽AB＝3 m，小华把一根长为10 m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD，DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长．(1)－21(2)2x＋3＝x，方程的两边平方，得2x＋3＝x2，即x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1，当x＝－1时，2x＋3＝1＝1≠－1，∴－1不是原方程的解．∴方程2x＋3＝x 的解是x＝3(3)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3 m，设AP＝x m，则PD＝(8－x)m，∵BP＋CP＝10，BP＝AP2＋AB2，CP＝CD2＋PD2，∴9＋x2＋（8－x）2＋9＝10，∴（8－x）2＋9＝10－9＋x2，两边平方，得(8－x)2＋9＝100－209＋x2＋9＋x2，整理，得5x2＋9＝4x＋9，两边平方并整理，得x2－8x＋16＝0，即(x－4)2＝0，所以x＝4.经检验，x＝4是方程的解．答：AP的长为4 m。
九年级数学上第21章一元二次方程21.2解一元二次方程目标一一元二次方程根的判别式新新人教38
A．1，3，1
B．1，3，－1
C．－1，－3，－1 D．－1，3，1
9．【教材P17习题T4变式】不解方程，判断下列方程根 的情况： (1)16y2＋9＝24y； 解：方程化为16y2－24y＋9＝0， Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0， ∴此方程有两个相等的实数根．
(2)5(x2＋1)－7x＝0；
5．【2020·安徽】下列方程中，有两个相等实数根 的是( A ) A．x2＋1＝2x B．x2＋1＝0 C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0
6．【2020·潍坊】关于x的一元二次方程x2＋(k－3)x＋1－ k＝0的根的情况，下列说法正确的是( A ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【点拨】计算根的判别式得Δ＝(k－1)2＋4>0.∴方 程有两个不相等的实数根．故选A.
解：若 a 为等腰三角形 ABC 的底边长，则 b，c 为 等腰三角形 ABC 的两腰长，所以方程有两个相等
的实数根，所以 Δ＝0，即 k＝32.所以方程为 x2－4x ＋4＝0，解得 x1＝x2＝2.
即 b＝c＝2，不符合三角形三边关系，故舍去． 若 a 为等腰三角形 ABC 的一腰长，由题意知 4 是方程的一 个根，所以 42－(2k＋1)×4＋4k－12＝0，解得 k＝52.所以方 程为 x2－6x＋8＝0，解得 x1＝2，x2＝4，符合题意．所以△ ABC 的周长为 2＋4＋4＝10.
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证明：因为 Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×4k－12＝4k2－ 12k＋9＝(2k－3)2≥0，所以无论 k 取何值，这个方程 总有实数根．
(2) 若 等 腰 三 角 形 ABC 的 一 边 长 a ＝ 4 ， 另 两 边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 △ABC的周长．
21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
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人教版21章一元二次方程知识点总结
21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式,含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.注意：〔1〕一元二次方程必须是一个整式方程；〔2〕只含有一个未知数；〔3〕未知数的最高次数是2 ; 〔4〕二次项系数不能等于0 2、一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0〔a 0〕,它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式,等式右边是零,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数；bx 叫做一次项,b叫做一次项系数；c叫做常数项.注意：〔1〕二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号.〔2〕要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式.〔3〕形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程,当且仅当 a 0时是一元二次方程.二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解, 如：当x 2 . 2 2时,x 3x 2 0所以x 2是x 3x 2 0万程的解.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 一元二次方程有两个根〔相等或不等〕三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据：平方根的定义.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.根据平方根的定义可知,x a是b的平方根,当b 0日寸,x a Vb , x a屈,当b<0时,方程没有实数根.三种类型：(1) x2a a 0的解是x ja ;(2) x m 2n n 0的解是x 品 m ;(3) mx n 2c m 0,且 c 0 的解是x ————n. m2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式a2 2ab b2 (a b)2,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,那么有x2 2bx b2 (x b)2.(一)用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2)在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方,再减去这个数；(3)把原方程变为x m2 n的形式.(4)假设n 0,用直接开平方法求出x的值,假设n<0,原方程无解.(二)用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为ax2 bx c 0a 0,a 1时,用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2) 先把常数项移到等号右边,再把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数；(3)在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为x m2 n的形式；(4)假设n 0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程.3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法.一i兀二次方程ax2 bx c 0〔a 0〕的求根公式： 2b b 4ac 2x ------------------------ 〔b 4ac 0〕2a用求根公式法解一元二次方程的步骤是：〔1〕把方程化为ax2 bx c 0 a 0的形式,确定的值a,b.c 〔注意符号〕；〔2〕求出b2 4ac的值；并判断方程根的情况；〔3 〕假设b2 4ac 0 ,那么把a,b,及b2 4ac的值代人求根公式b ' 4ac,求出x i,x2. 2a2x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即假设pq=0时,那么p=0或q=0.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：〔1〕将方程的右边化为0 〔即化为一般式〕；〔2〕将方程左边分解成两个一次因式的乘积.〔3〕令每个因式分别为0,得两个一元一次方程.〔4〕解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.关键点：〔1〕要将方程右边化为0 〔即化为一般式〕；〔2〕熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有：提公式法,公式法〔平方差公式,完全平方公式〕、十字相乘法.注意：一元二次方程解法的选择,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法, 不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊要求,一般不采用配方法,由于配方法解题比较麻烦.