模型组合讲解——对称性模型

模型组合讲解一一对称性模型

马秀红王世华

［模型概述］

对称法作为一种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考

命题中都有所渗透和体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作

为一种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现。

［模型讲解］

1.简谐运动中的对称性

例1.劲度系数为k的轻质弹簧，下端挂一个质量为m的小球，小球静止时距地面的高

度为h,用力向下拉球使球与地面接触，然后从静止释放小球（弹簧始终在弹性限度以内）则：

A.运动过程中距地面的最大高度为2h

B.球上升过程中势能不断变小

C.球距地面高度为h时，速度最大

D.球在运动中的最大加速度是kh/m

解析：因为球在竖直平面内做简谐运动，球从地面上由静止释放时，先做变加速运动，

当离地面距离为h时合力为零，速度最大，然后向上做变减速运动，到达最高点时速度为零，最低点速度为零时距平衡位置为h,利用离平衡位置速度相同的两点位移具有对称性，最高

点速度为零时距平衡位置也为h,所以球在运动过程中距地面的最大高度为2h,由于球的振

k k

幅为h,由a x可得，球在运动过程中的最大加速度为 a h，球在上升过程中动

m m

能先增大后减小，由整个系统机械能守恒可知，系统的势能先减小后增大。所以正确选项为

ACD。

2.静电场中的对称性

例2. （2005上海高考）如图1所示，带电量为+ q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d, 点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心。若图中b点处产生的电场强度为零，根据对称

性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为多少，方向如何？（静电力恒量为k）。

解析：在电场中a点:图1

E a E 板E q 0

板上电荷在a、b两点的电场以带电薄板对称，带电薄板在b点产生的场强大小为kE d 方向水平向左。

点评：题目中要求带电薄板产生的电场，根据中学物理知识仅能直接求点电荷产生的电场，无法直接求带电薄板产生的电场；由E a= 0，可以联想到求处于静电平衡状态的导体的

感应电荷产生的场强的方法，利用E板E q来间接求出带电薄板在a点的场强，然后根

据题意利用对称性求出答案。

例3.静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布

如图2所示。虚线表示这个静电场在xOy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于Ox轴、Oy轴对称，等势线的电势沿x轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等。一个电子经过P点（其横坐标为x0）时，速度与Ox轴平行。适当控制实验条件，使该电子通过电场区

域时仅在Ox轴上方运动。在通过电场区域过程中，该电子沿y方向的分速度v y,随位置坐

标x变化的示意图是：

图2

解析：由于静电场的电场线与等势线垂直，且沿电场线电势依次降低，由此可判断Ox

轴上方区域y轴左侧各点的场强方向斜向左上方，y轴右侧各点的场强方向斜向左下方。电

子运动过程中，受到的电场力的水平分力沿x轴正方向，与初速方向相同，因此，电子在x 方向上的分运动是加速运动，根据空间对称性，电子从x = x0运动到x x0过程中，在y

轴左侧运动时间比在y轴右侧运动的时间长。电子受到电场力的竖直分力先沿y轴负方向,

后沿y轴正方向。因此电子在y方向上的分运动是先向下加速后向下减速，但由于时间的不对称性，减速时间比加

速时间短，所以，当x x0时，v y的方向应沿y轴负方向。正确答案为D。

3.电磁现象中的对称性

例4. （2005年全国高考）如图3所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+ q的粒子，以

相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间

的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R= mV。哪个图是正

Bq

确的？（）

X X X X X

X X 0 X X X

X X X X X

X X X X X

M --------

——N

图3

A E

解析：由于是许多质量为m带电量为+ q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由孔O射入磁场区域。所以，重点是考虑粒子进入磁场的速度方向。

在考虑时，想到速度方向在空间安排上是具有“空间对称性”的，所以，本题就要在分析过程用到对称性。

①当粒子沿垂直MN的方向进入磁场时，由其所受到的“洛伦兹力”的方向可以知道，其作圆周运动的位置在左侧。由“洛伦兹力”公式和圆周运动“向心力”公式可以得到：

2

Bqv •叱，解得R = 。所以，在左侧可能会出现以O为一点的直径为2R的半圆。

R Bq

②当粒子沿水平向右的方向进入磁场时，其应该在MN的上方作圆周运动，且另外的半

圆将会出现在点O的左边。直径也是2R。

③然后，利用对称性，所有可能的轨迹将会涉及到以点0为转动点，以2R为直径从右

扫到左的一片区域。即如图4所示。

JI 0 N

图4

4.光学中的对称性

例5. （2005年江苏高考）1801年，托马斯•杨用双缝干涉实验研究了光波的性质。1834

年，洛埃利用单面镜同样得到了杨氏干涉的结果（称洛埃镜实验）。

（1）洛埃镜实验的基本装置如图5所示，S为单色光源，M为一平面镜。试用平面镜成像作图法在答题卡上

画出S经平面镜反射后的光与直接发出的光在光屏上相交的区域。

光屏

S

—^7 ---------------------- ：

图5

（2）设光源S到平面镜的垂直距离和到光屏的垂直距离分别为a和L,光的波长为，

在光屏上形成干涉条纹。写出相邻两条亮纹（或暗纹）间距离x的表达式。

解析：（1）如图6

（2）x -

d

因为d 2a，所以

点评：试题以托马斯•杨的双缝干涉实验为引导，以洛埃镜实验为载体，将平面镜对光

的反射与光的干涉综合在一起，考查考生对“一分为二”及干涉过程的理解和对课本知识的

所示。

L

x

2a

X X X X X X X