三、一元二次方程根的判别式一i兀二次方程ax2 bx c 0〔 a 0〕中,b2 4ac叫做一i元二次方程ax2 bx c 0〔a 0〕的根的判别式,通常用“ 〞来表示,即b2 4acI 当4>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当4=0时,一元二次方程有2个相同的实数根；III 当△ <0时,一元二次方程没有实数根利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b2 4ac的值；④根据b2 4ac的符号判定方程根的情况.根的判别式的逆用在方程ax2 bx c 0a 0中,(1)方程有两个不相等的实数根b2 4ac>0(2)方程有两个相等的实数根b2 4ac=0(3)方程没有实数根b2 4ac < 0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围, 但不能忽略二次项系数不为0这一条件.四、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是x1, x2 ,那么x i x2 b , x/2 -.a a也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程, 两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.五、一元二次方程的应用知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)审题,(2)设未知数,(3)列方程,(4)解方程,(5)检验,(6)作答.关键点：找出题中的等量关系.(1) “审〞指读懂题目、审清题意,明确和未知,以及它们之间的数量关系.这一步是解决问题的根底；(2) “设〞是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的, 但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3) “列〞是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个相等关系列出含有未知数的等式, 即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键；(4) “解〞就是求出所列方程的解；(5)检验应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100满等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验.(6)作答知识点二用一元二次方程解与增长率(或降低率)有关的问题增长率问题的有关公式：增长数(增长了多少)=基数X增长率实际数(增长后的值)=基数+增长数增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：1, 假设基数为a,增长率X为,那么一次增长后的值为a 1 x , 两次增长后的值为al x2;2, 假设基数为a,降低率x为,那么一次降低后的值为al x , 两次降低后的值为al x2.两次增长后的总和等于基数+第一次降低后的值+第二次降低后的值知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等.与利润相关的常用关系式有：(1)每件利润=销售价-本钱价；(2)利润率=(销售价一进货价)+进货价X 100%(3)销售额=售价X销售量知识点四数与数字的关系两位数=(十位数字)X10+个位数字三位数二(百位数字)X100+ (十位数字)X 10+个位数字连续的整数：设其中一数为x,另一数为x+1; (x-1 , x, x+1).连续的奇数：设其中一数为x,另一数为x+2; (x-2, x, x+2).连续的偶数：设其中一数为x,另一数为x+2; (x-2, x, x+2). 和一定的两数(和为a):设其中一数为x,另一数为a-x 差一定的两数(差为a):设其中一数为x,另一数为x+a 积一定的两数(积为a):设其中一数为x,另一数为a/x 商一定的两数(商为a):设其中一数为x,另一数为ax (x/a)知识点五传染问题：传染源：1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1: (1+x)】患者：第一轮后：共(1+x)个第二轮后：共1+ x + (1+x) x = (1+x) ? (1+x),即(1+x) 2个第三轮后：共(1+x) 2+ (1+x) 2? x = (1+x) 2? (1+x),即(1+x) 3个第n轮后：共(1+x) “个［注意：上面例举的是传染源为“ 1〞的情况得到的结论.假设传染源为a,那么第n轮后患者共为：a (1+X) n个］知识点六翻一番即表示为原量的2倍,翻两番即表示为原量的4倍.知识点七银行利率应用题〔含利滚利问题〕年利息=本金X 年利率〔年利率为 a%知识点八 几何类题：①等积变形,②动态几何问题,③梯子问题,④航海问题,⑤几何与图表信息,⑥探索存在问题,⑦平分几何图形 的周长与面积积问题,⑧利用图形探索规律最常见的如：求直角三角形的边.面积S 一定,两直角边和〔和为a 〕 一定：设其中一边为x,另一边为 a-x ,贝U l x 〔a-x 〕 =S 2面积S 一定,两直角边差〔差为a 〕 一定：设其中一边为x,另一边为 x+a 或〔X-a 〕贝U l x 〔x+a 〕 =$或1乂〔x-a 〕 =S 2 2 斜边c 一定,两直角边和〔和为a 〕 一定：设其中一边为x,另一边为 a-x ,那么 x 2+ 〔a-x 〕 2=c 2④斜边c 一定,两直角边差〔差为a 〕 一定：设其中一边为x,另一 边为 x+a 或 x-a 贝1J x 2+ 〔x+a 〕 2=c 2或 x 2+ 〔x-a 〕 2=c 2知识点九 赛制循环问题：【单循环比双循环少了一半】单循环：设参加的球队为x,那么全部比赛共1 [x 〔x-1 〕]场；双循环：设参加的球队为x,那么全部比赛共x 〔x-1 〕场；注：双循环公式X 〔X-1〕,单循环公式1X 〔X-1〕,其实也就可以理 2 解为单循环循环赛就是和每个对手比赛 1次〔对手数量=参赛队数量 -1〕,而每场比赛有2队参加,就得除以2.双循环比赛场次是单循存一年的本息和: 存两年的本息和: 存三年的本息和: 存n 年的本息和: 本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕本金X 〔 1+年利率〕,即本金x ( 1+ a%) ,即本金x ( 1+a% ,即本金x ( 1+a% ,即本金x ( 1+a%环的2倍.类似于此题其它题型如：相互握手；铁路沿线有n个站点要设计多少种车票；一条线段上有n个点(含两个端点),①该线段上共有n (n-1)条有向线段,②该线段上共有：n (n-1)条线段、二次根式的相关概念1 .平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫a的平方根,其中正的平方根而叫做a的算术平方根.2 .二次根式：形如a>0的式子叫做二次根式；3 .同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式称为同类二次根式.4 .最简二次根式：满足两个条件：①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.特别提示：二次根式,后有意义的条件是a>0 .二、二次根式的性质1. (1)三个非负性：①y>0(a>0);②册 2 a> 0(a> 0); 4a |a >0(a为任意实数).2.四个性质:_ 2① 4a a > 0(a > 0); =a (a>0)或-a(a <0)③ 7ab Va 而(a>0,b>0);④三、二次根式的运算:1 )二次根式的加减运算只需对同类二次根式进行合并;(2)二次根式的乘除法G x/b Vab(a > 0,b > 0) ^a^(a > 0,b>0)b特别提示：二次根式运算的结果应化为最简二次根式.。
人教版 九年级上册第21章一元二次方程21.2一元二次方程根与系数的关系学案(无答案)-word
根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系(一)、前提：⑴一元二次方程一般形式：ax 2+bx+c=0 (a ≠0) ⑵⊿≥0（二）、结果：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是21,x x ，那么acx x a b x x =-=+2121,特殊的：x 2+px+q=0的两个实数根是21,x x ，那么x 1+x 2=-p,x 1x 2=q （三）、应用：1、已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；2、已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；3、已知两数，求以这两个数为根的一元二次方程。
以21,x x 为根的一元二次方程：①二次项系数是1，②一次项系数是x 1与x 2和的相反数；③常数项是x 1与x 2的积。
即：x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0 4、不解方程可以求某些关于21,x x 的对称式的值，通常利用到的有：③()|a |x x 4x x ||2122121∆=-+=-x x ④(x 1＋m)(x 2＋m)＝x 1x 2＋m(x 1＋x 2)＋m 2. ⑤.1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2. ⑥ .x 1x 2＋x 2x 1＝x 21＋x 22x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2.5、特殊关系：（1）两根互为相反数，即：21x x +=0且21x x ≤0； （2）有一根是0，=0且⊿≥0（3）两根互为倒数，即21x x =1且⊿≥0。
（注意：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a ≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验；我们可以先利用根与系数的关系进行求解，把求得的结果再进行检验，是否满足a ≠0，⊿≥0，如果满足则保留，不满足就舍去。
）例题及巩固练习（一）、已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；例1 已知方程5x 2＋kx －6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.解：设方程的另一根是x 1，由根与系数的关系得：2x 1= -6/5 解得：x 1= - 53由(－53)＋2=－5k ，得k =－7，所以，方程的另一个根为－53，k 的值为－7. 例2．方程x 2＋3x ＋k=0的一根是2，则方程的另一根及k 的值。
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
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14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
河南省郑州外国语学校初高中数学衔接知识分章节讲解21一元二次方程212根与系数的关系(韦达定理)
根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=， 则有122222b b b b x x a a a a-+--+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a-，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35．由（－35）＋2＝－5k，得k＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0，∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩ 因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-． （1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯- ＝254＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72． （2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-． （3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =，∴| x 1－x 2|=||a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4，由②得 a ＜174． ∴a 的取值范围是a ＜4．练 习1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空: （1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ．（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．2.1 一元二次方程练习1． （1）C （2）D2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x 2＋2x －3＝03．k ＜4，且k ≠04．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9。
九年级上册数学第21章《一元二次方程》知识点梳理完整版
【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；九年级数学上册第21 章《一元二次方程》知识点梳理2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点诠释：1 2 判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为 0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为 2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为 0．要点二、一元二次方程的解法1. 基本思想一元二次方程 −降−次−→ 一元一次方程 2. 基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. 一元二次方程根的判别式一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中， b 2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式， 通常用“ ∆ ”来表示，即∆ = b 2 - 4ac（1） 当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2） 当△=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3） 当△<0 时，一元二次方程没有实数根.2. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.要点诠释：1. 一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1) 不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0 的一个根是0，则a 的值为（）A．1 B．﹣1 C．1 或﹣1D．【思路点拨】根据方程的解的定义，把 x=0 代入方程，即可得到关于 a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B；【解析】解：根据题意得：a2﹣1=0 且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选 B．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【变式】关于 x 的方程(a2−2a −8) x2+ (a + 2) x −1 = 0 ,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2- =0； (2) (x+a)2= ；(3) 2x2-4x-1=0；(4) (1- )x2=(1+ )x．【答案与解析】(1)原方程可化为 0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1= ，x2=- ．(2)原方程可化为 x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2= a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1= a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1= ，x2= .(4)将方程整理，得(1- )x2-(1+ )x=0用因式分解法，得x[(1- )x-(1+ )]=0∴x1=0，x2=-3-2 ．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴(3x-2)(3x-2-1)＝0．∴3x-2＝0 或 3x-3＝0，∴x=2，x= 1．1 3 2(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴(t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴(t-1)(2t-1)＝0，∴t-1＝0 或2t-1＝0．∴t= 1，t=1 ．1 2 2类型三、一元二次方程根的判别式的应用1 23．（2015•荆门）若关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，则 a 的取值范围是（） A ．a≥1B ． a ＞1C ． a≤1D ． a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x 2﹣4x+5﹣a=0 有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∴a≥1．故选 A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出 a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2- 2x + t + 2 = 0 的两个不相等的实数根， （1）求 t 的取值范围； （2）设 s = x 2+ x 2 ，求 s 关于 t 的函数关系式．【答案与解析】(1) 因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即 t ＜-1． (2)由一元二次方程根与系数的关系知： x 1 + x 2 = 2 ， x 1x 2 = t + 2 ， 从而 s = x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x = 22 - 2(t + 2) = -2t ，即 s = -2t (t < -1) ．1 2 1 2 1 2【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于 x 的一元二次方程 x 2 = 2(1- m )x - m 2 的两实数根为 x ， x ．1 2（1） 求 m 的取值范围；（2） 设 y = x 1 + x 2 ，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为 x 2 + 2(m -1)x + m 2 = 0 ．∵ 原方程有两个实数根．∴ △= [2(m -1)]2 - 4m 2 = -8m + 4 ≥ 0 ，∴ m ≤ 1． 2（2） y = x + x = -2m + 2 ，且 m ≤ 1 ． 1 2 2因为 y 随 m 的增大而减小，故当m 1时，取得最小值 1．2类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为 10cm，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为 xcm，由题意得 4x2＝10×8×(1-80%)．解得 x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2 符合题意，x2＝-2 不符合题意舍去．∴x＝2．答：截去的小正方形的边长为 2cm．【总结升华】设小正方形的边长为 x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的 80%，所以 4 个小正方形面积是原矩形面积的 20%．举一反三：【变式】（2015 春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙 MN 最长可利用 25m），现在欲砌 50m 长的墙，砌成一个面积 300m2的矩形花园，则 BC 的长为多少 m?【答案】解：设 AB=x 米，则 BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去）， 50﹣2x=50﹣30=20．答:BC 的长为 20m．6．某旅行社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元，空床可全部租出；若每床每晚提高 2 元，则减少 10 张床位租出；若每床每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出．以每次提高 2 元的这种方法变化下去，为了每晚获得 1120 元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高 x 个2 元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得 x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴ 当 x＝2 时，2x＝4；当 x＝3 时，2x＝6．答：每床每晚提高 4 元或6 元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高 x 个2 元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高 2 元，出租出去的床位减少 10 张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．一元二次方程及其解法（一）直接开平方法【学习目标】1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2.掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3.理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1 是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1 是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为 0.要点二、一元二次方程的解法1.直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则 x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于 x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1) ；(2) ．【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的概念-例 1】【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①x2 +x +1 ；②9x2 - 6x = 0 ；③1y2= 0 ；④5x2-1+ 4 = 0 ；2 2x⑤x2+xy - 3y2= 0 ；⑥3y2= 2 ；⑦(x +1)(x -1) =x2．【答案】②③⑥.【解析】①x2 +x +1不是方程；④5x2-12x+4 = 0 不是整式方程；⑤ x2+xy - 3y2= 0 含有 2 个未知数，不是一元方程；⑦(x + 1)(x -1) =x2化简后没有二次项，不是 2 次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x2-4x+2=0； (2) ．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中 c=-2 不能写为 c=2，(2)题中不能写为．举一反三：关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的形式-例 3】【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2 = 5x - 2 ；（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x ．【答案】（1）3x2 - 5x+2=0 ，二次项系数是 3、一次项系数是-5、常数项是 2.（2）a(x +1)(x -1) = 2 -x 化为ax2 +x -a - 2 = 0, 二次项系数是 a、一次项系数是 1、常数项是-a-2.⎩ ⎩类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2+px+q ＝0 的两根分别为 x 1＝2，x 2＝1，那么 p ，q 的值分别是( ) A ．-3，2 B ．3，-2 C ．2，-3 D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2 是方程 x 2+px+q ＝0 的根，∴ 22+2p+q ＝0，即 2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即 p+q ＝-1 ②⎧2 p + q = -4, ⎧ p = -3,联立①，②得⎨ p + q = -1, 解之得： ⎨q = 2.【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用 2，1 代替方程中未知数 x 的值，得到两个关于 p 、q 的方程，解方程组可求 p 、q 的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4. （2016 春•仙游县月考）求下列 x 的值 （1）x 2﹣25=0 （2）（x+5）2=16．【思路点拨】（1）移项后利用直接开方法即可解决．（2）利用直接开方法解决．【答案与解析】解：（1）∵x 2﹣25=0， ∴x 2=25， ∴x=±5．（2）∵（x+5）2=16， ∴x+5=±4，∴x=﹣1 或﹣9．【总结升华】应当注意，形如 =k 或（nx+m ）2=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式 1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x 2=361；(2)2y 2-72=0；(3)5a 2-1=0；(4)-8m 2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19 或 x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6 或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2= ，∴a=或 a=- ．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2= ，∴m=或m=- ．【变式 2】解下列方程：(1) （2015 •东西湖区校级模拟）(2x+3)2-25=0；(2)（2014 秋•滨州校级期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9. 【答案】解：(1)∵ (2x+3)2=25，∴ 2x+3=5 或 2x+3=-5．∴x1=1，x2=-4．(2)∵（1﹣2x）2=x2﹣6x+9，∴（1﹣2x）2=（x﹣3）2，∴1﹣2x=±（x﹣3），∴1﹣2x=x﹣3 或1﹣2x=﹣（x﹣3），4∴x1=，x2=﹣2．3一元二次方程的解法（二）配方法【学习目标】1.了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1.配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式a2± 2ab +b2= (a ±b)2．知识点二、配方法的应用1.用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3.用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4.用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016•淄博）解方程：x2+4x﹣1=0．【思路点拨】首先进行移项，得到 x2+4x=1，方程左右两边同时加上 4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．【答案与解析】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣．【总结升华】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0；(2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为 x2-4x=2．两边都加 4，得 x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n 的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2= 或 x-2=- ．于是，原方程的根为x=2+ 或x=2- ．(2)将常数项移到方程右边 x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2 或 x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式M = 10a2 +b2 - 7a + 8 ，N =a2 +b2 + 5a +1 ，则M -N 的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B；【解析】（作差法）M -N = 10a2+b2- 7a + 8 - (a2+b2+ 5a +1)=10a2 +b2 - 7a + 8 -a2 -b2 - 5a -1= 9a2 -12a + 7 = 9a2 -12a + 4 + 3 = (3a - 2)2+ 3 > 0 ．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5 的值一定小于 0．【答案与解析】解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣ ＜0， 即﹣8x 2+12﹣5 的值一定小于 0．【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【变式】求代数式 x 2+8x+17 的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0 时，代数式 x 2+8x+17 的最小值是 1.4．已知 a2- 3a + b 2 - b + 37= 0 ，求 a - 4 2 16的值．【思路点拨】解此题关键是把 37拆成 9+ 1，可配成两个完全平方式．16 4 16【答案与解析】将原式进行配方，得⎛ a 2- 3a + 9 ⎫ + ⎛ b 2 - b +1 ⎫ = 0 ，4 ⎪ 2 16 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 3 ⎫2 ⎛ 1 ⎫2即 a - 2 ⎪ + b - 4 ⎪ = 0 ， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴ a - 3 = 0 且b - 1= 0 ，24∴ a = 3，b = 1． 2∴ a - 4 4= 3 - 2= 3 - 2 = - 1 ． 2 2【总结升华】本题可将原式用配方法转化成平方和等于 0 的形式，进而求出 a ．b 的值．b b1 4【学习目标】一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 a、b、c 的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程ax2+bx +c = 0 (a ≠ 0) ，用配方法将其变形为：(x + b)22a=b2- 4ac4a2.①当∆=b2-4ac > 0 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：x1,2 =2a .②当∆=b2 - 4ac = 0 时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：x =-b1,2 2a .③ 当∆=b2 - 4ac < 0 时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为 0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x2+3x+1=0； (2) 2x2 = 4x -1 ；(3) 2x2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1= ，x2= ．(2)原方程化为一般形式，得2x2 - 4x +1 = 0 ．-b ±∵a = 2 ，b =-4 ，c =1 ，∴b2- 4ac = (-4)2- 4 ⨯ 2 ⨯1 = 8 > 0 ．∴ x =4 ± 2 2= 1±2，即x =1+2，x= 1-2．2 ⨯ 2 2 1 2 2 2(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1= ，x2= ．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对 a、b、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定 a，b，c 的值并计算b2 - 4ac 的值；(3)若b2 - 4ac 是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x2﹣3x﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x1=，x2= ．2．用公式法解下列方程：(1) （2014•武汉模拟）2x2+x=2； (2) （2014 秋•开县期末）3x2﹣6x﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x2+x﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x== = ，-1± 3 -1- 3 -1+ 3 ∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1= ，x 2= （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x== ，解得 x 1=，x 2= ．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出 a 、b 、c 的值，在b 2- 4ac ≥ 0 的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2x 2+ 2x = 1；【答案】解：移项，得2x 2 + 2x -1 = 0 ．∵ a = 2 ，b = 2 ，c = -1 ， b 2 - 4ac = 22 - 4 ⨯ 2 ⨯(-1) = 12 > 0 ，∴ x =-2 ± 12 = ， 2 ⨯ 2 2∴ x 1 =2 ， x 2 = 2 ．类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2016•沈阳）一元二次方程 x 2﹣4x=12 的根是（） A ．x 1=2，x 2=﹣6 B ．x 1=﹣2，x 2=6 C ．x 1=﹣2，x 2=﹣6D ．x 1=2，x 2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【答案】B【解析】解：方程整理得：x 2﹣4x ﹣12=0， 分解因式得：（x+2）（x ﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，故选 B【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2) (3x -1)(x -1) = (4x +1)(x -1) ．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即(2x + 3)2= 0 ，∴x =x =-3 ．1 2 2(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以x1=1 ，x2=-2 ．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉 x＝1 这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3 x(2 x+1) =4 x+2【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X1=-6,x2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0x =-1, x =2.1 2 2 35．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2﹣2x+1=0x1=1，x2=1 x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）x2﹣3x+2=0x1=1，x2=2 x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）x1= ，x 2=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）2x2+5x+2=2（x+）（x+2）x1=﹣，x2=﹣2将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1、x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【学习目标】1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 中，b 2- 4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式，通常用“ ∆”来表示，即∆=b 2- 4ac（1）当△>0时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计1 2 算b 2 - 4ac 的值；④根据b 2 - 4ac 的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中，（1） 方程有两个不相等的实数根⇒b 2 - 4ac ﹥0； （2） 方程有两个相等的实数根⇒b 2 - 4ac =0； （3） 方程没有实数根⇒b 2 - 4ac ﹤0.要点诠释：（1） 逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件；（2） 若一元二次方程有两个实数根则 b 2 - 4ac ≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1. 一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b ， x x = c . 1 2 a 1 2 a注意它的使用条件为 a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x 1、x 2 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：① x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x ； 1 2 1 2 1 2② 1 +1 x 1 x 2= x 1 + x 2 ； x 1 • x 2 ③ x x 2 + x 2 x = x x (x + x ) ； 1 2 1 2 1 2 1 2。
九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法(听课)课
21.2.3 因式分解法
解：(1)原方程可化为(x－5)2＝4， ∴x－5＝±2，∴x1＝7，x2＝3. (2)∵b2－4ac＝22－4×3×(－3)＝4＋36＝40，
－2± 40
－1＋ 10
－1－ 10
∴x＝ 2×3 ， ∴x1＝
3
，x2＝
3
.
(3)原方程可化为(x＋ 2)(x＋ 3)＝0，
∴x＋ 2＝0 或 x＋ 3＝0，∴x1＝－ 2，x2＝－ 3.
21.2.3 因式分解法
目标二 能选择合适的方法解一元二次方程
例 2 教材补充例题 选择合适的方法解一元二次方程：
(1)4(x－5)2＝16; (2)3x2＋2x－3＝0； (3)x2＋ 2x＝－ 3(x＋ 2)．
[解析] 根据方程的不同特点选取最简便的方法．(1)可以用直接开平方法； (2)可以用公式法；(3)可以用因式分解法．
21.2.3 因式分解法
【归纳总结】一元二次方程的解法选择： 1．选择顺序：直接开平方法——因式分解法——公式法(或配方 法)． 2．若方程为(mx＋n)2＝p(p≥0)型，则用直接开平方法． 3．若方程右边为0，而左边易于分解成两个一次因式的积，则可用 因式分解法． 4．若方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则可用配方法． 5．公式法和配方法可解任意的一元二次方程．
21.2.3 因式分解法
解：(1)因式分解，得 x(3x－5)＝0，于是得 x＝0 或 3x－5＝0， 5
所以 x1＝0，x2＝3. (2)因式分解，得(x－3)(x＋4)＝0，于是得 x－3＝0 或 x＋4＝0， 所以 x1＝3，x2＝－4.
21.2.3 因式分解法
(3)因式分解，得(x－5＋4)(x－5－4)＝0， 于是得 x－1＝0 或 x－9＝0，所以 x1＝1，x2＝9. (4)移项，得 16(2x－1)2－25(x－2)2＝0. 因式分解，得[4(2x－1)＋5(x－2)][4(2x－1)－5(x－2)]＝0， 所以 13x－14＝0 或 3x＋6＝0，
人教版九年级数学上册(RJ)第21章 一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x x x x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相12-132课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+--= 22b a -=.ba=- 1222b b x x a a•-+--⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－ 解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1.；-3. 2. 1 ； -2.1161.3c x a116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。
九年级数学上册第21章一元二次方程21.2一元二次方程解法复习
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课外作业
如OC图=，55AcmO，=5蚂0c蚁m，甲以2cm/sA P O
B
的速度(sùdù)从A爬到0，蚂蚁
乙以3的面积为
Q
300cm2?
12/11/2021
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C
2021/12/11
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直接(zhíjiē)开平方法： 典型例题讲解
例1 (2x-1)2=1
左边是完全(wánquán)平方式，右边是非负
数
解: (2x-1)=±1
两边(liǎngbiān)直接开平 方
2x-1=1 或 2x-1= -1 降次－ 转化为一元一次方程
x1=1, x2=0
解一元一次方程
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算出b 2-4ac的值，并 判断根的情况。
y=
(2)
121
3 代入求根公式x1•2 b
b2 4ac 2a
22
2
y = 1 2 3, 1 12/11/2021
y2= 1 3 2 第十三页，共二十二页。
四、因式分解 法 (yīn shìfēn jiě)
1.因式分解的方法有：
(1) 用提公因式法;(2)应用公式法；（3）十字相乘法。
（3）得到形如： x = a . 的一元一次方程。
x x （4）写出方程的解
=1 ?
=?
2
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典型例题(lìtí)讲解
例 用配方法解下列(xiàliè)方程
x2+6x=7
解 ：x26x7
x26x979
x32 16
x34
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程(教案)因式分解法教案
21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x 2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2b a -±（b 2-4ac≥0）.2.什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b),a²±2ab+b²=(a±b)².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x 2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地面的高度（单位：m）为10x -4.9x 2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0.解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=±50504949x =±+110049，=x 20.=x 公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac=(－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()101024.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0.∴x=0或10-4.9x=0,∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0;(2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34.师生共同解答如下：解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12.想一想以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x -2）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1=0.因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0.因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0.于是得3x－2=0或2x+1=0，x1=23，x2=12 .⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2∴x12.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28..∴x1，x2.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x2×3＝2±7 3.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0.∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0.∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0.∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2)5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2.解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4B．x＝3C．x＝2D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3.若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。
第21章一元二次方程重难点总结(教案)
在今天的一元二次方程教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握这个数学工具。首先，通过日常生活中的例子导入新课，我希望能够激发学生的兴趣，让他们意识到数学与现实生活的紧密联系。这种方法似乎很有效，我看到学生们在听到问题时都显得很兴奋，这为后续的学习打下了一个良好的基础。
在理论介绍环节，我发现有些学生对一元二次方程的基本概念接受得很快，但也有一些学生显得有些困惑。我意识到，对于这样的抽象概念，仅仅通过语言描述是不够的，还需要结合图形和具体例题来加深理解。因此，我及时调整了教学方法，通过图解和动画来展示方程的解和抛物线的关系，这帮助学生更好地理解了方程的根的性质。
-对于因式分解法的应用，学生容易在分解过程中出现错误，需引导学生理解并掌握因式分解的技巧。
（3）图解法的应用：利用抛物线图像分析一元二次方程的根；
-图解法对于学生的几何直观能力要求较高，需要通过具体实例和绘图练习来提高学生的图解能力。
（4）一元二次方程根的判别式Δ的应用；
-判别式Δ的意义及其与根的关系是学生理解的难点，需要通过具体例题和练习，让学生明确判别式Δ对根的影响。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的解法（公式法、配方法、因式分解法）和根的性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示一元二次方程在实际问题中的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和物理学等多个领域有着广泛的应用，是解决平方关系问题的有力工具。
人教版九年级数学上册第21章 一元二次方程1 一元二次方程
(3)x²+2x=0;
(4)ax²+bx+c=0.
A.1
B.2
C.3
D.4
例2：已知(m-1)x|m+1|+2mx+4=0是关于x的一元二次方程，则
-3
m的值是________.
点拨：由题意可知|m+1|=2且m-1≠0,解得m=-3.
【题型二】一元二次方程的一般形式
例3：一元二次方程2x²+x=3的二次项系数、一次项系数、常
做成一个无盖的长方体盒子，要使盒子的底面积是8 cm².
【题型四】根据实际问题列一元二次方程
例5：教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福
短信.据统计，全组共发了240条祝福短信.设全组共有x名教师，
x²-x-240=0
根据题意，可列方程为______________.(化为一般形式)
例6：根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的
小组展示
将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系
数、一次项系数和常数项.
(1) ( − 2)( + 3) = 8
(3)3( − 1) = 2( + 2) − 4
(2)6 2 = 3 − 7
(4)(3 + 2)2 = 4( − 3)
(1)x²+x-14=0,二次项系数：1，一次项系数：1，常数项:-14.
一般形式.
(1)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边x；
(2)用一根长100m的绳子围成一个面积为128 m²的矩形，求矩形的长x；
(3)某农机厂今年四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个， 求
新人教版21章一元二次方程知识点及典型题目总结
一元二次方程知识题型总结一、知识与技能的总结（一）概念一元二次方程--“整式方程”;“只含一个未知数,且未知数的最高次数是2"．一元二次方程的一般形式-—，按未知数x降幂排列方程的根（解）—-是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．（二）一元二次方程的解法-—把一元二次方程降次为一元一次方程求解1．直接开平方法-—适用于的方程．2．配方法——适用于所有的一元二次方程；（1）“移项”-—使得（2)“系数化1”——使得（3）“配方”——使得(4)“求解”—-利用解方程3．公式法—-适用于的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；（2）先求出的值，若,则代入公式．若,则；4．因式分解法--适用于的方程．用因式分解法解一元二次方程的依据是：．通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个方程的解．（三）其它知识方法1．根的判别式: ，（1）若，则方程有解；（2）若，则方程有解;(3）若，则方程有解;2．换元法（1）；（2）(3)．3．可化为一元二次方程的分式方程解方程二、典型题型的总结（一）一元二次方程的概念1．(一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：(1）；(2);（3）；（4) ；（5）；2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值)（1)= 时,关于的方程是一元二次方程。
(2)若分式，则3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）(1）关于的一元二次方程有一个根为0，则(2）已知关于的一元二次方程有一个根为1,一个根为,则，(3）已知2是关于的方程的一个根,则的值是(4)已知c为实数,并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，则方程的根为,c=（二）一元二次方程的解法4．开平方法解下列方程：(1）（2)（3) （4)（5）；（6)；（7）．（8)5．用配方法解下列各方程：（1）; (2）;（3) (4）（5）；（6）．6．用公式法解下列各方程:（1）; （2）；(3）；（4）．（5）(6）（7）（8）（9）7．用因式分解法解下列各方程：(1）；（2）(3）（4）（5) （6）(7）；(8）．（9）(10）(11）8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：(1）（2）（3）（4）（5）9．解关于x的方程（含有字母系数的方程）：(1）（2）(3)（）(4）（三）一元二次方程的根的判别式10．不解方程，判别方程根的情况：(1）4 —-(2）-—（3）—-11．为何值时，关于x的二次方程（1）满足时，方程有两个不等的实数根(2）满足时，方程有两个相等的实数根(3）满足时，方程无实数根12．已知关于的方程,如果，那么此方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定13．关于的方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定14．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（）．A．B．且C．D．15．已知,且方程有两个相等实根,那么的值等于（）．A．B．C．3或D．316．若关于的方程有实根,则的非负整数值是（）．A．0,1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，317．已知关于ｘ的方程有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．18．方程有实数根，求正整数a.19．对任意实数m，求证：关于x的方程无实数根。
九年级数学 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2公式法1
解方程
3x2 1 x10 22
2x222x10
x2x60
x2 3x 1 0 4
3x26x20
4x2 6x0 x24x84x11
x(2x4)58x
12/10/2021
小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
由配方法解一般的一元二 次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)若 b2-4ac≥0 得
1、把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。
2a
4 256 4 16 .
w3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
w4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56
x ;x 1
2
5 12/10/2021
2.
w5.定根:写出原方 程的根.
跟踪练习 用公式法解下列方程： 1.2x2 +5x-3=0 2.(x-2)(3x-5)=0
3.4x2-3x+1=0
12/10/2021
例题1
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6.
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49.
1 49 1 7
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2 , x2= 3 . 2
2、求出b2-4ac的值。
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
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X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
独立
知识的升华
作业
祝你成功！
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21．1 一元二次方程（2）
年级：九年级科目：数学课型：新授备课时间：
主备：审核：上课时间：
学习目标：
1．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
2．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．重点、难点
重点：判定一个数是否是方程的根；
难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．【课前预习】（阅读教材, 完成课前预习）
1：知识准备
一元二次方程的一般形式:____________________________
2：探究
问题:一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，•苗圃的长和宽各是多少？
分析：设苗圃的宽为xm，则长为_______m．
根据题意，得___________________．
整理，得________________________．
1)下面哪些数是上述方程的根？
0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
2)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
3)将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？
4)虽然上面的方程有两个根（______和______）但是苗圃的宽只有一
个答案，即宽为_______.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解． 练习：1.你能想出下列方程的根吗？
(1) x 2 -36 = 0 (2) 4x 2-9 = 0
2.下面哪些数是方程x 2+x-12=0的根？
-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。
【课堂活动】
活动1：预习反馈，明确概念
活动2：典型例题，初步应用
例1.下面哪些数是方程x 2-x-6=0的根？
-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。
例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
(1) 2250x -= (2) 231x = (3)
29160x -=
活动3：随堂训练
1.写出下列方程的根：
（1）9x 2 = 1 （2）25x 2-4 = 0 （3）4x 2 = 2
2. 下列各未知数的值是方程
2320x x +-=的解的是（ ） **=1 B.x=-1 C.x=2 D. x=-2
3.根据表格确定方程287.5x x -+=0的解的范围____________
4.已知方程
2390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是______
5.试写出方程x 2-x=0的根，你能写出几个？
活动4：归纳小结
1.使一元二次方程成立的____________的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的________。
2.由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解______________
【课后巩固】
1.如果x 2-81=0，那么x 2-81=0的两个根分别是x 1=________，x 2=__________．
2.一元二次方程2x x =的根是__________；方程x （x-1）=2的两根为
________
3.写出一个以2x =为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：_________________。
4.已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．
5. 若关于X 的一元二次方程
22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，a 的值是几？你能得出这个方程的其他根吗？
6. 若222x x -=，则2243x x -+=_____________。
已知m 是方程x **
** ** **
287.5x x -+ **
-0.09 -0.66 -1.21
260x x --=的一个根，则代数式2m m -=________。
7. 如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．
8. 方程（x+1）2+2x （x+1）=0，那么方程的根x 1=______；x 2=________．
9.把
22(1)2x x x x -=++化成一般形式是______________,二次项是____一次项系数是_______，常数项是_______。
10.已知x=-1是方程ax 2+bx+c=0的根（b ≠0），则
a c
b b +=（ ）． A ．1 B ．-1 C ．0 D ．2
11.方程x （x-1）=2的两根为（ ）．
A ．x 1=0，x 2=1
B ．x 1=0，x 2=-1
C ．x 1=1，x 2=2
D ．x 1=-1，x 2=2
12.方程ax （x-b ）+（b-x ）=0的根是（ ）．
A ．x 1=b ，x 2=a
B ．x 1=b ，x 2=1a
C ．x 1=a ，x 2=1a
D ．x 1=a 2，x 2=b 2
13. 请用以前所学的知识求出下列方程的根。
⑴(x-2)=1 ⑵9(x-2) 2=1 ⑶x 2+2x+1=4 ⑷x 2-6x+9=0
拓广探索：
14.如果2是方程x 2-c=0的一个根，那么常数c 是几？你能得出这个方程的其他根吗？
15.如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．。